北师大版高中数学必修51.1数列用构造法求数列的通项公式

合集下载

用构造法求数列的通项公式

用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容;作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解;但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列;之后再应用各自的通项公式求解;体现化归思想在数列中的具体应用例1:06年福建高考题数列{}=+==+n n n n a a a a a 则中12,1,11A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12+n解法1：121+=+n n a a又211=+a{}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列12,22211-=∴=⋅=+-n n n n n a a ;所以选C解法2归纳总结：若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数;则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列;并利用对应项相等求λ的值;求通项公式..例2：数列{}n a 中;n n n a a a a a 23,3,11221-===++;则=n a ..解：)(2112n n n n a a a a -=-+++212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列..112--=-n n n a a ;n>1n>1时显然n=1时满足上式小结：先构造{}n n a a --1等比数列;再用叠加法;等比数列求和求出通项公式;例3：已知数列{}n a 中)3(,32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n 求这个数列的通项公式.. 解：2132--+=n n n a a a又{}121,7-+=+n n a a a a 形成首项为7;公比为3的等比数列;则2137--⨯=+n n n a a ………………………①又)3(3211-----=-n n n n a a a a ;13312-=-a a ;{}13--n n a a 形成了一个首项为—13;公比为—1的等比数列则21)1()13(3---⋅-=-n n n a a ………………………②①+⨯3②11)1(13374---⋅+⨯=n n n a小结：本题是两次构造等比数列;属于构造方面比较级;最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式..例4：设数列{}n a 的前项和为n n n n S a S =-22,若成立;1求证：{}12-⋅-n n n a 是等比数列..2求这个数列的通项公式证明：1当2,)1(2,1111=∴-=-⋅=a a b a b n又n n n S b a b ⋅-=-⋅)1(2 ………………………①111)1(2+++⋅-=-⋅∴n n n S b a b ………………………②②—①11)1(2++⋅-=-⋅-⋅n n n n a b a b a b当2=b 时;有n n n a a 221+=+又12111=--a{}12-⋅-∴n n n a 为首项为1;公比为2的等比数列; 2小结：本题构造非常特殊;要注意恰当的化简和提取公因式;本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力;同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用..例5：数列{}n a 满足111232,3++⋅+==n n n a a a ;则=n aA ．n n 2)13(⋅-B ．12)36(-⋅-n nC ．12)12(3+⋅-n nD ．12)23(-⋅-n n解：322,2321111+=∴⨯+=++++n n n n n n n a a a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n na 2构成了一个首项这23;公差为3的等差数列; 112)36()233(22--⨯-=-⋅⨯=n n n n n a 所以选B.. 小结：构造等比数列;注意形n n a 2;当1+→n n 时;变为112++n n a .. 例6：已知函数)0(,)2()(2≥+=x x x f ;又数列{}n a 中21=a ;其前n 项和为,n S )(*∈N n ;对所有大于1的自然数n 都有)(1-=n n S f S ;求数列{}n a 的通项公式.. 解：2112)2()(,)2()(+==+=--n n n S S f S x x f{}n S ∴是首项为2;公差为2的等差数列.. 22,22)!(2n S n n S n n =∴=-+=..2≥n 时;24)1(22221-=--=-=-n n n S S a n n n且当1=n 时;21421-⨯==a 符合条件∴通项公式为24-=n a n例7：2006山东高考题已知21=a ;点1,+n n a a 在函数x x x f +=2)(的图象上;其中 ,3,2,1=n 求数列{}n a 的通项公式..解：x x x f 2)(2+=又),(1+∴n n a a 在函数图象上{})1lg(+n a 是首项为3lg 公比为2的等比数列小结：前一个题构造出n S 为等差数列;并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式;后一个题构造(){}1lg +n a 为等比数列;再利用对数性质求解..数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点;因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识;以它的概念与性质为纽带;架起函数与数列的桥梁;揭示它们之间内在联系;从而有效地解决数列问题..例8：2007天津高考题已知数列{}n a 满足n n n n a a a 2)2(,2111⋅-++==++λλλ;*N n ∈其中0>λ;求数列的通项公式方法指导：将已知条件中的递推关系变形;应用转化成等差数列形式;从而为求{}n a 的通项公式提供方便;一切问题可迎刃而解..解：)0*,(,2)2(11>∈⋅-++=++λλλλN n a a n n n n,1)2()2(111+-=-∴+++n n n n n n a a λλλλ.. 所以02,1)2()2(1111=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++λλλλλλa a a n n n n n n 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n n a )2(λλ为等差数列;其首项为0;公差为1；例9：数列{}n a 中;若21=a ;n n n a a a 311+=+;则=4a A ．192B ．1516C ．58D ．43 解：31311,3111+=+=∴+=++n n n n n n n a a a a a a a 又⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴=n a a 1,2111是首项为21公差3的等差数列.. 19254624=-⨯=∴a 所以选A 变式题型：数列{}n a 中;n n n a a a a 312,211+==+;求=n a 解：nn n n n n n a a a a a a a 121232311,31211⋅+=+=∴+=++ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴31n a 是首项为25-公比为21的等比数列小结:)(1n n a f a =+且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列;发散之后;两种构造思想相互联系;相互渗透;最后融合到一起..总之;构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式;是求通项公式的重要方法也是高考重点考查的思想;当然题是千变万化的;构造方式也会跟着千差万别;要具体问题具体分析;需要我们反复推敲归纳;从而确定其形式;应该说构造方法的形成是在探索中前进;在前进中探索..。

