线性代数B-4.3 相似矩阵2015
合集下载
相似矩阵
相似矩阵是矩阵理论中的重要概念，它指的是通过相似变换可以相互转化的矩阵。相似矩阵具有许多重要的性质，其中最显著的是它们的特征多项式相同，从而特征值也相同。这意味着，如果两个矩阵相似，那么它们在很多方面都具有相似的性质和行为。文档重点讨论了相似矩阵与对角阵的关系。对角阵是一种特殊的矩阵，其非对角线元素全为零。许多复杂的矩阵问题都可以通过相似变换转化为对角阵问题，从而大大简化计算。文档详细阐述了什么类型的矩阵能够相似对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P逆AP等于对角阵。同时，也给出了如何判断一个矩阵能否相似对角化的方法。此外，文档还介绍了一些关于相似矩阵的重要定理和推论，如相似矩阵的特征值问题、相似变换的性质等。这些定理和推论不仅深化了对相似矩阵的
线性代数4-3相似矩阵与矩阵对角化
利用矩阵对角化求二次型标准形
矩阵对角化
对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$为对角矩阵，则称A可对 角化。
二次型与矩阵对应关系
对于二次型$f(x_1,x_2,...,x_n)=X^TAX$，其中A为实对称矩阵，若A可对角化， 则存在正交矩阵Q，使得$Q^TAQ=Lambda$，其中$Lambda$为对角矩阵。 此时，二次型的标准形为$f=y_1^2+y_2^2+...+y_n^2$，其中$y=QX$。
利用矩阵对角化求二次型标准形
利用矩阵对角化求二次型标准形的步骤 1. 写出二次型对应的实对称矩阵A； 2. 求出A的特征值和特征向量；
利用矩阵对角化求二次型标准形
01
02
03
3. 将特征向量正交化、单 位化，得到正交矩阵Q；
4. 计算 $Q^TAQ=Lambda$， 得到对角矩阵$Lambda$；
利用相似矩阵简化方程组
相似矩阵定义
若存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称A与B相 似。
相似矩阵性质
相似矩阵具有相同的特征多项式、特征值、行列式、 秩和迹。
简化方程组
通过寻找相似矩阵，可以将原方程组转化为更简单的 形式，从而更容易求解。
求解过程示例
2. 寻找可逆矩阵P，使得 P^(-1)AP=B，其中B为对 角矩阵或更易于求解的矩
不同特征值对应的特征 向量线性无关。
若$lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_k$是矩阵的互 不相同的特征值， $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_k$是分别 对应于这些特征值的线 性无关的特征向量，则 $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_k$线性无 关。
线性代数课件第五章相似矩阵及二次型-第6节
应用三
在矩阵分解和矩阵求逆中，可以利用相似变换将一 个复杂的问题转化为简单的问题，提高计算效率。
03
二次型
定义与性质
二次型是定义在一组数域上的 一个多项式，其最高次项的次 数为2。
二次型具有对称性，即对于任 意实数x和y，有f(y,x)=f(x,y)。
二次型的系数矩阵是对称矩阵 ，即其转置矩阵等于其本身。
定义法
根据特征值的定义，通过解方程组$Ax = λx$来计算特征值和特征向 量。
谱分解法
将矩阵A表示为若干个特征值的线性组合，即$A = λ1P1 + λ2P2 + ... + λnPn$，其中Pn是对应的特征向量组成的矩阵，λn是特征值。 通过求解这个方程组可以得到特征值和特征向量。
特征值与特征向量的应用
答案
01
02
03
04
1. $A^2 = begin{bmatrix} 5 & 0 0 & 5 end{bmatrix}$
2. $B^3 = begin{bmatrix} 2 & -2 -1 & 1 end{bmatrix}$
3. $C^2 = begin{bmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{bmatrix}$，
05
矩阵对角化
矩阵对角化的定义与性质
定义：如果存在可逆矩阵$P$，使得 $P^{-1}AP$为对角矩阵，则称矩阵$A$ 可对角化。
可对角化的矩阵$A$的行列式值等于其 对角矩阵的行列式值。
可对角化的矩阵$A$的秩等于其对角矩 阵的秩。
性质
可对角化的矩阵$A$的特征值都在对角 线上。
矩阵对角化的判定
在求解线性方程组时，如果系数矩阵可对角化，可以利用对角化方法将方程组化为易于求解的形式。
在矩阵分解和矩阵求逆中，可以利用相似变换将一 个复杂的问题转化为简单的问题，提高计算效率。
03
二次型
定义与性质
二次型是定义在一组数域上的 一个多项式，其最高次项的次 数为2。
二次型具有对称性，即对于任 意实数x和y，有f(y,x)=f(x,y)。
二次型的系数矩阵是对称矩阵 ，即其转置矩阵等于其本身。
定义法
根据特征值的定义，通过解方程组$Ax = λx$来计算特征值和特征向 量。
谱分解法
将矩阵A表示为若干个特征值的线性组合，即$A = λ1P1 + λ2P2 + ... + λnPn$，其中Pn是对应的特征向量组成的矩阵，λn是特征值。 通过求解这个方程组可以得到特征值和特征向量。
特征值与特征向量的应用
答案
01
02
03
04
1. $A^2 = begin{bmatrix} 5 & 0 0 & 5 end{bmatrix}$
2. $B^3 = begin{bmatrix} 2 & -2 -1 & 1 end{bmatrix}$
3. $C^2 = begin{bmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{bmatrix}$，
05
矩阵对角化
矩阵对角化的定义与性质
定义：如果存在可逆矩阵$P$，使得 $P^{-1}AP$为对角矩阵，则称矩阵$A$ 可对角化。
可对角化的矩阵$A$的行列式值等于其 对角矩阵的行列式值。
可对角化的矩阵$A$的秩等于其对角矩 阵的秩。
性质
可对角化的矩阵$A$的特征值都在对角 线上。
矩阵对角化的判定
在求解线性方程组时，如果系数矩阵可对角化，可以利用对角化方法将方程组化为易于求解的形式。
4.3 相似矩阵
成立, 则称矩阵A与矩阵B相似，记为A B.
