八年级数学上-十字相乘法
十字相乘法计算
十字相乘法计算十字相乘法啊，就像是数学里的一个小魔法。
你看啊，当我们要分解像二次三项式这种式子的时候，它就派上大用场啦。
比如说吧，对于一个二次三项式ax²+bx + c（这里a、b、c可都是常数哦），我们就可以试着用十字相乘法来分解它。
1. 简单的例子就拿x²+5x + 6来说吧。
我们要找两个数，这两个数它们相乘呢得6（也就是c的值），然后相加得5（也就是b的值）。
那很容易就想到2和3啦，2乘以3是6，2加3是5。
然后我们就可以把这个式子分解成(x + 2)(x+ 3)。
是不是很神奇呢？就像把一个复杂的东西拆成了两个简单的小零件。
2. 再复杂一点的那如果是2x² - 7x + 3呢？这个时候啊，我们得先把2x²拆成2x和x。
然后找两个数相乘得3，相加得 - 7（这里要注意符号哦）。
经过一番思考，我们发现 - 1和 - 3就很合适。
因为2x乘以- 3是 - 6x，x乘以 - 1是 - x， - 6x加上 - x就是 - 7x啦。
所以这个式子就可以分解成(2x - 1)(x - 3)。
3. 系数有分数的情况要是遇到系数是分数的式子，比如说1/2x²+3x + 4。
我们先把1/2x²拆成1/2x和x。
然后找两个数相乘得4，相加得3。
这个时候可能要动动脑筋啦，我们可以把4写成8/2，那2和4/2（也就是2）就满足条件啦。
因为1/2x乘以2是x，x乘以4/2是2x，x加上2x就是3x。
这样式子就可以分解成(1/2x + 2)(x+ 2)。
4. 十字相乘法的好处十字相乘法的好处可多啦。
它能让我们快速地分解二次三项式，在解一元二次方程的时候就特别方便。
比如说我们要解方程x²+5x + 6 = 0，我们已经把它分解成(x + 2)(x + 3)=0了，那很容易就知道x = - 2或者x = - 3啦。
比我们用求根公式要快很多呢，而且还不容易出错。
数学十字相乘法公式
数学十字相乘法公式【实用版】目录1.引言：介绍数学十字相乘法公式的背景和意义2.十字相乘法公式的定义和表示3.十字相乘法公式的推导和证明4.十字相乘法公式的应用举例5.结论：总结数学十字相乘法公式的重要性和影响正文1.引言数学十字相乘法公式是一种用于计算两个多项式乘积的简便方法，具有重要的理论意义和实际应用价值。
在现代数学领域，十字相乘法公式被广泛应用于各种计算和推导过程中，为数学研究提供了极大的便利。
2.十字相乘法公式的定义和表示数学十字相乘法公式是指两个多项式相乘时，通过将各项按照一定规则排列成十字形状，可以快速计算出乘积。
具体表示如下：设两个多项式为 (a + b) 和 (m + n)，它们的乘积可以表示为：(a + b) * (m + n) = am + an + bm + bn3.十字相乘法公式的推导和证明为了更好地理解十字相乘法公式，我们可以通过多项式乘法法则来推导它。
假设两个多项式分别为：f(x) = ax^2 + bx + cg(x) = dx + e它们的乘积为：f(x) * g(x) = (ax^2 + bx + c) * (dx + e)根据多项式乘法法则，我们可以将乘积展开：f(x) * g(x) = ax^3 + (adx^2 + be)x + (cdx + ce)通过比较系数，我们可以得到：am = af * dan = af * e + bf * dbm = bg * a + be * cbn = bg * c + be * d从上述推导过程中，我们可以看到，通过将多项式各项按照十字形状排列，可以快速计算出它们的乘积。
4.十字相乘法公式的应用举例例如，计算两个多项式 (x + 2) 和 (3x - 1) 的乘积，可以使用十字相乘法公式：(x + 2) * (3x - 1) = 3x^2 - x + 6x - 25.结论数学十字相乘法公式为多项式乘法提供了一种简单易行的计算方法，对于数学研究者和工程师来说，掌握十字相乘法公式具有重要意义。
十字相乘
X=(C-B)/(A-B)
1-X=(A-C)/(A-B)
因此：X∶（1-X）=（C-B）∶(A-C)
上面的计算过程可以抽象为：
A ………C-B
……C
B……… A-C
这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=－3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
十字相乘法
解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。
本科生：-2%………8%
…………………2%
研究生：10%……… -4%
