万有引力与航天模型

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《万有引力定律与航天》的两种“随”和“绕”模型

《万有引力定律与航天》的两种“随”和“绕”模型笔者在物理教学工作中，对高中物理人教版必修2第六章《万有引力定律与航天》的教学进行了探究，对其本章的物理试题总结了两种“随”和“绕”模型，起到了良好的教学效果，下面就一起来和大家分享：模型一：突出“随”：放在行星表面的物体，随着星球一起转动，物体与行星有相同的角速度，但因为行星自转的角速度很小，需要的向心力很小且可以忽略（此时认为万有引力近似等于重力，万有引力极小部分来提供向心力）即：mg =引F .设中心天体的质量为M,半径为R ，物体质量为m,行星表面上重力加速度为0g ，万有引力常量G ，则有：表面重力加速度：2002RGM g mg R Mm G =∴= 据表面高h 处重力加速度：()()22022)(h R R g h R GMg mg h R GMmh h +=+=∴=+ 模型二：突出“绕”：把环绕天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供（此时万有引力全部来提供向心力）.设中心天体的质量为M,环绕天体（人造卫星等）质量为m,轨道半径为r, 万有引力常量G , 环绕天体的线速度v ，角速度ω，周期T ，向心加速度n a ，则有n ma r T m r m r m rMm G ====2222)2(πων 由此可以得到：环绕天体（人造卫星等）的绕行线速度，角速度、周期，向心加速度与半径的关系如下： ①由r m r Mm G 22ν=得，rGM =ν②由r m r Mm G 22ω=得，3rGM =ω ③由r T m r Mm G 22)2(π=得，GMr T 32π= ④由n ma r Mm G =2得，2r GM a n = 由此得到以下结论：（1）环绕天体（人造卫星等）的线速度v ，角速度ω，周期T ，向心加速度n a 与环绕天体的质量m 无关，仅与中心天体的质量M 和环绕天体的轨道半径r 有关.（2）环绕天体（人造卫星等）的r 越大，则，线速度v 越小，角速度ω越小，向心加速度n a 越小，周期T 越大.例题1 ：某物体放在某个星球表面，如果该星球的质量是地球质量的一半，直径也是地球直径的一半，那么该物体在这星球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的 ( ) A.41倍 B.21 倍 C. 2倍 D. 4倍解析：本题紧抓模型一：“随”设中心天体的质量为M,半径为R ，物体质量为m,行星表面上重力加速度为0g ，万有引力常量G ，则：mg =引F .2002R GM g mg R Mm G =∴= 得倍地星2122122221221=⨯⨯==M R R M g g ，答案C 例题2：已知某艘宇宙飞船绕一个半径为R 的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T.求该行星的质量和平均密度.解析：本题紧抓模型二：“绕”设宇宙飞船的质量为m ，行星的质量为M.宇宙飞船围绕行星的中心做匀速圆周运动. 由R )2(R 22T m Mm G π=得：232GT R 4M π= 又因为3R 4V 3π= ，所以2GT 3V M πρ== 练习：1.根据观察，在土星外层有一个环，为了判断是土星的连续物还是小卫星群，可测出环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系.下列判断正确的是( )A.若ν与R 成正比，则环是连续物B.若2ν与R 成正比，则环是卫星群C.若ν与R 成反比，则环是连续物D.若2ν与R 成反比，则环是卫星群提示：（本题关键要弄清是“随”还是“绕”,若是“随”由r ων=得出答案A ；若是“绕”，由22Mm v G m r r=得：r GM 2=ν得出答案D ） 2．地球赤道上有一物体随地球一起自转做圆周运动，所受向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度可忽略）所受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则（）A ．F 1=F 2>F 3B ．a 1=a 2=g>a 3C ．v 1=v 2=v>v 3D ．ω1=ω3<ω2(提示：该题综合试题，难度较大，是一道典型的“随”模型和“绕”模型的万有引力试题，解题最关键还是要弄清谁是“随”，谁是“绕”模型，正确答案D)以上是笔者在教学中的一点心得体会，在教学中采用这两种模型的讲解方法，学生更容易理解和掌握，做题中善于归纳和总结，做到举一反三，取得了事半功倍的良好教学效果，供大家参考.。

专题04 万有引力与航天方法模型(原卷版)

专题04 万有引力与航天方法模型一、天体质量和密度的估算1．如图所示是嫦娥探测器的变轨示意图，已知探测器在变入低轨后的绕月圆轨道上运动的周期为T ，轨道半径为r ，月球表面重力加速度为0g ，则（） A ．探测器在变轨以后机械能比变轨前大B ．探测器在圆轨道上运动时处于平衡状态，飞船内的物体所受合力为零C 02rrTg π D ．月球的平均密度为3023()8g rπ 2．中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知其轨道距地面的高度为h ，运行周期为T ，地球半径为R ，万有引力常量为G ，由此可得到地球的平均密度为（） A ．23GT πB ．24GT πC ．3233()R h GT R π+D ．23233()R h GT R π-3．北斗卫星导航系统[BeiDou （COMPASS ）NavigationSatelliteSystem]是我国自主发展、独立运行的全球卫星导航系统。

如图，I 为地球近地卫星，II 为北斗卫星导航系统中的一颗静止轨道卫星，其对地张角为2θ。

已知地球自转周期为0T ，万有引力常量为G 。

下列说法正确的是（）A ．地球的平均密度为2303sin GT πθ B ．卫星I 和卫星II 的加速度之比为31sin θC ．卫星I 的周期为3sin 2T θD ．卫星II 的发射速度大于11.2km/s4．2022年11月1日，梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接，目前已与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。

已知组合体的运行轨道距地面高度为h （约为400km ），地球视为理想球体质量为M ，半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，下列说法正确的是（） A ．航天员漂浮在组合体中，处于平衡状态 B ．地球的平均密度可表示为34gGRρπ= C ．组合体轨道处的重力加速度为22()gR R h + D ．组合体的运行速度为GMR h+ 【模型方法总结】1.“自力更生”法(g －R )：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。

万有引力与航天天体运动中的三种模型

万有引力与航天天体运动中的三种模型一、“自转”天体模型模型特点：绕通过自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动的天体称为“自转”天体。

