黑龙江省佳木斯一中2021届高三第六次调研考试数学试卷(理科)及答案
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A．1B．2C．3D．4
5．流行病学基本参数：基本再生数 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型： （其中 是开始确诊病例数）描述累计感染病例 随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与 ，T满足 ，有学者估计出 ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当 时，t的值为（ ）（）
（1）估计该景区每天游客数的中位数和平均数；
（2）为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了5天，统计出这5天的游客数（千人）分别为0.8、3.7、5.1、5.6、6.8，已知这5天的最高气温（℃）依次为8、18、22、24、28.
（ⅰ）根据以上数据，求游客数y关于当天最高气温x的线性回归方程（系数保留一位小数）；
（1）求角 的大小；
（2）设数列 满足 ，其前 项和为 ，求 ．
18．如图所示，在直三棱柱 中， 是边长为 的等边三角形， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
19.成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区.某景区为了提升服务品质，对过去100天每天的游客数进行了统计分析，发现这100天每天的游客数都没有超出八千人，统计结果见下面的频率分布直方图：
综上可得，正确说法的个数是3.
本题选择C选项.
15．若 ，则 ______．
16．双曲线 的左､右焦点分别为 ､ ，过 的直线与 的左､右两支分别交于 两点，点 在 轴上， ， 平分 ，则 的离心率为______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 的内角 所对的边分别为 ，若 成等差数列，且 ．
13．已知等差数列 满足 ，则 =______．
14.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.
（ⅱ）根据（ⅰ）中的回归方程，估计该景区这100天中最高气温在20℃～26℃内的天数（保留整数）.
参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是 ；
其中， ， .
本题参考数据： ， .
20．已知椭圆C： 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
A．1.2B．1.7C．2.0D．2.5
6．已知抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）.
A． B． C． D．
7．将函数 的图象沿轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为()
A． B． C． D．
8．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，则每项活动至少一名同学参加的概率为（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．丙和丁D．丁和甲
11．在三棱锥 Байду номын сангаас， ， ，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（）
A． B． C． D．
12．对任意实数 ，恒有 成立，关于 的方程 有两根为 ， ，则下列结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
A． B． C． D．
4．研究变量 得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数 来刻画回归效果， 越小说明拟合效果越好；
③在回归直线方程 中，当解释变量 每增加1个单位时，预报变量 平均增加0.2个单位
④若变量 和 之间的相关系数为 ，则变量 和 之间的负相关很强，以上正确说法的个数是（ ）
A． B． C． D．
9．已知变量 ， 满足 则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．警察抓了4名偷窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，甲乙丙丁四人相互认识，警察将四名嫌疑人分别进行审问.甲说：“是乙和丙其中一个干的.”乙说：“我和甲都没干.”丙说：“我和乙都没干.”丁说：“我没干.”已知四人中有两人说谎，且只有一人偷窃，下列两人不可能同时说谎的是（）
（1）求椭圆的方程.
（2）设 为椭圆上一点，若过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 和 ,且满足 (O为坐标原点)，求实数 的取值范围。
21．已知函数 ， （ ）.
（1）求 的值域；
（2）当 时，函数 有三个不同的零点，求实数 的最小值；
（3）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
22．在极坐标系中，曲线 的方程为 .以极点为原点，以极轴为 轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程为 ， 为参数， .
数学试卷（理科）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设全集 ，集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）
A． B．1C． D．
3．已知 ， ，且 ，则向量 在 方向上的投影为（ ）
（1）求曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）若曲线 与 轴相交于点 ，与曲线 相交于 两点，求 的值.
参考答案
1．A
2．A
3．D
【解析】
【分析】
根据数量积的运算可求 ，再根据定义即可求解
【详解】
解：由 得， ，
，
向量 在 方向上的投影为 ，故选 .
4．C
【分析】
由题意逐一考查所给命题的真假即可.
【详解】
由题意可知：研究变量 ， 得到一组样本数据，进行回归分析时：
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数 来刻画回归效果， 越大说明拟合效果越好，故②错；
③在回归直线方程 中,当解释变量 每增加1个单位时,预报变量 平均增加0.2个单位
④相关系数为正值，则两变量之间正相关，相关系数为负值，则两变量之间负相关，相关系数的绝对值越接近1，则变量之间的相关性越强.若变量 和 之间的相关系数为 ，则变量 和 之间的负相关很强.
