导数在实际生活中的应用学案
高中数学第一章导数及其应用导数在实际生活中的应用教案苏教版选修
x x x x 6060导数在实际生活中的应用【教学目标】1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉ 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题.【教学重点、难点】解有关函数（如边际函数、边际成本）最大值、最小值的实际问题．【教学过程】一、复习引入：导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等最优解问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.利用导数求函数的最值步骤:（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[,]a b 上的最值.二、例题分析：例1、在边长为60cm 的正方形铁片的四角切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，当箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？b变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使其容积有最大值？例3、一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周CD BC AB l ++=最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b .例4、已知电源的内阻为r ，电动势为E ，当外电阻R 多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？例5、强度分别为a ，b 的两个光源A ，B 间的距离为d ，试问：在连结两光源的线段AB 上，何处照度最小？试就a =8，b =1，d =3时回答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）例6、在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为()C x ，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为()R x ，()()R x C x -称为利润函数，记为()P x ，（1）如果632()100.00351000C x x x x -=-++，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）如果()501000C x x =+，产品的单价()1000.01p x x =-，那么怎样定价可使利润最大？三、课堂小结（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单四、课后作业。
苏教版数学高二《导数在实际生活中的应用 》 精品学案 苏教
令 ，解得
当 时， ；当 时， ．
因此 时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
数的最大（小）值在 的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。
四、课堂小结
用导数求解优化问题的基本步骤：
（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量 与自变量 ，把实际问题转化
变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为 ．求产量q为何值时，利润L最大？
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
3．计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 ，每比特所占用的磁道长度不得小于 。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为 的磁盘，它的存储区是半径介于 与 之间的环形区域．
（1）是不是 越小，磁盘的存储量越大？
（2） 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
为数学问题，列出适当的函数关系式 ，并确定函数的定义区间；
（2）求 ，解方程 ，得出所有实数根；
（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值
五、作业：习题3.4 3、4
六、教后反思
三、范例讲解
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案一、教学目标1. 理解导数的基本概念和计算方法。
2. 掌握导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、优化问题等。
3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 导数的基本概念和计算方法2. 导数在速度和加速度中的应用3. 导数在优化问题中的应用4. 实际案例分析与练习三、教学重点与难点1. 重点：导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 难点：导数在优化问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 案例分析法：分析实际案例，引导学生运用导数解决实际问题。
3. 练习法：通过练习题，巩固所学知识。
五、教学准备1. 教案、PPT、教学用具。
2. 练习题及答案。
3. 实际案例素材。
第一章：导数的基本概念1.1 导数的定义1.2 导数的计算方法1.3 导数的几何意义第二章：导数在速度和加速度中的应用2.1 速度与加速度的导数关系2.2 匀加速运动的速度与位移2.3 非匀加速运动的速度与位移第三章：导数在优化问题中的应用3.1 优化问题的基本概念3.2 函数的极值与最值3.3 实际优化问题的求解方法第四章：实际案例分析与练习（一）4.1 案例一：物体运动的瞬时速度与加速度4.2 案例二：曲线切割面积的最优化4.3 练习题与解答第五章：实际案例分析与练习（二）5.1 案例一：商品折扣的最优化5.2 案例二：生产成本的最优化5.3 练习题与解答六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数6.2 动力学方程与导数6.3 能量守恒与导数七、导数在经济问题中的应用7.1 边际分析与导数7.2 成本分析与导数7.3 利润最大化与导数八、导数在生物问题中的应用8.1 种群增长与导数8.2 药物浓度与时间的关系8.3 生物酶活性与温度关系九、导数在其他领域中的应用9.1 图像处理中的导数应用9.2 信号处理中的导数应用9.3 气候变化与导数10.1 导数在实际应用中的重要性10.2 导数与其他数学概念的联系10.3 实际应用案例的进一步探讨重点和难点解析六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数：理解牛顿运动定律中的加速度概念，以及如何通过导数表示加速度。
高中数学11.导数在实际生活中的应用导学案
