第四章根轨迹
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第四章 根轨迹
求得
s 1 = − 0 . 422 , s 2 = − 1 . 578
法2： D ( s ) N ′( s ) − D ′( s ) N ( s ) = 0 可得 3 s 2 + 6 s + 2 = 0
s1 = −0.422, s2 = −1.578
§4-2根轨迹的绘制法则
验证：由于 s 2 ∈ [ − 2 , − 1] ，不存在根轨迹，故不 是分离点。而 s1不仅属于[-1，0]且能使 K g > 0 ，s2 使 Kg < 0 注：此方法对求复平面上的分离，会合点也有 效。 5、根轨迹的渐近线
§4-2根轨迹的绘制法则
２.根轨迹数（分支数）和它的对称数 根轨迹数（分支数） 分支数等于开环极点数n（特征方程阶数）。 由实系数特征方程知，特征根不是实根，就是共 轭复根，故根轨迹一定对称于实轴。 ３.实轴上的根轨迹 由轴上某个区段，若它的右侧开环零极点总 数 为奇数，则该区段为一根轨迹分支 由辐角条件可知：
K g → ∞时系统有n-m条根轨迹趋于无穷远处
，成为一条直线，即根轨迹渐近线。
§4-2根轨迹的绘制法则
（1）倾角：开环有限零点极点到无穷远特征 根矢量辐角都相等 α i = β i = ϕ ，即由辐角条件
∑α − ∑ β
i =1 i j =1
m
n
j
= m ϕ − n ϕ = ( 2 k + 1)π , k ∈ Z
§4-2根轨迹的绘制法则
设闭环系统特征方程为：F(s) = Kg (s)N(s) + D(s) = 0
Kg > 0 若有重根将使 F ′ ( s ) = 0 ∴ K g N ′( s ) + D ′( s ) = 0
第四章根轨迹
s=-5.12, s=-0.48
j b
7。出射角：约为-116.5
e
c -55..0125
4
d 2
2j 1.71 j
4
2 1
1
a0
-00.4.588
1/ 3
3
1.71 j
d'
2 j
b'
练习
• A4-1, A4-5(1) (3)(5)(7)(9) • A4-6
j
Kr
2 j
4．2 绘制根轨迹的基本规则
1. 根轨迹的起点和终点 由于
(szi)(spj) （ 21） (szi) 1 (spj) Kr
当Kr=0时，
(s p j) 0 ， s p j
根轨迹起源于开环的极点（正好n个）。当Kr=时，
(s z i) 0 ， s z i
• 这一章考虑如下的反馈系统。
R(s)
G(s)
C(s)
H(s)
• 设开环传递函数为（zi,pj可能复数）：
G(s)H(s)kr (szi) (spj)
其中的Kr称为根轨迹增益。 注意：与开环增益不同！
4.1 闭环系统的根轨迹
•闭环系统的特征方程为
( s p j) k r ( s z i) 0 ， 或( ( s s 者 p z ij) ) K 1 r
s3 : 5 8 K
s 2 : 52 K 20 K (乘以5)
416 56 K K 2 s:
52 K
4．2 绘制根轨迹的基本规则
6. 分离点和汇合点
D ( s ) N ( s ) N ( s ) D ( s ) 3 s 4 2 6 s 3 7 2 s 2 9 6 s 3 2 0
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
第四章根轨迹法
系统得闭环根轨迹图。
j
已知负反馈系统开环零极点 分布如图示。
2 p2
在s平面找一点s1 ,
1
画出各开环零、极点到 z1
s1
1
p1 0
s1点得向量。
3
检验s1就是否满足相角条件: p3
(s1 z1) [(s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3)]
= 1 1 2 3 = (2k+1) ？？
点,称为根轨迹得分离点(会合点)。
Kg=0 p1
j
j1
Kg A
Kg z1
0
p2 Kg=0
分离点得性质:
1)分离点就是系统闭环重根; 2)由于根轨迹就是对称得,所以分离点或位于实轴上,或 以共轭形式成对出现在复平面上; 3)实轴上相邻两个开环零(极)点之间(其中之一可为无穷 零(极)点)若为根轨迹,则必有一个分离点;
n
m
(s p j ) K g (s zi ) 0
j 1
i 1
d
ds
n j 1
(s
pj)
Kg
d ds
m
(s zi ) 0
i 1
d n
ds j1
n
(s
pj)
dm
ds i1
m
(s zi )
(s pj ) (s zi )
j 1
i 1
(lnV ) V V
n
m
d ln (s pj ) d ln (s zi )
如果s1点满足相角条件,则就是根轨迹上得一点。寻找
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
