抽象函数是指函数的三种表示法(经典)
高中数学，求抽象函数的定义域，三个经典例子
⾼中数学，求抽象函数的定义域，三个经典例⼦
众所周知，⾼中数学对于⼤部分刚上⾼中的同学⽽⾔是有些难的。
特别是在学函数的概念的时
候，很多⼈在求抽象函数的定义域这个模块遇到很⼤的⿇烦。
在这⾥，我通过举三个例⼦，帮
助⼤家彻底解决这个问题。
要解决这样的问题，我们必须先动两个特点：
1：在同⼀道题⽬中，⽤同⼀个函数符号表⽰的，就证明是同⼀个函数。
同⼀个函数，括号⾥的
整体的取值范围就⼀样。
例如第⼀题中前半句y=f(x)括号内的整体x，与后半句y=f(x+1)括号内的
整体x+1的取值范围是⼀样的。
2：求⼀个函数的定义域，就是求这个函数表达式中的x的取值范围。
例如：求函数y=f(x+1)的定
义域的取值范围，就是求括号内x的取值范围，并不是求括号内x+1的这个整体的取值范围，这
⼀点很多新⽣会弄混淆。
好了，明⽩了这两点之后，这三道题对于我们就没有难度了，现在我们把过程写⼀下。
⾸先是第⼀题：
第⼀题答案
第⼆题跟第⼀题反过来了，但是道理是⼀样的。
第⼆题答案
同样道理，第三题的答案也和前⾯两道题的解题原理是⼀样的。
如下图所⽰：
第三题答案
这个就是这三道简单的例⼦，解题的思路和步骤都已经讲清楚了，希望能给⼤家带来帮助。
抽象函数定义域三种题型及解法
抽象函数定义域三种题型及解法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]．二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21＜x ＋1＜3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域： 由题意知－21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[21，3]， 再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21＜x 2＜3，解得－3＜x＜－2或2＜x ＜3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x＜－2或2＜x ＜3}． 四、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[．。
新高一抽象函数知识点归纳
新高一抽象函数知识点归纳抽象函数作为高中数学中的重要内容之一，是数学家们用来描述函数与函数之间关系的一种工具。
在新高一数学中，抽象函数的学习也被赋予了更高的要求。
本文将从抽象函数的概念、性质以及应用等方面进行归纳和总结。
一、抽象函数的概念及基本性质抽象函数，顾名思义，即把一个具体的函数抽象化，用符号表示。
在新高一数学中，我们通常用字母f、g或h来表示抽象函数。
抽象函数具有以下几个基本性质：1. 定义域和值域：抽象函数的定义域是指函数定义的自变量的取值范围，而值域是函数定义的因变量的取值范围。
2. 函数值和变量：抽象函数根据自变量的不同取值，得到相应的函数值。
在求函数值时，通常用x来表示自变量。
3. 函数表达式：抽象函数可以通过一个表达式来表示，其中包括自变量和函数值之间的关系。
例如，可以用f(x) = 2x + 1来表示一个抽象函数。
二、抽象函数的基本类型抽象函数可以分为多种类型，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
下面简要介绍几种常见的抽象函数类型：1. 线性函数：线性函数是最简单的抽象函数类型，其函数表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
2. 二次函数：二次函数是由平方项构成的函数，其函数表达式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，a不等于0。
3. 指数函数：指数函数是以常数为底的幂函数，其函数表达式为f(x) = aⁿ，其中a为底数，n为指数。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，其函数表达式为f(x) = logᵤx，其中u为底数，x为真数。
三、抽象函数的应用抽象函数不仅仅是高中数学中的一个概念，更是应用于实际问题的重要工具。
下面将介绍几个具体的应用场景：1. 金融领域：在金融领域中，抽象函数可以用来描述投资收益率、贷款利率等与时间和金额之间的关系。
2. 自然科学：在自然科学研究中，抽象函数可以用来描述生物种群的增长、物体的运动轨迹等问题。
抽象函数模型抽象函数模型化总结
抽象函数模型抽象函数模型化总结高三数学总复习——抽象函数所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。
抽象来源于具体。
抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。
常见的抽象函数对应的初等函数模型如下: 初等函数模型抽象函数性质正比例函数一次函数幂函数二次函数（a≠0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c 指数函数对数函数或f(xm)=mf(x) 余弦函数正切函数下面从这一认识出发，例谈七种类型的抽象函数及其解法。
（备注：解小题可参对应的具体函数，解大题得赋值，可在草纸上借助具体函数验证赋值所得结果是否正确。
另并不是所有的抽象函数都能找到中学阶段所学的初等函数，此时，只能通过赋值解决问题。
）一．以正比例函数为模型的抽象函数正比例函数是满足函数恒等式的最常见的模型。
若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。
例1、已知函数对任意实数，均有，且当时，，，求在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数是的抽象函数，因此求函数的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。
在条中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f （0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，∴ f（x）的值域为［－4，2］。
二、以一次函数为模型的抽象函数一次函数y=ax+b是满足函数恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常见的模型。
专题3.1 函数的概念及其表示【八大题型】(举一反三)-2024-2025学年高一数学举一反三系列(