2、相似与等价的关系： 矩阵A与B等价 存在可逆矩阵P,Q，使得 B PAQ 矩阵A与B相似 存在可逆矩阵P，使得 B P1AP
相似必等价；等价未必相似
第4章 相似矩阵及二次型 4
3、性质 定理1 如果n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.
1 0 … 0
P=
(1, …, n)
0 …
2
…
…0 ……
0 0 … n
=(11, …, nn)
(A1, …, An) = (11, …, nn) Ai = ii (i=1,2,…,n)
第4章 相似矩阵及二次型 9
一方面：
若A~ =
1 0 … 0 0 2 … 0
解 A的特征值为： 1 1, 2 3 3
3
1=1的一个特征向量 1 1
3
2= 3=3，解方程(3I－A)X=0，
1
得基础解系： 2
1
1
只有一个线性无关 的特征向量 不可对角化
第4章 相似矩阵及二次型 15
5
1 4
1
,
B
0
0 1
2
,
P
1
5
1 5 ,
P 1
6
1 6
1
6
,
1 6
P1 AP B
所以 A B
第4章 相似矩阵及二次型 3
一、方阵相似的定义及性质
1、概念 设A,B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得
P-1AP =B,
2、相似与等价的关系： 矩阵A与B等价 存在可逆矩阵P,Q，使得 B PAQ 矩阵A与B相似 存在可逆矩阵P，使得 B P1AP
相似必等价；等价未必相似
第4章 相似矩阵及二次型 4
3、性质 定理1 如果n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.
1 0 … 0
P=
(1, …, n)
0 …
2
…
…0 ……
0 0 … n
=(11, …, nn)
(A1, …, An) = (11, …, nn) Ai = ii (i=1,2,…,n)
第4章 相似矩阵及二次型 9
一方面：
若A~ =
1 0 … 0 0 2 … 0
解 A的特征值为： 1 1, 2 3 3
3
1=1的一个特征向量 1 1
3
2= 3=3，解方程(3I－A)X=0，
1
得基础解系： 2
1
1
只有一个线性无关 的特征向量 不可对角化
第4章 相似矩阵及二次型 15
5
1 4
1
,
B
0
0 1
2
,
P
1
5
1 5 ,
P 1
6
1 6
1
6
,
1 6
P1 AP B
所以 A B
第4章 相似矩阵及二次型 3
一、方阵相似的定义及性质
1、概念 设A,B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得
P-1AP =B,
4.3 相似矩阵
即
5 1
a b
3 2
1 1
1 1
，
解之得1 a3 b0.
上页 下页 返回
小结
相似矩阵的定义
设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使 P1APB
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵. 注: 相似一定等价；或相似关系一种特殊的等价关系.
如果n阶矩阵A有n个线性无关的特征向使得Apii pi (i1 2 n).
于是(Ap1 Ap2 A pn) (1p1 2p2 n pn)
1
所以A(p1
对于232 解方程
得基础解系
(A2E)x0 p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T
所以对应于232的全部特征向量为k2p2k3p3(k2,k3不同时为0).
上页 下页 返回
例3.1
讨论
A
2 0
4
1 2 1
031
能否对角化?若能,把它对角化.
问题1:一个n阶矩阵A能否对角化？ 问题2:如何寻求可逆矩阵P 使P1AP为对角阵？
上页 下页 返回
三、方阵与对角阵相似的条件
一个n阶矩阵A能否对角化？如何寻求可逆矩阵P 使
P1AP为对角阵？
设P1AP 其中P(p1 p2 pn) diag(1 2
设n阶矩阵A与B相似 则有可逆矩阵P 使P1APB.
