第五章 定积分的换元法.
定积分换元法
sqrt{x}$。
练习二：求解微分方程
总结词
将微分方程转化为可积分的定积分形式
详细描述
通过求解微分方程的练习，学生可以学会将微分方 程转化为可积分的定积分形式，进一步利用定积分 换元法求解。
练习题目示例
求解微分方程 $y' = frac{1}{x}$，其中 $y(1) = 2$。
练习三：求解物理问题中的定积分
定积分换元法的应用场景
几何意义
定积分换元法在几何上可用于计算曲线下面积、旋转体体积等问题。通过换元，可以将不规则图形转化为规则图形， 便于计算。
物理应用
在物理问题中，定积分换元法常用于解决与速度、加速度等物理量相关的积分问题，如物体运动轨迹、力做功等问题 。通过换元，可以将物理量之间的关系转化为更易于理解的形式。
根式换元法
总结词
根式换元法是通过引入根式来简化定积分计算的一种方法。
详细描述
根式换元法通常用于处理形如$int frac{1}{sqrt{x}} dx$的积分。通过令$x = t^2$，可以将积分转化为 $int frac{1}{t} dt$，进一步简化计算。
倒代换法
总结词
倒代换法是通过引入倒数变量来简化定积分计算的一种方法。
总结词
运用定积分换元法解决物理问题
详细描述
通过求解物理问题中的定积分的练习，学生可以学会运用定积分换 元法解决实际问题，加深对物理概念和公式的理解。
练习题目示例
求地球同步卫星的高度（已知地球半径和重力加速度）。
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定积分换元法
• 引言 • 定积分换元法的基本原理 • 定积分换元法的实例 • 定积分换元法的注意事项 • 定积分换元法的应用练习
高数《定积分》章节重点--期末重点
1exdx 1ex2dx
0
0
高 3. 积分的导数
变限积分求导公式：
d ( (x) f (t)dt) f ( (x)) (x) f ((x))(x)
dx ( x)
帮
常见题型 1．计算下列各导数:
(1) d x2 1 t3 dt ;
dx 0
解： d x2 1 t3 dt 1 (x2 )3 d (x 2 ) 2x 1 x6 .
帮 （换元法）
解 令 1 e2x =u ，则 u2 1 e2x e2x 1 u2来自 x= 1 ln 1 u2 . 2
数 数 原式
3 2
ud
(
1
ln(1
u
2
))
0
2
0
3 2
u(
1 2
)
2 u 1 u2
du
3 2 0
1
u
2
u
2du
3 2 0
u
2
1
1 u2
1du
.
3
高 高
3 2
x
dx.
（凑微分）
解
原式
0
1
1 cos2
x
d
cos
x
arctan(cos
x)
0
arctan(cos ) arctan(cos 0) ( ) . 4 42
常考题型 3 1 xe2xdx. 0
（分部积分）
帮
数 解
原式 1 2
1 xde2x
0
1 2
xe2 x
1 0
1
帮
lim
x0
x sin t 2dt
0
x3
lim x0
定积分的换元法
0`
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 五十五 分。
六、证明：
a f ( x)dx
a
[ f (x)
f ( x)]dx,
a
0
并求
4
4
1
dx sin
x
.
七、设 f ( x)在 0 , 1 上连续，
证明
2
f
( cos
x
)dx
1
2
f ( cos x )dx.
0
40
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 五十五 分。
40
(1
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
第十三页，编辑于星期六：二十三点 五十五分。
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
3
3
3
三、 1 ln(1 e 1 ).
六、 2.
