随机变量的联合分布PPT课件
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《概率论与数理统计》课件3-1二维随机变量及其联合分布
P{a X b} = F(b) − F(a) + P{X = a}
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
概率3.1节-多维随机变量及其联合分布.ppt
c, x 2 y 2 R 2 , f ( x, y ) 2 2 2 0, x y R ,
(1)求常数c，（2）计算原点到该点的距 离D小于等于a的概率；（3）计算E(D).
二维正态分布 若二维随机变量(X,Y)的联合密度 函数为
p ( x, y ) 2 1 2 1 2
( x 1 ) 2 1 exp{ [ 2 2 2 2(1 ) 1 1 ( y 2 ) 2
( x 1 )( y 2 )
1 2
2
2
]}, x, y ,
则称(X,Y)服从二维正态分布，记为 其中参数满足
二维正态分布图
二维正态分布剖面图
p( x1 , , ( x1 , , xn ) D, , xn ) S D 0, 其他.
则称 布，记为
服从D上的多维均匀分
例3 考虑一个半径为R的圆，按如下方式 随机地在圆内投点：落在圆内任一区域 内的概率只与这个区域的面积有关，与 该区域在圆内的位置及形状无关。如果 令圆心表示原点，且令X和Y表示所投点 的坐标，设它们的联合密度函数为
y
(,)
F ( , ) 1
y
x
(x, y)
x
F ( , ) 0
(,)
y
F ( x , ) 0
x
F ( , y) 0
y
x
② 对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2, y) ③ 对每个变量右连续 F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )
(1)求常数c，（2）计算原点到该点的距 离D小于等于a的概率；（3）计算E(D).
二维正态分布 若二维随机变量(X,Y)的联合密度 函数为
p ( x, y ) 2 1 2 1 2
( x 1 ) 2 1 exp{ [ 2 2 2 2(1 ) 1 1 ( y 2 ) 2
( x 1 )( y 2 )
1 2
2
2
]}, x, y ,
则称(X,Y)服从二维正态分布，记为 其中参数满足
二维正态分布图
二维正态分布剖面图
p( x1 , , ( x1 , , xn ) D, , xn ) S D 0, 其他.
则称 布，记为
服从D上的多维均匀分
例3 考虑一个半径为R的圆，按如下方式 随机地在圆内投点：落在圆内任一区域 内的概率只与这个区域的面积有关，与 该区域在圆内的位置及形状无关。如果 令圆心表示原点，且令X和Y表示所投点 的坐标，设它们的联合密度函数为
y
(,)
F ( , ) 1
y
x
(x, y)
x
F ( , ) 0
(,)
y
F ( x , ) 0
x
F ( , y) 0
y
x
② 对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2, y) ③ 对每个变量右连续 F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )
随机变量及分布PPT课件
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
fY
(
y
)
dFY ( dy
y
)
1
2
y
0,
fX
(
y ) fX(
y ) , y 0 y0
y 1
fX (
y
)
2
0
y 1
0
y 1
fX (
y
)
2
1 y 0
其它
0
其它
则 Y=X2 的概率密度为：
1
fY
(
y)
2
( y
0
y 1 2
U 的概率密度
P{ X
u 1} 3
FX
{
u
3
1)
fU (u)
dFU (u) du
f
X
(
u
3
1
)
(
u
3
1
)u
fU
(u)
2.
u
3
1
.
1 3
0
即
fU
(u)
2 9
(u
1)
0
0 u1 1 3
其它
1 u 2 其它
例4(P62-例3) 设随机变量X的概率密度为fX(x)(x R),求:
z0
0
z0
（3）备用方式： 系统L的寿命 Z=X+Y
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
积分区域
z
x
x
0
0
即0 x z
fZ (z)
z e x e (zx)dx e z
0
z e( ) xdx
联合分布列.ppt
y x
当 y 0 和 y1时， fY ( y) 0 , f X|Y ( x | y)
当 0 < y< 1 时， fX|Y ( x | y) ff(Yxy(01,y,y))y ,
y x y ; 其他 .
f (x, y) fY ( y)
不存在,
同理,当 x 0 和 x1时， fX ( x) 0 , fY|X ( y | x)
2 5
2 5
4 25
;
P
(X1 ,
Y0)
P( X0,
Y1)
2 5
3 5
6 25
.
