第七章关系数据库理论(2)

练习2： 如下表所示的关系R，下列选项中关于该关系模 式属于第几范式判断正确的是（ D）。
零件号 P1 P2 P3 P4 单价 25 8 25 9
任何一个二元关系必 A、不是3NF B、是3NF但不是2NF 定属于基于函数依赖 C、是3NF但不是BCNF 最高范式BCNF。 D、是BCNF
学习要点： （1）理解Armstrong公理系统。
四、 Armstrong公理系统的有效性、完备性
1、有效性：由F出发可由Armstrong公理推导 出来的每一个函数依赖一定在F+中； 2、完备性是指：F+中的每一个函数依赖，必 定可由F根据Armstrong公理推导出来。
五、属性集关于函数依赖集闭包
定义3：设关系模式R<U，F>, Ai⊆ U(i=1,2,…) 则称所有用Armstrong公理从F可推出的函数 依赖X→Ai，由Ai组成的属性集合称为X关于函 数依赖集F的闭包,记作XF+（或X+）。
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九、最小依赖集求解算法
定理：每一个函数依赖集Ｆ均等价于一个极小函 数依赖集Ｆm。此Ｆm称为Ｆ的最小依赖集。
具体方法：逐一检查Ｆ中各函数依赖 1、计算最小依赖集算法 Ｘ→Ｙ，若Ｙ＝Ａ1Ａ2…Ａk, 输入：一个函数依赖集F。 ( k>2),则用｛X→Aj|j=1,2,…,k｝ 来取代Ｘ→Ｙ。 输出：F的一个等价最小依赖集F 。
所以F+共有35个具体如下： ∴∅→∅、A→∅、A→A、A→C、A→AC B→∅、B→B、B→C、B→BC C→∅、C→C、 AB→∅、AB→AB 、AB→A、 AB→B 、AB→C、AB→BC 、AB→AC、 AB→ABC 、 BC→∅、BC→BC、BC→B、BC→C、 AC→∅、AC→BC、AC→B、AC→C、 ABC→∅、ABC→ABC 、ABC→A、 ABC→B 、ABC→C、ABC→BC 、 ABC→AB、ABC→AC
二、推理规则（p183） 如：(sno,sname)❀设关系模式为R <U，F> >sname （1）A1自反律（Reflexivity）： 若Y X U，则X →Y为F所蕴含。 证明: 设Y X U （仅需了解！ ） R <U，F>的∀r中，对∀元组t，s： 若t[X]=s[X]，(1) ∵Y X，则t[Y]=s[Y]，(2) 注意：由自反律所得到的 函数依赖均是平凡的函数 ∴由(1),(2)可得X→Y成立，自反律得证。
若已知：sno->sname,sdept 可得：sno->sname, sno->sdept
三、函数依赖闭包定义
定义2：由被F逻辑蕴涵的函数依赖的全体构成 的集合，称为F的闭包，记作F+。
四、 Armstrong公理系统的有效性、完备性 1、有效性：由F出发可由Armstrong公理推导 出来的每一个函数依赖一定在F+中； 2、完备性是指：F+中的每一个函数依赖，必 定可由F根据Armstrong公理推导出来。
（4）由Armstrong公理得到以下推论:(p184) 1）、合并律：如果X→Y和X→Z成立，则X→YZ 成立。 若已知sno->sname, sno->sdept 2）、伪传递律：如果X→Y和WY→Z成立，则 可得： sno->sname,sdept WX→Z成立。 3）、分解律：如果X→Y和Z⊆Y成立，则X→Z成 立。 （5）根据合并规则和分解规则，可得的引理： 引理1： X→A1 A2…Ak成立的充分必要条件是 X→Ai （i=l，2，…，k）成立。
实例
实例5：对于4.l节中的关系模式St<U，F>，
U={sno,sname,sdept,dname,cname,grade}， F={ sno→sdept, sno→sname, sdept→dname， （sno，cname）→grade } 设F’={sno→sdept, sno→dname, sdept→dname， (sno，cname)→grade，(sno,sdept)→sdept} F是最小覆盖，而F ’不是。 因为：F ’-{sno→dname}与F ’等价 F ’-{(sno，sdept)→sdept}也与F ’等价 F ’-{(sno，sdept)→sdept} ∪{sno→sdept}也与F ’等价
