第十一章连续小波变换介绍

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小波变换的基本原理和数学模型详解

小波变换的基本原理和数学模型详解一、引言小波变换是一种信号分析的数学工具，可以将信号在时间和频率上进行局部分析。

它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍小波变换的基本原理和数学模型。

二、小波变换的基本原理小波变换的基本原理是将信号分解成不同频率的小波基函数，并通过对这些小波基函数的线性组合来表示原始信号。

与傅里叶变换不同的是，小波变换可以实现信号的时频局部化分析，能够更好地捕捉信号的瞬态特性。

三、小波基函数的选择小波基函数是小波变换的核心，不同的小波基函数对信号的分析效果有所不同。

常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Morlet小波等。

这些小波基函数在时域和频域上具有不同的特性，可以根据具体应用的需求选择合适的小波基函数。

四、小波变换的数学模型小波变换的数学模型可以通过连续小波变换和离散小波变换表示。

连续小波变换是对连续信号进行小波变换，可以用积分来表示。

离散小波变换是对离散信号进行小波变换，可以用矩阵运算表示。

五、连续小波变换连续小波变换的数学模型可以表示为：W(a, b) = ∫f(t)ψ*[ (t-b)/a ] dt其中，W(a, b)表示小波系数，f(t)表示原始信号，ψ(t)表示小波基函数，a和b 分别表示尺度参数和平移参数。

六、离散小波变换离散小波变换的数学模型可以表示为：W(n, k) = ∑f(m)ψ*[ (m-k)/2^n ]其中，W(n, k)表示小波系数，f(m)表示原始信号，ψ(m)表示离散小波基函数，n表示尺度参数，k表示平移参数。

七、小波变换的算法小波变换的计算可以通过快速小波变换算法实现，常用的算法有快速小波变换（FWT）和快速多尺度小波变换（FWMT）。

这些算法可以大大提高小波变换的计算效率，使得小波变换在实际应用中更加可行。

八、小波变换的应用小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。

在信号处理中，小波变换可以用于信号去噪、信号分析等；在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、边缘检测等；在数据压缩中，小波变换可以用于无损压缩和有损压缩等。

连续小波变换

0 -0.2 -0.4
0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
sin(5.89t),
f
t
sin(8.83t), sin(5.89t)
sin(8.83t),
0,
0t 1 1t 2 2t3 t 3
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32
和频率窗 * gˆ , * gˆ 内的局部化信息。
时间-频率窗 t* b g ,t* b g * gˆ , * gˆ 的特性：不变的宽度 2g 和固定的窗面积 4ggˆ
测不准原理：
g gˆ
1 2
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
2
sin 4
4
1 2sin2 4
1
2 3
sin 2
4
3
8 sin 2
4
8 sin 4
4
t Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier分析简介
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力。
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
1
t2 2
2
e 2 1/ 4
1, 5
Gabor 小波
t g t eit
Morlet小波
常用的基本小波
5. 高斯小波
t 1 tet2 /2

连续小波变换核心知识

2.1.1 连续小波变换（1）连续小波基函数所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。

小波函数的数学定义是：设)(t ψ为一平方可积函数，即)()(2R L t ∈ψ，若其傅立叶变换)(ˆw ψ满足： ∞<=⎰dw w w C R 2)(ψψ （2-1）时，则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数，并称式（2-1）是小波函数的可容许条件。

根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点;另一方面，根据可容许性条件可知0)(0==w w ψ，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。

将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a ，平移因子为b ，并记平移伸缩后的函数为)(,t b a ψ，则： 0;,,)(21,≠∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a R b a a t a t b a τψψ （2-2）并称)(,t b a ψ为参数a 和b 小波基函数。

由于a 和b 均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数)(t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。

定义小波母函数)(t ψ的窗口宽度为t ∆，窗口中心为0t ，则可以求得连续小波基函数)(,t b a ψ的窗口中心及窗口宽度分别为：t a t b at t a b a ∆=∆+=τ,0,, （2-3）设)(ˆw ψ是)(t ψ的傅立叶变换，频域窗口中心为0w ，窗口宽度为w ∆，)(t ψ的傅立叶变换为)(,w b a ψ，则有：)()(,aw e a w jwb b a φψ-= （2-4）所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为：w aw w a w b a b a ∆∆1,1,0,== （2-5）由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a 的函数，均随着a 的变化而伸缩，并且还有w t w t b a b a ∆⋅∆=∆⋅∆,, （2-6）即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg 测不准原理。

