结构力学 虚功原理
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结构力学虚功原理课件
刚体的位移
01
刚体的位移
在结构力学中，刚体的位移是研究结构在受力作用下的变形和运动状态
的基本概念。刚体的位移涉及到结构的位移、转角、挠度等参数，这些
参数可以通过测量或计算得到。
02
位移的测量
位移的测量是确定结构在受力作用下的变形程度和运动状态的重要手段。
通过测量位移可以了解结构的响应和行为，从而评估结构的性能和安全
能量原理与虚功原理的关系
能量原理与虚功原理 的联系
能量原理和虚功原理都是弹性力学中 的基本原理，它们之间存在密切的联 系。能量原理指出，对于一个处于平 衡状态的弹性体，其总能量（包括外 力势能和内能）在任何微小虚位移下 的改变量等于零。而虚功原理则是能 量原理的一种特殊情况，即当外力势 能忽略不计时，能量原理就变为虚功 原理。
03
虚功原理的推导
力的平衡方程
力的平衡方程是结构力学中的 基本方程，它描述了结构中力 的平衡条件。在平衡状态下， 作用在结构上的所有外力之和 为零。
力的平衡方程可以表示为：∑F = 0，其中∑F表示作用在结构上 的所有外力矢量和。
力的平衡方程是求解静力学问 题的基础，通过它我们可以求 解出结构的位移、应变和应力 等参数。
实例分析
以梁为例，通过应用虚功原理，可以分析梁在不同载荷下的变形和应力分布，从而优化梁的截面尺寸和 形状，提高其承载能力和刚度。
06
总结与展望
虚功原理的重要性和意义
结构力学中的虚功原理是分析结构稳定性和变形的关键理论之一，对于工程设计和建筑安全具有重要 意义。
虚功原理能够为结构设计和优化提供理论基础，帮助工程师更好地理解和控制结构的力学行为，提高结 构的稳定性和安全性。
变形方程，进而求解物体的内力和变形。
结构力学虚功原理
W V
R c lF N d u lF Q d v lM d
lF N d u lF Q d v lM d R c
整理ppt
26
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
式 中 M 、 F N P 、 F Q P 代 表 结 构 实 际 状 态 的 内 力
§9-4 荷载作用下的位移计算
说明：
1.逐段、逐杆积分。
2.精确于直杆、曲杆不精确。如其曲率不大（截 面高≤R），可得较精确的解。 3.对以受弯为主的结构（梁、刚架）：
MMPdx EI
对只有轴力的结构（桁架）：
FNFNPdxFNFNPl
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶Leabharlann PWPM WM
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
M
M
P A
A
B
W M A M B M (A B ) M 整理ppt
注意： P1 （1）属同一体系；
（11122 ）均应力为状满可态足能应变状满形态足协。调平即条衡位件条移；件。
P1 （3）位移状态与力状态完全无关；
力状态 （虚力状态）
P2
位移状态 （虚位移状态）
12
整理ppt
14
§9.2 虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 (Generalized displacement)
R c lF N d u lF Q d v lM d
lF N d u lF Q d v lM d R c
整理ppt
26
§9-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。
式 中 M 、 F N P 、 F Q P 代 表 结 构 实 际 状 态 的 内 力
§9-4 荷载作用下的位移计算
说明：
1.逐段、逐杆积分。
2.精确于直杆、曲杆不精确。如其曲率不大（截 面高≤R），可得较精确的解。 3.对以受弯为主的结构（梁、刚架）：
MMPdx EI
对只有轴力的结构（桁架）：
FNFNPdxFNFNPl
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶Leabharlann PWPM WM
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
M
M
P A
A
B
W M A M B M (A B ) M 整理ppt
注意： P1 （1）属同一体系；
（11122 ）均应力为状满可态足能应变状满形态足协。调平即条衡位件条移；件。
P1 （3）位移状态与力状态完全无关；
力状态 （虚力状态）
P2
位移状态 （虚位移状态）
12
整理ppt
14
§9.2 虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 (Generalized displacement)
结构力学之虚功原理
虚力原理
FB ac C c FP l
变形体虚力方程
虚设平衡力系
F F C
* p
* RK K
M F F ds
* * N * Q O
实际协调变形
变形体虚位移方程
虚设变形状态
F
p
*
F
* K K
C
M
*
FN FQ O ds
① 虚位移原理：虚设位移，求未知力。 ② 虚力原理:虚设力系，求位移。
