《高等数学》同济第六版 第7章答案

xn 的收敛域为 [−2,2) ； ∑ n n =1 2 ⋅ n 2n +1 1 (n + 1) 2 + 1 1 1 = lim = 2, 所以收敛半径为 R = ，收敛区间为 (− , ) . n n →∞ 2 2 2 2 2 n +1
∞
（3） ρ = lim
n →∞
an +1 an
当x=
1 1 时级数收敛，当 x = − 时级数收敛， 2 2
1 1 1 25 = 25( + + ") = 25 ⋅ 100 = . 1 100 10000 99 1− 100
7.用比较审敛法或其极限形式判定下列级数的敛散性:
1 (1) ∑ n =1 3n + 2
(4)
∞
2 (2) ∑ n n =1 3 + 4
(5)
∞
n2 −1 (3) ∑ 3 n =1 n + 4
当 x = 1 和 x = −1 时级数发散，所以幂级数
∑ nx
n =1
∞
n
的收敛域为 (−1,1) ；
（2） ρ = lim
n →∞
an +1 an
1 2 (n + 1) 1 = lim = , 所以收敛半径为 R = 2 ，收敛区间为 (−2,2) . n →∞ 1 2 n 2 n
n +1
当 x = 2 时级数发散，当 x = −2 时级数收敛， 所以幂级数
所以幂级数
2n n 1 1 x 的收敛域为 [− , ] ； ∑ 2 2 2 n =1 n + 1
∞
x 2( n +1) 2 n +1 ∞ 2(n + 2) 2 n −1 x 2 （4）lim x 当 x < 1 时，级数 ( ) 收敛，所以收敛区间为 (−1,1) ， − 1 = , ∑ n →∞ x n +1 2n + 1 n =1 2(n + 1)
un = lim 1 n→∞ n2
1 − cos
1 1 1 2 2n = lim 2 (2n) = 1 ， n →∞ 1 1 8 2 n n2
而级数
∑n
n =1 ∞
∞
1
2
收敛，所以级数
1 − cos ⎟ 收敛； ∑⎜ 2n ⎠ ⎝
n =1
∞
⎛
1 ⎞
从而级数
∑ (−1)
n =1
n −1
(1 − cos
1 3
1 （5）此级数为等比级数且公比 q = − ，所以该级数收敛，且收敛于 3
（6）此级数为等比级数且公比 q =
1 1 1 − (− ) 3
=
3 ； 4
7 > 1, ，所以该级数发散。. 6
6.将循环小数 0.25252525 " 写成无穷级数形式并用分数表示. 解： 0.25252525 " = 0.25 + 0.0025 + 0.000025 + "
7 72 73 7n + 2 + 3 +"+ n +" 6 6 6 6 1 1 1 1 = 1 ≠ 0, ，所以 + 3 + " + n +1 + " 发散 2 2 2 2
解： （1）因为 lim an = lim
n →∞
n →∞ n
2 ，所以该级数收敛； 3 1 1 1 1 1 1 （3）此级数为级数 + 2 + " + n + " 与级数 + 2 + " + n + " 的和，这两个级数均 3 3 4 3 4 4
n +1 ∞ ∞ n +1 un +1 n n 1 = lim 2 = < 1 ，所以级数 ∑ n 收敛，从而 ∑ (−1) n n 绝对收敛； （2） lim n →∞ u n →∞ n 2 2 n =1 2 n =1 n n 2
（3）
∑ n sin
n =1
∞
1
nπ 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + ⋅ 0 + ⋅ (−1) + ⋅ 0 + + ⋅ 0 + ⋅ (−1) + ⋅ 0 + " 2 2 3 4 5 6 7 8
2n + 2 (1) ∑ 2n n =1
∞
n! (2) ∑ n n =1 3
∞
(3)
∑n
n =1
∞
3
sin
π
2n
2n ⋅ n ! (4) ∑ nn n =1
∞
2n + 4 ∞ n +1 2n + 2 a n +1 1 解： （1） lim = lim 2 = < 1 ，所以级数 收敛； n →∞ 2n + 2 n→∞ a 2 2n n n =1 2n
1 ) 绝对收敛； 2n
（5） lim un = lim
n →∞
∞ n+2 1 n+2 发散. = ≠ 0, 所以 lim un ≠ 0, 从而 ∑ (−1) n n →∞ n →∞ 6n + 1 6 6n + 1 n =1
10.求下列幂级数的收敛域: (1)
∑ nx n
n =1
∞
(2)
xn ∑ n n =1 2 ⋅ n
∞
= n − 1 ， lim s n = ∞ ，所以
n →∞
∑(
n=2
n − n − 1) 发散；
（2） s n =
1 1 1 1 + + +"+ 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 (2n − 1)(2n + 1)
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 − + − + − + " + − ) = (1 − ) ， lim s n = ， n →∞ 2 3 3 5 5 6 2n − 1 2n + 1 2 2n + 1 2
所以
1 1 1 1 1 + + +"+ + " 收敛于 2 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 ( 2n − 1)( 2n + 1)
5.判定下列级数的敛散性: (1)
1 2
+3
1 2
+"+
1
n +1
2
+"
(2)
2 2 2 23 2n − 2 + 3 − " + ( −1) n −1 n + " 3 3 3 3
收敛. 9.判定下列级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛.
