《三角形的证明》复习教案
初中数学_三角形证明的复习教学设计学情分析教材分析课后反思
北师大版初中数学八下第一章《三角形的证明复习课》教学设计北师大版初中数学八年级下册第一章三角形的证明复习课第一课时一、学生学情分析学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实，并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形，等边三角形，直角三角形。
通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验，并继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言，符号语言转换方面也有了很大提升。
八年级学生已有合情推理，慢慢的侧重于演绎推理，在经历了对八条基本事实时的探究，证明过程中，积累了更多的活动经验。
在学习了本章后，无论是对证明的必要性的体会，对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。
具备自己整理知识，进行知识梳理，逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。
二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.经过一个阶段的学习，有必要对有关知识进行回顾与思考，引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的过程，帮助学生逐步构建知识体系，养成回顾与反思的学习习惯。
本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：1.构建本章知识内容框架，发现其中关联2.通过对典型例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1直角三角形(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-直角三角形的斜边上的中线性质及其在解决问题中的应用。
-实际问题中直角三角形的识别和运用勾股定理解决方法。
举例：讲解直角三角形的判定方法时，可以列举一些常见的直角三角形图形，如等腰直角三角形、含30°或60°角的直角三角形等，强调如何快速识别直角三角形。
2.教学难点
-难点内容：勾股定理的理解和应用，直角三角形的斜边上的高的计算。
-难点解析：
-勾股定理的理解：学生需要理解定理背后的几何关系和代数表达，以及如何在实际问题中灵活运用。
-直角三角形的斜边上的高的计算：学生需要掌握如何利用直角三角形的性质和勾股定理来求解斜边上的高。
-问题解决中的难点：将实际问题抽象为直角三角形问题，以及如何选择合适的数学方法解决问题。
举例：
-勾股定理的应用难点：可以设计一些复杂的实际问题，如测量距离、计算斜边长度等，指导学生如何将问题转化为直角三角形的边长计算。
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”比如，我们常见的红领巾，它的形状就是一个直角三角形。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形的奥秘。
在实践活动中，学生们通过测量和计算，亲自验证了勾股定理，这样的教学方式有助于加深学生对定理的理解。但同时，我也注意到操作过程中部分学生存在粗心大意的问题，导致计算结果出现偏差。在以后的教学中，我要加强学生对细节的关注，培养他们的耐心和细致。
三角形的证明复习
三角形的证明复习（ 1）一、知识点总结：1、全等三角形的判断方法有SAS、ASA、 SSS、AAS、HL2、直角三角形的判断方法有（1）定义法（2）勾股定理的逆定理直角三角形的全等的判断方法有SAS、 ASA、AAS、 HL。
3、等腰三角形的性质：（ 1）等腰三角形的两腰，两底角。
（ 2）等腰三角形是图形。
（ 3）等腰三角形“三线合一”的内容是。
4、等边三角形的性质：（ 1）等边三角形是特其他三角形。
（ 2）等边三角形的三边分别，三角分别等于。
5、在直角三角形中 , 若是一个锐角等于30o ,那么。
二、填空题：1、已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于 3，则此等腰三角形的周长是15（6、6、3）2、已知，等腰三角形的一条边长等于5，另一条边长等于 3，则此等腰三角形的周长是13 或 11（5、5、3）（5、3、3）3、等腰三角形的一个内角是40 度，则它的另两个角是40 度和 100 度或 70 度和70度。
4、等腰三角形的一个内角是140 度，则它的另两个角是20 度和 20 度5、（1）、在等腰△ ABC中，若 AD是∠ BAC的均分线，则AD ⊥ BC 、BD=DC 。
（2）、在等腰△ ABC中，若 AD是 BC边上的高，则 AD是∠ BAC的均分线、BD=DC。
（3）、在等腰△ ABC中，若 AD是 BC边上的中线，则 AD ⊥ BC、∠BAC的平分线ABCD6、已知，如右图，等腰△ABC， AB=AC：（1）若 AB=BC，则△ ABC为__________三角形；（2）若∠ A=60°，则△ ABC为 __________三角形；（3）若∠ B=60°，则△ ABC为 __________三角形 .7、如图，△ ABC 是等边三角形， AD⊥ BC， DE⊥ AB，垂足分别为D，E，若是AB=8 cm，则 BD=______cm，∠ BDE=（________）° , BE=_______cm.三、解答题：8、如图，在△ ABC中， AB=AC，BD⊥AC， CE⊥AB， O是 BD与 CE的交点，求证：BO=CO.9、如右图，已知△ ABC和△ BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.10、已知：如图， D 是△ ABC 的 BC 边上的中点， DE⊥ AC， DF⊥ AB ，垂足分别是 E、F，且 DE=DF. 求证：△ ABC 是等腰三角形 .AF EB D C11、如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AB 的垂直均分线交 AC 于点 E，已知△ BCE 的周长为 8，AC －BC=2. 求 AB 与 BC 的长 .ADEB C12、已知，如图，在△ ABC 中，已知 AC=27 ，AB 的垂直均分线交 AB 于点 D，交AC 于点 E，△ BCE 的周长等于 50，求 BC 的长。