导数在实际生活中的应用【学习任务】1．通过本课的教学，对学生进行函数思想和方法的培养．2．通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．3．通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用．【课前预习】1、 挖一个半圆柱形的水池，其池面为圆柱的轴截面，若池面周长为定值2a ，则水池的最大容积是【合作探究】例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？例2用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?例3某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x 艘的产值为23R(x)3700x 45x 10x =+-（万元），成本函数为C(x)460x 5000=+（万元）。
又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x 1)f(x)=+-。
求：⑴利润函数p(x)及边际利润数Mp(x)；⑵年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？例4某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形且面积为200m 2 的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m.如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）.（1）写出总造价y （元）与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域;（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.【自我检测】 1、图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.2、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）。
第3章《导数及其应用-34导数在实际生活中的应用》导学案1.docx
第3章《导数及其应用-3.4.0 导学案教学过程一、数学运用【例1】如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰其屮O为圆心B在圆的直径上，C,D,E在圆周上.(1)设ZBOC =征地面积记为/*(&),求 /(&)的表达式;(2)当&为何值时，征地而积最人？解：(1)连接OE,可得0E = R, OB = RcosQBC =； &G 0,-I 2丿：• .f (&) = 2S梯形OBCE =炉(sin&cos& + cos&)(2) /(6>) = -/?2(2sin6>-l)(sin6>+ 1).1 (兀、令广(&) = 0 /. sin+1 = 0(舍)或者sin& = — V Oe. 0,—2 I 2丿・・・当处(0,f)，广(&) >0,06 (第)/(&) v0,o 6 2・••&=£时J9)取得最大.答：〃二彳时，征地面积最大.3【例2】若曲线y^+ax+b在点(0, b)处的切线方程是》)汁1二0,求G,加勺值.(见学生用书P71)［处理建议］学生口答，教师板书.［规范板书］解由题意知点(0,方)在曲线/O)=y=/+ar+b_h,又因为;/=2x+d,所以广(0)=a=k=l,又(0, b)在x・y+l=0上,所以b=l,所以a=l, b=l.变式已知函数/⑴=2疋+做与g(x)"『+c的图象都过点P(2, 0),且在点P处有公切线，求心)，g(Q的解析式.(见学生用书P71)［规范板书］f(x)=6,+Q, g\x)=2bx.因为在点P处心)和g⑴有公切线，所以几2)=炉(2),即6X22+«=2Z?X2,即24+cz=4Z?. ①因为/(兀)过点P(2, 0),所以0=2X2‘+2G即。
导数的实际应用(学案)
3.3.3 导数的实际应用学习目标利用导数知识解决实际生活中的最优化问题．学习重点利用导数知识解决实际中的最优化问题．学习难点将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．课前复习1．极大值与极小值的定义．2．求可导函数)(x f y =极值的步骤．3. 求可导函数)(x f y =在a [,]b 上的最值的步骤． 合作探究在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题。
导数是解决这类问题的基本方法之一。
现在，我们研究几个典型的实际问题。
例1 有一块边长为a 的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？例2 矩形横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成正比.要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？dhx课堂总结本节课你都学习了哪些内容？你有什么收获？利用导数解决优化问题的基本思路是什么？练习检测1．用长度为l 的铁丝围成长方形，求围成的最大面积.2．做一个容积为216mL 的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？3．等腰三角形的周长为2p ，问这个等腰三角形围绕底边旋转一周所成的几何体的体积最大时，各边长分别是多少？4．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p ＝24200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50000＋200x (元)．问该厂生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？5．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为多少时，材料最省？6．一正方形内接于另一固定的正方形（顶点分别在四边上），问内接正方形的一边与固定正方形的一边夹角取什么值时，内接正方形的面积最小？课后作业教材P102习题3-3 A 6, 7．。
导数在实际生活中的应用
选修2-2 第1章导数及其应用§1.4导数在实际生活中的应用第1课时（总第58教案）一、【教学目标】1、通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决设计问题中的作用；2、通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及建模能力的提高。
二、【教学重点】如何建立数学模型来解决实际问题。
三、【知识点】1、导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决；（求最值的又一新方法：导数）2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题，一般应先认真读题，建立目标函数后，然后用导数求解。