(1)
∑ (−1)
n =1 ∞ n =1
∞
n −1
1 (2n − 1) 2 1 ) 2n
1
(2)
∑ (−1)
n =1 ∞ n =1
∞
n
n 2n
n
(3)
∑ n sin
n =1
∞
1
nπ 2
(4)
∑ (−1)n−1 (1 − cos
(5)
(
)
∑
n =1
∞
tn n
，
由 ρ = lim
n →∞
an +1 an
1 = lim n + 1 = 1 得此幂级数的收敛半径为 R = 1 . n →∞ 1 n
来自百度文库
收敛区间为 (−1,1) .. 由 −1 < x − 2 < 1 可知，原幂级数的收敛区间为 (1.3) .
4.用定义判定下列级数的敛散性. (1)
当 x = 1 和 x = −1 时幂级数均收敛，所以幂级数
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
x 2 n +1 的收敛域为 [−1,1] ； 2n + 1
2n + 1 2( n +1) x ∞ n +1 2n − 1 1 1 （5） lim 2 = x 2 , 当 x 2 < 1 时，级数 ∑ n x 2 n 收敛， n →∞ 2n − 1 2 n 2 2 2 n =1 x n 2
∑ (−1)
n+2 6n + 1
解： （1） lim
n →∞
∞ ∞ un 1 1 (2n − 1) 2 1 = lim = ，而级数 ∑ 2 收敛，所以级数 ∑ 收敛； 2 1 1 n →∞ 4 n =1 n n =1 (2n − 1) n2 n2
从而级数
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
1 绝对收敛； (2n − 1) 2
∞
6n + 5 ∑ n =1 (3n + 2)( 2n − 1)( n + 1)
∞
∑n
n =1
∞
1
n
n
(6)
∑ sin 3
n =1
∞
π
n
1 ∞ ∞ 1 1 1 解： （1） lim 3n + 2 = ，而级数 发散，所以级数 发散； n→∞ 1 n 3 n =1 3n + 2 n =1 n
∑
∑
∞ 2 1 （2） lim 3 + 4 = 2 ，而级数 收敛，所以级数 收敛； n n n→∞ 1 n =1 3 + 4 n =1 3 n
∑
∑
收敛；
1
（5） lim
n→∞ ∞ 1 1 n n 发散，所以级数 发散； = 1 ，而级数 n 1 n n =1 n n n =1 n n
∑
∑
∞
sin
（6） lim
n→∞
π
3 n = 1 ，而级数
π
∑3
n =1
∞
π
n
收敛，所以级数
∑ sin 3
n =1
∞
π
n
收敛.
