_用等量代换求面积的方法

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六年级下册奥数试题-几何专题全国通用(含答案) (1)

小学奥数几何专题1、（★★）如图，已知四边形ABCD 中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD 与AD 垂直，则四边形的面积等于多少？[思路]：显然四边形ABCD 的面积将由三角形ABD 与三角形BCD 的面积求和得到．三角形ABD 是直角三角形，底AD 已知，高BD 是未知的，但可以通过勾股定理求出，进而可以判定三角形BCD 的形状，然后求其面积．这样看来，BD 的长度是求解本题的关键．解：由于BD 垂直于AD ，所以三角形ABD 是直角三角形．而AB=13，DA=12，由勾股定理，BD 2=AB 2－AD 2=132—122=25=52，所以BD=5．三角形BCD 中BD=5，BC=3，CD=4，又32十42=52，故三角形BCD 是以BD 为斜边的直角三角形，BC 与CD 垂直．那么：ABCD S 四边形=ABD S ∆+BCD S∆=12×5÷2+4×3÷2=36．．即四边形ABCD 的面积是36． 2、（★★）如图四边形土地的总面积是48平方米，三条线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米．那么最大的一个三角形的面积是________平方米；[分析]:剩下两个三角形的面积和是 48-7-9=32 ，是右侧两个三角形面积和的2 倍，故左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍，最大三角形面积是 9×2=18。

3．（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。

已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？[思路]：小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。

解：粗线面积：黄面积=2：3绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为2-1=1份，7 94、（★★）求下图中阴影部分的面积：【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

《等量代换的思想方法》数学教案设计

《等量代换的思想方法》数学教案设计第一章：等量代换的概念介绍1.1 等量代换的定义介绍等量代换的概念，解释在数学中用一个数量来代替另一个数量的过程。

通过实际例子展示等量代换的应用，如在计算中用一个已知数值来代替一个未知数值。

1.2 等量代换的性质与规则讲解等量代换的基本性质，如等量代换的单向性、无损性等。

引导学生理解等量代换的规则，如在进行代换时需要保持等式的平衡。

第二章：等量代换在几何中的应用2.1 等量代换在几何图形面积计算中的应用讲解等量代换在几何图形面积计算中的应用方法。

通过实际例子引导学生运用等量代换来简化几何图形的面积计算问题。

2.2 等量代换在几何体积计算中的应用介绍等量代换在几何体积计算中的应用方法。

通过实际例子引导学生运用等量代换来简化几何体积的计算问题。

第三章：等量代换在代数中的应用3.1 等量代换在方程求解中的应用讲解等量代换在方程求解中的应用方法。

通过实际例子引导学生运用等量代换来解决方程求解问题。

3.2 等量代换在不等式中的应用介绍等量代换在不等式中的应用方法。

通过实际例子引导学生运用等量代换来解决不等式问题。

第四章：等量代换在概率论中的应用4.1 等量代换在概率计算中的应用讲解等量代换在概率计算中的应用方法。

通过实际例子引导学生运用等量代换来简化概率计算问题。

4.2 等量代换在条件概率中的应用介绍等量代换在条件概率中的应用方法。

通过实际例子引导学生运用等量代换来解决条件概率问题。

第五章：等量代换在实际问题中的应用5.1 等量代换在商业问题中的应用讲解等量代换在商业问题中的应用方法。

通过实际例子引导学生运用等量代换来解决商业问题，如利润计算、成本分析等。

5.2 等量代换在科学实验中的应用介绍等量代换在科学实验中的应用方法。

通过实际例子引导学生运用等量代换来解决科学实验中的问题，如浓度计算、反应计量等。

第六章：等量代换在数据分析中的应用6.1 等量代换在统计数据处理中的应用讲解等量代换在统计数据处理中的应用方法。

初中数学常用的10种解题方法及业务学习材料

初中数学常用的 10 种解题方法第一次数学的解题方法是跟着对数学对象的研究的深入而发展起来的。

教师研究习题、精晓解题方法，能够促使教师进一步娴熟地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提升解题技巧，累积教课资料，提升业务水平易教课能力。

下边介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教课大纲领求掌握的。

1、换元法换元法是数学中一个特别重要并且应用十分宽泛的解题方法。

我们往常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去取代原式的一个部分或改造本来的式子，使它简化，使问题易于解决。

2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起侧重要的作用。

因式分解的方法有很多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还犹如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不单可用于计算面积，并且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的成效。

