基本不等式第三课时
第3讲 基本不等式
第3讲 基本不等式一、知识梳理 1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．[点拨] 应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)[点拨] 在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．常用结论几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(3)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 二、教材衍化1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C ．xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C ． 2．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10，所以S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案：25 m 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)忽视不等式成立的条件a >0且b >0； (2)忽视定值存在； (3)忽视等号成立的条件． 1．若x <0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2 解析：选D ．因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.2．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：53．设0<x <1，则函数y ＝2x (1－x )的最大值为________．解析：y ＝2x (1－x )≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝12.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．答案：12考点一 利用基本不等式求最值(基础型) 复习指导| 探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．核心素养：逻辑推理 角度一 通过配凑法求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ， 即x ＝23时，取等号．(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2（5－4x ）15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【答案】 (1)23(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 角度二 通过常数代换法求最值已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a · ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 9【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．答案：4【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为：已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋a b ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号．答案：114＋102常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 角度三 通过消元法求最值若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．223B ．23C ．33D ．233【解析】 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x .由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223. 【答案】 A通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．1．(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝(ab )32，则ab 的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．4解析：选C ．(ab )32＝a ＋b ≥2ab ＝2(ab )12，所以ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故ab 的最小值为2，故选C ．2．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为( ) A ．53B ．103C ．32D ．3解析：选D ．由题意得x >0，y >0，4x x ＋3y ＋3y x ＝4xx ＋3y ＋x ＋3y x －1≥24x x ＋3y·x ＋3yx －1＝4－1＝3(当且仅当x ＝3y 时等号成立)．3．已知x >0，y >0，且x ＋16y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 解析：已知x >0，y >0，且x ＋16y ＝xy .即16x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫16x ＋1y ＝16＋1＋16y x ＋x y ≥17＋2 16y x ·xy＝25，当且仅当x ＝4y ＝20时等号成立，所以x ＋y 的最小值为25. 答案：25考点二 利用基本不等式解决实际问题(应用型) 复习指导| 利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题抽象出数学模型，列出函数关系，然后利用基本不等式求最值．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； (2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值； (3)还原为实际问题，写出答案．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．解：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．[基础题组练]1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，则1xy 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A ．因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy≥1.2．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D ．因为1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ，(当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立)所以2x ＋y ≤12，所以2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.3．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析：选C ．因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.4．(多选)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b >1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2≥2ab解析：选CD ．因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．所以选项C 正确，又a ，b ∈R ，所以(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab 一定成立．5．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C ．因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x3y＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y的最小值为4.故选C ．6．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x >0，所以y >0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．所以x ＋y 的最小值为2 2.答案：2 27．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)，所以y ≥21－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．(2020·湖南岳阳期末改编)若a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为________，1a ＋2b的最小值为________． 解析：因为a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，所以a ＋2b ＝4，所以ab ＝12a ·2b ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝2，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立，所以ab 的最大值为2，因为1a ＋2b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b 4＝14(5＋2b a ＋2a b )≥14⎝⎛⎭⎫5＋2·2b a ·2a b ＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以1a ＋2b 的最小值为94.答案：2 949．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．设a >0，若关于x 的不等式x ＋a x －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A ．16B ．9C ．4D ．2解析：选C ．在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2 （x －1）×a （x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)．由题意知2a ＋1≥5，所以a ≥4.2．(2020·福建龙岩一模)已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A ．3B ．5C ．7D ．9解析：选C ．因为x >0，y >0.且1x ＋1＋1y ＝12，所以x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2(1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y )≥2(2＋2y x ＋1·x ＋1y )＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，所以x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7，故选C ．3．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，①则x 2＋y 2的最小值为________；②若1x ＋4y≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：因为x ＋y ＝1，所以xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14，所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14×2＝12，所以x 2＋y 2的最小值为12. 若a ≤1x ＋4y 恒成立，则a 小于等于⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值，因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ×4x y ＝9，所以1x ＋4y的最小值为9，所以a ≤9，故实数a 的取值范围是(－∞，9]． 答案：12(－∞，9] 4．(2020·洛阳市统考)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析：因为1x ＋2y ＝1，所以2x ＋y ＝xy ，所以xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ，因为3x ＋2y ＝(3x ＋2y )·(1x＋2y )＝7＋6x y ＋2y x，且x >0，y >0，所以3x ＋2y ≥7＋43，所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案：7＋4 35．已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y .(1)求1x ＋1y的最小值； (2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解：(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋（y ＋1）22≤4， 因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.6．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入为多少万元时，厂家获取利润最大？解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1(m ≥0)， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x(元)，所以2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x－8－16x －m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入为3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．。
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• 不等式的证明技巧—字母轮换不 等式的证法
求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥
abc(a＋b＋c)．
• [分析] 本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换
a→b→c→a后表达式不变，这类问题证明一般变为几个表达式(通常几
个字母就需几个表达式)迭加(乘)，从而获解．
[证明] 先证 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2， ∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)， ∴a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2a2b2＋2b2c2＋2c2a2， ∴a4＋b4＋c2≥a2b2＋b2c2＋c2a2，
又∵ba＋ab≥2，ac＋ac≥2，bc＋bc≥2，
当且仅当ba＝ab，ac＝ac，bc＝bc，即 a＝b＝c＝13时，等号成立，
∴1a＋1b＋1c≥3＋2＋2＋2＝9.
[方法总结] 在对代数式进行变换时，并不是只能将代数 式中的“元”消去，也可利用整体代换将某些“常数”消去．
已知 a、b、c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
• [答案] 一正 二定 三相等
• 1.由基本不等式导出的几个结论
(1)反向不等式：a＋b≤ 2a2＋b2(a、b∈R＋)，由 a2＋ b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得．
(2)ab≤(a＋2 b)2，(a、b∈R＋)，由a＋2 b≥ ab两边平方即得． (3)一个重要不等式链：b≥a＞0 时，b≥ a2＋2 b2≥a＋2 b ≥ ab≥a2＋abb＝1a＋2 1b≥a.
• 综合法证明不等式
已知 a、b、c、d 都是实数，且 a2＋b2＝1，c2 ＋d2＝1，求证：|ac＋bd|≤1.
第三节 基本不等式
（ 2 ）若 x＜ 0 , 贝 U x +
l -x
< － - 2 （当且仅当x= — 1时取"=")
（3 )
0 若 ab > ，
贝 u b-a +
b -a
＞－
2
（当且仅当a= b时取"=")
(4)若a, bER , 则 ab �(a+) b 2 � 矿+ b2
2
2
✓z (5)若a, bER *,
则l —I —I
）
6
A. 3+✓22 4
B. 3+✓24 4
C. 3+✓22 6
【答案】A
【解答】解：因为 a>O, b> 满l足 a+= b,5
判、
—+ 2 1 =( —+ 2 1 )[a+ (—1)b ]
1 X — ,
a — bI a —1 b
4
✓ = 1— [3+-2( 1)b +a 修 — I( 3+2)2 ,
X
2y 4
X 16y
【答案】－ —1 4
变式1.
2
x
+y
2
+-1 +-1 =
2—7
求 — 15 - — 3 的最小值
Xy 4
X 4y
【答案】6
6.构造一元二次不等式
例1. 若正实数X, y满足2x+y+6=xy , 则 xy的最小值是＿．
【答案】18
y 【解答】解： 由条件利用基本不等式可得 xy=2x+y+6?2J云 +6'
第三章3.1基本不等式-北师大版高一数学必修5课件(共21张PPT)
探究结果
1. 对于任意实数a，b，总有 a2 b2 2ab 如何证明？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果 a 0,b 0 ，我们用 a , b 分别代替a，b，可得
a b 2 ab，即a b ab， 2
当且仅当a=b时，等号成立.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
2. 如果a，b都是
，那么 a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们称上述不等式为
ab ，其中 2 称为a，b的算术
平均数， ab 称为a，b
. 因此，基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
文字语言可叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看：两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图，AB是圆O的直径，AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时，等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1，比较P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b)， 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1，所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba
2.基本不等式 (3)
由于基本不等式恰好涉及两个正数的和与积之 间的数量关系, 所以可以利用基本不等式证明.
解 设矩形的长为x ,宽为y.
1设矩形周长为定值l,即2x 2y l为定值.
根据基本不等式
x
2
y
xy ,
可得
l 4
xy .
于是,矩形的面积 xy
l2 16 ,
3、a,b, c是不全相等的正数，求 证：
a bb cc a 8abc
解：∵a，b，c都是正数 ∴a＋b≥2 ab
b＋c≥2 bc c＋a≥2 ac ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a） ≥ 2 ab 2 bc 2 ac 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
课堂小结：
的算术平均arithmetic mean , ab 为 a,b 的几何平均 geometric mean ,于是 ,基本
不等式可以表述为:
两个正数的算术平均不小于 ( 即大于或 等于 ) 它们的几何平均 .
你能发现两个不等式之间不同的地方吗？
a2 b2 2ab和 a b ab 成立的条件 2
定理2 基本不等式 如果 a,b 0 , 那么
a
2
b
ab.当且仅当a b时,等号成立.
证明 因为a b
2
a
b 2 2 a b
2
ab
, 所以
a
2
b
ab .
当且仅当 a b ,即 a b 时,等号成立.