高中数学第一章由数列的递推公式求通项公式的常用方法拓展资料素材北师大版必修5

由数列的递推公式求通项公式的常用方法一准备知识所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{}n a ，a n 的公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列．数列的前n 项和n S 与通项公式n a 的关系是：1(2)n n n a S S n -=-≥．有些数列不是用通项公式给出，而是用n a 与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：123n n a a +=+，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题．二例题精讲例1．（裂项求和）求222222818281335(21)(21)n nS n n ⨯⨯⨯=+++⨯⨯-⨯+．解：因为2222811(21)(21)(21)(21)n n a n n n n ⨯==--⨯+-+ 所以2222221111111335(21)(21)n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦211(21)n =-+例2．（倒数法）已知数列{}n a 中，135a =，121n n n a a a +=+，求{a n }的通项公式．解：211211+=+=+nn n n a a a a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以35为首项，公差为2的等差数列，即15612(1)33n n n a -=+-=，∴361n a n =-．练习1．已知数列{}n a 中，a 1=1，1121n n n S S S --=+，求{a n }的通项公式．解：21121111+=+=---n n n n S S S S ， ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧nS 1是以1为首项，公差为2的等差数列． ∴n S 1=1+2（n －1）=2n －1，即121n S n =-． ∴1112123n n n a S S n n -=-=---=)32)(12(2---n n ∴1112123n a n n ⎧⎪=⎨-⎪--⎩(1)(2)n n =≥ 例3．（求和法，利用公式1(2)n n n a S S n -=-≥）已知正数数列{}n a 的前n 项和112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式．解：1111112S a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以11a =．∵1n n n a S S -=-， ∴1112n n n n n S S S S S --=-+-∴111n n n n S S S S --+=-，即2211n n S S --=．∴{}2nS 是以1为首项，公差为1的等差数列．∴2nS n =，即n S =∴1n n n a S S -=-=n ≥2）∴n a =例4．（叠加法）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12132n n n S S --⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭（3n ≥），且1231,2S S ==-，求{}n a 的通项公式．解：先考虑偶数项有：S 2n －S 2n －2=－3·1221-⎪⎭⎫⎝⎛nS 2n －2－S 2n －4=－3·3221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 4－S 2=－3·321⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得S 2n －S 2=－3×4114112113-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ，所以21212(1)2n nS n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥．再考虑奇数项有：S 2n ＋1－S 2n －1=3·n221⎪⎭⎫⎝⎛S 2n －1－S 2n －3=3·2221-⎪⎭⎫⎝⎛n……S 3－S 1=3·221⎪⎭⎫⎝⎛将以上各式叠加得22112(1)2nn S n +⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭．所以a 2n +1=S 2n +1－S 2n =4－3×n221⎪⎭⎫ ⎝⎛，a 2n =S 2n －S 2n －1=－4+3×1221-⎪⎭⎫⎝⎛n ．