本科生∶研究生=8%∶(-4%)=-2∶1。
去年的本科生：7500×2/3=5000
十字相乘法完整版
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十字相乘法完整版
目录
01
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02
十字相乘法的基本原理
03
十字相乘法的应用
04十字相乘法ຫໍສະໝຸດ 注意事项05十字相乘法的扩展应用
01
添加章节标题
02
十字相乘法的基本原理
定义与公式
定义：十字相乘法是一种解一元二次方程的方法，通过将方程的系数分解为两个因数的乘积，从而找到方程的解。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有括号时。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有分数时。
分解因式时要注意完全平方数的问题
分解因式时要注意完全平方数的问题，避免出现错误的结果。
分解因式时要注意符号问题，确保结果的正确性。
分解因式时要注意因式的分解是否彻底，避免出现不必要的错误。
应用场景：求解一元二次不等式时，当不等式的系数较大或较为复杂时，使用十字相乘法可以简化计算过程
注意事项：在使用十字相乘法时，需要确保分解后的两个一次项的乘积为正，否则会导致不等号方向错误
举例说明：通过具体的一元二次不等式实例，展示十字相乘法的应用和求解过程
求解一元二次函数极值
定义：一元二次函数极值是指函数在某点的导数为零，且该点两侧的函数值异号
代数方程：十字相乘法可用于解二次方程和一元高次方程
矩阵运算：十字相乘法在矩阵的乘法中也有应用
分式化简：十字相乘法可以用于化简分式，简化计算过程
在物理和工程领域的应用
线性代数方程组的求解
工程中的结构分析、流体动力学等领域
物理中的动力学方程求解
矩阵运算中的分块矩阵相乘
十字相乘法的方法
十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。
2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
3、十字相乘法比较难学。
5、十字相乘法解题实例：1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目例1把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为1 -21 ╳6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）例2把5x²+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。
当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为1 25 ╳-4所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）例3解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解：因为1 -31 ╳-5所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0所以x1=3 x2=5例4、解方程6x²-5x-25=0分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
十字相乘法课件
第14章 整式的乘法与因式分解
十字相乘法因式分解
观察与思考
( （1） x 2)( x 3) x 3x 2 x 3 2
2
x 2 5x 6
x +2 x +3 +3x+2x
反之
x 2 5 x 6 ( x 2)( x 3)
同样
(5)
b2-b-2 =(b+1)(b-2)
把下列各式分解因式 =(x+1)(x-8) (1) x2-7x-8 (2) m2-3m-10 =(m+2)(m-5) =(y+2)2 (3) y2+4y+4 2-2a-8 (4) a =(a+2)(a-4)
(5)
b2-2b-3 =(b+1)(b-3)
把下列各式分解因式 =(x-1)(x-4) (1) x2-5x+4 (2) m2-5m-6 =(m+1)(m-6) =(y-4)2 (3) y2-8y+16 2+4a-21 (4) a =(a-3)(a+7)
小结: 由多项式乘法法则
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
