随机变量的联合分布PPT课件

Joint Probability Distribution Function
F ( x, y)的函数值就是随机点落 在如图所示区
域内的概率 .
y (x, y) •
X x,Y y
o
x
(2) 分布函数的性质
1o 0 F (x, y) 1,
2o F (x, y) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y, 当 x2 x1 时 F (x2 , y) F (x1, y), 对于任意固定的 x,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
第三章 多维随机变量及其分布
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些
随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随 机变量来描述.
在打靶时,命中点的位置是由一
对r .v (两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由三 个r .v (三个坐标)来确定的等等.
§3.1 随机变量的联合分布
2. 二维离散型随机变量的分布律 (P62-定义2)
设二维离散型随机变量 ( X ,Y )所有可能取的
值为 ( xi , y j ), i, j 1, 2,, 记 P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,,
称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律 ,
X ,Y X ,Y D
称（X，Y）为 二维随机变量。
一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 {},
设 X X () 和 Y Y () 是定义在 上的随机变量,
由它们构成的一个向量 ( X ,Y ) , 叫作二维随机向量
或二维随机变量 .
3 对于任意固定的 y, F (, y) lim F ( x, y) 0, x 对于任意固定的 x, F ( x,) lim F ( x, y) 0, y
y
F (,) lim F ( x, y) 0,
x
y
X x,Y y
(x, y) •
F (,) lim F ( x, y) 1.
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结
一 二维随机变量
有些随机现象需要用两个随机变量才能描述， 如：向一球门射球，观察射入点的位置。
设球门占平面区域 D ， 令 X 表示射中点的横坐标，
Y 表示射中点的纵坐标。
则样本空间可用随机变量 X 与 Y 联合表示为：
2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义 (P48-定义1)
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数 :
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数,或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数 .
三 二维连续型随机变量
1.定义 设 X ,Y 为二维随机变量，
若存在一非负函数 f x, y ，使随机变量 X ,Y
的联合分布函数 F x, y PX x, Y y
y x f x, y dxdy
则称 X ,Y 为二维连续型随机变量，
f x, y 称为 X ,Y 的（联合）概率密度或（联合）分布密度。
或随机变量 X 和Y 的联合分布律.
其中,
1 pij 0,
即 p11 p12
p21 p22
2 pij 1. i 1 j 1
pn1 pn2 1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
Y X
y1
y2
yj
x1
p11 p12
p1 j
x2
p21 p22
p2 j
xi
pi1
pi 2
pij
例1设随机变量 X 在 1,2,3,4四个整数中等可能地 取值, 另一个随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
解 { X i,Y j}的取值情况是 : i 1,2,3,4,
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
P{ X
i,Y
j}
P{Y
jX
o
x
x
y
4o F (x, y) F (x 0, y), F (x, y) F (x, y 0),
即 F (x, y) 关于 x 右连续,关于 y 也右连续.
5o 对于任意 x1 x2 , y1 y2 , 有
Px1 X x2, y1 Y y2
=F (x2 , y2 ) F (x1, y2 ) F (x2, y1) F (x1, y1) 0
常见的二维连续型随机变量的分布
（1）均匀分布 若某一质点等可能地落在平面区域 D 上，（X，Y）表示
i}P{X
i} 1 1 , i4
i 1,2,3,4, j i.
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
i 1,2,3,4, j i.
P{ X
i,Y
j}
P{Y
j
X
i}P{ X
i}
11, i4
Y X
1
2 34
1
1 4
wk.baidu.com
0
00
2
1 8
1
00
8
3
1 12
1 12
10
12
1
1
11
4
16 16 16 16
y
x1, y2
x2, y2
x1, y1
x
x2, y1
二、二维离散型随机变量 及其联合分布律
1. 定义 (P62)
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
例如 二维随机变量( X, Y ) 表示掷两颗骰子出现 的点数, 则( X, Y )的所有可能取值为36对.
• X ()
图示
•
•Y ()
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量.
实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ).
说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y
有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
二维连续型随机变量
二维连续型随机变量的概率密度的性质——
1 f x, y 0
2 f x, y dxdy F , 1
3 P X ,Y D f x, y dxdy D
4 若 f x, y在点 x, y连续，则有 2F x, y f x, y
xy
二维连续型随机变量