2016年第32届中国数学奥林匹克(CMO)试题
2016全国高中数学联赛试题及评分标准
2016全国高中数学联赛试题及评分标准9月将至，开学的同时，每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道高中联赛的前世今生吗？从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。
1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。
1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。
竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。
各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。
在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。
经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。
为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。
对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。
为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。
各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。
☆ 试题模式自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。
中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)
∈ Z.
1 3 2n+1 (2n + 1)ϕ = (2l + 3 = 2t + 3 2 )π (l ∈ Z). ∴ (2n + 1)(2k + 6 ) = 2l + 2 , 6 2 , n = 6t + 4(t ∈ Z). 5(2n+1) 5 ) = 2l + 3 = 2t + 3 或(2n + 1)(2k + 6 2, 6 2 , 5|4t + 3, t ≡ 3 (mod 5)(t ∈ Z).
+1 ∴ cos(n + 1)θ − cos nθ − 1 = −(2 sin 2n2 θ sin θ 2 + 1) = 0. +1 sin(n + 1)θ − sin nθ = 2 cos 2n2 θ sin θ 2 = 0. +1 +1 1 θ ∴ cos 2n2 θ = 0, sin 2n2 θ = ±1, sin θ 2 = ± 2 , 设 2 = ϕ. π (1)sin ϕ = 1 2 ,sin(2n + 1)ϕ = −1. ϕ = 2kπ + 6 或2kπ + 5π 6 ,k
设t = 5s + 3,则n = 6s + 4,总有6|n + 2. (2)sin ϕ = − 1 2 ,sin(2n + 1)ϕ = 1.显然以−ϕ代ϕ即有(1).所以6|n + 2.证毕. 2.把边长为1的正三角形ABC 的各边都n等分,过各分点平行于其它两边的直线, 将这三角形分成若干个 小三角形,这些小三角形的顶点都称为结点, 并且在每一结点上放置了一个实数.已知: (1)A, B, C 三点上放置的数分别为a, b, c. (2)在每个由有公共边的两个最小三角形组成的菱形之中, 两组相对顶点上放置的数之和相等. 试求:(1)放置最大数的点和放置最小数的点之间的最短距离. (2)所有结点上数的总和S . 解:(1)不难证明同一直线上相邻三个结点上放置的数中间一个为两边的等差中项,所以同一直线上的数 按顺序成等差数列. 若两端的数相等,则所有的数都相等.否则两端的数为最大的和最小的. 若a, b, c相等,显然所有数都相等,最短距离显然为0. 若a, b, c两两不等,最大的数与最小的数必出现在A, B, C 上,最短距离为1. 若a, b, c有两个相等但不与第三个相等,不妨设a = b > c,最小的数为c,最大的数出现在线段AB 的任意 结点上. 当n为偶数时,与C 最近的为AB 中点,最短距离为
2016年全国奥林匹克数学竞赛决赛
2016年小学数学竞赛决赛试卷（国奥赛决赛）（2016年4月10日下午2:00-3:30）（本卷共15个题，每题10分，总分150分，第1至12题为填空题，只需将答案填入空内；13至15题为解答题，需写出解题过程。
） 1.）（）（）（40375.08.041545.2⨯÷⨯⨯⨯ = 。
【考点】计算【难度】★ 【答案】964 【解析】原式 = 0.5×4×0.2÷（43×403） = 52×9160 = 964 2.1811611*********－＋－＋－＋－ = 。
【考点】计算（平方差公式利用）【难度】★★ 【答案】94 【解析】原式 = )18()18(1)16(1611414112121＋－＋＋）－（＋）＋（）－（＋）＋（）－（⨯⨯⨯⨯） = 971751531311⨯⨯⨯⨯＋＋＋ = （1-31＋31－51＋51－71＋71－91）×21 = （1－91）×21 = 98×21 = 943.)]32152(347[163)25.016743(＋－＋－÷⨯÷ = 。