如果 a,b 都是正数,我们就称 a b 为a,b 2
通过本节课的学习，要求大家掌握两个 正数的算术平均不小于它们的几何平均的定 理（基本不等式），并会应用它证明一些不 等式及求函数的最值等，但是在应用时，应 注意定理的适用条件。
第六章 第三节 基本不等式
⑤不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab有相同的成立条件．
A．0
B．1
C．2
D．3
8
必备知识·自主梳理
题型突破·重点探究
课时作业·巩固提升
一轮 ·数学（理）
解析：①当 x＜0 时，y≤－2，故①错误；②cos x 不可能为 2，所以等号 不可能成立，故②错误；③当 x＜0 且 y＜0 时，不等式xy＋yx≥2 也成立， 故③错误；④2 a不是定值，故④错误；⑤a2＋b2≥2ab 对于 a，b∈R 都 成立，而a＋2 b≥ ab只有当 a≥0，b≥0 才成立，故⑤错误．
3
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2．利用基本不等式求最值 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当___x_＝__y___时，x＋y 有最____小_____ 值是___2__p____(简记：积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当__x_＝__y____时，xy 有最____大_____ 值是s42(简记：和定积最大)．
14
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(2)y＝xx2－＋12＝（x2－2x＋1）x－＋1（2x－2）＋3
＝（x－1）2＋x－2（1 x－1）＋3
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3．(2021·济宁调研)若正数 x，y 满足1y＋3x＝1，则 x＋3y 的最小值为( C )
A．24
B．18
C．12
D．6
解析：由1y＋3x＝1 得 x＋3y＝(x＋3y)1y＋3x＝xy＋9xy＋6≥2 xy·9xy＋6＝12，
第三节 基本不等式 (高中数学精品课件PPT)
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设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
a＋b 2
，几何平均
数为 ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均
数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是
2 p(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
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考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
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考点一 利用基本不等式求最值[全析考法过关]
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(一) 拼凑法——利用基本不等式求最值
[例1] (1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值
2 为____3____．
[解析]
x(4－3x)＝
1 3
·(3x)(4－3x)≤
1 3
A．80
B．77
C．81
D．82
( C)
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2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是
(B )
A．a＜b＜ ab＜a＋2 b
B．a＜ ab＜a＋2 b＜b
C．a＜ ab＜b＜a＋2 b
D. ab＜a＜a＋2 b＜b
解析：因为0＜a＜b，所以a－ ab＝ a( a－ b)＜0，
故a＜ ab；b－a＋2 b＝b－2 a＞0，故b＞a＋2 b；由基本不等式
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；
(3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；(4)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)；
(5)a2＋abb≤ ab≤a＋2 b≤
第三节 基本不等式及其应用
第三节 基本不等式及其应用考试要求1．了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．[知识排查·微点淘金]知识点1 基本不等式 不等式 成立的条件 等号成立的条件两个不等式的关系 重要不等式a 2＋b 2≥2ab a ，b ∈Ra ＝b在不等式a 2＋b 2≥2ab 中，若a ＞0，b ＞0，分别以a ，b 代替a ，b 可得a ＋b ≥2ab ，即ab ≤a ＋b2基本不等式ab ≤a ＋b2a ＞0，b ＞0a ＝b设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点2 利用基本不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 的和是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24(简记：和定积最大)．[微思考]1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示：不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示：不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x＋1x无最小值． 常用结论1．基本不等式的两种常用变形形式(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(2)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 2．几个重要的结论(1)a 2＋b 22 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(ab ＞0)． (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． (4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．(×)(2)(a ＋b )2≥4ab .(√)(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．(×)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.(×) 2．(链接教材必修5 P 99例1(2))设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C 因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．(链接教材必修5 P 100A 组T 2)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m 2.解析：设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，所以y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（10－x ）22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 答案：254．(忽视变量的范围)函数f (x )＝2x ＋3x ＋1(x <0)的最大值为 ．解析：∵x <0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋3（－x ）＋1≤－26＋1.当且仅当－2x ＝3－x且x <0，即x ＝－62时等号成立．答案：1－2 65．(忽视基本不等式等号成立的条件)当x ≥2时，x ＋4x ＋2的最小值为 ．解析：设x ＋2＝t ，则x ＋4x ＋2＝t ＋4t －2.又由x ≥2得t ≥4，而函数y ＝t ＋4t －2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t ＝4时，t ＋4t －2即x ＋4x ＋2取得最小值，最小值为4＋44－2＝3.答案：3一、综合探究点——利用基本不等式求最值(多向思维)[典例剖析]思维点1 通过配凑法求最值[例1] (1)若0<x <12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为( )A ．1B ．12C ．14D ．18解析：∵0<x <12，∴y ＝x 1－4x 2＝x 2（1－4x 2）＝124x 2（1－4x 2）≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当4x 2＝1－4x 2， 即x ＝24时取等号， 则y ＝x1－4x 2的最大值为14.答案：C(2)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4解析：f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2＋1－1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立．故f (x )有最小值4. 答案：A(3)已知x >54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最小值为 ．解析：∵x >54，∴4x －5>0，∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥21＋3＝5.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．答案：5通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．思维点2 常数代换法求最值[例2] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为 ．解析：因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝2＋2＝4.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．答案：4常数代换法求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 思维点3 消元法求最值[例3] [一题多解]已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为 ． 解析：解法一(换元消元法)：由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0.令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 解法二(代入消元法)：由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1时取等号．即x ＋3y 的最小值为6. 答案：6消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．[学会用活]1．(2021·泉州检测)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A ．13B ．12C ．34D ．23解析：选B 因为0<x <1，所以x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（1－x ）22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．2．若直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．2B ．6C ．12D ．3＋2 2解析：选D 因为直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)，所以2m ＋2n －2＝0，即m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (m ＋n )＝3＋n m ＋2m n ≥3＋22，当且仅当“n m ＝2m n ，即n ＝2m ”时取等号，所以1m ＋2n的最小值为3＋22，故选D ．3．若正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．223B ．23C ．33D ．233解析：选A 因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0，所以y ＝1－x 26x.由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎨⎧x >0，1－x 26x >0，解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x＝223，当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号． 故x ＋2y 的最小值为223.二、应用探究点——基本不等式的实际应用(思维拓展)[典例剖析][例4] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ·10，即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x ＞0)．因为x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”)，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．答案：160 [拓展变式]1．[变条件]若本例中容器底面长不小于2.5 m ，则该容器的最低总造价是 元． 解析：由例题的解答可知：总造价S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80(x ≥2.5)，因为S ′＝20⎝⎛⎭⎫1－4x 2＝20·x 2－4x2＞0，所以S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80在[2，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝2.5 m 时，S min ＝20×⎝⎛⎭⎫2.5＋42.5＋80＝162(元)． 答案：1622．[变条件]若本例中容器底面长不大于1.5 m ，则该容器的最低总造价是 元(精确到十分位)．解析：由例题的解答可知：总造价S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80(0＜x ≤1.5)， 因为S ′＝20⎝⎛⎭⎫1－4x 2＝20·x 2－4x2＜0，所以S ＝20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋80在(0，2]上单调递减，所以当x ＝1.5时，S min ＝20×⎝⎛⎭⎫1.5＋41.5＋80≈163.3(元)．答案：163.3有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[学会用活]4.如图，在半径为30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A ，B 在直径上，点C ，D 在圆周上．怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积． 解：如图，连接OC ．设BC ＝x ，矩形ABCD 的面积为S . 则AB ＝2900－x 2，其中0<x <30. 所以S ＝2x900－x 2＝2x 2（900－x 2）≤x 2＋(900－x 2)＝900.当且仅当x 2＝900－x 2，即x ＝152时，S 取最大值900 cm 2.所以，取BC 为15 2 cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900 cm 2.三、综合探究点——基本不等式的创新交汇问题(思维创新)[典例剖析][例5] (1)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( )A ．3＋223B ．3＋2 2C ．3D ．2 2解析：由f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)，得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4.由题意得f ′(1)＝12＋2a ＋b －4＝0， 则2a ＋b ＝3，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·2a ＋b 3＝13⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3， 当且仅当2b a ＝2ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立．故2a ＋1b 的最小值为3. 答案：C(2)在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则1x ＋1y 的最小值为( )A ．76B ．712C ．712＋33D ．76＋33解析：∵CA ＝3，CB ＝4，即|CA →|＝3，|CB →|＝4， ∴CP →＝x CA →|CA →|＋y CB →|CB →|＝x 3CA →＋y 4CB →，∵P 为线段AB 上的一点，即P ，A ，B 三点共线， ∴x 3＋y4＝1(x >0，y >0)， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·⎝⎛⎭⎫x 3＋y 4＝712＋x 3y ＋y 4x ≥712＋2112＝712＋33，当且仅当x 3y ＝y4x时，等号成立，∴1x ＋1y 的最小值为712＋33，故选C ． 答案：C1．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后合理变形利用基本不等式求最值．2．求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围．[学会用活]5．(2021·河南名校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 6，3a 5，a 7成等差数列，若{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，则1m ＋4n的最小值为( )A ．4B ．9C ．23D ．32解析：选D 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， 由a 6，3a 5，a 7成等差数列，可得6a 5＝a 6＋a 7， 即6a 1q 4＝a 1q 5＋a 1q 6， 解得q ＝2(q ＝－3舍去)，由{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，可得16a 21＝a m a n ＝a 21·2m ＋n －2， 化简可得m ＋n ＝6，m ，n ∈N *， 则1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2 n m ·4m n ＝32. 当且仅当n ＝2m ＝4时，上式取得等号．限时规范训练基础夯实练1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：选B f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥4，当且仅当x ＝±2时取等号，所以f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为4.故选B ．2．(2021·钦州期末测试)已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是( ) A ．15 B ．12 C ．5D ．3解析：选C 因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5.3．(2021·烟台期中测试)已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x ＋14y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．256解析：选B ∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4， ∴2x ＋14y ≥22x －2y ＝8.当且仅当x ＝2，y ＝－1时等号成立， ∴2x ＋14y 的最小值为8.4．(2021·山东师大附中月考)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．100B ．81C ．36D ．9解析：选C 已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，所以1x ＋9y≥21x ·9y，即1≥29xy，故xy ≥36，当且仅当⎩⎨⎧1x ＝9y，1x ＋9y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝18时等号成立，所以xy 的最小值为36.故选C ．5．对于使f (x )≤M 成立的所有常数M ，我们把M 的最小值称为f (x )的上确界．若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－92B ．92C ．14D ．－4解析：选A ∵a ＋b ＝1，∴－12a －2b ＝－a ＋b 2a －2a ＋2b b ＝－52－⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ，∵a >0，b >0，∴b 2a ＋2ab≥2，当且仅当b ＝2a 时取等号，∴－12a －2b ≤－52－2＝－92，∴－12a －2b 的上确界为－92.故选A ．6．已知a >0，b >0，且ab ＋2a ＋b ＝4，则a ＋b 的最小值是 ． 解析：∵ab ＋2a ＋b ＝4，a >0，b >0， ∴b ＝4－2a a ＋1＝6a ＋1－2，∴a ＋b ＝a ＋6a ＋1－2＝a ＋1＋6a ＋1－3≥26－3，当且仅当a ＝6－1时取得最小值， ∴a ＋b 的最小值是26－3. 答案：26－37．(2021·江西五市九校联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b 3a ＋3b 的最小值为 ．解析：因为a ＋b ＝1，所以b 3a ＋3b ＝b 3a ＋3（a ＋b ）b ＝b 3a ＋3a b＋3，因为a >0，b >0，所以b 3a ＋3ab ＋3≥2b 3a ·3a b ＋3＝5，当且仅当b 3a ＝3a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立，即b 3a ＋3b的最小值为5.答案：58．设x ，y 为正数，若x ＋y 2＝1，则1x ＋2y 的最小值是 ，此时x ＝ ．解析：因为x ＋y 2＝1，x >0，y >0，所以1x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝2＋y 2x ＋2xy≥2＋2y 2x ·2xy＝4，当且仅当y 2x ＝2x y ，即x ＝12，y ＝1时等号成立，所以1x ＋2y 的最小值为4，此时x ＝12.答案：4 129．已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解：(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )． 又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋（y ＋1）22≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5. 10．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值． 解：(1)由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以a 2＋b 2的最小值是1. (2)由(a －b )2≥4(ab )3得a 2＋b 2－2ab ≥4a 3b 3，不等式两边同除以a 2b 2，得1b 2＋1a 2－2ab ≥4ab ，即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab ≤2，又ab ＋1ab≥2. 所以ab ＋1ab＝2，所以ab ＝1.综合提升练11．(2021·湖北十一校联考)设a >0，b >0，则“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为a >0，b >0，所以4≥1a ＋1b ≥21a ·1b，当且仅当a ＝b 时取等号， 则2≥1ab，所以ab ≥14；若ab ≥14，取a ＝14，b ＝1，则1a ＋1b ＝4＋1＝5>4，即1a ＋1b ≤4不成立．所以“1a ＋1b ≤4”是“ab ≥14”的充分不必要条件，故选A ．12．(2021·江西重点中学联考)已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( )A ．14B ．12C ．22D ．1解析：选A 圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，半径r ＝1，由直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，得|－1|a 2＋4b2＝1，则a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b 时等号成立，故ab 的最大值是14.13．(2021·安徽合肥二模)《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形的长为a ＋b ，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论．