正项级数的审敛准则
(整理)常数项级数的审敛法
n 1n 1§ 11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数： U n U n 0⑴n 1显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2Sn . s n1.收敛准则定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界.n 1n例1判别正项级数亠的收敛性定理2设 U n 和V n 都是正项级数，且U n V . (nn 1n 1则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散.n 1 n 1 分析: V nn 1，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2,),即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。
反之，设n 1U n 发散，则n 1V n n 1必发散.因为若V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾n 11解「sin 2 22221 1 I 2n1 1 22Sin 2n1 1 1 2n2 222n1有上界 级数收敛1,2,).若 V n 收敛,n 12.比较审敛法推论 设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使n 1n 1kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n Nn 1n 1分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.注：比较审敛法的：必须有参考级数。
常用：几何级数， p —级数(调级数)例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散.n 1例2讨论p —级数⑵的收敛性，其中常数p>0.1，当n则書n时,1丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n有1 n pIn 1n p2dxx(nn p 1n 2,3,考虑级数(n 1) 级数(3)的部分和sn1 2卩11 3p 11 =1 1(n 1)p1 = (n 1)p 1因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛.总之：p —级数(2)当p 1时发散，当p>1时收敛.(1).n n 121 n 5n 2U nn12 2^2n 5n 2n 8n丄发散，原级数发散 n 1 n(2).1 . 1 sin — n〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛3. 比较审敛法的极限形式定理3设 u n 和n 1V n 都是正项级数,n 10 或 lim 土nV n例4判别下列级数的敛散性.4. 比值审敛法能发散.（证略，可参考教材） 例5判别下列级数的敛散性:(1)3 n n lim U n 1 - 1,级数收敛n 13n U n 3⑵n!nlim U n 1 lim n 1 级数发散n 1 2n U nn 2⑶n 1 nxn 1x 0lim U n 1 x0 x 1收敛,x 1 发散x 1发散n U n5.根值审敛法----柯西判别法(1)如果 lim unnV n(0 I）,且级数V n 收敛，则级数 U n 收敛;n 1n 11(1) si nn 1 n.1 sinlim n n 10,丄发散 原级数发散n 1 n⑵ 2nta nn 13li mn1 2ntan]3nn2 3n2收敛收敛3，且级数 V n 发散，则级数 U n 发散n 1n 1(2)如果 limU nnV n 定理4设 u n 为正项级数，如果n 1lim 山 nU n则当1级数收敛;U n 11 (或 limnU n）时级数发散； 1时级数可能收敛也可例7判别下列级数的敛散性二、交错级数及其审敛法)；(2) limu n 0,n则级数收敛，且其和S U 1,其余项r n 的绝对值r交错级数：U 1 U 2 U 3U 4(4)U 1 U 2 U 3U 4,其中U i ,u都是正数.定理7（莱布尼兹定理）如累交错级数(1)n1U n 满足条件:n 1定理5设 U n 为正项级数，如果lim n U nn 1n,则当 1时级数收敛， 1（或Hm nU n）时级数发散， 例6判别下列级数的敛散性1时级数可能收敛也可能发散.（证略，可参考教材）nU n n11Zn-0(nnn）1,级数收敛—5‘n imn ,n 31,级数发散6根限审敛法（与p —级数作比较）定理6设 u n 为正项级数,n 1(1)如果 lim nu n l 0 或 lim nu nnn，则 U n 发散;n 1⑶如果p 1,而limn p u nl 0nU n 收敛。
11-2正项级数及其审敛法
un
3n
1 2n
的等价无穷小.
3n 起主 要 作用
解 即
un由 ~ 31于 nu,n故 3取 n1 v1n2n313n1n,则 1
1 (2)n 3
~31nn,
lim u n n vn
lim
n
3n 2n 1 3n
nl im 11(32)n 1.
而
n1
1 3n
收敛由 ， 定1理 1.3知n ， 13n
收敛，
limlnn0 n n
由定1理 1.3知， n 1lnn3n收敛.
三、比值审敛法和根值审敛法
1. 比值审敛法 定理11.4 (达朗贝尔审敛法)
设正项级数
un满足 :
n1
limun1 ρ n un
(0ρ ),
则 (1) 当 ρ 1时, 级数收敛 ;
(2) 当 ρ 1 或 时, 级数发散 .
p
-级数：
n
1
1 np
收敛， p1 发散. p 1
注 常用的比较级数: 等比级数, 调和级数 与 p-级数.
