上海沪教版高一上册数学期末备考讲义

)()10712711202b a a a +-+++=；，使得成等比数列，则 ， )m n <1,,m n T T T 61m <+57.3≈ 2||21r r l α=的角是终边相同的角；轴上的角的集合为轴上方的角的集合为4⎭N C N D ，半径为，则下列结论正确的是（，面积为503πB ．扇形的弧长为，面积为253π D ．扇形的弧长为2.任意角的三角比(1)任意角的三角比定义：设α是一个任意角，它的终边上一点),(y x P , 22y x r +=正弦r y =αsin 余弦rx=αcos正切),2(tan Z k k x y ∈+≠=ππαα 余切),(,cot Z k k y x ∈≠=παα正割sec ,2r k k Z x πααπ⎛⎫=≠+∈ ⎪⎝⎭余割()csc ,r k k Z y ααπ=≠∈(2)三角比在各象限的符号：αsin αcos αtan 同角三角比的关系：平方关系：1cos sin 22=+αα;αα22sec tan 1=+;αα22csc cot 1=+商数关系：),2(tan cos sin Z k k ∈+≠=ππαααα；),(cot sin cos Z k k ∈≠=παααα倒数关系：tan cot 1αα⋅=;sin csc 1αα⋅=;cos sec 1αα⋅=图形记忆法：诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） ()()1sin 2sin k παα+= ()tan 2tan ,k παα+=()cos 2cos k παα+= ()cot 2cot ,k k Z παα+=∈()()2sin sin παα+=-， ()tan tan παα+=()cos cos παα+=-， ()cot cot ,k Z παα+=∈xy +O— —+xyO — + — +y O— + + —a b < 无解 sin ,a b A >两解；sin ,a b A =一解； sin ,a b A <无解.（2）余弦定理：2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-或 222cos 2b c a A bc +-=； 222cos 2a c b B ac +-=； 222cos 2a b c C ab+-=．（3）任意三角形的面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===．【例1】已知下列三角形的条件，先判断三角形是否有解，若有解，再解该三角形.(1)07,8,105a b A === ； (2)010,20,80a b A ===；(3)056,10,60a b A ===；(4)023,6,30a b A === 【参考答案】(1)无解；(2)无解；(3)有一解()075,531C c ==+；(4)有两解：0001112260,90,43;120,23B C c B c =====【例2】在ABC ∆中，若2222()sin()()sin a b A B a b C +-=-，则ABC ∆是（ ）A ．等腰三角形；B .直角三角形；C ．等腰直角三角形；D ．等腰三角形或直角三角形． 【参考答案】D ．【例3】在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且 2cos28cos 50B B -+=，求角B 的大小并判断ABC ∆的形状． 【参考答案】等边三角形【解析】由2cos28cos 50B B -+=得24cos 8cos 30B B -+=，解得：13cos cos (22B B ==或舍去),3ππ∈又B (0,),所以B=，,,a b c 成等比数列2,a c b ∴+=222222()12cos 222a c a c a cb B ac ac ++-+-=== 化简得：2220,a c ac a c +-==故，所以△ABC 为等边三角形．【例4】（崇明区2019年二模19题）某公园内有一块以O 为OAP中，2 400(6cos 400(3cos28003sin(2因为(0,πα∈递增区间是(2,2),22k k k Z ππππ-++∈，递减区间是3(2,2),22k k k Z ππππ++∈． 对称轴是,2x k k Z ππ=+∈,对称中心是(,0),k k Z π∈；2.余弦函数的图像与性质余弦函数的定义域是x R ∈,最大值是1，最小值是1-，周期是2π, 递增区间是(2,2),k k k Z πππ-+∈，递减区间是(2,2),k k k Z πππ+∈． 对称轴是,x k k Z π=∈,对称中心是(,0),2k k Z ππ+∈；3.正切函数的图像定义域：{|()}2x x k k Z ππ≠+∈；值域：R ；周期性：T π=；奇偶性：奇函数单调性：在开区间(,),22k k k Z ππππ-++∈内，函数单调递增.【例1】（青浦区2019年二模7题）函数|sin arcsin |y x x =+的最大值为_______。