运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用概括法或剖析法证明平面几何题，其困难在添置协助线。

面积法的特色是把已知和未知各量用面积公式联系起来，经过运算达到求证的结果。

所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变为数目之间的关系，只需要计算，有时能够不添置补贴线，即便需要添置协助线，也很简单考虑到。

4、鉴别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0 （ a、b、 c 属于 R，a≠0）根的鉴别，△=b2-4ac ，不单用来判断根的性质，并且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程 ( 组 ) ，解不等式，研究函数以致几何、三角运算中都有特别宽泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还能够求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有特别宽泛的应用。

青岛版三年级上册数学教案：智慧广场(等量代换)

智慧广场（等量代换）教案一、教学内容本节课是青岛版三年级上册数学《智慧广场》单元中的“等量代换”部分。

教学内容主要包括等量代换的概念、应用以及相关的数学问题。

通过学习，学生能够理解等量代换的意义，掌握等量代换的方法，并能够运用等量代换解决实际问题。

二、教学目标1. 知识与技能目标：理解等量代换的概念，掌握等量代换的方法，能够运用等量代换解决实际问题。

2. 过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手操作能力、观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生的求知欲和探索精神，培养学生的合作意识和团队精神。

三、教学难点1. 理解等量代换的概念和意义。

2. 掌握等量代换的方法，能够运用等量代换解决实际问题。

四、教具学具准备1. 教具：等量代换的教具模型、PPT课件。

2. 学具：学生自备等量代换的学具模型、练习本、笔。

五、教学过程1. 导入新课- 通过PPT课件展示等量代换的图片和问题，引导学生观察和思考，激发学生的兴趣和好奇心。

2. 讲解概念- 通过PPT课件和教具模型，讲解等量代换的概念和意义，引导学生理解和掌握等量代换的基本概念。

3. 演示方法- 通过PPT课件和教具模型，演示等量代换的方法，引导学生观察和思考，帮助学生掌握等量代换的方法。

4. 练习巩固- 通过PPT课件和练习本，提供相关的练习题，让学生进行练习和巩固，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

5. 小组合作- 将学生分成小组，每组使用等量代换的学具模型，合作解决实际问题，培养学生的合作意识和团队精神。

6. 总结归纳- 对本节课所学内容进行总结和归纳，引导学生回顾和巩固等量代换的概念、方法和应用。

六、板书设计1. 智慧广场（等量代换）2. 正文内容：- 等量代换的概念和意义- 等量代换的方法- 等量代换的应用七、作业设计1. 练习题：提供相关的练习题，让学生进行练习和巩固。

三年级数学《等量代换》的说课稿

三年级数学《等量代换》的说课稿尊敬的各位领导、同事们，大家好！今天我要向大家介绍的是三年级数学课程中的一个重要概念——等量代换。

这个概念对于学生们建立数学基础，培养逻辑思维和解决问题的能力非常重要。

一、教学内容与目标等量代换是三年级数学中的一个重要概念，它是指将一个量用另一个与其等价的量来代替。

通过这个概念，学生们可以学习到如何用等价的方式表示两个量之间的关系，进一步理解数学中的等量关系。

本节课的教学目标包括：1. 理解等量代换的概念，掌握等量代换的方法。

2. 能够运用等量代换解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 通过观察、比较、分析、归纳等过程，培养逻辑思维和抽象思维能力。

二、教学方法与手段为了帮助学生们更好地理解和掌握等量代换的概念，我将采用以下教学方法和手段：1. 实物演示：通过实物演示的方式，让学生们直观地感受等量代换的概念。