如图3，设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形的对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推断正确的是( )①由图1和图2面积相等可得d ＝aba ＋b； ②由AE ≥AF 可得 a 2＋b 22≥a ＋b2； ③由AD ≥AE 可得a 2＋b 22≥21a ＋1b； ④由AD ≥AF 可得a 2＋b 2≥2ab . A ．①②③④ B ．①②④ C ．②③④D ．①③解析：选A 由题图1和题图2面积相等得ab ＝(a ＋b )d ，可得d ＝aba ＋b，①正确；由题意知题图3的面积为12ab ＝12a 2＋b 2·AF ，则AF ＝ab a 2＋b2，AD ＝12BC ＝12a 2＋b 2，设题图3中正方形的边长为x ，由三角形相似，得a －x x ＝x b －x ，解得x ＝aba ＋b ，则AE ＝2aba ＋b，可以化简判断②③④都正确，故选A ． 14．已知a >b >0，则a 2＋1b （a －b ）的最小值为 ．解析：由a >b >0，得a －b >0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24.∴a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4， 当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号． ∴a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.答案：415．(2021·湖南岳阳模拟改编)若a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为 ，1a ＋2b的最小值为 ． 解析：∵a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，∴a ＋2b ＝4， ∴ab ＝12a ·2b ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝2， 当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立， ∴ab 的最大值为2.∵1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·a ＋2b 4＝14⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥14·⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝94， 当且仅当a ＝b ＝43时等号成立，∴1a ＋2b 的最小值为94. 答案：2 9416．(2021·吉林六校联考)已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)因为x ＞0，y ＞0，所以3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. 所以3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0. 所以(3xy ＋1)(xy －1)≥0. 所以xy ≥1.所以xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以xy 的最小值为1.(2)因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22.所以3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. 所以[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.所以x ＋y ≥2.当且仅当x ＝y ＝1时取等号． 所以x ＋y 的最小值为2.创新应用练17.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m ，中间两道隔墙建造单价为248元/m ，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：设隔墙的长度为x m ，总造价的函数为y 元，则隔墙造价为2x ·248＝496x ， 池底造价为200×80＝16 000， 四周围墙造价为⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ·400＝800·⎝⎛⎭⎫x ＋200x .因此，总造价为y ＝496x ＋800⎝⎛⎭⎫x ＋200x ＋16 000(0<x <50)＝1296x ＋160 000x ＋ 16 000≥21296x ·160 000x＋16 000＝28 800＋16 000＝44 800.当1296x ＝160 000x ，即x ＝1009时，等号成立．这时，污水池的长为18 m.故当污水池的长为18 m ，宽为1009 m 时，总造价最低，最低为44 800元．。
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第六章 不等式 第3讲基本不等式 Word版含答案
第3讲 基本不等式,)1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)假如积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小) (2)假如和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不行； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件全都． 2．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号且都不为0)；ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．1.教材习题改编 将正数m 分成两个正数a 与b 之和，则ab 的范围为( )A ．(0，m 22]B ．(0，m 24]C ．[m 22，＋∞)D ．[m 24，＋∞)B a ＋b ＝m ≥2ab ， 所以ab ≤m 24，故选B.2.教材习题改编 函数f (x )＝x ＋1x的值域为( )A ．B ．∪ 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2.当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪ 设折成的矩形的两边分别为x ，y (x >0，y >0)．则x ＋y ＝a2.由于x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤14(x ＋y )2＝a 216，即S 矩形≤a 216. 当且仅当x ＝y ＝a 4时，(S 矩形)max ＝a 216.故选D.4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1， 即x ＝3时等号成立． 55．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______．由于xy ＝1，所以y ＝1x，所以x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥2x 2·2x2＝2 2.即x 2＋2y 2的最小值为2 2. 2 2利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．(1)(2021·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10(2)(2021·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16【解析】 (1)由于a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．故选C.(2)由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故选B.【答案】 (1)C (2)B角度一 知和求积的最值1．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4C 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”， 所以ab 的最小值为2 2. 角度二 知积求和的最值 2．已知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n＝－1上，且m ，n >0，则3m＋n 的最小值为________．易知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)恒过定点(－3，－1)，所以A (－3，－1)．又由于点A 在直线x m ＋yn＝－1上，所以3m ＋1n＝1.所以3m ＋n ＝(3m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n＝10＋3m n ＋3n m≥10＋23m n ·3nm＝16，当且仅当m ＝n 时，等号成立， 所以3m ＋n 的最小值为16. 16角度三 求参数的值或范围 3．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号， 所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 4利用基本不等式解决实际问题小王高校毕业后，打算利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流淌成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流淌成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)由于每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．由于9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 由于售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.,)——忽视最值取得的条件致误(1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．【解析】 (1)由于x >0，y >0，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝3＋y x＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，所以当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)由于x <0，所以y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2（－2x ）·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 【答案】 (1)3＋2 2 (2)1＋2 6(1)利用基本不等式求最值，肯定要留意应用条件，如本例(2)易忽视条件x <0而误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.(2)尽量避开多次使用基本不等式，若必需多次使用，肯定要保证等号成立的条件全都．当3＜x ＜12时，函数y ＝（x －3）（12－x ）x的最大值为________．y ＝（x －3）（12－x ）x＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2x ·36x＋15＝3.当且仅当x ＝36x， 即x ＝6时，y max ＝3. 3,)1．(2021·海口调研)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1B ．14C ．12D ．22B 由于a ，b ∈(0，＋∞)， 所以1＝a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4C 由于x <0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．3．(2021·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A 由于正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.4．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8C y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5， 由于x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0. 所以由基本不等式， 得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝1， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号， 所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.5．已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8C 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 又由于x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号，(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6.6．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产预备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产预备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x8＝20， 当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号．7．(2021·郑州检测)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83. 当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．838．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________． f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.369．正实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y的最小值是______． 利用基本不等式可得3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y.由于x ＋2y ＝2， 所以3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y，即x ＝1，y ＝12时取等号．610．不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________．依据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min，由于a b ＋ba ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．(－2，1)11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． (1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy.得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎪⎫8x ＋2y·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.12．(2021·东北育才学校模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．92C ．8D ．9D 由于AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)， AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)，若A ，B ，C 三点共线， 则有AB →∥AC →，所以(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1， 又a >0，b >0，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a＋2ab≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．13．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值．(1)由于x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 由于2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)由于x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.14．(2021·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地争辩植物生长，方案利用学校空地建筑一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值． (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8，450)．(2)由于8<x <450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240.当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.。
拔高学习----不等式之第3讲：基本不等式及应用 (学生版)
第3讲 基本不等式及应用最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)当a≥0，b≥0时，a＋b2≥ab.()(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(3)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(4)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为2.()(5)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()2.若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()A.a2＋b2＞2abB.a＋b≥2abC.1a＋1b＞2abD.ba＋ab≥23.若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A.2B.3C.4D.54.(2015·湖南卷)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A. 2B.2C.2 2D.45.(人教A必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.考点一配凑法求最值【例1】(1)已知x＜54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知x为正实数且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值；(3)求函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值.【训练1】(1)设0＜x＜52，则函数y＝4x(5－2x)的最大值为________.(2)设x＞－1，则函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1的最小值为________.考点二 常数代换或消元法求最值【例2】 (1)已知x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y 的最小值为________.(2)(2016·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.【训练2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C.5D.6(2)(2016·浙江十校联考)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C.2 D.54(3)设x ，y 为实数. 若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________.考点三 基本不等式在实际问题中的应用【例3】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l . (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.【训练3】 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解析 设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2).容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立).故选C. 答案 C基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 2.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B.4C.92D.53.(2016·南昌一模)若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab >12B.1a ＋1b ≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤184.已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( )A.4B.3C.2D.15.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2 二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________. 7.(2015·东北师大附中三模)已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________.8.若对于任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________. 三、解答题9.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y 的最小值.10.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为()A.0B.1C.94 D.312.(2015·江西五校联考)已知x＞0，y＞0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为()A.22 B.2 2 C. 2 D.213.(2016·唐山一模)已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________.14.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.。
【数学】3.4《基本不等式》教案(新人教A版必修5)(3课时)
课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；【教学难点】 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤用分析法证明：要证2a b ab +≥ (1)只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
第六章 第三节 基本不等式
第三节 基本不等式
考点一 考点二
[基础梳理] 1．重要不等式 a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)(当且仅当 a＝b 时等号成立)． 2．基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件是 a>0，b>0 . (2)等号成立的条件是：当且仅当 a＝b 时取等号． (3)其中a＋2 b称为正数a，b的算术平均数， ab称为正数a，b的几何平均数．
挖掘3 利用常值代换/ 互动探究
[例3] (1)(2020·西安模拟)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则1x＋31y的最小值
是( )
A．2 B．2 2
C．4
D．2 3
解析：由lg 2x＋lg 8y＝lg 2得，lg 2x＋3y＝lg 2，
∴x＋3y＝1，1x＋31y＝1x＋31y(x＋3y)＝2＋3xy＋3xy≥4当且仅当3xy＝3xy时等号成立.故选
C. 答案：C
(2)(2020·广东惠州三调)在△ABC中，点D是AC上一点，且 A→C ＝4 A→D ，P为BD上一
点，向量A→P＝λA→B＋μA→C(λ＞0，μ＞0)，则4λ＋μ1的最小值为( )
A．16
B．8
C．4
D．2
解析：由题意可知， A→P ＝λ A→B ＋4μ A→D ，又B，P，D共线，由三点共线的充分必要条
答案：D
3．(基础点：构造不等式的定值)已知x>1，则x＋x－4 1的最小值为________． 答案：5 4．(易错点：“1”的代换)若1a＋1b＝1(a>0，b>0)，则a＋b的最小值为__________． 答案：4
考点一 考点二
考点一 利用基本不等式求最值 教材剖析，必修5P100A组T1 (1)把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ (2)把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ [解答] (1)两个数都是6，和最小为12. (2)两个数都是9，积最大为81.
