【名师面对面】2015中考数学总复习 第7章 第31讲 图形的相似课件

1．相似多边形定义：对应角相等、对应边成比例 的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边 的比叫做________，相似比为1的两个多边形全等． 2．相似多边形性质
(1)相似多边形的对应角________，对应边成
________；
(2)相似多边形周长的比等于________；
(3)相似多边形面积的比等于________．
(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．
由题意得－(－1)2＋2×(－1)＋c＝0，解得c＝3，
∴y＝－x2＋2x＋3，即y＝－(x－1)2＋4，∴顶点M(1，4) (2)求△EMF与△BNE的面积之比．
∵A(－1，0)，抛物线的对称轴为直线 x＝1， ∴点 B(3，0)，∴EM＝1，BN＝2，∵EM∥BN， S△EMF EM 2 1 2 1 ∴△EMF∽△BNF，∴ ＝( ) ＝( ) ＝ BN 2 4 S△BNF
2．(2014·东营)下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，
且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两
个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距 离之比等于位似比．其中正确命题的序号是( A ) A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
3．(2014·武汉)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速 度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连结PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值
第31讲
图形的相似
1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；了解 黄金分割． 2．了解相似多边形、相似三角形的概念，以及相似比的概 念． 3．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对 应线段成比例． 4．了解相似图形的性质定理，相似多边形的对应角相等， 对应边成比例，面积的比等于对应边之比的平方． 5．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或 缩小． 6．通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，会利 用图形的相似解决一些实际问题．
1．相似三角形定义 各角对应________，各边对应成________的两个三角形叫 做相似三角形． 2．相似三角形判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相 交，所构成的三角形与________相似； (2)两角对应________，两三角形相似； (3)两边对应成________且夹角________，两三角形相似；
3．(2014· 凉山)如果两个相似多边形面积的比为 1∶5，则它们 的相似比为( D ) A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶ 5 4．如图，E，F 分别为矩形 ABCD 的边 AD，BC 的中点，若矩 形 ABCD∽矩形 EABF，AB＝1.求矩形 ABCD 的面积.
2
1．相似多边形的判断主要是按定义，先判断角 是否对应相等，再判断对应边是否成比例．
2．下列各组数中一定成比例的是( A．2，3，4，5 C．－2，1，2，0
B )
B．－1，2，－2，4 D．a，2b，c，2d
3．根据条件，求 a∶b 的值． (1)3a＝4b;
4 3
a－ b b (3) . 5 ＝4
2a 3b (2) 5 ＝ 4 ； 15 8
9 4
1．判断四个数(或四条线段)是否成比例的方法有两种：一
(1)矩形ABCD，BCFE，AEML，GMFH，LGPN长与宽的 比改变了吗？ (2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？ (3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？
(1)矩形 ABCD，BCFE，AEML，GMFH，LGPN 长与宽的比 2 不改变．设矩形 ABCD 的宽为 a，长为 2a，则 BC＝a，BE＝ a， 2 2 a a 2 2 a AE＝ a，ME＝ ，MF＝ ，HF＝ a，LG＝ a，LN＝ ， 2 2 2 4 4 4 BC 2 AE 2 a MF a 2 ∴ ＝a∶ a＝ 2， ＝ a∶ ＝ 2， ＝ ∶ a＝ 2， BE 2 ME 2 2 HF 2 4 LG 2 a ＝ a∶ ＝ 2，所以这五个矩形的长与宽的比不改变 LN 4 4 (2)在这些矩形中有成比例的线段 (3)这些大小不同的矩形都相似
(2)线段MN与CD交于点Q，连结AQ，若△MCQ∽△AMQ，则
BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
BM ＝MC.理由如下：∵∠BAM ＋∠AMB ＝90° ， ∠ AMB ＋∠ CMQ＝90°，∴∠BAM＝∠CMQ，又∵∠B＝∠C＝90°， AB AM ∴△ABM∽△MCQ，∴ ＝ ，∵△MCQ∽△AMQ， MC MQ AB AM AB AB ∴△AMQ∽△ABM，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴BM＝MC BM MQ MC BM
(2)连结AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
过 P 作 PM⊥BC 于点 M，AQ，CP 交于点 N，则有 PB＝5t，PM＝3t，MC＝8－4t， ∵∠NAC＋∠NCA＝90°∠PCM＋∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM 且∠ACQ＝∠PMC＝90°， ∴△ACQ∽△CMP， AC CQ 6 4t 7 ∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得 t＝ CM MP 8 8－4t 3t
判定两个三角形的基本思路：
1．条件中若有平行线，或能作出相关的平行线，可采用
相似三角形的基本定理；
2．条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成 比例； 3．条件中若有两边对应成比例，可判断夹角相等； 4．条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜
边、直角边对应成比例；
5．若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例．
BP BQ ①当△BPQ∽△BAC 时，∵ ＝ ，BP＝5t，QC＝4t， BA BC 5t 8－4t AB ＝ 10 cm ， BC ＝ 8 cm ， ∴ ＝ ， ∴ t ＝ 1 ；②当 10 8 BP BQ 5t 8－4t 32 △BPQ∽△BCA 时，∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴t＝ ， BC BA 8 10 41 32 ∴t＝1 或 时，△BPQ 与△ABC 相似 41
90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连结
NP，BP.