连续小波变换CWT以及MA LB例程

k
k
k 0
则有：
|
m0
()
|2

(cos2

2
)
N
P(sin
2

2
)
式中，m0 ()
1 2
2 N 1
hk e jk
k 0
3.Mexican Hat(mexh)小波
其函数为Gauss函数的二阶导数：

(t
)

(1

t
2
)e

t2 2
()
2

2e

2
2
4.Morlet小波
2.尺度与频率之间的关系
设a为尺度，fs为采样频率，Fc为小波中心频率，则a对应的实际频率 Fa为
Fa＝Fc×fs/a
(1)
显然，根据采样定理，为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2)，尺度范围应为(2*Fc,inf),其中inf表示为无穷大。在实际应用中，只需取尺度足够大即可。
3.尺度序列的确定
（3）在任何尺度a，时间点τ上，窗口面积
保持不变，也可以说时间、尺度分辨率是
相互制约的，不可能同时得到提高。

（4）品质因素
Q

0
不随尺度变化而变化。
“恒Q性质”：
假设(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； ()的中心为0，有效宽度为D；则a,b(t)提取的是f(t)在窗口[b+at0-aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性质，相应地从频域上说a,b()提取地是F()在窗口[0/aD/(2a), 0/a+D/(2a)]中的性质，因此对于小波来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为 DtD。

连续小波变换

1.时频局部化。即， ˆ 均有限。
2.振荡性。（表征 f的局部频率特性）
“容许性”条件：
若： L , 且满足条件：
2
ˆ ( ) c : d

2
则称为基小波, c 为小波常数。
对“容许性”条件的分析：
1.
"容许性”条件隐含着： ˆ（ 0 ）＝ 0 即： (t)dt 0

小波变换重构定理的一个推广：
令 1, 2是两个基小波， ˆ 1() ˆ 2 () d c1 2 1

则：
－－

1 2 [ f , b,a b,a , g
da db c1, 2 1 f , g 2 a da db 2 a
__________ ______ 2 2 对所有的 f , gL 成立，并且对于 f L 和 f的连续点 x R ，有
1 da f (x) [ W ( f )( b , a ) ( x ) db b,a 2 c a －－

小波重构定理的证明：
da 左端＝ f , g , 2db b , a b , a a －－
,
对小波变换时频窗口的分析：
对小波变换时频窗口的分析：
1 . 小波变换的时频窗口形状仅与参数 a 有关。
2. 时频窗口形状与参数 a的关系。当 a下降时：中心频率上升，当 a上升时：中心频率下降，
频域窗口变宽，时域窗口变窄。
频域窗口变窄，时域窗口变宽。

a
*
a1 a 2
1
1 2 1 2
* , 时域半径为
i t

cwt 小波变换

cwt 小波变换1. 介绍小波变换（Wavelet Transform）是一种用于信号处理和数据分析的数学工具，它可以将信号分解成不同频率的子信号，并提供了对信号在时间和频率上的局部分析能力。

连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是其中一种基本形式。

CWT 是通过将信号与一个母小波函数进行卷积来实现的，这个母小波函数可以进行平移和缩放。

通过调整平移和缩放参数，CWT 可以提供不同尺度下的频谱信息，从而提供了对信号局部特征的多尺度分析能力。

2. 算法原理CWT 的算法原理如下：1.选择一个合适的母小波函数（通常选择具有紧支集、平滑性和可调节性质的小波函数），如 Morlet 小波、Mexican Hat 小波等。

2.对于给定的输入信号 x(t) 和尺度参数 a，计算连续小波系数 C(a, b)：其中 x(t) 是输入信号，ψ(a, t) 是母小波函数在尺度 a 和时间 t 上的形状。