3.虚功原理的两种应用
1.虚设位移状态——求未知力 拟求支座A处的支反力 FP
FP
A
FA
B
A
FA
B FBx a b
FBy
△A
△P
B
A l
W FA A FP P 0
P FA FP A
b FA FP l
A 1
P
b l
B
P b A l
A
FA FP P
虚位移原理
3.虚功原理的两种应用
2.虚设力状态——求未知位移 拟求C点的竖向位移 FP=1
A C a l
C
c B b
FAx 0 A
C
FAy b l FB a l
B
FP C FB c 0
其约束力在可能位移上所作的 功恒等于零的那种约束
变形体的虚功原理
• 表述如下：设变形体在力系作用下处于平 衡状态，又设变形体由于其他原因产生符 合约束条件的微小连续变形，则外力在位 移上所作外虚功W恒等于各个微段的应力合 力在变形上所作的内虚功Wi。
W= Wi
虚功原理的两种应用
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理结构力学虚功原理是结构力学中的一个重要概念，它是通过能量方法来分析结构的力学性能和变形规律的一种理论工具。
虚功原理的提出，为结构力学的研究和工程实践提供了一种简洁而有效的分析方法，对于工程结构的设计和优化具有重要意义。
首先，我们来看一下虚功原理的基本假设。
虚功原理假设结构在受力作用下，其位移满足虚位移的要求。
所谓虚位移，是指在结构受力作用下，结构的位移不仅满足实际受力平衡条件，还需满足虚位移的平衡条件。
这个假设为后续的分析提供了基础，也是虚功原理得以应用的前提。
虚功原理的核心思想是能量守恒。
在结构受力作用下，结构内部会产生应变能和变形能，而外部施加的力会做功。
根据能量守恒的原理，结构受力平衡时，内部的能量增加等于外部做功，这就是虚功原理的基本表达式。
通过对这个表达式的分析，可以得到结构的受力方程和变形规律，为结构设计和分析提供了重要的依据。
虚功原理的应用非常广泛，它可以用于分析各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
在工程实践中，虚功原理常常被用于分析复杂结构的受力性能，比如钢结构、混凝土结构等。
通过虚功原理的分析，可以得到结构的内力分布、变形情况，为结构的设计和施工提供了重要的参考依据。
除此之外，虚功原理还可以用于结构的优化设计。
通过对结构受力性能的分析，可以找到结构的薄弱环节，进而对结构进行合理的优化设计，提高结构的受力性能和使用效率。
这对于工程结构的安全性和经济性都具有重要意义。
总的来说，结构力学虚功原理是结构力学中的重要理论工具，它通过能量方法来分析结构的受力性能和变形规律，为工程结构的设计、分析和优化提供了重要的理论依据。
在工程实践中，虚功原理的应用具有重要的意义，可以帮助工程师更好地理解和分析结构的受力性能，为工程结构的设计和施工提供重要的参考依据。
通过对虚功原理的深入研究和应用，可以推动结构力学理论的发展，为工程结构的安全性和经济性提供更好的保障。
结构力学-虚功原理
R
G
H
20kN
FQC
1
R
1 FQC .1 + −10 × = 0 2 10kN
FQC
20kN
L FQF
R
FQF
10kN
L
运动前后两杆平行
1 1 FQF .1 + 10 × = 0 2 professor Pan. All rights reserved. 广西工学院《结构力学》 课件. 广西工学院《结构力学》 课件 Copyright (c) 2012 by
M
FQC
1 a+b
机构如何 运动？
1
b a+b
a a+b
虚位移放大说明
1 a+b
1
b a+b
a a+b
运动前后，截面左右杆段无相对转动——需平行
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M 例2 求C截 面弯矩 和剪力 A a M M FQC C b
b a+b
B
1 a+b
1
a a+b
1 1 FQC .1 + M . = 0 ⇒ FQC = − M a+b a+b
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G
H
20kN
FQC
1
R
1 FQC .1 + −10 × = 0 2 10kN
FQC
20kN
L FQF
R
FQF
10kN
L
运动前后两杆平行
1 1 FQF .1 + 10 × = 0 2 professor Pan. All rights reserved. 广西工学院《结构力学》 课件. 广西工学院《结构力学》 课件 Copyright (c) 2012 by
M
FQC
1 a+b
机构如何 运动？
1
b a+b
a a+b
虚位移放大说明
1 a+b
1
b a+b
a a+b
运动前后，截面左右杆段无相对转动——需平行
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M 例2 求C截 面弯矩 和剪力 A a M M FQC C b
b a+b
B
1 a+b
1
a a+b
1 1 FQC .1 + M . = 0 ⇒ FQC = − M a+b a+b
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结构力学 虚功原理.