解题中应注意实际意义；3、解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化函数关系式，这需要通过分析，联想，抽象和转化完成，函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值就是它的最值，切记，切记。
四、【典型例题】例1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱子，当箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？例2、某种圆柱形饮料罐的容积一定时，它的高与底底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？例3、在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r ，电动势为E 。
当外电阻R 多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？例题4、强度分别为b a ,的两个光源A,B 间的距离为d ，试问：在连结两光源的线段AB 上，何处照度最小？试就3,1,8===d b a 时回答上述问题。
（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）例5、在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）若C(x)＝10005003.010236++--x x x ，则生产多少单位产品时，边际成本 )(x C ' 最低？（2）如果C (x)=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？图1 课 外 练 习 题1、做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27 ，且用料最省，则圆柱的底面半径 为 。
高中数学 3.4.1《导数在实际生活中的应用》教学案 苏教版选修1-1
导数在实际生活中的应用（一）
教学目标：
1、掌握解应用题的法，能分析出变量间的关系，建立起函数模型，确定自变量的定义
域。
2、能用导数的知识对实际问题求解。
教学重难点：
1、建立起函数模型，确定义域。
2、用导数的知识对实际问题求解
课前预习：
解应用题的思路与方法：
（1）审题：理解题意，分析问题的主要关系
（2）建模：
（3）求解：求得数学问题的解
（4）反馈：
典型例题：
例1、在边长为60厘米的正方形铁皮的，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
例2、某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底半径，使得所用材料最省？
例3、在平面直角坐标系内，过点（1，4）引一直线，截距都为正，且两截距之和最小，求这条直线的方程。
课堂练习：
1、内接于半径为R的半圆的矩形周长最大时，它的边长为；
2、做一个容积为256L的方底无盖水箱，它的高为，材料最省？
3、把长为60㎝的铁丝围成矩形，它的长为，宽为时，面积最大。
4、把长100㎝的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，？
课堂小结：。
高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修2_
1.4 导数在实际生活中的应用的能力.导数在实际生活中的应用导数在实际生活中有着广泛的应用．例如，用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的______问题，从而可用________来解决．预习交流1 做一做：有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为______ m 2.预习交流2做一做：做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为______．预习交流3用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题？预习导引 最值 导数预习交流1：提示：设矩形长为x m ，则宽为(8－x ) m ，矩形面积S ＝x (8－x )(8＞x ＞0)，令S ′＝8－2x ＝0，得x ＝4.此时S 最大＝42＝16(m 2)．预习交流2：提示：设半径为r ，则高h ＝27r 2，∴S ＝2πr ·h ＋πr 2＝2πr ·27r 2＋πr 2＝54πr＋πr 2，令S ′＝2πr －54πr2＝0，得r ＝3，∴当r ＝3时，用料最省．预习交流3：提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．一、面积、体积最大问题如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r .计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD =2x ，梯形面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．思路分析：表示面积时，首先要建立适当的平面直角坐标系，借助椭圆的方程，可表示出等腰梯形的高．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．1．求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解．2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，有利于解决问题．二、费用最省问题如图所示，设铁路AB =50，B ，C 之间距离为10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？思路分析：可从AB 上任取一点M ，设MB =x ，将总费用表示为变量x 的函数，转化为函数的最值求解．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？⎝⎛注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平⎭⎪⎫均购地费用＝购地总费用建筑总面积1．求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不2．在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；3．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域．三、利润最大问题某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？(2)若年销售量关于x 的函数为y ＝3 240⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润是多少？思路分析：根据题意建立目标函数关系式，利用导数求解．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间的关系为P ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x 元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤：第一步，分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )．第二步，求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0. 第三步，比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．1．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为______．2．一个箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，x 的值为__________．3．将8分成两个非负数之和，使这两个数中一个数的立方与另一个数的平方之和最小，则这个最小值等于__________．4．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为__________． 5．某商品每件成本9元，销售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低量x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？答案：活动与探究1：解：(1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ，满足方程222214x y r r+=(y ＞0)，解得y ＝2r 2－x 2(0＜x ＜r )．S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2， 其定义域为{x |0＜x ＜r }．(2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2),0＜x ＜r ，则f ′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )．令f ′(x )＝0，得x ＝12r .因为当0＜x ＜12r 时，f ′(x )＞0；当12r ＜x ＜r 时，f ′(x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 是f (x )的最大值．因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ＝332r 2，即梯形面积S 的最大值为332r 2.迁移与应用：解：设容器底面短边的边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5) m ，高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x (m)．由题意知x ＞0，x ＋0.5＞0， 且3.2－2x ＞0，∴0＜x ＜1.6.设容器的容积为V m 3，则有V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x (0＜x ＜1.6)．∴V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令V ′＝0，有15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)．∴当x ∈(0,1)时，V ′(x )＞0，V (x )为增函数， x ∈(1,1.6)时，V ′(x )＜0，V (x )为减函数． ∴V 在x ∈(0,1.6)时取极大值V (1)＝1.8，这个极大值就是V 在x ∈(0,1.6)时的最大值，即V max ＝1.8.这时容器的高为1.2 m.∴当高为1.2 m 时，容器的容积最大，最大值为1.8 m 3. 活动与探究2：解：设MB ＝x ，于是AM 上的运费为2(50－x )，MC 上的运费为4102＋x 2，则由A 到C 的总运费为p (x )＝2(50－x )＋4100＋x 2(0≤x ≤50)．p ′(x )＝－2＋4x100＋x 2，令p ′(x )＝0， 解得x 1＝103，x 2＝－103(舍去)．当x ＜103时，p ′(x )＜0；当x ＞103时，p ′(x )＞0，所以当x ＝103时，取得最小值．即在离B 点距离为1033的点M 处筑公路至C 时，货物运费最省．迁移与应用：解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N*),f ′(x )=48－210800x令f ′(x )=0,得x =15或x =－15(舍去)， 当x ＞15时，f ′(x )＞0；当10≤x ＜15时，f ′(x )＜0，因此当x =15时，f (x )取最小值f (15)=2000.故为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层. 活动与探究3：解：(1)由题意得：上年度的年利润为(13－10)×5 000＝15 000(万元)； 本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x )； 本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x )； 本年度年销售量为5 000×(1＋0.4x )，因此本年度的年利润为y ＝[13×(1＋0.7x )－10×(1＋x )]×5 000×(1＋0.4x ) ＝(3－0.9x )×5 000×(1＋0.4x )＝－1 800x 2＋1 500x ＋15 000(0＜x ＜1)，由－1 800x 2＋1 500x ＋15 000＞15 000，解得0＜x ＜56.所以当0＜x ＜56时，本年度的年利润比上年度有所增加．(2)本年度的年利润为f (x )＝(3－0.9x )×3 240×⎝⎛⎭⎪⎫－x 2＋2x ＋53＝3 240×(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)，则f ′(x )＝3 240×(2.7x 2－9.6x ＋4.5) ＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫59，1时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数． 所以当x ＝59时，f (x )取极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫59＝20 000万元． 因为f (x )在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．迁移与应用：解：每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． 当堂检测1．2πr 2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则R =r cos θ，L =2r sinθ，所以侧面积S =2πr cos θ·2r sin θ=4πr 2sin θcos θ.令S′=4πr 2(cos 2θ－sin 2θ)=0，解得ππ0,42θθ⎡⎤⎛⎫=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即当π4θ=，也就是R =2r 时，侧面积S 最大，且最大值为2πr 2. 