专题3.1 函数的概念及其表示【八大题型】【人教A版（2019）】【题型1 对函数概念的理解】 (1)【题型2 求函数的定义域】 (2)【题型3 求函数的值域】 (3)【题型4 由函数的定义域或值域求参数】 (3)【题型5 求函数值或由函数值求参】 (4)【题型6 同一函数的判断】 (4)【题型7 函数的表示法】 (5)【题型8 分段函数】 (7)【知识点1 函数的概念】1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x A.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．【题型1 对函数概念的理解】【例1】（2023·全国·高一假期作业）下列变量间为函数关系的是（）A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系D ．生活质量与人的身体状况间的关系【变式1-1】（2023·全国·高三对口高考）集合A ={x|0≤x ≤2},B ={x|0≤x ≤1}下列表示从A 到B 的函数是（ ）A ．f:x →y,y =(13)xB ．f:x →y,y =2xC ．f:x →y,y =2xD ．f:x →y,y =x【变式1-2】（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）下面图象中，不能表示函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式1-3】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合A ={x |0≤x ≤4 }，集合B ={x |0≤x ≤2 }，下列图象能建立从集合A 到集合B 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【题型2 求函数的定义域】【例2】（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数y =1x−1+√x +2的定义域为（ ） A ．{x |x ≥−2 且x ≠1} B ．{x |x ≥−2 }C ．{x |x <−2 }D ．{x |x ∈R 且x ≠1}【变式2-1】（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数f(x +1)的定义域是[−2,3]，则函数f(2x −1)的定义域（ ）A ．[−1,4]B ．[−7,3]C ．[−3,7]D ．[0,52]【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）若函数f (x )的定义域为[0,4]，则函数g (x )=f (x +2)+√x−1的定义域为（ ） A ．(1,2)B ．(1,4)C ．(1,2]D ．(1,4]【变式2-3】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数y =f (x )的定义域为[−8,1]，则函数g (x )=f (2x+1)x+2的定义域（ ）A ．[−92,−2)∪(−2,0] B ．[−8,−2)∪(−2,1] C ．(−∞,−2)∪(−2,3] D ．[−92,−2]【题型3 求函数的值域】【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x)=|x|+1的定义域为{−1,0,1}，则其值域为（ ） A ．{1,2}B ．[1,2]C ．{0,1}D ．[1,+∞)【变式3-1】（2023·全国·高三对口高考）函数f (x )=2−√−x 2+4x 的值域是（ ）A ．[−2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[−√2,√2]【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中与函数y =√x 2值域相同的是（ ）A ．y =xB ．y =1xC ．y =−x 2D ．y =x 2−2x +1【变式3-3】（2023·全国·高三对口高考）已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x ≤9时，f(x)=x +2，则y =[f(x)]2+f(x 2)的值域为（ ）A ．[1,3]B ．[1,9]C ．[12,36]D ．[12,204]【题型4 由函数的定义域或值域求参数】【例4】（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=√2−x3ax 2+ax+2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0≤a ≤2B ．0≤a <8C ．0<a ≤8D ．0<a <8【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x )={3x−1x+3(x ≠−3)a (x =−3) 的定义域与值域相同，则常数a =（ ）A ．3B ．−3C ．13D ．−13【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=x 2−4x −6的定义域为[0,m]，值域为[−10,−6]，则m 的取值范围是A．[0，4]B．[4，6]C．[2，6]D．[2，4]【变式4-3】（2022秋·安徽芜湖·高一校考期中）定义：称|b−a|为区间[a,b]的长度，若函数f(x)=√ax2+bx+c(a<0)的定义域与值域区间长度相等，则a的值为（）A．−4B．−2C．4或−2D．与b,c的取值有关【题型5 求函数值或由函数值求参】【例5】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x3−2x+3，那么f(2)的值（）A．3B．5C．7【变式5-1】（2023·高一课时练习）下表给出了x与f(x)和g(x)的对应关系，根据表格可知f[g(1)]的值为（）A．1B．2C．3D．4【变式5-2】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知f(x+1)=2x−3，且f(a)=3，则a=（）A．4B．3C．2D．1【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）已知f(x)=ax5+1，且f(−2)=10，则f(2)=（）A．−8B．10C．9D．11【知识点2 函数的相等】1．函数的相等同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.2．区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：(1)的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；(3)或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.【题型6 同一函数的判断】【例6】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是同一函数的是（）A．y=(x−1)0与y=1B．y=x与y=x2xC．y=|x|与y={x,x≥0−x,x<0D．y=x2与y=(x−1)2【变式6-1】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（）A．y＝|x|B．y=x2x C．y=(√x)2D．y=(√x3)3【变式6-2】（2023秋·高一单元测试）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f(x)=x+1与g(x)=x2+xx B．f(x)=x⋅|x|x与g(t)={−t，t<0t，t>0C．f(x)=1，g(x)=x0D．f(x)=√x2，g(x)=(√x)2【变式6-3】（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）下列各组函数表示同一个函数的是（）A．y=x|x|与y=1B．y=x3+xx2+1与y=xC．y=x2−1x−1与y=x+1D．y=√x2−2x+1与y=x−1【知识点3 函数的表示法】1．