m
方法： （1）应用分解规则，使Ｆ中每一个依赖的右部属 性单一化。
实例
（2）去掉多余的依赖。 具体方法：逐一检查由每前一步 所得到的新函数依赖集Fi (i=1,…K, k>=1)中的函数依赖， 从Ｆi中去掉它（假设该依赖为 Ｘ→Ｙ），在G=Fi-{X→Y}中求 ＸG＋,看ＸG＋是否包含了Ｙ， 若是，则去掉Ｘ→Ｙ； 若不包含Ｙ，则不能去掉Ｘ→Ｙ。
实例2、设有关系模式R（A，B，C，D，E）， 其上的函数依赖集： F={A→BC，CD→E，B→D，E→A} （1）计算(AC)F+。 （2）计算(A)F+。 （3）计算(B)F+。 解： （1） (AC)F+ X(0)=AC X(1)=ACB X(2)=ACBD X(3)=ACBDE=U ∴ (AC)F+=ABCDE
依赖，自反律的使用并不 依赖于F。
Fra Baidu bibliotek
（2）A2.增广律（Augmentation）： 如：sno->sname，sdept⊆U, 则 若X→Y为F所蕴含，且Z (sno,sdept)->(sname,sdept) U，则 XZ→YZ为F所蕴含。 证明： （仅需了解！ ） 设R<U，F> 的∀r中，∀元组t，s； 若t[XZ]=s[XZ] （1）， 则有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z]；（2） ∵X→Y，则有t[Y]=s[Y]，（3） 由(2),(3)可得：∴t[YZ]=s[YZ] （4） 由(1)，(4)可得，则XZ→YZ为F所蕴含， 增广律得证。
（2）求BF+。 X(0)=B X(1)=BCD X(2)=BCD=X(1),循环终止。所以BF+ =BCD。 （3）求CF+ X(0)=C X(1)=C=X(0),循环终止。所以CF+ =C。
方法
（4）求(BC)F+。 X(0)=BC X(1)=BCD ∵X(2)=BCD=X(1), ∴(BC)F+ =BCD。 （5）求(AC)F+。 X(0)=AC X(1)=ACB ∵ X(2)=ACBD=U ∴(AC)F+ =ACBD。
（3）X(i+1)= X(i) ∪B 。 （4）判断X(i+1)=X(i)吗？ （5）若相等或X(i+1)=U，则X(i+1)就是XF+，算 法终止。 （6）若否，则i++,返回第（2）步。
实例
实例1、 U={A, B, C, D}; F={A→B, BC→D， B→C}; （1）求AF+ 解： X(0)=A 方法 ∴X(1)=X(0) ∪B=AB,显然X(1) ≠X(0)。 ∴ X(2)=X(1) ∪ C=ABC,显然X(1) ≠X(2)。 ∴ X(3)=X(2) ∪ D=ABCD=U，循环终止。 则再在F中找出左边是 逐一的扫描F集合中各个 ∴AF+=ABCD。 再逐一的扫描F集合， ABC子集的函数依赖，其结 函数依赖，找左部为A，的函 在F中找出左边是AB子集 果是：A→B， B→C， 数依赖。其结果是： A→B。 的函数依赖，其结果是： B未在闭包中，则将B加入闭 BC→D 。则D将加入闭包集 A→B， B→C。则C将加 中。 包集中。 入闭包集中。
如：sno->sdept，sdept->dname （3）A3.传递律（Transitivity）： 可得：sno->dname
若X→Y及Y→Z为F所蕴含，则X→Z为F所 蕴含。
证明：设X→Y及Y→Z为F所蕴含。 对R<U，F> 的∀ r，∀元组 t，s。 若t[X]=s[X] （1），∵X→Y，则 t[Y]=s[Y]； 又∵Y→Z，则有t[Z]=s[Z] （2）， ∴由(1),(2)可得：X→Z为F所蕴含，传递律得 证。
（2）掌握闭包计算算法。
（3）掌握最小函数依赖集计算算法。 （4）掌握关系模式分解无损连接性判定方法。