在其表面上相对天体静止的物体，则以某一点为圆心，做与天体自转角速度相同的匀速圆周运动。

分析此类问题要明确天体表面物体做圆周运动所需向心力是由万有引力的一个分力提供的，万有引力的另一个分力即为重力(由于自转所需向心力很小，通常认为重力近似等于万有引力)。

从赤道向两极因做圆周运动的半径逐渐减小，故所需向心力逐渐减小，重力逐渐增加。

在两极F万＝G，在赤道上F万＝G＋F向。

[典例1] 地球赤道上物体的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球自转角速度应为原来的多少倍？( )A.gaB.g＋aaC.g－aaD.ga二、“公转”天体模型模型特点：绕另一天体(称为中心天体)做匀速圆周运动的天体称为“公转”天体，其做圆周运动所需向心力由中心天体对其吸引力提供，如人造卫星绕地球运动，地球绕太阳运动等。

[典例2] 如图1所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：图1(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的密度；(3)该星球的第一宇宙速度v；(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T。

三、双星模型模型特点：在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

(1)彼此间的万有引力是双星各自做圆周运动的向心力——作用力和反作用力。

(2)双星具有共同的角速度。

(3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上。

[典例3] 两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两星中心的距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

万有引力与航天模型ppt课件

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5.224 1012 m
二、“中心天体圆周轨道”模型
“中心天体圆周轨道”模型指一个天体(中心天体)位于中心位置不动(自转除外)，另一个天体(环绕天体)以它为圆心做匀速圆周运动，环绕天体只受中心天体对它的万有引力作用. 解答思路由万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，据牛顿第二定律，得 Mm v2 2 G 2 man m mr 2 mr ( )2 r r T
Mm r2
⑥轨道所在处的向心加速度 g ' GM r2 (3)可求第一宇宙速度物体在地球表面附近环绕地球运转，其实就是“中心天体-圆周轨道”模型。求第一宇宙速度有两种方法:
Mm v2 GM ①由 G 2 m 得 v R R R Mm ②由 mg G 2 得 v gR R
其他星球的第一宇宙速度计算方法同上，M 为该星球的质量, R 为该星球的半径，
g 为该星球表面的重力加速度，依据已知条件，灵活选用计算公式.
【例2】随着我国“嫦娥二号”的发射和回收成功。标志着我国的航天技术已达到世界先进水平。如图所示，质量为m的“嫦娥二号”绕地球在圆轨道 Ⅰ上运行时，半径为r1，要进入半径为r2的更高的圆轨道Ⅱ，必须先加速进入一个椭圆轨道Ⅲ，然后再进入圆轨道Ⅱ。已知飞船在圆轨道Ⅱ上运动速度大小为v，在A点通过发动机向后以速度大小为u（对地）喷出一定质量气体，使飞船速度增加v’到进入椭圆轨道Ⅲ。（已知量为：m、r1、r2、v、u、v’）求： m ⑪飞船在轨道I上的速度和加速度大小. Ⅱ ⑫发动机喷出气体的质量 .
【例5】某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远
镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天(太阳光直射赤道)在日落12 小时内有多长时间该观察者看不见此卫星?已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T,不考虑大气对光的折射.

万有引力与航天公式

万有引力与航天公式
嘿，让我来给你讲讲万有引力与航天公式那些超厉害的公式呀！
首先就是那个大名鼎鼎的万有引力公式：F=GMm/r²。

比如说，就像地球和月球，地球的质量很大，月球的质量也有那么一些，它们之间的距离也确定，哇塞，那它们之间的引力就可以通过这个公式算出来啦！这就好像是一个神秘的纽带把它们紧紧联系在一起呢！
还有向心加速度公式a=v²/r。

想象一下，卫星在绕着地球转呀转，它的速度和轨道半径决定了它的向心加速度呢，如果速度很快很快，轨道又比较小，那向心加速度不就超大啦，卫星可就得超快地转啦！
再有向心力公式F=mv²/r。

就好比一辆赛车在弯道上飞驰，车速和弯道半径就决定了它需要多大的向心力来保持不飞出去呀！
哎呀，这些公式是不是超级神奇呀！它们可是打开航天世界大门的钥匙呢，让我们能更好地探索宇宙的奥秘呀！你说是不是很了不起呢？。

万有引力与航天中的几何关系

万有引力与航天中的几何关系
万有引力与航天中的几何关系主要表现在以下几个方面：
1. 向心力关系：同步卫星与近地卫星都是通过万有引力提供向心力。

对于赤道上的物体，万有引力的部分分力提供向心力。

2. 向心加速度关系：由于向心加速度的大小与轨道半径成反比，所以向心加速度的关系是近地卫星>同步卫星>赤道上的物体。

3. 周期关系：近地卫星和赤道物体的周期都为24小时，所以周期的大小关系是同步卫星=赤道物体>近地卫星。

4. 线速度关系：由于线速度与轨道半径成反比，所以线速度的大小关系是近地卫星>同步卫星>赤道物体。

以上信息仅供参考，如需了解更多信息，建议查阅相关书籍或咨询专业人士。

完整版)万有引力与航天公式总结

完整版)万有引力与航天公式总结在天体运动中，可以采用匀速圆周运动模型、双星模型和“天体相遇”模型三种模型来描述。

其中，匀速圆周运动模型是指天体围绕中心天体做匀速圆周运动，双星模型是指两颗彼此距离较近的恒星相互之间的万有引力提供各自转动的向心力，而“天体相遇”模型则是指两天体相距最近的情况。

2.地心说和XXX说是两种关于宇宙结构的学说，地心说由古希腊科学家XXX提出，认为地球是宇宙的中心，而日心说则由波兰天文学家哥XXX提出，认为太阳是宇宙的中心。

3.开普勒定律是关于行星运动的三个定律之一。

第一定律指出，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上；第二定律指出，对于每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积；第三定律则指出，所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R的三次方跟公转周期T的二次方的比值都相等。

4.牛顿万有引力定律是描述宇宙间物体相互作用的定律。

该定律指出，宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比。

该定律适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用，与它们所在空间的性质无关，只与它们本身的质量、它们之间的距离有关。