函数的表示法函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.2．抽象函数与复合函数(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.【题型7 函数的表示法】【例7】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x),g(x)的对应关系如下表，则f[g(1)]=（）A．0B．2C．−2D．1【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，[4]=4）可表示为（）A ．y =[x+210] B ．y =[x+310] C ．y =[x+410] D ．y =[x+510]【变式7-2】（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点E 由点A 沿线段AB 向点B 移动，过点E 作AB 的垂线l ，设AE =x ，记位于直线l 左侧的图形的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式7-3】（2023·全国·高三对口高考）如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．y =32|x −1|(0≤x ≤2) B ．y =32−32|x −1|(0≤x ≤2) C ．y =32−|x −1|(0≤x ≤2) D ．y =1−|x −1|(0≤x ≤2)【题型8 分段函数】【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知f(x)={−x,x ≤0x 2,x >0，则f(−3)=（ ）A ．−3B ．3C ．−9D ．9【变式8-1】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知函数f (x )={x −1,x >0,4x,x ≤0, 若f (a )=−12，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．18C ．18或−12D ．−18或12【变式8-2】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（ ）A ．17m 3B ．15m 3C ．13m 3D ．263m 3【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）函数y =f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)，函数g (x )=x ⋅f (x )，那么函数g (x )的值域为（ ）A ．[0,2]B ．[0,94] C ．[0，32]D ．[0,4]。
专题05 函数 5.1函数的三要素 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)
则 M∪∁RN＝[﹣2，1）．
故选：A．
考点 2.抽象函数定义域
3．若函数 f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数 f（x）的定义域是
【解答】解：∵函数 f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，
即﹣1≤x≤2，
∴﹣2≤2x≤4
∴﹣1≤3﹣2x≤5
[﹣1，5] ．
高中数学一轮复习讲义
，
�
�
1−�2
�
得到�(�) =
所以�(�) =
1
�
1−(1�)2
=
�
，
�2−1
�
（x≠0，x≠±1）．
�2−1
1
1
1
（2）f（x+ ）＝x2+ 2 = (� + )2 − 2，
�
�
�
所以 f（x）＝x2﹣2（x≥2 或 x≤﹣2）．
6．已知 f（3x）＝4xlog23+10，则 f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于
，解得﹣1≤x≤1．
−1 ≤ 1 − � ≤ 2
∴函数 y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．
故选：C．
考点 3.已知定义域求参
5．已知函数 f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是
∞）
．
9
（ ，+
8
【解答】解：根据条件可知 ax2+3x+2＞0 恒成立，
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是
判断两函数相等的依据．
高一抽象函数的所有知识点
高一抽象函数的所有知识点抽象函数是数学中重要的概念之一，在高中数学中也占据了重要地位。
本文将详细介绍高一阶段抽象函数的所有知识点，包括定义、性质和应用等方面。
一、抽象函数的定义抽象函数是一种用数学语言表示的一般规律或映射关系。
一般来说，抽象函数由定义域、值域和映射关系三个部分组成。
定义域是函数的自变量所在的集合，值域是函数的因变量可能取值的范围，映射关系则决定了自变量和因变量之间的对应关系。
二、抽象函数的性质1. 定义域和值域：抽象函数的定义域和值域是函数的基本特征。
定义域可以是实数集、自然数集、整数集等不同集合，而值域可以根据实际问题的需要而变化。
2. 奇偶性：抽象函数可以分为奇函数和偶函数两类。
当函数满足f(-x) = -f(x)时，被称为奇函数；当函数满足f(-x) = f(x)时，被称为偶函数。
3. 单调性：抽象函数的单调性指函数图象上的点按照自变量的增大而增大或减小。
函数的单调性可分为增函数和减函数两种情况。
4. 周期性：一些抽象函数具有周期性，即在一定范围内函数值呈现出循环出现的现象。
周期函数常用正弦函数和余弦函数来表示。
5. 对称性：对称性是指函数图象在某一直线或坐标轴上关于某一点对称。
常见的对称有关于x轴对称、y轴对称和关于原点对称等。
三、抽象函数的应用1. 函数求值：抽象函数可以用来求函数在特定自变量取值下的因变量取值。
通过函数的映射关系，我们可以根据给定的自变量值，求出相应的函数值。
2. 函数图象绘制：抽象函数的图象可以通过将自变量的取值范围映射到函数的值域中，绘制出对应的函数图象。
函数图象的绘制有助于观察函数的性质和规律。
3. 函数的应用问题：抽象函数在实际问题中有广泛的应用。
通过将实际问题转化为数学语言，我们可以利用抽象函数来解决实际问题，如数学建模、物理问题等。
四、抽象函数的注意事项1. 定义域的确定：在使用抽象函数时，需要明确函数的定义域。
合理确定定义域可以保证函数的映射关系是可行的。
抽象函数的讲义
xf
2.
.1.
于是在上是减函数.(0,..)
（3）因为
(4)
f
.
,(2)
(2)
1f
f.
.
.
所以
32
..
4
因为在上是减函数，(0,..)
f
(m).
f
(n).1，当x
..
12
时，
f(x)
.
0
（1）求
f
(.1)的值；
2
（2）求证：f
(x)在定义域R上是单调递增函数。
解：（
1）令m
.
n
.
0，得f
(0)
.
2
f
(0).1，.
f(0)
f
(2)=
2即
f
(2x2
.1)<
f
(4)
故而
2x2
.1
<4即
-4<2x2
.1<4解得
.
10
10
.
x.
22
针对练习：
已知定义在(0,..)上的函数
f
(x)，对于任意的m,
n
.
(0,..)，都有f
.
y)
.
f
(x).
f
(y)-bf(x)=kx+b
2、指数函数型：
(x
.
y)
.
f
(x).