综上所述11143,21432n n n n a n --⎧⎛⎫-⨯⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎛⎫-+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数，为偶数，即111(1)432n n n a --⎡⎤⎛⎫=-⋅-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．例5．（1n n a pa r +=+类型数列）在数列{}n a 中，a n +1=2a n －3，a 1=5，求{}n a 的通项公式．解：∵a n +1－3=2（a n －3）∴{a n －3}是以2为首项，公比为2的等比数列． ∴a n －3=2n∴a n =2n+3．练习2．在数列{}n a 中，a 1=2，且1n a +=，求{}n a 的通项公式．解：2211122n n a a +=+， ∴22111(1)2n n a a +-=-． ∴{a n +12－1}是以3为首项，公比为21的等差数列． ∴a n +12－1=3×121-⎪⎭⎫⎝⎛n，即n a =．例6（1()n n a pa f n +=+类型）已知数列{}n a 中，a 1=1，且113n n n a a --=+，求{}n a 的通项公式．解：（待定系数法）设1133n n n n a p a p --+⋅=+⋅，则1123n n n a a p --=-⋅，与113n n n a a --=+比较可知12p =-．所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-23n n a 是常数列，且13122a -=-．所以3122n n a -=-，即n a =213-n ．练习3．已知数列{}n a 满足21n n S a n +=+，其中n S 是{}n a 的前n 项和，求{}n a 的通项公式．解：∵1n n n a S S -=-， ∴1221n n S S n -=++（待定系数法）设12()(1)n n S pn q S p n q -++=+-+，化简得：21pn p q n ---=+，所以⎩⎨⎧=+-=-12q p p ，即⎩⎨⎧=-=12q p∴2(21)2(1)1n n S n S n -+=--+，又∵11213S a +=+=，∴132S =，11212S -+=， ∴{21}n S n -+是以12为公比，以21为首项的等比数列． ∴1212nn S n ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即1212nn S n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，12122nn n a n S ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭．例7．（1rn n a pa +=型）（2005年江西高考题）已知数列{}n a 各项为正数，且满足11a =，1n a +=)4(21n n a a -． ⑴求证：12n n a a +<<；⑵求{}n a 的通项公式．解：⑴略．⑵211(2)22n n a a +=--+，∴2112(2)2n n a a +-=--，∴2112(2)2n n a a +-=-∴由⑴知20n a ->，所以221221log (2)log (2)2log (2)12n n n a a a +⎡⎤-=-=--⎢⎥⎣⎦，∴212log (2)12[log (2)1]n n a a +--=--，即2{log (2)1}n a --是以1-为首项，公比为2的等比数列， ∴12log (2)112n n a ---=-⨯，化简得11222n n a --=-．练习4．（2006年广州二模）已知函数4444(1)(1)()(1)(1)x x f x x x ++-=+--（0x ≠）．在数列{}n a 中，12a =，1()n n a f a +=（n *∈N ），求数列{}n a 的通项公式．解：4444114441(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++⎛⎫++-+++=⇒== ⎪+-----⎝⎭，从而有1111ln4ln 11n nn n a a a a ++++=--，由此及111lnln301a a +=≠-知：数列1ln 1n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为ln3，公比为4的等比数列，故有11141441131ln 4ln 331131n n n n n n n n n a a a a a ----+++=⇒=⇒=---（n *∈N ）．例8．（三角代换类型）已知数列{}n a 中，12a =，1111n n n a a a --+=-，求{}n a 的通项公式．解：令1tan n a θ-=，则a n +1=1πtantan π4tan π41tan tan 4n a θθθ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-⋅，∴(1)πtan arctan 24n n a -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

