中考专练之四边形的计算与证明——四边形与相似(解析版)

中考专练之四边形的计算与证明——四边形与相似

1. 已知：如图，在□ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．

（1）求证：AE⊥DF；

（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．

G

A

E

B C D

F

【答案】（1）见解析（2

）

【解析】：

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC .

∴∠BAD+∠ADC=180°.

∵AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，

∴

11

1,2

22

BAD ADC ∠=∠∠=∠.

∴

1

12()90

2

BAD ADC

∠+∠=∠+∠=︒.

∴∠AGD=90°.

∴AE⊥DF .

(2)由（1）知：AD∥BC,且BC= AD= 10，DC =AB=6，∠1=∠3,∠2=∠4.

∴∠1=∠AEB,∠2=∠DFC.

∴∠3=∠AEB,∠4=∠DFC.

∴BE=AB=6，CF=DC=6.

∴BF=4.

∴EF=2.

∵AD∥BC,

∴△EFG∽△ADG.

∴

1

5

EG EF

AG AD

==.

4

3

2

1

G

A

E

B C

D

F

∴

1

45

EG

EG =

-.

∴EG=2

3.

∴AG=10

3

.

由（1）知∠FGE=∠AGD=90°， 由勾股定理，得DG=

2023

，FG=

423

.

∴DF=82 .

2. 已知如图：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一点．连结AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若460,10AD DCB BS ===，∠.

（1）求AS 的长度； （2）求OR 的长度． 【答案】 （1）39

（283935

【解析】：

（1）过A 作AT ⊥BC ，与CB 的延长线交于T. ∵ABCD 是菱形，∠DCB=60° ∴AB=AD=4，∠ABT=60° ∴A T=ABsin60°=23TB=ABcos60°=2 ∵BS=10

∴TS=TB+BS=12， ∴22239AT TS +=(2)∵AD ∥BS

∴△AOD ∽△SOB

∴

42

105AO AD OS SB === 则25AS OS OS -=

∴

75

AS OS = ∵AS=239

∴71039

57

OS AS =

=

同理可得△ARD ∽△SRC

∴4263AR AD RS SC === 则

2

3AS SR RS -= ∴53

AS RS = ∴3639

55

RS AS =

=

∴OR=OS-RS=

1039639839

7535-=

3. 已知：如图，在△ABC 中，点D 是BC 中点，点E 是AC 中点，且AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， BE,AD 相交于点G ，过点B 作BF ∥AC 交AD 的延长线于点F ， DF=6.

(1) 求AE 的长； (2) 求AEG FBG

S

S

的值.

【答案】 （1）

23

2）

14

（1）∵点D 是BC 中点，点E 是AC 中点，AD ⊥BC ， BE ⊥AC ， AC AB CB ∴==

∴△ABC 是等边三角形

60C ∴∠

= 30F ∴∠

=

∵6DF =

1

232

BD BC ∴==

又∵BD DC EC AE ===

23AE ∴=

4. 如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，过点E 作EF ⊥EC 交边AB 于点F ，交CB 的延长线于点G ， 且EF=EC ．

（1）求证：CD=AE ；

（2）若DE=4cm ，矩形ABCD 的周长为 32cm ，求CG 的长．

【答案】 （1）见解析（2）13

A

G

D E C

B

（1）证明：在Rt △AEF 和Rt △DEC 中， ∵ EF ⊥CE ， ∴ ∠FEC =90°．

∴ ∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°， ∴ ∠AEF =∠ECD ． 又∠F AE =∠EDC =90°，EF =EC ， ∴ Rt △AEF ≌Rt △DCE ． ∴ AE =CD ． （2）∵ AD =AE +4，

∵ 矩形ABCD 的周长为32 cm ， ∴ 2（AE +AE +4）=32． ． 解得 AE =6． ∴ AF =4，BF =2.

由AD ∥BC 可证 △AEF ∽△BGF ． ∴

2AE AF

BG BF

==． ∴ BG =3.

∴ CG =13.

5. 如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长线上的点，且EB=AB ，DE 与AB 相交于点F ， AD=2，CD=1，求AE 及DF 的长．

【答案】 2 2

103

【解析】：

∵四边形ABCD 是矩形，且AD=2，CD=1，