上页 下页 返回
二、相似矩阵的简单性质
设A B都是n阶矩阵 P1APB , 则A PBP1 ,
于是 Ak (PBP1 )k PBP1 PBP1 …PBP1 PBkP1 .
k个
4.3 相似矩阵
2
相似矩阵具备如下等价关系：
(1)反身性 A与A本身相似. A E 1 AE
( 2 )对称性 若A与B相似, 则B与A相似.
1 B P AP , P可逆 A ~ B
A P
1
1
B P 1 , P 1可逆
( 3 )传递性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
1 1 0 A 0 2 1 . 0 0 3
问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆矩阵 P 和 对角矩阵 , 使 P-1AP = . 解： 矩阵 A 的特征多项式为 1 1 0 |A E| 0 2 1 (1 )( 2 )( 3 ), 0 0 3
19
当 3 3
2 1 0 1 2 0 1 r （ 2 ） r r 1 2 1 A 3E 0 1 1 即： 0 1 1 0 r1 （1） 0 0 0 0 0 0 0 1 x1 2 x3 基础解系为： p2 得方程组 x2 x3 x x 3 3 所以 p3 是对应于 3 3 的特征向量.
即 A p1 , p2 , , pn p1 , p2 , , pn 令P ( p1 , p2 , , pn ), n
p1 , p2 , pn线性无关， P 0,
即P可逆
1 2 1 1 P AP ( p1 , p2 , , pn ) p1 , p2 , , pn n
由 P 1 AP , 得AP P ,
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn
于是有 Api i pi
线性代数习题4.3相似矩阵与矩阵的对角化 (1)
线性代数
2 1 0 1 0 0 0 1 0 E A 4E A 2 1 0 时， x1 0 1 0 0 0 0 0
首页
上一页
下一页
返回
结束
2 3 4
§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
线性代数
首页 上一页 下一页 返回 结束
§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
1 1 P AP
2
n
其中1 , 2 ,...,n 要和 1 , 2 ,..., n 对应。 四、相似矩阵的应用 我们可以利用相似矩阵求矩阵的高次幂.求一 般矩阵的高次幂比较困难，而对角矩阵的高次 幂却很简单
线性代数
首页
上一页
下一页
返回
结束
§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
通过以上的例子，得到矩阵对角化的步骤： ⑴求矩阵 A 的全部特征根 1 , 2 ,..., （重根写重数） n ⑵对不同的 i 求 (i E A) X 0 的基础解系（基础解系的每个特征向量都可作 为相应的 i 所对应的特征向量； ⑶若能求出 n 线性无关的特征向量， 则以这些特征向量为列向量，构成可逆矩阵 p 1 2 ... n 则有
线性代数
首页 上一页 下一页 返回 结束
2 0 2 1 , 3 0 0 1
是方阵 A 的对应于
§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
1 1 1 1
A 可对角化。
（2）设
2 0 2 1 , 3 0 0 1
线性代数
首页 上一页 下一页 返回 结束
§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
2 1 0 1 0 0 0 1 0 E A 4E A 2 1 0 时， x1 0 1 0 0 0 0 0
首页
上一页
下一页
返回
结束
2 3 4
§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
线性代数
首页 上一页 下一页 返回 结束
§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
1 1 P AP
2
n
其中1 , 2 ,...,n 要和 1 , 2 ,..., n 对应。 四、相似矩阵的应用 我们可以利用相似矩阵求矩阵的高次幂.求一 般矩阵的高次幂比较困难，而对角矩阵的高次 幂却很简单
线性代数
首页
上一页
下一页
返回
结束
§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
通过以上的例子，得到矩阵对角化的步骤： ⑴求矩阵 A 的全部特征根 1 , 2 ,..., （重根写重数） n ⑵对不同的 i 求 (i E A) X 0 的基础解系（基础解系的每个特征向量都可作 为相应的 i 所对应的特征向量； ⑶若能求出 n 线性无关的特征向量， 则以这些特征向量为列向量，构成可逆矩阵 p 1 2 ... n 则有
线性代数
首页 上一页 下一页 返回 结束
2 0 2 1 , 3 0 0 1
是方阵 A 的对应于
§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
1 1 1 1
A 可对角化。
（2）设
2 0 2 1 , 3 0 0 1
线性代数
首页 上一页 下一页 返回 结束
§4.3 相似矩阵与矩阵的对角化
线性代数PPT课件：相似矩阵与二次型 第3节 相似矩阵
的矩阵又是对角矩阵，所以下面要讨论的主要问
题是： 对 n 阶矩阵 A ，寻求相似变换矩阵 P，使
P–1AP = 为对角矩阵． 如果 n 阶矩阵 A 能相似
于对角矩阵，则称矩阵 A 可对角化．
4.3.2 矩阵可对角化的条件
定理 4.3.2 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵
的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.