欲证un发散，
n1
判unn1p？(某p1)
欲证un收敛，
n1
判unn1p (某p1)？
例4 判断正项 级 1 数的敛.散性
n1 n(n1)2
解 un nn 112n1 32vn
而
vn
1
3
收敛 ,
n1 n1n2
n1
1 n(n1)2
收敛 .
定理11.3 (极限形式的比较审敛法)
设正项级数 u n , v n 满足
n1
n1
则有
lim un l (0l), n vn
(1) 当 0 < l <+∞ 时, 两级数同敛散 ;
正项级数的比较审敛法
正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法是数学中一种常用的判别级数收敛性的方法。
通过与已知的收敛或发散级数进行比较，我们可以判断一个正项级数的收敛性。
本文将介绍正项级数的比较审敛法的基本原理和应用。
正项级数是指所有项都是非负数的级数。
我们知道，一个正项级数的收敛性与其项的大小相关。
如果一个级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，并且后者收敛，那么我们可以推断前者也收敛。
同样地，如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，并且后者发散，那么我们可以推断前者也发散。
这就是正项级数的比较审敛法的基本思想。
比较审敛法分为两种情况：比较法和极限比较法。
下面我们将分别介绍这两种方法。
一、比较法比较法是通过比较待判定级数与已知级数的大小关系来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的项的大小。
如果待判定级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也发散。
比较法的关键在于选择合适的已知级数。
常用的已知级数包括调和级数、几何级数和指数级数等。
例如，我们可以使用调和级数来判断一个正项级数的收敛性。
调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数。
根据比较法的原理，如果一个正项级数的每一项都小于等于调和级数的对应项，那么该正项级数也收敛。
二、极限比较法极限比较法是比较法的一种特殊情况。
当我们无法直接比较待判定级数和已知级数的项时，可以通过比较它们的极限值来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的极限值。
如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值相等或者待判定级数的极限值无穷大，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值比较大，那么待判定级数也发散。
极限比较法的关键在于计算级数的极限值。
对于一些常见的级数，我们可以通过取极限值来判断其收敛性。
正项级数及其审敛法
n
n
∴ 原级数发散.
(2)
lni mn2
n2 1 n1
∴ 原级数收敛.
3、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
通 项 an和bn均 为 n时 的 无. 穷 小
(1) 当an 为bn 的同阶或高阶无穷, 小时
由bn 收敛可推出an 收敛.
n1
n1
(2) 当an 为bn 的同阶或低阶无穷 , 小时
n 1
1,
而 1发散,
n1n
∴ 原级数发散.
n
1
(2)
lim
n
n2
n 1
1
ln im n2
n2 n1
1,
n2
而
1
n1n2
收敛,
∴ 原级数收敛.
1
(3)
lim
n
4n
1
3n
4n
lim
n
1
1
3 4
n
1,
而
1
n14n
收
敛,
∴原级数收敛.
推论(比较审敛法 2)：
设 级 数
n 1
an为 正 项 级 数 ，(1)若
n1
若极 ln i m na 限 n有确,定 则意 有义
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般nn项 ,an等 ln 中 i m nan 含 易有 求 级的 数 常用根. 值审敛法
例:1)判
定
级 1数 的 n1nn
n1
思 路 ： 构 造 一 个 单 调 递 减 函 数 f(x)， 使 得 f(n)an
正项项级数的审敛法
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2
(1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim un1 u n
1
1
(1)
解
sin ; (2) n1 n
(1) lim nsin 1
n
n
n1
3
n
;
n sin 1
lim n
n 1
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设 un
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
(1)若对一切n > N0,成立不等式
11-2高数下常数项级数的审敛法
3.条件是充分的,而非必要.
例
un
2 (1)n 2n
3 2n
vn ,
级数
n1
un
n1
2
(1)n 2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim n
un1 un
lim
n
an
不存在.
高等数学（下）
例 4 判别下列级数的收敛性:
un
即 un1 (n N )
un
高等数学（下）
当 1时, 取正数，使r 1,
, uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 ,
un
r
n
N
1uN
1
,
而级数
rnN 1uN 1收敛,
因此 un 收敛 .
n 1
n1
当 1时, 取正数，使r 1,
un1 un
lim
n
x (1 1 )n
x e
n
∴当0 ＜ x ＜ e 时级数收敛 ; 当 x ＞ e 时发散 .