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 五十五 分。
0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2
0
1
1 cos2
x
d
(cos
x)
2
arctan(cos
定积分的换元法和分部积分法
配元不换限 4
例1 计算 a a2x2dx(a0). 0
解: 令
则 dxaco tdts,且
当 x0时 ,t0;
xa时 ,t2.y
∴
原式 = a 2
2 cos2 tdt
0
y a2x2
a2
2(1co2st)dt
20
S o ax
a2(t1sin2t)
2
定理2 设 u (x ),v (x ) C 1 [a ,b ],则
b
b
u(x)v(x)dxu(x)v(x)
a
a
abu(x)v(x)dx
证明: [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
两端[在 a,b]上积分
证明:
a
f (x)dx
0
f (x)dx
a
f (x)dx
a
a
0
2019/7/22
a
a
0 f (t)dt 0 f (x)dx
令xt
a
0[f(x)f(x)]dx
a
20 f (x)dx,
f(x)f(x)时
0,
f(x)f(x)时
8
二、定积分的分部积分法
【教育类精品资料】
ห้องสมุดไป่ตู้
2019/7/22
1
第六章
第2.2节 定积分的换元法
和分部积分法
不定积分 换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
2019/7/22
2
一、定积分的换元法
定积分的换元法
换元法的步骤
确定换元变量
根据定积分的被积函数和积分限，选择合适 的换元变量。
计算新定积分
将原定积分的积分变量替换为新变量，并计 算新定积分的值。
建立新变量与原变量的关系
根据选择的换元变量，建立新变量与原变量 的关系式。
还原原定积分
将新定积分的值还原为原定积分的值。
换元法的应用范围
简化计算
通过换元法，可以将复杂的定积分转化为简单 的定积分，从而简化计算过程。
解决特殊问题
对于一些特殊形式的定积分，通过换元法可以 找到更有效的求解方法。
推广定理
换元法还可以用于推广某些定积分的定理和性质。
03
定积分的换元法实例分析
三角函数换元法
总结词
通过将自变量替换为正弦或余弦函数，可以将原函数转化为易于积分的三角函数形式。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个角$\theta$，使得$x = \cos\theta$或$x = \sin\theta$，将原函数转化为关 于$\theta$的三角函数形式，再利用正弦或余弦函数的性质进行积分。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个变量$t$，使得$x = e^t$，将原函数转化为关于$t$的指数函数形式 ，再利用指数函数的性质进行积分。
04
定积分的换元法在解题中的应用
利用换元法求定积分
三角换元法
对于形如$\int \sqrt{a^2 - b^2} dx$的 定积分，可以令$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$进行换元，化简为$\int \sqrt{a^2 - b^2} d\theta$的定积分。
06
定积分的换元法的应用前景与发 展趋势
定积分换元法三换原则
定积分换元法三换原则嘿，大家好！今天咱们要聊聊一个看似高深，其实没那么复杂的数学概念——定积分换元法。
大家别怕，这个话题听起来挺吓人，其实它就像我们做饭时换个锅、换个火候一样，适当的调整一下，结果就会变得更好。
尤其是当我们遇到那些复杂的积分式子时，这个“换元法”简直就是一道闪亮的“灵丹妙药”，能把复杂问题变简单。
你看啊，定积分本来就是把一个函数在某个区间上的面积给计算出来，但有些时候这个函数做得太“刁钻”，让你根本看不懂它的“套路”。
这时候怎么办？就要用换元法了。
换元法，说白了，就是你在计算积分的时候，把原本复杂的函数换成一个更简单、你能看懂的函数。
就像是你去超市买菜，看见那些高高的架子上放着难找的调料，换个视角，原来在底下就有更合适的。
你只要掌握了换元的技巧，原本艰涩的积分题目，分分钟就能搞定。
换元法其实有三个小原则。
你如果记住了这三点，简直就是在数学的世界里“走路不怕累，走到哪都能赢”的节奏。
第一条原则就是“变函数”。
你想啊，原来你要计算的函数可能特别复杂，里面有各种各样的三角函数、对数函数，搞得你头大得要命。
那怎么办呢？咱们先换个“元”，把它换成你熟悉的东西。
比如把三角函数换成代数式，或者把根号函数换成平方等等。
你说，生活中的事也是一样，有时候换个角度、换个方法，问题就解决了。
第二条原则是“变积分区间”。
这个听起来可能有点儿玄乎，但其实也不难。
比如你要计算定积分的时候，区间是从A到B，但你换了个元后，可能这个区间就不再是A到B了。
你得适当调整一下，这样才能确保你的积分计算是准确的。
这就好比是你打篮球，原本的场地是半场，但你换了个战术后，得重新跑到全场去，不然怎么得分呢？这个变区间，实际上也是数学里的一种“适应性”，要做的就是灵活应对。
最后一个原则，就是“变微分”。
你看，定积分换元法的精髓之一就在于微积分的微妙转换。
换元时，我们不仅要调整原函数，还要注意到微分项的变化。
简单来说，微分是衡量函数变化快慢的工具，而当你换元后，微分项的形式可能会发生改变，所以你得小心点，得把这些“细节”都搞清楚。
5.3 定积分的换元法和分部积分法
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
定积分换元法
x
x
t
x
f (t )( x − t )dt.
