抽象函数是指函数的三种表示法(经典)

抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。下面谈谈这类问题常见的几种解法：

一、赋值法

先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。

例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。

分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。

解：令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，

∴ f(1) = 1

f(2)= f(1) +2

f(3) = f(2) +3

…

f(n) = f(n－1) +n

各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n =

∴ f(x) =

例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x∈R,

y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。

分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。

证明：令x = y = 0

∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0)

∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1

令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y)

∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R,

∴ f(x)是偶函数

例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0

恒有f(xy) = f(x) + f(y)

求证：当x > 0时, f( ) = －f(x)

分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。

证明：令x = y = 1，则f(1) = f(1) + f(1)，∴ f(1) = 0

又令y = ，x > 0，则 f(1) = f(x) + f( )

∴ f(x) + f( ) = 0

即f( ) = －f(x)

二定义法

在熟练掌握函数的定义、性质的基础上，对题中抽象函数给出的条件进行分析研究，运用定义、性质进行化简、变形，寻找解决问题的方法。

例4函数f(2x)的定义域是[－1,1],则f(x)定义域为

x)定义域为___________

f(log

2

分析:认真理解复合函数定义域的定义,区分好题中三个定义域所指的变量x。

解：∵－1≤x≤1

∴≤2x≤2 ∴ f(x)定义域为[, 2]

x≤2 ∴≤x≤4

∴≤log

2

∴ f(log

x)定义域为[,4]

2

例5 已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间[0,1]上是增函数，则

f(－6.5)、f(－1)、f(0)的大小关系为_________________

分析:利用周期性,把各个变量表示在同一区间内,再结合其单调性,求出相应的函数值,比较大小。

解：∵f(x)是周期为2的偶函数

∴ f(－6.5) = f(－6.5+ 3×2)= f(－0.5) = f(0.5)

f(－1) = f(1)

又∵f(x)在[0,1]上是增函数，∴f(0)< f(0.5)< f(1)

故f(0)< f(－6.5)< f(－1)

例6 定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,若f(x)=lg(10x+1),x∈R则g(x) =_____h(x) = ______ 分析:由题中条件,结合函数的奇偶性,求出f(x)及f(－x)的解析式,再求出g(x)和h(x)。

解：依题意有g(x) + h(x) = f(x) = lg(10x+1) (1) 又∵g(x)是奇函数，h(x)是偶函数

∴ g(－x) + h(－x) = f(－x)

即－g(x) + h(x) = f(－x) = －lg(10x+1) (2)

由(1)、(2)得 g(x) = , h(x) = lg(10x+1)－

三、穿脱法

解决这类抽象函数，通常是根据函数变量相等、函数值相等或单调性、奇偶性、周期性等性质，对函数进行“穿脱”，从而达到相应的目的.常见的方法是变量代换。

例7已知f(x)是奇函数，当x > 0时，f(x) = x(1+x ) , 求当x< 0 时，f (x)的解析式。

分析: 利用变量间的代换,把x<0表示成－x>0,先求出相应f(－x),再结合函数的奇偶性,求出f(x)。

解：令x < 0，即－x > 0

∴ f(－x) = (－x)(1－x)

又∵f(x)是奇函数

∴－f(x) = －x(1－x)

∴ f(x) = x(1－x)

例8 已知f(x)是周期为2的函数，且在区间[－1,1 ]上表达式为

f(x)=－x＋1则在[2k+1 ,2k+3 ], k∈Z上的表达式为_________ 分析:利用周期性把要求区间转化为已知的区间,结合条件求出表达式。

解：设t∈[－1,1 ]，则2k+2+t∈[2k+1 ,2k+3 ],

令T = 2k+2+t，则t = T－2k－2

又∵f(x)是周期为2的函数