第 4.3 节
相似矩阵
相似矩阵的概念
相似矩阵的性质
可对角化的条件
4.3.1 相似矩阵的概念
定义4.3.1 设 A , B 为 n 阶矩阵, P 为 n 阶可
逆矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
例3 设
0 1 1 A 1 0 1 , 1 1 0
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
相似矩阵具有下列的性质：下设A，B 是同
阶矩阵.
性质4.3.1 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
detA = detB .
性质4.3.2 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 且矩阵
A可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
性质4.3.3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
(1) 问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆 矩阵 P 和对角矩阵 , 使 P-1AP = . (2) 使 P-1AP = 成立的 P 、 是否唯一， 举例说明.
例 2 设
0 0 1 A 1 1 x , 1 0 0
线代课件-相似矩阵
【答】 特征值为：-1,4,1；
1
相似对角阵为
4
1
.
1 1 1
【例
5】设
A
x 3
4 3
y 5
，已知
A有
3
个线性无关特征向量，
2是 A的二重特征值，求可逆阵 P ，使得 P1AP为对角阵.
【答】 特征值为：2,2,6；
x 2, y 2,
1
P
1 0
1 0 1
1
2
2 3
,
P
1 AP
则 E B ．
答案 -6．
三.相似對角化問題 （方陣何時與對角陣相似）
【定义 2】 对n阶方阵 A，若存在可逆阵 P ，使
1
P1AP
2
diag(1
,
2
,
n
则称方阵 A可相似对角化.
,n )，
【注 2】若A与B相似，则 Ak与Bk相似, A的多项式 g( A)与B的多项式 g(B)相似.
【注 3】若A与相似，则 Ak与k相似，从而可以简便计算 Ak .
【定理 2】n阶方阵 A可相似对角化的充分必要条件是
A有n个线性无关的特征向量.
分析：若A可對角化 ，則
1
P 1
AP
2
n
AP
1
1
P
2
n
A(P1 , P2 , ...,
Pn )
(P1 ,
P2 , ...,
Pn
)
2
2
.
6
§5.3 相似矩陣
2012-10-12
74-<#>
一. 相似矩陣定義
【定义 1】 设 A, B为n阶矩阵，若存在可逆阵 P 使 P1AP B， 则称 A与B相似.
线性代数课件第五章相似矩阵及二次型-习题课
解答题
证明二次型经过可逆线性变换后，其标准型不变 。
综合练习题
选择题
给定矩阵A和B，判断以下哪些说法是 正确的？
解答题
求矩阵A的特征值和特征向量，并判断 A是否可对角化。如果可对角化，求出 相似对角矩阵。
THANK YOU
感谢聆听
• 解析：首先，我们需要找到矩阵$A$的特征值和特征向量。通过计算，我们得 到特征值$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2$，以及对应的特征向量$\alpha_1 = (1, -1)^T, \alpha_2 = (1, 1)^T$。然后，我们构造矩阵$P = (\alpha_1, \alpha_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 \end{pmatrix}$，并验证$P^{1}AP = B$。
线性代数课件第五章相似矩阵 及二次型-习题课
目
CONTENCT
录
• 相似矩阵的定义与性质 • 二次型的定义与性质 • 习题解析与解答 • 解题技巧与注意事项 • 课后练习与巩固
01
相似矩阵的定义与性质
定义与性质
相似矩阵的定义
如果存在一个可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=B$，则称矩阵A与B相 似。
100%
特征值问题
在解决特征值问题时，可以利用 相似变换将原矩阵转化为易于计 算的形式。
80%
数值计算
在数值计算中，可以利用相似变 换来加速计算过程和提高计算精 度。
02
二次型的定义与性质
二次型的定义
二次型是线性代数中的一种重要概念，它是一个多 项式函数，其自变量是一组向量，因变量是一个标 量。
综合习题解析
题目
证明二次型经过可逆线性变换后，其标准型不变 。
综合练习题
选择题
给定矩阵A和B，判断以下哪些说法是 正确的？
解答题
求矩阵A的特征值和特征向量，并判断 A是否可对角化。如果可对角化，求出 相似对角矩阵。
THANK YOU
感谢聆听
• 解析：首先，我们需要找到矩阵$A$的特征值和特征向量。通过计算，我们得 到特征值$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2$，以及对应的特征向量$\alpha_1 = (1, -1)^T, \alpha_2 = (1, 1)^T$。然后，我们构造矩阵$P = (\alpha_1, \alpha_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 \end{pmatrix}$，并验证$P^{1}AP = B$。
线性代数课件第五章相似矩阵 及二次型-习题课
目
CONTENCT
录
• 相似矩阵的定义与性质 • 二次型的定义与性质 • 习题解析与解答 • 解题技巧与注意事项 • 课后练习与巩固
01
相似矩阵的定义与性质
定义与性质
相似矩阵的定义
如果存在一个可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=B$，则称矩阵A与B相 似。
100%
特征值问题
在解决特征值问题时，可以利用 相似变换将原矩阵转化为易于计 算的形式。
80%
数值计算
在数值计算中，可以利用相似变 换来加速计算过程和提高计算精 度。
02
二次型的定义与性质
二次型的定义
二次型是线性代数中的一种重要概念，它是一个多 项式函数，其自变量是一组向量，因变量是一个标 量。
综合习题解析
题目
线性代数第4章相似矩阵及二次型课件
则1,2 ,3 两两正交.