t
证明 :
∫0 [∫0 f (u)du]dt = t ⋅ ∫0 f (u)du 0 − ∫0 t ⋅d[∫0 f (u)du]
=x
x
t
∫0 f (u )du − ∫0 tf (t )dt x x = x ∫ f (t )dt − ∫ tf (t )dt 0 0
7 5 3 1 π 35 = 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π. 8 6 4 2 2 64
例 周期函数的积分性质 6．求下列定积分： 若 30 π f ( x )是以 T为周期的周期函数 , 则
f( （2） 10(1) sin nx dx x ) dx = π
n
∫
n
∫a ∫
a +T
∫0 f ( x)dx;
1
∫
1
∫
1 3 − x4 1 1 2 1 1 − x4 =− x f ′( x)dx = − x e dx = e d (− x 4 ) 0 2 0 4 0
∫
∫
∫
1 − x 4 1 1 −1 = e = (e − 1). 0 4 4
例 14.设f ( x)连续, 证明 :
∫0 [∫0 f (u )du ]dt = ∫0
f ( − x ) g ( x) dx
a
∴∫
=
a −a
f ( x) g ( x)dx = ∫ f (− x) g ( x)dx + ∫ f ( x) g ( x)dx
0 0
a
∫ 0 [ f ( x) + f (− x)]g ( x)dx =∫ 0 Ag ( x)dx =A∫ 0 g ( x)dx.
15第五章定积分(定积分的计算)
[u(x)v(x)] |ba
b
u(x) v(x) dx
a
即
称为定积分分部积分公式.
例1 计算 1 xexdx. 0
解: 设 u(x) x, v(x) ex ,
则 u(x) 1, v(x) ex
原式
xe x
|10
1 exdx
0
e ex |10 1.
例2 计算 解: 原式
3. 广义积分
(3) 当t在区间 [ , ] 上由 变到 时， (t)
单调地从a变到b
b
则 a f (x)dx f [(t)](t)dt.
b
定积分换元法: a f (x)dx f [(t)](t)dt
说明:(1) 当 时，换元公式仍成立 .
(2) 注意换元必换限，且 a ,b ,
同时被积表达式
解
exdx lim
be x dx
lim (ex
b
)
0
b 0
b
0
lim (eb 1) 1. b
dx
例 2 讨论 2 x ln x 的敛散性.
解
dx 2 x ln x
d(ln x) 2 ln x
ln
ln x
,所以
2
dx 2 x ln x
发散.
