第十一章连续小波变换介绍

时频堆砌 “变焦”功能示意图
宽分析窗
窄分析窗
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小波变换的发展
•地质物理学家J.Morlet提出了分析窗的尺度伸缩和平移概念
•数学家Y.Meyer构造了近似光滑的正交小波基
•S.Mallat提出了多分辨率概念，引出构造正交小波基的一般方法 •I.Daubeices在此基础上构造了著名的Daubeices正交小波基
ˆ() * (a) CWTx (a, ) a IFT x
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频域观察CWT的物理意义
若小波函数的频谱具有带通特性，不同尺度CWT等 效提取信号在不同频带的成份
尺度参数a与模拟角频率参数等效

垐 * (a ) 频域局域化指标为 [ , ] a 2a a 2a
c
ˆ ( ) d
2
c x1 (t ), x2 (t ) WTx1 (a, ), WTx2 (a, )
0
da x 1 (t ), a , (t ) a , (t ), x 2 (t ) d 2 a
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Digital Signal Processing
连续小波变换的频域分析
CWTx (a, ) 1 a


x(t ) * (
t
a
)dt
1
t x(t )* * ( ) a a
1 t ˆ ( ) IFT x FT * ( ) a a t e jt * t * FT ( ) ( ) dt a * (u)e jau du a * (a ) t au a a
连续小波变换的逆变换
x1 (t ) x(t ), x2 (t ) (t u )
x(t ) 1 c


0
da t WT ( a , ) ( )d x a a 2
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小波函数的特性
振荡性
c ˆ ( ) d
例， (t ) (1 t 2 )et
2
/2
t 2 ( a , (t ) 1 ( ) e a
t 2 ) /2 a
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尺度调节对时频相平面的影响
调节尺度可改变分析窗的时、频域分辨率，类似调节显微镜的焦距
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正则性
t au
小波函数的正则性阶次为p时，小波变换中只包含被分 析信号的p阶导数以上的成份 当需要提取被分析信号的快速变化信息时，必须选择正 则性条件高的小波函数
尺度大时，可以观察被分析信号的低频频部分（信号全貌）
尺度小时，可以观察被分析信号的细节或局部
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11．2连续小波变换
连续小波变换的定义
2 信号 x(t ) L ( R)
时域和频域局域化特性的分析窗（小波）函数 (t ) 小波函数尺度伸缩与平移 a, (t ) CWT变换
* a ˆ * [at , ] 2 a 2a
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尺度伸缩平移窗函数的特性
尺度a增加，分析窗时域伸展，带宽变小 尺度a减小，分析窗时域收缩，带宽变大
ˆa , 常数
分析窗的时间——带宽乘积等于常数
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CWTx (a, ) x(t ), a , (t ) 1 a



x(t ) *a (t )dt a 0, x(t ) L2


x(t ) (
t )dt a
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某尺度下CWT的计算过程
某尺度和某位移下的CWT值等于求信号 与小波函数的尺度伸缩平移的相关
2
ˆ ( )
0
(t )dt 0


正则性 小波函数的阶原点距
CWTx (a, ) 1 1 a

M k t k *(t )dt




x(t ) * (
t )dt a
(k ) (t ) k * t )dt x ( ) ( k ! a a k 0 1 x ( k ) ( ) t (t ) k * ( )dt k ! a a k 0
*
*
•尺度大，带宽小，便于精确分析信号中的低频成份 •尺度小，带宽大，便于分析信号中的高频成份
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典型小波函数不同尺度下的频率特性
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连续小波变换的逆变换
Moyal定理
x 1 (t ), x2 (t ) L( R 2 )
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11．1分析窗的尺度伸缩和平移特性
分析窗函数（小波函数）的时域局域化指标
(t ), t ~
[t * 2 , * ˆ 2 ]
分析窗的尺度伸缩平移 1 t a , ( )
a a
尺度伸缩平移窗函数的局域化指标
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第十一章
连续小波变换
短时傅里叶变换必须在时域分辨率和频域分辨之间做折衷 Gabor变换在时频相平面上按固定窗口大小堆砌 理想状态
•既能用短持续时间的窗函数对信号中的快速变化分析
•又能用长持续时间窗函数对信号中的缓慢变化分析
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