例如，用苹果和梨的例子来解释等量代换，一个苹果等于一个梨，那么两个苹果等于两个梨。

2. 图片展示：通过展示图片的方式，引导学生们观察和分析图片中的等量关系，进一步理解等量代换的概念。

3. 数学游戏：通过数学游戏的方式，让学生们在轻松愉快的氛围中掌握等量代换的概念和方法。

例如，可以设计一个购物游戏，学生们扮演不同的角色，通过交易和交换商品来体验等量代换的过程。

4. 小组讨论：通过小组讨论的方式，引导学生们互相交流和学习，促进他们对等量代换的理解和应用。

5. 案例分析：通过案例分析的方式，让学生们运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。

例如，可以设计一个关于测量体重的案例，学生们需要使用等量代换的方法来计算总体重。

三、教学过程与步骤为了更好地实现教学目标，我将按照以下步骤进行教学：1. 导入新课：首先，我会向学生们介绍等量代换的概念和意义，帮助他们初步了解这个概念。

2. 讲解例题：接下来，我会通过讲解例题的方式，让学生们进一步理解等量代换的概念和方法。

例如，可以设计一个关于货币兑换的例题，让学生们通过计算汇率来体验等量代换的过程。

北师大版数学五年级上册4.1《比较图形的面积》说课稿2

北师大版数学五年级上册4.1《比较图形的面积》说课稿2一. 教材分析北师大版数学五年级上册4.1《比较图形的面积》这一节的内容，是在学生已经掌握了平面图形的面积计算方法的基础上进行教学的。

通过这一节课的学习，让学生能够理解并掌握比较不同图形面积大小的方法，培养学生的空间观念和抽象思维能力。

二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和抽象思维能力，对于平面图形的面积计算方法已经有了一定的了解。

但是，学生在比较图形面积大小的方法上可能还存在着一些困惑，需要通过实例和操作活动来帮助学生理解和掌握。

三. 说教学目标1.让学生能够理解并掌握比较不同图形面积大小的方法。

2.培养学生的空间观念和抽象思维能力。

3.培养学生合作交流的能力和解决问题的能力。

四. 说教学重难点教学重点：让学生能够理解并掌握比较不同图形面积大小的方法。

教学难点：如何帮助学生理解和掌握如何比较不同图形面积的大小。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用讲授法、谈话法、操作活动法、小组合作交流法等多种教学方法，帮助学生理解和掌握比较不同图形面积大小的方法。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出比较不同图形面积大小的方法。

2.讲解演示：通过讲解和演示，让学生理解和掌握比较不同图形面积大小的方法。

3.实践操作：让学生进行实际操作，巩固和加深对比较不同图形面积大小的方法的理解和掌握。

4.小组合作交流：让学生通过小组合作交流，共同解决问题，培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。

5.总结提升：对所学内容进行总结提升，让学生明确比较不同图形面积大小的方法。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出本节课的主要内容和知识点。

可以通过图示和文字的结合，让学生一目了然地看出比较不同图形面积大小的方法。

八. 说教学评价教学评价可以通过学生的课堂表现、作业完成情况、小组合作交流的情况等多方面进行。

通过评价，了解学生对比较不同图形面积大小的方法的掌握情况，为下一步的教学提供参考。

小学数学应用题《等量代换思路》解题方法

【等量代换思路】有些题的数量关系十分隐蔽，如果用一般的分析推理，难于找出数量之间的内在联系，求出要求的数量。

那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系，使未知条件转化为已知条件，使隐蔽的数量关系明朗化，促使问题迎刃而解。

这种思路叫等量代换思路。

例1 如图2.15的正方形边长是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面积比甲三角形大6平方厘米，求CE长多少厘米？分析（用等量代换思路思考）：按一般思路，要求CE的长，必须知道乙三角形的面积和高，而这两个条件都不知道，似乎无法入手。

用等量代换思路，我们可以求出三角形ABE的面积，从而求出CE的长，怎样求这个三角形的面积呢？设梯形为丙：已知乙=甲+6丙+甲=6×6=36用甲+6代换乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42即三角形ABE的面积等于42平方厘米，这样，再来求CE的长就简单了。

例2 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色棋子。

第一这三堆棋子集中一起，问白子占全部棋子的几分之几？分析（用等量代换的思路来探讨）：这道题数量关系比较复杂，如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子对换一下，那么这个问题就简单多了。

出现了下面这个等式。

第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）=第三堆（白子+黑子）（这里指的棋子数）份，则第二堆（全部黑子）为3份，这样就出现了每堆棋子为3份，3堆棋子的总份数自然就出来了。

而第三堆黑子占了2份，白子自然就只有3—2=1份了。

第一堆换成了全部白子，所以白子总共是几份也可求出。

最后去解决白子占全部棋子的几分之几就非常容易了。

为什么要规定“先乘除后加减”？对于这个问题，我们分两层来谈。

第一层先谈谈规定运算顺序的必要性，第二层再谈谈为什么要规定“先乘除后加减”。

（1）规定运算顺序的必要性。

先举两个例子予以说明。

例1 小勇买了一块橡皮，价18分，又买了3支铅笔，每支12分，一共多少钱？综合算式18＋12×3=18＋36=54（分）=5角4分根据题意，这道题先算乘法后算加法是合情合理的。