3.对不同尺度参数 a 进行迭代，计算得到一系列连续小波系数矩阵。

4.可以通过对连续小波系数矩阵进行反变换，恢复原始信号。

3. 特点与应用CWT 具有以下特点和应用：•多尺度分析能力：CWT 可以提供对信号在不同尺度下的频谱信息，从而实现多尺度分析。

这使得 CWT 在信号处理、图像处理、模式识别等领域有广泛应用。

•局部特征提取：CWT 可以通过调整母小波函数的尺度参数，实现对信号局部特征的提取。

例如，在音频处理中，可以利用 CWT 提取不同频率范围内的声音特征。

•压缩表示与去噪：CWT 可以将信号分解成不同频率的子信号，并且具有压缩表示的能力。

这使得 CWT 在数据压缩和去噪方面有应用潜力。

•图像处理与边缘检测：CWT 在图像处理中可以实现边缘检测、纹理分析等功能。

通过将图像进行连续小波变换，并根据不同尺度下的系数信息来进行图像分割和特征提取。

•信号识别与分类：CWT 可以提取信号的局部特征，并结合机器学习算法进行信号识别和分类。

连续小波变换的定义

连续小波变换的定义连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是一种数学工具，用于在时域和频域之间转换信号。

它通过将信号与母小波进行卷积来分析信号的频率成分和时域特征。

连续小波变换在诸多领域中得到广泛应用，如信号处理、图像处理、模式识别等。

一、母小波母小波是连续小波变换中的基函数，用于分析信号的局部特征。

母小波必须满足一定的数学条件，其中最重要的是零平均性和正交性。

零平均性要求母小波的积分为零，这样可以排除信号的直流成分。

正交性要求母小波与不同尺度和平移的版本之间具有正交性，以便在不同频率和时间上分析信号。

一些常用的母小波包括Morlet小波、Haar小波以及高斯小波。

每种母小波都有其特定的频率响应和时域特性，适用于不同类型的信号分析。

二、连续小波变换的计算步骤连续小波变换可以通过以下步骤进行计算：1.选择合适的母小波函数。

根据信号的特征选择适合的母小波函数，例如需要较好的时域分辨率时可以选择Morlet小波。

2.对母小波函数进行尺度变换和平移变换。

通过缩放和平移母小波函数，生成在不同时间尺度下的小波函数。

3.将信号与小波函数进行卷积。

对信号和不同尺度下的小波函数进行卷积运算，得到连续小波系数。

4.可选的信号重建。

根据需要，可以通过反向连续小波变换将小波系数重构为原始信号。

三、连续小波变换的特点连续小波变换相比于离散小波变换具有以下特点：1.连续性：连续小波变换可以在时间域上连续地变换信号，不需要进行离散化处理。

这使得连续小波变换对信号的时域特征更加敏感。

2.尺度可调性：连续小波变换可以通过改变母小波的尺度来分析不同频率成分的信号。

不同尺度的小波函数可以捕捉信号在不同频率范围内的变化。

3.多分辨率分析：连续小波变换可以提供多个尺度下的频谱信息，从而实现对信号的多尺度分析。

这有助于对信号中的局部特征进行更详细的分析和处理。

4.良好的时-频局部化特性：连续小波变换可以在时-频平面上对信号进行局部化分析，对信号的瞬时频率和局部时域特征进行更准确的刻画。

第十一章连续小波变换介绍

第十一章连续小波变换介绍
一、简介
连续小波变换(Continuous Wavelet Transform)，是一种处理时间序列信号的数学方法，由发明者Marcel Grossman和Jean Morlet于1986年提出。