三角形证明总复习教案学习资料
三角形证明总复习教案个性化教学辅导教案学科:数学任课教师：黄老师授课时间： 2014 年 07 月 21 日(星期一 ) 姓名郭海琪年级八年级性别女三角形的证明教学目标知识点：等腰三角形、等边三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理、直角三角形全等的判定方法、含有30°的直角三角形的性质、线段的垂直平分线定理、角的平分线定理.难点重点重点:一般三角形全等公理的回顾与运用，有关定理的探索和证明，其定理包括等腰三角形、等边三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理、直角三角形全等的判定方法、含有30°的直角三角形的性质、线段的垂直平分线定理、角的平分线定理.课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________过程教学大纲：A、主要知识点：一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）。
（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）。
（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。
二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
第一章 三角形的证明 复习(有答案)导学案
第一章三角形的证明复习课导学案班级：__________姓名：_____________一．本章重要知识回顾：1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是图形．（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“”），它们所在的直线都是等腰三角形的，等腰三角形有条对称轴．（3）等腰三角形的两个底角，简称；（4）等腰三角形的相等；相等；相等；（5）等腰三角形底边的中点到两腰的距离（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于。
2.等腰三角形的判定：（1）的三角形叫做等腰三角形（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也，简称．3.等边三角形的性质：（1）等边三角形三边都相等，三个内角都是，等边三角形是图形，等边三角形有条对称轴．（2）等边三角形内任意一点到三边距离之和等于。
4.等边三角形的判定：（1）三边都的三角形是等边三角形；（2）三角都的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于的三角形是等边三角形.5.直角三角形的性质：（1）直角三角形的两锐角；（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于；（4）如果直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角 .6.直角三角形的判定：（1）有一个是直角的三角形是直角三角形；（2）如果一个三角形的两条边的平分和等于第三条的平方，这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
7.直角三角形全等的判定方法：ASA,AAS,SSS,SAS,HL8.线段的垂直平分线和角平分线的性质和判定：（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个的距离相等。
（2）到一条线段两个距离的点，在这条线段的垂直平分线上。
(3)三角形三条边的垂直平分线相交于点，并且这点到的距离相等。
（4）角平分线上的点到的距离相等。
（5)在一个角的内部，到角距离相等的点，在这个角的上。
（6）三角形三个角的平分线相交于点，并且这点到的距离相等。
人教版下册四年级数学《复习三角形知识》教案
人教版下册四年级数学《复习三角形知识》
教案
教学目标
- 复习三角形的定义和性质
- 认识不同类型的三角形
- 掌握判断和画出不同类型三角形的方法
教学准备
- 教材：人教版下册四年级数学教材
- 教具：直尺、量角器、彩色铅笔
教学过程
导入
1. 利用多媒体展示图片，让学生回顾三角形的定义和性质。
复习三角形的定义和性质
1. 提问学生对三角形的定义和性质进行回答，鼓励学生积极参
与讨论。
2. 引导学生总结三角形的性质，例如三条边的长度关系、角的
和等于180度等。
认识不同类型的三角形
1. 利用多媒体展示不同类型的三角形图片，如等边三角形、等
腰三角形、直角三角形等。
2. 引导学生观察并讨论不同类型的三角形的特点，例如等边三
角形三条边相等、直角三角形有一个角为直角等。
判断和画出不同类型三角形的方法
1. 引导学生通过观察三角形的边长和角度来判断三角形的类型。
2. 提示学生使用直尺和量角器来画出不同类型的三角形，帮助
他们理解三角形的构成。
拓展练习
1. 分发练习册，让学生自主完成相关练习题，巩固所学的知识。
2. 教师巡视并及时解答学生的疑惑。
总结
1. 总结本节课所学的内容，强调三角形的定义、性质以及不同类型的三角形。
2. 鼓励学生通过课后练习巩固所学知识。
课后作业
1. 完成练习册上的相关练习题。
2. 复习并总结本节课所学的知识。
三角形的证明教案
