高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 11

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．抛物线的焦点是⎝ ⎛⎭

⎪⎫－14，0，则其标准方程为( ) A ．x 2＝－y B ．x 2＝y

C ．y 2＝x

D ．y 2＝－x

【解析】 易知－p 2＝－14，∴p ＝12，焦点在x 轴上，开口向左，

其方程应为y 2＝－x .

【答案】 D

2．(2014·安徽高考)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )

A ．y ＝－1

B ．y ＝－2

C ．x ＝－1

D ．x ＝－2

【解析】 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y .∴准线方程为y ＝－1.

【答案】 A

3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( )

A ．y 2＝8x

B ．x 2＝y

C ．y 2＝8x 或x 2＝y

D ．无法确定

【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2

＝2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以

所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C.

【答案】 C

4．若抛物线y 2＝ax 的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为( )

A ．(－2,0)

B ．(2,0)

C ．(2,0)或(－2,0)

D ．(4,0)

【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为⎪⎪⎪⎪

⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.当a ＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a ＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C.

【答案】 C

5．若抛物线y 2

＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )

A ．－2

B ．2

C ．－4

D ．4

【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴p 2＝2，即p ＝4.

【答案】 D

二、填空题

6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________.

【解析】 由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)，

半径为4，抛物线的准线为x ＝－p 2，由题意知3＋p 2＝4，∴p ＝2.

【答案】 2

7．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程是________．

【解析】 由题意知，P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，直线x ＋2

＝0为准线的抛物线，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .

【答案】 y 2＝8x

8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．

其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号 )

【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；

设M (1，y 0)是y 2

＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2

＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －52.若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．

【答案】 ②④

三、解答题

9．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M 的坐标．

【解】 由抛物线定义，焦点为F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－p 2，0，则准线为x ＝p 2.由题意，设M 到准线的距离为|MN |，则|MN |＝|MF |＝10，

即p 2－(－9)＝10.∴p ＝2.

故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2＝－4x ，解得y ＝±6， ∴M (－9,6)或M (－9，－6)．

10．若动圆M 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相

切，求动圆圆心的轨迹方程. 【导学号：26160056】

【解】 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由已知可得定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝1.

∵两圆外切，∴|MC |＝R ＋1.

又动圆M 与已知直线x ＋1＝0相切．

∴圆心M 到直线x ＋1＝0的距离d ＝R .

∴|MC |＝d ＋1，即动点M 到定点C (2,0)的距离等于它到定直线x ＋2＝0的距离．

由抛物线的定义可知，点M 的轨迹是以C 为焦点，x ＋2＝0为准

线的抛物线，且p 2＝2，p ＝4，

故其方程为y 2＝8x .

[能力提升]

1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2

－y 23＝1的渐近线的距离是( )

A.12

B.32 C ．1 D. 3

【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，

双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，

则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|

(3)2＋(－1)2＝32或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋1

2＝32. 【答案】 B

2．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3