当 x ＝ e 时 , 注意到 (1 1 )n 单增 ,
un1 un
e (1 1 )n
n
1 un
0 级数发散.
n
高等数学（下）
例6
证明
lim
n
nn (n!)2
0.
考虑级数
nn
n1 (n!)2
高等数学（下）
证明 (1)由lim un l 对于 l 0,
v n n
2
13.2 正项级数及其审敛法
时，lim n
un
0.
3.
若出现
ρ=1 或
lim
n
n
un
不存在,
则改用其它方法.
4. 条件是充分的, 并非必要.
由
un(, un 0)
收敛
lim n
n
un
1；
n1
由 un(, un 0)
发散
lim n
n
un
1.
n1
均可能出现 1，或不存在.
例14 判定正项级数的敛散性.
解
(1)
lim n
1
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级数，且
lim n
n
un
,
则
(1) 当 1 时,级数收敛; (2) 当 1 时, 级数发散 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
当 x=1时,
级数是调和级数
1 ,
发散.
例12 判定正项级数
解
因为
0
n 2n
cos2
nn1
3
n 2n
cos
n 2n
2
n3n1的n敛散性.
(n 1,2,)
且
lim
n
n1 2n1
2n n
n1 lim
n 2n
1 2
1
,所以
n1
n 2n
收敛,
再由比较判别法知, 原级数也收敛.
例13 利用级数敛散性, 证明
部分和数列 有上界 .
关于正项级数的积分审敛准则
上或去掉有限项 ， 级数 的敛散性不变） 。
ｖｆ ＝（
｛ ． “ １ ）
●
限是否存在的问题。因此 ， 无穷级数与广义积分在收敛性概 念， 判别其敛散性 的方法上是类似 的。
：
２ 定 理 与应用
定理 若递减函数， ） １ｏ） （ 在【 。上非负， ＋ 则级数∑，
ｎ ： Ｎ
我们在 曲线下方画一 串矩形 ， 图 ２所示 。每个矩形 的 如
底长为 １ 矩形的高为 ２ ３ ４ 等 １没有对 应的矩 ， ） ） ） ）
方因 有∑ ｎ ， ）＝，级 ）散 ，此 ） ｏ则 数∑ ｎ 。 ≥ｊ 。 发
例 １ 判断正项级数 的敛散性 。
形）所 矩 面 之 为 。 有 形的 积 和 数∑ ）因 ≤ ｎ≤ ｎ 为０ ∑ ） 。
由曲线 ， ）直线 ： ， ｂ （ ， ｏｘ 及 轴围成的曲边梯形面积。如 ＝ 图１ 所示 ， ｓ即为阴影部分面积 。
∞
长仍为 １矩形的高为 １ ２ ３ 等（ ， ） ） ） 此处 １有对应 的 ）
１若该积分收敛， ｆ ） 则
） ｜ 为定值。 ＝， ｓ Ｓ
矩 。 有 形的 积 和 ｎ 由 矩 在曲 上 形）所 矩 面 之 为∑ ） 于 形 线 。
Ｋ ｅ ｗｏ ｄ ｏ ｉ ｖ ｅ ｉｓｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｎ ｅ ｒ ｌ； ｅ ｃ ｎ ｅ ｇ — ｙ ｒ ｓ ｐ ｓｔ ｅ ｓ ｒ ；ｅ ｅ ａ ｉ ｄ ｉ ｔ ｇ ａｓｔ ｏ ｖ ｒ ｅ ｉ ｅ ｚ ｈ ｎ ｅ ａ ｄ ｄ ｖ ｒ ｅ ｃ ； ａ ｃ ｙ ｉｔ ｇ ａ ｅ ｔ ｅ ｎ ｉ ｅ ｇ ｎ ｅ Ｃ ｕ ｈ ｎ ｅ ｒ ｌ ｓ ｔ Ａｕ ｈ ｒＳ ａ ｄ ｅ ｓ ｔ ｏ ’ ｄ ｒ ｓ Ｍｏ ｅ Ｅｃ ｎ ｍｉｓ＆ Ｍａ ａ ｅ ｎ ｏ ｌｇ ． ｄ ｍ ｏ ｏ ｃ ｎ ｇ ｍｅ ｔＣ ｌ ｅ ｅ
正项级数的收敛问题
正项级数的收敛问题
对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。
下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。
我们先来考虑正项级数(即每一项a n ≥0的级数）的收敛问题。
判定正项级数敛散性的基本定理
定理：正项级数
收敛的充分与必要条件是部分和S n 上有界.如果S n 上无界，级数发散于正
无穷大。
例如：p 级数：
，当p>1时收敛，当p≤1时发散。
注意：在此我们不作证明。
正项级数的审敛准则
准则一：设有两个正项级数及，而且a n ≤b n (n=1,2,…）.如果收敛，那末也收
敛；如果发散，那末也发散.例如：级数是收敛的，因为当n>1时，有≤，而等比级数
是收敛的
准则二：设有两个正项级数与，如果那末这两个级数或者同时收敛，或者
同时发散。
关于此准则的补充问题
如果
，那末当收敛时，也收敛；如果，那末当发散时，
也发散.