三角形的证明教案一、教学目标1、让学生掌握三角形全等的判定定理，如“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）。
2、能够运用三角形全等的判定定理进行简单的证明和计算。
3、培养学生的逻辑推理能力和空间观念。
二、教学重难点1、重点掌握三角形全等的判定定理。
能够运用判定定理进行证明。
2、难点灵活运用判定定理解决复杂的几何问题。
正确书写证明过程，逻辑清晰，推理严谨。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过展示两个形状相同但大小不同的三角形，引发学生思考如何判断两个三角形全等。
2、知识讲解（1）“边边边”（SSS）判定定理给出两个三角形，三条边对应相等，让学生观察并猜测它们是否全等。
通过几何画板进行演示，验证学生的猜测，得出“边边边”判定定理：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
（2）“边角边”（SAS）判定定理展示两个三角形，两条边及其夹角对应相等，引导学生思考它们是否全等。
同样利用几何画板演示，得出“边角边”判定定理：如果两个三角形的两条边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。
（3）“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定定理以类似的方式，分别介绍“角边角”和“角角边”判定定理。
3、例题讲解给出一些简单的例题，如已知三角形的某些边和角的条件，要求学生判断两个三角形是否全等，并说明理由。
详细讲解例题的解题思路和证明过程，强调书写规范。
4、课堂练习让学生完成一些课堂练习题，巩固所学的判定定理。
巡视学生的练习情况，及时给予指导和纠正。
5、小组讨论安排学生分组讨论一些较复杂的几何问题，鼓励他们运用所学的判定定理进行分析和证明。
每组选派代表进行发言，分享小组的讨论结果。
6、总结归纳与学生一起回顾三角形全等的判定定理，并强调在证明过程中需要注意的事项。
解答学生在学习过程中遇到的疑问。
7、布置作业布置适量的课后作业，包括书面作业和拓展性作业，让学生进一步巩固所学知识。
初二-第01讲-三角形的证明(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-三角形的证明授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握等腰三角形、直角三角形的概念与性质；②掌握线段的垂直平分线与角平分线的性质与定理；③掌握各种思想的运用。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。
即等边对等角。
（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。
即三线合一。
（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
体系搭建2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。
即等角对等边。
（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
7、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。
8、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。
9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(提高)
《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是2a ，面积是24；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础. 要点二、直角三角形 1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ） 要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线. 要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线 要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、能证明它们么1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交CD 于点F ，BD 分别交CE 、AE 于点G 、H ．试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB ，所以△ACE ≌△DCB ，即AE=BD ，∠CAE=∠CDB ；又因为对顶角∠AFC=∠DFH ，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE ⊥BD ． 【答案与解析】猜测AE=BD ，AE ⊥BD ；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ， 即∠ACE=∠DCB ，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴AC=CD ，CE=CB ， ∵在△ACE 与△DCB 中， ,AC DCACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴AE=BD ， ∠CAE=∠CDB ； ∵∠AFC=∠DFH ，∠FAC+∠AFC=90°， ∴∠DHF=∠ACD=90°， ∴AE ⊥BD ．故线段AE 和BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点． 