构造法求递推数列的通项公式

巧用构造法求递推数列的通项公式蒋明权利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，自从二十世纪八十年代以来，一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。

本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略，希望能抛砖引玉。

一、构造等差数列法例1.在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项公式a n 。

解：对原递推式两边同除以n n n ()()++12可得：a n n a n nn n +++=++12112()()()① 令b a n nn n =+()1② 则①即为b b n n +=+12，则数列{b n }为首项是b a 1111132=+=()×，公差是b b n n +-=12的等差数列，因而b n n n =+-=-3221212()，代入②式中得a n n n n =+-12141()()。

故所求的通项公式是a n n n n =+-12141()() 二、构造等比数列法1.定义构造法利用等比数列的定义q a a n n=+1，通过变换，构造等比数列的方法。

例2.设在数列{a n }中，a a a a n n n 112222==++，，求{a n }的通项公式。

解：将原递推式变形为a a a n n n++=+12222()① a a a n n n+-=-12222()② ①/②得：a a a a n n n n +++-=+-1122222[]，即lg lg[]a a a a n n n n +++-=+-1122222③ 设b a a n n n =+-lg[]22④ ③式可化为a a n n +=12，则数列{b n }是以b 1＝lg[]lg lg()a a 11222222221+-=+-=+为首项，公比为2的等比数列，于是b n n n =+=+-22122211lg()lg()×，代入④式得：a a n n +-22＝()212+n ，解得a n n n=+++-221121122[()]()为所求。

数列构造求通项万能公式

数列构造求通项万能公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

在数学中，数列是非常重要且常见的概念，它不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程等领域也有重要的作用。

在解决数列问题时，可以通过构造数列的通项公式来简化计算和分析，这是一种非常实用的方法。

对于一个数列，通项是指数列中任意一项的公式表示。

通项公式可以帮助我们找到数列的第n项，而不需要逐个计算。

因此，求解数列的通项公式是一项非常有价值的技能。

那么如何构造数列的通项公式呢？首先，我们需要观察数列中的数字之间的规律。

这样可以帮助我们找到数列的通项公式。

在观察过程中，我们可以关注数列中数字的增长规律、相邻数字之间的差异、乘积等等。

举个例子来说明。

考虑以下数列：1, 4, 7, 10, 13, ...。

我们可以观察到，每一项与前一项相差3。

因此，我们可以猜测这个数列的通项公式为an = 3n - 2。

通过验证，我们可以发现这个公式确实满足数列中的每一项。

接下来，让我们看一个更复杂的例子。

考虑以下数列：2, 6, 18, 54, ...。

在观察这个数列时，我们可以发现每一项都是前一项乘以3。

因此，我们可以猜测这个数列的通项公式为an = 2 * 3^(n-1)。

同样地，通过验证我们可以发现这个公式确实满足数列中的每一项。

除了观察规律外，还有一些常见的数列类型可以通过特定的方法求解通项公式。

例如等差数列和等比数列。

对于等差数列，其通项公式可以通过观察相邻数字之间的差异来得到。

假设等差数列的首项为a1，公差为d，那么第n项可以表示为an = a1 + (n-1)d。

通过这个公式，我们可以直接计算等差数列的任意一项。

对于等比数列，其通项公式可以通过观察相邻数字之间的比值来得到。

假设等比数列的首项为a1，公比为r，那么第n项可以表示为an = a1 * r^(n-1)。

同样地，通过这个公式，我们可以直接计算等比数列的任意一项。

当然，不同的数列类型可能有不同的求解方法和通项公式。

数列的通项公式

数列的通项公式数列是数学中常见的一个概念。

在数列中，每个数都按照一定的规律排列，并且数与数之间存在着某种关系。

通项公式是数列中的一个重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。

本文将介绍数列的通项公式以及如何推导通项公式。

一、数列的定义和表示数列是按照一定的规律排列的一系列数。

数列中的每个数叫做数列的项，用a1, a2, a3, ... 表示。

项与项之间的关系可以通过一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式。

二、通项公式的推导方法通项公式的推导方法主要有以下几种：1. 等差数列的通项公式如果数列中相邻两项之间的差值是一个常数d，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的通项公式可以通过以下推导得到：设数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则有：an = a1 + (n-1)d。