反过来用就得到一个因式分解的方法
∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
x x
p
q
这个方法也称为十字相乘法
2+mx+n的 即:只要一个形如x
二次三项式的常数项可以分解 成两个有理数相乘,且这两个有 理数的和恰好等于一次项的系 数,这个多项式就能用十字相乘 法分解因式
(a 4)(a 1) a 2 a 4a 4 (1) （2）
十字相乘法的步骤
十字相乘法的步骤
十字相乘法是一种用于解决两个多位数相乘的方法。
它可以帮助我们在不使用计算器的情况下，快速而准确地计算乘积。
下面是十字相乘法的步骤：1. 将两个多位数写在竖式中，使得它们的个位数字对齐。
2. 从右向左，将第二个数的每一位数乘以第一个数的个位数，并将结果写在竖式下方。
3. 接着，将第二个数的每一位数乘以第一个数的十位数，并将结果写在竖式下方，但要将结果向左移一位。
4. 重复步骤3，将第二个数的每一位数乘以第一个数的百位数，并将结果写在竖式下方，但要将结果向左移两位。
5. 将所有下方的数字相加，就得到了两个数的乘积。
十字相乘法不仅快速而准确，而且易于记忆和应用。
它可以帮助我们在数学考试或日常生活中快速计算乘积。
因此，学习和掌握十字相乘法是非常有用的。
人教版八年级上册第6讲 因式分解—十字相乘法
一、【新知讲解】根据多项式乘法知道()()()()223253135212531710x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯+⨯=++反过来()()()()223171031352125325x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯+⨯=++以上过程可用如右画十字相乘的方法表示：口诀：拆两边、凑中间、竖着乘、横着加这种通过画十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法因此，对于能够分解因式的二次三项式()2x a b x ab +++,当0ab ≠时，就可以用十字相乘法分解 如分解：()2x a b x ab +++ 26x x -- 26x x +- 256x x -+()()()2x a b x ab x a x b ∴+++=++ 26x x --=)3)(2(-+x x 口诀：拆两边、凑中间、竖着乘、横着加此方法就是把二次三项式首末两项拆散竖着排列，再把十字相乘法的积相加。
若相加的和等于中间项，说明因式分解成功，分解出来的两个因式就是横线上面横着写的两个一次二项式。
用这种方法分解因式要注意常数和一次项系数的符号关系。
一般地，若常数项为正数，则分解出两个同号得因数（同中间项的符号）；若常数项是负数，则分解成两个异号得因数，绝对值较大的数的符号与中间相同。
二、【典例精讲】 1、二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例1、用十字相乘法分解下列各式的因式（1）256x x ++ （2）256x x -+ （3）256x x -- （4）256x x +-（5）26x x -- （6）26x x +- （7）x 2+2x-3 （8）x 2+2x-3 x15x+2x=17x x独立分解： (1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x （4）672+-x x(5)22-+x x (6)1522--y y (7)24102--x x （8)x 2+4x+3(9)a 2+7a+10 (10)y 2–7y+12 (11)q 2–6q+8 (12)x 2+x-20(13)m 2+7m-18 (14)p 2–5p-36 (15)t 2–2t-8 (16) 2922x x --2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2口诀：拆两边、凑中间、竖着乘、横着加条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例1、用十字相乘法分解下列各式的因式（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y（5）101132+-x x （7）2295x x +- （8）2376x x -- （9）28103x x ++独立分解：（1）210275x x ++ （2）221x x +- （3）2352x x ++（4）232x x +- （5）221315x x ++ （6）2122512x x -+ （7）2310x x +-3、二次项系数为1的齐次多项式，方法是一样的！