f
(y)
f
(x
抽象函数的类型与解法
抽象函数的类型与解法广州市黄埔区教育局教研室 曾辛金邮政编码 510700抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序.其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨.1. 正比例函数型的抽象函数例1已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>0，f (－1)＝ －2求f (x )在区间[－2,1]上的值域.分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（注意到f （x 2）＝f [（x 2－x 1）＋x 1]＝f （x 2－x 1）＋f （x 1））；再根据区间求其值域.例2已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，f (3)＝ 5，求不等式 f （a 2－2a －2）<3的解.分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（仿例1）；再求出f （1）＝3；最后脱去函数符号.2. 幂函数型的抽象函数例3已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当0≤x ＜1时，f （x ）∈[0，1].（1） 判断f （x ）的奇偶性；（2） 判断f （x ）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； （3） 若a ≥0且f （a ＋1）≤39，求a 的取值范围. 分析：（1）令y ＝－1； （2）利用f （x 1）＝f （21x x ·x 2）＝f （21x x ）f （x 2）；（3）0≤a ≤2.3.指数函数型的抽象函数例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.分析：（1）令y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝f（a）f （b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.4.对数函数型的抽象函数例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.分析：（1）利用3＝1×3；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（a b）＝f（a）＋f（b），那么g（a ＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝f（a b）＝f [g（m）g（n）]….5.三角函数型的抽象函数例8已知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：① x 1、x 2是定义域中的数时，有f （x 1－x 2）＝)()(1)()(1221x f x f x f x f -+；② f （a ）＝ －1（a ＞0，a 是定义域中的一个数）；③ 当0＜x ＜2a 时，f （x ）＜0.试问：（1） f （x ）的奇偶性如何？说明理由；（2） 在（0，4a ）上，f （x ）的单调性如何？说明理由.分析：（1）利用f [－（x 1－x 2）]＝ －f [（x 1－x 2）]，判定f （x ）是奇函数；（3） 先证明f （x ）在（0，2a ）上是增函数，再证明其在（2a ，4a ）上也是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f （x ）（x ≠0）满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），（1） 求证：f （1）＝f （－1）＝0； （2） 求证：f （x ）为偶函数；（3） 若f （x ）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f （x ）＋f （x －21）≤0.分析：函数模型为：f （x ）＝lo g a |x |（a ＞0） （1） 先令x ＝y ＝1，再令x ＝y ＝ －1； （2） 令y ＝ －1；（3） 由f （x ）为偶函数，则f （x ）＝f （|x |）.例10已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，求证：（1） 当x ＞0时，0＜f （x ）＜1； （2） f （x ）在x ∈R 上是减函数. 分析：（1）先令x ＝y ＝0得f （0）＝1，再令y ＝－x ； （3） 受指数函数单调性的启发：由f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）可得f （x －y ）＝)()(y f x f ，进而由x 1＜x 2，有)()(21x f x f ＝f （x 1－x 2）＞1.总之，因为抽象函数与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，加上本身的抽象性、多变性，所以问题类型众多，解题方法复杂多变.尽管如此，以特殊模型代替抽象函数帮助解题或理解题意，是一种行之有效的教学方法，它能解决中学数学中大多数抽象函数问题.这样做符合学生的年龄特征和认知水平，学生不仅便于理解和接受，感到实在可靠，而且能使学生展开丰富的想象，以解决另外的抽象函数问题.练习题：1.已知：f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）对任意实数x 、y 都成立，则（ ） （A ）f （0）＝0 （B ）f （0）＝1 （C ）f （0）＝0或1 （D ）以上都不对2. 若对任意实数x 、y 总有f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），则下列各式中错误的是（ ） （A ）f （1）＝0 （B ）f （x1）＝ f （x ）（C ）f （yx ）＝ f （x ）－f （y ） （D ）f （x n ）＝nf （x ）（n ∈N ）3.已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足：f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，则当x ＞0时，f （x ）的取值范围是（ ）（A ）（1，＋∞） （B ）（－∞，1） （C ）（0，1） （D ）（－1，＋∞） 4.函数f （x ）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x 1、x 2都有 f （x 1－x 2）＝)()(1)()(2121x f x f x f x f +-，则f （x ）为（ ）（A ）奇函数非偶函数 （B ）偶函数非奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f （x ）对任意实数x 、y 满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2[f （x ）＋f （y ）]，则函数f （x ）是（ ）（A ）奇函数非偶函数 （B ）偶函数非奇函数 （C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶函数参考答案： 1．A 2．B 3．C 4．A 5．B。
抽象函数常用方法归纳综合
抽象函数常用方法归纳综合1.换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1.已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2) 2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。
例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x1)x (f 2)x 1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由 例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x 1x 1)x1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用:x )1(x-11(2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f(得中的代换再以即-=-+ (3) .x 1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) 代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.4.赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
新高一抽象函数知识点归纳总结
新高一抽象函数知识点归纳总结高一是学生们接触高等数学的第一年，而在高等数学的学习中，抽象函数是一个非常重要的内容。
