北师大版高中数学必修51.1数列用构造法求数列的通项公式
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用构造法求数列的通项公式
求数列的通项公式是高考重点考查的内容,作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解,体现化归思想在数列中的具体应用
例1:(06年福建高考题)数列{}=+==+n n n n a a a a a 则中12,1,11
( )
A .n 2
B .12+n
C .12-n
D .12+n
解法1:121+=+n n a a
)1(22211+=+=+∴+n n n a a a
又211=+a
21
11=++∴+n n a a {}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列
12,22211-=∴=⋅=+-n n n n n a a ,所以选C
解法2
归纳总结:若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数),则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列,并利用对应项相等求λ的值,求通项公式。
例2:数列{}n a 中,n n n a a a a a 23,3,11221-===++,则=n a 。
解:)(2112n n n n a a a a -=-+++
212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列。
112--=-n n n a a ,(n>1)
n>1时
122
1211
222)()()(211
12211-=--=++++=+-++-+-=-----n n
n n n n n n n a a a a a a a a
显然n=1时满足上式
∴=n a 12-n
小结:先构造{}n n a a --1等比数列,再用叠加法,等比数列求和求出通项公式, 例3:已知数列{}n a 中)3(,32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n 求这个数列的通项公式。 解:2132--+=n n n a a a
)(3211---+=+∴n n n n a a a a
又{}121,7-+=+n n a a a a 形成首项为7,公比为3的等比数列,
则2137--⨯=+n n n a a ………………………①
又)3(3211-----=-n n n n a a a a ,
13312-=-a a ,{}13--n n a a 形成了一个首项为—13,公比为—1的等比数列
则21)1()13(3---⋅-=-n n n a a ………………………②
①+⨯3② 11)1(13374---⋅+⨯=n n n a 11)1(4
13347---+⨯=∴n n n a 小结:本题是两次构造等比数列,属于构造方面比较级,最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。
例4:设数列{}n a 的前项和为n n n n S a S =-22,若成立,(1)求证: {}
12-⋅-n n n a 是等比数列。(2) 求这个数列的通项公式
证明:(1)当 2,)1(2,1111=∴-=-⋅=a a b a b n
又n n n S b a b ⋅-=-⋅)1(2 ………………………①
111)1(2
+++⋅-=-⋅∴n n n S b a b ………………………② ②—① 11)1(2++⋅-=-⋅-⋅n n n n a b a b a b
n n n a b a 21+⋅=∴+
当2=b 时,有n n n a a 221+=+
)2(22)1(222)1(11-+⋅-⋅=⨯+-+=⨯+-∴n n n n n n n n a n a n a
又12111=--a
{}
12-⋅-∴n n n a 为首项为1,公比为2的等比数列,
(2)
1112)1(,22---⋅+=∴=⋅-n n n n n n a n a
小结:本题构造非常特殊,
要注意恰当的化简和提取公因式,本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力,同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。
例5:数列{}n a 满足111232,3++⋅+==n n n a a a ,则=n a
A .n n 2)13(⋅-
B .12
)36(-⋅-n n C .12)12(3+⋅-n n D .12)23(-⋅-n n 解:322,2321111+=∴⨯+=++++n n n n n n n a a a a 232,322111==-∴++a a a n
n n n 又 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∴n n a 2构成了一个首项这23,公差为3的等差数列, 2333)1(2
32-=⨯-+=∴n n a n n 112)36()2
33(22--⨯-=-⋅⨯=n n n n n a 所以选B 。 小结:构造等比数列,注意形n n a 2,当1+→n n 时,变为112
++n n a 。 例6:已知函数)0(,)2()(2≥+
=x x x f ,又数列{}n a 中21=a ,其前n 项和为,n S )(*∈N n ,对所有大于1的自然数n 都有)(1-=n n S f S ,求数列{}n a 的通项公式。 解:2
112)2()(,)2()(+==+=--n n n S S f S x x f 2,211=-∴+=∴--n n n n S S S S
211==a S
{}n S ∴是首项为2,公差为2的等差数列。
22,22)!(2n S n n S n n =∴=-+=。
2≥n 时,24)1(22221-=--=-=-n n n S S a n n n
且当1=n 时,21421-⨯==a 符合条件 ∴通项公式为24-=n a n
例7:(2006山东高考题)
已知21=a ,点(1,+n n a a )在函数x x x f +=2)(的图象上,其中 ,3,2,1=n 求数列{}n a 的通项公式。
解:x x x f 2)(2
+=
又),(1+∴n n a a 在函数图象上 n n n a a a 22
1+=+
221)1(121+=++=++n n n n a a a a
3lg )1lg(,2)1lg()1lg()
1lg(2)1lg(111=+=+++=+∴++a a a a a n n n n {})1lg(+n a 是首项为3lg 公比为2的等比数列
12113lg 3lg 2lg -=⋅=-+n n n a
123
1-=+∴n n a 1312-=-n n a
小结:前一个题构造出n S 为等差数列,并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式,后一个题构造(){}1lg +n a 为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点,因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识,以它的概念与性质为纽带,架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系,从而有效地解决数列问题。
例8:(2007天津高考题)已知数列{}n a 满足n n n n a a a 2)2(,2111⋅-++==++λλλ,
(*
N n ∈)其中0>λ,求数列的通项公式