这个公式就是等差数列的通项公式。

2. 等比数列的通项公式如果数列中相邻两项之间的比值是一个常数q，那么这个数列就是等比数列。

等比数列的通项公式可以通过以下推导得到：设数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则有：an = a1 * q^(n-1)。

这个公式就是等比数列的通项公式。

3. 其他数列的通项公式除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，其通项公式可以通过其他方法推导得到。

例如斐波那契数列、调和级数等。

三、使用通项公式求解问题通项公式可以帮助我们求解数列中的各种问题，例如确定数列中某一项的值、确定数列中的某些特定项、求解数列中的和等。

通过使用通项公式，我们可以更加简洁地解决这些问题。

四、总结数列的通项公式是数列中的一个重要概念，它可以用来表示数列中任意一项与项号之间的关系。

通项公式的推导方法主要有等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。

通项公式可以帮助我们求解数列中的各种问题，是数列研究中的重要工具。

参考文献：1. 《高等数学》教材；。

用构造法求递推数列的通项公式

于是可得
６一一（３３号一）＋．
再按例１的解法得
＋．）只需要求出．即可构造出新的以Ｐ为＝，ｌｎ：【公比的等比数列．例４（０７年天津文２）２００在数列｛中，ａ）ａ－２ｃ＋－４３＋１求数列的通项ａ．ｌ，１ａ－ｎ，￡
１构造等比数列类型１递推公式形如口＋＝ｐ，－ａ＋ｑｎ ∈Ｎ ≠ １ｐ，，且ｑ不为零．思路可化为口＋一ｔ —Ｐ（）进而ｎ一￡，
１首，一为比等数，以为项以专公的比列所
（）专一一一），（即（１一）１一）丢．（＋
类型２递推公式形如口ｐ ” ・ａ十ｑ，
≠口＂， ∈Ｎｐ／ｌｐ，，：且：ｑ不为零．
构造新数列ｂ＋一ｎ－ｔ即ｂ＋：ｐ是公。，ｂ比为ｐ，首项为ｂ的等比数列．例１（０７年全国２卷理２）２０１已知数列
则ｎ一ｎ＋专专，＝一
所以
导一，，詈得口１一－ｎ１：－＿）一￣１．（ａ
令ｂ一口一１则数列｛是以ｂ＝ｎ一，ｂ）
想转化与化归思想和常见的数学方法构造法，面就通过历年的高考试题予以说明．下
数列是人教版高中数学继函数之后又一重要的内容，是高考的热点之一，也在六道解
解
由ｎ＝