(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；
在正方形 ABCD 中， AB＝BC， ∠ABC＝∠C， 在△ABM 和△BCP
AB＝BC， 中，∠ABC＝∠C，∴△ABM≌△BCP(SAS)， CP＝BM，
∴AM＝BP，∠BAM＝∠CBP， ∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∴∠CBP＋∠AMB＝90°， ∴AM⊥BP，∵线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90°得到线段 MN， ∴AM⊥MN，且 AM＝MN，∴MN∥BP，MN＝BP， ∴四边形 BMNP 是平行四边形
3 ． (2014· 荆门 )如图 ， 正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形 ， 点 O 为位似中心 ， 位似比为 1 ∶ 2 ， 点 A 的坐标为 (0 ， 1) ， 求点 E 的坐标 ．
(4)三边对应成________，两三角形相似；
(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
2．(2014· 毕节)如图，△ABC 中，AE 交 BC 于点 D， ∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则 DC 的 长等于( A )
15 A. 4
12 B. 5
20 C. 3
17 D. 4
∴△A2B2C2的面积是10平方单位
1．位似图形定义： 如果两个图形不仅________相同，而且
每组________所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图
形叫做________，这个点叫做________． (1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于
________．
(2)以坐标原点为位似中心的位似图形，若原图形上点的坐 标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上 的对应点的坐标为________或________． 2．位似图形的性质：两个位似的图形上每一对对应点都与 位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位 似中心的距离之比等于________．
是按大小排列好，判断前两个的比和后两个的比是否相等；
二是查看是否有两数的积等于其余两数的积． 2．有关比例的问题，解题时要充分利用比例的基本性质进 行变形或求值，转化为积的形式就可以转化为方程问题．要 重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项之
积等于两外项之积”．
相似三角形的判定与性质 1．(2014·玉林)如图，在正方形ABCD中，点M是BC 边上的任一点，连结AM并将线段AM绕M顺时针旋转
相似图形的性质
1． 如图，在长为 8 cm， 宽为 4 cm 的矩形中，截去一个矩形， 使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形 的面积是( C )
A．2 cm 2 C．8 cm
2
B．4 cm 2 D．16 cm
2
2．如图 ，将一张长、宽之比为 2的矩形 ABCD 依次不断 对折 ，可以得到矩形 BCFE ，AEML ，GMFH ，LGPN .
相似多边形的性质是中考考查的热点． 1．相似多边形的相似比(周长比、面积比等)往往与 平行线、等分问题、三角形的等积转化联系起来． 2．相似三角形的识别往往会与特殊三角形、四边形 、圆和三角函数等相关知识联系，与探索性、开放性
问题相联系．
3．主要体现数形结合思想、转化的思想．
1．(2013· 温州)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC AD 3 上，DE∥BC，已知 AE＝6，DB＝4，则 EC 的长是( B ) A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
2． (2014· AD∥BC， 宁波)如图， 梯形 ABCD 中， ∠B＝∠ACD ＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为 ( C ) A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D. 2∶ 3