（1）221288b ab a -- （2）224159p q pq ++ (3)2286n mn m +- (4)226b ab a --独立分解：（1）225136x xy y ++ （2）2231114x xy y -- （3）2223y xy x +-（4）221130x xy y -+ （5）422730x x y y -- （6）a 2b 2－10ab ＋254、二次项系数不为1的齐次多项式（1）22672y xy x +- （2）2322+-xy y x （3）224715y xy x -+ （4）8622+-ax x a独立分解：（1）17836--x x （2）22151112y xy x -- （3） 42235a a +-5、十字相乘法和整体思想或者提公因式结合，注意革命要进行到底（1）()()243x y x y +-++ （2） 432712x x x -+ （3）422410235x x y y --（4）()()210235x y x y +-+-（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）2005)12005(200522---x x独立分解：（1）()()267a b a b +-+- （2）()()22524x x -+-+ （3）222()14()24x x x x +-++（4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+ （5）(x 2－2x)2－4(x 2－2x)－56、剑走偏锋：十字相乘法一些辅助方法—①主元法 ②双十字相乘法 ③换元法 ④添项、拆项、配方法 ①主元法分解因式：2910322-++--y x y xy x (2)67222-+--+y x y xy x(3)613622-++-+y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a②双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式。
十字相乘法解题格式
十字相乘法解题格式摘要：1.十字相乘法简介2.十字相乘法的基本原理3.十字相乘法的解题步骤4.十字相乘法的应用实例5.总结正文：【1.十字相乘法简介】十字相乘法是一种常用的数学解题方法，尤其在代数运算中具有很高的实用价值。
它主要通过将两个多项式的系数进行交叉相乘，再相加，从而得出两个多项式相等或者某一多项式的值。
这种方法因为运算简单且易于理解，所以在学生中广受欢迎。
【2.十字相乘法的基本原理】十字相乘法的基本原理是将两个多项式的系数进行交叉相乘，再相加。
具体来说，就是将多项式A(x) 和B(x) 的系数分别按行和列排列，然后进行交叉相乘并相加，得出结果C(x)。
如果C(x) 等于多项式A(x)B(x)，则说明两个多项式相等；如果C(x) 等于多项式A(x) 或者B(x)，则说明多项式A(x) 或者B(x) 的值可以通过十字相乘法求出。
【3.十字相乘法的解题步骤】十字相乘法的解题步骤主要分为三步：（1）将两个多项式的系数分别按行和列排列；（2）进行交叉相乘并相加，得出结果；（3）判断结果是否等于多项式A(x)B(x)，或者等于多项式A(x) 或者B(x)，从而得出结论。
【4.十字相乘法的应用实例】例如，我们要求解多项式A(x)=2x^2+3x 和B(x)=x+4 的乘积，可以通过十字相乘法来进行。
首先，将两个多项式的系数按行和列排列：2 3x 4然后，进行交叉相乘并相加：2x 6x+ 3x 12-------2x^2 6x+ 3x 12-------2x^2 + 3x可以看出，结果正好等于多项式A(x)B(x)，即2x^2+3x。
【5.总结】十字相乘法是一种简单实用的数学解题方法，尤其适用于代数运算。
通过将两个多项式的系数进行交叉相乘并相加，可以快速求出两个多项式相等或者某一多项式的值。
【数学知识点】十字相乘法顺口溜
【数学知识点】十字相乘法顺口溜一、十字相乘法的口诀是:竖分常数交叉验,横写因式不能乱。
1、口诀第一句:竖分常数交叉验,这里包含了三个步骤,1)竖分二次项和常数项,即把二次项和常数项的系数竖向写出来,2)交叉相乘,和相加,即斜向相乘然后相加,得出一次项系数,3)检验确定,检验一次项系数是否正确。
2、口诀第二句:横写因式不能乱即把因式横向写,而不是交叉写,这里不能搞乱。
二、十字相乘法顺口溜：分解二次三项式，尝试十字相乘法。
分解二次常数项，交叉相乘做加法；叉乘和是一次项，十字相乘分解它。