引力常数G是表示两个质量均为1kg的物体，相距为1米时相互作用力的大小，其值为6.67×10^-11 N·m/kg。

5.解决天体运动问题的两种方法，一种是采用万有引力提供向心力的思路，即认为天体运动的向心力由万有引力提供；另一种是采用角动量守恒的思路，即认为天体在运动过程中角动量守恒，从而推导出天体运动的规律。

万有引力定律是描述质点间引力作用的基本定律，它表明任何两个质点之间都存在引力，且这个引力与它们的质量和距离有关。

在地球表面，万有引力近似等于重力，其大小为10^-11N，即F万=G(Mm/r^2)，其中G为万有引力常数，M为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心的距离。

万有引力与航天专题：双星模型、变轨问题和地球表面物体的运动

二、变轨问题
卫星的发射过程动画
二、卫星的变轨问题
1.变轨原理及过程人造卫星的发射过程要经过多
次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。 (2)在A点点火加速，由于速度变大，进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
期相等，角速度也相等。由 v=rω 得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的。因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，
由G
M1M 2 L2
M1r12 ， G
M1M 2 L2
M 2r22
可知： M1r1 2 M 2r2 2 ，所以它们的轨道半径
与它们的质量是成反比的。而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的。正确答案为：BD。
【解析】这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起，从而保持两星间距离L不变，且两者做匀速圆周运动的角速度ω必须相同。如图所示，两者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2。由万有引力提供向心力，有
处理方法：
对m1来说：
G
m1m2 L2
＝m1ω2R1
对m2来说：
A.飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于经过Q的速度 B.飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过M的速度 C.飞船在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅰ上运动的周期 D.飞船在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过M的加速度
反思总结 1.变轨的两种情况
2.相关物理量的比较
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ。（2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，vⅡA＞vⅡB， (3)两个不同圆轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅠ＞vⅢ。（4）卫星在同一点的不管是椭圆还是圆，加速度一定相等。

万有引力与航天_章末复习总结

【例 5】 “神舟”六号飞船发射升空时，火箭内测试仪平台上放一个压力传感器，传感器上面压着一个质量为 m 的物体，火箭点火后从地面向上加速升空，当升到某一高度
时，加速度为 a＝g2，压力传感器此时显示出物体对平台的压力为点火前压力的1176，已知地球的半径为 R，g 为地面附近的重力加速度，试求此时火箭离地面的高度．
解析：设哈雷彗星离太阳的最近距离为 R1，最远距离为 R2，则椭圆轨道长半轴为 R＝R1＋2 R2.
根据开普勒第三定律RT23＝k，得
R2＝23 kT2－R1 ＝3 8×3.354×1018(75×365×24×3600)2 m－8.9×1010 m＝5.224×1012 m.
• 答案：5.224×1012 m
进入环月轨道，则必须 ( C )
A．在近地点P启动火箭向运动的反方向喷气 B．在近月点(远地点)Q启动火箭向运动的反方向喷气 C．在近月点(远地点)Q启动火箭向运动方向喷气 D．在近地点P启动火箭向运动方向喷气
• 人造卫星在运行中因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道半径会慢慢减小，
在半径缓慢变化过程中，卫星的运动还可近
• ①具有与星球自转相同的角速度和周期；
• ②万有引力除提供物体做匀速圆周运动所需的向心力外，还要产生重力．
• 因此，它既不同于星球表面附近的卫星环绕星球做匀速圆周运动(二者轨道半径虽然相同，但周期不同)，也不同于同步卫星的运转(二者周期虽相同，但轨道半径不同)．这三种情况又极易混淆，同学们应弄清．
• 章末复习总结
• 万有引力与航天问题中常用的模型有如下几种：
• 一、“椭圆轨道”模型
• 指行星(卫星)的运动轨道为椭圆，恒星(或行星)位于该椭圆轨道的一个焦点上．

万有引力与航天公式总结

万有引力与航天公式总结Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】万有引力与航天重点规律方法总结一.三种模型1．匀速圆周运动模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2．双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自转动的向心力。

3.“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。

二.两种学说1.地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密 2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼三.两个定律1.开普勒定律：第一定律（又叫椭圆定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上第二定律（又叫面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积。

第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。

表达式为：)4(223πGM K K TR== k 只与中心天体质量有关的定值与行星无关2.牛顿万有引力定律1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比.⑵.数学表达式:rF MmG 2=万⑶.适用条件:a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。

（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离）b. 当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算c. 认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的⑷．对定律的理解a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。

c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,它的存在才有实际意义.d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关.（5）引力常数G ：①大小：kg m N G 2211/67.610⋅⨯=-，由英国科学家卡文迪许利用扭秤测出②意义：表示两个质量均为1kg 的物体，相距为1米时相互作用力为：N 101167.6-⨯四.两条思路：即解决天体运动的两种方法1. 万有引力提供向心力：FF 向万= 即：222224n Mm v F G ma m mr mr r r Tπω=====万 2．天体对其表面物体的万有引力近似等于重力：即 2gR GM =（又叫黄金代换式）注意：②高空物体的重力加速度：〈+=2')(h R GM g 9.8m/s 2③关系:22')(h R g Rg+=五.万有引力定律的应用1.计算天体运动的线速度、角速度、周期、向心加速度。

高三物理例析常见天体和航天问题模型

例析常见天体和航天问题模型刘月刚（山东省沂南县第二中学 276300）运用万有引力定律研究天体（卫星）运动一直是高考命题频率较高的知识点。

虽然知识难度不大，规律性较强，但有关能力题目立意越来越新，物理模型的构建往往成了解决此类问题的瓶颈，下面试析一二：一、追及模型【例1】（2006江苏卷第14题）如图3所示，A 是地球的同步卫星。

另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h 。

已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心。

图3（1）求卫星B 的运行周期。

（2）如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？【解析】（1）由万有引力定律和向心力公式得 )(4)(222h R T m h R Mm G B+=+π mg RMm G =2 联立解得23)(2gR h R T B +=π （2）由题意得πωω2)(0=-t B 而32)(2h R gR T BB +==πω 故032)(2ωπ-+=h R gR t拓展1：若问何时第3次相距最近呢？提示由 πωω22)(0⨯=-t B 得032)(4ωπ-+=h R gR t拓展2：相距最近的条件是n t B πωω2)(0=-，（其中n=1，2，3 … …表示第2，3，4 … …次）变式：假设已知同步卫星A 绕地球运转半径是R ，周期是T ，设卫星A 、B 的轨道都是圆轨道，求两颗卫星的最近距离是多少。