微专题03 基本不等式和积问题(解析版)
微专题03 基本不等式和积问题【方法技巧与总结】 一．重要不等式,a b R ∀∈，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．二．基本不等式如果0a >，0b >2a bab +≤，当且仅当a b =时，等号成立． 2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数ab a ，b 的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．三．与基本不等式相关的不等式（1）当,a b R ∈时，有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立．（2）当0a >，0b >时，有211ab a b≤+a b =时，等号成立．（3）当,a b R ∈时，有22222a b a b++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立． 四．利用基本不等式求最值 已知0x >，0y >，那么（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值2P （2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S ． 【题型归纳目录】题型一：比较大小及不等式证明问题 题型二：简单的和为定值或积为定值型 题型三：含+y x x y 或1+t t以及可以转化为此的类型 题型四：含22,,,++=++y x ax by ax by xy ax by a b ab类型 【典型例题】题型一：比较大小及不等式证明问题例1．（多选题）（2022·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x ，y 满足x y >，则下列结论正确的是（ ）A ．11x y> B ．11x y< C ．2x yy x+≥D ．22222x y x y ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】CD【解析】当0x y >>时，得11x y<，A 错； 当0x y >>时，11x y>，B 错； 0,0x y y x >>，2x y x y y xyx+≥⋅=，当且仅当x y =时，等号成立．C 正确；,x y 是实数，则222x y xy +≥，222222()2()x y x xy y x y +≥++=+，所以22222x y x y ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，D 正确． 故选：CD ．例2．（多选题）（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）设a ＞0，b ＞0，则（ ） A ．12(2)9a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．2221)a b a b +≥++（C ．22a b a b b a++≥D ．2abab a b≤+【答案】ACD 【解析】a ＞0，b ＞0，对A ：122222(2)5529b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，故选项A 正确； 对B ：因为()()222221)114a b a b a b +-++=-+--（4≥-，所以选项B 错误； 对C ：因为22222222a b a b b a b a a b b a b a +++≥⨯⨯=+，所以22a b a b b a++≥，当且仅当a b =时等号成立，故选项C 正确；对D ：因为2a b ab +≥，所以(2a b ab ab +≥，即2abab a b≤+a b =时等号成立，故选项D 正确． 故选：ACD ．例3．（2022·河南·高一期中）已知x 、y 、z 都是正数． （1）求证：0x y y z z xyz zx xy---++≥；（2）若()2221122x y m m y x x y ⎛⎫+≥--+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）证明：要证0x y y z z xyz zx xy---++≥， 左右两边同乘以xyz 可知即证2220x xy y yz z xz -+-+-≥， 即证222x y z xy yz xz ++≥++．因为x 、y 、z 都是正数，由基本不等式可知222x y xy +≥，222y z yz +≥，222x z xz +≥， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号成立，将上述三个不等式两边分别相加并除以2，得222x y z xy yz xz ++≥++． 所以，原不等式得证．（2）()()33222222112222x y x y x xy y m m m m y x x y xy x y xy ⎛⎫+-++≥--+⇔--≤= ⎪+⎝⎭，因为221211x xy y x y x yxy y x y x -+=+-≥⋅=，当且仅当x y =时等号成立， 所以，2221m m --≤，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤， 故实数m 的取值范围为13m -≤≤．例4．（2022·广东茂名·高一期末）已知,,a b c 均为正数，且3a b c ++=，证明：2221116a b c ab bc ac+++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立．【解析】证明：因为,,a b c 均为正数，所以2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++． 所以222a b c ab bc ac ++++①故222111111a b c ab bc ac ab bc ac ab bc ac++++++++++， 而111111226ab bc ac ab bc ac ab bc ac ab bc ac+++++≥⋅⋅⋅．① 所以原不等式成立．当且仅当①式和①式等号成立，即当且仅当,1a b c ab bc ac =====时，故当且仅当1a b c ===时，原不等式等号成立． 例5．（2022·辽宁沈阳·高一期中）已知a ，b ，0c >，求证：222a b c a b c b c a++≥++．【解析】因为a ，b ，0c >，则20a b >，20b c >，20c a>，于是得2222a a b b a b b+≥⋅=，当且仅当2a b b =，即a b =时等号成立，2222b b c c b c c+≥⋅=，当且仅当2b c c =，即b c =时等号成立，2222c c a a c a a+≥⋅=，当且仅当2c a a =，即c a =时等号成立，将上述三个不等式相加得：222222a b c b c a a b c b c a+++++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，因此有222a b c a b c b c a ++≥++，所以，当a ，b ，0c >时，222a b c a b c b c a++≥++．例6．（2022·江苏·高一单元测试）设a >0，b >0，a +b ＝2． （1）证明：(1)(1)a b ab++≥4；（2）证明：a 3+b 3≥2．【解析】（1）证明：因为0a >，0b >，2a b +=．()()13111ab a b aba a bb ab+++++==+． 且()214a b ab +≤=（当且仅当a b =时取等号）， 故331141ab +≥+=． 所以()()114a b ab++≥（2）证明：()3322333a b a a b ab b +=+++()333a b ab a b =+++336a b ab =++()23333664a b a b a b +++⋅=++≤当且仅当1a b ==时取等号， 又()3328a b +==， 故332a b +≥．题型二：简单的和为定值或积为定值型例7．（2022·陕西安康·高一期中）若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．2ab ≥ B 2a b ≤C ．213a b+≥D ．222a b +≥【答案】D【解析】对于选项A ：∵212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，∴A 错误；对于选项B ：12a b a b++≤=2a b ≤，∴B 错误； 对于选项C ：()2112112322322b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3223+< ∴C 错误； 对于选项D ：∵2222a b a b ++，当且仅当a b =时取等号， ∴222a b +≥，D 正确； 故选：D例8．（2022·广东·华南师大附中高一期末）若正实数,a b 满足1a b +=，则（ ）A ．ab 有最大值14B ．11a b +有最大值4 C ．ab 有最小值14D ．11a b+有最小值2 【答案】A【解析】因为正实数,a b 满足1a b +=所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故A 正确、C 错误． 2111142+=≥=⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b ab a b ，当且仅当1a b +=，a b =，即12a b ==取等号，故B 、D 错误． 故选：A例9．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数x y ，满足 4x y +=，则xy 的最大值（ ） A ． 2 B ．4C ． 6D ．8【答案】B【解析】因为正数x y ，满足 4x y +=，所以有4224x y xy xy xy =+≥⇒≤，当且仅当2x y ==时取等号， 故选：B例10．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）若()0,4,x ∈则()4x x -的最大值是（ ） A ．4 B ．1C ．0D ．不存在【答案】A【解析】因为()0,4x ∈，所以()40,4x -∈，所以()()24442x x x x ⎡⎤+--≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当4x x =-，即2x =时取等号；故选：A例11．（2022·河南郑州·高一期中）设正实数x ，y 满足x +2y =1，则下列结论正确的是（ ）A ．x 的最大值为14B ．224x y +的最小值为12，C ．y x +1y的最大值为4 D 2x y 2【答案】B【解析】正实数x ，y 满足x +2y =1，则1x <，无最大值，A 错误；由基本不等式得：()2222441x y x xy y +=++=，而2244xy x y ≤+，所以22142x y +≥，当且仅当2x y =，即11,24x y ==时，等号成立，B 正确；111112212y x y y x x x y +=+-=+-+，其中()111115922222222y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，所以1111422y x y x y +=-++≥，故y x +1y的最小值为4，C 错误； 20x y ，其中(2222212x yx y xy xy =++=+221224x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,24x y ==时，等号成立，所以(221222x yxy =+≤，所以022x y 2x y2D 错误．． 故选：B例12．（2022·山东青岛·高一期末）已知,,x y z 都是正实数，若1xyz =，则 ()()()x y y z z x +++ 的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】由0,0,0x y z >>>可知20x y xy +≥>（当且仅当x y =时等号成立）20y z yz +≥>（当且仅当y z =时等号成立）20x z xz +≥>（当且仅当x z =时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得()()()22288x y z x y y z z x ≥++=+（当且仅当1x y z ===时等号成立）故选：D例13．（2022·江苏·常州市第一中学高一期末）若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【解析】∵72x ≥，∴30x ->， ∴()()()223161011()=32323333x x x f x x x x x x x -+-+==-+≥-⨯----， 当且仅当133x x -=-，即4x =时，等号成立，即()f x 有最小值2． 故选：D ．例14．（2022·湖北黄石·高一期中）若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】因为1x >，所以10x ->， 所以()2142211x x y x x x x -++=+=+--()()4442132137111x x x x x x =++=-++≥-⋅=---， 当且仅当()411x x -=-，即3x =时取等号， 所以函数221x y x x +=+-的最小值为7； 故选：C例15．（2022·云南楚雄·高一期末）下列函数中最小值为8的是（ ） A ．16y x x=+B ．16sin sin y x x=+C ．22644x y x=+D ．227y x x =-+【答案】C【解析】对于A ，当0x <时，显然不满足题意； 对于B ，因为0sin 1x <，又16y x x=+在(]0,1上单调递减，所以当sin 1x =时min 17y =，所以其最小值不为8，B 不符合题意；对于C ，226421684x y x=+=，当且仅当216x =，即4x =±时取等号，所以其最小值为8，C 符合题意；对于D ，()2227166y x x x =-+=-+≥，当1x =时，取得最小值，D 不符合题意． 故选：C例16．（2022·贵州遵义·高一期末）负实数x ，y 满足2x y +=-，则1x y的最小值为（ ） A ．0 B ．1- C ．2-D ．3【答案】A【解析】根据题意有2x y =--，故11122xy yyyy1220yy，当且仅当1y =-，1x =-时取等号．故选：A题型三：含+y x x y 或1+t t以及可以转化为此的类型 例17．（2022·四川·华阳中学高一期中）若正实数x ，y ，z 满足2243x y z xy =++，则当xyz取最大值时，1112x y z+-的最大值为______． 【答案】12【解析】正实数x ，y ，z 满足2243x y z xy =++ 则2234z x xy y =-+ 则2234xy xy z x xy y =-+ 143x y y x+=- 4231x y y x⋅-=，当且仅当2x y =时取得等号 所以max1xy z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时2x y =所以222234z x xy y y =-+= 所以1112x y z+-2111222y y y=+- 211111222y ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭所以1112x y z+-的最大值为12 故答案为：12例18．（2022·四川内江·高一期末（文））已知正实数a 、b 满足4a b +=，则11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．222 B ．4C ．254D ．221【答案】B【解析】∵正实数a 、b 满足4a b +=，∴11112224a b ab ab b a ab ab ⎛⎫⎛⎫++=++⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥， 当且仅当1ab ab=，即1,4ab a b =+=时，取等号， 故选：B ．例19．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（ ） A ．9 B ．16 C ．49 D ．81【答案】D【解析】由题意得3327627ab a b ab =++≥，得)627930ab ab ab ab -=≥9ab ，即81ab ≥，当且仅当9a b ==时，等号成立． 故选：D例20．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期中）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴221114344323===-++-⋅-xy xy x y zx xy y x y y xy x， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D例21．（2022·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a 和b 满足ab +a +2b =7，则14299a b +++的最小值为（ ） A ．49B 815C ．1327D 13375-【答案】A【解析】因为ab +a +2b =7， 所以72+1b a b -=，72+2297+2,+112b b a b b b -+==<+， 所以141414422999999999b b a b b b +++=+≥⋅=++++， 当且仅当51,2b a ==时等号成立， 故选：A例22．（2022·浙江·宁波市鄞州高级中学高一期中）若正实数x ，y 满足()()1419x y ++=，则4x y +的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．265D ．425【答案】B【解析】()()()2242141914124x y x y x y +++++⎛⎫=++≤=⎪⎝⎭， 可得()24236x y ++≥，426x y ++≥，所以44x y +≥， 所以4x y +的最小值为4， 故选：B例23．（2022·江西省丰城中学高一期中）已知正实数a ，b ，若()1126a b a b+++=，z a b =+，则z 的取值范围是（ ）A ．{}13z z ≤≤B ．{}12z z ≤≤C ．{}23z z ≤≤D ．{}34z z ≤≤【答案】B【解析】由()()111226a b a b a b ab ⎛⎫+++=++= ⎪⎝⎭， 得()2661422a b aba b +=≤+++，化简得()()2320a b a b +-++≤，解得12a b ≤+≤，即z 的取值范围为{}12z z ≤≤， 故选：B ．例24．（2022·河南三门峡·高一期末）若正实数x ，y 满足30x y xy ++-=，则x y +的最小值为（ ） A ．3 B ．2C 3D 3【答案】B【解析】由题意，正实数,x y 满足30x y xy ++-=，则23()2x y x y xy +⎛⎫-+=≤ ⎪⎝⎭，令(0)x y t t +=>，可得232t t ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，即24120t t +-≥，解得2t ≥，或6t ≤-（舍去），所以当且仅当1x y ==时，x y +取得最小值2， 故选：B ．例25．（2022·贵州·六盘水红桥学校高一期中）设x ，y ，z 为正实数，满足0x y z -+=，则2yxz的最小值是（ ） A ．4 B ．2C ．12D ．14【答案】A【解析】由题设，y =x+z ，∴22()y x z xz xz+=，又x ，y ，z 为正实数，则2()4x z xz +≥， ∴24y xz ≥，当且仅当2y x z ==时等号成立． ∴2y xz的最小值是4． 故选：A例26．（2022·重庆八中高一期中）已知0a >，0b >，2a b +=，则22a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ）A ．8B ．434C ．9D ．