4.定积分的导数公式
1（ x a
定义１（1） 设函数 f (x) 在[a, ) 上连续.极限
lim b f (x)dx称为 f (x)在[a, )上的广义积分，
b a
记为
b
f (x)dx，即 f (x)dx lim f (x)dx，
a
a
b a
若极限存在，称广义积分收敛；若极限不存在，则
换元法求定积分
换元法求定积分换元法是一种常用的求定积分的方法，它是通过一个变量的变换来将原函数转化成更容易处理的形式，从而求得定积分的值。
换元法通常包括以下几个步骤：1. 找到一个适当的变量替换。
2. 将原函数用新的变量表示，并将其微分。
3. 将变量限制在一个区间内，并将原函数限制为一个函数表达式。
4. 求得积分。
下面我们将详细介绍每一步的具体操作方法。
1. 找到一个适当的变量替换变量替换是换元法的第一步，它往往是根据题目给出的条件或者数学规律来变换的。
一般来说，变量替换应该满足以下几个条件：1. 原函数用新变量表示后应该更容易处理。
2. 新变量的微分应该与已知函数的微分形式相似。
3. 新变量的变换范围应该与原函数的定义域相同或相似。
例如，对于下面这个积分式：$$\int_0^{\pi/2}\sin(x)\cos^3(x)dx$$我们可以根据三角函数的和差公式将$\sin(x)$和$\cos(x)$表示为$\sin(2t)$和$\cos(2t)$的形式，然后采用变量替换$t=x/2$，将原函数转换为：2. 将原函数用新的变量表示，并将其微分在确定变量替换后，我们需要将原函数用新的变量表示。
例如，在上面的例子中，我们将$x$变量替换为$t=x/2$，则有：$$dx=2dt$$3. 将变量限制在一个区间内，并将原函数限制为一个函数表达式在确定了新变量的表示形式后，我们需要将其限制在一个区间内，并将原函数限定为一个函数表达式。
例如，在上述例子中，我们将$t$限定在$[0,\pi/4]$的范围内，将$\sin(2t)\cos^2(2t)$表示为求解的函数表达式。
4. 求得积分最后一步是求解积分。
在变量替换、换元之后，我们可以得到一个新的积分式。
通过该式子我们可以求解积分的值。
$$\int_0^{\pi/4}\sin(2t)\cos^2(2t)dt=\frac{1}{3}\cos^3(2t)|_0^{\pi/4}=\frac{1} {3}$$。
高等数学第五章第三节定积分的换元法和分部积分法课件.ppt
∴
原式 =
3
t
2 1 2
2
t
d
t
1t
1 2
3
1
(t
2
3)
d
t
1(1t3 3t) 3
23
1
例3.
偶倍奇零
(1) 若
则 a a
f
( x) dx
a
20
f
( x) dx
(2) 若
则 a f (x) dx 0 a
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
0 f (t) d t 0 f (x) dx
两端在 [a,b] 上积分
u( x) v( x)
b a
b
a
u(
x)v(
x)
dx
b
a
u(
x)v(
x)
dx
u(x)v(x)
b a
abu(x) v(x) dx
例7. 计算
1 1
解: 原式 = x arcsin x 2 2 00
x dx 1 x2
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
1
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ ,]时， 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t) )
a
或配元
定积分的换元法与分部积分法
1 1 1 1 xf ( 2 x )0 f ( 2 x )dx 2 2 0
1 1 1 f ( 2) f ( 2 x )0 2 4 5 1 f ( 2) f (0) 2. 2 4
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练 习 题1
一、填空题：
1、 sin( x )dx ___________________； 3 3
2、
0
(1 sin 3 )d ________________；
2
3、 0 4、
2 x 2 dx _____________；
2
1 x 5 x 3 sin 2 x dx ________________________ .. 5、 5 4 2 x 2x 1
2 , 3 , t tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
3 4
2 3
1 sec t tan tdt sec t tan t
2
dt . 12
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思考题2解答
1 1 0 xf (2 x )dx 2 0 xdf (2 x )
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
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b
应用换元公式时应注意:
t （1）用 x (t ) 把变量x 换成新变量 时，积分限也
相应的改变.
求出 f [ ( t )] ( t )的一个原函数(t ) 后，不 （2）
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入(t ) 然后相减就行了.
§5.3_定积分的换元法与分部法
2
20
定积分的换元法和分部积分法
3
例
e4
dx
e x ln x(1 ln x)
d( ln x) 1 1 d ln x 2 ln x
3
e4
解 原式
d(ln x)
e ln x(1 ln x)
3
3
e4
d(ln x)
e4 d ln x
2
e ln x (1 ln x)
e 1 ( ln x)2
2 arcsin(
ln x )
3
e4 e
.