例如：是收敛的.因为，而是收敛的.
注意：以上这两个准则来判定一个已知级数的敛散性，都需要另选一个收敛或发散的级数，以资比较.下面我们来学习两个只依赖于已知级数本身的审敛准则.
准则三：设有正项级数.如果极限存在，那末当λ＜1时级数收敛，λ＞1时级数收敛.
注意：此准则就是达朗贝尔准则.这种判定方法称为检比法.
例如：级数是收敛的，因为当n→∞时，.
准则四(柯西准则)：如果极限存在，那末当λ＜1级数收敛，λ＞1级数发散.
例如：级数是发散的，因为当n→∞时，。
级数的审敛法
级数的审敛法
级数的审敛法是一种判定级数是否收敛或发散的方法。
下面介绍几种常用的审敛法：
1. 正项级数判别法：如果级数的各项都是非负数，并且级数的通项递减，则该级数收敛。
这是因为正项级数的部分和一定是递增有界的。
2. 比较判别法：设有两个级数∑a_n和∑b_n，如果在有限项后
总有a_n ≤ b_n，则如果∑b_n收敛，∑a_n也收敛；如果∑a_n
发散，∑b_n也发散。
这个方法常用于比较一个级数与已知的
收敛或发散的级数。
3. 比值判别法：对于一个级数∑a_n，如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≤ r < 1，则级数绝对收敛；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ 1，则级数发散；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ r > 1，则级数发散或者条件收敛。
4. 积分判别法：对于一个非负递减的函数f(x)，如果∫f(x)dx从
1到无穷收敛，则级数∑f(n)也收敛；如果∫f(x)dx从1到无穷发散，则级数∑f(n)也发散。
这个方法利用了级数与函数的关系。
以上只是一些常用的审敛法，对于特定的级数，可能需要使用其他方法进行判断。
正项级数的审敛准则
极限审敛法
极限审敛法
如果存在一个常数$L$，使得$lim_{n to infty} a_{n} = L$，那么正项级数$sum a_{n}$是收敛的。
极限审敛法的应用
极限审敛法可以用于判断正项级数的敛散性。例如，如果存在一个常数$L$，使得对所有$n$都有$a_{n} leq L$，那么正项级数$sum a_{n}$是收敛的。
正项级数的应用
05
在数学分析中的应用
求和计算
正项级数在数学分析中常用于求和计算，特别是当数 列的项是正数时。通过审敛准则，我们可以确定级数 的收敛性，进而求得其和。
函数逼近
正项级数可以用来逼近某些函数，特别是在处理复杂 函数或难以解析的函数时。通过将函数展开为正项级 数，可以更好地理解和近似该函数。
正项级数的审敛准则
目 录
• 正项级数的基本概念 • 正项级数的审敛准则 • 常见的正项级数及其敛散性 • 特殊类型的正项级数及其审敛准则 • 正项级数的应用
正项级数的基本概念
01
正项级数的定义
定义
正项级数是一种数学序列，其中每一 项都是非负的。它的一般形式为 $sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中 $a_n geq 0$。
VS
详细描述
调和级数的通项公式为$frac{1}{n}$，其中 $n$为正整数。调和级数是发散的，因为 $frac{1}{n}$随着$n$的增大而减小，但永 远不会收敛于一个固定的值。
特殊类型的正项级数
04
及其审敛准则
幂级数
总结词
幂级数的审敛准则主要依赖于其首项和公比的取值范围 。
详细描述
对于幂级数，其一般形式为$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$，其中$a_n$是首项系数，$x$是变量。审敛准则主 要依赖于首项系数$a_0$和公比$x$的取值。当$a_0 = 0$ 且$|x| < 1$时，幂级数收敛；当$a_0 neq 0$且$|x| < frac{1}{a_0}$时，幂级数收敛。