举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ． （1）求证：AF+EF=DE ；（2）若将图1中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图1中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接BF（如下图1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图2.（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，,BC BEBF BF=⎧⎨=⎩ ∴△BCF ≌△BEF ， ∴CF=EF ； ∵△ABC ≌△DBE ， ∴AC=DE ，∴AF=AC+FC=DE+EF ．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（ ） ①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等， ②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等， ③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． A.1 B.2 C.3 D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可； 【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D 、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确； 所以，正确的说法个数是3个． 故选C ．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2016•南开区一模）问题背景： 在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m ≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．【思路点拨】（1）是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【答案与解析】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．类型三、线段垂直平分线4. 如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，∴PE=12 BF．又∵AD⊥BC，∴△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，∴PD=12BF=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】（1）∵∠B=12（180°-∠A）=70°∴∠M=20°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，则有∠B=12（180°-α）∠M=90°-12（180°-α）=12α.（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM．【答案与解析】解：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G是∠ACB平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．。
北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习(第3课时)
猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如何证明？
数学语言：已知：在△ABC中，∠B＝∠C；求证：AB＝AC 方法思考：①作高AD可以吗？ ②作角平分线AD呢？ ③作中线AD呢？
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°
∴△APQ是等边三角形
课堂检测，巩固新知
1.如图，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成
30°夹角，这棵大树在折断前的高度为( B )
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米 2．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC.求证 ：△CEB为等边三角形．
开放训练，体现应用
例 2 (教材第11页例4)求证：如果等腰三角形的底角等于15°，那么腰上的高是
腰长的一半．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高．
求证：CD＝1AB.
2
证明：在△ABC中， ∵AB＝AC，∠B＝15° ∴∠B＝∠ACB＝15°(等边对等角) ∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝30° ∵CD是腰AB上的高 ∴∠ADC＝90° ∴CD＝AC ∴CD＝1AB
开放训练，体现应用
变式训练1 如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC 的平分线BD交边AC于点D.求证：△BCD为等腰三角形．
证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35° ∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝70° ∵BD平分∠ABC ∴∠DBC＝∠ABC＝35° ∴∠DBC＝∠ACB＝35° ∴DB＝DC ∴△BCD为等腰三角形