第七章 静定结构位移计算 ·虚功原理
一、虚功原理 1．虚功的概念 P
1
△11
P
2
△21
力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P 在△11上作功。 力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 P 在 △21上作功。
2．虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转 换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。 （外力实功）W＝（内力实功）U，称为实功原理。
l/2 l/2 A=2lh/3
【例7－2】计算下列各对弯矩图的图乘结果。
C2
h/2
y1
l/2
h
yC
l/2
C
y2
l/2
l/2
h
（a）
1 l h 1 l h h lh 2 （ a） h 2 2 2 2 2 2 3 12
（b）
1 3h 3 2 lh （b） lh 2 2 4
h
2h
C1
h/2
3．虚拟力状态 求△Cx
B
求△Cy
P 1
C B C B
求θ
C
P
D
C
B
m 1
C
q
A
P 1
A A
A
求△DE
P 1
B D C
求θ
m 1
B
BC
求θ
m 1
B C
B
求△Ex
C
B C
m 1
P 1A
E
P 1 E
A A
A
4．解题步骤： ⑴ 画荷载下的弯矩MP图； ⑵ 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画M 图； ⑶ 由图乘
一、虚功原理 1．虚功的概念 P
1
△11
P
2
△21
力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P 在△11上作功。 力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 P 在 △21上作功。
2．虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转 换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。 （外力实功）W＝（内力实功）U，称为实功原理。
l/2 l/2 A=2lh/3
【例7－2】计算下列各对弯矩图的图乘结果。
C2
h/2
y1
l/2
h
yC
l/2
C
y2
l/2
l/2
h
（a）
1 l h 1 l h h lh 2 （ a） h 2 2 2 2 2 2 3 12
（b）
1 3h 3 2 lh （b） lh 2 2 4
h
2h
C1
h/2
3．虚拟力状态 求△Cx
B
求△Cy
P 1
C B C B
求θ
C
P
D
C
B
m 1
C
q
A
P 1
A A
A
求△DE
P 1
B D C
求θ
m 1
B
BC
求θ
m 1
B C
B
求△Ex
C
B C
m 1
P 1A
E
P 1 E
A A
A
4．解题步骤： ⑴ 画荷载下的弯矩MP图； ⑵ 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画M 图； ⑶ 由图乘
结构力学 刚体体系的虚功原理
1
0.25/a
qa
F
qa2
E
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
a
2a qa2
D
a
C
2a
B
a
A
qa
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MA
0.25 0.25a 0.5a
1
a
虚功方程为: MA×1 +qa×0.25a －qa2×0.25 +q×(a×2a/2 － 0.5a ×a/2 )＝0 MA= － 0.75qa2 (上拉)
是指约束反力在可能位移上所作虚功恒等于零的约束作功的双方平衡力系可能位移彼此独立无关虚功原理的应用1需设位移求未知力虚位移原理2需设力系求位移虚力原理刚体内力在可能的位移上所作虚功恒为零1由虚位移原理建立的虚功方程实质上是平衡方程
§3-8 刚体虚功原理静力分析的方法
基本方法：选分离体，列平衡方程。 虚功法：虚拟位移状态，建立虚功方程。 是指约束反力在可能位移 刚体内力在可能的位 上所作虚功恒等于零的约束 1、虚功原理 移上所作虚功恒为零 作功的双方（平衡力系、 设在具有理想约束的刚体体系上作用任意的平衡力系， 又设 注： 可能位移）彼此独立无关 体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移， 则主动力在位移上 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡 所作的虚功总和恒为零。 方程。如（c）式就是力矩平衡方程∑MC＝0 1）需设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方 虚功原理的应用 2）需设力系求位移（虚力原理） 便，可以随意虚设，如设δX=1。 1）需设位移求未知力（虚位移原理） 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解 求杠杆在图示位置平衡时X的值。 X P 静力平衡问题。 X ΔX －P ΔP=0 A C B Db P b ΔX （X－ D P）=0=0（c） X = P a b a X a δX =1，δP=b/a
