中考中的费马点问题

费马点

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.

若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C 的距离之和比从其它点算起的都要小.

这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.

【定义】

1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。）

2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.

【费马点问题】

问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？

图文解析：

如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，

∴PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′．

∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′

为定长

∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小

值为BA.′

【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】

∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，

∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，

∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.

因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．

【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段. 【知识应用】两点之间线段最短.

【典型例题】

1.已知：P是边长为1的等边三角形ABC内的一点，求PA+PB+PC的最小值.

2.（2015·无锡二模）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则PA+PB+PD的最小值为__________．

3. 已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA+PB+PC 的最小值．

4. (朝阳二模)阅读下列材料：

小华遇到这样一个问题，如图1,△ABC 中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ，求PA+PB+PC 的最小值．

小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC 绕点C 顺时针旋转60º，得到△EDC ，连接PD 、BE ，则BE 的长即为所求．

（1）请你写出图2中，PA+PB+PC 的最小值为________________；

（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：

①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC=60º，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；

②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC 值最小时PB 的长．

D A B P 图2 A B 图3 A C B P 图1

5. 如图，在ABC 中，ABC ＝60，AB ＝5，BC ＝3，P 是ABC 内一点，求P A ＋PB ＋PC 的最小值，并确定当P A ＋PB ＋PC 取得最小值时，APC 的度数． B C

A

P

6. 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60得到BN ，连结AM ，CM ，EN ．

（1）当M 在何处时，AM ＋CM 的值最小?

（2）当M 在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小？请说明理由；

（3）当AM ＋BM ＋CM 31时，求正方形的边长．

N

E M

7. （海淀二模）如图.在平面直角坐标系xOy 中.点B 的坐标为(0,2).点D 在x 轴的正半轴上. 30ODB ∠=︒.OE 为△BOD 的中线.过B 、E 两点的抛物线236y ax x c =+

+与x 轴相交于A 、F 两点(A 在F 的左侧).

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上.求AE 及AM 的长； (3) 点P 为△ABO 内的一个动点.设m PA PB PO =++.请直接写出m 的最小值,以及m 取得最小值时,线段AP 的长.

8.（2019河东一模）如图,抛物线25 2

y ax bx

=++过点A(1,0),B(5,0)，与y轴相交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离。如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长。已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离。

(3)在(2)中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。