抽象函数在高中数学课程中出现的频率相对较高，掌握好这个知识点对于学生们打好数学基础，有着非常大的帮助。
接下来，我们将对新高一抽象函数的知识点进行归纳总结。
一、函数的概念和性质在学习抽象函数之前，首先要掌握函数的概念和基本性质。
函数是一种对应关系，它把一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
掌握函数的概念和性质是后续学习抽象函数的基础。
二、抽象函数的定义抽象函数是指函数的定义域和值域都是集合，函数的定义可以用文字、图表、映射等方式表示。
抽象函数可以简化数学问题的表达，使问题的求解更加简单明了。
在高一的数学课程中，学生需要通过实际问题理解抽象函数的定义和意义，建立起抽象函数和具体问题之间的联系。
三、抽象函数的常见类型在高一的数学教学中，常见的抽象函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
线性函数是最简单的抽象函数，可以用一条直线表示；二次函数则是用二次方程表示的函数，图像是一个开口向上或向下的抛物线；指数函数和对数函数则是用指数和对数运算表示的函数，它们在实际中有着广泛的应用；三角函数则是以圆的角度为自变量的函数，它与几何形状、周期性等有着密切的关系。
四、抽象函数的性质和应用抽象函数具有许多重要的性质和应用。
首先，函数的图像可以通过平移、伸缩、翻转等变换得到不同的函数，这些变换对于函数的研究和应用具有重要意义。
其次，抽象函数的性质可以通过函数的解析式、图像等方式进行判断和解答。
另外，抽象函数在实际问题中的应用非常广泛，比如利用抽象函数来解决最优化问题、建模问题等。
五、抽象函数的综合应用抽象函数在高一数学中的学习不仅仅是理论的讲解和应用的演练，更重要的是培养学生的创造性思维和综合应用能力。
通过进行一些抽象函数的实际问题，可以锻炼学生的问题分析和解决能力，提高他们的数学思维能力。
高中数学必修一之知识讲解-函数及其表示方法
函数及其表示方法【学习目标】(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；x a x b a b{|}(,);(]x a x b a b{|},≤<=；x a x b a b<≤=；[){|},(][)≤=∞≤=+∞.x x b b x a x a{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.3.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。
抽象函数的定义域课件
掌握抽象函数定义域的特性，如域的纯粹性、域的依赖性等。
抽象函数定义域的求法
学会如何根据函数的解析式和上下文信息，求出抽象函数的定义域。
对于抽象函数定义域的应用的展望
数学学科中的应用
了解抽象函数定义域在数学学科 中的应用，如代数、分析、拓扑等。
其他学科中的应用
探讨抽象函数定义域在其他学科中 的应用，如物理、例函数是指形如$y=cx$的函数，此时函数的定义域通常为全体实数。
03
确定根式函数的定义域
根式函数是指形如$y=√x$的函数，此时函数的定义域通常为非负实数。
抽象函数定义域的应用
在数学建模中的应用
数学建模中的抽象函数定义域通常用来描述变量 之间的函数关系，帮助我们更好地理解问题的本 质和规律。
之间的关系。
通过定义域，我们可以确定算法 的输入和输出范围，从而更好地
理解和设计算法。
此外，抽象函数定义域在算法设 计中还可以帮助我们更好地理解 算法的复杂度和效率，以及优化
算法的性能。
总结与展望
对于抽象函数定义域的理解和掌握
定义域的基本概念
了解定义域是什么，如何确定定义域，以及定义域在函数中的重 要性。
限制定义域在确定函数性质和 运算规则时具有重要作用。
抽象函数定义域的求法
根据函数的性质求定义域
01 确定性
函数中的映射关系应明确，不能含糊不清。
02 互异性
函数的定义域中的每一个元素，在函数的值域中 只能对应一个元素。
03 任意性
函数中的对应关系可以在定义域的任意子集上进行。
根据实际应用求定义域
抽象函数的特性
01 非具体性
抽象函数没有具体的解析表达式，不能通过解析 表达式来表达函数关系。
高三抽象函数知识点汇总
高三抽象函数知识点汇总抽象函数是高中数学中的一个重要概念，通过抽象函数，我们可以对复杂的数学问题进行简化和形象化的表达。
本文将对高三抽象函数的知识点进行汇总和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、抽象函数的定义抽象函数是指用一个变量表示一个数集上的元素，而不指定具体的数，它可以将一个数集中的每个数与表示它的数代表进行对应。
简单地说，抽象函数就是用一个符号或字母表示一个数。
二、抽象函数的性质1. 定义域和值域：抽象函数通常有一个定义域和一个值域。
定义域是指所有符合函数定义的输入值的集合，值域是指所有可能的输出值的集合。
2. 函数图像：抽象函数可以通过绘制函数图像来直观地表示函数的特点和性质。
函数图像是定义域和值域上的点的集合，可以用直角坐标系来表示。
3. 函数关系：抽象函数描述了输入和输出之间的关系。
输入是定义域上的元素，输出是对应的数代表，函数关系可以用映射关系符号“→”表示。
4. 函数符号：抽象函数可以用各种符号来表示，常用的包括f(x)、g(x)等。
符号本身没有具体的数值，只是用来表示函数的一种形式。
三、抽象函数的运算1. 求和与差：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的和记作f(x)+g(x)，差记作f(x)-g(x)。
2. 数乘：给定一个抽象函数f(x)和一个实数k，它们的数乘记作k⋅f(x)。
3. 复合函数：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的复合函数记作f(g(x))，表示先计算g(x)，再将结果作为输入计算f(x)。
4. 逆函数：给定一个抽象函数f(x)，如果存在一个抽象函数g(x)，使得f(g(x))=x，那么g(x)称为f(x)的逆函数，记作f^(-1)(x)。
四、抽象函数的应用1. 函数关系的建立：通过抽象函数，可以建立输入和输出之间的关系，帮助我们描述和解决实际问题。
2. 函数的图像分析：通过函数图像，可以了解函数的单调性、极限、对称性等性质，进而推导出其他相关结论。
抽象函数新高考知识点总结
抽象函数新高考知识点总结随着新高考政策的出台，高中数学教学内容也发生了一些变化。
抽象函数作为高中数学的一个重要知识点，也成为了新高考的考查内容之一。
在本文中，我们将对抽象函数的相关知识进行总结和归纳，以帮助学生更好地掌握和理解这一知识点。
1. 抽象函数的概念和特点抽象函数是数学中的一个重要概念，它是指由一对非空的数集到另一个数集的对应关系。
与一般的函数不同，抽象函数不具体给出函数的具体形式，而是以一种抽象的方式描述函数的性质和特点。
抽象函数具有以下几个特点：（1）没有具体的函数表达式，只给出函数的定义域和值域的关系。
（2）函数的定义域和值域可以是数集、集合、图形、样本等任何形式。
（3）抽象函数体现了一种普遍性和一般性的思维方式，适用于各类数学问题的求解。
2. 抽象函数的表示方法抽象函数可以用文字描述、图形表示、集合表示等多种方式表示。
（1）文字描述：通过文字描述来表达函数的性质和特点，例如“函数f是定义在实数集上的奇函数”。
（2）图形表示：通过图形来表示函数的定义域、值域、性质等。
例如，通过画出函数图像来表示函数的变化规律。
（3）集合表示：通过集合的方式表示函数的定义域和值域。
例如，用集合的形式来表示一组数据的函数关系。
3. 抽象函数的应用抽象函数在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用情境。
（1）数列和数表的抽象函数表示：对于给定的数列和数表，可以通过抽象函数的方式来表示其数值规律，以便于研究和推导。
（2）函数关系的抽象函数表示：对于一些复杂的函数关系，通过抽象函数的方式可以简化问题，提取出函数的主要特征，从而更好地理解和研究函数关系。
（3）样本数据的抽象函数表示：对于一组观测数据，通过抽象函数的方式可以描述数据之间的联系和规律，进而用于统计分析和预测。
4. 抽象函数的思维方法抽象函数作为一种普遍性的思维方法，在数学问题的解决中起着重要的作用。
了解和掌握抽象函数的思维方法，可以帮助学生提高数学问题的解决能力。
第一章第6课时抽象函数
若把例7中的函数f(x)满足的条件改为：
①对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)· f(y)；
②存在x1≠x2，使f(x1)≠f(x2)．
(1)求f(0)的值；
(2)求证：对)∵f(x＋y)＝f(x)· f(y)对任意x，y∈R都成立，
∴令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)· f(0)，
00 0(1 x 0) x 1 0 1 (1 x 2) x x 1 1 2 ( x 2) x x
g(x)=
说明：这一方法，根据f(x)的定 义而直接求g(x)的解析式，称 直接法
x 2 ( x 0) 【例2】 已知 f ( x) 2 x 1, g ( x) 1( x 0)
所以f(0)＝[f(0)]2，得f(0)＝0或f(0)＝1.