1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。
（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。
2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。
3、十字相乘法比较难学。
十字相乘法能把二次三项式分解因式（不一定在整数范围内）。
对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:a x²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
初中因式分解中的“十字相乘法”
初二因式分解解读之五：编制人：平生曜曜因式分解中的“十字相乘”1、把多项式乘法中的“经验性公式”：（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x + ab，倒过来可得：x2+（a+b）x + ab = （x+a）（x+b）.以上就是，因式分解中的“十字相乘法”公式。
2、可见，十字相乘法可以帮助我们把某些（但并非所有）“二次三项式”分解成两个“一次因式”的乘积。
3、十字相乘法的运用，一般会有一个“尝试、试错、微调、修正”的过程。
当然如果你领悟了其中的技巧，就可以大大缩减“尝试”的次数。
4、十字相乘法的口诀是：竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间5、在运用“十字相乘法”分解因式之前，最好把多项式先按“主元”作“降幂排列”。
6、下面通过举例，对“十字相乘法”作一些具体的解读。
（1）、例如，运用十字相乘法，分解因式：x2 + 4x + 3 …………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。
〈分析〉：原式由三部分组成，其中没有任何公因式可提取，又不能用平方差公式，也不能用完全平方公式，在这种情况下，我们可以考虑用十字相乘法。
〈强调〉：“十字相乘法”的运用步骤是：一排顺序，二试口诀。
一排顺序是指：先将原式按“二次项；一次项；常数项”的顺序来作“降幂排列”；二试口诀是指：按“竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间”的口诀来进行“试错、微调”。
分解因式：x 2 + 4x + 3经过一番尝试后，可确定原式可分解为：（x+1）（x+3）。
〈疑问〉：你觉得尝试的过程有技巧吗？（2）、又例如，分解因式：①、x 2 －4x + 3②、x 2 －2x － 3③、x 2 + 2x － 3…………先………写………出………你………的………答………案…………你的答案：______________________________________。
数学八年级上册十字相乘法
数学八年级上册十字相乘法1十字相乘法顺口溜
1.首尾分解，交叉相乘，求和凑中，平行书写。
竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
2.竖分常数交叉验
（1）竖分二次项和常数项, 即把二次项和常数项的系数竖向写出来,
（2）交叉相乘, 和相加, 即斜向相乘然后相加,得出一次项系数,
（3）检验确定, 检验一次项系数是否正确。
3.横写因式不能乱，即把因式横向写,而不是交叉写, 这里不能搞乱。
2十字相乘法的注意事项
十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
（1）用来解决两者之间的比例问题。
（2）得出的比例关系是基数的比例关系。
（3）总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。
数学十字相乘法公式
数学十字相乘法公式摘要：一、引言二、数学十字相乘法公式简介1.公式定义2.公式结构三、数学十字相乘法公式的应用1.求解一元二次方程2.求解多项式因式分解四、数学十字相乘法公式的推导1.推导过程2.关键步骤解析五、总结正文：一、引言数学十字相乘法公式是数学中一种非常实用的公式，广泛应用于一元二次方程和多项式因式分解的求解。
本文将对其进行详细介绍，包括公式的定义、结构、应用以及推导过程。
二、数学十字相乘法公式简介1.公式定义数学十字相乘法公式，又称“双十字相乘法”，是一种求解一元二次方程和多项式因式分解的方法。
它利用两个十字交叉相乘的形式，将方程的系数与常数项分别填入，从而得到两个括号的形式，进一步求解方程。