2．40 解析：V (x )＝－12x 3＋30x 2，V ′(x )＝－32x 2＋60x ，令V ′(x )＝0，得x ＝40(x ＝0舍去)，且当0＜x ＜40时V ′(x )＞0；当40＜x ＜60时V ′(x )＜0，故V (x )在x ＝40时取得最大值．3．44 解析：设其中一个数为x ，则另一个数为8－x ，且0≤x ≤8，则y ＝x 3＋(8－x )2＝x 3＋x 2－16x ＋64， y ′＝3x 2＋2x －16＝0，解得x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－83舍去，且当0≤x ≤2时，y ′≤0；当2≤x ≤8时，y ′≥0，故当x ＝2时，y 取最小值44.4．25 解析：设矩形垂直于直径的一边长为x ，则另一边长为225－x 2，于是矩形面积S (x )＝2x ·25－x 2，则S ′(x )＝50－4x 225－x2，令S ′(x )＝0得x ＝522⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－522舍去，因此当x ＝522时面积取最大值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25.5．解：(1)设商品降价x 元时，多卖出的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则由题意，得f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．又由已知条件24＝k ·22，得k ＝6.∴f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]．(2)由(1)，知f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)． 当x故x 又f (0)＝9 072，f (2)＝8 664，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝18元，能使一个星期的商品销售利润最大．。
导数的应用教案
导数的应用教案教案1: 导数的应用——相关变化率教学目标:1. 理解导数的意义，能够解释导数代表相关变化率的含义。
2. 能够在实际问题中应用导数求解相关变化率。
3. 能够在实际问题中应用导数解决最优化问题。
教学准备:1. 教师准备相关变化率和最优化问题的实际应用例题，如某物体运动的速度和加速度问题，总收益和销售量的关系问题等。
2. 准备计算导数和求解最优化问题的手段和方法。
教学过程:引入：1. 导入相关变化率的概念，引导学生思考在我们日常生活中有哪些变量之间存在相关变化的情况，并了解相关变化率的重要性。
2. 引入导数的概念，解释导数代表相关变化率的含义，即导数表示因变量相对于自变量的变化速率。
探究：1. 通过实例和图形直观理解导数的概念，包括斜率、切线、变化率等。
2. 让学生进行实际问题的探究，如给定一个函数表达式，利用导数求解相关变化率的具体问题。
3. 引导学生通过具体实例，进一步理解导数的应用，如速度和加速度的关系问题。
拓展：1. 引导学生应用导数解决最优化问题，比如通过导数求解某函数的最大值、最小值等问题。
2. 引导学生思考一些实际问题，如制作某个产品的成本、利润与销售量的关系，利用导数求解最优销售量等实际问题。
实践：1. 组织学生分组完成一些实际问题的探究和求解，让学生练习运用导数求解实际问题。
2. 学生通过小组展示和分享，互相学习和交流，提高对导数应用的理解和掌握程度。
总结：1. 归纳和总结导数的应用领域，通过概念总结和案例分析，强化学生对导数应用的理解。
2. 提醒学生导数应用的实际意义和重要性，鼓励学生在日常生活中运用导数的方法和思想解决问题。
课后作业:1. 完成课后练习题，巩固导数应用的知识和技能。
2. 搜集相关应用实例，了解和探究更多的导数应用领域。
3. 思考导数应用的局限性和拓展方向，形成个人的思考和见解。
高中数学《导数在实际生活中的应用》导学案
第39课时导数在实际生活中的应用（2）自主导学导数在实际生活中的应用主要在、、等方面，用于解决有关最大值或最小值问题，一般地，应该先建立目标函数，再转化成前面用导数求函数最值问题.合作探究1.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(x∈N*)件之间的关系为P＝4200－x24500，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．2.在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)-C(x)称为利润函数，记为P(x).(1)如果C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000，那么生产多少单位产品时，边际成本C´(x)最低？(2)如果C(x)=50x+10000，产品单价为p(x)=100-0.01x，那么怎样定价可使利润最大？3.甲、乙两地相距100km ，汽车从甲地以速度v （km/h ）匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为80000元，可变成本与速度v 的平方成正比，比例系数为k(k>0).(1)当k=12.5时，为使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？(2)在条件（1）下，由于甲、乙两地间的道路需要维护，车速v 不得超过60（km/h ），为使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？(3)甲、乙两地间的道路需要维护，车速v 被限制在[40,60]（km/h ）内，为使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？回顾反思1.体会建构函数模型解决实际问题的基本思路；2.对于函数()(0,0)a f x x a x x=+>>，设其定义域为[m ，n]，求函数最小值时，（1[,]m n ，则可直接使用基本不等式求得最小值；（2[m,n]不能确定，则需分类讨论，且用导数证明单调性.当堂检测1.一杯80o C 的热茶值置于桌面上，热茶的温度T （o C ）随着时间t 的增加而逐渐下降，设T 与t 的函数关系为T=f(t)，则f ´(3)=-3的实际意义是.2.某市在一次降雨过程中,降雨量()y mm 与时间(min)t 的函数关系可近似地表示为()y f t ==则在时刻40min t =的降雨强度为.3.（2010江苏卷第14题）将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是.1。
《导数在生活中的简单应用》教学案例
《导数在生活中的简单应用》教学案例
一、案例介绍
通过本案例，学习生活中的导数应用，能够帮助学生结合实际，深入理解并发挥导数的作用。
二、案例分析
1.计算变化的速度
在工业当中，机器的生产速率是一项重要的考量指标。
经济学也是如此，许多因素会改变经济的速度，比如公司的生产能力和投资的总量等。
在这种情况下，求出变化的速度就显得非常重要。
这时我们就要用到导数，它可以帮助我们求出变量随着某个指标变化产生的变化速度。
2.计算函数最大值或最小值