在s 平面内满足相角条件得所有s1 点,将这些点连成光滑曲 线,即就是闭环系统根轨迹。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
第4章根轨迹PPT
轨迹
第四章 根 轨 迹 法
4.1 根轨迹的概念 4.2 绘制根轨迹的依据 4.3 绘制根轨迹的基本法则
4.4 参数根轨迹和多回路系统根轨迹
4.5 正反馈根轨迹 4.6 滞后系统的根轨迹 4.7 根轨迹的应用 4.8 计算机绘制根轨迹
小结
轨迹
§4—1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义 如图所示一般闭环系统的闭 环传递函数为
另外，必须指出，用上式求出的点不一定都是分离点或 会合点，还必须满足特征方程或用相应的规则来检验。
轨迹
例4.1的分离点和汇合点
s( s 4)( s 2 2s 2) kg ( s 5)
dk g ds 0
得到-5.93,-3.38,-0.67+j0.46,-0.67-j0.46
轨迹
§4—4
一、参数根轨迹
参数根轨迹和多回路根轨迹
＊参数根轨迹：系统闭环极点随Kg以外的参数变化而变化的
轨迹。
＊绘制方法：把特征方程作等效处理，把要研究迹的绘制方法，进行绘制。
例4.2 单位反馈系统开环传递函数为
＊
绘制以a为变量的根轨迹。并分析a与系统性能的关系。
＊
软实验
轨迹
§4—5 正反馈系统的根轨迹
一、正反馈系统的特征方程 传递函数
Y ( s) G1 ( s) G( s) X ( s) 1 G1 ( s) H ( s)
X(s)
G1(S) H(S)
Y(s)
特征方程
1 G1 (s) H (s) 1 G0 (s) 0
简写为
G0 ( s) 1
轨迹
§4—2 绘制根轨迹的依据和条件
根轨迹的绘制依据是特征方程，根据特征方程可以得出比
第四章 根 轨 迹 法
4.1 根轨迹的概念 4.2 绘制根轨迹的依据 4.3 绘制根轨迹的基本法则
4.4 参数根轨迹和多回路系统根轨迹
4.5 正反馈根轨迹 4.6 滞后系统的根轨迹 4.7 根轨迹的应用 4.8 计算机绘制根轨迹
小结
轨迹
§4—1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义 如图所示一般闭环系统的闭 环传递函数为
另外，必须指出，用上式求出的点不一定都是分离点或 会合点，还必须满足特征方程或用相应的规则来检验。
轨迹
例4.1的分离点和汇合点
s( s 4)( s 2 2s 2) kg ( s 5)
dk g ds 0
得到-5.93,-3.38,-0.67+j0.46,-0.67-j0.46
轨迹
§4—4
一、参数根轨迹
参数根轨迹和多回路根轨迹
＊参数根轨迹：系统闭环极点随Kg以外的参数变化而变化的
轨迹。
＊绘制方法：把特征方程作等效处理，把要研究迹的绘制方法，进行绘制。
例4.2 单位反馈系统开环传递函数为
＊
绘制以a为变量的根轨迹。并分析a与系统性能的关系。
＊
软实验
轨迹
§4—5 正反馈系统的根轨迹
一、正反馈系统的特征方程 传递函数
Y ( s) G1 ( s) G( s) X ( s) 1 G1 ( s) H ( s)
X(s)
G1(S) H(S)
Y(s)
特征方程
1 G1 (s) H (s) 1 G0 (s) 0
简写为
G0 ( s) 1
轨迹
§4—2 绘制根轨迹的依据和条件
根轨迹的绘制依据是特征方程，根据特征方程可以得出比
第四章：根轨迹法
第四章：根轨迹法第四章根轨迹法本章⽬录4.1 根轨迹的⼀般概念4.2 绘制根轨迹的数学依据及其性质4.3 绘制根轨迹的⼀般规则4.4 *绘制根轨迹的MATLAB函数介绍4.5 例题4.6 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹4.7 正反馈回路和⾮最⼩相位系统根轨迹——零度根轨迹⼩结本章简介从前章得知闭环极点在根平⾯上的分布，反映着系统的固有性能。
故为了获得较好性能，就希望极点在根平⾯上有较好的分布。
亦即，为了研究系统的动态性能，就可以通过闭环极点在根平⾯上的分布来进⾏。
闭环极点是系统特征⽅程的根sb。
若其特征⽅程中，各系数变化，则⽆疑，其根sb也在变化。
各系数的变化往往相应着系统的许多实际参数的变化⽽形成。
在根迹中，⼀般总是以增益 (当然也可其它参数,如时间常数 )的变化⽽导致各系数的变化,即sb的变化。
如果连续变化,则sb也连续变化。
相应于由0连续变化到∞时, sb在根平⾯上的连续变化⽽形成的轨迹,即闭环系统特征根的根轨迹--若⼲条曲线。
这样,相应于各个值下的闭环极点在根平⾯上的分布就⼀⽬了然了。
这对系统的分析、设计带来了极⼤的⽅便.。
所谓根轨迹法，就是⽤图解的⽅法确定出闭环特征根的⼀种⽅法。
先在复数平⾯上画出系统某⼀参数的全部数值下的特征⽅程的所有根，即根轨迹。