三角形证明总复习教案
三角形证明总复习教案第一章：三角形的基本概念1.1 三角形的定义与性质复习三角形的基本定义：三角形是由三条线段首尾顺次连接所组成的平面图形。
复习三角形的主要性质：三角形的内角和为180度，任意两边之和大于第三边。
1.2 三角形的分类复习按边长分类的三角形：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
复习按角度分类的三角形：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
第二章：三角形的证明方法2.1 综合法证明三角形复习综合法的证明步骤：先证明两个辅助线，再利用辅助线证明结论。
举例讲解综合法证明三角形的全等、相似等性质。
2.2 分析法证明三角形复习分析法的证明步骤：从结论出发，逆向推理，找到成立的条件。
举例讲解分析法证明三角形的全等、相似等性质。
第三章：三角形全等的证明3.1 三角形全等的定义与性质复习三角形全等的定义：在平面内，如果两个三角形的三组对应边分别相等，则这两个三角形全等。
复习三角形全等的性质：全等的三角形对应角相等，对应边成比例。
3.2 三角形全等的证明方法复习SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种证明方法。
举例讲解如何运用五种证明方法证明三角形全等。
第四章：三角形相似的证明4.1 三角形相似的定义与性质复习三角形相似的定义：在平面内，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似。
复习三角形相似的性质：相似的三角形对应角相等，对应边成比例。
4.2 三角形相似的证明方法复习AA、SAS、SSA三种证明方法。
举例讲解如何运用三种证明方法证明三角形相似。
第五章：三角形特殊性质的应用5.1 等腰三角形的应用复习等腰三角形的性质：底角相等，底边中线垂直平分底边。
举例讲解等腰三角形在证明中的应用。
5.2 等边三角形的应用复习等边三角形的性质：三边相等，三角相等，三条中线、高线、角平分线重合。
举例讲解等边三角形在证明中的应用。
第六章：三角形的不等式性质6.1 三角形两边之和大于第三边复习三角形两边之和大于第三边的证明方法。
八年级数学北师大版下册第一章《三角形的证明》单元教学设计
3.创新与实践：
-利用剪纸、折纸等材料，制作全等三角形的模型，并尝试用它们来解释全等三角形的性质。
-结合实际情境，创作一个与全等三角形相关的数学故事或漫画，展现数学的趣味性。
作业要求：
-完成作业时，注意书写规范，使用几何符号和术语要准确。
-提问学生：“我们已经学习过三角形的基本概念和性质，那么如何证明两个三角形是全等的呢？这节课我们将一起探讨这个问题。”
2.教学目标：
-激发学生对三角形证明的兴趣和好奇心。
-唤起学生对已有三角形知识的回忆，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教学内容：
-通过讲解和实例演示，向学生介绍全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
-鼓励学生尝试不同的证明方法，培养其创新思维。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
-教师与学生一起回顾本节课所学的全等三角形的判定方法、性质和证明技巧。
-学生分享自己在课堂练习中的收获和困惑，教师进行解答和指导。
2.教学目标：
-帮助学生巩固本节课所学知识，形成系统的三角形证明体系。
-培养学生的反思能力，为下一节课的学习做好过渡。
2.学会运用演绎推理和合情推理进行三角形的证明。
-掌握SSS、SAS、ASA、AAS四类全等三角形的判定方法，并能灵活运用。
-理解并掌握全等三角形的性质，如对应角相等、对应边相等。
3.能够运用三角形的知识解决实际问题，如计算三角形面积、周长等。
（二）过程与方法
1.通过直观演示、实际操作、合作交流等教学活动，培养学生观察、分析、归纳和推理的能力。
-各小组汇报讨论成果，分享不同的证明方法和技巧。
三角形全等的证明教案
三角形全等的证明教案一、教学目标：1. 让学生掌握三角形全等的定义和性质。
2. 学会使用SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法证明三角形全等。
3. 能够运用三角形全等的性质解决实际问题。
二、教学内容：1. 三角形全等的定义：两个三角形能够完全重合，则它们称为全等三角形。
2. 三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
3. 判定方法：a. SSS（Side-Side-Side）：如果两个三角形的三组对应边分别相等，则这两个三角形全等。
b. SAS（Side-Angle-Side）：如果两个三角形有两组对应边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
c. ASA（Angle-Side-Angle）：如果两个三角形有两组对应角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
d. AAS（Angle-Angle-Side）：如果两个三角形有两组对应角和其中一组对应边分别相等，则这两个三角形全等。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形全等的定义、性质和判定方法。
2. 教学难点：判定方法的灵活运用和证明过程中的逻辑推理。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解三角形全等的定义、性质和判定方法。
2. 利用多媒体展示实例，让学生直观地理解全等三角形的概念。
3. 运用小组讨论法，让学生分组探讨和证明三角形全等的问题。
4. 设计练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习平行线和垂线的性质，引导学生进入三角形全等的学习。