2.公式结构数学十字相乘法公式具有简洁的结构。
它包含两个部分：一元二次方程的系数与常数项。
通过这两个部分的交叉相乘，我们可以得到一个双括号的形式，即(ax + b)(cx + d)，其中a、b、c、d 分别代表方程的系数与常数项。
三、数学十字相乘法公式的应用1.求解一元二次方程数学十字相乘法公式可以用于求解一元二次方程。
假设我们有一个一元二次方程：ax + bx + c = 0，其中a、b、c 分别为方程的系数，我们可以利用数学十字相乘法公式，将方程的系数与常数项填入公式，得到两个括号的形式(ax + b)(cx + d)，从而进一步求解方程。
2.求解多项式因式分解数学十字相乘法公式同样适用于求解多项式因式分解。
假设我们有一个多项式：f(x) = ax + bx + c，其中a、b、c 分别为多项式的系数，我们可以利用数学十字相乘法公式，将多项式的系数与常数项填入公式，得到两个括号的形式(ax + b)(cx + d)，从而实现多项式的因式分解。
四、数学十字相乘法公式的推导1.推导过程数学十字相乘法公式的推导过程相对简单。
首先，我们需要将一元二次方程的系数与常数项填入公式，得到两个括号的形式(ax + b)(cx + d)。
华师大八上数学 12.5.4 因式分解--十字相乘法
怎样形式的多项式才能用这种方法呢？
1、二次三项式且二次项，一次项和常数项 都存在。
2、二次项系数为“1”。
十字相乘法
2 x 1 x 2 3x x 3 xx
22
步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式
x x
2
1
2
x
2 x
3x
3
6 x
当二次项系数和常 数项符号都是正的 时候，可以分解为 两个与一次项系数 同号的因数。
x
合 并
7 x
利用十字相乘法的难点在于如何分解二次项系数和常 数项，再怎样交叉相乘，因此在分解的时候，要仔细 观察，并多次尝试，使相加的结果等于一次项系数。
针对性练习：将下列各式分解因式
1 2 3
5 y 17 y 6
2
5 y 2 y 3 m 3 2m 5 2 3a 1 a 3
2m 11m 15
2
6a 20a 6
2
例2、利用十字相乘法分解因式：
1
2x 3x 9
2
解：原式
2x 3 x 3
16a b
3 3
3 x
2
y
2 2
4x y
探究：怎样将 x 3x 2 分解因式呢？ 能用提公因式或公式法吗？
2
计算：
x 1 x 2
2 2 2
x 2x x 2 x 2 1 x 2Байду номын сангаас x 3x 2
回顾： x a x b x a b x ab
1
（
a）
1
（12） [ -4 ]
人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)
因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
数学8上14.3“十字相乘法”全解——学会它计算省时又省力
数学8上14.3“十字相乘法”全解——学会它计算省时又省力
“十字相乘法”确实比较难，学会它用来分解因式特别是解一元二次方程就非常简单。
节约时间，运算量不大，不易出错。
所以作为初中生很有必要掌握“十字相乘法”的分解因式方法。
下面我将由易到难的一步步介绍十字相乘法的应用过程。
第一节：“十字相乘法”的基本方法和初中阶段的简单应用模式。
十字相乘法分解因式
第二节：用“十字相乘法”来解一元二次方程。
十字相乘法解方程
第三节：十字相乘法分解复杂的二次三项式。
分解复杂二次三项式
第四节：分解更加复杂的二次三项式。
分解更加复杂二次三项式
第五节：分解两个字母的二次三项式。
分解两个字母的二次三项式
第六节：自测题。
自测题。
初中数学十字相乘法
初中数学十字相乘法摘要：一、十字相乘法概念二、十字相乘法步骤1.首先，将两个多项式写成两个括号相乘的形式2.其次，将每个括号中的项相乘，并将结果填写在十字中间3.接着，将十字相乘法分解成两个部分，分别计算每个部分的结果4.最后，将两个部分的结果相加，得到最终结果三、十字相乘法应用与实际问题四、总结与回顾正文：初中数学十字相乘法是一种计算多项式乘积的方法，它通过将两个多项式分解成两个括号相乘的形式，然后将每个括号中的项相乘并将结果填写在十字中间，最后将十字相乘法分解成两个部分，分别计算每个部分的结果并相加，得到最终结果。
这种方法可以帮助我们快速、准确地计算多项式乘积，是初中数学中一个重要的知识点。
首先，我们需要了解十字相乘法的概念。
十字相乘法是一种计算两个多项式乘积的方法，其核心思想是将多项式分解成两个括号相乘的形式，然后将每个括号中的项相乘并将结果填写在十字中间。