第二节：正项级数的审敛法
v2
1 1 1 1 1 1 1 + 取 u1 = < 1+ = v1 , u2 = ( 4 + 4 ) = < + = v 2 2 2 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u3 = ( + + + ) = < + + + = v 3 , L 8 8 8 8 2 5 6 7 8
因此有
∞
1 un ≤ v n , 而 un = ( n= 1 , 2, 3 , L ) 2
收敛。 则级数 ∑ un 收敛。 例如级数 ∑
n =1 ∞
∞
n→∞
n =1
n + 1(1 − cos ) , n
π
un = n + 1(1 − cos ) n
π
1 π 2 π 2 n+ 1 + 当 n → ∞ 时， un ~ n + 1 ⋅ ( ) = 2n 2n2
∴ lim
n→∞ 3 n2 un
= lim
第二节 正项级数及审敛法 如果级数
n =1
∑ un = u1 + u2 + L + un + L
称为正项级数
∞
满足条件： 满足条件： un ≥ 0 ( n = 1, 2 , L ) ,
s1 = u1 ≥ 0 , s 2 = u1 + u2 ≥ u1 = s1 , s 3 = u1 + u2 + u3 ≥ u1 + u2 = s 2 LL 0 ≤ s 1 ≤ s 2 ≤ s 3 ≤ L ≤ s n−1 ≤ sn ≤ L
n =1 n =1 ∞ ∞ 1 1 （1）取 vn = , 则 ∑ v n = ∑ ） 发散， 因此若 发散， n n =1 n =1 n ∞ un = lim nu lim n = l > 0 （或为 + ∞），则 ∑ un ），则 n→∞ n→∞ vn n =1
正项级数及其审敛法
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
un
1 nn
p
1
(n
)
p 1, 级数收敛 ; 但
p 1, 级数发散 .
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un
n
1 nn
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
n
n2
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知
ln 1
n1
1 n2
收敛.
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n un
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 若弱级数 发散 , 则强级数 也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
(1) 若强级数 收敛, 则有
因此对一切
有
由定理 1 可知, 弱级数 也收敛 .
(2) 若弱级数
发散, 则有
因此
这说明强级数
也发散 .
例1.
讨论
p
0l
lim
n
n pun
l
p 1, 0l
un 发散 un 收敛
例3. 判别级数 sin 1 的敛散性 . n1 n
7.2 正项级数及其审法敛
收敛。
2)
n.
n1 2 n5
因为
0
n
2 n5
n n5
1 n2
n 1,2,,
1
而级数
n2
n 1
是收敛的 p 级数 p 2 1,
由比较审敛法知级数
n
收敛。
n1 2 n5
例2 判断下列级数的敛散性:
1） sin 1；
n 1
n
2）
2n 1 .
n1 n5 2
解： 1） sin 1；
所以由比较审敛法知正项级数
n n
n1 2n 1
也收敛。
课堂练习：
判断级数 n! 的敛散性，并说明理由。 nn n 1
小结: 1.正项级数的比较审敛法； 2.正项级数的比值审敛法；
作业: P150. 1（2）；2（2）；3（2）.