它是理想小波变换的推广，也是时频分析的一种技术。

连续小波变换基于一种称为小波函数的正弦余弦函数，可以将一个时间信号分解为由不同频率和频带组成的一系列复合信号。

二、连续小波变换的基本原理
连续小波变换 (Continuous WaveletTransform,CWT)是一种将信号的时间序列变换为小波指数系数的一种变换。

它可以使用单点操作来将一个时间上连续的信号变换为时间上不连续的信号。

信号中的高频分量被窄带保留，而低频分量则被底带宽度突出发挥。

可以使用不同尺度的小波滤波器对信号进行分解和重建，确定信号各分量的能量分布。

三、连续小波变换的应用
(1)音频处理：连续小波变换可以用来处理声音信号，分析和处理噪声，增加音质，增强音量，去掉噪音，等等。

(2)运动控制：连续小波变换可以用来处理运动控制的信号，可以用来控制自动测量装置的稳定性，减少步进电机的抖动，改善舵机控制系统的表现等。

(3)数字图像处理：连续小波变换可以应用于数字图像处理方面，可以用来完成图像质量改善，图像去噪，以及实现视觉特征提取等任务。

K4.03-连续小波变换

从形式上看，小波变换的结果是关于尺度参数和评议参数的函数，因此其图像必然是在尺度-平移平面上展现出来的。
2
2. 小波参数的含义
连续小波变换
3
连续小波变换
图9.3-1 傅里叶变换，STFT和小波变换积分核函数示意图
上图给出了三种变换的积分和函数的示意图。傅里叶变换全局采用三角函数，而短时傅里叶变换则依据不同的信号位置采用了加窗的函数，通过窗函数的位置来获得频率分量的时间信息；小波变换可以在不同位置采用不同尺度的核函数，以此来获得多分辨特性和局部化的分析能力。
11
傅里叶变换是对信号在无限长的时域内进行积分，因而其变换核的时域窗口无限宽，而频域窗口无限窄，从而获得了最精确的频域分辨率。
8
连续小波变换
为了描述三种变换的时间分辨率与频率分辨率的关系，图中的每个矩形块的时间轴的宽度代表了时间窗的宽度，而频率轴的高度代表了频率窗的宽度，需要注意的是，对小波变换而言，一般不使用“频率”而是使用“尺度”进行图示，尺度与频率成反比关系。窗口的宽度（不管是频率窗还是时间窗）表征的是变换结果所覆盖到的（频率或者时间）范围。所有的方块的面积都是非零的，这说明在时频平面内，无法确切地知道某个特定的“点”对应的信息，能知道的只能是这些方块覆盖范围内的信号的变换结果，是一个局部范围的总体信息。
4
连续小波变换
几个代表性的连续小波函数
（1）Mexcian hat wavelet墨西哥帽小波
(t)
1
2
3
t2 e 2 2
t221来自（2）高斯差分小波（3）Morlet小波
(t) e t2 2 1 e t2 8
2
(t )
eiat
et2 2 2

小波变换的原理及使用方法

小波变换的原理及使用方法引言：小波变换是一种数学工具，可以将信号分解成不同频率的成分，并且能够捕捉到信号的瞬时特征。

它在信号处理、图像处理、模式识别等领域有着广泛的应用。

本文将介绍小波变换的原理和使用方法。

一、小波变换的原理小波变换是一种基于基函数的变换方法，通过将信号与一组小波基函数进行卷积运算来实现。

小波基函数具有局部化的特点，可以在时域和频域中同时提供信息。

小波基函数是由一个母小波函数通过平移和缩放得到的。

小波变换的数学表达式为：W(a,b) = ∫ f(t) ψ*(a,b) dt其中，W(a,b)表示小波变换的系数，f(t)表示原始信号，ψ(a,b)表示小波基函数，a和b分别表示缩放因子和平移因子。

