人教B版(2019)数学必修(第一册)：1.1.3 集合的基本运算 学案

集合的基本运算
【学习目标】
1．理解两个集合的并集与交集、全集和补集的含义；
2．掌握求两个简单集合的交集与并集的方法；
3．会求给定子集的补集。

【学习重难点】
重点：交集与并集，全集与补集的概念。

难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系。

【知识梳理】
【学习过程】
一、交集
1．情境与问题：
学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：（1）中考的物理成绩不低于80分；（2）中考的数学成绩不低于70分。

如果满足条件（1）的同学组成的集合记为P，满足条件（2）的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合为s，那么这三个集合之间有什么联系呢？
2．交集的定义：
记作：读作：
图形语言：
想一想：如果集合A ，B 没有公共元素，那么它们的交集是
练一练：
1．{1,2,3,4,5}{3,4,5,6,8}=
2．{(,)|0}{(,)|0}x y y x y x ===
3．(5,2),(3,4]A B A B =-=-=，则
4．交集运算的性质: 对于任意两个集合,,A B 都有：
（1）A B B
A = （2）A A A =
（3）A A φφ
φ== （4）如果A B ⊆，则A B A =，反之成立．
5．例1．下列每对集合的交集：
（1）{1,3},B {1,3};A =-=--
（2）{1,3,5,7},D {2,4,6,8};C ==
（3）(1,3],[2,2).E F ==-
解：
归纳方法：
1．
2．
例2．已知{x |x }B={x |x }A =是菱形，是矩形，求.A B
解：
二、并集
1．情境与问题：某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语低于70分的同学参加。

如果记语文成绩低于70分的同学组成的集合为M ，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N ，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P ，那么这三个集合之间有什么联系呢？
2．并集定义：
记作：,A B ，读作“A 并B ”。

图形语言：
练一练：
（1）{1,3,5}{2,3,4,6}= （2）(5,2),(3,4],A B =-=-则A B =
注意：同时属于A 和B 的元素，在A B 中只能出现一次。

3．并集运算的性质: 对于任意两个集合,,A B 都有：
（1）A B =
（2）A A =
（3）A A φφ==
（4）如果A B ⊆，则A B = ，反之也成立。

4．例3 已知区间(3,1),[2,3],A B =-=-求,.A B A B
解：在数轴上表示A 和B ，如图：
由图可得：A B = ，A B =
5．探索与发现
（1）设有限集M 所含元素的个数用()card M 表示，并规定()0card φ=．已知{x |x }B {x |x }A ==是外语兴趣小组的成员，是数学兴趣小组的成员，且()=20card A ， ()=8card B ,(A )=4,card B 你能求出(A )card B 吗？
（2）设,A B 为两个有限集，讨论()card A ()card B ,(A )card B ，(A )card B 之间的关系。

三、补集
1．情境与问题：如果学校里所有同学组成的集合记为S ，所有男同学组成的集合记为M ，所有女同学组成的集合记为F ，那么：
（1）这三个集合之间有什么联系呢？（2）如果x S ∈且x M ∉，你能得到什么结论？
2.（1）全集定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个定的集合为全集，全集通常用U 表示．
（2）补集定义： 记作：,U C A ，读作“A 在U 中的补集”。

图形语言：
（3）练一练： （1）{1,2,3,4,5,6},A {1,3,5},U ==则U C A =
（2）(5,2],A =-则R C A =
（4）补集运算的性质:
给定全集U 及一个子集,A 补集的运算性质有：
（1）(C A)U A =
（2）()U A C A = （3）(C A)U U C = 例4
已知2{|7},A {|7},B {|027},U x N x x U x x U x =∈≤=∈≤=∈<≤求,,U U C A C B
()(),C (A B).U U U C A C B
解：
例5 已知(1,),(,2].A B =-+∞=-∞ 求,.R R C A C B
在数轴表示A 和B ，如图所示：
由图可知：R C A = ，R C B = ．
【自主探究】
给定三个集合,,A B C ，式子(A B)C 的意义是什么？(A C)(B C)呢？画维恩图研究这两个式子之间的关系，并研究(A B)C 和(A C)(B C)之间的关系。

【自我检测】
练习A （教材P19）
【反思小结】
回顾本节课，你有什么收获？
【课后巩固】
作业：教材P19练习B
答案：
一、交集
1．集合S 中的元素既属于集合P ，又属于集合M
2．交集的定义：一般地，给定两个集合A 、B ，由既属于A 又属于B 的所有元素（即A 和B 的公共元素）组成的集合，称为A 与B 的交集．记作：A B ，读作“A 交B ”．
想一想：（空集）
练一练：
1．{1,2,3,4,5}{3,4,5,6,8}={3,4,5}
2．{(,)|0}{(,)|0}x y y x y x ==={(0,0)}
3．(5,2),(3,4]A B A B =-=-=，则(3,2)-
例1．（1）{3}-
（2）φ （3）(1,2) 归纳方法：
1．当已知集合是用列举法表示时，可直接依据定义运算，也可借助Venn 图简化计算；
2．当已知集合是用描述法表示时，可借 助数轴求解。

例2．解：{|}.⋂=A B x x 是正方形
二、并集
1．集合P 中的元素要么属于集合M ，要么属于集合N ．
2．并集定义：一般地，给定两个集合A 、B ，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A 与B 的并集．记作：,A B ，读作“A 并B ”。

练一练：
（1）{1,2,3,4,5,6}（2）(5,4]-
3．并集运算的性质：对于任意两个集合,,A B 都有：
（1）B A （2）A （3）A （4）B
4．经典例题：
例3 由图可得：A B =[2,1)-，A B =(3,3]-
5．探索与发现
（1）(A )card B =24，（2）(A )card(A)card(B)card(A B)card B =+-
三、补集
1．（1）集合M 和F 都是集合S 的子集（2）如果x S ∈且x M ∉，则一定有.x F ∈
2．（2）补集定义：如果集合A 是全集U 的一个子集，则由U 中不属于A 的所有元素组成的集合，称为A 在U 中的补集．记作：,U C A ，读作“A 在U 中的补集”。

（3）练一练：
（1）{2,4,6}（2）(,5](2,)-∞-+∞
（4）补集运算的性质: （1）U （2）φ（3）A
例4
例5 R C A = (,1]-∞- ,R C B =(2,)+∞
【自主探究】
给定三个集合,,A B C ，式子(A B)C 的意义是什么？(A C)(B C)呢？画维恩图研究这两个式子之间的关系，并研究(A B)C 和(A C)(B C)之间的关系。

(A B)C (A C)(B C)=
(A B)C (A C)(B C)=。