函数的图像及函数与方程

函数的图像及函数与方程

一、温故

对称变换：①奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于____轴对称； ②f (x )与f (－x )的图象关于____轴对称；③f (x )与－f (x )的图象关于____轴对称；

④f (x )与－f (－x )的图象关于______对称；⑤f (x )与f (2a －x )的图象关于直线______对称； ⑥|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；

⑦f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到．

如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且____________，那么函数y ＝f (x )在区间________上有零点．

二、例题讲解

考点一 作图

例1 (1)作函数y ＝|x －x 2|的图象(2)作函数y ＝x 2－|x |的图象；

（3）作函数y ＝1|x |－1

的图象．（4）作函数x y --=524的图像

（5）作函数2log 2-=x y 的图像

考点二 识图

例2 (1)函数2log 2x y =|的图象大致是________(填入正确的序号)．

(2)函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式是下列四者之一，正确的序号为________．

①f (x )＝x ＋sin x ；②f (x )＝cos x x ；③f (x )＝x cos x ；④f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2

)． 变式 已知y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (1－x )的图象为________(填序号)．

例3.已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的

表达式为________．

例4. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

3x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则y ＝f (x ＋1)的图象大致是________．

变式1．已知图1是函数y ＝f (x )的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号)．

①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝f (－|x |)；④y ＝－f (－|x |)．

变式2．已知f (x )＝a x －

2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是________(填序号)．

变式3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象交点的个数为________．

变式4. 已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.

(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；

(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．

考点三 图象的应用

例5 直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________．

变式1：若函数()22

241f x x a x a =++-的零点有且只有一个，则实数a =___________.

变式2：已知函数()421x x

f x m =+⋅+有且只有一个零点,则实数m 的值为.

变式3：使log 2(－x )

变式4：已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．

变式5：已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．

变式6：已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有两个零点，求a 的取值范围．

变式7若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________．

例6：若()y f x =是定义在R 上周期为2的周期函数, 且()f x 是偶函数, 当[0,1]x ∈时, ()21x f x =-, 则函数5()()log ||g x f x x =-的零点个数为.

变式：设,m n Z ∈,已知函数()()2log 4f x x =-+的定义域是[],m n ，值域是[]0,2， 若关于x 的方程12

10x m -++=有唯一的实数解，则m n +=.

思考：若关于的方程

有四个不同的实数根，则实数的取值范围是．

变式：设定义域为R 的函数1251,0()44,0

x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m = x 2||1

x kx x =-k