然后⽤图解的⽅法确定出该参数某⼀特定数值时的闭环特征根。
从⽽分析出系统所具有的性能。
或反之，在根迹上先确定出符合系统性能要求的闭环特征根。
从⽽⽤图解的⽅法求出相应的系统应具有的参数值。
相对时域法，很直观，且避免了求解系统⾼阶特征⽅程的困难。
现在计算机科学有了飞速发展，特别是MATLAB语⾔及其相应⼯具箱，有强⼤的数值计算和图形绘制功能。
所以利⽤MATLAB语⾔相关函数绘制系统根迹及求根等均是轻⽽易举的事。
这就给根迹法的应⽤开辟了更好的前景。
本章在介绍传统的根轨迹法及其⽰例的同时，有机结合介绍MATLAB语⾔相关的根轨迹函数及相应⽰例的解题程序。
第4章 根轨迹
3
例：
R(S) -
K S ( 0 . 5 S + 1)
C(S)
K →∞
2K 闭环传递函数 Φ ( s ) = 2 S + 2S + 2K
特征方程式
K＝0.5 K＝0
S + 2 S + 2 K ＝0
2
×
-1
× 0
K＝0
S 1，＝－ 1 ± 1－ 2 K 2
K＝0 → ∞
解析法 全部闭环极点，标注在S 全部闭环极点，标注在S 平面上， 平面上，连成光滑的曲线
1+ K
∏（ ∏（
j =1 i=1 n
m
s z i） s p j）
= 0
11
法则1 根轨迹起于开环极点， 法则1 根轨迹起于开环极点，终于开环零点
证明
（ s－ p j） K ∏ s－ z i） 0 + （ = ∏
j =1 i =1
n
m
K ＝0
s = pj
K ＝∞
s = zi
大部分开环传递函数的极点多于零点，即n>m，可以认 大部分开环传递函数的极点多于零点， n>m， 为在s平面的无限远处有（ 个零点。 n， 为在s平面的无限远处有（n-m）个零点。若m > n，必 个极点在s平面的无限远处。 有（ m - n ）个极点在s平面的无限远处。
4
θ
2
×
θ
×
2 s0
× 0
1
1
σ
由图可见, 点左边开环实数零极点到s 由图可见, s0点左边开环实数零极点到s0点的向 量相角为0, 点右边开环实数零极点到s 量相角为0, s0点右边开环实数零极点到s0点的向 量相角均为π 量相角均为π, s0位于根轨迹上的充要条件是下列 相角条件成立: 相角条件成立:
例：
R(S) -
K S ( 0 . 5 S + 1)
C(S)
K →∞
2K 闭环传递函数 Φ ( s ) = 2 S + 2S + 2K
特征方程式
K＝0.5 K＝0
S + 2 S + 2 K ＝0
2
×
-1
× 0
K＝0
S 1，＝－ 1 ± 1－ 2 K 2
K＝0 → ∞
解析法 全部闭环极点，标注在S 全部闭环极点，标注在S 平面上， 平面上，连成光滑的曲线
1+ K
∏（ ∏（
j =1 i=1 n
m
s z i） s p j）
= 0
11
法则1 根轨迹起于开环极点， 法则1 根轨迹起于开环极点，终于开环零点
证明
（ s－ p j） K ∏ s－ z i） 0 + （ = ∏
j =1 i =1
n
m
K ＝0
s = pj
K ＝∞
s = zi
大部分开环传递函数的极点多于零点，即n>m，可以认 大部分开环传递函数的极点多于零点， n>m， 为在s平面的无限远处有（ 个零点。 n， 为在s平面的无限远处有（n-m）个零点。若m > n，必 个极点在s平面的无限远处。 有（ m - n ）个极点在s平面的无限远处。
4
θ
2
×
θ
×
2 s0
× 0
1
1
σ
由图可见, 点左边开环实数零极点到s 由图可见, s0点左边开环实数零极点到s0点的向 量相角为0, 点右边开环实数零极点到s 量相角为0, s0点右边开环实数零极点到s0点的向 量相角均为π 量相角均为π, s0位于根轨迹上的充要条件是下列 相角条件成立: 相角条件成立:
第4章 根轨迹
证明： 该系统的开环极点
若系统闭环极点为 它们应满足相角方程
p1 2, p2 2 s1 , s2
•以 s1为试验点，可得
( s1 p1 ) ( s1 p2 ) 90 90
2
2
(2k 1) (k 1)
•以 s2 为试验点，可得
m
D( s )
) ( s p3、s是什么？ Kg
m
j 1 j
A( )e
j ( )
A( )
(s z )
i 1 n i j 1 j
m
(s p ) L
j 1
l
i 1 n
i
1 Kg
j
根轨迹的幅 值条件
开环有限零点到s的矢量长度之积 1 开环极点到s的矢量长度之积 Kg
180 1 2
0,1, 2
i
注意:
i
j
1 A( ) 开环有限零点到s的矢量幅角 Kg ( s p j ) Lj j 1 j 1 开环有限极点到s的矢量幅角
i 1 n i 1 n
(s z )
m
l
m
i
Kg连续变化,总会有一个满足幅值条件. 所以绘制根轨迹的依据是幅角条件.
测量矢量幅角时，逆时针方向为正
即特征方程的所有根,都满足幅角条件.反之亦然.