四、正交矩阵
定义 6 如果 n 阶矩阵 满足 T E 即1 T , 那么称 为正交矩阵，简称正交阵.
定理 2 设矩阵 是 n 阶方阵，则下列结论等价：
1 是 n 阶正交阵； 2 的列向量组是 n 的一个规范正交基； 3 的行向量组是 n 的一个规范正交基.
0 0 3
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
解 矩阵 A 的特征多项式为
1 0 0
A E 0 2 0 1 2 3 ,
0 0 3
所以 A 的全部特征值为 1 1 , 2 2 , 3 3.
由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素.
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
1 1
1 2
11，
3 应满足齐次线性方程组 Ax 0， 即
1 1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0 0
，
对系数矩阵 A 实施初等行变换，有
A
1 1
1 2
1 1
1 0
1 3
1
0
1 0
0 1
01，
得
x1 x2
x3 0
，
从而有基础解系
1 0 1
.
1
取3
0
1
，则3 为所求.
正交矩阵具有如下性质：
(i) 若 A 为正交阵,则 A1 AT 也是正交阵，且 A 1或 1；
(ii) 若 A 和 B 都是正交阵，则 AB 也是正交阵.
定义 7 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px 称为正交变换. 设 y Px 为正交变换， 则有 y yT y xTPTPx xT x x . 因此正交变换保持向量的长度不变.
《线性代数(修订版)》教学课件 4.3 相似矩阵与方阵可对角化的条件
证明 因为 A与对角阵 相似，而
是
的 n个特征值，由定理，A 的 n个特征值也应该是
同时，它们也是 A的特征方程 f (λ) 0 的解，因此有 f (λi ) 0(i 1, 2, , n).
由相似的定义，存在可逆矩阵P, 使 P 1 AP diag( λ1 , λ2 , , λn ),
于是有 Api λi pi i 1, 2, , n .
由于P 可逆，知 p1, p2 , , pn 线性无关，即 A
有n 个线性无关的特征向量 p1 , p2 , , pn .
必要性 设 A有n个线性无关的特征向量
p1 , p2 , , pn , 其对应的特征值分别为 λ1 , λ2 , , λn ,
13 21
10
16
由定义，A 与 B相似，A 与C 也相似. 由此可知，与A 相似的矩阵不是唯一的，也未必
是对角阵，但可以适当选取 P使 P1 AP 成为对角阵.
相似矩阵的性质
（1）反身性：A 与A相似.
（2）对称性：若A与 B相似，则B与 A相似.
（3）传递性：若A与 B相似， B与C相似，则 A与 C 相似.
A还是能对角化．
例 判断下列矩阵是否相似于对角矩阵？
若相似，则求出可逆矩阵P, 使 P1 AP 是对角阵.
1 1 2
(1)
A
0
1
0 ;
0 0 1
解 （1）求特征值：
2 1 1
(2)A
0
2
0
.