圆的组合图形面积及答案

圆的组合图形面积姓名：【知识与方法】要解决与圆有关的题目，需要注意以下几点:1、熟练掌握有关圆的概念和面试公式：圆的面积＝圆的周长=扇形的面积= 扇形的弧长=（ｎ是圆心角的度数）2、掌握解题技巧和解题方法：加减法、分割重组法、旋转平移法、对折法、抵消法、等积变形法、等量代换法、添辅助线法。

例1.求阴影部分的面积。

（单位:厘米)ﻫ解:这是最基本的方法:圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×１＝1.14(平方厘米）ﻫﻫﻫ例２．正方形面积是7平方厘米,求阴影部分的面积。

(单位：厘米)ﻫ解:这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。

ﻫ设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米,所以=７,所以阴影部分的面积为:7-＝7－×7＝1.50５平方厘米ﻫﻫ例3．求图中阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：最基本的方法之一。

用四个圆组成一个圆,用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2－π＝0.8６平方厘米。

ﻫ例4.求阴影部分的面积。

(单位：厘米)ﻫ解：同上，正方形面积减去圆面积,16-π()＝16-4π=３.44平方厘米ﻫﻫ例5.求阴影部分的面积。

（单位:厘米）ﻫ解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见,ﻫ我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形, π()×2－16=8π-１6=９.1２平方厘米另外：此题还可以看成是１题中阴影部分的8倍。

ﻫ例6.如图:已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问:空白部分甲比乙的面积多多少厘米?ﻫ解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差(全加上阴影部分)π-π(）=1０0.4８平方厘米ﻫ（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关)例7.求阴影部分的面积。

(单位:厘米）ﻫ解:正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求）ﻫ正方形面积为:5×５÷2=12.5所以阴影面积为:π÷4-12.５=７.1２5平方厘米ﻫ(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形）ﻫ例8．求阴影部分的面积。

小学三年级下册数学说课：等量代换

小学三年级下册数学讲课：等量代换讲课一、说教材、说内容本节课内容是义务教育课程标准实验教科书三年级下册第109 页例 2 的一节课，使学生初步领会等代换的数学思想方法。

等量代换是指一个量用与它相等的量去取代，它是数学中一种基本的思想方法，是代数思想方法的基础。

教课中，例2 利用天平的原理，经过解决一些简单的问题，使学生初步领会等量代换的思想方法，为此后学习简单的代数知识做准备。

等量代换的理论是比较系统、抽象的数学思想方法，在这里，只是让学生经过生活中简单理解的题材初步领会这类思想方法，为后继学习打下必需的基础，学生只需可以用自己的方法解决问题就可以了。

二、说学习目标：1．让学生初步领会等量代换的数学思想方法，为此后学习简单的代数知识做准备。

2．训练学生的察看水平易初步的逻辑推理水平。

3．经过数学活动认识数学与生活之间的宽泛联系，加强应意图识，提高学生解决问题的水平。

三、说教课要点难点：要点：领会等量代换思想在解题中的应用难点：可以将等量代换思想灵巧使用于解决实质问题中间去。

四、说教法、说学法数学是思想的体操，“学习数学就意味着解题”，解题的要点在于找到适合的解题思路，数学思想方法就是辅助建立解题思路的指导思想。

本节课学生只需可以用自己的方法解决问题就可以了，不用用等量代换这个数学化的语言推行描绘。

整节课也就一个问题，“怎么换？”。

教课中让学生利用天平的原理，经过察看、猜想、考证等一系列解决问题的活动过程，初步领会等量代换的数学思想。

五、说活动过程课的开始，我用故事的形式导入新课，“曹冲称象”这个故事，学生在语文课本中已经学过，因此学生很熟习，可是学生其实不知道这则故事里还包含着丰富的数学思想内涵。

由学生耳熟能详的故事导入，创建了学生感兴趣的情境，既形象又详细，既风趣又巧妙，充足调换了学生的学习兴趣，使学生在观看动画的同时很自然地进入了察看、发现的阶段，同时，较好地表现了数学内容生活化，表现了数学识题根源于生活的新理念。