因为单调有界数列必有极限所以收敛二正项级数的比较审敛法定理比较审敛法一是两个正项级数且若级数收敛则级数若级数发散则级数上述定理可以简单地这样记忆
§7.2 正项级数及其审敛法
对于一个无穷级数，通常需要考虑解决两个问题： 1. 如何判别级数是否收敛？ 2. 如果收敛，怎样求和？
第二个问题通常比第一个问题要难得多，本节将介绍 如何判别正项级数是否收敛的方法，即审敛法。
大收小收，小发大发
定义. 形如
1 1 1 1 1
np
n 1
2p 3p
np
1
的级数称为 p 级数． p=1 时 n1 n 称为调和级数。
p 级数的敛散性有如下定理：
定理 当
p
1时，p
级数
n 1
1 np
收敛；
当
p 1
正项级数及其审敛法
判别法与极限审敛法
判别法是根据正项级数的通项性质来判断其收敛性的方法。通过对通项的分析，可以找到一些关键的 量，如相邻项的比值、绝对值的增长速度等，来判断级数的收敛性。
极限审敛法是通过分析级数部分和的极限行为来判断其收敛性的方法。它基于极限的性质，通过分析部 分和的极限是否存在或趋于无穷大，来判断级数的收敛性。
正项级数在数值分析中用于求解 微积分问题，例如数值积分、数 值微分等。
在物理中的应用
热力学
正项级数在热力学中用于描述热传导、热辐射 等过程，例如求解热传导方程。
波动理论
正项级数在波动理论中用于描述波动现象，例 如求解波动方程。
原子结构
正项级数在原子结构中用于描述电子的能级分布，例如求解薛定谔方程。
几何审敛法的优点
直观易懂，易于操作。
调和审敛法
调和审敛法
通过观察级数的调和级数部分（即分母）的增长情况来判断级 数的收敛性。如果调和级数部分增长速度较慢，则级数收敛；
反之，则发散。
调和审敛法的适用范围
适用于分母为连续正整数或分母为等差数列的正项级数。
调和审敛法的优点
适用于某些特殊类型的级数，计算简便。
详细描述
自然数幂级数的通项公式为$a_n = n^m$，其中$m$是一个常数。自然数幂级数的和可以通过公式$S_n = frac{n^{m+1}}{m+1}$计算。当$m = 1$时，自然数幂级数退化为等差级数。
几何级数
总结词
几何级数是每一项都与前一项成固定比例的级数。
详细描述
几何级数的通项公式为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。几何级数的和可 以通过公式$S_n = frac{a_1 times (r^n - 1)}{r - 1}$计算，其中$S_n$表示前$n$项的和。当$r = 1$时， 几何级数退化为等差级数。
一类更细的正项级数审敛原则
快慢 ， 就是 它 的余 项 ｒ 趋 于 ０的快 慢 ， 么 对 于 两 ｎ 那
个级 数 ∑ “ ∑ 收 敛 速度 的 比较 就 是 看 它 们 的
数∑ （ ｐ＞１ 的 收敛 速 度 比 ∑ ，（ ） ０＜ｒ＜１ 的 收 ）
＾ １ ｒ 正 ｎ １
１
‘Ｉ ｎ ｉ ｎ）ａ （ ｎ Ｐ Ｉ ａ （ ， ｆｎ ， ） ｆ
ｉ＝０
＿
Ｒ ｂｅ 别 法和 Ｇ ｕｓ 别 法 的基 础 上 建 立 起 一 类 更 强 、 精 细的 审敛 原 则 ； 时 随 常数 的 增 大 ， 级 数 敛 散 更 慢 ， ａｂ 判 ａｓ判 更 同 该 以此 为 基 的 审 敛 法 就越 强 、 细 、 精 ， 判 定 敛 散 的 级 数 范 围也 越 宽 ， 是 可 以 无 限 增 大 的 ， 得 新 的 判 别以它为 基 的判 别 法就 只能 判 别 比它敛 散 更 快
收 稿 日期 ：０ ６ ２ ６ ２０ —１ —１
（ ， ） ｎ …ｌｎ ， 据 Ｃ ｕｈ ｉ ｎ ＝ｌ ｎ ｎ ） 根 ｌ ａｃｙ积 分 判 别 法 ， 数 级
—
作 者 简 介 ： 丽 君 （９８ ， ， 南 怀 化 人 ， 士 ， 师 ， 究 方 向 ： 学 教 育 和 基 础 数 学 刘 １６ 一）女 湖 硕 讲 研 数
∑
ｎ： １
发散 速度 快 ． 个 正 项级数 审敛性 判别 法 的强弱 与 它建立 时
一
、 …
…
（ Ｐ为 常数 ， ∈ Ｎ＋ ｌ ，ａ ｎ
Ｉｌｎ ｉ ｎ ｌ （ ｎ Ｉａ （ ， ） ｎ ， ） ａ
ｉ＝０
所 基 于 的标 准 级数 的敛 散 速度 有 关 ： 准 级 数 敛 散 标
正项级数审敛准则