内容提要： 4.1基本知识点 4.2规范化 4.3Armstrong公理系统 4.4模式分解 4.4.1无损连接性判定 4.4.2函数依赖保持性 4.4.3候选码的求解理论和算法 4.4.4不同范式的模式分解算法 小结 4.5其它知识点(了解) 4.5.1多值依赖 4.5.2第四范式 4.5.3多值依赖公理(课后阅读) 4.5.4第四范式模式分解算法(课后阅读)
七、函数依赖集的等价和覆盖
定义4：一个关系模式R（U）上的两个依赖集 F和G，如果F+=G+，则称F和G是等价的，(函 数依赖集F覆盖G（F是G的覆盖，或G是F的覆 盖）。记作F≡G。
注：表示能力上是完全相同的。 如：F1={sno->sname,sno引理3:F+=G+的充要条件是F⊆G+，且G⊆F+。 >sdept,sdept->dname} F2={sno->sname,sdept>dname,sno->sdept,sno>dname} F1≡F2
引理2：设R<U,F>，X，Y⊆U，X→Y能由F根 据Armstrong公理导出的充分必要条件是Y ⊆ XF +。
六、闭包计算算法 1、计算XF+ 算法1：求属性集X关于函数依赖F的属性闭包 XF+。 关系模式R<U,F>，X⊆U。 输入：X，F。 输出：XF+ 步骤： （1）令X(0)=X，i=0 实例 （2）求B，这里 B={A|(∃V)(∃W)(V→W∊F∧V⊆X(i) ∧A ∊ W) 即在F中寻找其左边为X(i)的子集的函数依赖， 将其右边在X(i)中未出现过的属性组成的新集合 B。
八、最小函数依赖集 定义5:F为一个极小函数依赖集(或称最小依赖集 或最小覆盖),记作Fm;应满足条件如下： （1）Fm的右部都是单个属性。
（2）确保在Fm中没有多余的函数依赖。（不存 在X→A，使得Fm-{X→A}与原Fm等价）。
（3）Fm中左部没有多余的属性。 （不存在X→A，Z⊂X，（Fm-{X→A}）∪ {Z→A} 与原Fm等价）
第四章
关系数据理论
之二
回顾小结与练习：
关系模式规范化的基本步骤（考查非平凡函数依赖） 1NF ↓ 消除非主属性对候选码的部分函数依赖 2NF ↓ 消除非主属性对候选码的传递函数依赖 3NF ↓ 消除决定因素不包含候选码的函数依赖 BCNF
练习1：
问：关系模式R中的属性全部是主属性,则R的 必定是_____。 3NF
4.3Armstrong公理系统 ——函数依赖公理 ✽一套推理规则，是模式分解算法的理论基础。 ✽用途： （1）求函数依赖集闭包、属性集闭包。 （2）求最小函数依赖集。 （3）求给定关系模式的候选码。 （4）模式分解。
一、逻辑蕴含的定义（p183） 定义1: 设F是关系模式R <U>的一个函数依赖 集，X,Y⊆U,对∀r，X→Y都成立, 则称F逻辑蕴 含X →Y。 另一等价定义：设F是关系模式R <U>的一个 函数依赖集，X,Y⊆U,若从F中的函数依赖可推 出X →Y, 则称F逻辑蕴含X →Y。
（2） (A)F+=ABCDE。 （3） (B)F+=BD。 实例3、设关系模式R（U，F）， U={A，B，C，D，E，G}，且 F={D→G,C→A,CD→E,A→B}; 求D+,C+,(AD)+ 解： D+=DG C+=CAB (AD)+=ADGB
2、计算F+
(会方法即可)
实例4:已知关系模式R(ABC),F={A→C,B→C}, 求F+。 解：∵U={A，B，C}，左部不同的属性集组合 有23=8种：∅、A、B、C、AB、BC、AC、 ABC。
（1）∴∅→∅
（2）∵(A)F+=AC ∴A→∅、A→A、A→C、A→AC。
（3）∵(B)F+=BC ∴B→∅、B→B、B→C、B→BC。 （4）∵(C)F+=C ∴C→∅、C→C。 （5）∵(AB)F+=ABC ∴AB→∅、AB→AB 、AB→A、AB→B 、 AB→C、AB→BC 、AB→AC、AB→ABC 。 （6）∵(BC)F+=BC ∴BC→∅、BC→BC、BC→B、BC→C。 （7）∵(AC)F+=BC ∴AC→∅、AC→BC、AC→B、AC→C。 （8）∵(ABC)F+=ABC ∴ABC→∅、ABC→ABC 、ABC→A、 ABC→B 、ABC→C、ABC→BC 、ABC→AB、 ABC→AC。