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理是指在静力学分析中，结构平衡的条件可以通过能量守恒原理来表示。
根据虚功原理，结构在任何形变状态下，受力系统所作的虚功等于外界对结构所做的虚功。
虚功是指由于结构内部力引起的位移所做的功。
根据虚功原理，结构的平衡可以通过计算结构内部力引起的位移所做的功来判断。
具体而言，可以通过计算结构每个构件上的受力与位移的乘积，然后将它们求和，得到结构内部力所作的总虚功。
如果结构处于平衡状态，则结构受力与位移之积的总和为零。
虚功原理的应用非常广泛。
它可以用于计算结构的位移、应力、应变等重要参数。
例如，在弹性力学中，可以利用虚功原理求解结构的位移和应力分布。
在塑性力学中，虚功原理可以用来分析结构在超过弹性极限后的变形情况。
此外，虚功原理还可以用于分析非线性和非弹性结构的行为。
通过应用虚功原理，可以对结构进行静态分析和设计。
静态分析可以确定结构在受力条件下的平衡状态，进而计算各个构件的受力和位移。
静态设计可以根据结构的受力和位移要求，确定结构的尺寸和材料，以满足结构的强度和刚度要求。
总之，结构力学虚功原理为结构分析和设计提供了重要的理论基础。
通过虚功原理，可以建立结构平衡的数学模型，计算结构的位移、应力和应变等关键参数，为工程实践提供了可靠的理论支持和设计方法。
结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-1
c1
△B
FP=1
△B=FP· c1=b/a · c1
注：
FR1= - b/a
1、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若 设FP=1，称为虚单位荷载法。 2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静 力平衡求解几何问题。 3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位 荷载，利用力系平衡求出与c1相应的反力,即利用平 衡方程求解几何问题。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
1、推导位移计算一般公式的基本思路
第一步：由刚体体系的虚位移原理（理论力学）得 出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座 移动而引起的位移计算问题。 第二步：讨论静定结构由于局部变形引起的位移。 由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。 第三步：讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应 用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式，再应用叠 加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。
（4）体系（结构）的物理特性
• •
• • • •
线性变形体系（线弹性体）：
*应力、应变满足虎克定律； *变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用 位置不变，位移计算可用叠加 原理； *体系几何不变，约束为理想约束。
• •
•
非线性体系：
*物理非线性； *几何非线性（大变形）。
（5）变形体位移计算方法及应满足的条件 • 方法： • 用虚功原理推导出位移计算公式。 • 计算时应满足的条件： • 静力平衡； • 变形协调条件； • 物理条件。
1 F RK cK 0
（c）由虚功方程，解出所求位移：
(5-3) (6 - 3)
F RK cK
(5-4) (6 - 4)
结构位移和刚度—虚功原理(建筑力学)
虚功原理
三、弹性体系的互等定理
A
F111 F221 B
a)
12 22
3.反力互等定理 式d表明：支座1发生单位位移所引起的支
座2的反力等于支座2发生单位位移所引起
A
F1=1 F2=211 B