导数也可以用来求函数的最值，比如可以用来求最优化问题，比如机器学习中的最佳拟合或经济的最优生产量等。
可以使用导数的概念来求出函数的极值点，比如令导数等于零得到函数极值点，也可以令导数等于无穷小得到函数最高点等，这些都靠着求导数的方法来完成。
3.解决定积分
导数也可以用来求积分，根据微积分里的积分计算公式$\int
\frac{dx}{f(x)}=log(|f(x)|)+c$，我们可以看出求取积分依赖于解决导数的问题，这在数学模型的建立中非常重要，比如生产成本可以用函数的积分表示法来分析，而这都需要先求出某函数的导数才能得到。
4.画函数图象
有时画函数图像也要靠求导数，因为极值点的判断也要通过求导数的方法来实现，比如用拉格朗日法则得到函数图像的极值点，用求导数的方法得到函数的极值。
三、案例结论
从上述案例我们可以看出，导数在生活中有非常多的应用，从计算变化的速度、求函数的最大值或最小值、求定积分、画函数图象等，都需要用到导数的概念。
求导数不仅可以提高我们对函数的理解和熟悉程度，还能够更好地理解问题所在，更人性化和完善地解决问题。
第3章《导数及其应用-34导数在实际生活中的应用》导学案2.docx
第3章《导数及其应用・3・4.2》导学案⑴教学过程一、问题情境(教材笫96页练习第2题)把长为100 cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形的面积之和最小？A C B(图1)二、数学建构问题1上面的问题我们在实际生活中经常会碰到类似问题，我们常常把它归结为最值问题，请同学们看一下这种解法解设一段长为兀cm,则另一段长为(100Y)伽，(X2-100X+5000).对称轴为“50,开口向上，故当兀=50时S有最小值.问题2这种解法是一种什么方法？解目标函数法.问题3 “目标函数法”是处理最值问题的常规方法，采用此法的处理步骤是什么？解一般引入一个变量将所求目标用函数形式建构函数表达式;根据题意写出引入变量的准确范围(即为定义域)；在所写定义域范围内求出函数的最值.问题4请同学们看看这种解法是否完善呢？解缺少定义域用(0, 100).问题5如果本题改成将分成的两段分别围成正方形和正三角形，则li标函数表达式是什么？解S=S[+S2，xG(0, 100).问题6本引例构建了一个二次目标函数最值问题，借助二次函数图彖可以迎刃而解，但如果构建的函数是高次函数或其他函数时，我们可以怎样来求最值呢？解应用导数法.导数在实际生活屮有着广泛的应用，利用导数法可以解决用料最省、利润最大、效率最高等最值问题•本课时我们就來学习导数在实际生活中的应用.三、教学运用【例1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现讣你设计一张如图1.4・1所示的竖向张贴的海报，要求版心而积为上、下两边各空2dm,左、右两边各空ldm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？128解：设版心的高为xdim则版心的宽为——dg此时四周空口而积为xi2X 5i2S(x) = (x + 4)(— + 2)-128 = 2% + 一 + &x>0x x512求导数，得S (x) = 2 —―。
JT512令S(x) = 2 ——=0,解得无=16(兀=一16舍去)。
精品导学案： 导数在实际生活中的应用
§67 导数在实际生活中的应用⑴【考点及要求】导数在实际问题中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有：⑴与几何有关的最值问题；⑵与物理学有关的最值问题；⑶与实际生活有关的最值问题；【典型例题讲练】1．与几何有关的最值问题：例1．在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底的铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？练习：某种圆柱形饮料罐的容积为V，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？变式1：表面积为定值S，如何制造，才能使其容积最大？变式2：例中若罐底单位造价为周围单位造价为侧壁部分单位造价的2倍，如何设计尺寸，使总造价最低？变式3：有一底半径为r（cm），高为h（cm）的倒立的圆锥容器，若以n(cm3)/s的速度向容器里注水，求注水t(s)的水面上长的速度。
2．与物理学有关的最值问题；例2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲乙两地相距100千米。
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【课堂检测】：1．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在缺皮的四角各截去一个面积相等的小正方形后把四边折起焊成铁盒，所做铁盒容积最大时，截去的正方形的边长为_____________。
2．如图，把边长为a 的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子，设高为h 所做成的盒子体积V(不计接缝).（1）写出体积V 与高h 的函数关系式；（2）当ha 为多少时，体积V 最大，最大值是多少？3．请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。
导数的实际应用导学案
导数的实际应用导学案【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【学法指导】1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．【知识要点】1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的_____或．这些都是最优化问题．2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的【问题探究】题型一面积、体积的最值问题例1如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？跟踪训练1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．题型二强度最大、用料最省问题例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？跟踪训练2挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？题型三省时高效、费用最低问题例3如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150 km.在岸边距点B 300 km的点A处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50 km，船时速为30 km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？跟踪训练3如图所示，设铁路AB＝50，BC＝10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？