巧用构造法求数列的通项公式

谈学论教高中数学中十分常见.推式的形式多样，且较为复杂，据递推关系式的特点构造出形如等差、项公式的式子，将问题转化为等差、公式问题来求解.这样才能化繁为简.活，造出合适的辅助数列，一、已知a n +1=qa n+p ，求a n对于形如a n +1=qa n +p (p ≠0,q ≠0且q 关系式，在运用构造法求数列{}a n 引入参数λ，设a n +1+λ=q ()a n +λ，关系式列出式子，求出q 、λ的值，列{}a n +λ，求得其首项和公比，通项公式，或运用累乘法求得数列{}a n 例1.在数列{}a n 中，a 1=5，a n +1=3a n -{}a n 的通项公式.分析：首先根据已知递推关系式a n +1=a n +1-λ=q ()a n -λ，通过对比系数求出q 、λ构造出等比数列{}a n -λ，便能求出数列{}a n 的通项公式.解：由a n +1=3a n -4，可得a n +1-2=3(a n ∵a 1=5，∴数列{}a n -2是以a 1-2=3为首项，等比数列，∴a n -2=3n，a n =3n +2，∴数列{}a n 的通项公式为a n =3n+2.二、已知a n +1=qa n +c n，求a n由形如a n +1=qa n +c n的通项公式，需先将递推关系式设为p æèçöø÷a n c n +λ，并求出p 、λ的值，再根据等比数列的通项公式，法，就便能得到数列{}a n 的通项公式.例2.在数列{}a n 中，a 1=32，a n +1=2a n +3n ，求数列{}a n 的通项公式.解：由a n +1=2a n +3n，可设a n +13n +1+λ=p æèçöø÷a n 3n +λ，可得p =23,λ=-1，∴数列{}a n 3n -1是首项为a 13-1=-12，公比为23的等比数列，∵a n 3n -1=-12∙æèöø23n -1=-2n -23n -1，∴a n =-3∙2n -2+3n ，∴数列{}a n 通项公式为a n =-3∙2n -2+3n.解答本题，需首先根据递推关系式的特点，在其左右同时除以3n ，并设递推关系式为a n +13n+1+λ=p æèçöø÷a n 3n +λ，求出p 、λ的值，即可构造出等比数列{}a n3n-1.三、已知a n +1=g ()n a n +f (n )，求a n对于形如a n +1=g ()n a n +f ()n 的递推关系式，也需采用构造法来求数列的通项公式，其解题思路为：①根据g ()n 的特点，在已知递推关系式的两边同除以ϕ()n ，使其变形为形如a n +1ϕ()n +1-an ϕ()n =f ()n ϕ()n 的式子，②令n =1,2,3，…，n -1，将这n -1个式子累加，并进行化简，或根据等差数列的通项公式即可求得数列的通项公式.例3.在数列{}a n 中，a 1=1，a n +1=æèöø1+1n a n +(n +1)∙2n .若b n =an n，求数列{}a n 和{}b n 的通项公式.分析：在已知递推关系式a n +1=n +1n a n +()n +1∙2n的两边同除以n +1，将其变形为a n +1n +1-an n=2n ，构造出等比数列，再运用累加法即可解题.龚海亮谈学论教。

构造法求数列通项

构造法求数列通项
一、构造等差数列法
例1. 在数列{a n}中，，求通项公式a n。

解：对原递推式两边同除以可得：
①
令②
则①即为，则数列{b n}为首项是，公差是的等差数列，因而，代入②式中得。

故所求的通项公式是
二、构造等比数列法
1. 定义构造法
利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方法。

例2. 设在数列{a n}中，，求{a n}的通项公式。

解：将原递推式变形为
①
②
①/②得：，
即③
设④
③式可化为，则数列{b n}是以b1＝为首项，公比为2的等比数列，于是，代入④式得：
＝，解得为所求。

2. （A、B为常数）型递推式
可构造为形如的等比数列。

例3. 已知数列，其中，求通项公式。

解：原递推式可化为：，则数列是以为首项，公比为3的等比数列，于是，故。

3. （A、B、C为常数，下同）型递推式
可构造为形如的等比数列。

例4. 已知数列，其中，且，求通项公式a n。

解：将原递推变形为，设b n＝。

①
得②
设②式可化为，比较得于是有
数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列。

所以，即，代入①式中得：
为所求。

4. 型递推式
可构造为形如的等比数列。

例5. 在数列中，，求通项公式。

解：原递推式可化为，比较系数可得：，
，上式即为是一个等比数列，首项
，公比为。

所以。

即，故为所求。

用构造法求数列的通项公式汇总

用构造法求数列的通项公式汇总构造法是一种在数学中广泛使用的解题方法，特别是在求解数列的通项公式时，我们可以通过构造一些新的数列，将问题转化为已知的问题，从而达到求解的目的。

以下是几种用构造法求数列通项公式的汇总：1.等差数列构造法：对于形如 an+1 = an + d 或者 an+1 = an - d 的递推式，我们可以通过累加法来求通项公式。

即：令n = 0,1,2,n-1，然后将其各项相加，可得：a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + , + [a1 + (n-1)d] = n(a1 + n-1)d。