4 1 3
1 λ 1 2
A λE 0 1 λ 0 1 λ3 ,
0 0 1 λ
故A的特征值为 λ1 λ2 λ3 1, 且A不相似
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相同，
线性代数b-4.3相似矩阵-交通物流地理
CHAPTER 06
未来展望与研究方向
人工智能与线性代数的结合
人工智能算法
利用线性代数知识，优化人工智能算 法中的矩阵运算，提高算法效率和准 确性。
深度学习框架
基于线性代数理论，开发更高效的深 度学习框架，降低计算复杂度，加速 模型训练和推理过程。
大数据在交通物流领域的应用
数据处理与分析
利用线性代数对大规模交通物流数据进行处理和分析，挖掘数据中的潜在规律和价值。
随着全球化和区域经济的发展，交通物流地理在现代社会中 发挥着越来越重要的作用，对相似矩阵的研究有助于更好地 理解和应用交通物流地理知识。
线性代数与交通物流地理的关系
线性代数是数学的一个重要分支，为交通物流地理提供了 数学工具和理论基础，相似矩阵作为线性代数中的重要概 念，在交通物流地理中有着广泛的应用。
数学模型建立
交通流预测模型
利用线性代数建立交通流预测模型，通过历史数 据和线性方程组求解未来交通流量。
物流优化模型
利用线性代数构建物流优化模型，通过线性规划 求解货物运输路径、成本和时间最优化问题。
网络流模型
利用线性代数建立网络流模型，描述网络中资源 的最优分配问题，如货物配送、人员流动等。
数据处理与分析
线性代数B-4.3相似矩 阵-交通物流地理
CONTENTS 目录
• 引言 • 相似矩阵的定义与性质 • 相似矩阵在交通物流地理中的应用 • 线性代数在交通物流地理中的重要性 • 案例分析 • 未来展望与研究方向
CHAPTER 01
引言
主题背景
交通物流地理是研究交通网络、物流运输和地理信息系统的 综合性学科，旨在优化物流运输和提高交通网络的效率。
数据降维
线性代数中遇到求相似矩阵的题目怎么做，利用相似矩阵的性质
线性代数中遇到求相似矩阵的题目怎么做，利用相似矩阵的性
质
展开全文
相似矩阵，顾名思义，就是指存在相似关系的矩阵
一般来说，我们设A、B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B
那么我们就称A、B为相似矩阵
那么相似矩阵有哪些特性呢
一、反身性，A和A相似，那当然，A本来就是A，怎么可能不相似呢
二、对称性，这个也不用考虑太多，A和B相似，那B当然和A 相似了
三、传递性，如果矩阵A和矩阵B相似，矩阵B又和矩阵C相似，那自然而然矩阵A和矩阵C相似
四、如果A和B相似，那么两者的秩、行列式的值都是相等的
五、也是比较重要的一点，两个矩阵相似，说明两个矩阵的特征值相等
话不多说，先给出一道实际例题来理解一下
图一
类似这道题，给出三个矩阵，让你判断这些矩阵是否相似
那么正如我在图中标出的那样，判断矩阵相似的关键点就在于特征值、特征向量和齐次方程组
为什么我会提到齐次方程组，原因有两点
其一，这三个矩阵的特征值都相等，那么就不能够简单的按照特征值来判断，要借助特征向量
其二，既然要借助特征向量，那么就要用到齐次方程组来求解，形如(2E-A)x=0这种
如图所示，就是详细的解释
图二
除了这道题，我还想给出另外一道题，也是特征值都相等的情况下，让我们判断矩阵是否相似
而且这道题有一个特殊之处，在于这些矩阵都不能够相似对角化这种题目就比较麻烦了，是只能够通过判断有几个线性无关的特征向量来解决了
图三
总的来说，判断矩阵是否相似，关键在于基础部分，特征值和特征向量尤其重要，注意！。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性代数
§4.3 相似矩阵
§43 相似矩阵
矩阵之间的一种特殊的等价关系——相似 一、相似矩阵的概念 二、相似矩阵的简单性质 三、方阵与对角阵相似的条件 （两个充要条件、一个充分条件）
一、相似矩阵的概念
相似矩阵的定义 设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使P1APB
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵
二、相似矩阵的简单性质
性质1 相似矩阵的特征多项式相同，特征值也相同. 证 因此 |BE||P1APE| |P1APP1(E)P| |P1(AE)P| |P1||AE||P| |AE| 即A与B有相同的特征多项式 设n阶矩阵A与B相似 则有可逆矩阵P 使P1APB
1 2 . 2
0 0 1 补充例2 设 A 1 1 x 问x为何值时 矩阵A能对角化？ 1 0 0 0 1 解 | A E | 1 1 x ( 1)2 ( 1) 1 0 得11 231 矩阵A可对角化的充要条件是 对应重根231 有特征值1的重数2等于n-r=3－r(A1×E) 1 0 1 r 1 0 1 因为 A E 1 0 x ~ 0 0 x 1 由 1 0 1 0 0 0 所以当x1时 r(AE)1 此时矩阵A能对角化
|P1||P|=1
二、相似矩阵的简单性质
性质2 相似矩阵的秩相等. （等价矩阵的秩相等.） 性质3 相似矩阵的行列式相等. （如n阶方阵A和B相似，则P1APB , 即|P1AP| |P1| |A| |P| =|B |，故|A| =|B |.) 性质4 相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的 逆矩阵也相似。 |A| =|B |,故如果|A| ≠0,则|B| ≠0, 如n阶方阵A和B相似，则P1APB , 即B1= (P1AP) 1= P1A 1 (P 1 ) 1 = P1A 1 P , 即A 1和B 1相似.