跟踪训练4某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【当堂检测】1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A．4 B．6 C．4.5 D．82．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为多少？3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝1128 000x3－380x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【课堂小结】1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤（1）找关系：分析实际问题中各量之间的关系；（2）列模型：列出实际问题的数学模型；（3）写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；（4）求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；（5）比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；（6）结论：根据比较值写出答案．2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.。
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以帮助我们理解函数的增减性、极值等性质。
1.2 导数的计算方法介绍导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数的导数等。
讲解导数的运算法则：导数的四则运算、复合函数的导数等。
1.3 导数的应用解释导数在实际应用中的意义：例如，求解物体的速度、加速度等问题。
举例说明导数在实际问题中的应用：如优化问题、物理运动问题等。
第二章：导数与函数的增减性2.1 引入增减性的概念解释函数的单调递增和单调递减：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
2.2 利用导数判断函数的极值解释函数的极值概念：函数在某一点的导数为0，且在该点附近导数符号发生变化的点。
讲解如何利用导数判断函数的极值：通过导数的正负变化来确定函数的极大值和极小值。
2.3 应用实例分析举例说明如何利用导数判断函数的增减性和极值：如函数f(x) = x^3的增减性和极值分析。
第三章：导数与曲线的切线3.1 切线方程的导数表示解释切线的概念：函数在某一点的导数即为该点处的切线斜率。
推导切线方程的一般形式：y y1 = m(x x1)，其中m为切线斜率，(x1, y1)为切点坐标。
3.2 利用导数求解曲线的切线讲解如何利用导数求解曲线的切线：求出切点坐标，求出切线的斜率，写出切线方程。
3.3 应用实例分析举例说明如何利用导数求解曲线的切线：如函数f(x) = x^2的切线求解。
第四章：导数与函数的单调性4.1 单调性的定义与性质解释函数的单调性：函数在某一段区间内，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
强调单调性的重要性：单调性可以帮助我们理解函数的变化趋势。
4.2 利用导数判断函数的单调性讲解如何利用导数判断函数的单调性：通过导数的正负来确定函数的单调递增或递减区间。
高中数学 导数在实际生活中应用导学案 苏教版选修2-2
§3.4导数在实际生活中应用（预学案）
1. 掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.
（预习教材P35~ P38，完成以下内容并找出疑惑之处）
一、知识梳理、双基再现
复习1：函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________
复习2：函数()sin f x x x =-在[0,]2
π
上的最大值为_____；最小值为_______.
二、小试身手、轻松过关
1. P38----练习3
2. P40----习题1.4第3题
三、基础训练、锋芒初显
1. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（）
A B C
2. P103----第8题
四、举一反三、能力拓展
1.一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒.
(1)试把方盒的容积V表示为x的函数.(2)x多大时，方盒的容积V最大？。
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导数在实际生活中的应用学案
3.4 导数在实际生活中的应用（1）
【学习目标】
1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；
⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题
【学习过程】
一、自学预习：（预习的时候，你要认真看书，多思考，多和同学讨论，取长补短，相信你一定能学得很好！）
1、温故：
1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个，记作y极大值=f(x0)，x0是
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个，记作y极小值=f(x0)，x0是
3.极大值与极小值统称为
4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“”，则是的极小值点，是极小值
5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值
6.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值（为什么？）．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个没有
7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值
二、课堂训练：
例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
提示：S=2 + h=
V(R)= R =
)=0 ．
例3在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为
R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为
C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
三:巩固训练
1、课本第84页练习1、
2、
3、4
2.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.
3.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？
4.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.
5.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大。