对于等差数列，我们还可以使用前 n 项和公式求解通项公式：an = Sn - Sn-1。

2.等比数列构造法：对于形如 an+1 = q an 或者 an+1 = an q 的递推式，我们可以通过连乘法来求通项公式。

即：令n = 0,1,2,n-1，然后各项相乘，可得：a1 * a1q * a1q^2 * , * a1*q^(n-1) = a1^n * q^(1+2+,+(n-1))。

3.常见数列构造法：对于形如 an+1 = an^2 或者 an+1 = an^2 + 1 等无法直接求出通项公式的递推式，我们需要通过构造新的辅助数列来求解。

例如，令an+1 + x = (an +x)(an + x)，可以构造出新的等比数列，从而求得通项公式。

对于形如 an+2 = an+1 + an 或者 an+2 = an+1 * an 等无法通过递推直接求出通项公式的递推式，我们可以通过对原式变形，构造出两个独立的等差或者等比数列，从而利用对应的方法求出通项公式。

例如，对于 an+2 = an+1 + an，我们可以令an+2 + an+1 = 2(an+1 + an)，得到一个等差数列；对于 an+2 = an+1 * an，我们可以令an+2 / an+1 = an+1 / an，得到一个等比数列。

(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总

用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。

但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。

而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。

对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。

下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。

例如：}{n a 数列中，若),(411,211N n a a a nn ∈+==+求a n n n nn b b a b ==+1,1则设+4, 即n n b b -+1＝４， n b {∴｝是等差数列。

可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。

练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,22,111+==+n nn a a a a 求a n 通项公式。

3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n . 二．构造形如2n n a b =的数列。

例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+ 解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-, 求数列{ a n }的通项公式。

北师大版高中数学必修五用构造法求数列的通项公式教案

用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用例1:（06年福建高考题）数列{}=+==+n n n n a a a a a 则中12,1,11 ( ) A ．n 2 B ．12+n C ．12-n D ．12+n解法1：121+=+n n a a)1(22211+=+=+∴+n n n a a a又211=+a2111=++∴+n n a a {}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列12,22211-=∴=⋅=+-n n n n n a a ,所以选C解法2归纳总结：若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数），则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列，并利用对应项相等求λ的值，求通项公式。

例2：数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,3,11221-===++，则=n a 。

解：)(2112n n n n a a a a -=-+++212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列。

112--=-n n n a a ，（n>1）n>1时1221211222)()()(21112211-=--=++++=+-++-+-=-----n nn n n n n n n a a a a a a a a显然n=1时满足上式∴=n a 12-n小结：先构造{}n n a a --1等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，例3：已知数列{}n a 中)3(,32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n 求这个数列的通项公式。

解： 2132--+=n n n a a a)(3211---+=+∴n n n n a a a a又{}121,7-+=+n n a a a a 形成首项为7，公比为3的等比数列，则2137--⨯=+n n n a a ………………………①又)3(3211-----=-n n n n a a a a ，13312-=-a a ，{}13--n n a a 形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列则21)1()13(3---⋅-=-n n n a a ………………………②①+⨯3② 11)1(13374---⋅+⨯=n n n a 11)1(413347---+⨯=∴n n n a 小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。

构造法求数列通项

在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法（理科生才作要求），因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。

这里我向大家介绍一种解题方法——构造法求通项公式。

下面仅介绍构造法的四种类型
1、构造等差数列或等比数列（直接构造法）
由于等差数列与等比数列的通项公式我们比较熟悉，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
常见的形如：（待定系数法）m ka a n n +=+1(k 、m 为常数)
2、构造差式与和式（累加法）
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
构造出的差式形如：a n+1-a n = 含n 的表达式（注意系数是相同的）
例1 数列中，，且，（n ∈N*），求通项公式a n .
解：∵
∴
（n ∈N*）
3、构造商式与积式（累乘法）
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
构造出的商式是形如：a n+1／a n = 含n 的表达式
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决. 例2 设正项数列满足，（n ≥2）.求数列的通项公式.
解：两边取对数得：，，设，则
是以2为公比的等比数列，.
，，，
∴
例3 已知数列中，，n≥2时，求通项公式.
解：∵，两边取倒数得.
可化为等差数列关系式.
∴。