K G( s) s(0.5s 1)
例1
已知系统的开环传递函数 G( s) H ( s) 2 K /( s 2) 2
试证明复平面上点 s1 2 j 4, s2 2 j 4 是该系统的闭环极点。
8、根轨迹和虚轴的交点
第4章 根轨迹
二阶系统单位第四章 根轨迹法4-1 4-2 4-3 4-4 根轨迹的基本概念 绘制根轨迹的基本法则 利用根轨迹分析系统的动态性能 广义根轨迹阶跃响应定性分析 ξ＞1 ξ＞11 12 1ω2n 2 Φ(s)= 2 s +2ξωns+ωn2j j 00 j√ 2- 1 - T ±j ωn ξξ＝1 S1,2= T ξω 0t t1 2 2 1 1 2T - T e S 过阻尼 e ξ＝1 1+ Te1,2=n+ T = -ωn h(t)= 1 -(1+ωnt) 0 -ωnt h(t)= 1 1 临界阻尼 T T ξω j0＜ξ＜1 0＜ ξ ＜ 1ξ j n - ξ2 S1,2= - ωn±j ω√1ξ＝0n0h(t)=j 0 0 j零阻尼1 √1-ξ ξ＝012S t = ±j t+β) e-ξω1,2sin(ωdωn 欠阻尼nh(t)= 1 -cosωnt 04-1 根轨迹的基本概念结论：系统的性能与闭环极点的分布密 切相关。
问题1: 根据开环传递函数零点、极点确定闭环系统 问题1: 的零点、极点; 的零点、极点; 问题2: 研究分析系统参数的变化对系统特征根的影 问题2: 响。
定义 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷 时，闭环系统特征方程的根在s平面上变化的 轨迹。
根轨迹是一种图解法，它是根据系统开环传 递函数的零点、极点分布情况，用作图法简 便的求得闭环系统的特征根与系统参数值间 的关系。
根轨迹 —— 系统性能例: 系统结构图如图所示，分析 特征根 S 随开环增益K 变化的趋势。
D( s ) = s 2 + 2 s + K * = 0解. G ( s ) =K K * = 2K = s ( 0 .5 s + 1 ) s( s + 2)K : 开环增益 * K : 根轨迹增益k * = 2ks1s2s1, 2 = −1 ± 1 − k *Φ( s ) =C ( s) K = R( s ) s 2 + 2 s + K *Re[ S1, 2 ] < 0, 系统绝对稳定*D( s ) = s 2 + 2 s + K * = 0s1, 2 = −1 ± 1 − k *b0 s m + b1s m −1 + Λ + bm −1s + bm M ( s ) = G(s) H (s) = a0 s n + a1s n −1 + Λ + an −1s + an D( s)K * ( s − z1 )Λ ( s − z m ) = ( s − p1 )( s − p2 )Λ ( s − pn ) K * ∏ ( s − zi )i =1 mG( s) Φ( s ) = 1 + G( s)H ( s)G( s) H ( s) =∏ (s − p )j =1 jn2 K (τ 1s + 1) Λ (τ 2 s 2 + 2ξ1τ 2 s + 1)... G(s) H (s) = v s (T1s + 1) Λ (T22 s 2 + 2ξ 2T2 s + 1)...K = K*∏ ∏j =1 i =1 nmzi pj根轨迹方程一般情况下K * ( s − z1 ) Λ ( s − z m ) G( s) H ( s) = = ( s − p1 )( s − p2 )Λ ( s − pn ) K * ∏ ( s − zi )i =1m nG( s) H ( s) =mK s − z1 Λ s − z m = K* s − p1 s − p2 Λ s − pn*∏ (s − z ) ∏ (s − p )j =1 j i =1 n im=1∏ (s − p )j =1 jn∠G( s ) H ( s ) = ∑ ∠( s − zi ) − ∑ ∠( s − p j ) = ( 2k + 1)πi =1 j =1Φ( s ) =G( s) 1 + G( s) H ( s)1. s平面上满足相角条件的点（必定满足幅值条件） 一 定在根轨迹上。
第四章根轨迹分析法
若G(s)为闭环传函，则-z和-p为闭环零、极点; 若G(s)为开环传函，则-z和-p为开环零、极点。 必须指出：a 闭环极点就是特征根。
b 根轨迹的实质，就是从开环零极点来 求取闭环极点
c 单位反馈系统的闭环零点就是开环零 点
4 、零点与极点表示法
若 一 开 环 传 函 G (s)H (s)=(s+1)K (s(-s1 +)2 ()s+ (s1+ -j3 ))(s+1+j)
-p3、-p4 和–z3 -z4 则 θ 3+θ 4=0
φ 3 +φ 4 =0
-z3 •-φ 3 -p3×-θ 3 •φ 2θ×2• φ•1θ×1 -z2 -p2 s1 -z1 -p1 -z4 • φ 4 -p4 ×θ 4
(2)开环零极点在左边实轴上
如-p2和–z2 也有θ2=0 φ2=0 所以φ2 + θ2 =0 (3)开环零极点在右边实轴上
实轴上的点，若其右边实轴上有奇数个开环零极
点，则它必在根轨迹上。
六、根轨迹的渐近线
有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角 为θ，截距为-σ的一组渐近线趋向无穷远处。其 中
θ=
±180°（2k+1） n—m
式中，k=0，1，2，…一直取够n-m 个夹角为止。
渐近线与n 实轴交点m的坐标以-σa表示，则
③图形表示
j w z
φα
复数相加: z1 =α1+jβ1 z2=α2+jβ2 则z1 + z2=∣z1∣∠φ1+∣z2∣∠φ2 复数相乘:z1z2=∣z1∣∣z2∣∠(φ1+φ2) 复数相除: z1/ z2=∣z1∣/∣z2∣∠(φ1-φ2)
z2
b 根轨迹的实质，就是从开环零极点来 求取闭环极点
c 单位反馈系统的闭环零点就是开环零 点
4 、零点与极点表示法
若 一 开 环 传 函 G (s)H (s)=(s+1)K (s(-s1 +)2 ()s+ (s1+ -j3 ))(s+1+j)
-p3、-p4 和–z3 -z4 则 θ 3+θ 4=0
φ 3 +φ 4 =0
-z3 •-φ 3 -p3×-θ 3 •φ 2θ×2• φ•1θ×1 -z2 -p2 s1 -z1 -p1 -z4 • φ 4 -p4 ×θ 4
(2)开环零极点在左边实轴上
如-p2和–z2 也有θ2=0 φ2=0 所以φ2 + θ2 =0 (3)开环零极点在右边实轴上
实轴上的点，若其右边实轴上有奇数个开环零极
点，则它必在根轨迹上。
六、根轨迹的渐近线
有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角 为θ，截距为-σ的一组渐近线趋向无穷远处。其 中
θ=
