2018年数学一真题与解析

2018 数一真题与解析

（1）下列函数不可导的是：A. y = x sin x . B. y = x sin x .C. y = cos x .

D. y = cos

x .

（2）过点（1，0，0，）与（0，1，0）且与 z = x 2 + y 2 相切的平面方程为A. z = 0与x + y - z = 1 B. z = 0与2x + 2y - z = 2C. y - x 与x + y - z =1 D. y - x 与2x + 2y - z = 2

∞

n

(2n +1)!

=

2n + 3

（3） ∑

(-1)n =0

A.sin1+cos1 C.sin1+cos1

B.2sin1+cos1 D.3sin1+2cos1

⎰

⎰

⎰--

π

（4） M =1+ x dx , N =-π2

π2π

2

2

e x 222dx , K = 2 (1+π (1+ x )2

π 1+ x 2

, 则 M , N , K 的大小关系

为

A. M > N > K .C. K > M > N .

（5）

⎝⎭下列矩阵中，与矩阵 0 1 ⎪ 0⎛ 1110 B. M > K > N .

D. K > N > M .

⎫1 ⎪⎪ 相似的为

A. ⎪ 00 1 ⎪

1 1 ⎪.

⎛ 11-1⎫

0 B. ⎪ 00 1 ⎪

1 1 ⎪.

⎛ 10-1⎫

0C. ⎪ 0⎝⎛ 1 0110 ⎪.0⎭-1⎫⎝

⎭

⎝⎭

D. ⎪1 ⎪ 0 1 ⎪⎝⎛ 1 0010 ⎪.0

⎭-1⎫（6）设 A , B 为 n 阶矩阵，记r ( X ) 为矩阵 X 的秩， ( X ?Y ) 表示分块矩阵，则A. r (A |AB ) = r (A ). B. r (A |BA ) = r (A ).C. r ( A |B ) = max {r (A ), r (B )}.

D. r (A |B ) = r (A T|B T ).

⎰

2

（ 7 ） 设 f (x ) 为某分部的概率密度函数， f (1+ x ) = f (1- x ) ，

f (x )dx = 0.6 ，则

⎪（9） lim

= e ,则k =

x →0 ⎝ 1+ tan x ⎭

⎛ 1- tan x ⎫

sin k x

p {x >0} =.

A.0.2

B.03

C.0.4

D.0.6

（8）给定总体 X N (μ,σ 2 ),σ 2 已知，给定样本 X , X ,…，X , 对总体均值 μ 进行检验，1

2

n

令 H 0 : μ = μ0 , H 1 : μ ≠ μ0 , 则

A.若显著性水平a = 0.05 时拒绝 H 0 ，则 a = 0.01时也拒绝 H 0 .

B.若显著性水平a = 0.05 时接受 H 0 ，则 a = 0.01时也拒绝 H 0 .

C.若显著性水平a = 0.05 时拒绝 H 0 ，则 a = 0.01时接受绝 H 0 .

D.若显著性水平a = 0.05 时拒绝 H 0 ，则 a = 0.01时也接受 H 0 .

1x

⎰

'（10） y = f (x )的图像过（0，0),且与y = a 相切与（1，2），求xf (x )dx =

1

（11） F (x , y , z ) = xy ε + yz η + xzk , 求 rot F (1,1, 0) =.

（12）曲线 s 由 x 2 + y 2 + z 2 = 1与 x + y + z = 0 相交而成，求 ⎰

xydS =

（ 13 ）二阶矩阵 A 有两个不同特征值， a 1, a 2 是 A 的线性无关的特征向量，

A 2 ( a + a ) = ( a + a ) 则,A

1212

2

4

1

1（14） A , B 独立， A ,C 独立，BC ≠ φ, P ( A ) = P (B ) =

, P ( A C AB C ) =, 则 P (C ) =

15

求不定积分⎰

e 2 x arctan e x -1dx

16一根绳长 2m，截成三段，依次折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是所得 的面

积总和最小，并求该最小值。

17

x = 1- 3y 2 - 3z 2 取正面，求⎰⎰ x dydz + ( y 3 + z )dxdz + z 3dxdy

∑

18

微分方程 y ' + y = f (x )

（Ⅰ）当 f (x ) = x 时，求微分方程的通解.

（Ⅱ）当 f (x ) 为周期函数时，证微分方程有通解与其对应，且该通解也为周期函数.

n n x x 1n +1

n {}{}n →∞

n n （19）数列 x ， x > 0,

x e = e -1. 证： x 收敛，并求lim x .

（20）设实二次型 f (x , x , x ) = (x - x + x )2 + (x + x )2 + (x + ax )2 , 其中a 是参数.

1

2

3

1

2

3

2

3

1

3

（Ⅰ）求 f (x 1, x 2 , x 3 ) = 0 的解；（Ⅱ）求 f (x 1, x 2 , x 3 ) 的规范形.

a ⎫ 2（21）已知a 是常数，且矩阵 A = 1⎛ 1⎝⎭⎝⎭

⎪ ⎪1 ⎪⎛ 1 2 ⎫

2a 3 a ⎪ 可经初等列变换化为矩阵 B = 01 1 ⎪ .

7-a ⎪ -111求a ；

2

求满足 AP = B 的可逆矩阵 P .

（22） X ,Y 随机变量相互独立， P {X = 1} = y 1, P {X = -1} = y 2 , Y 服从λ 的泊松分布.

Z = XY

(Ⅰ)求cov( X , Z ).(Ⅱ)求 Z 得概率分布.

-x

2σ

（23） X 1, X 2 ,…Xn 来自总体 X 的分布， f (x ) = e σ

(σ未知，-∞ < x < +∞).

1（Ⅰ）求σ 得极大似然估计.（Ⅱ）求 E (σ ) ， D (σ ).

2018 考研数学一答案解析一、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。（1）【答案】D

x

x 2

【凯程解析】由定义得 lim =

cos x -1x

x →0+

x →0+

= lim 2= - 1 ;

x

x 2

lim =

cos x -1x

x →0-

= lim 2= 1 .

x →0-

(2)【答案】B

【解析】已知平面过(1,0,0)(0,1,0) 两点, 可得切平面内一向量(1,-1,-0), 曲面

z = x 2 + y 2 的切平面法向量为(2x , 2 y , -1)

∴2x - 2y = 0 即 x = y .

(3)【答案】B