5．流行病学基本参数：基本再生数 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型： （其中 是开始确诊病例数）描述累计感染病例 随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与 ，T满足 ，有学者估计出 ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当 时，t的值为（ ）（）
（1）估计该景区每天游客数的中位数和平均数；
（2）为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了5天，统计出这5天的游客数（千人）分别为0.8、3.7、5.1、5.6、6.8，已知这5天的最高气温（℃）依次为8、18、22、24、28.
（ⅰ）根据以上数据，求游客数y关于当天最高气温x的线性回归方程（系数保留一位小数）；
（1）求角 的大小；
（2）设数列 满足 ，其前 项和为 ，求 ．
18．如图所示，在直三棱柱 中， 是边长为 的等边三角形， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
19.成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区.某景区为了提升服务品质，对过去100天每天的游客数进行了统计分析，发现这100天每天的游客数都没有超出八千人，统计结果见下面的频率分布直方图：
综上可得，正确说法的个数是3.
本题选择C选项.
15．若 ，则 ______．
16．双曲线 的左､右焦点分别为 ､ ，过 的直线与 的左､右两支分别交于 两点，点 在 轴上， ， 平分 ，则 的离心率为______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 的内角 所对的边分别为 ，若 成等差数列，且 ．
13．已知等差数列 满足 ，则 =______．
14.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.
（ⅱ）根据（ⅰ）中的回归方程，估计该景区这100天中最高气温在20℃～26℃内的天数（保留整数）.
参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是 ；
其中， ， .
本题参考数据： ， .
20．已知椭圆C： 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
A．1.2B．1.7C．2.0D．2.5
6．已知抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）.
A． B． C． D．
7．将函数 的图象沿轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为()
A． B． C． D．
8．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，则每项活动至少一名同学参加的概率为（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．丙和丁D．丁和甲
11．在三棱锥 Байду номын сангаас， ， ，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是（）
A． B． C． D．
12．对任意实数 ，恒有 成立，关于 的方程 有两根为 ， ，则下列结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
A． B． C． D．
4．研究变量 得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数 来刻画回归效果， 越小说明拟合效果越好；
③在回归直线方程 中，当解释变量 每增加1个单位时，预报变量 平均增加0.2个单位
④若变量 和 之间的相关系数为 ，则变量 和 之间的负相关很强，以上正确说法的个数是（ ）
A． B． C． D．
9．已知变量 ， 满足 则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．警察抓了4名偷窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，甲乙丙丁四人相互认识，警察将四名嫌疑人分别进行审问.甲说：“是乙和丙其中一个干的.”乙说：“我和甲都没干.”丙说：“我和乙都没干.”丁说：“我没干.”已知四人中有两人说谎，且只有一人偷窃，下列两人不可能同时说谎的是（）
（1）求椭圆的方程.
（2）设 为椭圆上一点，若过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 和 ,且满足 (O为坐标原点)，求实数 的取值范围。
21．已知函数 ， （ ）.
（1）求 的值域；
（2）当 时，函数 有三个不同的零点，求实数 的最小值；
（3）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
22．在极坐标系中，曲线 的方程为 .以极点为原点，以极轴为 轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程为 ， 为参数， .
数学试卷（理科）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设全集 ，集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）
A． B．1C． D．
3．已知 ， ，且 ，则向量 在 方向上的投影为（ ）
（1）求曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）若曲线 与 轴相交于点 ，与曲线 相交于 两点，求 的值.
参考答案
1．A
2．A
3．D
【解析】
【分析】
根据数量积的运算可求 ，再根据定义即可求解
【详解】
解：由 得， ，
，
向量 在 方向上的投影为 ，故选 .
4．C
【分析】
由题意逐一考查所给命题的真假即可.
【详解】
由题意可知：研究变量 ， 得到一组样本数据，进行回归分析时：
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数 来刻画回归效果， 越大说明拟合效果越好，故②错；
③在回归直线方程 中,当解释变量 每增加1个单位时,预报变量 平均增加0.2个单位
④相关系数为正值，则两变量之间正相关，相关系数为负值，则两变量之间负相关，相关系数的绝对值越接近1，则变量之间的相关性越强.若变量 和 之间的相关系数为 ，则变量 和 之间的负相关很强.