二、相似矩阵的简单性质
设A B都是n阶矩阵 如P1APB , 则A PBP1 ,
于是 Ak (PBP1 )k PBP1 PBP1 …PBP1
k 1 k
PBkP1
k个
若B为对角矩阵, 有
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵
对 A 进行 P1AP运算称为对 A进行相似变换，称可逆矩阵 P为 相似变换矩阵 注: 相似一定等价；相似关系是一种特殊的等价关系. 相似满足下列性质 ( 1) 自反性 A与A相似 E1AEA ( 2) 对称性 若A与B相似 则B与A相似 P1APB => APBP1 ( 3) 传递性 若A与B相似 B与C相似 则A与C相似
2）求特征向量.
练习P123:5(2)1 0 0 1 1 0 1 r2 r3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 x1 x4 , x4是自由未知量） x2 x4 （ x x 4 3
三、方阵与对角阵相似的条件
定理2(充分必要条件) n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件 是A有n个线性无关的特征向量 推论(充分条件) 若n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A与对角阵相似 定理3(充分必要条件) n 阶矩阵 A 与对角阵相似 ( 即A 能对角化) 的充分必要条件是 对于 A 的每个特征值 i , 有 i 作为特征值的重数等于对应于 i 的线性无关的特征向量的个数 或i作为特征值的重数等于 n－r(A － i E).
0 0 1 0
0 1 0 r 1 r2 1 r 1 *( 1) 0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 1 0
练习P123:10
祝愿大家考试顺利！
定理3描述 n阶方阵A与对角阵相似的充要条件为矩阵A每个特征值的 线性无关的特征向量的个数恰好等于特征值的重数.
2 1 1 补充例1讨论A 0 2 0 能否对角化?若能,把它对角化. 4 1 3 解 A的特征多项式为 2 1 1 | A E | 0 2 0 ( 1)( 2)2 4 1 3 所以A的特征值为11 232
对于11 解方程(AE)x0 得基础解系p1(1 0 1)T
对于232 解方程A2E)x0 得基础解系 p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T 于是p1 , p2 , p3线性无关,故A能够对角化. 取P=(p1 p2 p3) 则P－1AP=
k 2
. k n
利用对角矩阵 计算矩阵的高次幂
若可逆矩阵P使P 1 AP 为对角矩阵, 则
方阵A与对角阵∧相似
Ak P k P 1 .
二、相似矩阵的简单性质
性质1 相似矩阵的特征多项式相同，特征值也相同. （课本定理1） 推论若n阶矩阵A与对角矩阵diag(1 2 n)相似 则 1 2 n即是A的n个特征值
1 0
0 1 1 0 能否对角化，若能，求出矩阵A的相似对角阵. 0 0
1 0 ( 1) 2 ( 1) 0,
则1 2 1，3 1
1 0 1 x1 0 把1 1代入( E A) x 0得 0 0 0 x2 0 1 0 1 x 0 3 求得基础解系为1 (1,0,1)T ，2 (1,1,0)T .
考试注意事项： 1：分清行列式和矩阵的表示法； 2：分清是相等关系？还是等价关系？注意等 号的使用还是->的使用； 3：大题必须要有详细的解题步骤。 4：认真掌握各类运算规律和性质、定理.
0 练习题 判断矩阵A 0 1 解 1 ）求特征值. 0 令 E A 0 1
1 0 1 x1 0 T 把3 1代入( E A) x 0得 0 2 0 x2 0 , 求得基础解系为3 (1,0,1) . 1 0 1 x 0 3 0 1 1 1 1 令P (1, 2 , 3 ) 0 1 0 ，则P 1 AP 1 . 1 0 1 0 1
对 A 进行 P1AP运算称为对 A进行相似变换，称可逆矩阵 P为 相似变换矩阵 注: 相似一定等价；相似关系是一种特殊的等价关系. 矩阵等价 mn矩阵A与B等价 A经过有限次的初等变换化为B; 存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q 使PAQB
一、相似矩阵的概念
相似矩阵的定义 设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使P1APB
§4.3 相似矩阵
§43 相似矩阵
矩阵之间的一种特殊的等价关系——相似 一、相似矩阵的概念 二、相似矩阵的简单性质 三、方阵与对角阵相似的条件 （两个充要条件、一个充分条件）
一、相似矩阵的概念
相似矩阵的定义 设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使P1APB
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵
二、相似矩阵的简单性质
性质1 相似矩阵的特征多项式相同，特征值也相同. 证 因此 |BE||P1APE| |P1APP1(E)P| |P1(AE)P| |P1||AE||P| |AE| 即A与B有相同的特征多项式 设n阶矩阵A与B相似 则有可逆矩阵P 使P1APB
1 2 . 2
0 0 1 补充例2 设 A 1 1 x 问x为何值时 矩阵A能对角化？ 1 0 0 0 1 解 | A E | 1 1 x ( 1)2 ( 1) 1 0 得11 231 矩阵A可对角化的充要条件是 对应重根231 有特征值1的重数2等于n-r=3－r(A1×E) 1 0 1 r 1 0 1 因为 A E 1 0 x ~ 0 0 x 1 由 1 0 1 0 0 0 所以当x1时 r(AE)1 此时矩阵A能对角化
|P1||P|=1
二、相似矩阵的简单性质
性质2 相似矩阵的秩相等. （等价矩阵的秩相等.） 性质3 相似矩阵的行列式相等. （如n阶方阵A和B相似，则P1APB , 即|P1AP| |P1| |A| |P| =|B |，故|A| =|B |.) 性质4 相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的 逆矩阵也相似。 |A| =|B |,故如果|A| ≠0,则|B| ≠0, 如n阶方阵A和B相似，则P1APB , 即B1= (P1AP) 1= P1A 1 (P 1 ) 1 = P1A 1 P , 即A 1和B 1相似.