3n
8.用比值审敛法判定下列级数的敛散性:
π 2 n +1 = 1 < 1 ，所以级数 n3 sin n 收敛； π 2 2 n =1 n 3 sin n 2
π
∑
∞
2n +1 (n + 1)! ∞ 2n ⋅ n ! an +1 n n 1 2 (n + 1) n +1 （4） lim = lim = lim 2(n + 1)( ) ( ) = < 1 ，所以级数 ∑ n n →∞ a n →∞ n →∞ 2n n ! n n +1 n +1 e n =1 n n n
∞
∞
(3)
2n n x ∑ 2 n =1 n + 1
∞
∞
(4)
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
x 2 n +1 2n + 1
2n − 1 2 n (5) ∑ x 2n n =1
(6)
∑
n =1
( x − 2) n
n
解：(1)
ρ = lim
n →∞
an +1 n +1 = lim = 1, 所以收敛半径为 R = 1 ，收敛区间为 (−1,1) . n →∞ n an
《第 7 章（部分）习题参考答案》
1.填空题 (1)幂级数
∞
xn 的收敛半径是 ∑ n n =1 3 ( n + 1)
∞
.
(2)级数
∑
∑
n =1 ∞
2n + 1 2 n + 2 x 的收敛区间是 2n n =1
( x − 2) n n
的收敛区间是
1
.
(3)级数
.
a 3 n +1 (n + 2) 1 解： （1）由于 ρ = lim n +1 = lim = ，所以收敛半径为 R = 3 ； n →∞ a n→∞ 1 3 n
2
∑
∑
∞
3n
∞ ∞ 3 n −1 1 （3） lim n + 4 = 1 ，而级数 发散，所以级数 发散； 3 n→∞ 1 n n =1 n + 4 n =1 n
n2 −1
∑
∑
2
6n + 5 ∞ ∞ 6n + 5 (3n + 2)(2n − 1)(n + 1) 1 （4）lim = 1， 而级数 收敛， 所以级数 2 n →∞ 1 n =1 (3n + 2)( 2n − 1)( n + 1) n =1 n 2 n
1 1 1 1 1 1 ) + ( 2 + 2 ) +"+ ( n + n ) +" 3 4 3 4 3 4 1 1 1 1 (4) + + + " + +" 2 4 6 2n 1 1 1 1 (5) 1 − + − + " + ( −1) n −1 n −1 3 9 27 3
(3) ( + (6)
∑(
n=2
∞
n − n − 1)
(2)
1 1 1 1 + + +"+ +" 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 ( 2n − 1)( 2n + 1)
解： （1） s n =
∑(
n=2
n
n − n − 1) = ( 2 − 1) + ( 3 − 2 ) + ( 4 − 3 ) + " ( n − n − 1)
∞ 1 1 1 (−1) n −1 = 1− + − +" = ∑ 3 5 7 n =1 2n − 1
级数
∞ ∞ 1 1 nπ (−1) 2 n −1 发散而级数 收敛，所以级数 条件收敛. sin ∑ ∑ ∑ 2 n =1 2n − 1 n =1 n n =1 2n − 1 ∞
（4） lim
n →∞
∑
(n + 1)! ∞ n +1 an +1 n +1 n! = lim 3 = lim = ∞ ，所以级数 ∑ n 发散； （2） lim n →∞ a n →∞ n →∞ 3 n! n =1 3 n n 3
a （3） lim n +1 = lim n →∞ n→∞ a n (n + 1) 3 sin
3 n (n + 1)
u （2）由 ρ = lim n +1 = lim n →∞ u n →∞ n
2(n + 1) + 1 2 n + 4 ⋅x 1 2n +1 = x 2 < 1 可知，当 − 2 < x < 2 时级 2n + 1 2 n + 2 2 ⋅x n 2
数收敛，所以该级数的收敛区间为 − 2, 2 ； （3）令 x − 2 = t ，则原幂级数化为
所以收敛区间为 (− 2 , 2 ) ，当 x = 2 和 x = − 2 时级数发散，
所以幂级数
∑
2n − 1 2 n x 的收敛域为 (− 2 , 2 ) ； 2n n =1
（2）此级数为等比级数且公比 q = −
1 1 1 1 1 ) + ( 2 + 2 ) + " + ( n + n ) + " 收敛； 4 3 4 3 4 1 1 1 1 1 （4）此级数为调和级数乘以 ，调和级数发散，所以 + + + " + + " 发散； 2 2 4 6 2n
收敛，所以 ( +