6
21
定积分的换元法和分部积分法
a
1
dx (a 0)
0 x a2 x2
解 令 x a sint, dx a cos tdt
x0t0
x a t
2
原式
2
0
a
sin
t
a cost a 2 (1
则
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
N--L公式
由于 d dt
F (t) F(t)(t)t) (t)的原函数, N--L公式
则
f [ (t)](t)dt
F ( )
b
a
所以 f (a b x)dx f (t)(dt)
a
b
b
b
a f (t)dt a f (x)dx
所以，原命题成立。
10
例
计算
4 dx .
0 1 x
解 用定积分换元法.
令
x
t， 则
定积分的换元法和分部换元法课件
分部换元法是一种将定积分转化为几个易于计算的定积分的和或差的方法。
分部换元法的思路
通过将原被积函数分解为若干个易于计算的部分函数，并分别对每个部分函数进行换元，从而将原定 积分的计算转化为简单定积分的计算。
分部换元法的应用范围与限制
应用范围
分部换元法适用于被积函数可以分解为若干个易于计算的部分函数的定积分，以及定积 分的和或差。
换元法的目的是简化积分表达式，使其更易于计算。
常用的换元技巧
根式代换
用根式代换原有的变量， 将积分表达式转化为易于 计算的幂函数积分。
三角代换
用三角函数代换原有的变 量，将积分表达式转化为 三角函数的积分。
倒代换
用倒数代换原有的变量， 将积分表达式转化为易于 计算的幂函数积分。
定积分的换元公式及其应用
分部换元法的进一步研究与应用
理论深化
分部换元法的基础理论还需要进一步深化和完善，例如分部积分 公式的推导和应用等方面需要更加严谨和精细的研究。
应用拓展
分部换元法的应用领域也需要进一步拓展，例如在解决某些特殊类 型的积分和微分方程时可以发挥重要作用。
数值计算
分部换元法的数值计算也需要进一步研究和改进，以提高计算效率 和精度。
对于某些特定的定积分问题，可以通过两种方法的结合使 用，以达到更好的效果。
如何选择合适的解题方法
根据题目特点选择
对于涉及多项式、有理函数的定积分问题，分部换元法 可能更为合适。
对于熟练掌握换元法和分部换元法的同学来说，可以根 据题目的难易程度和个人喜好来选择合适的方法。
对于涉及三角函数的定积分问题，换元法可能更为合适 。
效率。
02
通过使用不同的换元方法，可以将不同类型的定积分
微积分基本公式
π
π 2 e2 x
sin xdx = e + 2 0 e d cosx
2 2x
π
∫
π
2 = eπ + 2[e2 x cos x]0 4∫02 e2 x cos xdx π eπ 2 2x 2 e cos xdx = ∫0 5
π
π
例 计算 解
1 ∫0
1 ∫0
x sin2 xdx.
2
1 1 1 1 1 = [x sin 2 x ]0 + ∫0 sin 2 xdx 4 4 4 1 1 1 1 = sin 2 [cos 2 x ]0 4 4 8 3 1 1 = sin 2 cos 2 8 4 8
∫
0
a
f ( x )dx = ∫ [ f ( x ) + f ( x )]dx
a 0
= ∫ [ f ( x ) f ( x )]dx = 0.
a 0
练习1.计算 练习1.计算 1.