2. 讲解三角形全等的定义和性质：结合多媒体展示，讲解三角形全等的概念和性质。
3. 讲解判定方法：分别讲解SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并结合实例进行演示。
4. 小组讨论：让学生分组探讨如何运用判定方法证明三角形全等。
5. 课堂练习：设计一些练习题，让学生运用所学知识进行解答。
7. 布置作业：布置一些有关三角形全等的练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 采用课堂问答、练习题和小组讨论等方式，评价学生对三角形全等概念和判定方法的理解程度。
初二数学《三角形的有关证明复习》课时教案
初二数学《三角形的有关证明复习》课时教案【课题】《三角形的有关证明复习》【课型】复习【教学目标】1.了解三角形全等的识别方法和三角形全等的性质，能够证明与等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线相关的性质定理和判定定理.2.理解互逆命题、互逆定理，体会反证法的含义.3.能够利用尺规作图作等腰三角形、直角三角形、已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线.【教学方法】自主探究法【教具与教学准备】导学案、PPT、多媒体【学情分析】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动能够解决本节课的内容。
【教学过程】一、激趣导入，交代目标：（一）激趣导入设计意图（以旧引新，从学生熟知的知识入手，起点低，让全体同学都参与，也为类比探索新知做好准备。
）知识回顾（15分钟）【课堂梳理】知识点一全等三角形1.判断三角形全等的方法：①（三个公理）______、______、_____、②（一个定理）_____.2.全等三角形的性质：①线段相等：对应边相等、对应边上的_______、对应中线、______相等.②角相等：相等.注：利用全等三角形证明线段或角相等知识点二等腰三角形3.等腰三角形性质：①定理： .(等边对等角）②推论： .（三线合一）4.等腰三角形的判断方法：①定义： .②定理： .(等角对等边）知识点三等边三角形5.等边三角形概念： .6.等边三角形的性质：①等边三角形的三条边______.（边）②等边三角形的三个内角都等于______.（角）7.等边三角形的判定：①______相等的三角形是等边三角形.②三个角相等的三角形是 .③有一个角等于____的等腰三角形是等边三角形.注：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.知识点四直角三角形8.直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角 .②直角三角形两条直角边的平方和等于 .③在直角三角形中，如果有一个锐角等于____，那么它所对的直角边等于斜边的 .9.直角三角形的判定：①有两个角的三角形是直角三角形.②如果三角形两边的平方和等于，那么这个三角形为直角三角形.10.直角三角形全等的判定方法：（HL） . 注：（HL）只适用于直角三角形.知识点五线段垂直平分线11.段垂直平分线的定理： .12.线段垂直平分线的逆定理： .13.三角形垂直平分线定理： .知识点六角平分线14.角平分线的定理： .15.角平分线的逆定理： .16.三角形角平分线定理： .注：若一个点到三角形三边以及到三角形三个顶点的距离相等，这个点一定为三角形三边垂直平分线与三个内角角平分线的交点.（二）交代目标多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。
第一章三角形的证明三(垂直平分线、角平分线)(培优教案)
初二数学VIP一对一第三次课授课教师：时间：学生姓名：评价：三角形的证明（三）一、主要内容：（本次课主要知识、例题、练习）知识点一线段垂直平分线1、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（外心）例1 如图，已知在三角形ABC中，∠BAC等于115°，BC=15cm，EF、MN分别为AB,AC的垂直平分线，则△FAN 的周长是多少cm，∠FAN等于多少度？例2 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．例3 如图，∠A=52°，O是AB、AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB=______．例4 如图,靠近河边有一块三角形菜地,要分给赵、钱、孙、李四家,为了分配公平合理,要求所分四份面积大小相同，而且每家都要有靠河边的位置,便于取水浇地,你能想办法将菜地合理分配吗？知识点二角平分线1、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
3、三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（内心）例1 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，DE⊥AB于点E，AC=7cm，△DEB的周长为12cm．（1）求证：AC=AE；（2）求△ABC的周长．例2 BP、CP分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P.求证：点P在∠A的平分线上。
例3如图所示，两个班的学生分别在C，D两处参加植树劳动，现要在道路OB，OA的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使P到C，D两处的距离相等，如果对，请你在示意图上找出这个点的位置，如果不对，说明为什么（用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）．例 4 如图所示，在△ABC中，∠=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E,F在AC上，BD=DF.证明:(1)CF=EB.(2)AB=AF+2EB。