【参考答案】sin12π+；【解析】因为sin arcsin x x +是[]1,1x ∈-上的增函数，所以最值是将1代入。

【例2】（徐汇区2019届高三）已知函数sin y x =的定义域是[],a b ，值域是12⎡⎤⎢⎥⎣⎦-1，，则b a -的最大值是___________.1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy xy0 x2sin xcos x cos x的图像关于直线3对称，3则正数arcsin y x =arctan y x =简单三角方程的解集：1111323132313232---+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=∴n n n n n n n a a b403932132132113132313231323132311210321≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++∴-kk k k b b b b401log 32≥∴k ，10≥k ，所以，k 最小值为10.当堂一测1.化简下列各式：(1) )65arcsin(sinπ； (2) )21sin(arccos ； (3) )]1312(cos[arcsin -． 【解析】(1)因为]2,2[65πππ-∉，而]2,2[6πππ-∈，且65sin6sin ππ=， 设a ==65sin 6sin ππ，所以6arcsin )6arcsin(sin )65arcsin(sin πππ===a ．(2)因为,321arccos π=所以23)3sin()21sin(arccos ==π．(3)因为135)1312(1)]1312(cos[arcsin 2=--=-．2.求下列反三角函数的值：(1)1arcsin ； (2))22arccos(-； (3))3arctan(-． 【解析】(1)2π； (2)43π； (3)3π-．3.（宝山区2019年二模9题）如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为2π，若P 为弧AB 上异于,A B 的点，且PQ OB ⊥交OB 于点Q ，当POQ ∆的面积大于38时，POQ ∠的大小范围为_________【答案】,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】()1113sin 11cos sin sin 22248S OP OQ θθθθ===>，则,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4.函数()cos tan f x x x =⋅在区间322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上的图像为（ ）A BC D5. （徐汇区2019年二模17题）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2cos24cos()30A B C +++=.（1）求角A 的大小；（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值. 【答案】（1）3A π=；（2）21b c =⎧⎨=⎩或12b c =⎧⎨=⎩. 【解析】解：（1）由2cos 2+4cos()30A B C ++=，得01)cos(4cos 42=+++C B A ，因为π=++C B A ，所以A C B cos )cos(-=+，故0)1cos 2(2=-A ，所以，21cos =A ，3π=A ．1 2，nS表示limnS．【答案】23．1q，所以1lim1naSq=23．虹口一模文6理6）在等差数列{}na中，a；12.函数()y f x =为定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin 01421114xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()20,f x af x b a b R ++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 。

【参考答案】599----1244⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 【解析】根据函数解析式作图： 设()t f x =，则当0t <时，方程()t f x =，有零个根 当0t =时，方程()t f x =，有1个根 当514t t =≤，0<时，方程有2个根 当514t <<时，方程有4个根 当0t >时，方程有1个根 则有两种情况复合题意： （1）154t =，251,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭与此同时12-a t t =+可得59,24a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭（2）[]10,1t ∈，251,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，同理可得9,14a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭综上可得599----1244⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

13.某中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和图书馆，如图，若设音乐教室在A 处，图书馆在B 处，为测量/A B 两地之间的距离，某同学选定了与/A B 不共线的C 处，构成ABC ∆，以下是测量的数据的不同方案：（1）测量A ∠,AC ,BC ；（2）测量A ∠,B ∠,BC ；（3）测量A ∠,C ∠,B ∠.其中一定能唯一确定A B 两地之间的距离的所有方案的序号（）【A 】（1）（2） 【B 】（2）（3） 【C 】（1）（2）（3） 【D 】（2） 【参考答案】A14.已知n S 是等差数列{}()*n a n N ∈的前n 项和，且56S S <,678S S S =>,则下列结论错误的是（）【A 】67,S S 均为n S 的最大值 【B 】70a = 【C 】公差0d < 【D 】95S S > 【参考答案】D15.函数2sin y x =的定义域为[],a b ，值域为[]-2,1，则b a -的值不可能是（） 【A 】56π 【B 】76π 【C 】53π 【D 】π 【参考答案】C【解析】化简得：1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，5132,266x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，由两端点相减可得：b a -的最大值为86π。