《勾股定理》一章的热点问题

《勾股定理》热点问题希望达到的境界：宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天空云卷云舒线上教学勾股定理后，进行复习，复习方法是，学生自己总结知识点，然后通过做题，发现不会的问题，拍照发给老师，老师通过整理学生的问题，发现有关勾股定理的问题主要以下五种类型.这五种类型也是《勾股定理》一章的热点问题.特总结如下：一．求面积1.等边三角形ABC 的边长为6，（1）计算高AD 的长;（2）计算三角形的面积总结：边长为a 的等边三角形的高是h=23a ，面积S=243a 2. 已知等腰三角形的腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积.【方法】：等腰三角形的三线合一3. 已知△ABC 的三边长分别是AB=5,BC=13,AC=12,求△ABC 的面积.【方法指导】已知三角形三边长，求面积时，首先思考运用勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，然后再求面积.4. 已知直角三角形的直角边长为7，周长为56，求另一直角边长和斜边和这个三角形的面积.【分析】本题是运用三角形的周长与三边的关系和直角三角形三边满足勾股定理来解决问题的.5. 测得一块四边形草地的边长如图所示（单位：米），且∠ABC=90°，求这个草地的面积.【分析】求不规则四边形的面积问题：首先通过作辅助线将四边形转化为两个特殊的三角形，然后运用勾股定理逆定理判定两个特殊的三角形是直角三角形，最后运用求直角三角形面积求出不规则四边形的面积.秘诀：掌握住最常用的勾股数有助于解决问题.6. 如图，某会展中心在会展期间准备将高为5m,长为13m,宽为2m 的楼梯上铺上地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼梯至少需要多少元？【分析】这也是求长方形的面积问题.首先要明白这块地毯的长是怎样计算出来的.利用线段的平移法，将横铺的地毯向下平移发现和BC 重合，将竖直铺的地毯向右平移，和AC 重合，所以地毯的长为BC+AC.解决这个问题需要求出BC 的长.7.如图，已知在△ABC 中，点D,E,F 分别是BC,AB,AC 边上的点，且103 DB CD ,CF=CD,BD=BE,AE=AF,AB=12,AC=5, 求△ABC 的面积.【分析】根据比例，设适当的未知数，然后根据条件求出△ABC 的三边长，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC 是直角三角形，然后再根据直角三角形面积公式解决问题.8.四个全等的直角三角形按如图方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH,已知AM 为Rt △ABM 较长直角边，AM=22EF ，则正方形ABCD 的面积为【】A. 12SB. 10SC. 9SD. 8S 【分析】由题意可知EF=S ,AM=2S 2则，AM 的一半就是S 2，小空白矩形的宽就是S S -2,BM=S 2-（S S -2）=S在Rt △ABM 中，由勾股定理得：S S S BM AM AB 98222=+=+= 所以正方形ABCD 的面积是9S.答案：C9.分别以等腰Rt △ACD 的边AD ，AC ，CD 为直径画半圆，求证：所得两个月形图案AGCE 和DHCF 的面积之和（图中阴影部分）等于Rt △ACD 的面积二．求线段的长1.一木杆在离地面3m 处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m 处，木杆折断之前有多高？【提示】木杆与地面是垂直关系，运用勾股定理.2.如图，要从电线杆离地面5m 处向地面拉一条长1题为7m的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）.【分析】隐含条件：电线杆与地面是垂直关系，电线杆，地面，电缆构成直角三角形，运用勾股定理即可解决问题.3.如图，一个圆锥的高AO=2.4,底面半径OB=0.7.AB的长是多少？【分析】圆锥的高垂直于地面，即OA⊥OB，△AOB为直角三角形，有OA,OB 的长，由勾股定理就可以求出AB的长.4.如图，有一个直角三角形纸片ABC，两直角边长AC=3cm,BC=4cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且AC与AE重合，则CD的长等于.【提示】折叠的性质：折叠前后的线段相等，角相等.即：∠C=∠AED=∠BED=90°，CD=DE.再设适当的未知数，然后再根据勾股定理解决问题.5.如图（1）△ABE和△ACD都是等边三角形，则CE=BD.如图（2）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=3,BC=4,D 是△ABC外一点，且，△ACD 是等边三角形，则BD的长度为.【分析】（1）个图是引子，在第一个图的基础上，解决第（2）图的问题，需要作辅助线，构造两个等边三角形，将求BD的长转化为求CE的长.求CE的长时需要运用勾股定理来解决.6.如图，△ABG,△BCF，△CDE和△DAH为四个全等直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10,EF=2,那么AH= .7.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=2cm,求AC【分析】直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.8.