三角形全等的证明教案
三角形全等的证明教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解三角形全等的概念，掌握三角形全等的判定方法。
2. 能够运用三角形全等的性质和判定方法解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察和操作，培养学生的空间想象能力。
2. 运用归纳总结的方法，引导学生掌握三角形全等的判定方法。
情感态度价值观：1. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2. 培养学生的团队合作精神，提高学生的动手实践能力。
二、教学内容：1. 三角形全等的概念：三角形全是指在形状和大小上完全相同的三角形。
2. 三角形全等的判定方法：a. SSS（Side-Side-Side）：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
b. SAS（Side-Angle-Side）：如果两个三角形有两边和它们夹角分别相等，则这两个三角形全等。
c. ASA（Angle-Side-Angle）：如果两个三角形有两角和它们夹的边分别相等，则这两个三角形全等。
d. AAS（Angle-Angle-Side）：如果两个三角形有两角和其中一边分别相等，则这两个三角形全等。
三、教学重点与难点：重点：三角形全等的判定方法。
难点：理解和运用三角形全等的判定方法。
四、教学过程：1. 导入：通过展示一些生活中的三角形图片，引导学生思考：如何判断两个三角形是否全等？2. 新课导入：介绍三角形全等的概念和判定方法。
3. 课堂讲解：结合PPT和实物模型，讲解三角形全等的判定方法，并通过例题进行演示。
4. 课堂练习：学生分组讨论，互相练习判定三角形全等的方法，教师巡回指导。
5. 总结提升：引导学生归纳总结三角形全等的判定方法，并解释其在实际问题中的应用。
五、课后作业：1. 完成课后练习题，巩固三角形全等的判定方法。
2. 结合生活实际，找出一些三角形全等的例子，并进行解释。
六、教学评价：1. 课堂讲解：观察学生在课堂讲解中的参与程度和理解程度，评估学生对三角形全等概念和判定方法的掌握情况。
第十章三角形的有关证明复习课教案
第十章三角形的有关证明复习课教案教学目标: 1.知识目标: 复习全等三角形, 线段垂直平分线的性质定理与逆定理, 角平分线的性质定理与逆定理, 三角形三边垂直平分线的特点, 三角的角平分线的特点。
2.能力目标: 应用上述知识解决一些类型题, 掌握方法, 培养学生分析问题解决问题的能力, 通过学生小组合作学习, 培养学生团结协作的能力。
3.情感目标: 通过情境导入, 让学生充分体会数学来源于生活, 应用于生活。
通过小组合作学习, 培养学生的集体荣誉感。
教学重难点：知识点的应用解题, 方法的归纳总结, 小组的团结协作。
教学方法: 学生合作学习, 教师指导教学。
教学准备：学案, 多媒体课件教学过程:本环节课前学生认真填写, 组内订正答案, 发挥小组的作用生生检查, 教师巡视指导。
本环节大胆放给学生充当设计师, 鼓励学生利用自己所学知识解决实际问题, 充分体会数学来源于生活, 服务于生活。
此题有三组全等三角形, 找学生上黑板展示方法, 归纳思路, 教师指导。
此题介绍两种方法, 重点为了练习本章新学的“HL”判定此题大部分学生会选择证全等, 教师旨在让学生练习线段垂直平分线的性质定理和逆定理。
此题应用两种方法解决。
此题旨在复习全等和线段垂直平分线的性质定理, 学生有可能证两次全等, 尽量让学生指出麻烦的问题所在, 教师指导。
通过此题旨在找出与第4题的联系, 掌握辅助线的添加, 从而解决问题。
通过此题教师意在（1）让学生练习角平分线的性质定理, 线段垂直平分线的性质定理和全等（2）看到线段垂直平分线上的点马上连接点与线段两端点, 得到相等线段。
小结收获: 本节你有哪些收获？包括（1）知识收获（2）能力收获五、作业: 必作: 1.从学案中挑2——3道自己掌握得不太好的题, 整理在错题本上。
2.如图, 在四边形ABCD中, AD BC, AE平分BAD, BE平分ABC求证: AB=AD+BC选作: 用两种方法解决第2题。
三角形的证明专题复习与角平分线有关的常见模型+课件+-2023-2024学年人教版数学八年级下册+
A
B
C
A P
三个角平分线夹角 之间有什么关系？
D
P
E
B
C
D
练习提高
如图，在△ABC 中，AD 是高，AE，BF 是角平分线，它们相交于点 O， ∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE 和∠BOA 的度数．
解：因为∠C AB＝50°，∠C ＝60°， 所以∠ABC＝180°－50°－60°＝70°. 因为 AD 是高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠DAC＝90°－∠C＝30°. 因为 AE，BF 是角平分线， 所以∠C BF ＝∠ABF ＝35°，∠E AF ＝∠E AB＝25°. 所以∠DAE ＝∠DAC －∠E AF ＝5°， ∠BOA＝180°－∠EAB－∠ABF＝120°.
A
A
A
B
D E 图1
C
B(D)
E 图2
CD
BE
C
图3
三、与三角形角平分线的夹角相关的模型
1、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ ACB的角平分线BP、CP交于点P，
若∠A=60°， ∠P =____？
若∠A=100°，∠P =____？
探索∠A与∠P的关系
A
P
B
C
三、与三角形角平分线的夹角相关的模型
解：能．理由： A
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C．