R21=R12 （d） 的支座1的反力。
b)
12
互等定理将在位移法计算超静定结构中得到应用 。
状态下的内力在位移状态下相应变形上所作的内力虚功W12。
W12= W12
（12-1）
虚功原理
必须指出：
力状态和位移状态是同一体系中两种彼此无关的状态，因此，不仅可以把位移状态看作是虚 设的，也可以把力状态看作是虚设的，它们有各自不同的应用 。
A
a)
F111 F2 12
BA
Байду номын сангаасb)
F111
力状态 第一状态
BA
c)
F2
B
12
位移状态 第二状态
a.若取第一状态为实际状态，第二状态为虚拟状态，也就是虚功中力状态是实际的，位移状态是 虚拟的，这时，虚功原理也称为虚位移原理，用此可求解力状态中的未知力。
b.反之，若取第一状态为虚拟状态，第二状态为实际状态，也就是虚功中的力状态是虚拟的，位 移状态是实际的，这时，虚功原理也称为虚力原理，可求解出位移状态中的未知位移。
产生位移的原因:
除荷载作用外，外界温度改变、结构或构件制造误差、建筑物基础 的沉陷、支座移动等。
虚功原理
计算位移的目的
1、校核结构的刚度，保证结构产生的位移不会超过允许的限值。 2、在结构的制作、施工、维护过程中，需要预先知道结构的变 形情况，以便采取相应的施工、维护措施，以保证正常使用。 3、为超静定结构内力计算打下基础。
结构力学第4章-虚功原理和结构的位移计算
dv
ds
θ
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
微段刚体位移
一个微杆段的位移可分解为刚体位移和变形体位移之和 （1）刚体位移（不计微段的变形）：u、v、θ （2）变形位移（反映微段的变形）：du、dv、dθ 。这是 描述微段总变形的三个基本参数。
ds
dv= g0 ds
变
变
N
Q
W变实际上是所有微段上内力在变形虚位移上所做虚功的总和， 称为变形虚功（数量上等于虚变形能）。
（2） 外力虚功W外
对于平面杆系而言，因为单个外力虚功按式W=FPΔ计算， 故所有外力（包括荷载和支座反力）在虚位移上所做虚功 的总和为:
W外=SFP
（ e）
将有关W外和W 的计算式（e）和（d）代入式（c），则 平面杆件结构的虚功方程可表示为 :
C1
C2
ds
D1
将微段ds上的作用力区分为 外力与内力，微段总的虚功：
D2
dW总= dW外+dW内
整个结构的总虚功为：
dW总 dW外 dW内
du ds
g0 g0
dθ
dv
ds
ds
W总=W外+W内 或简写为：
q
BM
FN FN MB
q
C M+dM
M+dM C
q
ds A FQ
或者简单地说，外力虚功等于变形虚功（数量上等于虚 变形能）。
W外 W变
2、关于原理的证明
FP
M
F
q
E F E’ F’
ds
FR1
E
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算
结构位移计算的一般公式
叠加法：总位移Δ是微元段变形引起的微小位移dΔ之叠加； Δ = ∫dΔ = ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
多个杆件：每根杆件产生的位移效应的叠加 Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds 变形+支座位移：叠加法 支座位移产生的位移Δ=- ∑FRK· cK
另一种形式： 1 ·Δ+ ∑FRK· cK = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds =
=
外力虚功
W
=
Wi
内力虚功
变形体的虚力方程
Page 23
14:33
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
l
Page 19
d θ
M M
ds
14:33
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
局部变形时的位移计算公式
微元段的局部变形
1 相对轴向位移 dλ = εds
ds变形
相对轴向位移 dη = γ0ds
相对转角 dθ = ds/R = κds
⑴ 这些相对位移dλ、 dη和dθ 分别对应的广义力是B点的轴力FN， 剪力FQ ，及弯矩M； 这些微小变形在A端产生的位移dΔ如何求？ 单位荷载法！ ⑵ 设单位位移在B点产生的的轴力，剪力及弯矩分别为 FN ， FQ 和M，利用虚力原理，有
Page
2
LOGO
应用虚力原理求刚体体系的位移
结构位移计算概述
位移：结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置 移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移； 思考：变形和位移的差别？ 变形：结构在外部因素作用下发生的形状变化；