【考点】计算【难度】★ 【答案】2869 【解析】原式 = )1215347(163)4171643(⨯⨯⨯－＋－ = 316163)41712(⨯＋－ = 2841 + 1 = 2869 4.从1，2，3，4，5中选出互不相等的四个数填入[○÷○×（○＋○）]的圆圈中，使其值尽可能地大，那么[○÷○×（○＋○）]的最大值是。
【考点】最值问题【难度】★【答案】54【解析】要使值最大，则第二个圆圈的数要最小，第二个圆圈只能为1.第一个圆圈的数尽可能大，第三个圆圈和第四个圆圈的和要大。
经验算，算式：6÷1×（4＋5）的值最大，最大为54。
5.下图是将大正方形的四边中点连成一个中等正方形，将大正方形中心与四边中点连线的中点连成一个小正方形，再加上大正方形的对边中点连线和对角线而构成的。
2015第31届中国数学奥林匹克竞赛（cmo）试题及解答
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奇思妙想，止于至善。0
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中国数学奥林匹克竞赛CMO模拟题13套
(2013CMO－模拟测试 7－4) 给定圆内接五边形 ABCDE，满足 AC∥DE，M 是 BD 中点，证明：如果∠AMB=∠BMC，则 BE 平分 AC。
(2013CMO－模拟测试 7－5) 考虑方程：[x]3+x2=x3+[x]2；[x3]+x2=x3+[x2]。证明：第一个方程的解为整数，第二个方程有非整数解。
k
l
2kl
的个数至少为 2 Ckk+l。 k+l
(2013－模拟测试 2－1) △ABC 边 AB 的旁切圆与以 BC 为直径的圆相切。如果 BC、CA、AB 的长构成等差数列，求∠ACB。
(2013CMO－模拟测试 2－2) 如果 a,b,c 是整数使得 a(a-b)+b(b-c)+c(c-a) 是一个完全平方数，证明：a=b=c。
(2013CMO－模拟测试 3－3) 一个有限数集中的所有数的和称为它的元素和。任意给定不同自然数 a1,a2,…,am，证明：存在不同的自 然数 b1,b2,…,bn,n≤m，满足下面两个条件：(1){b1,b2,…,bn}的每个子集有不同的元素和；(2) a1,a2,…,am 中每一个数都是{b1,b2,…,bn}某个子集的元素和。
f(y) f(x) 值域。
(2013CMO－模拟测试 3－1) 四边形 ABCD 内接于⊙O，DA 与 CB 交于 N，NT 切⊙O 于 T，对角线 AC 和 BD 的交点 P 是△NTD 的重 心。求 NT : AP。
(2013CMO－模拟测试 3－2) 求所有的正数 a 和 b 使得对任意自然数 n 有[a[bn]]=n-1。
(2013CMO－模拟测试 1－4) 梯形 ABCD 中 AB∥CD，CB 延长线上点 E，线段 AD 上点 F 满足∠DAE=∠CBF，令 I 表示 CD 和 EF 的 交点，J 表示 AB 和 EF 的交点，K 是线段 EF 的中点，且假设 K 不在直线 AB 上。证明：I、A、B、K 四 点共圆当且仅当 K、C、D、J 四点共圆。
中国数学奥林匹克竞赛CMO模拟题13套
(2013CMO－模拟测试 3－4) 凸四边形 ABCD 内点 P，Q 满足 PQDA 和 QPBC 是圆内接四边形。假设线段 PQ 上存在点 E 使得：∠PAE= ∠QDE，∠PBE=∠QCE。证明：ABCD 是圆内接四边形。
(2013CMO－模拟测试 3－5) 正整数列 a0,a1,a2,…满足(ai,ai+1)>ai-1，i=1,2,3,…，证明：an≥2n,n≥0。
(2013CMO－模拟测试 4－2) 求所有的正整数对(m,n)，m>n，使得[m2+mn,mn-n2]+[m-n,mn]=22005。（其中[a,b]表示 a,b 的最小公倍数。）
(2013CMO－模拟测试 4－3) 若 m 是一个自然数，A={-m,-m+1,…,m-1,m}，函数 f : A→A 满足 f(f(n))=-n,n ∈ A。 (1)证明：m 为偶数；(2)求出满足上述条件的函数的个数。
f(y) f(x) 值域。
(2013CMO－模拟测试 3－1) 四边形 ABCD 内接于⊙O，DA 与 CB 交于 N，NT 切⊙O 于 T，对角线 AC 和 BD 的交点 P 是△NTD 的重 心。求 NT : AP。
(2013CMO－模拟测试 3－2) 求所有的正数 a 和 b 使得对任意自然数 n 有[a[bn]]=n-1。
(2013CMO－模拟测试 4－1) 在△ABC 的边 AB 上取点 M、N，M 在 A 和 N 之间，过 M 平行于 AC 的直线交△MNC 的外接圆于点 P， 过 M 平行于 NC 的直线交△AMC 的外接圆于点 Q，过 N 平行于 BC 的直线交△MNC 的外接圆于点 K， 过 N 平行于 MC 的直线交△BNC 的外接圆于点 L。证明：P、Q、K、L 共圆当且仅当 AM=BN。
2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
3. 正实数 u,v, w 均不等于 1，若 logu vw logv w 5 ， logv u logw v 3，则 logw u 的值为______．
4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机 从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为 _______．
10
10
f x | a x a 1 f x | x ，则 k 的最小值为_________．
7.