提示：设卫星B 绕地球的周期为T B ，T B 〉 T,卫星A 、Ｂ每隔时间t 相遇一次，则由 B T t -Tt ＝1 得T B ＝T t tT +设卫星B 绕地球轨道半径为B R ,万有引力提供向心力有 B BB B B R T m R Mm G 2224π= 同理对于卫星Ａ绕地球运动也有 R Tm R MmG 2224π= 由上面两式有 2323T R T R B B =（也可直接由开普勒定律得出）R T t t R B 3/2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=所以当卫星Ａ、Ｂ最近时二者的距离有ｄ＝B R －R ＝R T t t 3/2⎪⎭⎫ ⎝⎛+－R提醒：围绕同一个天体运行的两颗卫星模型，用开普勒第三定律求解时间问题会更加简洁.二、探测模型【例2】2007年10月24日18时05分04秒我国的第一颗探月卫星“嫦娥一号”——从西昌起飞升空，迈出了探测月球的第一步，考察月球上是否存在水是其中的探测内容之一。

万有引力与航天重点知识、公式总结

万有引力与航天重点规律方法总结一.三种模型1．匀速圆周运动模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2．双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自转动的向心力。

3.“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。

第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R 的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。

表达式为：)4(223πGM K K T R == k 只与中心天体质量有关的定值与行星无关2.牛顿万有引力定律1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比. ⑵.数学表达式:rF MmG2=万⑶.适用条件:a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。

c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,它的存在才有实际意义.d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关.（5）引力常数G ：①大小：kg m N G 2211/67.610⋅⨯=-，由英国科学家卡文迪许利用扭秤测出②意义：表示两个质量均为1kg 的物体，相距为1米时相互作用力为：N 101167.6-⨯四.两条思路：即解决天体运动的两种方法1. 万有引力提供向心力：F F 向万= 即：222224n Mm v F Gma m mr mr r r Tπω=====万2．天体对其表面物体的万有引力近似等于重力：g m R MmG=2即 2gR GM =（又叫黄金代换式）注意：②高空物体的重力加速度：〈+=2')(h R GM g9.8m/s 2③关系:22')(h R gRg+=五.万有引力定律的应用1.计算天体运动的线速度、角速度、周期、向心加速度。

(完整版)万有引力与航天公式总结

3.“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。

第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R 的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。

表达式为：)4(223πGM K K T R == k 只与中心天体质量有关的定值与行星无关2.牛顿万有引力定律1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比. ⑵.数学表达式:rF MmG2=万⑶.适用条件:a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。

c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,它的存在才有实际意义.d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关.（5）引力常数G ：①大小：kg m N G 2211/67.610⋅⨯=-，由英国科学家卡文迪许利用扭秤测出②意义：表示两个质量均为1kg 的物体，相距为1米时相互作用力为：N 101167.6-⨯四.两条思路：即解决天体运动的两种方法1. 万有引力提供向心力：F F 向万= 即：222224n Mm v F Gma m mr mr r r Tπω=====万2．天体对其表面物体的万有引力近似等于重力：g m R MmG=2即 2gR GM =（又叫黄金代换式）注意：②高空物体的重力加速度：〈+=2')(h R GM g9.8m/s 2③关系:22')(h R gRg+=五.万有引力定律的应用1.计算天体运动的线速度、角速度、周期、向心加速度。

