八年级数学上-十字相乘法

1）.
x2 7 x 6 0
2） .
x 7 x 12
2
源自文库 思考2：
我们现在所研究的都是二次项系数是1的二 次三项式用十字相乘法进行因式分解，那 么当二次项的系数不是1，而是其他数字时 又该如何进行分解呢？ 例如： 3x 2 x 1
2
1.十字相乘法分解因式的公式： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。 3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的 分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1
4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
课外拓展:
若 A B 0 ，下面两个结论对吗？ （1）A和B同时都为0，即A=0且B=0；
（2）A和B中至少有一个为0，即A=0或B=0。
请结合上面的结论，运用十字相乘法解 下列一元二次方程：
2
等式左边是两个一次二项式（ 相乘 ） 右边是（ 二次三项式 ） 这个过程将（ 积 ）的形式，转化成（ 和差 ） 的形式，进行的是（整式乘法 ）运算。
x 2 px q
( x 3)(x 4) = x 7 x 12 ( x 3)(x 4) = x x 12 ( x 3)(x 4) = x x 12 2 ( x 3)(x 4) = x 7 x 12 2 ( x a)(x b) = x (a b) x ab
2 2 2
等式左边是（ 二次三项式 ），二次项的系数是（ 1 ）
等式右边是两个一次二项式（ 相乘 ），整个等式从 左到右将（ 和差 ）的形式转化成（ 积 ）的形式， 进行的是（因式分解 ）。
x px q x (a b) x ab ( x a)(x b)
2 2
那么a和b如何确定呢？满足什么条件呢?
寻找的两数a和b的符号是如何确定的？
x px q ( x a)(x b)
2
当q>0时，a、b（ 同号 ），且a、b的符号和p 的符号（ 相同 ）. 当q<0时，a、b（ 异号 ），且绝对值较大的因 数与p的符号（ 相同 ).
例2、把 解因式
例3、把 分解因式
4 2 y -7y -18
2 4、10(y+1) -29(y+1)+10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3分解 因式
拓展创新
把下列各式分解因式
1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
课前复习：
1.什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把 这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因 式。 因式分解的实质是（“和差化积” ）与（ 整式乘法 ） 相反 ）。 是“积化和差”的过程正好（
2.之前我们都学习了哪些分解因式的方法？
提取公因式法 公式法
计算下列各题：
( x 3)(x 4) x 2 7 x 12
例题1：分解因式
1. x 7 x 12 2 3. x 8 x 12
2
2. x 4 x 12 2 4. x 11x 12
2
练一练：在下列各式的横线上填入“+”和“—” 号。 2 — —
x 7 x 12 ( x ____3)(x ____4)
2
+ 6) x 8x 12 ( x ____ + 2)(x _____ 2 — x 4x 12 ( x ____ 6 )( x ____ 2) + 2 — 12)(x _____ x 11x 12 ( x ____ + 1)
ab q
ab p
它们的乘积等于常数项，它们的和等于一 次项系数。 试一试：把x2+3x+2分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
2

x
x

7
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
1
( x 3)(x 4) x 2 x 12
( x 3)(x 4) x x 12
2
( x 3)(x 4) x 2 7 x 12
问：你有什么快速计算类似多项式的方法吗？
( x a)(x b) x 2 (a b) x ab
( x 3)(x 4) x 7 x 12 2 ( x 3)(x 4) x x 12 2 ( x 3)(x 4) x x 12 2 ( x 3)(x 4) x 7 x 12 2 ( x a)(x b) x (a b) x ab
(9) (10) 2x2-7x+3 5x2+6xy-8y2
(4)x2-11xy+24y2
(5)x2y2-7xy-18
(6)x4+13x2+36
利用十字交叉线来分解 系数，把二次三项式分 解因式的方法叫做十字 相乘法。
请大家记住公式
十字相乘法公式：
x (a b) x ab ( x a)(x b)
2
定义： 利用十字交叉线来分解系数,把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
十字相乘法进行因式分解的关键:
（1）列出常数项分解成两个因数的积的 各种可能情况；拆分常数项 （2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等 于一次项系数； 验证一次项
思考3：
是不是所有的二次三项式都可以用十 字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那 满足什么条件的二次三项式可以用十字相 乘法进行因式分解呢？
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 （7）（a+b）2-4(a+b)+3
(2)x2-3x-4
(3)x2+6xy-16y2
（8） x4-3x3 -28x2
分
2 2 x -9xy+14y
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12
5. y2-11y+24
4. x2-5x-14
2 x -5x+6 2 x -5x-6 2 X +5x-6
2 X +5x+6
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
x 7x 6x
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2 (+1)＋(+2)＝+3 常数项 (1).因式分解竖直写; (2).交叉相乘验中项; (3).横向写出两因式;
x ∴ x
一次项系数
十字交叉线
1 2
解：原式 ( x 1)(x 2)
3、x2y2+16xy+48
2 4、(2+a) +5(2+a)-36 4 3 2 5、x -2x -48x
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾 分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15 2、14a2-29a-15 2 2 3、4m +7mn-36n