最新史上最难的全国高考理科数学试卷

创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题

（这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y

2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0.

3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8

1

2---n n 的值 （ B ）

（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数

4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x

（C ）]1,0[∈x （D ）]2

,0[π∈x

5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2

θ

（ B ）

（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角

二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分

1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积

答：.84π

π或

2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.

3．求方程2

1

)cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π

-=⋃∈π+π= 4．求3)2|

|1

|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1

321lim +-∞→n n

n 的值

答：0

6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）

答：!647⋅P

三．（本题满分12分）本题只要求画出图形

1．设⎩⎨⎧>≤=,

0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象

2．画出极坐标方程)0(0)4

)(2(>ρ=π

-θ-ρ的曲线

解（1） （2）

编者说明

1984年的第三大题，是1983年第二大题的发展。虽然仍为作图题，但比

1983年的考题难得多。1983年的题设式子是简单式子，看式便可作图；而1984年的题设式子是“复杂式子”，

解：

四．（本题满分12分）

已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行

证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α

.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c

从而c 与b 或交于一点或互相平行

1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由

a P P

b b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,，∴所以a ，b ，

c 交于一点（即P 点）

2.若c ∥b ，则由a c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ，b ，c 互相平行

1. 2.

五．（本题满分14分）

设c ，d ，x 为实数，c ≠0，x 讨论方程1log

)

(-=+x x

d

cx 在什么情况下有解有解时求出它的解

解：原方程有解的充要条件是：

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4)

((3)

,0(2) ,0(1)

,01

x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得 .12c

d

x -=

又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+x

d

cx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中

再由条件（3）及1)(=+x

d

cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

-=≠>(6) .1x (5)

1,x (1)

,02c d x 由条件（1）（6）知.01>-c

d

这个不等式仅在以下两种情形下成立：

①c ＞0，1-d ＞0，即c ＞0，d ＜1；②c ＜0，1-d ＜0，即c ＜0，d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1

从而，当c ＞0，d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0，d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，

它的解是x =

1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1，z 2.再设z 1，z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）

2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为2

1

的椭圆的左顶点的轨迹方程9分）

解：1.因为p ，q 为实数，0≠p ，z 1，z 2为虚数，所以

0,04)2(22>><--p q q p

由z 1，z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，

可知原点为椭圆短轴的一端点

根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b =|z 1+z 2|=2|p |，

焦距离=2c =|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+， 长轴长=2a =.2222q c b =+

2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴

设椭圆左顶点为A （x ，y ），因为椭圆的离心率为

2

1， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的2

1

，

从而左焦点F 的坐标为,2

3(y x

设d 为点M 到y 轴的距离，则d =1

根据2

1||=d MF 及两点间距离公式，可得 1

)2(43

2(9,)2

1

()2()123(

22222=-+-=-+-y x y x 即

这就是所求的轨迹方程