34【答案】C【解析】由题意得，()22222244222222aa b a a a a a b a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-+=-++-+ ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭224(2)412(2)2(2)4(2)(2)a a a a a a a a a a +-+=--+=-+---，因()0,2a ∈，所以(](2)0,1a a -∈，结合对勾函数的性质得，12(2)4(2)a a a a -+--在(2)1a a -=时取得最小值9．故选：C ．题型四：含22,,,++=++y x ax by ax by xy ax by a b ab类型 例27．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．14 D ．16【答案】A【解析】因为8ab =，所以()222216a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---．因为a b >，所以0a b ->，所以1616()8a b a b a b a b -+≥-⋅--，即28a b a b+≥-，当且仅当4a b -=时，等号成立，故222a b a b+--的最小值是6． 故选：A例28．（2022·全国·高一单元测试）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．22D 3【答案】A【解析】因为a ，b 均为正实数，则()222222222222222ab bc a c a c a b c a c a c b bb b ++=≤++++++⨯()222222*********22222222a ac c ac ac a c a c a c ++=++=++⨯， 当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号， 则2222ab bc a b c +++的最大值为12． 故选：A ．例29．（2022·湖北恩施·高一期末）若2a >，3b >，则2223a b a b +--的最小值是（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．22【答案】C【解析】因为2a >，3b >，所以22224499492310232323a b a b a b a b a b a b -+-++=+=-++-++------ ()()492223102023a b a b ≥-⋅-+=--（当且仅当4,6a b ==时，等号成立），所以2223a b a b +--的最小值是20． 故选：C例30．（2022·天津·南开中学高一期中）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________．【答案】2【解析】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=， 又因为224(1111111()4424)xy xy y y x xy xy xy x -+=+=+≥⋅，当且仅当14xy xy =，即22,22x y ==等号成立，所以21=14x y+≥．故答案为：2例31．（2022·云南丽江·高一期末）若正数a ，b 满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为___________． 【答案】9【解析】因为正数a ，b 满足2a b ab +=， 所以121b a+=，则()212222522529b a b a a b a a b b a b a b ⎛⎫+=++≥+⋅ ⎪⎝+=+⎭， 当且仅当22b a a b =且121b a+=，即3a b ==时取等号， 所以2a b +的最小值为9． 故答案为：9．例32．（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x ，y 满足111x y+=，则4x y +最小值为______．【答案】9【解析】正数x ，y 满足：111x y+=，∴()1144445529y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即2x y =，233x y ==，时 “=”成立， 故答案为：9．例33．（2022·青海青海·高一期末）已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为（ ）A ．74B ．92C ．134D ．1【答案】B【解析】因为2x y +=，所以1414141422x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+⋅=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为x ，y 都是正数，由基本不等式有：4424y x y xx y x y+≥⋅， 所以141491422y x x y x y ⎛⎫+=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2,? 2,y x x y =⎧⎨+=⎩即2,343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“＝”．故A ，C ，D 错误．故选：B ．例34．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知 x y ， 为正实数， 且 2x y xy +=， 则 2x y + 的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】因为x y ， 为正实数， 所以2121x y xy y x+=⇒+= 所以214(2)()44248y xx y y x x y++=++≥+= 当且仅当42y x x y x y xy ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即2,4x y ==时，取等号， 故2x y + 的最小值为8． 故选：C例35．（2022·江西·高一期中）已知0a >，0b >，且12a b +=，则4b a+的最小值是（ ）2【答案】A【解析】由题意可得411414522b a b ab a b a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为0a >，0b >，所以44ab ab +≥，则492b a +≥， 当且仅当43a =，32b =时，等号成立． 故选：A例36．（2022·广东·化州市第三中学高一期中）下列结论中，所有正确的结论是（ ） A ．若3x <-，则函数13y x x =++的最大值为3- B ．若0xy >，234x y xy +=，则2x y +的最小值为23C ．若x ，(0,)∈+∞y ，223x y xy ++=，则xy 的最大值为1- D ．若2x >，2y >-，22x y +=，则11224x y +-+的最小值为322+【答案】B【解析】对于A ，若3x <-，则函数 ()()()1111333323()353333y x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++-=--++----+⋅--=- ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦， 当且仅当4x =-时等号成立，故A 错误； 对于B ，若0xy >，234x y xy +=，则234y x+=， 所以()13214314322628223444x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++++⋅=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当2243x y =时等号成立，故B 正确； 对于C ，若x ，(0,)∈+∞y ，223x y xy ++=，则由222x y xy +可得：323xy xy xy +=，即1xy ，故C 错误； 对于D ，若2x >，2y >-，22x y +=，则()()11111124212422242221224422442244224y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+-+-⎡⎤+=+-++=+++⋅= ⎪ ⎪⎣⎦ -+-+-+-+⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当224x y -=+，即4x =，1y =-时等号成立，故D 错误． 故选：B ．例37．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知p ，q 为正实数且3p q +=，则1121p q +++的最小值为（ ）3345【答案】A【解析】由3p q +=可知216p q +++=，11112111212121663612p q p q p q p q q p ⎛⎫⎛⎫++++⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11212236123p q q p ++≥+⨯⋅=++， 当21p q +=+，即12p q =⎧⎨=⎩时，“=”成立，故选：A ．例38．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（ ） A ．134 B ．94C ．74D ．95【答案】B【解析】∵2m n +=， ∴()()114m n +++=，即11144m n +++=， ∴4111m n +++41141114m n m n ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝++⎭+()1151414n m m n ++=++++ ()11521414n m m n ++≥⋅++94=，当且仅当()11141n m m n ++=++，且2m n +=时，即 53m =，13n =时等号成立．故选：B ．例39．（2022·江苏·常州市第一中学高一期中）已知0x >，0y >，2x y +=，则11xx y ++的最小值为（ ）． A ．1532B ．133C ．1233+D ．32【答案】C【解析】因为2x y +=， 所以2y x =-， 又0x >，0y >， 所以02x <<，111131=1213333x x x x x x y x x x x x x -+=+=+⨯+++-+--， 因为02x <<， 所以30x ->，所以13113123123333333x x x x x x x x --⨯++≥⨯⨯--， 当且仅当13=33x x x x -⨯-，即333x -所以11x x y ++2313，故选：C【过关测试】 一、单选题1．（2022·江苏·高一期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0,0)2a bab a b +≥>> B ．220,0)a b ab a b +≥>>C ．20,0)abab a b a b ≤>>+ D ．220,0)22a b a b a b ++>>【答案】D【解析】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=， 因为FO FC ≤，所以2222a b a b ++≤a b =时取等号． 故选：D ．2．（2022·福建三明·高一期中）已知正实数,a b 满足418a b +=，使得11a b+取最小值时，实数,a b 的值为（ ） A ．94a =，9b = B ．2a =，10b = C ．3a =，6b = D ．185a =，185b = 【答案】C 【解析】418a b +=，21918a b∴+= 1111252521291818189181892a b b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2189b aa b =，即2418b a a b =⎧⎨+=⎩，即36a b =⎧⎨=⎩时，等号成立故当3a =，6b =时，11a b+取最小值． 故选：C3．（2022·浙江杭州·高一期末）若a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1c a+（ ）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】A ．都不大于2，结论不一定成立，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c +，1c a+都大于2，所以选项A 错误；B ．都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如1,2,a b ==则12a b+<，所以选项B 错误； C ．至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如2,3,4a b c ===时，三个数1a b +，1b c +，1c a+都大于2，所以选项C 错误． 由题意，∵a ，b ，c 均为正实数，∴1111112226a b c a b c b c a a b c+++++=+++++≥++=．当且仅当a b c ==时，取“=”号， 若12 a b +<，12b a+<，12c c +<，则结论不成立， ∴1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2，所以选项D 正确；故选：D ．4．（2022·云南玉溪·高一期末）现有以下结论： ①函数1y x x=+的最小值是2； ①若a 、b R ∈且0ab >，则2b aa b+≥；①2233y x x ++2；①函数()4230y x x x=-->的最小值为243-． 其中，正确的有（ ）个 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】取0x <，可判断①的正误；利用基本不等式可判断①①①的正误． 【详解】对于①，当0x <时，10y x x=+<，①错误； 对于①，若a ，b R ∈且0ab >，说明0b a >，0a b >，则22b a b aa b a b+≥⨯，当且仅当22a b =时取等号，显然成立，①正确；对于①，22221323233y x x x x =+≥+⨯++，2233x x +=+231x +=，显然这样的x 不存在，所以结论不正确，①错误；对于①，因为0x >，所以433x x+≥ 函数()4230y x x x=-->的最大值为23-①错误． 故选：B ．5．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知0a >，0b >，且115a b a b+++=，则a b +的取值范围是（ ） A ．14a b ≤+≤ B ．2a b +≥C ．14a b <+<D ．4a b +>【答案】A【解析】当2a b ==时，115a b a b+++=，4a b +=，所以CD 选项错误． 当12a b ==时，115a b a b +++=，1a b +=，所以B 选项错误．211452a b a b a b a b a b a b a b ab a b a b ++=+++=++≥++=++++⎛⎫⎪⎝⎭， 即45a b a b++≤+当且仅当2a b ==或12a b ==时等号成立．则()()2540a b a b +-++≤，()()140a b a b +-+-≤，解得14a b ≤+≤． 故选：A6．（2022·甘肃兰州·高一期末）已知x ，y R ∈，且0x >，0y >，2x y +=，那么xy 的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】根据题意，0x >，0y >，2x y +=，则212x y xy +⎛⎫= ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，即xy 的最大值为1． 故选：C7．（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）已知实数,1x y >11x y -+- ）A ．1B 2C ．2D ．2【答案】C【解析】因为,1x y >，所以10,10x y ->->， 221121111x y x y x y -+-+=-+--+-2112211x y x y --+-+-11x y -=-x y =时取等号，1111x y x y -+-=-+-11222211x y x y -+-≥⋅=-+-，1111x y x y -+-=-+-2x y ==时取等号，11x y -+-2，故选：C8．（2022·河南新乡·高一期末）已知0x >，0y >，且22x y +=，则321x y+的最小值为（ ） A ．24 B ．25C ．26D ．27【答案】B【解析】因为0x >，0y >，且22x y +=， 所以()321132116464234172522y x y x x y x y x y x y x y⎛⎫⎛⎫+=++=++⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当64y x x y =，即85x =，15y =，等号成立． 所以321x y+的最小值为25， 故选：B 二、多选题9．（2022·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（ ） A ．21x y x+=的最小值为2B ．任意的正数a b 、， 且1a b +=2a bC ．若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为3D ．设x 、y 为实数，若2291x y xy ++=，则3x y +221【答案】BCD【解析】选项A ：211+==+x y x x x， 当0x > 时，11.2y x x x x=+≥= ，当且仅当1x =时有最小值． 故A 不正确． 选项B ()()2212a b a ba b ab ab ++++对于任意正数a b 、 ，a b ab +≥，而1a b += ，所以21ab ， 当且仅当12a b ==时取得最大值． +2a b ≤，当且仅当12a b ==时取得最大值． 故B 正确．选项C ：对于正数x y 、，23x y xy += ，所以213x y+=所以()()1121232233x y x y x y x y ⎛⎫+=⨯+=++ ⎪⎝⎭122122552333y x y x x y x y ⎛⎛⎫=++≥+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝ 当且仅当22y xx y= ，即1x y ==时取得最小值． 故C 正确．选项D ：因()2229351x y xy x y xy ++=+-=所以()2253+315()32x y x y xy +-=≤⨯ ，即()21237x y +≤ 所以2212213x y ≤+≤，当且仅当213x y ==时等号成立． 故D 正确． 故选：BCD ．10．（2022·福建·福州三中高一期末）已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列说法正确的是（ ）A ．22a b +的最小值为15B ．ab 的最大值为18C ．1a b +的最大值为43D ．11a b+的最小值为42【答案】AB【解析】对于A ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以22222221(12)541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当25b =时，22a b +有最小值15，故A 正确． 对于B ：由0a >，0b >，122a b ab =+≥18ab ≤，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以ab 的最大值是18，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，21a b +=，则12a b =-，所以1200b b ->⎧⎨>⎩，解得102b <<，所以111121a b b b b -==+-+-，因为102b <<，所以1112b -<-<-， 所以1211b -<<--，所以1121b -<<-，即112a b <<+，故C 错误；对于D ：11222212332a b a b b a b aa b a b a b a b+++=+=+++≥+⋅=+ 当且仅当2b a a b =，即22b -=21a =时取等号，故D 错误； 故选：AB11．