若f(0)＝0，当x≠0时， 则f(x)＝f(x＋0)＝f(x)· f(0)＝f(x)· 0＝0， 即函数f(x)为常数函数，与条件②矛盾，故f(0)＝1.
x x x 2 (2)因为 f(x)＝f( ＋ )＝[f( )] ≥0， 2 2 2 所以 f(x)＞0 或 f(x)＝0. 若有 x0，使 f(x0)＝0， 则 f(x)＝f((x－x0)＋x0)＝f(x－x0)· 0)＝0， f(x 同条件②矛盾，故 f(x)≠0，所以 f(x)＞0.
f（0）＝1 【思路点拨】 法一 令x＝y ――――→ 求f（x） 法二 令－y＝x 令x＝0 → 得f（－y） ――→ 得f（x）
【规范解答】 法一 由已知条件得 f(0)＝1， f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)， x＝y， f(x－y)＝f(0)＝f(x) 设 则 －x(2x－x＋1)， 所以 f(x)＝x2＋x＋1. 法二 令 x＝0，得 f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，即 f(－y) ＝1－y(－y＋1)，将－y 用 x 代换到上式中得 f(x)＝x2＋x＋1.
高三抽象函数知识点
高三抽象函数知识点抽象函数是高中数学中的一个重要概念，它是函数概念的一种推广和扩展。
通过对抽象函数的学习和理解，不仅可以帮助学生更好地掌握函数的性质和变化规律，还可以为解决实际问题提供一种有效的数学工具。
本文将从定义、性质、图像及应用等方面介绍高三抽象函数的相关知识点。
一、定义抽象函数是指由一个自变量的集合A到一个因变量的集合B的映射关系。
这里的集合A和集合B可以是实数集、复数集、整数集等。
抽象函数可以用符号表示，如f(x)、g(x)等，其中x为自变量。
二、性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域即自变量的取值范围，可以是一个集合或一个区间。
而值域则表示抽象函数在给定定义域内所有可能的输出值所组成的集合或区间。
2. 单调性：抽象函数可能是递增的、递减的，也可能存在局部最值点。
通过对函数的微分或导数进行研究，可以确定函数的单调性。
3. 零点与极值点：抽象函数在定义域内可能存在零点，即使得f(x) = 0的自变量x的取值。
极值点是指函数在一段区间内的最大值或最小值，可以通过求导和求二阶导数的方法来判断。
4. 对称性：抽象函数可能具有对称性，如奇函数和偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)，可以通过对函数的变换来验证其对称性。
三、图像抽象函数的图像可以通过将自变量的取值代入函数中得到。
可以使用计算器或数学软件绘制抽象函数的图像，以便更直观地观察函数的性质和特点。
图像可以展示函数的增减性、零点、极值点等信息，有助于学生理解和记忆。
四、应用抽象函数广泛应用于数学和实际问题中。
在代数中，可以通过抽象函数来描述两个数的关系，如线性函数、二次函数等。
在几何中，抽象函数可以用来表示曲线、图形的方程，帮助解决与图形相关的问题。
在实际问题中，抽象函数可以用来建模，通过函数的性质和变化规律分析问题，求解最优解。
总结高三抽象函数是数学中重要的知识点，掌握好抽象函数的定义、性质和应用，对学生提高数学水平和解决问题具有重要的意义。
抽象函数是指函数的三种表示法(经典)
一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决.这类问题经常出现,要认真理解其解题地要领和方法.资料个人收集整理，勿做商业用途例设函数()地定义域为自然数集，若() ()() 对任意自然数恒成立，且() ，求()地解析式.资料个人收集整理，勿做商业用途分析:当令时,可得(＋)()＋＋,这相似于数列中地递推关系,再利用相应地递推关系可求出函数地解析式.资料个人收集整理，勿做商业用途解：令, 则() ()() ()，∴ ()() ()() ()…() (－)各式相加得：() …∴ ()例已知函数()满足()＋(－) () · ()，∈,∈,且()≠，求证：()是偶函数.分析: 当令时,可得(),再利用题中条件变形求解.证明：令∴ () () ()∵ () ≠ , ∴ ()令, 则() (－) () · ()∴ (－) (), ∵∈,∴ ()是偶函数例已知函数()地定义域为( , ∞ )，对任意> , >恒有() () ()求证：当> 时, ( ) －()分析:当令时,可得(),再灵活运用()(·)可求得.证明：令，则() () ()，∴ ()又令，> ，则() () ( )∴ () ( )即( ) －()二定义法在熟练掌握函数地定义、性质地基础上，对题中抽象函数给出地条件进行分析研究，运用定义、性质进行化简、变形，寻找解决问题地方法.资料个人收集整理，勿做商业用途例函数()地定义域是[－],则()定义域为()定义域为分析:认真理解复合函数定义域地定义,区分好题中三个定义域所指地变量.解：∵－≤≤∴ ≤≤ ∴ ()定义域为[, ]∴ ≤≤ ∴ ≤≤∴ ()定义域为[]例已知()是周期为地偶函数，且在区间[]上是增函数，则(－)、(－)、()地大小关系为分析:利用周期性,把各个变量表示在同一区间内,再结合其单调性,求出相应地函数值,比较大小.解：∵()是周期为地偶函数∴ (－) (－×) (－) ()(－) ()又∵()在[]上是增函数，∴()< ()< ()故()< (－)< (－)例定义在上地任意函数()都可以表示成一个奇函数()和一个偶函数()之和,若()()∈则() () 资料个人收集整理，勿做商业用途分析:由题中条件,结合函数地奇偶性,求出()及(－)地解析式,再求出()和().解：依题意有() () () () ()资料个人收集整理，勿做商业用途又∵()是奇函数，()是偶函数∴ (－) (－) (－)即－() () (－) －() ()由()、()得() , () ()－三、穿脱法解决这类抽象函数，通常是根据函数变量相等、函数值相等或单调性、奇偶性、周期性等性质，对函数进行“穿脱”，从而达到相应地目地.常见地方法是变量代换.资料个人收集整理，勿做商业用途例已知()是奇函数，当> 时，() ( ) , 求当< 时，()地解析式.资料个人收集整理，勿做商业用途分析: 利用变量间地代换,把<表示成－>,先求出相应(－),再结合函数地奇偶性,求出().