1 ∫1
x cos x dx . 1+ 1 x2
是奇函数， 是奇函数，
解
x cos x Q 1+ 1 x2
原式=0 原式
∫
0
a
f ( x )dx = ∫ f ( t )( dt )
a
0
= ∫ f ( t )dt = ∫ f ( x )dx . 0
0
a
a
②
式中， 把 ② 式代入 ① 式中，得
∫ a f ( x)dx= ∫
a
a
0 a
f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
0
a
= ∫ [ f ( x ) + f ( x )]dx;
定积分的换元法
其中 ( ) a ， ( ) b． 定积分的换元积分公式，也可以反过来使用，即
b
a
f [ ( x)] ( x) d x f (u ) d u ，
其中 u ( x) ，而 ( a ) ， (b) ．
例 求积分 sin 5 x cos x d x ． 解
sin x 1 sin 2 x d x sin x | cos x | d x
0 π 3 2
x x cos ， 0 ， 2 | cos x | cos x ， x 2
sin x cos x d x π sin x( cos x) d x ，
π 2 0 π 2 0 1
令 u sin x ，则 x 0 时 u 0 ， x 时 u 1 ， 2
1
π 2 0
sin 5 x cos x d x sin 5 x(sin x) d x
1 1 6 u du u ． 0 6 0 6
5
2
π 2 0
3 2
π
3 2
π
0
sin 3 x sin 5 x d x
sin x cos x d x π sin x cos x d x
0 2 π 2 3 2 π 3 2
sin x d(sin x ) π sin x d(sin x )
0
π 2
3 2
π
3 2
2 2 4 sin x sin x ． 5 5 0 5
aaຫໍສະໝຸດ f ( x) d x 2 f ( x) d x ；
定积分三角换元法公式
定积分三角换元法公式定积分是高等数学中的一个重要概念，它可以被定义为在一定区间内某个函数的面积。
三角换元法是定积分中的一种常见的积分方法，它可以将一个积分式子转化为一个三角函数的积分式子，从而使得积分更加容易求解。
在本篇文章中，我们将学习定积分三角换元法公式及其应用。
一、三角换元法公式三角换元法公式可以表示为：∫f(x)dx = ∫f(tanθ)sec²θdθ其中，θ是由x和一个常数a确定的角度，即：tanθ=x/asecθ=√(a²+x²)/a在使用三角换元法时，我们需要先将积分式子中的x替换成tanθ，同时将dx替换成dθ。
接着，我们可以将式子中的所有x都用θ表示，然后将其化简为一个三角函数的积分式子。
最后，我们可以使用三角函数的积分公式求解该式子，从而得到最终的积分结果。
二、三角换元法的应用例如，我们要求解如下的定积分：∫(1+x²)^(3/2)dx我们可以使用三角换元法将其转化为：∫(1+tan²θ)^(3/2)sec²θdθ然后，我们可以将式子中的1+tan²θ用sin²θ和cos²θ表示，从而将其化简为：∫cos^4θdθ接着，我们可以使用三角函数的积分公式求解cos^4θ的积分，得到：(3/8)sin(4θ)+(1/2)θ+C我们将θ用x和a表示回来，得到最终的积分结果：(3/8)√(1+x²)^(4)+(1/2)tan⁻¹x+C三、总结三角换元法是定积分中的一种常见的积分方法，它可以将一个积分式子转化为一个三角函数的积分式子，从而使得积分更加容易求解。
在使用三角换元法时，我们需要先将积分式子中的x替换成tanθ，同时将dx替换成dθ。
接着，我们可以将式子中的所有x都用θ表示，然后将其化简为一个三角函数的积分式子。
最后，我们可以使用三角函数的积分公式求解该式子，从而得到最终的积分结果。
第五章定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。
1 2
偶函数
x 4 0 dx 2 1 1 x 2 2 1 x (1 1 x ) 4 0 dx 2 1 (1 x )
1
2
奇函数
40 (1 1 x )dx 4 40
1 2
1
1 x dx
2
4 .
四分之一单位圆的面积
例9
若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明
（2） 求出 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数( t ) 后，不 必象计算不定积分那样再要把( t ) 变换成原 t 的上、下限 变量 x 的函数，而只要把新变量 分别代入( t ) 然后相减就行了.
例2 计算
a
解1 由定积分的几何意义
0
a
a x dx
2 2
y a x
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
b
证
设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a),
(t ) F [(t )],
dF dx f ( x ) (t ) f [(t )](t ), ( t ) dx dt
t cos x, dt sin xdx ,
x 0 0
2
cos 5 x sin xdx