《结构力学》第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
1 2
ql 2 2
l
2 3
l
1 3
ql 2 2
l
3 4
l
7ql4 24EI
6-2 变形体虚功原理的应用
MP图按叠加法分解
ql2 ql2
MP图
+ ql2/8
l M图
1
BV
1 EI
l
FPl 2 2EI
MP、M图均为直线，纵坐标可从任意图形中选。
6-2 变形体虚功原理的应用
已知：EI=常数。求B点的转角。
a
4EI
EI EI
A
B FP
a
FPa MP图
1
1
M图
解
B
1 4EI
FPa a
1 2
1 EI
1 2
FPa
a
AB :
MP
qa2 2
M1 x1
M 2 1
BC :
MP
qx22 2
M1 0
M 2 1
6-2 变形体虚功原理的应用
AB :
MP
qa2 2
BC :
MP
qx22 2
M1 x1 M 2 1 M1 0 M 2 1
CH
1 EI
AB
M P M1
d
x1
将含有“dx”的项合并，得
B
A [ud FN (w1 w2 )d FQ d M ] [ pu q(w1 w2 ) FQ ]d x 0 (c)
结构力学(虚功原理和结构位移计算)
、、 0、ck •----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上 的分位移
KP
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。 (2)利用虚功原理， 结构有变形又要有力系。
求结构变形，须有平衡力系 虚功原理中， 作功力系与位移可以彼此无关，
三、几种类型的虚拟状态 求线位移： 沿拟求位移方向上施加相应的单位力。
求转角、相对转角： 沿拟求位移方向上施加相应的单位力矩。
1) 若求结构上C点的竖向位移，可在该点沿所求位移方
向加一单位力，如图示
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力偶。
若求桁架中AB杆的角位移，应加 一单位力偶，构成这一力偶的两个 集中力的值取 1/d。作用于杆端 且垂直于杆(d 为杆长)。
B
Δij－－由于作用于j点确定方向的力Pj所引起的i点在某 确定方向的位移
柔度δ(Flexibility )－－单位力所引起的位移
A
i
δij
j Pj=1 δjj
B
δjj －－直接柔度 δij －－间接柔度
δjj >0 δij >0 <0 =0
5、计算位移的有关假定
1)、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。 2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。 3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。 P A
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线的相对位移，可在
该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。
4) 若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个
《结构力学虚功原理》课件
结构力学基础知识回顾
基本原理和概念
力学平衡 结构受力 静力学基础
结构材料性质
弹性模量 屈服强度 材料特性影响
重要概念
受力分析方法 结构行为预测 应力分布
应用案例
桥梁设计 建筑结构分析 机械系统
课程教学大纲
本课程将深入探讨结构力学虚功原理的相关概念和应用，通 过理论与实践相结合的教学方式，学生将学习如何应用虚功 原理分析结构系统的受力和稳定性，了解结构材料对结构行 为的影响，并掌握关键应用技能。每个章节都将侧重于实际 案例和工程应用，帮助学生更好地理解虚功原理在工程实践 中的价值。
01 体会和感悟
学生分享在学习虚功原理课程中的感悟和体会，探 讨学习过程中的成长和反思。
02 启示和帮助
虚功原理理论对实际工程实践的启示和帮助，激发 学生对工程领域的热情和探索欲望。
03 提升自己
鼓励学生在未来的学习和工作中持续努力，不断提 升自己的专业能力和素养。
未来发展趋势
发展趋势
展望结构力学虚功原理在未来 的发展趋势和应用前景，探讨 虚功原理理论的创新方向。
创新和应用
虚功原理在工程领域的不断创 新和应用，为工程领域的发展 提供新思路和方法。
实践探索
鼓励学生在未来的研究和实践 中积极探索虚功原理的新应用 领域，为工程领域的创新贡献 力量。
致谢
在此感谢所有支持和帮助过本课程的人，特别感激学生们的努力 和付出。继续学习，不断探索，为工程领域的发展贡献力量。
● 03
第3章 虚功原理理论基础
虚功原理概念