资料个人收集整理，勿做商业用途解：令< ，即－>∴ (－) (－)(－)又∵()是奇函数∴－() －(－)∴() (－)例已知()是周期为地函数，且在区间[－]上表达式为()－＋则在[ ], ∈上地表达式为分析:利用周期性把要求区间转化为已知地区间,结合条件求出表达式.解：设∈[－]，则∈[ ],令，则－－又∵()是周期为地函数∴() ()∴() () () －－(－－)－资料个人收集整理，勿做商业用途∴() －∈[ ]四、图象法即借助图形或图像地直观性，数形结合来得到问题地答案此类方法很常见也很有效,它避开了一些烦杂地计算,必须认真地体会.资料个人收集整理，勿做商业用途例若奇函数()在区间[ ]上是增函数，且最小值为，最大值为，试判断在[－,－]上地单调性及最值情况资料个人收集整理，勿做商业用途分析:利用题中条件,结合奇函数图象关于原点对称,可求出()在相应区间地情况.解：根据奇函数地图象关于原点对称地性质不妨作图如下：由图可知()在[－,－]上是增函数最小值为－，最大值为－例已知()是最小正周期为地偶函数，它在区间[ ]上地图象,如图所示线段，则在区间[]上，()地解析式是资料个人收集整理，勿做商业用途分析:利用函数为偶函数,可画出[－]地函数图象,再利用周期性可得到[]地图象,最后根据图象地情况求出解析式.资料个人收集整理，勿做商业用途解：∵()是偶函数，周期为，故可知()在[]地图象为线段，其中（）()资料个人收集整理，勿做商业用途故在[]上()地解析式为例已知()是上地奇函数，当< 时，()为减函数，且()，则()>地解为分析:利用函数地奇偶性及在<地函数图象,可知函数在>地图象情况,故可解出在∈()>地解.资料个人收集整理，勿做商业用途解：∵()在上是奇函数且()在<为减函数∴() 且()在>为减函数又∵() ，∴(－) ,可知()在上地图象大致如右图：故()> 地解为<－或<<五、其他有少部分抽象函数地问题，它们必须灵活运用题中地条件，在特定地环境下，运用学过地知识和性质来寻找问题地解决.资料个人收集整理，勿做商业用途例若()是上地减函数，且()地图象经过点()和(,－)，则不等式()－< 地解为分析:由()(,－)可知()()－再结合()在上是减函数,可求得不等式地解.资料个人收集整理，勿做商业用途解：∵()－<∴－< ()<又∵ () －( )∴() < ()< ( )又∵ ()是上地减函数∴<< ∴－<<例设()函数是定义在上地不恒为地函数，且对任意地∈，都有() () ()，) 求()、()地值) 若()，且> ，求证> (∈)分析:通过赋值可解),再结合题中条件利用放缩法可求得)解：)∵() () ()令, 则() () ()∴ ()令, ∴ ())∵()，且> ，∈∴ () >∴( ) (×) () () > > 资料个人收集整理，勿做商业用途以上是高中阶段求抽象函数地常见题型及相应地思路、解法.希望通过上面地举例,能让同学们理解掌握这类问题地常用求法,并能达到举一反三,触类旁通地效果.资料个人收集整理，勿做商业用途。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。
因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。
下面谈谈这类问题常见的几种解法：
一、赋值法
先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。
这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。
例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。
分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。
解：令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，
∴ f(1) = 1
f(2)= f(1) +2
f(3) = f(2) +3
…
f(n) = f(n－1) +n
各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n =
∴ f(x) =
例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x∈R,
y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。
分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。
证明：令x = y = 0
∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0)
∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1
令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y)
∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R,
∴ f(x)是偶函数
例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0
恒有f(xy) = f(x) + f(y)
求证：当x > 0时, f( ) = －f(x)
分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。
证明：令x = y = 1，则f(1) = f(1) + f(1)，∴ f(1) = 0
又令y = ，x > 0，则 f(1) = f(x) + f( )
∴ f(x) + f( ) = 0
即f( ) = －f(x)
二定义法
在熟练掌握函数的定义、性质的基础上，对题中抽象函数给出的条件进行分析研究，运用定义、性质进行化简、变形，寻找解决问题的方法。
例4函数f(2x)的定义域是[－1,1],则f(x)定义域为
x)定义域为___________
f(log
2
分析:认真理解复合函数定义域的定义,区分好题中三个定义域所指的变量x。