（2022·河北·邢台市第二中学高一开学考试）若0a >，0b >，且5a b +=，则（ ） A ．ab 的最大值为254B a b 10C ．22a b +的最小值为252D ．11a b+的最小值为45【答案】ACD【解析】因为5a b ab +=≥52a b ==时，等号成立），所以254ab ≤，A 正确．因为25510a ba b ab ab a b =++=+≤++=，（当且仅当52a b ==时，等号成立）10a b ≤B 错误． 因为()22222252252a b a b ab a b +=++=≤++（当且仅当52a b ==时，等号成立），所以22252a b +≥，C 正确．()111111142225555b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝， （当且仅当52a b ==时，等号成立），D 正确， 故选：ACD12．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知,0,260x y x y xy >++-=，则（ ） A ．xy 2B ．2x y +的最小值为4 C ．x y +的最小值为423- D ．22(2)(1)x y +++的最小值为1 【答案】BC【解析】由,0,2622x y x y xy xy >+=-≥32200202xy xy xy xy ≤⇒<⇒<≤，当且仅当2,1x y ==时等号．故A 错，()()()222112,0,262622228x y x y x y x y x y x y ++⎛⎫>⋅=-+≤⇒-+≤ ⎪⎝⎭， 进而可得：()()21224024x y x y x y +++-≥⇒+≥，当且仅当2,1x y ==取等号，故B 正确， 令x y m +=，则0m >，所以y m x =-，故260x y xy ++-=可化为2()()60x m x x m x +-+--=，整理得2(1)620x m x m +-+-=，由0∆，得2(1)4(62)0m m --⨯-，即26230m m +-，解得423m -或423m --（舍去），C 正确，D ，22(2)(1)2(2)(1)2(22)16x y x y xy x y +++++=+++=，当且仅当222,221x y ==时等号成立，D 错误故选：BC ．13．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a ＞0，b ＞0，则（ ） A ．12(2)()9a b ab++≥ B ．222(1)a a b b +++≥ C ．22a b a b b a++≥D ．22a b ab a b+≥+【答案】ACD【解析】A ．122222(2)()5529≥++=+++⋅b a b aa b aba b a b ，当且仅当22b a a b=时，等号成立，故正确；B ．因为()()2222121-2b-2=-4-++--a a b b a ，正负不定，故错误；C ．2222222+≥2++⋅⋅=+a b a b a b b a a b b a b a ，当且仅当2a b b =，2b a a =时，等号成立，故正确；D ．()()()()23322443322--⎛⎫++---==≥ ⎪+++⎝⎭a b a ba b a b a b ab ab a b a b a b ，故正确；故选：ACD 三、填空题14．（2022·江苏扬州·高一期中）若20,x y >>则2y xx y y+-的最小值为_________． 122【解析】因为20x y >>，则20x y ->，221212222222222y x y x y y y x y y x y x y y x y y x y y x y y -+--∴+=+=++≥⋅----1122222=+=，当且仅当222y x yx y y-=-，即当(122y x =时，等号成立， 因此，2y x x y y +-122． 122．15．（2022·湖北十堰·高一期中）已知1x >，则2241x x x -+-的最小值为___________．【答案】23【解析】由1x >，则()()22132433121231111x x x x x x x x x -+-+==-+≥-⋅---- 当且仅当311x x -=-时，即31x =时取等号，此时取得最小值3 故答案为：2316．（2022·上海交大附中高一期中）已知正实数a ，b ，满足6a b +=，则2211a ba b +++的最大值为___． 110+【解析】因为正实数a ，b ，满足6a b +=，则222222222226(1)6(1)6(1)11(1)(1)()1()237(1)36a b ab a b a b ab ab ab a b a b ab a b ab ab ab +++++++====+++++++-+-+， 因为6a b +=，0a >，0b >， 所以20()92a b ab +<=，当且仅当3a b ==时取等号， 令1=-t ab ，18t -<， 则原式26(2)36t t +=+ 26(2)611040(2)4(2)4040242(2)422t t t t t t t ++==+-++++-+⋅-++当且仅当4022t t +=+，即2102t =110+， 110+ 17．（2022·江西·上高二中高一期末（理））已知a ，b 为正实数，且()(2)9a b a b a b ++++=，则34a b +的最小值为___________． 【答案】621【解析】由,a b 为正实数，且()(2)9a b a b a b ++++=，可化为()(21)9a b a b +++=， 则(22)(21)18a b a b +++=所以341(22)(21)2(22)(21)21862a b a b a b a b a b ++=++++≥+⨯++== 当且仅当2221a b a b +=++时，即1a =时，等号成立， 所以34a b +的最小值为621． 故答案为：621．18．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知0x >，0y >，1x y +=，则311y x x y++的最小值为__．【答案】6 【解析】311y x x y++3y x y x y x x y ++=++311y yx x x y =++++ 42y x x y =++422y xx y≥⋅=6，当且仅当析23x =，13y =时，等号成立． 故答案为：6 四、解答题19．（2022·河南焦作·高一期中）已知a ，b 是正实数，且2a b +=，证明下列不等式并指出等号成立的条件：（1）222a b +≥；（2）()()334a b a b ++≥．【解析】（1）因为222a b ab +≥，所以()()22222224a b ab a b a b +≥++=+=所以222a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立；（2）()()()233443344222224a b a b a b ab a b a b a b a b ++=+++≥++=+≥当且仅当33ab a b a b ⎧=⎨=⎩即1a b ==时等号成立．20．（2022·全国·高一单元测试）已知a ，b ，c 均为正数． （1）若40a b ab +-=，求a b +的最小值；（2）若1a b c ++=，求证：()()()1118a b c abc ---≥． 【解析】（1）由40a b ab +-=得411a b+=，所()41445529b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当4b aa b=时，等号成立，即6a =，3b =．故a b +的最小值为9，此时6a =，3b =； （2）因为1a b c ++=，所以()()()()()()111a b c b c a c a b ---=+++又因为a ，b ，c 均为正数，所以2a b ab +≥2b cbc +≥2a a c c +≥ 所以()()()8a b b c a c abc +++≥，故()()()1118a b c abc ---≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立．。
第3讲 不等式的性质和基本不等式学生(新高一培优十六讲系列)
第3讲 不等式的性质和基本不等式[玩前必备]1．不等式的基本性质2．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b<1⇔a <b (a ∈R ，b >0)3．基本(均值)不等式ab ≤a ＋b2(1)基本(均值)不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 4．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 5．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 6．利用基本(均值)不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)[玩转典例]题型一 不等式的性质应用例1 (1)给出下列命题： ①若ab >0，a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，c >d ，则a －c >b －d ；③对于正数a ，b ，m ，若a <b ，则a b <a ＋mb ＋m.其中真命题的序号是________．（2）已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q（3）已知12<a <60,15<b <36.求a －b 和ab 的取值范围．【玩转跟踪】1．下列命题中一定正确的是( ) A ．若a >b ，且1a >1b ，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则ab >1C ．若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >dD ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d2．已知1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．3.已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b题型二 基本不等式求最值角度一：通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值例2 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23 (2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋3 C ．3 D ．4 (3)①已知x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；②已知x 为正实数且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值； ③求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．角度二：通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值例3 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．[探究1] 本例的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． [探究2] 本例的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b 的最小值为________．[探究3] 若将本例中的“a ＋b ＝1”换为“a ＋2b ＝3”，如何求解？题型三 均值不等式实际应用例4 某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 [玩转跟踪]1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．[玩转练习]1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a <1b B.－a <b C ．a 2<b 2D ．|a |>|b |2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bc C.c 2a －b>0 D ．(a －b )c 2≥03．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0. 其中可使b a ＋ab ≥2成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2 5．设x >0，则3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－22C ．－1D ．3－236．已知x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 时取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．47．已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则2a ＋1b的最小值为________．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．59．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．10.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.11．若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，求2a ＋3b 的取值范围．12．已知x >0，y >0且2x ＋5y ＝20. (1)求xy 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．13．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km ，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km /h)之间．假设目前油价为7.2元/L ，汽车的耗油率为⎝⎛⎭⎫3＋x2360L /h ，其中x (单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x 是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)。
《基本不等式》教案
《基本不等式》教学设计教材：人教版中学数学必修5第三章一、教学目标1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想：2.进•步提炼、完善其本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基木不等式的相识，提高逻辑推理论证实力：3.结合课本的探究图形，引导学生进•步探究基本不等式的几何说明，强化数形结合的思想：4.借助例1尝试用其本不等式解决简洁的增值问题，通过例2与其变式引导学生领悟运用基本不等式向“空的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际，将学问与实力、过程与方法、情感看法价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点内<a+b K点,应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究不等式"T的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1.动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现/以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不行分的.探究一：在这张“弦图”中能找出•些相等关系和不等关系吗？在正方形48CD中有4个全等的直角三处形.设直角三角形两条直角边长为40，则正方形的边长为"于是，4个直角三角形的面积之和S L.，正方形的面积S?=/+从.由图可知乡＞$,即3产＞加探究二；先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折春).假设两个正方形的面积分别为。
和b(αNb),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发觉一个不等式吗？加4a+b通过学生动手操作，探究发觉：22.代数证明，得出结论依据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若aMJΓ,则/+从＞2曲.若如尤，则匹吟学生探讨等号取到状况，老师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直•观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论:KVa+b(1)若aMR.,则/.乂工9；(2)若aMR.,则“~请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法>:炉♦户之2而，“初”时取等号.（在该过程中，可发觉久》的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由FaMR.,「是要证明毕而只要证明a+b≥.汨，即证Ja+√⅛-2√afc>0f。
第03讲 基本不等式 (精讲+精练)(学生版)