万有引力与航天

第四讲万有引力定律和航天[基础知识]（一）.一个物理模型：匀速圆周运动模型—把环绕天体绕中心天体的椭圆远动理想化为匀速圆周圆周.（二）一组公式：mg.mvωn mr4πT4πmr mrωr v m ma r Mm G 2222222=======（适于匀速圆周）.（三）四个定律：1.开普勒第一定律（轨道定律）：描述所有环绕天体绕中心天体的运动轨迹为椭圆，中心天体位于椭圆的一个焦点上.2.开普勒第二定律（面积定律）：描述某一环绕天体与中心天体的连线在相等的时间内扫过的面积相等.由vRt 21R L 21S 弧面==得，近地点速度大，远地点速度小.从能量角度解释：地球绕太阳运动，只受万有引力，机械能守恒.从近地点向远地点运动，F 万做负功，动能减小（v 减小）势能增大，在远地点速度最小）（v F 万⊥；从远地点向近地点运动，F 万做正功，动能增加（v 增加）势能减小，在近地点速度最大）（v F 万⊥.3.开普勒第三定律（周期定律）：所有环绕天体的轨道半长轴的立方跟它的公转周期的平方的比值都相等.k T a 23=，k 与环绕天体无关，是只与中心天体的质量有关的常量.4πGM T r T 4πmr r Mm G 223222=⇒= 4.万有引力定律：[表达式]221万r m m GF =，G —引力常量，由卡文迪许扭称实验测定. [适应条件]①两质点间的相互作用②对质量分布均匀的球体，r 为两球心间距 ③一个质量分布均匀的球体和球外一个质点，r 为质点到球心的间距. 5. 万有引力定律的两个推论（1）在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零.（2）在匀质球体内部距离球心r 处的质点（m ）受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体（M /）对它的引力.r mM GF 2/= 题型分类一、开普勒运动定律1. (对开普勒第二定律的理解及应用)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( ) A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大近地点太阳地球万F 万F v v远地点aC ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：（1）运行正确为T 0，只考虑万有引力，机械能守恒，故B 错.由P 到Q 运动时间为2T 0，线速度逐渐减小，由vt L =得，.4Tt ,4T t 0MQ 0PM ><故A 错C 对.（2）由M 到N 阶段，F 万与v 的夹角由钝角变为锐角，则万有引力对它先做负功后做正功，故D 对.2.为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( )A ．2∶1B ．4∶1C ．8∶1D ．16∶1解析：由开普勒第三定律得8,r r T T 3Q3p Q P ==故C 对ABD 错. 3.1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 1、v 2，近地点到地心的距离为r ，地球质量为M ，引力常量为G.则( )A ．v 1>v 2，v 1＝ GM rB ．v 1>v 2，v 1> GM rC ．v 1<v 2，v 1＝GM rD ．v 1<v 2，v 1>GM r解析：（1）由开普勒第二定律得v 1>v 2，则CD 错.（2）由供需关系得，从近地点向远地点运动时，将做离心运动，.rGMv r v m r Mm G 1212>⇒< 故B 对A 错.4.德国天文学家开普勒对第谷观测的行星数据进行多年研究，得出著名的开普勒行星三定律．设太阳系的行星绕太阳做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k 1，土星的卫星做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k 2，地球的卫星做匀速圆周运动的半径的立方与周期的平方的比值为k 3.已知M 太>M 土>M 地，则三者大小关系为( )A ．k 1＝k 2＝k 3B ．k 1>k 2>k 3C ．k 1<k 2<k 3D ．k 1>k 2＝k 3解析：由,k k 故k ,4πGMT r k T 4πmr r Mm G 321223222>>==⇒=ACD 错B 对. 二、重力加速度的计算1.地球表面上的重力加速度：万有引力是重力和向心力的矢量和.地球对物体的万有引力分解为两方向的力（1）竖直向下的重力与地面对物体的支持力平衡，（2）提供随地球自转需要的向心力.在两极上02mg R Mm G =，在赤道上212mRωmg RMm G +=.由于自转向心力远小于重力，常认为万有引力与重力近似相等. 黄金代换式.gR GM mg RMmG 22→=⇒=涉及到中心天体的半径R 和其表面的重力加速度g 在求解过程中均要利用黄金代换式.2.中心天体上空某高度h 处的重力加速度（中心天体的半径R ）由于物体不受中心天体的自转影响，则.h)(R GMg mg h)(R Mm G22+=⇒=+ 1.设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R ，宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F 1=F 0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F 2=F 0/2．假设第三次在赤道平面内深度为0.5R 的隧道底部，示数为F 3；第四次在距星表高度为R 处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F 4，已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是（）4FF ,4F D.F 0F ,415F C.F 0F ,4F B.F 4F F ,4F A.F 04034034030403========.解析：（1）在极点：012F F RMmG ==. （2）在赤道处：.mRω2F mRωF R MmG 20222+=+= （3）在隧道底部：设半径为0.5R 的球体质量为M /.由于质量分布均匀，密度相同，.8MM R (0.5R)M M 得πR 34ρ由M /33/3=⇒==半径0.5R 的球体对物体的引力2/(0.5R)m M G F =,则232232/mRω2F RMm G 0.5Rωm F (0.5R)m M G +=⇒⋅+= （4）在h=R 处的高空中，2422428mRωRMm Gm2Rω（2R）MmG=⇒=,即F 万全部提供向心力，处于完全失重状态，重力产生的现象消失，弹簧弹力为0.即F 4=0，故AD 错.解以上各式得,4FF 03=故B 对C 错.球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋d RC ．⎝⎛⎭⎪⎫R －d R 2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫R R －d 2[思路指导]由于重力远大于随地球自转需要的向心力，在没有特别指出考虑自转影响，或存在由于地球自转，某天体自转较快等字词，均认为F 万=mg.解析：地球重力为M ，半径为R ；半径为（R-d ）的球体质量为M /.在地球表面1mg R Mm G 2=，由3πR 34ρM =得M.)Rd R (M R d)(R M M 3/33/-=⇒-=星．假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10 m/s 竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m ，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(地球表面重力加速度g 取10 m/s 2)( )A ．5∶2B ．2∶5C ．1∶10D ．10∶1解析：（1）在某行星上：,50m/s g h 2g v 20020=⇒= 在地球上g=10m/s 2.3.1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”．若已知引力常量为G ，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1(地球自转周期)，一年的时间为T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L 1，地球中心到太阳中心的距离为L 2.下列说法正确的是( )A ．地球的质量m 地＝GR 2gB ．太阳的质量m 太＝4π2L 32GT 22C ．月球的质量m 月＝4π2L 21GT 21D ．由题中数据可求月球的密度解析：（1）求解某天体的质量，须把该天体作为中心天体，并知道其环绕天体的运动参量. 无月球的环绕天体的运动参量，故无法求解月球的质量和密度，故CD 错. （2）在地球表面，已知g 和R ，不考虑地球自转时,GgR mg m R mmG 2地02地=⇒=故A 错. （3）已知地球环绕太阳的周期T 2和轨道半径L 2.则22322太2222地22地太GT L 4πmT 4πL m L mmG=⇒=. 4．2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 6.67×10－11 N ·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3 解析：1s=103ms,估算数量级.