解：∵－1≤x≤1
∴≤2x≤2 ∴ f(x)定义域为[, 2]
x≤2 ∴≤x≤4
∴≤log
2
∴ f(log
x)定义域为[,4]
2
例5 已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间[0,1]上是增函数，则
f(－6.5)、f(－1)、f(0)的大小关系为_________________
分析:利用周期性,把各个变量表示在同一区间内,再结合其单调性,求出相应的函数值,比较大小。
解：∵f(x)是周期为2的偶函数
∴ f(－6.5) = f(－6.5+ 3×2)= f(－0.5) = f(0.5)
f(－1) = f(1)
又∵f(x)在[0,1]上是增函数，∴f(0)< f(0.5)< f(1)
故f(0)< f(－6.5)< f(－1)
例6 定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,若f(x)=lg(10x+1),x∈R则g(x) =_____h(x) = ______ 分析:由题中条件,结合函数的奇偶性,求出f(x)及f(－x)的解析式,再求出g(x)和h(x)。
解：依题意有g(x) + h(x) = f(x) = lg(10x+1) (1) 又∵g(x)是奇函数，h(x)是偶函数
∴ g(－x) + h(－x) = f(－x)
即－g(x) + h(x) = f(－x) = －lg(10x+1) (2)
由(1)、(2)得 g(x) = , h(x) = lg(10x+1)－
三、穿脱法
解决这类抽象函数，通常是根据函数变量相等、函数值相等或单调性、奇偶性、周期性等性质，对函数进行“穿脱”，从而达到相应的目的.常见的方法是变量代换。
例7已知f(x)是奇函数，当x > 0时，f(x) = x(1+x ) , 求当x< 0 时，f (x)的解析式。
分析: 利用变量间的代换,把x<0表示成－x>0,先求出相应f(－x),再结合函数的奇偶性,求出f(x)。
解：令x < 0，即－x > 0
∴ f(－x) = (－x)(1－x)
又∵f(x)是奇函数
∴－f(x) = －x(1－x)
∴ f(x) = x(1－x)
例8 已知f(x)是周期为2的函数，且在区间[－1,1 ]上表达式为
f(x)=－x＋1则在[2k+1 ,2k+3 ], k∈Z上的表达式为_________ 分析:利用周期性把要求区间转化为已知的区间,结合条件求出表达式。
解：设t∈[－1,1 ]，则2k+2+t∈[2k+1 ,2k+3 ],
令T = 2k+2+t，则t = T－2k－2
又∵f(x)是周期为2的函数
∴f(2k+x) = f(x)
∴f(T) = f(2k+2+t) = f(t) = －t+1= －(T－2k－2)+1=－T+2k+3
∴f(x) = －x+2k+3 ,x∈[2k+1 ,2k+3 ]
四、图象法
即借助图形或图像的直观性，数形结合来得到问题的答案此类方法很常见也很有效,它避开了一些烦杂的计算,必须认真地体会.
例9 若奇函数f(x)在区间[3,7 ]上是增函数，且最小值为5，最大值为7，试判断在[－7,－3]上的单调性及最值情况
分析:利用题中条件,结合奇函数图象关于原点对称,可求出f(x)在相应区间的情况.
解：根据奇函数的图象关于原点对称的性质
不妨作图如下：由图可知
f(x)在[－7,－3]上是增函数
最小值为－7，最大值为－5
例10已知y = f(x)是
最小正周期为2的偶函数，它在区间[0 ,1 ]上的图象,如图所示线段AB，则在区间[1,2]上，f(x)的解析式是____________
分析:利用函数为偶函数,可画出[－1,0]的函数图象,再利用周期性可得到[1,2]的图象,最后根据图象的情况求出解析式。
解：∵f(x)是偶函数，周期为2，故可知f(x)在[1,2]的图象为线段BC，其中B（1,1）,C(2,2)
故在[1,2]上f(x)的解析式为y = x
例11已知f(x)是R上的奇函数，当x< 0时，f(x)为减函数，
且f(2)=0，则f(x)>0的解为______________
分析:利用函数的奇偶性及在x<0的函数图象,可知函数在x>0的图象情况,故可解出在x∈R,f(x)>0的解。
解：∵f(x)在R上是奇函数且 f(x)在x<0为减函数
∴f(0) = 0 且 f(x)在x>0为减函数
又∵f(2) = 0，∴f(－2) = 0,
可知f(x)在R上的图象大致如右图：
故f(x)> 0的解为x<－2或0<x<2
五、其他
有少部分抽象函数的问题，它们必须灵活运用题中的条件，在特定的环境下，运用学过的知识和性质来寻找问题的解决。
例12若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A(0,3)和
B(3,－1)，则不等式|f(x+1)－1| < 2的解为___________
分析:由A(0,3),B(3,－1)可知f(0)=3,f(3)=－1再结合f(x)在R上是减函数,可求得不等式的解。
解：∵|f(x+1)－1| < 2
∴－1< f(x+1)<3
又∵ f(3) = －1 ,f(0 ) = 3
∴ f(3) < f(x+1)< f(0 )
又∵ f(x)是R上的减函数
∴ 0<x+1<3 ∴－1<x<2
例13 设f(x)函数是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的a,b∈R，都有f(ab) = af(b) + bf(a)，
1) 求f(0)、f(1)的值
2) 若T
n = f(2n)，且T
n
> 0，求证T
n+1
>T
n
(n∈N)
分析:通过赋值可解1),再结合题中条件利用放缩法可求得2) 解：1)∵f(ab) = af(b) + bf(a)
令a = b = 0, 则 f(0) = 0 f(0) + 0f(0)
∴ f(0) = 0
令 a = b = 1 , ∴ f(1) = 0
2)∵T
n = f(2n)，且T
n
> 0，n∈N
∴ f(2) > 0
∴ T
n+1 = f(2 n+1) = f(2×2n) = 2f(2n) + 2 n f(2) > 2T
n
>T
n
以上是高中阶段求抽象函数的常见题型及相应的思路、解法。
希望通过上面的举例,能让同学们理解掌握这类问题的常用求法,并能达到举一反三,触类旁通的效果。