第03讲基本不等式 (精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法②“1”的代入法③二次与二次（一次）商式（换元法）④条件等式求最值高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数第五部分：高考真题感悟第六部分：第03讲基本不等式（精练）1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立． ②叫做正数a ，b 的几何平均数；2a b+叫做正数a ，b 的算数平均数． 2、两个重要的不等式①222a b ab +≥（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． ②2()2a b ab +≤（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值①已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值；②已知x ，y 是正数，如果和x y +等于定值S ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值24S；4、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：()1123x x a a a x a x a x a+=-++≥+=>--； 凑系数，例：()()2112121112212022282x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=⋅-≤⋅=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②拆：例：()2244442244822223x x x x x x x x x -+==++=-++≥=>----；③除：例：()2221011x x x x x=≤>++； ④1的代入：例：已知0,0,1a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 解析：1111()()24b aa b a b a b a b+=++=++≥. ⑤整体解：例：已知a ,b 是正数，且3ab a b =++，求a b +的最小值.解析：22,322a b a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫≤∴≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21304a b a b +-+-≥，解得()62a b a b +≥+≤-舍去.一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当0,2x π⎛⎤∈⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知102x <<，则()12x x -的最大值为18( ) 二、单选题1．（2022·江西·高一阶段练习）当0x >时，92x x+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．D ．2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．（2022·湖南·高一阶段练习）已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2B ．5C ．32D ．524．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ） A ．1y x x=+B ．222y x x -=+C ．3y x =+D ．2y =高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法1．（2022·北京大兴·高一期末）当02x <<时，(2)x x -的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．42．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．53．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．y 有最大值7B ．y 有最小值7C ．y 有最小值4D ．y 有最大值44．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．（2022·上海虹口·高一期末）已知04x <<，则()4x x -的最大值为______．②“1”的代入法1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知x ，y 均为正数，若261x y+=，则当3x y +取得最小值时，x y +的值为（ ） A ．16B ．4C ．24D ．122．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知,x y 为正实数，且2x y +=，则212x y+的最小值为__________.4．（2022·广西桂林·高一期末）已知0,0a b >>，若31a b +=，则31a b+的最小值是___________.5．（2022·天津·南开中学高一期末）已知110, 0, 4a b a b>>+=，则4a b +的最小值为_______________.③二次与二次（一次）商式1．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值12．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-13．（2022·江西南昌·高一期末）当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．4．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值 （1）21(0)x x y x x ++=>；（2）226(1)1x x y x x ++=>-.④条件等式求最值1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知0x >，0y >，若28x y xy +=，则xy 的最小值是（ ）A B C ．18D ．142．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．7D ．63．（2022·江苏·高三专题练习）已知0a >，0b >且满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．104．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________ 5．（2022·全国·高三专题练习）已知2,1a b >>，且满足21ab a b =++，则2a b +的最小值为_______. 6．（2022·重庆·高一期末）已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 7．（2022·广东广州·高一期末）已知0a >，0b >，且3a b ab +=-，则a b +的最小值为______．高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围1．（2022·全国·高三专题练习）当2x >时，不等式12+≥-x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 x 的不等式220x ax -+>在区间[]1,5上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．()+∞B ．(-∞C ．(),3-∞D ．27,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．94．（2022·全国·高三专题练习）已知x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()2,1-D ．()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦高频考点三：利用基本不等式解决实际问题1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m 3，高为3m ，如果箱底每1m 2的造价为15元，箱壁每1m 2造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ） A ．72元B ．300元C ．512元D ．816元2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足14a b +=，6c =，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设0p q <<，甲第一次提价%p ，第二次提价%q ；乙两次均提价%2p q+；丙一次性提价()%p q +．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ） A ．乙、甲、丙 B ．甲、乙、丙 C ．乙、丙、甲D ．丙、甲、乙4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知k ∈R ，则“对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥”是“k 2≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（ ） A ．10m >B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =米，3AD =米，当BM =_______时，矩形花坛AMPN 的面积最小.高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．172a <C ．133a <D ．5a >2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≥B ．2a ≤-C ．52a ≥-D ．3a ≤-3．（2022·全国·高三专题练习）函数2y =）A ．2B ．52C ．1D ．不存在4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞5．（2022·全国·高二课时练习）函数()3421x xf x x x -=++在区间[]1,3上（ ）A0 B ．有最大值为2491，最小值为0 CD ．有最大值为2491，无最小值1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b++的最小值是（ ） A ．23B ．43C ．2D ．42．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21ab ab ++的最小值为____________． 4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.一、单选题1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）A ．12x x+≥ B ．函数224x y += 4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8 2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数2455()()22x x f x x x -+=≥-有（ ） A ．最大值52 B ．最小值52 C ．最大值2 D ．最小值23．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab 满足121a b+=，则()()24a b ++的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．404．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意(),0x ∈-∞，使得2240x ax -+≥成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,-+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞-D ．(],2-∞5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为1V ，在逆水中的速度为()212V V V ≠，则游船此次行程的平均速度V 与122V V +的大小关系是（ ） A ．122V V V +<B ．122V V V +≤C ．122V V V +>D ．122V V V += 6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a ，b 和实数t 满足221a tab b ++=，若a b +存在最大值，则t 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．()2,-+∞C ．(]2,2-D ．[)2,+∞7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞二、填空题9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，334x y x y +--=.则x y +的取值范围为__________. 10．（2022·上海·二模）已知对()0,x ∀∈+∞，不等式1x m x>-恒成立，则实数m 的最大值是_________. 11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田ABCD ，其中//,AB CD AD AB ⊥.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域AGEH 试种新品种的西红柿，点E 在边BC 上，则该矩形区域的面积最大值为___________.三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为8cm ，将△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB xcm =，求ADP △面积的最大值及相应x 的值.15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x 的不等式220ax ax ++>的解集为R ，记实数a 的所有取值构成的集合为M .(1)求M ；(2)若0t >，对a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，求t 的最小值.16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且()210500,040,64009016300,40.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．。
第三节 基本不等式及其应用
第三节 基本不等式及其应用高考概览：1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．[知识梳理]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ，b ∈R ＋.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：a ＋b2≥ab .(当且仅当a ＝b 时等号成立)4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24(简记：和定积最大)．[辨识巧记]1．基本不等式的两种常用变形形式(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)． (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 2．三个重要的结论 (1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (2)b a ＋ab ≥2(ab >0)． (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)． [双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( ) (4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由a >b >0得，a 2＋b 2>2ab ；但由a 2＋b 2>2ab 不能得到a >b >0，故“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的充分不必要条件，故选A.[答案] A3．(必修5P 100A 组T 1(2)改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82[解析] ∵x >0，y >0，∴xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴xy ≤81，当且仅当x ＝y ＝9时取等号，∴xy 的最大值为81.故选C.[答案] C4．(2018·宁夏月考)若正数x ，y 满足1y ＋3x ＝1，则x ＋3y 的最小值为( )A ．24B ．18C ．12D ．6[解析] 由1y ＋3x ＝1得x ＋3y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝x y ＋9y x ＋6≥2x y ·9y x ＋6＝12，当且仅当x y ＝9y x ，且1y ＋3x ＝1，即x ＝6，y ＝2时等号成立，所以x ＋3y 的最小值为12，故选C.[答案] C5．(必修5P 100练习T 3改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.[解析] 设矩形场地的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10，所以矩形场地的面积S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时，S 取得最大值25 m 2.[答案] 25考点一 利用基本不等式求最值利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容．常见的命题角度有： (1)一元函数的最值；(2)二元函数的最值． 角度1：一元函数的最值【例1－1】 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23(2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4[思路引导] (1)所求式提取公因数3→凑出和为定值(2)将所求f (x )添加项→凑出积为定值[解析] (1)∵0<x <1，∴1－x >0，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(1－x )22＝34. 当且仅当x ＝1－x ，得x ＝12时，“＝”成立．故选B. (2)∵x >2，∴x －2>0， ∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2·(x －2)·1x －2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即(x －2)2＝1时“＝”成立，∴x ＝1或3.又∵x >2，∴x ＝3，∴a ＝3.故选C. [答案] (1)B (2)C 角度2：二元函数的最值【例1－2】 (1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．[思路引导] (1)1a ＋1b →(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b→基本不等式求解(2)x ＋3y ＋xy ＝9→(x ＋3y )＋13x ·(3y )＝9 →转化为x ＋3y 的不等式求解 [解析] (1)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．(2)由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，又t >0，故t ≥6，即x ＋3y ≥6.[答案] (1)4 (2)6(1)利用基本(均值)不等式时一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．[对点训练]1．(2018·天津月考)已知a ，b 是正数，且4a ＋3b ＝6，则a (a ＋3b )的最大值是( )A.98B.94 C ．3 D ．9[解析] ∵a >0，b >0,4a ＋3b ＝6，∴a (a ＋3b )＝13·3a (a ＋3b )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋a ＋3b 22＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝3，当且仅当3a ＝a ＋3b ，即a ＝1，b ＝23时，a (a ＋3b )的最大值是3.故选C.[答案] C2．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4[解析] 解法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，当且仅当a ＝42，b ＝242时“＝”成立．∴ab ≥2 2.故选C.解法二：由题设易知a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋2b ≥ 22ab ，当且仅当a ＝42，b ＝242时“＝”成立，即ab ≥22，故选C.[答案] C 考点二 证明不等式【例2】 (1)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.(2)已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8.[思路引导] 转化不等式形式→利用基本不等式证明→整合结果[证明] (1)由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立， 又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝22， 当且仅当2ab ＝ab 时等号成立， 所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．