双曲线
C
的方程为 x2
y2 3
1 ，左、右焦点分别为 F1, F2 ，过点 F2 作一直线与双曲线
C
的右半支交于
点 P、Q，使得 F1PQ 90 ，则 △F1PQ 的内切圆半径是______．
1
1
logv u a , logw v b ， logu vw logu v logu v logv w a ab ，
条 件 化 为 a ab b 5, 1 1 3 ， 由 此 可 得 ab 5 ． 因 此
ab
4
logw u
logw
v logv
u
a2015
a2 2016
a2016 a12 的最大值．
二、（本题满分 40 分）如图所示，在△ABC 中，X、Y 是直线 BC 上两点（X、B、C、Y 顺次排列），使 得 BX AC CY AB ．设△ACX、△ABY 的外心分别为 O1,O2 ，直线 O1O2 分别与 AB、AC 交于点 U、V．证 明：△AUV 是等腰三角形．
中国数学奥林匹克(cmo)的考试内容
中国数学奥林匹克(cmo)的考试内容中国数学奥林匹克（CMO）是我国最高级别的数学竞赛，旨在选拔优秀的学生，激发他们的数学潜能，培养未来的数学人才。
考试内容涵盖了许多数学领域的知识，包括代数、几何、组合、数论等。
下面将对这些考试内容进行详细介绍。
一、代数部分代数作为数学的基础领域，在中国数学奥林匹克中占据着重要地位。
考试内容主要包括以下几个方面：1.基本概念和运算：包括实数、复数、向量、矩阵、行列式等基本概念，以及加法、乘法、除法、幂运算等基本运算。
2.代数式和方程：涉及代数式的求值、化简、分解，以及一元一次方程、一元二次方程、二次曲线等方面的知识。
3.函数和极限：包括基本函数（如指数函数、对数函数、三角函数等）的性质和图像，以及函数的极限、连续性、导数、积分等概念。
4.代数结构：涉及群、环、域等代数结构的基本概念和性质，以及它们在实际问题中的应用。
二、几何部分几何作为数学的另一重要领域，在CMO中同样具有重要地位。
考试内容主要包括以下几个方面：1.基本概念和性质：包括点、线、面、角、三角形、四边形等基本图形的性质和关系，以及平面几何和空间几何的基本概念。
2.变换和几何问题：涉及平移、旋转、对称等几何变换，以及它们在解决几何问题中的应用。
3.曲线和曲面：包括曲线和曲面的方程、性质、分类等方面的知识，以及它们在实际问题中的应用。
4.拓扑学：涉及基本拓扑概念，如连通性、维数、同伦等，以及拓扑学在实际问题中的应用。
三、组合部分组合作为数学的一个重要分支，在CMO中占据一定比重。
考试内容主要包括以下几个方面：1.基本概念和原理：包括排列、组合、二项式定理、鸽巢原理等基本概念和原理。
2.计数和排列组合：涉及排列组合的计算方法，以及计数原理在实际问题中的应用。
3.抽屉原理和极端原理：包括抽屉原理、极端原理的基本概念和应用。
四、数论部分数论作为数学的基础领域，在CMO中也具有一定的地位。
考试内容主要包括以下几个方面：1.基本概念和性质：包括自然数、整数、有理数、实数等基本概念，以及数的性质和运算。
2016年世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛试题及答案
九年级 第1页 九年级 第2页绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛（2016年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
九年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、填空题。
（每题5分，共计50分）1、边长为4的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是 。
2、231+=x ，则=+-+92223x x x 。
3、[]a 为不超过a 的最大整数，令,53=a ][22a a b -=，则=+3)2(b 。