二、小波变换的使用方法1. 信号分解：小波变换可以将信号分解成不同频率的成分，从而实现信号的频域分析。

通过选择合适的小波基函数，可以将感兴趣的频率范围突出显示，从而更好地理解信号的特征。

在实际应用中，可以根据需要选择不同的小波基函数，如Haar小波、Daubechies小波等。

2. 信号压缩：小波变换可以实现信号的压缩，即通过保留主要的小波系数，将信号的冗余信息去除。

这样可以减小信号的存储空间和传输带宽，提高数据的传输效率。

在图像压缩领域，小波变换被广泛应用于JPEG2000等压缩算法中。

3. 信号去噪：小波变换可以有效地去除信号中的噪声。

通过对信号进行小波变换，将噪声和信号的能量分布在不同的频率区间中，可以将噪声系数与信号系数进行分离。

然后，可以通过阈值处理或者其他方法将噪声系数置零，从而实现信号去噪。

4. 信号边缘检测：小波变换可以捕捉到信号的瞬时特征，因此在边缘检测中有着广泛的应用。

通过对信号进行小波变换，可以得到信号的高频部分，从而实现对信号边缘的检测。

这对于图像处理、语音识别等领域的应用非常重要。

结论：小波变换是一种强大的数学工具，可以在时域和频域中同时提供信号的信息。

它可以用于信号分解、信号压缩、信号去噪和信号边缘检测等应用。

小波变换基本方法

小波变换基本方法小波变换是一种时频分析方法，它将信号分解为不同频率的组成部分。

它有很多基本方法，以下是其中几种常用的方法。

1.离散小波变换（DWT）：离散小波变换是小波变换最常用的方法之一、它将信号分解为不同的频带。

首先，信号经过低通滤波器和高通滤波器，并下采样。

然后，重复这个过程，直到得到所需的频带数。

这样就得到了信号在不同频带上的分解系数。

这种方法的好处是可以高效地处理长时间序列信号。

2.连续小波变换（CWT）：连续小波变换是在时间和尺度两个域上进行分析的方法。

它使用小波函数和尺度来描述信号的局部变化。

CWT得到的结果是连续的，可以提供非常详细的时频信息。

然而，CWT的计算复杂度较高，不适用于处理长时间序列信号。

3.基于小波包的变换：小波包变换是一种对信号进行更细粒度分解的方法。

它通过在每个频带上进行进一步的分解，得到更详细的时频信息。

小波包变换比DWT提供更多的频带选择，因此可以更准确地描述信号的时频特征。

4.奇异谱分析（SSA）：奇异谱分析是一种基于小波变换的信号分析方法，它主要用于非平稳信号的时频分析。

它通过将信号分解成一组奇异函数，然后通过对奇异函数进行小波变换得到奇异谱。

奇异谱可以用于描述信号在频域上的变化。

5.小波包压缩：小波包压缩是一种利用小波变换进行信号压缩的方法。

它通过选择一个适当的小波基函数和分解层次来减少信号的冗余信息。

小波包压缩可以用于信号压缩、特征提取和数据降维等应用。

以上是小波变换的几种基本方法，每种方法都有其适用的领域和特点。

在实际应用中，可以根据需求选择合适的方法来进行信号分析和处理。

连续小波变换在生物医学信号处理中的应用

连续小波变换在生物医学信号处理中的应用
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是一种非常有用的信号处理技术，它可以用来分析和提取信号中的特征，例如频率、频谱、时间和时间-频率特征等。

在生物医学
信号处理中，连续小波变换可以用来检测和分析心电信号、脑电信号、血压信号、体温信号等生物医学信号。

例如，连续小波变换可以用来检测心电信号中的异常现象，如心律失常、心脏疾病等。

通过对心电信号的小波变换，可以提取出信号的时间-频率特征，从而更好地分析和检测心电信号
中的异常现象。

此外，连续小波变换还可以用来分析脑电信号，从而检测脑部功能的异常，例如睡眠障碍、认知障碍等。

另外，连续小波变换还可以用来检测血压信号中的异常，从而检测心血管系统的异常，例如高血压、心力衰竭等。

此外，连续小波变换还可以用来检测体温信号，从而检测体温异常，例如发热等。

总之，连续小波变换在生物医学信号处理中具有重要的应用价值，它可以用来检测和分析生物医学信号中的异常现象，从而更好地诊断和治疗生物医学疾病。

python 连续小波变换

python 连续小波变换Python 连续小波变换指基于 Python 编程语言的实现和应用，用于延时、相移、滤波、多重分辨等方面的连续波小波变换技术。

该技术应用广泛，涉及信号处理、图像处理、音频处理等领域。

本文将简要介绍Python 连续小波变换的步骤。

1. 导包首先，我们需要从Python 官网下载 PyWavelets，这是一个Python中实现连续小波变换的第三方库。

有了PyWavelets，我们就可以在Python中轻松地实现连续小波变换了。

导入 PyWavelets 库的方式为：import pywt2. 构建小波基函数一般地，连续小波变换使用的小波基函数有两种：一种是 Shannon 小波（dbN），另一种是 Morlet 小波（cmorN）。

这里我们以 db4 为例，用 pywt.Wavelet('db4') 构建一个小波基函数。

wavelet = pywt.Wavelet('db4')3. 进行连续小波变换我们可以使用 Continuous Wavelet Transform (CWT) 函数来实现连续小波变换。

这个函数的输入包括待变换信号 x，小波基函数wavelet，并可以指定其它参数如 scales、wavelet_arguments 等。

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 构造测试信号 N个样本点样本间隔 t，采样频率 1/tN, t = 1024, 0.01f0, f1, f2, f3 = 10, 3, 25, 40x = np.linspace(0.0, N*t, N)signal = np.sin(2*np.pi*f0*x) + np.sin(2*np.pi*f1*x) +\np.sin(2*np.pi*f2*x) + np.sin(2*np.pi*f3*x)# 进行连续小波变换coef, scales = pywt.cwt(signal, np.arange(1, 129),wavelet='db4')# 可视化结果fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))im = ax.imshow(coef, cmap='PRGn', aspect='auto')plt.show()上述代码中，我们构造了一个测试信号 signal，并使用pywt.cwt 函数对其进行连续小波变换，其中 scales 参数为变换尺度，这里我们设置为一个长度为 128 的等差数列。