这种方法可以帮助我们快速、准确地计算多项式乘积，是初中数学中一个重要的知识点。
其次，我们需要了解十字相乘法的具体步骤。
首先，将两个多项式写成两个括号相乘的形式。
例如，对于多项式3x^2 + 6x + 4，我们可以将其写成(3x^2 + 6x) + 4的形式。
接下来，将每个括号中的项相乘，并将结果填写在十字中间。
在这个例子中，我们可以得到以下十字相乘法：```3x^2 6xx 3x^2 6x------- ----3x^3 6x^2+ 9x^2 18x------- ----3x^3 8x^2```接着，将十字相乘法分解成两个部分，分别计算每个部分的结果。
在这个例子中，我们可以得到以下结果：```3x^3 6x^2+ 9x^2 18x------- ----3x^3 8x^2```最后，将两个部分的结果相加，得到最终结果。
在这个例子中，我们可以得到以下结果：```3x^3 8x^2+ 9x^2 18x------- ----12x^2 26x```因此，多项式3x^2 + 6x + 4与多项式2x + 4相乘的结果为12x^2 + 26x + 16。
初二数学-十字相乘法
⑴ x2 + 7x+12=(x+3)(x+4) ⑵ y2- 8y+15 =(y-3)( y-5) ⑶x2 – 3x-4=(x+1)(x-4) ⑷y2 + 2y-8=(y-2)(y+4) 你能找到什么规律吗? 方法:1、先把常数项拆分成两个有理数相乘,再 看这两个有理数的和是否恰好等于一次项的系 数.(不仅要验证绝对值,更要验证符号) 2、当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一定 同号,符号与一次项系数相同。 3、当常数项为负数时,拆分成的两个有理数 异号;
(1)(x+y)2-4(x+y)-5
=(x+y+1)(x+y-5) ⑵(m+n)2-5(m+n)+6
=(m+n-2)(m+n-3)
a1a2 x a1c2 a2c1 x c1c2
2
a1 x
c1
a2 x
c2
a1c2 a2c1 x
所以原式可以分解为：a
1 x c1 a2 x c2
把下列各式分解因式 =(x+1)(x-2) (1) x2-3x+2 (2) m2-3m-28 =(m+4)(m-7) (3) y2+10y+25 =(y+5)2 2 (4) a -4a-12 =(a+2)(a-6)
(5)
b2-b-2 =(b+1)(b-2)
把下列各式分解因式 =(x+1)(x-8) (1) x2-7x-8 (2) m2-3m-10 =(m+2)(m-5) (3) y2+4y+4 =(y+2)2 2 (4) a -2a-8 =(a+2)(a-4)
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2、(x2+2x)(x2+2x-11)+11 3、x n+1+3xn+2xn-1
4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+16
课外拓展:
若 A B 0 ，下面两个结论对吗？ （1）A和B同时都为0，即A=0且B=0；
（2）A和B中至少有一个为0，即A=0或B=0。
请结合上面的结论，运用十字相乘法解 下列一元二次方程：
1）.
x2 7 x 6 0
2） .
x 7 x 12
2
思考2：
我们现在所研究的都是二次项系数是1的二 次三项式用十字相乘法进行因式分解，那 么当二次项的系数不是1，而是其他数字时 又该如何进行分解呢？ 例如： 3x 2 x 1
2
1.十字相乘法分解因式的公式： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 2.能用十字相乘法来分解因式的二次三项式的系数的 特点：常数项能分解成两个数的积，且这两个数的和 恰好等于一次项的系数。 3.在用十字相乘法分解因式时，因为常数项的 分解因数有多种情况，所以通常要经过多次的 尝试才能确定采用哪组分解来进行分解因式。
3、x2y2+16xy+48
2 4、(2+a) +5(2+a)-36 4 3 2 5、x -2x -48x
例4、把 6x2-23x+10 分解因式 十字相乘法的要领是：“头尾 分解，交叉相乘，求和凑中，观 察试验”。
1、8x2-22x+15 2、14a2-29a-15 2 2 3、4m +7mn-36n
寻找的两数a和b的符号是如何确定的？
x px q ( x a)(x b)
2
当q>0时，a、b（ 同号 ），且a、b的符号和p 的符号（ 相同 ）. 当q<0时，a、b（ 异号 ），且绝对值较大的因 数与p的符号（ 相同 ).