4、已知五个实数89，91，95，x,101，这五个数与他们平均数的差分别为-6，-4，y,z,6,则x+y+z= 。
5、如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点P ， PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是____________cm 。
6、如图，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为 。
7、若有理数x ，y ，z 满足)2)(2()2(2++=+z y x 则=-2)(z y8、如图，边长为1的菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11D ACC ，使 ︒=∠601AC D ；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形221D C AC ，使 ︒=∠6012AC D ；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为 ．9、120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别由96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，则这次竞赛至少有 人获奖10、已知函数m x x y ---=322与x 轴有四个交点，则m 的取值范围为二、计算题。
历届中国数学奥林匹克(全国中学生数学冬令营)试题解答
P3,三角形
ABC的
2
面积减小
,归为情形
(2).
(2)不妨设
P1在AB上,P2在AC上,P3;P4在BC上,P3在P4C上.
(2.1)若P1P2
.
BC,设
AP1
=
AP2
=
.,P1P2
=
.BC.P1P2到BC的距离为
=
|
.
xk
+i
.
yk|
.
.
xk
.
√
.
42
42
zk2Azk2Azk2Azk2Azk2A
√
而42
<
6,
∴
|
.
zk|
.
1
6
.
zk2A
即A中复数之和的模不小于
1
6
.证毕
.
+
￠￠·
+
anxn
.
a1x1
2
+
a2x2
2
+
￠￠·
+
anxn
2
;
(2)否则至少存在一个
ai
<
0,由对称性不妨设
a1
<
0.又因为
a1;a2;:::;an中任两数之和非负
,所
以ai
+
a1
.
0;ai
=
|
.
xk
+i
.
CMO)试题及解答
|yk |,则将zk 放入X中;若|yk | 0,则将zk 放入A中;若xk
1 4.
|xk |,则将zk 放入Y中. 其中必有一组中 0,则将zk 放入B中. 其中必有一组中的
所有复数模长之和不小于 1 2 .不妨设为X.
1 所有复数摸长之和不小于 4 .不妨设为A.
|zk |
而对于zk ∈ ∴ xk
+
√
3 6 2 i, z
= 1, |z | = 1.
√ 3 2 i)
−e
iπ 3
− 1 = (1 2 −
− (− 10.
− z − 1 = 0有模为1的复根.
若z n+1 − z n − 1 = 0有模为1的复根eiθ = cos θ + i cos θ. 则z n+1 − z n − 1 = (cos(n + 1)θ − cos nθ − 1) + i(sin(n + 1)θ − sin nθ) = 0.
三个顶点是同色的. 证明:(1)若平面上存在距离为2的两个点A, B 异色,设O为它们的中点,不妨设A, O同色. 考虑以AO为一 √ 边的正三角形AOC, AOD,若C, D中有一个与A, O同色,则该三角形满足题意. 否则BCD为边长 3的 同色正三角形. (2)否则平面上任两个距离为2的点均同色,考虑任意两个距离为1的点,以他们连线为底,2为腰长作等腰 三角形,则任一腰的两顶点同色. 所以三个顶点同色,即任两个距离为1的点同色.所以平面上任意一个边 长为1的正三角形三个顶点同色.证毕.