虚功原理是结构力学中重要的理论基础，通过对结构内部受力和 变形的分析，可以利用虚功原理推导出结构的稳定性和安全性。 学生需要深入理解虚功原理的概念，并认识到其在工程实践中的 重要性和应用价值。
结构力学中虚功原理的本质理解！
结构力学中虚功原理的本质理解！
作者：朱红奎
结构设计工作的核心任务是对建筑结构体系的正确分析，分析需依托结构力学
要想将结构力学学好，重中之重就是掌握虚功原理，而对于虚功原理许多人都存在一定的疑问，书本上对于此定理的解释比较复杂，造成很多人还是没有真正的理解。
我今天将用简单的推理过程，给书本上的虚功原理做补充，
书本的释义解释为F和没有相互关联，两者相乘即为虚功，只是引出了概念而已，没有更深层次的探讨此公式的意义和内在关联。
先探讨为什么？，两者F和还没有关系？
下面是推导过程，当物体发生转动形变时，用铰接点代替，各形变值存在以下关系：
和，这两个形变是关联的，并且满足，而构件上的力F和M是相互关联的，并且满足M=F*L，所以化简后的公式中，F
和相乘，但是两者却并没有关系，这就是虚功的由来
接着探讨
最后为
会发现虚功原理的公式都是根据上面的公式一一推导变形得到的,
，而，其中，，
，此处的均为实际受力后产生的内力值。
虚功原理的理解
材料力学虚功原理的理解：
整个体系运用虚位移原理：
::e i e i W W W W +=外力对体系虚位移所作的虚功内力对体系虚位移所作的虚功
e W 即为虚功原理方程左边式
i W 想通过积分获得：
取微段分析，内力转化为所谓的“外力”，对微段运用虚位移原理，微段虚位移可分为刚体虚位移和变形虚位移，“外力”对微段的虚位移所做的虚功仅有对变形虚位移所作的功（另一项可运用刚体的虚位移定理得为0），0e i W W +=，体系整段内力对体系虚位移所作的虚功为~i W blur =-⎰，注意微段对变形虚位移所作的功计算中忽略了高阶微量。
结构力学虚功原理的理解:
思想：虚功的两种不同计算方法，使得等式左右两边相等。
虚功定义：
2W =⨯力（状态一）与力同方向的位移（状态）
计算方法1：
同样取微段分析，通过积分或求和得到最后结果
状态1相邻两微段内力大小相等，方向相反，对应位移相同(位移连续)，做功正好抵消，第二项为0。
计算方法2：
同样取微段分析，通过积分或求和得到最后结果
比较两种不同方法的高阶约去量。
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B
D
求△Dy
C
A
B
D
P 1
求θBC
C P
1
2a
P 1
A
2a B
D
【例7－5】用虚功原理求图示桁架BC杆转角θC ，各杆EA为常数。
PD
E
F
D
E
F1
a
a
AC
B
aa
1
AC
B
a
杆件 DE EF AD AE CE BE BF AC CB
NP -P 0
1
N 0a
杆长 a a
0 2P 0 2P 0 1P 1P
实际位移状态
d
d
NP
NP QP
QP MP
MP
dx d(△l)
dx
dx
内力虚功：U N d ( l) Q d M d
N NPdx EA
Q
kQPdx GA
M
MPd EI
x
由虚功原理 W ＝ U 得位移计算的一般公式
N E N Pd A x kG Q Q Pd A x M E M PIdx
应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算 方便虚拟力取单位1，故这种求位移的方法也称为单位力（荷载） 法。
3．虚功的计算 ⑴外力虚功的计算： W1 ⑵内力虚功的计算：
虚拟力状态
N
NQ
QM
M
dx
dx
dx
实际位移状态
d
d
N
NQ
QM
M
dx d(△l)
dx
dx
虚拟力状态
N
NQ
QM
M
dx
dx
dx
（b） 1lh3h3lh2 22 4
3．虚拟力状态 求△Cx
P
B
CB
D
q
A
A
C
P 1
求△Cy
P 1
B
C
A
求θC
m 1
B
C
A
求△DE
P 1 B
DC E P 1A
求θBC
m 1 m 1
B
C
A
求θB
m 1
B
C
A
求△Ex
B
C
P 1 E
A
4．解题步骤：
⑴ 画荷载下的弯矩MP图；
⑵ 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画M 图；
h ql 2 8
C
l/2 l/2
l/3 2l/3
l/2 l/2
A=lh
A=lh/2
A=2lh/3
h h
【例7－2】计算下列各对弯矩图的图乘结果。
h/2 h
2h
h
h/2
C2 C1
yC
h
y1
y2
l/2 l/2 （a）
l/2 l/2
C
（b）
（a）
1l h 1l hh lh 2 h
222 2223 12
位移△Cy和转角θC 。
q
A
B x2 EI
x1 C A
P 1
B x2
x1 C
l
l
l
l
MP(x1)=0 MP(x1) x1 q