(2)因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1， 所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，① 1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z ，③ 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8.利用基本不等式证明不等式的技巧利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有1时，要注意1的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到．[对点训练]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.[证明] 由a ＋b ＝1，得1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.考点三 基本不等式的实际应用【例3】 (2018·泰安调研)某公司生产的商品A ，当每件售价为5元时，年销售10万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x 元，公司拟投入12(x 2＋x )万元作为技改费用，投入x 4万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m 至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？[思路引导] (1)设变量→基本不等关系→求结果 (2)表示技术革新后的销售收入、原销售收入及总投入三角关系式→用x 表示出m 的函数关系→利用基本不等式求最值→实际作答 [解] (1)设商品的销售价格提高a 元， 则(10－a )(5＋a )≥50，解得0≤a ≤5. 所以商品的价格最多可以提高5元．(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx 万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx ＝12(x 2＋x )＋x4＋50(x >5)即可，此时m ＝12x ＋34＋50x ≥2x 2·50x ＋34＝434，当且仅当12x ＝50x ，即x ＝10时，取“＝”．故销售量至少应达到434万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．利用基本不等式求解实际问题的2个注意点(1)利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．[对点训练]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．[解析] 设池底长为x m ，宽为y m ，则xy ＝4，所以y ＝4x ，则总造价为f (x )＝20xy ＋2(x ＋y )×1×10＝80＋80x ＋20x ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋80，x∈(0，＋∞)．所以f (x )≥20×2x ·4x ＋80＝160，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2，等号成立，所以最低总造价是160(元)．[答案] 160课后跟踪训练(四十一)基础巩固练一、选择题1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2[解析] ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.故选D.[答案] D2．(2019·福建福州一模)在下列各函数中，最小值为2的函数是( )A ．y ＝x ＋1x (x ≠0) B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2(x ∈R )D ．y ＝e x＋4e x －2(x ∈R )[解析] 对于A 项，当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；对于B项，因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x ＋1cos x ≥2中等号不成立，故B 错；对于C 项，因为x 2＋2≥2，所以y ＝(x 2＋2)＋1x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号也不能取到，故C 错；对于D 项，因为e x>0，所以y ＝e x＋4e x －2≥2e x·4ex －2＝2，当且仅当e x ＝2，即x ＝ln2时等号成立．故选D.[答案] D3．(2019·湖南邵阳联考)已知lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ，则x ＋y 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[2，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞)[解析] ∵lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )，∴x ＋y ＝xy .∵x >0，y >0，x ＋y ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴x ＋y ≥4，故选D. [答案] D4．(2019·四川成都一诊)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值2B ．最小值2C ．最大值1D ．最小值1[解析] ∵x ≥52，∴f (x )＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋1x －2≥12·2(x －2)·1x －2＝1，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3或x ＝1(舍)时取等号，∴f (x )有最小值1，故选D.[答案] D5．(2019·河南平顶山、许昌、汝州联考)若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( )A ．4B ．4 2C ．2D ．2 2[解析] ∵3x ＋2y ＝2，∴8x ＋4y ＝23x ＋22y ≥223x ·22y ＝223x ＋2y ＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝12，y ＝12时等号成立，∴8x ＋4y 的最小值为4，故选A.[答案] A 二、填空题6．函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的最小值为________． [解析] 设t ＝sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，则t ∈(0,1]，易知y ＝t ＋4t 在(0,1]上为减函数，故当t ＝1时，y 取得最小值5.[答案] 57．(2019·黑龙江齐齐哈尔八校联考)若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．[解析] ∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴2x ＋1y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝2＋2＋4y x ＋xy ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当x ＝12，y ＝14时取等号，∴2x ＋1y 的最小值为8，又2x ＋1y ≥m 恒成立，∴m ≤8，即m 的最大值为8.[答案] 88．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.[解析] 设两直角边分别为a m ，b m ，框架的周长为l ，则12ab ＝2，即ab ＝4，∴l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m.[答案] 4＋2 2 三、解答题9．(2018·唐山一中月考)(1)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知x >0，y >0且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值． [解] (1)∵x <54，∴4x －5<0.∴y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(5－4x )＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )×15－4x＋3＝1，当且仅当x ＝1时等号成立，∴y max ＝1.(2)∵x >0，y >0且1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋2y x ·9xy ＝16，当且仅当x ＝4，y ＝12时等号成立，即x ＋y 的最小值为16. 10．(2018·河北唐山二模)已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1.(1)求证：a ＋b ≤2；(2)判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立，并说明理由． [解] (1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab ＋1≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋1，当且仅当a ＝b 时取等号． 解得(a ＋b )2≤4，又a ，b >0， 所以a ＋b ≤2. (2)不能成立．理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2，当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d2. 因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d 2＋cd >c ＋d2＋1≥ac ＋bd ， 故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．能力提升练11．(2018·四川南充模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6[解析] 因为x ＋3y ＝5xy ，1y ＋3x ＝5，所以3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ＋135≥15×2×36＋135＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时等号成立．故选C.[答案] C12．若不等式m ≤12x ＋21－x 当x ∈(0,1)时恒成立，则实数m 的最大值为( )A ．9 B.92 C ．5 D.52[解析] x ∈(0,1)时1－x >0，∴12x ＋21－x ＝(1－x )＋x 2x ＋2(1－x )＋2x 1－x ＝1－x 2x ＋2x 1－x ＋12＋2≥52＋21＝92，当且仅当1－x ＝2x 即x ＝13时取得最小值92，∴使m ≤12x ＋21－x 恒成立的实数m 的最大值为92，故选B.[答案] B13．(2018·甘肃张掖月考)设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．[解析] ∵a >0，b >1，a ＋b ＝2，∴3a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b －1(a ＋b －1)＝3＋3(b －1)a ＋a b －1＋1＝4＋3(b －1)a ＋ab －1≥4＋23，当3(b －1)a ＝ab －1，即a ＝3－32，b ＝3＋12时取等号，故答案为4＋2 3. [答案] 4＋2 314．(2019·江苏盐城中学期末)我校为丰富师生课余活动，计划在一块形状为直角三角形的空地ABC 上修建一个占地面积为S (平方米)的矩形AMPN 健身场地，如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知∠ACB ＝60°，|AC |＝30米，|AM |＝x 米，x ∈[10,20]．设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为37kS 元，再把矩形AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS(k 为常数)元．(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围； (2)求总造价T 关于面积S 的函数T ＝f (S )；(3)如何选取|AM |，使总造价T 最低．(不要求求出最低造价) [解] (1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°， |PM |＝|MC |·tan ∠PCM ＝3(30－x )，矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝3x (30－x )，x ∈[10,20]，于是2003≤S ≤225 3.(2)矩形AMPN 健身场地造价T 1＝37k S ，又△ABC 的面积为4503，即草坪造价T 2＝12kS(4503－S )，由总造价T ＝T 1＋T 2，得T＝25k ⎝ ⎛⎭⎪⎫S ＋2163S ，2003≤S ≤225 3. (3)因为S ＋2163S ≥1263，当且仅当S ＝2163S ，即S ＝2163时等号成立，此时，3x (30－x )＝2163，解得x ＝12或x ＝18.所以选取|AM |的长为12米或18米时总造价T 最低．拓展延伸练15．(2018·辽宁鞍山三中第三次适应性考试)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16[解析] ∵当x ＝－2时，y ＝log a 1－1＝－1，∴函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A (－2，－1)．∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∵m >0，n >0，∴1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝2＋n m ＋4mn ＋2≥4＋2n m ·4m n ＝8，当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号．故选C. [答案] C16．(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．[解析] 因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝12即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4. [答案] 4。
高中必修5：基本不等式整理(三个课时)
（ 2 ） 已 知 ： a 0, b 0, 且 a b 1，
求证：
a
1
1 b
4.
举一反三： 若 a , b , c是 互 不 相 等 的 正 数 ， 求 证 :a
4
b c
4
4
4
a b b c c a
2 2 2 2 2
2 2
2
abc (a b c )
例3．求函数 f ( x )
2 x x 3
2
( x 0)
x
的最大
值，及此时x的值。
解：
f ( x) 1 (2 x
3 x ≥ 2 2x
3 x
3 x
)
，因为x>0，
所以 2 x 得
2 6
(2 x
3 x
)≤ - 2 6
因此f(x)≤ 1 2 6
1
a=b 大 ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）. 4 利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。
s
2
一、利用基本不等式求函数的最值
例 ： 已知x 0,求x 1 (1)
( 2) 已知x 0,求x 1
1 x
的最值 ;
的最值 ;
1 x 3 ,当 x 为何值时，函数
练习：
做一个体积为32 m，高为2m的长方体纸盒，底面的长 与宽取什么 值时用纸最少？
3
解： 设底面的长为xm，宽为ym，需用纸z m 根据题意，有 Z=2×
32 2
2
2 y 即xy=16
+4x+4y =32+4(x+y)
3
第03讲 基本不等式(含新定义解答题) (分层精练)(解析版)-备战2025年高考新结构数学一轮复习
上·河北沧州·高一统考期末）已知正数
x，y
满足 3x
2y
2
，则
3 2x
1 y
的最小值
为（ ）
A．6 【答案】B
B．
25 4
C． 13 2
D． 25 2
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】 3 2x
1 y
1
2
3 2x
1 y
(3x 2 2
3y x
3x y
1 2
13 2
所以 a b 的最大值为 4.
故选：B
8．（2024 上·湖南·高一校联考期末）已知 a2 b2 4ab 1，则 ab 的最小值为（ ）
A．
1 2
B． 1 3
C．2
D．3
【答案】A
【分析】利用重要不等式列出不等式求解即可.
【详解】由重要不等式得 a2 b2 4ab 1 2ab ，当且仅当 a b 时取等，
2ab
，即 0
ab
1 8
，
当且仅当 a 2b ，即 a 1 ,b 1 时等号成立. 24
故选：C
5．（2024 上·山东滨州·高三统考期末）若不等式 x2 ax 4 0 对任意 x 1,3恒成立，则实
数 a 的取值范围是（ ）
A．0, 4
B． , 4
C．
,
13 3
D． ,5
【答案】B
4x2 1 x2
，即 x2
1 时，取到等号，D 正确. 3
故选：BD.
10．（2024 上·山东临沂·高一山东省临沂第一中学期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若 x 0 ，则 x 1 2 x
B． x2 3 2 x2 2
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1. 和定积大于积定和小
（1）如果x y是定值S , 那么x y时，积xy有 1 2 最大值 S . 4 （2）如果xy是定值P , 那么x y时，和x y有 最小值2 P .
2. 运用基本不等式求最值必须同时满足 的三个条件.
（1）各项均为正数（一正 ）； （2）其和或积为常数（二 定）； （3）等号必须成立（三相 . 等）
必修五《考一本》第31课时
2 使f (cos 2 3) f (4m 2m cos ) f (0)对所有
时，是否存在实数 , m
的 [0,
2 有实数m , 若不存在，请说明理由 .
]均成立 ? பைடு நூலகம்存在, 求出适合条件的所
【例题5】
某工厂要建造一个长方体形无盖贮水 池, 其容积为4800m3, 深为3m. 如果池底每 平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造 价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价是多少？
二、新知探究
【例题1】
设a>0, b>0, 若 3 是3a与3b的等比中 1 1 项，则 的最小值为_________。 a b
1 9 【练习】已知x>0, y>0，且 1， x y 则 x + 2y =______________.
【例题2】 已知x>0, y>0, 且2x+8y-xy=0, 求： （1）xy的最小值;
（2）x+y的最小值.
【练习】 若正数a, b满足ab=a+b+3, 则a+b的取
值范围是 ____________ .
【例题3】
1 1 n 设x y z , n N , 且 x y yz xz 恒成立， n的最大值是_________ . 则
【例题4】
已知奇函数f ( x )的定义域为R, 且在[0, ) 上是增函数，当 0