√ sin ∠F AE FE AD 由正弦定理 sin AE 2 − AD2 = 5, ∠DAE = DE × AF .其中DE = √ √ F E = F D − DE = AF 2 − AD2 − DE = m2 − 122 − 5 > 0. ∴ m > 13, 且∠A为锐角等价于 ∠A为直角等价于 ∠A为钝角等价于 解得当13 < m < 当m = 当m >
2016CMO(中国Olympic数学竞赛)
5、用 Dn 表示正整数 n 的所有正约数构成的集合.求所有正整数 n ， 使得 Dn 可以写成两个不 相交的子集 A 和 G 的并，且满足： A 和 G 均含有至少三个元素， A 中元素可以排列成一个 等差数列， G 中元素可以排成一个等比数列.
6、给定整数 n 2 ，以及正数 a b .设实数 x1 , x2 , , xn [ a, b] ，求
2 x2 x2 x12 x2 n 1 n x2 x3 xn x1 x1 x2 xn 1 xn
的最大值.
3a 2b c .
2、锐角 ABC 中， 外心为 O ， 内心为 I ， 过点 B, C 作外接圆的切线交于点 L ， 内切圆切 BC 于点 D ， AY 垂直 BC 于点 Y ， AO 交 BC 于点 X ， PQ 为过点 I 的圆 O 的直径，求证：
P, Q, X , Y 共圆等价于 A, D, L 共线.
第 32 届中国数学奥林匹克
湖南·长沙 第一天 2016 年 11 月 23 日 8：-12：30
1、数列 {u n }, {vn } 满足： u0 u1 1 ， u n 2u n 1 3u n 2 ( n 2) ， v0 a, v1 b, v2 c ，
vn vn 1 3vn 2 27vn 3 (n 3) ，已知存在正整数 N ，使得当 n N 时， un | vn ，求证：
3、将矩形 R 分为 2016 个小矩形，每个小矩形的顶点成为结点，每个小矩形的边和 R 平行。 若一条线段的两端为结点，且线段上没有其他结点，称之为基本线段，求遍历所有划分方式 时基本线段数量的最小值和最大值.
第 32 届中国数学奥林匹克
湖南·长沙 第二天 2016 年 11 月 24 日 8：00-12：30
中国数学奥林匹克竞赛CMO模拟题13套
2012-2013年中国数学奥林匹克年中国数学奥林匹克(CMO)(CMO)(CMO)模拟试题十三套模拟试题十三套西西汇编（西西汇编（QQ QQ 群：群：148443562148443562148443562））(2012-2013CMO －模拟测试1－1)CH 是△ABC 中边AB 的高，且H 位于A 、B 之间。
P 和Q 分别是△AHC 和△BHC 的内心。
证明：四边形ABQP 是圆内接四边形当且仅当AC =BC 或∠ACB =90°。
(2012-2013CMO －模拟测试1－2)333,,,3,a b c R a b b c c a ∈++=设且求()()4444222222(,,)1000f a b c a b c a b b c a c =+++++的最小值。
(2013CMO－模拟测试1－3)设a,b是整数，k是自然数。
如果方程a k x-b k y=a-b有整数解x,y满足条件|x-y|=1，则|a-b|是一个整数的k 次幂。
(2013CMO－模拟测试1－4)梯形ABCD中AB∥CD，CB延长线上点E，线段AD上点F满足∠DAE=∠CBF，令I表示CD和EF的交点，J表示AB和EF的交点，K是线段EF的中点，且假设K不在直线AB上。
证明：I、A、B、K四点共圆当且仅当K、C、D、J四点共圆。
(2013CMO－模拟测试1－5)令S⊂R是一个实数集。
称两个S到S的函数f,g为S上的一个“好”对，如果它们满足：(1)f和g都是严格递增的；(2)对任意的x∈S，都有f(g(g(x)))<g(f(x))。
在S上是否存在“好”对？(a)S为正整数集；(b)S={a-1b:a,b∈N}。
(2013CMO－模拟测试1－6)令k和l是两个正整数。
M={x1,x2,…,x k+l}是一个由区间[0,1]上k+l个不同的数组成的集合，记集合A中元素和为S(A)。
一个k元子集A⊂M称为“好的”，如果|1kS(A)-1lS(M\A)|≤k+l2kl。