±180°（2k+1） n—m
式中，k=0，1，2，…一直取够n-m 个夹角为止。
渐近线与n 实轴交点m的坐标以-σa表示，则
③图形表示
j w z
φα
复数相加: z1 =α1+jβ1 z2=α2+jβ2 则z1 + z2=∣z1∣∠φ1+∣z2∣∠φ2 复数相乘:z1z2=∣z1∣∣z2∣∠(φ1+φ2) 复数相除: z1/ z2=∣z1∣/∣z2∣∠(φ1-φ2)
z2
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
自动控制原理第四章根轨迹法
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
自动控制原理第4章-根轨迹
zl
1800
m
( zl
j 1 jl
zj)
n
( zl
j 1
p
j
)
第四章 根轨迹法
4.2.3 绘图示例
G(s)H (s)
K
s(s 1)(s 2)
闭环特征方程 : s3 3s2 2s K 0
按7个基本规则绘制根轨迹图：
首先，系统有三个无穷远
零点，有三个开环极点：
p1=0，p2=-1，p3=-2，将它们 标在复平面上。
第四章 根轨迹法
7、 根轨迹的出射角和入射角
根轨迹从某个开环极点出发时的切线与正实轴的夹角称
为出射角，根轨迹从开环极点pi出发的出射角为：
pi
1800
m
( pi
j 1
zj)
n
( pi
j 1
p
j
)
ji
根轨迹进入某个开环零点的切线与正实轴的夹角称为 入射角，根轨迹进入开环零点Zl的入射角为：
根据规则1)和2)，根轨
迹将有3支，分别开始于这
三个开环极点，趋向无穷
远。
第四章 根轨迹法
根据规则3)，根轨迹有3根渐近线，它们与实轴的夹角是：
k
(2k
1)1800 3
,
k 0,1,2
0 600 ,1 1800 ,2 3000
所有渐近线交于实轴上 的一点，其坐标为：
0 1 2 1
3
1 K (s z1 )(s z2 )....(s zm ) 0 (s p1 )(s p2 )....(s pn )
m
上式变形： K (s zl )
l 1 n
1 0 ——典型根轨迹方程
(s pi )
自动控制原理第四章 根 轨 迹 法
K=2.5
-2
＞0.5时，特征根为共轭复根，欠阻尼系 统，响应为衰减振荡；可根据性能要求
K
设置闭环极点。
当特征方程>2阶时无法求解，如何绘制根轨迹图？
4-2. 绘制根轨迹的基本依据和条件
特征方程为： 1+G(s)H(s)=0
即： G(s)H(s)= -1
R(s)
Y(s)
G(s)
-
H(s)
G( s )H( s ) 1
4-1. 根轨迹基本概念
根轨迹的定义：
开环传递函数的某一参数从0变到∞时，闭环系 统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。
R(s)
-
E(s) G1(s)
D1(s) G 2(s)
H(s)
Y(s) D2(s)
如
G1( s )G2 ( s )H ( s )
Kg s( s 1 )( s 2 )
常规根轨迹
求解：设 Gk ( s ) KgG1( s )，则对于1 KgG1( s ) 0，有
dK g ds
d [G11( s )] ds
0 （Kg在根轨迹的分离点上取极值）
或 dG1( s ) 0 （特征式满足 d( s ) 0）
ds
ds
注：只须用其中之一，且只是必要条件
续前例：求分离点上的坐标。
幅值条件
G( s )H( s ) 180( 2k 1 ), k 0，1，2，
相角条件
零极点表达形式下的幅值条件和相角条件：
m
n
K g (s zi )
(s pi )
G(s)H(s)
i1 n
1 ,或
Kg
i1 m
,
(s pi )
(s zi )
第四章 根轨迹法
2 当 K1 a 时，则两根为实数且相等，即
s1 s2 a
。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
当 a 2 K1 时，两根成为共轭的复数 根，其实部为
a
，这时根轨迹与实
j
轴垂直并相交于 ( a, j0) 点。
(s+2a)
K1由0向∞变化时的根轨迹，如图4-2 所示。箭头表示K1增大方向。 由图可见： 1) 此二阶系统的根轨迹有两条， K1 0 时分别从开环极点 p1 0 和 p2 2a 出发。
m
| s pi |
i 1
j
1
或
K1
| s pi | | s z j |
j 1 i 1 m
n
(s z
j 1
m
) ( s pi ) 180 (2q 1)
i 1
n
q 0, 1, 2,
在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。 因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件
D' (s) A' (s) K1B(s) 2(s s1 ) p(s) (s s1 ) 2 p(s) 0
将
A( s ) K1 代入上式，得 B( s)
图4-3 反馈控制系统
G(s) H (s) 1 和 G(s) H (s) 180 (2q 1) q 0, 1, 2,
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重 要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是
系统的特征根，就必定在根轨迹上。
s p1=0 O a
p2=2a
s1 s2 a
。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
当 a 2 K1 时，两根成为共轭的复数 根，其实部为
a
，这时根轨迹与实
j
轴垂直并相交于 ( a, j0) 点。
(s+2a)
K1由0向∞变化时的根轨迹，如图4-2 所示。箭头表示K1增大方向。 由图可见： 1) 此二阶系统的根轨迹有两条， K1 0 时分别从开环极点 p1 0 和 p2 2a 出发。
m
| s pi |
i 1
j
1
或
K1
| s pi | | s z j |
j 1 i 1 m
n
(s z
j 1
m
) ( s pi ) 180 (2q 1)
i 1
n
q 0, 1, 2,
在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。 因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件
D' (s) A' (s) K1B(s) 2(s s1 ) p(s) (s s1 ) 2 p(s) 0
将
A( s ) K1 代入上式，得 B( s)
图4-3 反馈控制系统
G(s) H (s) 1 和 G(s) H (s) 180 (2q 1) q 0, 1, 2,