所以X 和Y 的联合分布列
P(Y j
X1)
p1 j p1•
p1j 2/5
;
及边缘分布列为
X Y
0
1 p• j
0 9/25 6/25 3/5
P( X i
Y 0)
pi 0 p•0
pi 0 3/5
.
条件X=1下的 Y|X=1 0
FX Y (x
y)
1 fY (
y
)
x
f
(u, y)du, Fy ( x, y) FY ( y)
FY
X(y
x)
f
1 X(
x
)
y
f (x,v Fx( x
) ,
dv y)
FX ( x)
二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布 条件分布仍为
二 维 正 态 分 布 的 两 个 边 缘 密 度 仍 是 正 态 分 布 均匀或正态分布
P(X = xi | Y= yj )=
P(X xi , Y yj ) P(Y yj )
pi j 边p缘• j分布列i=1,2,
二维随机变量及联合分布.pptx
x1， x2， ， xi，
Y 的取值为 y1， y2， ， y j，
则称 Pij P X xi ， Y y j i，j 1， 2，
为二维离散型随机变量 X， Y 的（联合）分布律．
§1 二 维 随 机 变 量
二维离散型随机变量的联合分布律
X， Y 的联合分布律也可以由下表表示
Y X
12
12 e3x4 ydxdy
00
1
2
12 e3xdx e4 y dy
0
0
1 e3 1 e8
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§1 二 维 随 机 变 量
例6
设二维随机变量 X， Y 的密
度函数为
y
f
x，
y
x 2
1 3
xy
0 x 1，0 y 2
2
0
其它
试求概率 P X Y 1．
1
解：
00
c e3xdx e4 y dy
c
12
0
0
所以，c 12．
y
x 0, y 0
(2) F x， y PX x， Y y
x
当 x 0或 y 0时，F x， y 0 ；
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§1 二 维 随 机 变 量
例 5（续）
当 x 0 且 y 0 时，
Fx， y PX x， Y y
则X， Y 的联合分布函数为，
F x， y pij xi x， y j y
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§1 二 维 随 机 变 量
二维连续型随机变量
对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如 果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：
yx
Y 的取值为 y1， y2， ， y j，
则称 Pij P X xi ， Y y j i，j 1， 2，
为二维离散型随机变量 X， Y 的（联合）分布律．
§1 二 维 随 机 变 量
二维离散型随机变量的联合分布律
X， Y 的联合分布律也可以由下表表示
Y X
12
12 e3x4 ydxdy
00
1
2
12 e3xdx e4 y dy
0
0
1 e3 1 e8
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§1 二 维 随 机 变 量
例6
设二维随机变量 X， Y 的密
度函数为
y
f
x，
y
x 2
1 3
xy
0 x 1，0 y 2
2
0
其它
试求概率 P X Y 1．
1
解：
00
c e3xdx e4 y dy
c
12
0
0
所以，c 12．
y
x 0, y 0
(2) F x， y PX x， Y y
x
当 x 0或 y 0时，F x， y 0 ；
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§1 二 维 随 机 变 量
例 5（续）
当 x 0 且 y 0 时，
Fx， y PX x， Y y
则X， Y 的联合分布函数为，
F x， y pij xi x， y j y
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§1 二 维 随 机 变 量
二维连续型随机变量
对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如 果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：
yx
二维连续型随机变量的联合分布函数(PPT课件)
5.条件概率密度 f ( x, y ) 设fY ( y )为f ( x, y )的关于y的边缘密度则称 为Y y发生 fY ( y )
条件下的X x发生的条件概率密度，记作f X Y ( x y ) f ( x, y ) f X Y ( x y) fY ( y ) 再看Y y条件下X x发生的分布FX Y ( x y )，它是X的分布，Y
所以，联合分布也是变 量（事件）积的概率。 2.二维联合分布的几何解释 Y
Y
( x, y )
( x1 , y2 )
Ⅲ Ⅰ
( x2 , y2 )
0
图7 - 1
X
0
( x1 , y1 )
Ⅳ
( x2 , y1 )
Ⅱ
X
图7 - 2
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
S1 由集合描述：P x1 X x2 , y1 Y y2 S
类似地在相应条件下可得在X=x条件下Y的条件概率密度为
f ( x, y ) fY X ( y x ) f X ( x)
以及条件概率分布函数 为： FY X ( y x )
y
f ( x, v ) dv f X ( x)
y
f ( x , v )dv f X ( x)
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
基本思路：用分布的积分求解密度 FX ( x) F ( x, )
x
f (u, y) dudy [
x
f (u, y) dy]du
第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布
FX ( x) [
x
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y
x1, y2
x2, y2
x1, y1
x
x2, y1
二、二维离散型随机变量 及其联合分布律
1. 定义 (P62)
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
例如 二维随机变量( X, Y ) 表示掷两颗骰子出现 的点数, 则( X, Y )的所有可能取值为36对.