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE=4,CF=3,求EF的长.9.如图，某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以AB为直径的半圆，已知AD=2.3m，AB=2m，现有一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽1.6m，问：这辆车能否通过厂门？说明理由.【分析】本题可以转化为求线段NE 的长度，然后和2.5m 进行比较即可.10.如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，P 是BC 上一点，且DB=DC ，过BC 上一点P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥CD 于F,已知AD:DB=1:3,BC=46，则PE+PF 的长是 .A.46B. 6C. 42D.26 【分析】先求出AB,AC ，BD 的长，然后连接DP ，再由面积法求出PE+PF 的长.【解】连接PD ，设AD=x,则DB=DC=3X,在Rt △ADC 中，∠A=90°，由勾股定理得：AC=22x在Rt △ABC 中，∠A=90°，BC=46由勾股定理得：96168x 22222=+=+x BC AB AC x=2∴AC=42;AB=8 DB=DC=6∵ PE ⊥AB 于E ，PF ⊥CD 于F,由面积法得：PF DC PE DB AC BD •+•=•，DB=DC∴PE+PF=AC=42答案：C11.某园艺公司对一块直角三角形的绿地进行改造，如图，测得两直角长AC=8m,BC=6cm,现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC 为直角边的直角三角形，求2题扩充后等腰三角形绿地的周长.【分析】假设扩充后的等腰三角形为△ABE,有三种情况：①AB=AE,②BA=BE ,③ EA=EB.如图①12.如图，直角坐标系中，∠ABC=90°，A （3,0）B （0，-1），以AB 为直角边在AB 边的上方作等腰直角△ABE ，则点E 的坐标是 .三．运用勾股定理进行证明三角形是直角三角形.1.已知a,b,c 分别为△ABC 的三边长，且满足c b a c b a 262410338222++=+++试判断△ABC 的形状.【分析】首先运用移项，将等号右边的整式移到等号的左边，等号右边为0；然后再配方，使等号左边化为几个非负数的和，从而求出a,b,c 的值，然后根据勾股定理逆定理，判断出三角形ABC 的形状.2. 如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h,试说明以a+b,h,c+h 为三边组成的三角形是直角三角形.【分析】首先由勾股定理得：222c b a =+，再根据面积法得出ab=ch,然后再分别计算出()()22,h c b a ++；最后运用等量代换变形得出满足勾股定理逆定理的式子，从而说明以a+b,h,c+h 为三边组成的三角形是直角三角形.3.设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a,b 及h, 求证：222111h b a =+4.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF=41CD ，求证∠AEF=90°【分析】首先设正方形的边长为a ，则用含a 的式子表示出222;;AF EF AE ,然后再计算两个式子的和是否等于第三个式子，从而判定△AEF 是直角三角形.5.如图，在四边形ABCD 中，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°【分析】首先作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理计算出AC 2，然后再计算AD 2和CD 2，比较三个数是否满足勾股定理逆定理，从而判断出三角形ACD 是直角三角形.最后根据四边形内角和是360°，从而达到解决问题的目的.6.如图，已知在△ABC 中，AB>AC ，AD 是BC 边的高，求证：()2=-2AB-ACBDCDBC【分析】由高得垂直，得90°的直角，从而得出两个直角三角形，并且这两个直角三角形有公共边AD.然后分别在两个直角三角形中由勾股定理求出AD2,则两个式子相等，然后根据平方差进行因式分解，即可达到解决问题的目的.四．作图题1.在数轴上作出20五．挑战题1.已知如图1，△ABC分别以AB,AC为边向△ABC外作正方形ABGE 和ACHF，直线AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P,FQ⊥AN于Q，判断EP,FQ 的数量关系并证明；如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，分别以AB,CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，线段AD的垂直平分线交线段AD于M，交BC于N，若EP⊥MN于P，FQ ⊥MN于Q，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.总之，以上问题全部来自学生的一手问题,通过总结发现老师讲过的知识点，学生未必都能掌握，不管是来自课本上的问题，还是基础训练上的问题，还是来自其他资料的问题，作老师的都一视同仁，面面俱到进行讲解.《勾股定理》一章，虽然内容较少，只有两个定理，但是运用广泛，题型千变万化，形式多种多样，但是万变不离其宗，只要我们用心研究，细心探索，相信我们是能解决相关问题的.。

