工程力学第11章 压杆稳定
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第11章 压杆稳定
压杆的强度计算已在第 7章做了讨论，但是对于比 较细长的压杆，其失效往往不是强度问题，而是稳定问 题。本章将专门研究压杆稳定问题。
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11.1 压杆稳定的概念
11.1.1 理想压杆的稳定性 理想压杆是理论研究中一种抽象化的理想模型，满 足“轴心受压、均质、等截面直杆”的假定。在无扰动 （如微小横向干扰力）时，理想压杆将只产生轴向压缩 变形，而且保持直线状态的平衡。但是其平衡状态有稳 定和不稳定之分。如图11.1（a）所示两端球铰支承的理 想压杆，在微小的横向干扰力 FQ作用后，压杆将产生 弯曲变形。当轴向压力F较小时，干扰力FQ去除后压杆 将恢复到原来的直线平衡状态，这说明压杆在直线状态 的平衡是稳定的（stable）。
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当F较大时，FQ去除后压杆继续弯曲到一个变形更 显著的位置而平衡，则压杆在直线状态的平衡是不稳定 的（unstable）。理想压杆由稳定的平衡状态过渡到不稳 定的平衡状态过程中，有一临界状态：当轴向外力F达 到一定数值时，施加干扰力FQ后压杆将在一个微弯状态 保持平衡，而FQ去除后压杆既不能回到原来的直线平衡 状态，弯曲变形也不增大。则压杆在直线状态的平衡是 临界平衡或中性平衡，此时压杆上所作用的外力称为压 杆的临界力或临界荷载（criticalload），用Fcr表示。显 然，临界平衡状态也是不稳定的平衡状态。
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11.5 压杆的稳定计算
11.5.1 安全系数法 前几节中我们学习了理想压杆的临界力 Fcr及临界应力 σcr的求解方法，但是对于实际压杆，如以Fcr作为轴向外 力的控制值，这显然是不安全的。所以，为安全起见， 使实际压杆具有足够的稳定性，应该考虑一定的安全储 备，稳定条件（stabilitycondition）为：
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11.3 杆端约束的影响
由上一节欧拉临界力的推导过程可以看出，当理想 压杆的杆端约束不同时，其临界力一般也不同。与两端 铰支细长压杆的临界力推导过程相似，可以求出几种常 见杆端约束下压杆的临界力，如图11.5所示，并用统一 形式表达为
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11.4 临界应力曲线
当中心压杆所受压力等于临界力而仍旧直立时，其 横截面上的压应力称为临界应力（criticalstress），以记 号σcr表示，设横截面面积为A，则
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11.6 提高压杆稳定性的措施 1.合理选择截面形状
2.加强压杆的约束 3.减小压杆的长度 4.合理选择材料
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思考题 11.1 一张硬纸片，用图11.13所示3种方式竖放在桌 面上，试比较三者的稳定性，并说明理由。
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11.2 对于理想细长压杆，稳定的平衡、临界平衡及 不稳定的平衡如何区分？其特点分别是什么？ 11.3 欧拉公式的推导过程中（11.2节），使用了梁 挠曲线的近似微分方程，即 EIy″=-M（x），试问这一 方法和求梁变形的二次积分法有何区别？ 11.4 欧拉公式 中，I的含义是什么？I如何取 值？对于两端球铰约束的细长压杆，截面分别为图11.14 所示3种情况，则I如何取值？ 11.5 一中心压杆的横截面为等腰三角形，如图11.15 所示，试分析压杆失稳时将绕何轴弯曲？图中C为截面 形心。
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11.2 两端铰支细长压杆的临界力Βιβλιοθήκη Baidu
对于理想细长压杆而言，当轴向力F小于临界力Fcr 时，其直线状态的平衡是稳定的。所以，确定其临界力 Fcr是至关重要的。本节研究的压杆模型是：理想细长压 杆，两端球铰支承，临界力Fcr作用，横向干扰力FQ去除 后保持微弯平衡状态，失稳后材料仍保持线弹性状态， 见图11.3（a）。
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11.1.2 分叉点失稳和极值点失稳 1.分叉点失稳 设图11.1（b）所示理想压杆的轴向压力为F，干扰 力FQ去除后中点挠度为y0，在y0OF坐标系下，F-y0关系曲 线如图11.2（a）所示。可见，当F < Fcr时，y0=0；当F = Fcr时，y0取值视干扰力大小而定，在AB间变化，但AB 是微量。图中AB′代表反向干扰时的情况。当F≥Fcr时， F-yo关系曲线如图11.2（b）中OAC所示，其中AC曲线是 根据大挠度理论计算出的。曲线AC表示F > Fcr而失稳时 理想压杆不能在微弯状态平衡，如F=FD时，中点挠度y0 为AC曲线上E点对应的横坐标。
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2.极值点失稳 与理想压杆相比，实际压杆总是有缺陷的，如初始 曲率、初始应力、荷载偏心等，其 F-yo曲线如图11.2（b） 中 GJK 所示（其中，δ 为实际压杆的初始挠度）。该曲 线的特点是外力F达到FJ后，曲线出现了下降段JK，其 含义是：压杆急剧弯曲而它能承担的外力F不断降低。 这实际上代表了压杆的“压溃”现象。曲线 GJK 所描写 的失稳模型称为极值点失稳（limitedpointbuckling）， 而将曲线顶点所对应的荷载FJ称为极值点荷载。