pij
例1设随机变量 X 在 1,2,3,4四个整数中等可能地 取值, 另一个随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
解 { X i,Y j}的取值情况是 : i 1,2,3,4,
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
P{ X
i,Y
j}
P{Y
jX
Joint Probability Distribution Function
F ( x, y)的函数值就是随机点落 在如图所示区
域内的概率 .
y (x, y) •
X x,Y y
o
x
(2) 分布函数的性质
1o 0 F (x, y) 1,
2o F (x, y) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y, 当 x2 x1 时 F (x2 , y) F (x1, y), 对于任意固定的 x,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
i}P{X
i} 1 1 , i4
i 1,2,3,4, j i.
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
i 1,2,3,4, j i.
P{ X
i,Y
j}
P{Y
j
X
i}P{ X
i}
11, i4
Y X
1
2 34
1
1 4
0
00
2
1 8
1
00
8
3
1 12
1 12
10
12
1
1
11
4
16 16 16Y ()
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量.
实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ).
说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y
有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
二维连续型随机变量
二维连续型随机变量的概率密度的性质——
1 f x, y 0
2 f x, y dxdy F , 1
3 P X ,Y D f x, y dxdy D
4 若 f x, y在点 x, y连续，则有 2F x, y f x, y
xy
二维连续型随机变量
三 二维连续型随机变量
1.定义 设 X ,Y 为二维随机变量，
若存在一非负函数 f x, y ，使随机变量 X ,Y
的联合分布函数 F x, y PX x, Y y
y x f x, y dxdy
则称 X ,Y 为二维连续型随机变量，
f x, y 称为 X ,Y 的（联合）概率密度或（联合）分布密度。
常见的二维连续型随机变量的分布
（1）均匀分布 若某一质点等可能地落在平面区域 D 上，（X，Y）表示
X ,Y X ,Y D
称（X，Y）为 二维随机变量。
一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 {},
设 X X () 和 Y Y () 是定义在 上的随机变量,
由它们构成的一个向量 ( X ,Y ) , 叫作二维随机向量
或二维随机变量 .
3 对于任意固定的 y, F (, y) lim F ( x, y) 0, x 对于任意固定的 x, F ( x,) lim F ( x, y) 0, y
y
F (,) lim F ( x, y) 0,
x
y
X x,Y y
(x, y) •
F (,) lim F ( x, y) 1.
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结
一 二维随机变量
有些随机现象需要用两个随机变量才能描述， 如：向一球门射球，观察射入点的位置。
设球门占平面区域 D ， 令 X 表示射中点的横坐标，
Y 表示射中点的纵坐标。
则样本空间可用随机变量 X 与 Y 联合表示为：
2. 二维离散型随机变量的分布律 (P62-定义2)
设二维离散型随机变量 ( X ,Y )所有可能取的
值为 ( xi , y j ), i, j 1, 2,, 记 P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,,
称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律 ,
第三章 多维随机变量及其分布
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些
随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随 机变量来描述.
在打靶时,命中点的位置是由一
对r .v (两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由三 个r .v (三个坐标)来确定的等等.
§3.1 随机变量的联合分布
o
x
x
y
4o F (x, y) F (x 0, y), F (x, y) F (x, y 0),
即 F (x, y) 关于 x 右连续,关于 y 也右连续.
5o 对于任意 x1 x2 , y1 y2 , 有
Px1 X x2, y1 Y y2
=F (x2 , y2 ) F (x1, y2 ) F (x2, y1) F (x1, y1) 0
2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义 (P48-定义1)
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数 :
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数,或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数 .
或随机变量 X 和Y 的联合分布律.
其中,
1 pij 0,
即 p11 p12
p21 p22
2 pij 1. i 1 j 1
pn1 pn2 1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
Y X
y1
y2
yj
x1
p11 p12
p1 j
x2
p21 p22
p2 j
xi
pi1
pi 2