在星体表面的物体对星体无压力时，即N=mg=0时，M 最小.31536-11-23222kg/m 105kg/m 2510710GT 3πρπR 34ρ，M T 4πmR R Mm G ⨯≈⨯⨯⨯≈=⇒==，D 对. 5.(多选)探索火星的奥秘承载着人类征服宇宙的梦想．假设人类某次利用飞船探测火星的过程中，飞船只在万有引力作用下贴着火星表面绕火星做圆周运动时，测得其绕行速度为v ，绕行一周所用时间为T, 已知引力常量为G ，则( )A ．火星表面的重力加速度为πv TB ．火星的半径为Tv 2πC ．火星的密度为3πGT 2D ．火星的质量为Tv 22πG解析：已知火星表面环绕r=R 、v 、T.则由.2πvTR T 2πR v =⇒=故B 对. （1（2（3四、等效思想、推论法解决万有引力定律问题“等效思想”、“推论法”解决问题的宗旨在于满足万有引力定律的条件. “填补法”是在满足万有引力定律的条件下解决问题的科学素养.6.如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西．若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度( ) A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大解析：设物体距离地心距离d.由于球壳内任意一点所受球壳的万有引力的合力为零，即只受球壳内部球体的万有引力.半径为d 的球体对其表面的引力：Gρπmd.34d m M G F ,M R d MπR 34ρM 2/万33/3====⇒= 则d,34πGρm F a 万==故a 先减小后增大，ABC 错D 对.7.如图所示，有一个质量为M ，半径为R ，密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为R2的小球体，并在空腔中心放置一质量为m 的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )A ．G Mm R 2B ．0C ．4G Mm R 2D ．G Mm2R2解析：（1）把小球体填补归位，由推论得，大球体对质点的引力等效于以大球体球心为球心半径为0.5R 的球体对质点的引力..2RGMm （0.5R）m M G F M,81M R (0.5R)M22//33/==== (2) 由推论得小球体对位于其球心的质点的引力F 2=0.(3) 剩余部分UI 质点的引力.2R GMmF F F F 2/2/==-=故ABC 错D 对.天体运动的“五类”热点问题一、对三种宇宙速度的理解及应用1. 第一宇宙速度（近地环绕速度）：最小的发射速度，也是最大的环绕速度.7.9km/s.m/s 107.9gR RGMv R v m R Mm G ,gR GM 312122=⨯===⇒==2. 第二宇宙速度（脱离速度）：是挣脱地球引力约束的最小发射速度11.2km/s.v 2=3. 第三宇宙速度（逃逸速度）：是挣脱太阳引力约束的最小发射速度16.7km/s.v 3=4. 宇宙速度与运动轨迹的关系：（1）v 发=v 1时，卫星绕地球做匀速圆周运动. （2）v 1<v 发<v 2时，卫星绕地球运动轨迹为椭圆. （2）V 2<v 发<v 3时，卫星绕太阳运动轨迹为椭圆.（3）v 发>v 3时，卫星挣脱太阳引力约束，飞离太阳系.1．(对宇宙速度的理解)(多选)2019年10月11日，中国火星探测器首次公开亮相，暂命名为“火星一号”，并计划于2020年发射．已知火星的质量约为地球质量的19，火星的半径约为地球半径的12.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )A ．发射速度只要大于第一宇宙速度即可B ．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C ．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度D ．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的23解析：（1）发射火星探测器，脱离地球约束，但不脱离太阳的约束，v 2<v 发<v 3,故AB 错C 对. （2）.v 32v 321291R R MMv v RGM v 1地1火火地地火1地1火1=⇒=⨯=⨯=⇒=故D 对. 2．(多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先从发射点P 进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )A ．该卫星在P 点的速度大于7.9 km/s ，且小于11.2 km/sB ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/sC ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度D ．卫星在Q 点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ解析：（1）v P =7.9km/s ，近地匀速圆周运动，7.9km/s<v P <11.2km/s,沿椭圆运动，A 对.（2）同步轨道Ⅱ的运行速度一定小于7.9 km/s （第一宇宙速度是最大的环绕速度），故B 错.（3）近地点的速度大于远地点的速度，故C 对.（4）在Q 点加速实现离心运动进入高轨道，故D 对.二、环绕天体的运动参量的比较和分析（一）同步卫星“六一定”：1.轨道平面一定，与赤道平面重合，2.周期运动，与地球自转周期相同T=24h.3.角速度运动，与地球自转角速度相同，4.高度运动，在赤道上方一定的高度处.5.线速度一定6.绕行方向一定，与地球自转方向一致. （二）极地卫星和近地卫星1.极地卫星运行一周经过南北两极，由于地球的自转，极地卫星可以实现全球覆盖.2.极地卫星，在地球表面附近环绕地球匀速圆周运动，轨道半径近似等地球半径，v 最大.3.两种卫星轨道平面一定通过地球的球心.（三）运动参量的比较，一定要明确向心力的来源，来源不同遵守的规律不同. 1.匀速环绕天体：万有引力全部充当向心力.遵守下列规律.⇒====22222T 4πmr mrωr v m ma r Mm G .GMr 2πT ,r GM ω,r GM v ,r GM a 332==== 三速及周期均是轨道半径的函数，随r 的增大三速减小周期增大.2. 地球表面上的物体随地球自转做圆周运动需要的向心力是由万有引力的分力提供的. 不遵守上述规律，但与地球自转角速度、周期相同，遵守：rω.v ,rωa 2==3.地球表面上的物体和环绕天体的圆周运动参量的比较，以同步卫星为桥梁，比较大小关系，（1）同步卫星与地球表面物体遵守rω.v ,rωa 2==（2）同步卫星和其他环绕天体遵守.GMr 2πT ,r GM ω,r GM v ,r GM a 332====3．(多选)地球同步卫星离地心的距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，地球的第一宇宙速度为v 2，半径为R ，则下列比例关系中正确的是( )A ．a 1a 2＝r RB ．a 1a 2＝(r R )2C ．v 1v 2＝r RD ．v 1v 2＝Rr解析：（1）同卫和赤道上物体ω相同，遵守a=r ω2,则.Rra a 21=故A 对B 错. （2）v 1和v 2均属于环绕速度，遵守rRv v r GM v 21=⇒=,故C 错D 对. 4.有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 在地球赤道上未发射，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星．各卫星排列位置如图，则有( )A.a 的向心加速度等于重力加速度gB.b 在相同时间内转过的弧长最长C.c 在4h 内转过的圆心角是π6D.d 的运行周期有可能是20h解析：（1）对a 有n 2ma mg R MmG+=，g a ma 且mg n n≠⇒>>，故A 错.（2）对b 、c 、d 同为环绕天体，由GM r 2π，T r GM v 3==得.T T ，T v v v d c b d c b <<>> 对a 、c 遵守.v v rωv 24h,T T a c c a >⇒===故v b 最大，B 对.T d <24h ，D 错.,3π4h 24h 2πθc =⨯=故C 错. 答案：B 三、供需关系谈变轨——卫星发射、回收、变轨分析.当rv m r Mm G 22=时，做稳定的匀速圆周运动.当r v m r Mm G 22<时，即在某点加速，卫星将做离心运动，卫星的发射原理. 当rv m r Mm G 22>时，即在某点减速，卫星将做近心运动，卫星的回收原理.设Ⅰ轨道速度v 1,Ⅲ轨道速度v 3，轨道Ⅱ上A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .（1）速度关系：.v v v v v ，v v v ,v v B 31A B 3311A >>>⇒>>> （2）周期关系：由开普勒第三定律得.T T T 321<<（3）加速度关系：正常运行时只受万有引力，Ⅰ、Ⅱ轨道上A 点加速度同，Ⅱ、Ⅲ轨道上B 点加速度同. （4）机械能关系：在同一轨道上运行时机械能守恒，轨道升高机械能增大.