M(x1) x1 M (x1)
MP(x2)
x2
l
MP(x2)=
1 2
qx
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M (x2 ) x2
l
M(x2)x2l
CyE1I
MMPdxE 1I0l1 2q2 2 x(x2l)d2x274
⑶
由图乘
1 A EI
yC 求位移。
【例7－3】应用虚功原理（图乘法）求图示悬臂梁自由端C的竖向
位移△Cy和转角θC 。
q
A
B
C
EI
l
l
A 1 ql 2 2
q B
EI l
1 ql2 8
MP图
2l l
M图
1 M图
C l
Cy E 1(2 Ilq22l5 3 l2 3 lq82l3 2 l)
7 ql 4
（外力实功）W＝（内力实功）U，称为实功原理。
（外力虚功）W ＝（内力虚功）U ，称为虚功原理。 实功原理只能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载作用方向 的位移，实际应用价值不大。
虚功原理可求任意荷载下，任意位置、任意方向的位移，及 温度改变、支座移动引起的位移，具有广泛的应用价值。在虚功 原理中，力是虚拟的，而位移是真实的，所以该原理更确切应称 为虚力原理。
x
xC
于是虚功原理
可写作： 1 A EI
yC
注意***： ⑴ 两图在杆同侧，图乘为正；在杆两侧，图乘为负。
⑵ yC所在的弯矩图必须为同一直线，不是同一直线，需 分段图乘，并取和。
C1 A1 C2 A2 C3 A3
y1
y2
y3
1 EI
A
yC
E 1(IA1y1A2y2)
常用图形的面积和形心位置：
C
C
2
2
2
2
0
2 0 2 0 1 1
2a
2a
2a 2a
a 2a a 2a a a a
B F E 2 (2 A 2 P 2 a 2 2 a 1 2 P 2 1 a a ) (2 1 2 )E P 0 A .9E P 14 A
P 1
24 EI
CE 1(I2 lq22l23lq82l)1
m 1
ql 3 6 EI
【例7－4】用虚功原理求图示刚架C端的水平位移△Cx和转角θC 。
B EI
C
l
q EI
ql2/2
ql2/2
ql2/8
A
l
l l
P 1
m 1
1
MP图
M图
M图
C xE 1(2 lIq 2 2l2 3 l22 3 lq 8 2l2 l)3 8 q E 4lI
结构力学 虚功原理
第七章 静定结构位移计算 ·虚功原理
一、虚功原理
1．虚功的概念 PP
1
2
△11
△21
力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P
在△11
力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 P 在
△21
2．虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转 换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。
CE 1I(2lq22l1 3)1q2E3l I
三、静定桁架的位移计算 桁架各杆只有轴力，计算位移的虚功原理公式为：
NNPl EA
N 为单位荷载下各杆轴力，NP为实际荷载下各杆轴力，l为杆长。 桁架所受荷载都是作用在结点上，单位荷载也必须加在结点上。
P
C
a
图示桁架
A
B
D
aa
求△Cx
C
P 1
A
M (x2 )
x2
l
M(x2) 1
C
1 EI
MMPdx
1 EI
l 0
12qx22dx2
ql 3 6 EI
m=1 m=1
2．图乘法
积分 MMPdx可用几何法（图乘法）求之。
y
MP
C MP图
B
AMMPdx
B
A x t gMPdx
A
B
dx
tgAxC
M
o
A
yC M 图 Bx
A yC
A — MP图的面积 yC — MP图形心所对 M 图的竖距
ql 4 EI
P 1
x1
P 1
【例7－1】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向
位移△Cy和转角θC 。
q
A
B x2 EI
x1 C A
B x2
x1 C m=1
l
l
l
l
MP(x1)=0 MP(x1) x1 q
M(x1) 1 M (x1) x1
MP(x2)
x2
l
MP(x2)=
1 2
qx
2 2
N 、Q 、M 为单位荷载下的轴力、剪力和弯矩；
NP、QP、MP 为实际荷载下的轴力、剪力和弯矩。 二、静定梁、刚架的位移计算
1．积分法 以弯曲变形为主的杆件，如梁、刚架等，只计弯曲变形的虚 功，略去剪切、拉压变形的虚功，于是虚功原理 可简化为：
MMP EI
dx
等截面杆可写作：E1IMMPdx
【例7－1】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向