例2、把 解因式
例3、把 分解因式
4 2 y -7y -18
例题1：分解因式
1. x 7 x 12 2 3. x 8 x 12
2
2. x 4 x 12 2 4. x 11x 12
2
练一练：在下列各式的横线上填入“+”和“—” 号。 2 — —
x 7 x 12 ( x ____3)(x ____4)
2
+ 6) x 8x 12 ( x ____ + 2)(x _____ 2 — x 4x 12 ( x ____ 6 )( x ____ 2) + 2 — 12)(x _____ x 11x 12 ( x ____ + 1)
2 2 2
等式左边是（ 二次三项式 ），二次项的系数是（ 1 ）
等式右边是两个一次二项式（ 相乘 ），整个等式从 左到右将（ 和差 ）的形式转化成（ 积 ）的形式， 进行的是（因式分解 ）。
x px q x (a b) x ab ( x a)(x b)
2 2
那么a和b如何确定呢？满足什么条件呢?
2 4、10(y+1) -29(y+1)+10
例5、把(x2+5x)2-2(x2+5x)-24 分解因式
例6、把 (x2+2x+3)(x2+2x-2)-6 分解因式
例7、把 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3分解 因式
拓展创新
把下列各式分解因式
1、x2-4xy+4y2-6x+12y+8
2
等式左边是两个一次二项式（ 相乘 ） 右边是（ 二次三项式 ） 这个过程将（ 积 ）的形式，转化成（ 和差 ） 的形式，进行的是（整式乘法 ）运算。
x 2 px q
( x 3)(x 4) = x 7 x 12 ( x 3)(x 4) = x x 12 ( x 3)(x 4) = x x 12 2 ( x 3)(x 4) = x 7 x 12 2 ( x a)(x b) = x (a b) x ab
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
x 7x 6x
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2 (+1)＋(+2)＝+3 常数项 (1).因式分解竖直写; (2).交叉相乘验中项; (3).横向写出两因式;
x ∴ x
一次项系数
十字交叉线
1 2
解：原式 ( x 1)(x 2)
( x 3)(x 4) x 2 x 12
( x 3)(x 4) x x 12
2
( x 3)(x 4) x 2 7 x 12
问：你有什么快速 2 (a b) x ab
( x 3)(x 4) x 7 x 12 2 ( x 3)(x 4) x x 12 2 ( x 3)(x 4) x x 12 2 ( x 3)(x 4) x 7 x 12 2 ( x a)(x b) x (a b) x ab
(9) (10) 2x2-7x+3 5x2+6xy-8y2
(4)x2-11xy+24y2
(5)x2y2-7xy-18
(6)x4+13x2+36
思考3：
是不是所有的二次三项式都可以用十 字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那 满足什么条件的二次三项式可以用十字相 乘法进行因式分解呢？
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4 （7）（a+b）2-4(a+b)+3
(2)x2-3x-4
(3)x2+6xy-16y2
（8） x4-3x3 -28x2
分
2 2 x -9xy+14y
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12
5. y2-11y+24
4. x2-5x-14
2 x -5x+6 2 x -5x-6 2 X +5x-6
2 X +5x+6
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2
课前复习：
1.什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把 这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因 式。 因式分解的实质是（“和差化积” ）与（ 整式乘法 ） 相反 ）。 是“积化和差”的过程正好（
2.之前我们都学习了哪些分解因式的方法？
提取公因式法 公式法
计算下列各题：
( x 3)(x 4) x 2 7 x 12
ab q
ab p
它们的乘积等于常数项，它们的和等于一 次项系数。 试一试：把x2+3x+2分解因式
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x 6 x 7 ( x 7)(x 1) ①竖分二次项与常数项
2
x
x
7
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
1
利用十字交叉线来分解 系数，把二次三项式分 解因式的方法叫做十字 相乘法。
请大家记住公式
十字相乘法公式：
x (a b) x ab ( x a)(x b)
2
定义： 利用十字交叉线来分解系数,把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
十字相乘法进行因式分解的关键:
（1）列出常数项分解成两个因数的积的 各种可能情况；拆分常数项 （2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等 于一次项系数； 验证一次项