等量代换解题技巧

等量代换解题技巧在各类数学题目中，有一种通用解题方法，即等量代换。

它是通过将未知量使用等值替代的方法，将题目中的式子变形求解，达到解题的目的。

这种方法可以适用于各种数学问题的解题中，有很高的实用价值。

本文将讲解等量代换解题技巧。

一、定义等量代换是指用等式中一个量的代换，把式子变为新的形式，但式子的值不变。

等量代换的前提条件是等式的两边经过变形后，它们仍然相等。

例如，若有一个等式: 2x+1=5，则这个等式可以进行等量代换。

我们将2x+1中的2x替换成y，则方程变为：y+1=5, 其中，y=2x。

这样将原有的未知量进行了等值替代，达到了解题的目的。

二、等量代换的基本步骤等量代换需要涉及到一些基本的代数运算，下面将简要介绍等量代换的基本步骤：1. 确定要代换的未知量。

2. 根据代入值进行等式变形。

3. 将新的等式带入原题，验证是否符合要求。

举个例子，若要解方程式6x+10=28，则可以使用等量代换法进行解题。

首先，确定要代入的未知量为y，则 y=3x+5(将6x替换成y）。

进一步变形：3x+5=9,则3x=4, x=4/3.将这个值代入原式，6x+10=28，若x=4/3，则6(4/3)+10= 28，符合要求。

因此，我们得到解:x=4/3。

三、应用等量代换法是一种基础的解题方法，可以应用到各种数学问题的解决中。

例如，在有关几何问题中，常使用等量代换法来解决各种求解面积和周长的问题。

比如，求解一个三角形的面积，我们可以计算出其底边和高，并代入求解公式，最终解出面积值。

在一些实际应用问题中，等量代换也有着广泛的应用。

比如，我们要在一段规定长度的绳子中切割出多段相同长度的绳子，我们就可以使用等量代换法来解决问题。

总之，等量代换法是一种简单而实用的解决问题的方法，在学习和研究数学的过程中，我们应该注意学习和掌握这种方法。

【奥赛】小学数学竞赛：工程问题(三).教师版解题技巧培优易错难

工程问题（三）教学目标1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．知识精讲工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．例题精讲工程问题方法与技巧（一）等量代换法【例 1】甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖4天后，再由乙队单独挖16天，共挖了这条水渠的25．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【解析】法一：甲、乙合作完成工程的25需要：230125⨯=(天)．甲队先做4天，比合作少了1248-=(天)；乙队后做16天，比合作多了16124-=(天)，所以甲队做8天相当于乙队做4天，甲、乙两队工作效率的比是4:81:2=．甲队单独工作需要：3030290+⨯=(天)；乙队单独工作需要：3030245+÷=(天)。

等量代换

3、情感目标：初步体验代换给人们生产、生活带来便利，感受它的现实价值。通过教学活动增强合作意识和竞争意识，感受用数学的乐趣，享受成功的喜悦。
教学重点：初步认识等量代换的数学思想。
教学难点：能运用等量代换思想解决问题。
教学具准备：
教具：多媒体课件，若干台能上网的笔记本电脑，一个苹果，一个西瓜，苹果、西瓜、砝码、奖杯和星星的图片
一、创设情境，故事导入
二、从生活入手，自主探索解决问题
1、初步感知等量代换的数学思想
2、动手操作，探索新知
三、分层练习，巩固新知
四、总结评价
五、网上学习，拓展延伸
五、教学过程
课前老师把同学们分成3大组（板书一、二、三）一会儿我们在课上要以组为单位进行夺金星的评比，看哪组最棒！
一、创设情境，故事导入
师：同学们你们喜欢看动画片吗?下面我们就开看一段动画片。
三、教学课题：
教学目标：
1、知识目标：（1）初步认识等量代换的数学思想，学会根据已知信息寻找事物间的等量关系，能解决日常生活中常见的简单问题。（2）在动手实践、观察、分析过程中，认识到“换”是按一定规则进行的，解决问题时应找出这个换的规则。
2、能力目标：通过自主探索，培养学生的动手能力、分析推理能力、语言表达能力。
板书设计：等量代换
＝＋＋＋
＝
教学反思：
本节课是人教版三年级下册《数学广角》例2，在教学后我有以下的收获和思考：
1、本节课最大的重点和难点在于如何把“换”的思想讲透、讲活，针对这一问题，我从学生和教师的两个角度进行了精心的设计。
（1）学生的学：课前我为学生准备了实用的学具，磁板和磁扣（代替苹果），便于学生操作。学生小组合作用学具直观的摆一摆，很快得到了一个西瓜的重量等于16个苹果的重量，并到投影上展示了自己的想法，有的学生是用一个1千克的砝码换4个苹果，一个一个换来的。有的同学是想到了4个4，4×4。这样的课堂真正体现了学生是学习的主人，让学生经历数学知识形成的全过程。