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重 要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是
系统的特征根，就必定在根轨迹上。
s p1=0 O a
p2=2a
第四章根轨迹法
s z i ( i 1, 2, , m )
根轨迹终止于开环零点
四.根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正向夹角：
(2l 1) a nm
l 0,1, 2,, n m 1
举例 求下面闭环特征方程式根轨 迹的渐近线
s( s 4)( s 2 2 s 2) k ( s 1) 0
2
kc 6
方法2
上例中
应用劳斯判据
k G(S ) H (S ) S ( S 1)( S 2)
s3 3s 2 2s k 0
劳斯表如下
s s
s s
3 2
1
3
6k 3 k
2
k
令
6k =0,得 kc 6 3
辅助方程为
F ( s) 3s 2 kc 0
d s 2 3s 3.25 ds s 1 0
0
s=
2 2 0.25 0 解得 1 -2.12, 2 0.12(舍去)
6、求出射角
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 )
1
180 116.6 90 206
解：
1 G ( s) H ( s) 0 s 3 3s 2 2 s k 0
s1 s2 s3 3
s3 3 s1 s2 3 j 2 j 2 3
kc s1 s2 s3 6
十.放大倍数的求取
幅值条件
|G(s)H(s)| k | s zi | | s pi |
p 206
2
j
0
九.闭环极点的和与积
设系统的特征方程为：
自动控制原理 第四章 根轨迹
自动控制原理
第四章 根轨迹分析法
输入
偏差
+-
控制器
输出 被控对象
反馈元件
4.1.1 自动控制系统的根轨迹
什么是根轨迹？ 根轨迹是系统开环传递函数某一参数或某几
个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征根
在s平面上变化的轨迹。
用时域分析法，每次系统的参数发生变化都 要重新计算闭环传递函数和闭环极点。计算量 大且难以看出系统性能指标的变化趋势。
1 Gk (s) 0
根轨 迹方
m
程
s zi
K i1 gn
1s pjj 1源自根轨迹方程可以分解成幅值条件和相角条 件两个方程，即
幅值条件
Gk s 1
相角条件
Gk (s) 180 (2k 1)
k 0,1, 2,
幅值条件方程为
m
s zi
K i1 gn
1
s pj
j 1
相角条件方程为
或无穷远处。
m
s zi
i 1
n
s pj
1 Kg
j 1
根轨迹分支的起点是指当Kg=0时的闭环极点。当 s=pj ，即开环极点。
根轨迹分支的终点是指当Kg→∞时的闭环极点。
•当s=zi，即开环零点。
m
•当s→∞，方程左边趋于0.
s zi
lim i1
sm lim 0
s n
s pj
s s n
b0 )
Kg
n
(s pj )
sn an1sn1 a0
snm (an1 bm1 )snm1
j 1
当s模值很大时，可以在分母中只保留前两项，即
G(s)H (s)
snm
第四章 根轨迹分析法
输入
偏差
+-
控制器
输出 被控对象
反馈元件
4.1.1 自动控制系统的根轨迹
什么是根轨迹？ 根轨迹是系统开环传递函数某一参数或某几
个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征根
在s平面上变化的轨迹。
用时域分析法，每次系统的参数发生变化都 要重新计算闭环传递函数和闭环极点。计算量 大且难以看出系统性能指标的变化趋势。
1 Gk (s) 0
根轨 迹方
m
程
s zi
K i1 gn
1s pjj 1源自根轨迹方程可以分解成幅值条件和相角条 件两个方程，即
幅值条件
Gk s 1
相角条件
Gk (s) 180 (2k 1)
k 0,1, 2,
幅值条件方程为
m
s zi
K i1 gn
1
s pj
j 1
相角条件方程为
或无穷远处。
m
s zi
i 1
n
s pj
1 Kg
j 1
根轨迹分支的起点是指当Kg=0时的闭环极点。当 s=pj ，即开环极点。
根轨迹分支的终点是指当Kg→∞时的闭环极点。
•当s=zi，即开环零点。
m
•当s→∞，方程左边趋于0.
s zi
lim i1
sm lim 0
s n
s pj
s s n
b0 )
Kg
n
(s pj )
sn an1sn1 a0
snm (an1 bm1 )snm1
j 1
当s模值很大时，可以在分母中只保留前两项，即
G(s)H (s)
snm
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第四章 根轨迹法
§4-1 反馈系统的根轨迹 §4-2 绘制根轨迹的基本规则 §4-3 广义根轨迹
§4-1 反馈系统的根轨迹
R(s)
２K
ห้องสมุดไป่ตู้
C(s)
S(S ２)
例. 设有一单位反馈系统如图所示G(S) 2k s(s 2)
该系统的闭环传函为
(s)
C(s) R( s )
s2
2k 2s
2k
系统的特征方程为
(3)n- m 3条 根 轨 迹 终 止 于 无 穷 远,其 渐 近 线 与 实 轴 的 交 点为
a
0
(4)
(1 j) 41
(1
j)
(1)
1.67
与实轴的交角为
a
(2l 1) nm
1 3
60
a
(2l 1) nm
3 3
180
a
(2l 1) nm
5 3
300
(l 0) (l 1) (l 2)
m
|G(s)H(s)|
K| i 1 n
s
zi
|
|
i 1
s
pi
|
m
n
G(s)H(s) (s-zi )- (s-pi )
i 1
i 1
闭环极点和那些参数有关？
两类根轨迹： • 增益根轨迹 • 参数根轨迹
§ 4-2 绘制根轨迹的基本规则
180o根轨迹的绘制规则
1. 根轨迹分支数
根轨迹的分支数等于闭环极点数或等于特征方程的阶数
s2 2s 2k 0
两闭环极点为 : s1 -1 1-2k
s2 -1- 1-2k
下 面 分 析 参 数k从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭 环极 点 分 布 的 影 响:
k 0时 s1 0 0 k 1 2时 k 1/2时
k 1/2时
s2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点 相同 s1, s2均为负实数 s1 s2 -1 s1,2 -1 j 2k - 1,实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直 线上
试画出其根轨迹.
