北师大版高中数学必修51.1数列用构造法求数列的通项公式

用构造法求数列的通项公式

求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用

例1:（06年福建高考题）数列{}=+==+n n n n a a a a a 则中12,1,11

( )

A ．n 2

B ．12+n

C ．12-n

D ．12+n

解法1：121+=+n n a a

)1(22211+=+=+∴+n n n a a a

又211=+a

21

11=++∴+n n a a {}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列

12,22211-=∴=⋅=+-n n n n n a a ,所以选C

解法2

归纳总结：若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数），则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列，并利用对应项相等求λ的值，求通项公式。

例2：数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,3,11221-===++，则=n a 。

解：)(2112n n n n a a a a -=-+++

212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列。

112--=-n n n a a ，（n>1）

n>1时

122

1211

222)()()(211

12211-=--=++++=+-++-+-=-----n n

n n n n n n n a a a a a a a a

显然n=1时满足上式

∴=n a 12-n

小结：先构造{}n n a a --1等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式， 例3：已知数列{}n a 中)3(,32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n 求这个数列的通项公式。 解：2132--+=n n n a a a

)(3211---+=+∴n n n n a a a a

又{}121,7-+=+n n a a a a 形成首项为7，公比为3的等比数列，

则2137--⨯=+n n n a a ………………………①

又)3(3211-----=-n n n n a a a a ，

13312-=-a a ，{}13--n n a a 形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列

则21)1()13(3---⋅-=-n n n a a ………………………②

①+⨯3② 11)1(13374---⋅+⨯=n n n a 11)1(4

13347---+⨯=∴n n n a 小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。

例4：设数列{}n a 的前项和为n n n n S a S =-22,若成立，(1)求证： {}

12-⋅-n n n a 是等比数列。(2) 求这个数列的通项公式

证明：(1)当 2,)1(2,1111=∴-=-⋅=a a b a b n

又n n n S b a b ⋅-=-⋅)1(2 ………………………①

111)1(2

+++⋅-=-⋅∴n n n S b a b ………………………② ②—① 11)1(2++⋅-=-⋅-⋅n n n n a b a b a b

n n n a b a 21+⋅=∴+

当2=b 时，有n n n a a 221+=+

)2(22)1(222)1(11-+⋅-⋅=⨯+-+=⨯+-∴n n n n n n n n a n a n a

又12111=--a

{}

12-⋅-∴n n n a 为首项为1，公比为2的等比数列，

(2)

1112)1(,22---⋅+=∴=⋅-n n n n n n a n a

小结：本题构造非常特殊，

要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。

例5：数列{}n a 满足111232,3++⋅+==n n n a a a ，则=n a

A ．n n 2)13(⋅-

B ．12

)36(-⋅-n n C ．12)12(3+⋅-n n D ．12)23(-⋅-n n 解：322,2321111+=∴⨯+=++++n n n n n n n a a a a 232,322111==-∴++a a a n

n n n 又 ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∴n n a 2构成了一个首项这23，公差为3的等差数列， 2333)1(2

32-=⨯-+=∴n n a n n 112)36()2

33(22--⨯-=-⋅⨯=n n n n n a 所以选B 。 小结：构造等比数列，注意形n n a 2，当1+→n n 时，变为112

++n n a 。 例6：已知函数)0(,)2()(2≥+

=x x x f ，又数列{}n a 中21=a ，其前n 项和为,n S )(*∈N n ，对所有大于1的自然数n 都有)(1-=n n S f S ，求数列{}n a 的通项公式。 解：2

112)2()(,)2()(+==+=--n n n S S f S x x f 2,211=-∴+=∴--n n n n S S S S

211==a S

{}n S ∴是首项为2，公差为2的等差数列。

22,22)!(2n S n n S n n =∴=-+=。

2≥n 时，24)1(22221-=--=-=-n n n S S a n n n

且当1=n 时，21421-⨯==a 符合条件 ∴通项公式为24-=n a n

例7：（2006山东高考题）

已知21=a ，点（1,+n n a a ）在函数x x x f +=2)(的图象上，其中 ,3,2,1=n 求数列{}n a 的通项公式。

解：x x x f 2)(2

+=

又),(1+∴n n a a 在函数图象上 n n n a a a 22

1+=+

221)1(121+=++=++n n n n a a a a

3lg )1lg(,2)1lg()1lg()

1lg(2)1lg(111=+=+++=+∴++a a a a a n n n n {})1lg(+n a 是首项为3lg 公比为2的等比数列

12113lg 3lg 2lg -=⋅=-+n n n a

123

1-=+∴n n a 1312-=-n n a

小结：前一个题构造出n S 为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，后一个题构造(){}1lg +n a 为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。

例8：(2007天津高考题)已知数列{}n a 满足n n n n a a a 2)2(,2111⋅-++==++λλλ，

（*

N n ∈）其中0>λ，求数列的通项公式