因为 AE 平分∠BAC，
B
DE
C
所以∠BAE＝21∠BAC＝21(180°－∠B－∠C)＝90°－12(∠B＋∠C)．
因为 AD⊥BC，
所以∠ADB＝90°.
所以∠BAD＝90°－∠B．
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－21(∠B＋∠C)－(90°－∠B)＝
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第一章《三角形的证明》
1、性质和判定
2、尺规作图
垂直平分线的应用：
（1）确定到两点（三点）距离相等的点的位置
（2）确定线段的中点
（3）过一点作已知直线或线段的垂线
角平分线的应用
（1）把一个角分成n2等份
（2）确定到角的两边或三角形三边距离相等的点
（3）与垂直平分线结合，解决实际问题
3、全等三角形的判定（AAS，SSS，SAS，ASA，HL）
双基训练：
1．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是____________.
2．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是________________.
3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是________________.
4．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 .
5．已知⊿ABC中，∠A = 090，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC = .
6．在△ABC中，∠A=40°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC 的度数为．
7．Rt⊿ABC中，∠C=90º，∠B=30º，则AC与AB两边的关系
是 ，
8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300
，腰长为6，则其底边上的高是 。
9. 如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，
要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（ ） A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D
10．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ）
A.30°
B.36°
C.45°
D.70°
11．如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12．
如图，
DC ⊥CA ，EA ⊥CA ， CD=AB ，CB=AE ．求证：△BCD ≌△EAB ． 13.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC ；
14．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式： ①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE ．以其中．．三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程。
已知： . 求证： . 证明：
提升练习
16.如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD. 求证：D 在∠BAC 的平分线上.
D E
C B A
17.如图，在△ABD 和△ACD 中，已知AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．
18.如图，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，有下面四个条件：
(1) AD=CB ；(2)AE=CF ；(3)∠B=∠D ；(4)AD ∥BC 。
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程.
19.如图，已知： D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE.
证明：在△AEB 和△AEC 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB ∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步) 问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；
21.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 与边面内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 当边作等边△DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，若AB =
2，求
BE 的长.
22.①在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A =30°，求∠NMB 的大小.
②如果将①中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小.
③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）
④将①中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？。