解: a 1
a 60o, 180o, 300o
k= S(S 1)(S 2)
d d
[S
(
S
1)(S 2)]s
0
3 2 6 2 0
1 0.423， 2 1.577(舍)
-2
-1
0
7.根轨迹与虚轴的交点
(1)把s j代入1 G(s)H (s) 0得 1 G(j )H(j) 0
G(S)
K(S 1) S ( S 4)( S 2 2 S 2)
试根据目前所知的法则确定根轨迹的有关数据
解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1- j
终 止 于 Z1 1和 无 穷 远 (2)有 四 条 根 轨 迹 且 对 称 于实 轴
2. 根轨迹的连续性与对称性
根轨迹是连续的且对称于实轴的曲线
3. 根轨迹的起点与终点
根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点或无穷远点
4. 根轨迹的渐近线
渐近线与实轴的交点: 渐近线与实轴的交角 :
n
m
Pi Zi
a
i 1
i 1
nm
a
2l 1
nm
(l 0,1,L , n m 1)
例.设控制系统的开环传函为
与实轴正方向的夹角
入射角:根轨迹进入开环复数零点处的切线方向 与实轴正方向的夹角
m
n
Pl 180o (Pl Z j ) (Pl Pj )
j1
j1
jl
n
m
Zl 180o (Zl Pj ) (Zl Z j )
j 1
j 1
jl
p1
A
θp1
∠（p1-z1） z1
∠（p1-p3） p3
令Re[1 G(j )H(j )] 0, Im[1 G(j )H(j )] 0 解得及Kc
上例中,可求得根轨迹与虚轴的交点
-j 3 -3 2 j2 k 0 -3 2 k 0 - 3 2 0
由此解得
1 0 2,3 2 (rad/s) KC 6
(2)应用Routh判据
8.根轨迹的出射角与入射角 出射角:根轨迹离开开环复数极点处的切线方向
-4 -3
-2 -1
5.实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域,若其右边开环零极点个数之和
为奇数，则该区域必是根轨迹(按幅角条件分析)
6.根轨迹与实轴的交点(分离点与会合点)
n
i 1
S
Pi
ｋ= m
i 1
S
Zi
S
dk 0
d
例.已知某负反馈系统开环传函为G(S )H (S )
k
S(S 1)(S 2)
临界阻尼 k 0.5
欠阻尼
k 0.5
根轨 迹法的基本任务: 如 何 由 已 知 的 开 环 零 极点 的 分 布 ,通 过 图 解 的
方法找出闭环极点.
根轨迹的概念 开环系统某一参数从零到无穷变化时,闭环系统特征方程
的根在S平面内变化的轨迹。
R(s)
C(s)
G(s)
3.根轨迹方程
根轨迹是所有闭环极点的集合.
H(s)
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) -1
幅值条件： |G(s)H(s)| 1
相角条件：G(s)H(s) 180o i360o (i 0, 1, 2,L )
G(s)H(s) K(s-z1 )(s-z2 )L (s-zm ) (s p1 )(s p2 )L (s pn )
试绘制系统的概略根轨迹
解: (1)起始点 p1 0 p2 -0.5-j1.5 p3 -0.5 j1.5 p4 -2.5
实轴上的根轨迹 [0,-1.5] [-2.5,-] (2)渐近线 180o 一条 (3)无分离点 (4)出射角 , 入射角
p3 180o-56.5o 19o 59o-108.5o-90o-37o 79o z1 180o 63.5o 153o 199o 121o-90o-117o 149.5o
∠（p1-p2）
p2
( p1 z1 ) p1 ( p1 p2 ) ( p1 p3 ) 1800 i3600 p1 (1800 i3600 ) ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) ( p1 p3 )
例.设系统开环传函为
G(S) K(S1.5)(S2 j)(S2-j) S ( S 2.5)( S 0.5 j1.5)( S 0.5 j1.5)
k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 远.