三角形等量代换数学题

三角形等量代换数学题【最新版】目录1.引言：介绍三角形等量代换数学题的背景和重要性2.三角形等量代换的基本概念和原理3.三角形等量代换的解题方法与技巧4.应用实例：通过具体的题目讲解三角形等量代换的实际应用5.总结：三角形等量代换数学题在数学学科中的地位和价值正文【引言】三角形等量代换数学题是一种常见的数学题型，它涉及到三角形的边长、角度以及面积等各个方面的计算。

这种题型不仅能够提高学生的计算能力，更能够锻炼学生的逻辑思维和解决问题的能力。

因此，掌握三角形等量代换数学题的解题方法与技巧，对于学生的数学学习具有重要的意义。

【三角形等量代换的基本概念和原理】三角形等量代换是指在三角形中，通过已知的条件，将一个变量用另一个变量表示出来，从而实现等量代换。

其基本原理是三角形的相似性和等角定理。

在等量代换的过程中，需要根据题目的具体条件，灵活运用这些原理，以求得正确的结果。

【三角形等量代换的解题方法与技巧】在解决三角形等量代换的数学题时，通常有以下几种方法与技巧：1.直接代换法：根据题目条件，直接将一个变量用另一个变量表示出来，然后代入公式进行计算。

2.间接代换法：通过已知条件，先求得一个中间变量，再将其用另一个变量表示，实现间接代换。

3.代入法：将一个变量用另一个变量表示后，将其代入到公式中，通过计算求得另一个变量的值。

4.列方程法：根据题目条件，列出方程组，通过解方程求得各个变量的值。

【应用实例】例如，有一道题目：已知三角形 ABC 中，AB=AC，求∠BAC 的度数。

这道题目可以运用三角形等量代换的方法进行求解。

根据已知条件，可以得到三角形 ABC 的两个角度相等，即∠B=∠C。

再根据三角形内角和定理，得到∠A+∠B+∠C=180°。

将已知条件代入公式，得到∠A+2∠B=180°。

因为 AB=AC，所以∠B=∠C，将其代入到公式中，得到∠A+2∠B=180°，即∠A+2∠C=180°。

几种不规则图形面积的解题方法

对于不规则图形面积的计算问题，一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。

常用的基本方法有：1. 直接求面积：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出组合图形面积。

例1：求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。

解答：通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为：（平方厘米）2.相加、相减求面积：这种方法是将组合图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加或相减求出该图形的面积。

例2：正方形甲的边长是5厘米，正方形乙的边长是4厘米，阴影部分的面积是多少？解答：两个正方形的面积：5×5+4×4=41（平方厘米）三个空白三角形的面积和：（5+4）×5÷2+4×4÷2+5×（5-4）÷2=33（平方厘米）阴影部分的面积：41-33=8（平方厘米）除了以上这两种方法，还有其他的几种方法，同学们不妨了解了解。

3．等量代换求面积：一个图形可以用与它相等的另一个图形替换，如果甲乙大小相等，那么求出乙的大小，就知道甲的大小；两个图形同时增加或减少相同的面积，它们的差不变。

例3：平行四边形ABCD的边BC长8厘米，直角三角形ECB的直角边EC长为6厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，平行四边形ABCD的面积是多少?解答：阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，分别加上梯形FBCG,得出的平行四边形ABCD比三角形EBC的面积大8平方厘米。

平行四边形ABCD的面积:8×6÷2+8=32(平方厘米)4.借助辅助线求面积：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法求面积。

例4：下图中，CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,CD的长是多少?解答:结合已知条件看图，很难有思路，连接DA,就可以发现：三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,分别加上三角形DAE得到的三角形ABD比三角形CDA的面积大2平方厘米。

几种不规则图形的解题方法 2

几种不规则图形的解题方法对于不规则图形面积的计算问题，一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。