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压杆的强度计算已在第 7章做了讨论，但是对于比 较细长的压杆，其失效往往不是强度问题，而是稳定问 题。本章将专门研究压杆稳定问题。
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11.1 压杆稳定的概念
11.1.1 理想压杆的稳定性 理想压杆是理论研究中一种抽象化的理想模型，满 足“轴心受压、均质、等截面直杆”的假定。在无扰动 （如微小横向干扰力）时，理想压杆将只产生轴向压缩 变形，而且保持直线状态的平衡。但是其平衡状态有稳 定和不稳定之分。如图11.1（a）所示两端球铰支承的理 想压杆，在微小的横向干扰力 FQ作用后，压杆将产生 弯曲变形。当轴向压力F较小时，干扰力FQ去除后压杆 将恢复到原来的直线平衡状态，这说明压杆在直线状态 的平衡是稳定的（stable）。
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当F较大时，FQ去除后压杆继续弯曲到一个变形更 显著的位置而平衡，则压杆在直线状态的平衡是不稳定 的（unstable）。理想压杆由稳定的平衡状态过渡到不稳 定的平衡状态过程中，有一临界状态：当轴向外力F达 到一定数值时，施加干扰力FQ后压杆将在一个微弯状态 保持平衡，而FQ去除后压杆既不能回到原来的直线平衡 状态，弯曲变形也不增大。则压杆在直线状态的平衡是 临界平衡或中性平衡，此时压杆上所作用的外力称为压 杆的临界力或临界荷载（criticalload），用Fcr表示。显 然，临界平衡状态也是不稳定的平衡状态。
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11.5 压杆的稳定计算
11.5.1 安全系数法 前几节中我们学习了理想压杆的临界力 Fcr及临界应力 σcr的求解方法，但是对于实际压杆，如以Fcr作为轴向外 力的控制值，这显然是不安全的。所以，为安全起见， 使实际压杆具有足够的稳定性，应该考虑一定的安全储 备，稳定条件（stabilitycondition）为：
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11.3 杆端约束的影响
由上一节欧拉临界力的推导过程可以看出，当理想 压杆的杆端约束不同时，其临界力一般也不同。与两端 铰支细长压杆的临界力推导过程相似，可以求出几种常 见杆端约束下压杆的临界力，如图11.5所示，并用统一 形式表达为
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11.4 临界应力曲线
当中心压杆所受压力等于临界力而仍旧直立时，其 横截面上的压应力称为临界应力（criticalstress），以记 号σcr表示，设横截面面积为A，则
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11.6 提高压杆稳定性的措施 1.合理选择截面形状
2.加强压杆的约束 3.减小压杆的长度 4.合理选择材料
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思考题 11.1 一张硬纸片，用图11.13所示3种方式竖放在桌 面上，试比较三者的稳定性，并说明理由。
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11.2 对于理想细长压杆，稳定的平衡、临界平衡及 不稳定的平衡如何区分？其特点分别是什么？ 11.3 欧拉公式的推导过程中（11.2节），使用了梁 挠曲线的近似微分方程，即 EIy″=-M（x），试问这一 方法和求梁变形的二次积分法有何区别？ 11.4 欧拉公式 中，I的含义是什么？I如何取 值？对于两端球铰约束的细长压杆，截面分别为图11.14 所示3种情况，则I如何取值？ 11.5 一中心压杆的横截面为等腰三角形，如图11.15 所示，试分析压杆失稳时将绕何轴弯曲？图中C为截面 形心。
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11.2 两端铰支细长压杆的临界力Βιβλιοθήκη Baidu
对于理想细长压杆而言，当轴向力F小于临界力Fcr 时，其直线状态的平衡是稳定的。所以，确定其临界力 Fcr是至关重要的。本节研究的压杆模型是：理想细长压 杆，两端球铰支承，临界力Fcr作用，横向干扰力FQ去除 后保持微弯平衡状态，失稳后材料仍保持线弹性状态， 见图11.3（a）。
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11.1.2 分叉点失稳和极值点失稳 1.分叉点失稳 设图11.1（b）所示理想压杆的轴向压力为F，干扰 力FQ去除后中点挠度为y0，在y0OF坐标系下，F-y0关系曲 线如图11.2（a）所示。可见，当F < Fcr时，y0=0；当F = Fcr时，y0取值视干扰力大小而定，在AB间变化，但AB 是微量。图中AB′代表反向干扰时的情况。当F≥Fcr时， F-yo关系曲线如图11.2（b）中OAC所示，其中AC曲线是 根据大挠度理论计算出的。曲线AC表示F > Fcr而失稳时 理想压杆不能在微弯状态平衡，如F=FD时，中点挠度y0 为AC曲线上E点对应的横坐标。
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2.极值点失稳 与理想压杆相比，实际压杆总是有缺陷的，如初始 曲率、初始应力、荷载偏心等，其 F-yo曲线如图11.2（b） 中 GJK 所示（其中，δ 为实际压杆的初始挠度）。该曲 线的特点是外力F达到FJ后，曲线出现了下降段JK，其 含义是：压杆急剧弯曲而它能承担的外力F不断降低。 这实际上代表了压杆的“压溃”现象。曲线 GJK 所描写 的失稳模型称为极值点失稳（limitedpointbuckling）， 而将曲线顶点所对应的荷载FJ称为极值点荷载。
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