K
s1 -1 1 - 2k s2 -1 - 1 - 2k
-2
0
K
2.根轨迹与系统性能
稳定性:根轨迹若越过虚轴进入s右半平面, 与虚轴交点处的
k 即为临界增益
稳态性能:根据坐标原点的根数,确定系统的型别,同时可以
确定对应的开环增益
动态性能:过阻尼 0 k 0.5
§4-1 反馈系统的根轨迹 §4-2 绘制根轨迹的基本规则 §4-3 广义根轨迹
§4-1 反馈系统的根轨迹
R(s)
２K
ห้องสมุดไป่ตู้
C(s)
S(S ２)
例. 设有一单位反馈系统如图所示G(S) 2k s(s 2)
该系统的闭环传函为
(s)
C(s) R( s )
s2
2k 2s
2k
系统的特征方程为
(3)n- m 3条 根 轨 迹 终 止 于 无 穷 远,其 渐 近 线 与 实 轴 的 交 点为
a
0
(4)
(1 j) 41
(1
j)
(1)
1.67
与实轴的交角为
a
(2l 1) nm
1 3
60
a
(2l 1) nm
3 3
180
a
(2l 1) nm
5 3
300
(l 0) (l 1) (l 2)
m
|G(s)H(s)|
K| i 1 n
s
zi
|
|
i 1
s
pi
|
m
n
G(s)H(s) (s-zi )- (s-pi )
i 1
i 1
闭环极点和那些参数有关？
两类根轨迹： • 增益根轨迹 • 参数根轨迹
§ 4-2 绘制根轨迹的基本规则
180o根轨迹的绘制规则
1. 根轨迹分支数
根轨迹的分支数等于闭环极点数或等于特征方程的阶数
s2 2s 2k 0
两闭环极点为 : s1 -1 1-2k
s2 -1- 1-2k
下 面 分 析 参 数k从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭 环极 点 分 布 的 影 响:
k 0时 s1 0 0 k 1 2时 k 1/2时
k 1/2时
s2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点 相同 s1, s2均为负实数 s1 s2 -1 s1,2 -1 j 2k - 1,实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直 线上
试画出其根轨迹.
解: a 1
a 60o, 180o, 300o
k= S(S 1)(S 2)
d d
[S
(
S
1)(S 2)]s
0
3 2 6 2 0
1 0.423， 2 1.577(舍)
-2
-1
0
7.根轨迹与虚轴的交点
(1)把s j代入1 G(s)H (s) 0得 1 G(j )H(j) 0
G(S)
K(S 1) S ( S 4)( S 2 2 S 2)
试根据目前所知的法则确定根轨迹的有关数据
解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1- j
终 止 于 Z1 1和 无 穷 远 (2)有 四 条 根 轨 迹 且 对 称 于实 轴
2. 根轨迹的连续性与对称性
根轨迹是连续的且对称于实轴的曲线
3. 根轨迹的起点与终点
根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点或无穷远点
4. 根轨迹的渐近线
渐近线与实轴的交点: 渐近线与实轴的交角 :
n
m
Pi Zi
a
i 1
i 1
nm
a
2l 1
nm
(l 0,1,L , n m 1)
例.设控制系统的开环传函为
与实轴正方向的夹角
入射角:根轨迹进入开环复数零点处的切线方向 与实轴正方向的夹角
m
n
Pl 180o (Pl Z j ) (Pl Pj )
j1
j1
jl
n
m
Zl 180o (Zl Pj ) (Zl Z j )
j 1
j 1
jl
p1
A
θp1
∠（p1-z1） z1
∠（p1-p3） p3
令Re[1 G(j )H(j )] 0, Im[1 G(j )H(j )] 0 解得及Kc
上例中,可求得根轨迹与虚轴的交点
-j 3 -3 2 j2 k 0 -3 2 k 0 - 3 2 0
由此解得
1 0 2,3 2 (rad/s) KC 6
(2)应用Routh判据
8.根轨迹的出射角与入射角 出射角:根轨迹离开开环复数极点处的切线方向
-4 -3
-2 -1
5.实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域,若其右边开环零极点个数之和
为奇数，则该区域必是根轨迹(按幅角条件分析)
6.根轨迹与实轴的交点(分离点与会合点)
n
i 1
S
Pi
ｋ= m
i 1
S
Zi
S
dk 0
d
例.已知某负反馈系统开环传函为G(S )H (S )
k
S(S 1)(S 2)
临界阻尼 k 0.5
欠阻尼
k 0.5
根轨 迹法的基本任务: 如 何 由 已 知 的 开 环 零 极点 的 分 布 ,通 过 图 解 的
方法找出闭环极点.
根轨迹的概念 开环系统某一参数从零到无穷变化时,闭环系统特征方程
的根在S平面内变化的轨迹。
R(s)
C(s)
G(s)
3.根轨迹方程
根轨迹是所有闭环极点的集合.
H(s)
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) -1
幅值条件： |G(s)H(s)| 1
相角条件：G(s)H(s) 180o i360o (i 0, 1, 2,L )
G(s)H(s) K(s-z1 )(s-z2 )L (s-zm ) (s p1 )(s p2 )L (s pn )
试绘制系统的概略根轨迹
解: (1)起始点 p1 0 p2 -0.5-j1.5 p3 -0.5 j1.5 p4 -2.5
实轴上的根轨迹 [0,-1.5] [-2.5,-] (2)渐近线 180o 一条 (3)无分离点 (4)出射角 , 入射角
p3 180o-56.5o 19o 59o-108.5o-90o-37o 79o z1 180o 63.5o 153o 199o 121o-90o-117o 149.5o
∠（p1-p2）
p2
( p1 z1 ) p1 ( p1 p2 ) ( p1 p3 ) 1800 i3600 p1 (1800 i3600 ) ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) ( p1 p3 )
例.设系统开环传函为
G(S) K(S1.5)(S2 j)(S2-j) S ( S 2.5)( S 0.5 j1.5)( S 0.5 j1.5)
k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 远.
K
s1 -1 1 - 2k s2 -1 - 1 - 2k
-2
0
K
2.根轨迹与系统性能
稳定性:根轨迹若越过虚轴进入s右半平面, 与虚轴交点处的
k 即为临界增益
稳态性能:根据坐标原点的根数,确定系统的型别,同时可以
确定对应的开环增益
动态性能:过阻尼 0 k 0.5