行列式的计算技巧与方法总结

行列式的若干计算技巧与方法

内容摘要

1. 行列式的性质

2.行列式计算的几种常见技巧和方法

定义法

利用行列式的性质

降阶法

升阶法（加边法）

数学归纳法

递推法

3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法

拆行（列）法

构造法

特征值法

4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法

三角形行列式

“爪”字型行列式

“么”字型行列式

“两线”型行列式

“三对角”型行列式

范德蒙德行列式

5. 行列式的计算方法的综合运用

降阶法和递推法

逐行相加减和套用范德蒙德行列式

构造法和套用范德蒙德行列式

行列式的性质

性质1 行列互换，行列式不变．即

nn

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

n

2n

1n2

2212n12111nn

n2n12n 2221

1n 1211

. 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即

nn

n2

n1in i2i1n

11211

k k k a a a a a a a a a

k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211.

性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即

111211112111121112212121

2

1212.n n n

n n n n n n nn

n n nn

n n nn

a a a a a a a a a

b

c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K

K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即

k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n

21

2121112

11nn

n n in i i in

i i n

a a a a a a a a a a a a

212121112

11

=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即

nn n n kn k k kn in k i k i n a a a a a a ca a ca a ca a a a a

2

1

212

21

111211nn

n n kn k k in

i i n

a a a a a a a a a a a a

212121112

11. 性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即

nn n n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a

212121112

11=-nn

n n in i i kn k k n

a a a a a a a a a a a a

212121112

11.

性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即

00000nn

1

-n n,n2n1n 11-n ,11211 a a a a a a a a

.

2、行列式的几种常见计算技巧和方法 定义法

适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．

例1 计算行列式

004003002001

000.

解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244 ！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如

果41 j ，那么011 j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41 j 的项，同理只须考虑

1,2,3432 j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而

64321 ，所以此项取正号．故

004003002001000=

241413223144321 a a a a .

利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

nn n n

n

a a a a a a a a a a a a a

2211nn

3332232211312110

00000 ，nn nn

n n n a a a a a a a a a a a a a

221132133

323122211100

0000 . 例2 计算行列式n

n n

n b a a a a a b a a a a

21

21121

1n 1

11

D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的 1 倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．

解：将该行列式第一行的 1 倍分别加到第2,3…（1n ）行上去，可得

121n 11210000D 000n n n

a a a

b b b b b

K

K M M M O M K

.

2.2.2 连加法

这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．