第十一章连续小波变换剖析精品PPT课件

3
Digital Signal Processing
✓Meyer小波
0 8 / 3 or 0 2 / 3
ˆ ()
e j / 2
1
exp
32 3
(
2
1/ 2
8 / 3 )2 ( 4 / 3 )2
e j / 2
4 / 3
e j / 2
1
exp
4 3
▪时频堆砌 “变焦”功能示意图
宽分析窗
窄分析窗
Digital Signal Processing
▪小波变换的发展 •地质物理学家J.Morlet提出了分析窗的尺度伸缩和平移概念 •数学家Y.Meyer构造了近似光滑的正交小波基
•S.Mallat提出了多分辨率概念，引出构造正交小波基的一般方法 •I.Daubeices在此基础上构造了著名的Daubeices正交小波基
Digital Signal Processing
✓Matlab工具箱中常用小波及其特性比较
Digital Signal Processing
11．3连续小波变换的性质
▪线性性
y(t) x1(t) x2 (t)
▪时移不变性
WTy (a, ) WTx1 (a, ) WTx2 (a, )
✓尺度伸缩平移窗函数的特性 ▪尺度a增加，分析窗时域伸展，带宽变小 ▪尺度a减小，分析窗时域收缩，带宽变大 ▪分析窗的时间——带宽乘积等于常数 ˆa, 常数
Digital Signal Processing
例， (t) (1 t 2 )et2 / 2
a ,
(t)
1
(t
a
)2
( t
ea
Digital Signal Processing

连续小波变换

mk t (t )dt
k

d
k
0
（重新审视）
连续小波变换

小波及连续小波变换常用的基本小波时频分析连续小波变换的计算小波变换的分类
小波及连续小波变换
设函数，则称
ˆ (0) 0 ，即 (t )dt 0 t L1 (R) L2 (R) ，并且
(5)(奇偶性) WP [ Pf ](a, b) (W f )(a,b) 其中P是反射算子(奇偶算子) ( Pf )(t ) f (t ) (6)(反线性性)
(7)(小波平移) (8)(小波伸缩)
(W f )(a, b) (W f )(a, b) (W f )(a, b)
1
2
3
D6尺度函数与小波
常用的基本小波
3、双正交小波双正交B样条小波（5-3）、（9-7）小波滤波器（7-5）小波滤波器:
4 q2 3 p 0 8 q2 2 2 4 q2 5 q2 1 p1 8 q2 2 4 q2 1 p2 16q2 4 2 4 q q2 2 p 3 2 8 q2 q0 1 2q2 1 q1 2
bior2.2, bior4.4
h
1 1 1 3 1 1 , , , , 2 8 2 4 2 8
1 3 3 5 5 5 3 3 , , , , , , 2 16 4 16 2 16 4 16
h
常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次B样条。
pn 2 hn , qn 2hn
ˆ (0) 0 几乎是等价条件. 允许条件与
1 f (t ) c

连续小波变换程序

实验一:连续小波变换实验目的：通过编程更好地理解连续小波变换，从而对连续小波变换增加了理性和感性的认识，并能提高编程能力！通过连续小波变换了解信号中的频率分量。

实验原理：一维连续小波变换公式：()1*2(,)f t b W a b af t dt a ψ+∞--∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰当小波函数()t ψ为实函数时(,)f W a b ()12(,)f t b W a b af t dt a ψ+∞--∞-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰在给定尺度下，对待分析信号()f t 和小波函数()t ψ按照s t nT =，s b nT =进行采样，其中s T 为采样间隔，则小波变换可近似如下：()12()(,)s f s sn n k T W a b T af nT a ψ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ =()12nn k T af n a ψ--⎛⎫∆ ⎪⎝⎭∑对给定的a 值，依次求出不同a 值下的一组小波系数，由于数据采样间隔∆t 为0.03（常量），所以可以把这个系数忽略,并通过公式下面对小波变换矩阵进行归一化处理。