（5）卫星的对接：通常卫星在较低轨道加速，变轨离心，进入较高轨道与该轨道的卫星对接.5．(卫星轨道渐变时各物理量的变化分析)(多选)“神舟十一号”飞船与“天宫二号”空间实验室在太空中自动交会对接的成功，显示了我国航天科技力量的雄厚．已知对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下列说法正确的是( )A ．为实现对接，“神舟十一号”飞船与“天宫二号”运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B ．如不加干预，在运行一段时间后，“天宫二号”的动能可能会增加C ．如不加干预，“天宫二号”的轨道高度将缓慢降低D ．进入“天宫二号”的航天员处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用解析：（1）第一宇宙速度是最大的环绕速度，故A 错.宇航员处于失重状态，但仍受地球的引力，提供向心力.故D 错，BC 对.（2）“天宫二号”做匀速圆周运动时、由于存在稀薄大气的阻力作用，v 减小，将做近心运动，万有引力做的正功大于克服稀薄气体的阻力做的功，动能增加，故BC 对.6. (多选)我国计划于2019年在海南文昌发射场将“嫦娥五号”送上38万公里外的月球，采回月壤，实现航天工程绕、落、回的收关阶段．到时着陆器将自动从月面取样后从月表起飞，并在近月轨道实现自动交会对接后和返回舱一起返回地面，供科学家分析．了解这则新闻后物理兴趣小组进行了热烈讨论，绘制出了“嫦娥五号”奔向月球和返回地球的示意图，图中对接为取样后的对接点，实线圆为绕行器在半径为r 的圆轨道绕月等待着陆器返回的轨道，设着陆器取样并返回到绕行器的时间t 内绕行器飞行N 圈，全过程不考虑空气阻力的影响．已知引力常量为G ，月球的半径为R ，则兴趣小组提出了下列有关结论，其中表示正确的是( )A ．从地表发射后的“嫦娥五号”需要进行多次变轨，当其速度达到第二宇宙速度时才能飞抵月球B ．“嫦娥五号”沿椭圆轨道向38万公里外的月球飞行时，只有月球也运动到椭圆轨道的远地点附近时才能将“嫦娥五号”捕获，否则还要沿椭圆轨道返回C ．结合题中信息可知月球的质量为4π2r 3N2Gt2，二者在对接过程中有一定的机械能损失 D ．绕行器携带样品沿椭圆轨道返回地球时，虽然引力做功，动能增大，但系统的机械能不变解析：选BC ．从地表发射后的“嫦娥五号”需要进行多次变轨，以提高其绕行速度，但由于月球在地月系内，因此“嫦娥五号”不需要达到逃离地球的第二宇宙速度，A 项错误；由于月球也在绕地运行，只有当“嫦娥五号”沿椭圆轨道运动到远地点时，刚好月球也运动到这一位置，才能减速被月球捕获，若月球尚未到达目的地，地球的引力还会使“嫦娥五号”沿椭圆轨道返回，等待月球的下次到来，B 项正确；着陆器取样返回后与绕行器对接过程是合二为一的过程，相当于完全非弹性碰撞，一定有机械能损失，绕行器由万有引力提供向心力知G Mm r 2＝mr 4π2T 2，又T ＝t N ，故M ＝4π2r 3N2Gt 2，C 项正确；绕行器携带样品沿椭圆轨道返回近地轨道时，先经历了一个加速离心上高轨的过程，再沿椭圆轨道绕地球运动，接近地球时又要减速才能下低轨，进入近地轨道，这一返回过程有两个时段内有外力做功，只有椭圆一段外力不做功，由于题中指代不清，故D 项错误．四、双星和多星模型在天体运动中彼此相距较近，在相互间的万有引力作用下，围绕同一点做匀速圆周运动的星体系统称为宇宙多星模型．要充分利用宇宙多星模型中各星体运行的周期、角速度都相等这一特点. 要明确向心力的来源，明确圆周运动的圆心和轨道半径. 1.三式解决双星问题（设双星间距L ，角速度ω）.L.r r ,ωr m L m m G,ωrm Lmm G21222221211221=+==两式相等得2211r m r m =，轨道半径跟质量成反比. 两式相加求角速度：321L)m G(mω+=.2.三星、四星常见类型7.(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度解析：（1）由题设可知二者间距：n 2πr v n,2πr v 12r/s,400km，转速n r r L 221121===≈+= 则,v v 2πnL 21+=故C 对，各自自转角速度无法求出，D 错. （2）由L.r r ,ωr m L m m G,ωr m L mm G21222221211221=+==得32221L n 4π)m G(m=+,A 错B 对.8.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法错误的是( )A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为a2C ．四颗星表面的重力加速度均为GmR 2D ．四颗星的周期均为2πa2a (4＋2)Gm解析：（1）根据各个星体的受力特点，合外力均指向O 点，故A 对.2r 1r 1m2m0amm m m aa轨道半径a,22r =合外力的大小.2a 1）Gm 2（2cos45a m 2G a)2(m G F 2202222合+=+=故B 错.（2）对某一星体：.)Gm2(4a 2πa T T 4πmr 2a 1)Gm2（2F F 2222n 合+=⇒=+⇒=故D 对. （3）在某星体表面：.R Gmg g m R mm G220=⇒=故C 对. 五、天体的追及和相遇问题初始位置在同一直线上，内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻.1．由最近到最近（最远到最远）两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ＝2n π(n ＝1，2，3，…)．2．由最近到最远（最远到最近）当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足 (ωA －ωB )t ＝(2n －1)π(n ＝1，2，3…)．9.(多选)如图，三个质点a 、b 、c 的质量分别为m 1、m 2、M(M 远大于m 1及m 2)，在万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a ∶r b ＝1∶4，则下列说法中正确的有( )A ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶8B ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶4C ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线12次D ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次解析：（1）由开普勒第三定律得8:1T :T b a =，故A 对B 错.（2）b 转一周t=T b ,从此位置到第一次相距最近经t 1,设初始夹角为ɑ<900，则α-2π)t ω（ω1b a =-，即2πα1t T 7α2π)t T 2π-T 2π（1b 1b a -=⇒-=从第一次最近在t 2=T b -t 1时间内又有N 此相距最近，则.2πα6N 2Nπ)t ω（ω2b a +=⇒=-,故从初始位置经历7次最近时刻. （3）同理，在T b 也有7次相距最远的时刻，即共线次为14次，故C 错D 对.10. (多选)2013年4月出现了“火星合日”的天象．“火星合日”是指火星、太阳、地球三者之间形成一条直线时，从地球的方位观察，火星位于太阳的正后方，火星被太阳完全遮蔽的现象，如图所示，已知地球、火星绕太阳运动的方向相同，若把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，由此可知( )A ．“火星合日”约每1年出现一次B ．“火星合日”约每2年出现一次C ．火星的公转半径约为地球公转半径的34倍D ．火星的公转半径约为地球公转半径的8倍解析：（1）设每出现一次“火星合日”经t 时间.T 地=1年，T 火=2年.则2年t 2π）t T 2π-T 2π（火地=⇒=（由最远到最远），故A 错B 对.（2）由开普勒第三定律得C 对D 错.六、天体运动中的几何张角问题根据题中情景，由光线沿直线传播画出几何图形，通过几何图形找到边界光线，从而确定临界条件，并结合万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力，列式求解．11.利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A ．1 hB ．4 hC ．8 hD ．16 h 解析：由于轨道半径越小周期越小，如图所示卫星轨道半径最小.2R r R cos60最小半径r 202=⇒=，由GMr 2πT 322=.当T 1=24h 时，r 1=6.6R,则GMr 2πT 311=，则8h,T 1h )3.31(r r T T 23313212<<⇒== 故B 对ACD 错.12.．地球资源卫星“04星”绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，地球相对“04星”的张角为θ，引力常量为G ，则地球的密度为( )A ．3πGT 2sin 3θ2 B ．3πGT 2sin 3θ2 C ．3πGT 2sin 3θ D ．3πG T 2sin 3θ 解析：设地球半径为R ，“04”卫星轨道半径.θ21sin Rr =由.θ21sin GT 3πρπR 34ρM ,T 4πmr r Mm G 323222=⇒==故B 对ACD 错.。