用构造法求数列的通项公式的分类和求解方法

用构造法求数列的通项公式的分类和求解方法分类,求解方法重庆市綦江县东溪中学任德辉求数列的通项公式是近几年高考重点考察的内容，两类特殊数列等差数列和等比数列可以根据公式直接求解，还有些特殊数列可用累加法、累乘法等来直接求解，但有些数列却不能直接求解，它们往往要转化为等差、等比数列和其他数列后再运用各自的通项公式求解，从而体现化归思想在数列中的运用，此时可用构造法求解。

所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。

下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分别进行论述。

一、用构造法求数列的通项公式依照构造目标数列的不同可以分为构造等差数列、构造等比数列和构造其他数列。

1.构造等差数列例1、（2022湖北）已知数列{an}的前n项和Snan()12n12(n为正整数），令bn2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式。

解：a11,b121a1122n1∵Snan()12，∴Sn1an1()n22nn1n∴2an1an()等式两边都乘以2得2an12an1，12n即bn1bn1，∴数列{bn}是以1为首项公差为1的等差数列，bn2an=n∴annn2n例2、数列an中，若a12，an1an，则a4（）13anA．21683B．C．D．191554分类,求解方法解：an1an13an11,313anan1anan又1111,是首项为公差3的等差数列。

a12an21156n52(n1)33n,anan2226n5a422所以选A645192.构造等比数列例3、(2022上海)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Snn5an85,nN 证明：{an1}是等比数列并求{an}的通项公式证明：当n1时，a1S115a185，a114,a1115当n2时，Sn1n15an185,∴anSnSn115an5an16an5an11，an15(an11)65的等比数列。

怎么利用构造法求数列的通项公式

怎么利用构造法求数列的通项公式用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。

例1:数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1则an=()a．2nb．2n+1c．2n-1d．2n+1解法1：an+1=2an+1∴an+1+1=2an+2=2(an+1)又a1+1=2an+1+1an+1+1}就是首项为2公比为2的等比数列an+1=2⋅2=2,∴an=2-1,所以选c概括总结：若数列{an}满足用户an+1=pan+q(p≠1,q为常数），则而令an+1+λ=p(an+λ)去结构等比数列，并利用对应项成正比谋λ的值，求通项公式。

例2：数列{an}中，a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an，则an=解：an+2-an+1=2(an+1-an)a2-a1=2∴{an-an-1}领衔项为2公比也为2的等比数列。

an-an-1=2an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a2-a1)+a1显然n=1时满足上式∴an=2-1小结：先构造{an-1-an}等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，基准3：未知数列{an}中a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2,(n≥3)谋这个数列的通项公式。

求解：an=2an-1+3an-2∴an+an-1=3(an-1+an-2)又a1+a2=7,{an+an-1}构成首项为7，公比为3的等比数列，则an+an-1=7⨯3………………………①又an-3an-1=-(an-1-3an-2)，a2-3a1=-13，{an-3an-1}形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列则an-3an-1=(-13)⋅(-1)………………………②n-1n-1+13⋅(-1)①⨯3+②4an=7⨯3小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。

北师大版高中数学必修51.1数列用构造法求数列的通项公式

用构造法求数列的通项公式

高中数学 第一章 由数列的递推公式求通项公式的常用方法拓展资料素材 北师大版必修5

构造法求递推数列的通项公式

数列构造求通项万能公式

数列的通项公式

用构造法求递推数列的通项公式

巧用构造法求数列的通项公式

构造法求数列通项

用构造法求数列的通项公式汇总

(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总

北师大版高中数学必修五用构造法求数列的通项公式教案

构造法求数列通项

用构造法求数列的通项公式的分类和求解方法

怎么利用构造法求数列的通项公式

高中数学第一章由数列的递推公式求通项公式的常用方法拓展资料素材北师大版必修5