(,)(,)min*255max minm n wfab m n I -=-、实验结果：程序附录：（1）墨西哥小波函数function Y=mexh0(x)if abs(x)<=5Y=((pi^(-1/4))*(2/sqrt(3)))*(1-x*x)*exp(-(x*x)/2);elseY=0;end;（2）实验程序load('data.mat');n=length(dat);amax=70; % 尺度a的长度a=zeros(1,amax);wfab=zeros(amax,n); %小波系数矩阵mexhab=zeros(1,n); % ，某尺度下小波系数for s=1:amax %s 表示尺度for k=1:nmexhab(k)=mexh0(k/s);endfor t=1:n % t 表示位移wfab(s,t)=(sum(mexhab.*dat))/sqrt(s); %将积分用求和代替mexhab=[mexh0(-1*t/s),mexhab(1:n-1)]; %mexhab 修改第一项并右移 endendwfab_abs=abs(wfab);for index=1:amaxmax_coef=max(wfab_abs(index,:));min_coef=min(wfab_abs(index,:));ext=max_coef-min_coef;wfab_abs(index,:)=255*(wfab_abs(index,:)-min_coef)/ext;endfigure(1);plot(dat);title('原始数据图');xlabel('时间')ylabel('幅度')figure(2);image(wfab_abs);colormap(pink(255));title('连续小波变换系数图');xlabel('时间')ylabel('尺度')。

小波分析之连续小波变换

在 f (x) 的连续点处,
da db ∫R ∫R (wψ f )(a, b) ⋅ψ a,b a 2
1 x − b da db −1 2 = ⋅ a ⋅ ∫ ∫ ( wψ f )(a, b) ⋅ψ ( ) 2 R R cψ a a
推论7.1的证明
da db 在∫ ∫ ( wψ f )(a, b) ⋅ ( wψ g )(a, b) 2 R R a = cψ ⋅ ( f , g ) 中, 令g (t ) = δ (t − x), 有 ( f , δ (t − x)) = ∫ f (t )δ (t − x)dt
a
故
T = sup
f ≠0
Tf f
1 1
≤
(b − a ) f f
−1
1
1
= b − a.
另一方面,对满足
n, t ∈ [a, a + n ], f n (t ) = −1 0, t ∈ [a + n , b].
a+n <b
的
−1
n,
定义
故
T = sup
f ≠0
Tf f
1 1
≤
(b − a ) f f
求ห้องสมุดไป่ตู้性算子
T : L [ a, b] → L [ a, b]
1 1
的算子范数.
(Tf )( x) = ∫a
x
f (t )dt.
解
(Tf ) 1 = ∫a ∫a
b
x
f (t )dt dx
b b a a
≤∫
b
a a b
∫
x
f (t ) dtdx ≤ ∫
b a
∫
f (t ) dtdx

连续小波变换及其应用

连续小波变换及其应用连续小波变换及其应用小波变换（Wavelet Transform）是一种信号处理的重要方法，在信号处理、图像处理、模式识别等领域广泛应用。

连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）是一种连续域的小波变换方法，具有多尺度分析的特点。

本文将介绍连续小波变换的基本原理及其在各领域中的应用。

一、连续小波变换的基本原理连续小波变换是将被分析的信号与一组母小波进行卷积，得到不同尺度下的小波系数，从而实现对信号的频率分解和时频分析。

连续小波变换的基本原理是将信号通过与小波函数的卷积操作，实现对信号在时间和频率上的分析。

连续小波变换的数学表达式如下：\[ C(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \psi\left(\frac{t-b}{a}\right)dt \]其中，\[ a \in R^{+} \]为尺度参数，\[ b \in R \]为平移参数，\[ x(t) \]为原始信号，\[ \psi(t) \]为小波函数。

连续小波变换的特点是可以同时观察信号的时域和频域信息，提供了一种更加完备的分析手段。

相较于傅里叶变换，连续小波变换具有多尺度分析的能力，可以在不同尺度上对信号进行分解，对于瞬态信号和非平稳信号具有更好的适应性。

二、连续小波变换的应用1. 信号处理领域连续小波变换在信号处理领域中有着广泛的应用。

在信号分析中，连续小波变换可以对信号的时频信息进行分析，可以用来检测信号的瞬态特征、识别信号的频率成分等。

同时，连续小波变换还可以用于信号去噪、信号压缩、信号特征提取等方面。

2. 图像处理领域连续小波变换在图像处理领域中也具有重要的应用价值。

图像是二维信号，连续小波变换可以对图像的空间域和频率域信息进行分析，可以用于图像的边缘检测、纹理分析、图像增强等方面。

同时，连续小波变换还可以实现图像的压缩和去噪等操作。

第十一章连续小波变换介绍

小波变换的基本原理和数学模型详解

连续小波变换

连续小波变换核心知识

连续小波变换CWT以及MA LB例程

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