用2个模型处理万有引力与航天关系

的距离大于１００ｋｍ时的情形，也可根据题意确定是
否是远离模型・如图２所示，中／一～－、 ●
．
天体是在中心天体的表面附近做匀速圆周运动，此时
心天体视为均匀球体，球心为
体的轨道半径为ｒ，周期为Ｔ，质
由式⑨可得，Ｃ，ｍ。＝－ｇｒ，可得距中心天体表面ｈ高处的重力加速度为 ⑩ 在中心天体表面仍有：Ｇｍ。一ｇ。Ｒ。，由以上两式
■
经认真审题可知，本题属于“ 远离模型” ，由
，＿解析
型育太处孙题
◇ 北京钱志华
的密度为：
ｌＤ一毒．
⑤
故对于附近模型，由式⑤可知，如已知万有引力
常量Ｇ，只需测得环绕天体在中心天体表面附近做圆周运动的周期，即可求得中心天体的密度．另外，由式
⑥
⑦
又由式② 可知，第一宇宙速度又可表达为
１一￣／ｇｏＲ， ⑧
所示，中心天体视为均匀球体，球心为０，半径为Ｒ，质量为ｍ。；环绕天体的轨道半径为ｒ，
周期为Ｔ，质量为ｍ．对于这样的匀速圆周运动，我们有以下近似和结论：
Ｉ＇＇
、、
为ｇ。、中心天体的半径为Ｒ，此时重力近似等于万有

万有引力与航天专题8、双星或多星模型

万有引力与航天专题8、双星或多星模型1.绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图6所示，双星系统模型有以下特点：图6(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2 (2)两颗星的周期及角速度都相同，即 T 1＝T 2，ω1＝ω2(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L(4)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1(5)双星的运动周期T ＝2πL3G (m 1＋m 2)(6)双星的总质量公式m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G例题1：.宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图7所示．若AO >OB ，则( BD )图7A ．星球A 的质量一定大于星球B 的质量 B ．星球A 的线速度一定大于星球B 的线速度C ．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D ．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大解析设双星质量分别为m A 、m B ，轨道半径分别为R A 、R B ，两者间距为L ，周期为T ，角速度为ω，由万有引力定律可知：Gm A m B L 2＝m A ω2R A ① Gm A m BL 2＝m B ω2R B ② R A ＋R B ＝L ③ 由①②式可得m A m B ＝R BR A ，而AO >OB ，故A 错误．v A ＝ωR A ，v B ＝ωR B ，B 正确．联立①②③得G (m A ＋m B )＝ω2L 3，又因为T ＝2πω，故T ＝2πL 3G (m A ＋m B )，可知C 错误，D 正确．例题2：假设宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，设其它星体对它们的引力作用可忽略。

万有引力与航天重点知识、公式总结

万有引力与航天重点规律方法总结一.三种模型1匀速圆周运动模型：无论是自然天体（如地球、月亮）还是人造天体（如宇宙飞船、人造卫星）都可看成质点, 围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动2 •双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们相互之间的万有引力提供各自转动的向心力。

3.天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。

•两种学说1. 地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密 2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼三.两个定律:所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上:对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积。

:所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴 R 的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。

3表达式为：R _K（K 」皿2） k 只与中心天体质量有关的 T24 二 2定值与行星无关2. 牛顿万有引力定律1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比 •⑵.数学表达式：F 万二G M ^22r⑶.适用条件：a. 适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。

（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离）b. 当r > 0时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算c. 认为当r > 0时，引力F 》：：的说法是错误的⑷.对定律的理解a. 普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力b. 相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。

c. 宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际意义.d. 特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在空间的性质无关，与周期及有无其它物体无关.1.开普勒定律：第一定律（又叫椭圆定律）第二定律（又叫面积定律）第三定律（又叫周期定律）（5）引力常数G :11 2 2① 大小：G =6.67 10 N m / kg ，由英国科学家卡文迪许利用扭秤测出② 意义：表示两个质量均为1kg 的物体，相距为1米时相互作用力为：6.67 10‘1 N四•两条思路：即解决天体运动的两种方法.. 2 . 21.万有引力提供向心力：F 万=F向即：尸万=G~r 亍=ma n2 •天体对其表面物体的万有引力近似等于重力:Mm5注意:③关系：2g _ R— 2 g (R h) 五.万有引力定律的应用1. 计算天体运动的线速度、角速度、周期、向心加速度。

万有引力与航天模型

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