二、相似矩阵的简单性质
设A B都是n阶矩阵 如P1APB , 则A PBP1 ,
于是 Ak (PBP1 )k PBP1 PBP1 …PBP1
k 1 k
PBkP1
k个
若B为对角矩阵, 有
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵
对 A 进行 P1AP运算称为对 A进行相似变换，称可逆矩阵 P为 相似变换矩阵 注: 相似一定等价；相似关系是一种特殊的等价关系. 相似满足下列性质 ( 1) 自反性 A与A相似 E1AEA ( 2) 对称性 若A与B相似 则B与A相似 P1APB => APBP1 ( 3) 传递性 若A与B相似 B与C相似 则A与C相似
2）求特征向量.
练习P123:5(2)1 0 0 1 1 0 1 r2 r3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 x1 x4 , x4是自由未知量） x2 x4 （ x x 4 3
三、方阵与对角阵相似的条件
定理2(充分必要条件) n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件 是A有n个线性无关的特征向量 推论(充分条件) 若n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A与对角阵相似 定理3(充分必要条件) n 阶矩阵 A 与对角阵相似 ( 即A 能对角化) 的充分必要条件是 对于 A 的每个特征值 i , 有 i 作为特征值的重数等于对应于 i 的线性无关的特征向量的个数 或i作为特征值的重数等于 n－r(A － i E).
0 0 1 0
0 1 0 r 1 r2 1 r 1 *( 1) 0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 1 0
练习P123:10
祝愿大家考试顺利！
定理3描述 n阶方阵A与对角阵相似的充要条件为矩阵A每个特征值的 线性无关的特征向量的个数恰好等于特征值的重数.
2 1 1 补充例1讨论A 0 2 0 能否对角化?若能,把它对角化. 4 1 3 解 A的特征多项式为 2 1 1 | A E | 0 2 0 ( 1)( 2)2 4 1 3 所以A的特征值为11 232
对于11 解方程(AE)x0 得基础解系p1(1 0 1)T
对于232 解方程A2E)x0 得基础解系 p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T 于是p1 , p2 , p3线性无关,故A能够对角化. 取P=(p1 p2 p3) 则P－1AP=
k 2
. k n
利用对角矩阵 计算矩阵的高次幂
若可逆矩阵P使P 1 AP 为对角矩阵, 则
方阵A与对角阵∧相似
Ak P k P 1 .
二、相似矩阵的简单性质
性质1 相似矩阵的特征多项式相同，特征值也相同. （课本定理1） 推论若n阶矩阵A与对角矩阵diag(1 2 n)相似 则 1 2 n即是A的n个特征值
1 0
0 1 1 0 能否对角化，若能，求出矩阵A的相似对角阵. 0 0
1 0 ( 1) 2 ( 1) 0,
则1 2 1，3 1
1 0 1 x1 0 把1 1代入( E A) x 0得 0 0 0 x2 0 1 0 1 x 0 3 求得基础解系为1 (1,0,1)T ，2 (1,1,0)T .
考试注意事项： 1：分清行列式和矩阵的表示法； 2：分清是相等关系？还是等价关系？注意等 号的使用还是->的使用； 3：大题必须要有详细的解题步骤。 4：认真掌握各类运算规律和性质、定理.
0 练习题 判断矩阵A 0 1 解 1 ）求特征值. 0 令 E A 0 1
1 0 1 x1 0 T 把3 1代入( E A) x 0得 0 2 0 x2 0 , 求得基础解系为3 (1,0,1) . 1 0 1 x 0 3 0 1 1 1 1 令P (1, 2 , 3 ) 0 1 0 ，则P 1 AP 1 . 1 0 1 0 1
对 A 进行 P1AP运算称为对 A进行相似变换，称可逆矩阵 P为 相似变换矩阵 注: 相似一定等价；相似关系是一种特殊的等价关系. 矩阵等价 mn矩阵A与B等价 A经过有限次的初等变换化为B; 存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q 使PAQB
一、相似矩阵的概念
相似矩阵的定义 设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使P1APB