1 2正项级数的比较审敛法正项级数的d’Alembert准则及Cauchy准则13变号级数的审敛准则主要内容1 2正项级数的比较审敛法正项级数的d’Alembert准则及Cauchy准则13变号级数的审敛准则主要内容1 正项级数的审敛法及积分准则称为正项级数。
的级数通项∑∞==≥1 ),2,1(0n n n a n a {}理单调增，于是有以下定显然，其部分和数列n S {}有上界。
部分和数列收敛的充要条件是它的正项级数n n n S a ∑∞=1n n n n n n b a N n NN b a ≤>∀∈∃+∞=∞=∑∑恒有并且是两个正项级数，和设,,11; 1 11收敛收敛，则若）（∑∑∞=∞=n n n n a b . 2 11发散发散，则若）（∑∑∞=∞=n n n n ba n n k k n k k n Sb a S ~ 11=≤=∑∑=={}{}.~ 11收敛由基本定理知，级数也有上界，必有上界，故收敛，则数列若∑∑∞=∞=n n n n n n a S S b ，从而有恒有不妨假定n n b a N n ≤>∀,).(lim ,0, 11∞+=>∈∀∞→+∞=∞=∑∑有限或并且是两个正项级数，和设λnn n n n n n n b a b N n ba 或同时发散；，则两个级数同时收敛0(1)>λ收敛；收敛，则且若∑∑∞=∞==110,(2) n n n n a b λ.,(3) 11发散发散，则且若∑∑∞=∞=+∞=n n n n a b λ恒有，对于根据数列极限的定义，由于,2,0lim +∞→∈∃=>=N N b a n n n λελ.2322λλλλ<<<-n n n n b a b a 或）成立。
（由第一比较准则知结论从而有1.2320n n n b a b λλ<<<)(11+∞=∞=∈≤≤∑∑N n b c a b a n n n n n n n 都收敛，且与若级数收敛。
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r 1,
n 1
aN n
an N
n 1
r na N 收敛
n
又
aN n r aN，由比较判别法, an收敛
n 1
南京航空航天大学 理学院 数学系 25
2008年12月25日
(2)l 1,
an1 lim l 1, 由极限的保号性， n a n
南京航空航天大学 理学院 数学系 16
2008年12月25日
EX . 1. 判断级数
1 n arctan 及 ( n 1)的敛散性。 2 n n 1 n 1 n 1
2. 设正项级数 a n 收敛, 能否推得 an 2 收敛?反之
n 1 n 1
是否成立?
23
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 审敛法)
定理1.6(D'Alembert准则）
若正项级数 an(an 0)满足
an 1 an 1 lim l (或 lim ) , 则 n a n a n n
n 1
（1）当l 1时， an收敛；
n 1
(2)当l 1(或l )时, an发散；
是否成立?
解 由正项级数
2 a a 收敛，可以推得 n n 收敛, n 1 n 1
an 2 lim an 0 lim n a n n
n 1
?
2 a 由比较判别法知 n 收敛.
1 n 2 收敛, 反之不成立. 例如： n 1
2008年12月25日 南京航空航天大学 理学院 数学系
定理证毕.
推论 定理2中的条件改为： un kvn （n N，N 1,...), 结论仍成立!
比较审敛法:
2008年12月25日
须有参考级数.
南京航空航天大学 理学院 数学系 8
1 例1 证明调和级数 是发散的 n 1 n
证明
x 0 ln(1 x ) x 1 1 ln(1 ) n n
1 1 而 ln(1 )发散，由比较判别法得 发散. n n 1 n 1 n
2008年12月25日
南京航空航天大学 理学院 数学系
9
1 例2 讨论P 级数 的敛散性. p n 1 n
解
1 1 P 0 p 0 级数 p 发散 n i 1 n
1 P 1 由例1得 发散 i 1 n
2
n dx dx n1 p p x x
1
2
3
4
x
1 1
n
dx 1 1 1 1 (1 p1 ) 1 xp p1 n p1
即Sn有界, 则P 级数收敛.
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
判别级数
n 1
1 的敛散性 n( n 1)
1 n( n 1)
1 n1 ( n 1)2
1
1 1 又 发散， 发散。 n(n 1) n 1 n 1 n 1
练习：判别级数
n 1
2008年12月25日
1 , n 的敛散性. n( n 2 1) n1 2 n
a1 a2
1 2
a 收敛
n 1 n
2008年12月25日
a 3 a4
3
1
f ( x )dx收敛。
4
x
f (i )
南京航空航天大学 理学院 数学系
i 1
f ( x )dx f ( i 1)
i 2,3,
,n
20
证明 由图可知
a 收敛
n 1 n
1 n 1 e 1 ~ ln n n 1 n ( n 1)发散 。 又 ln n发 散
n
n 1
1 ln n n
n
n 1
2008年12月25日
南京航空航天大学 理学院 数学系
18
2. 设正项级数 a n 收敛, 能否推得 an 2 收敛?反之
n 1 n 1
设
a 和 b 均为正项级数，
n 1 n n 1 n
且 an b （ n n=1,2,...）
(1)若 bn收敛 an收敛.
(2)若 an发散 bn发散.
n 1
n 1
证明 (1) 设 bn
n 1
n 1
n 1
an bn , bn ,
n 1 n n 1
n
收敛;
(3) 当 时, 若
bn 发散,则 a n 发散;
n 1 n 1
14
2008年12月25日
南京航空航天大学 理学院 数学系
an 证明 (1) 由lim n b n
对于
2
0,
an N , 当n N时, 2 bn 2
1 1 1 0 P 1 p P发散 n n n
2008年12月25日 南京航空航天大学 理学院 数学系 10
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x
y
1 ( p 1) xp
1 1 Sn 1 p p 2 3
1 p n
o
y
1 1
n
n 1
2008年12月25日
南京航空航天大学 理学院 数学系
5
1.正项级数收敛的充要条件 定理1.2
正项级数 an收敛 部分和所成的数列 { sn }有界.
n 1
到 注 正项级数发散必定发散
2008年12月25日
南京航空航天大学 理学院 数学系
6
2.比较审敛法
定理1.3(比较准则I)
2008年12月25日 南京航空航天大学 理学院 数学系 11
再次强调：
综合得，
1 收敛 p n 1 n 发散
p1 p1
1 等比级数 aq , p 级数 p 常作为参考级数. n 1 n 1 n
n -1
2008年12月25日
南京航空航天大学 理学院 数学系
12
例3 解
n 1
(3)当l 1时, an不能判定.
n 1
2008年12月25日 南京航空航天大学 理学院 数学系 24
证明
(1) l 1 取r 使 l r 1
an 1 lim l r , 由极限的保号性， n a n
an1 N 0,当n N 有 r an 3 a N 1 ra N , a N 2 ra N 1 r 2a , a r aN , N N 3
an 1 N 0,当n N 有 1,即an1 an an
an , an a N 0( n N ),lim an 0
n
an发散
n 1
an 1 类似地可证明：lim an发散. n a n 1 n
(3)l 1,
an 1 1 n 发散， lim lim 1 n a n n 1 n 1 n n
第4章 无穷级数
数项级数 无穷级数 函数项级数
幂级数
付氏级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
2008年12月25日 南京航空航天大学 理学院 数学系 1
第4章 无穷级数
第1节 第2节 第3节 第4节 常数项级数 函数项级数 幂级数 Fourier级数
2008年12月25日
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
f ( x )dx收敛
Sn a1 a2
f (1) f (2)
a1 f ( x )dx
1 2
an
f ( n)
n n 1
y
an f ( n), n N
y f ( x)
a1 a2 a 3 a4
2
3
f ( x )dx
o
Sn a1 f ( x )dx
且 Sn a1 a2
an b1 b2
即部分和数列有界
2008年12月25日
an收敛 .
n 1
7
南京航空航天大学 理学院 数学系
(2) 设 Sn (n ) 且 an bn ,
则 n Sn
bn发散.
n 1
不是有界数列
1 n 发散. n 1
19
4. 柯西积分审敛法
定理1.5(积分准则)
设 an为正项级数，若连续函数f ( x ), 满足
n 1
y
(1) f ( x )在[1， ]上单调减少; (2) f ( x ) 0; (3)an f ( n), n 1, 2, ,则
o
i
y f ( x)
13
1
南京航空航天大学 理学院 数学系
3.比较审敛法的极限形式:
定理1.4 (比较准则II)
an , 设 a n 与 bn 都是正项级数, 如果 lim n b n n 1 n 1
则(1) 当 0 时, 二级数有相同的敛散性;
(2) 当 0时，若
b 收敛,则 a
2008年12月25日