基本不等式说课课件 PPT
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基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
基本不等式课件(共43张PPT)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
立
a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1.
求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：证明：1a＋1b＋
1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋
a＋b＋c c
＝3＋
(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
小结 基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)， 试比较 P、Q、R 的大小．
1 第1课时 基本不等式(共42张PPT)
解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值， 所以 22a＝3， 解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值． 解：因为 x，y 为正实数， 所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等 式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本 不等式 a＋b≥2 ab求得． 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】 对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符 合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C， 忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选 项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．
《基本不等式》PPT课件
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的基本步骤
01
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
02
在解不等式的过程中，要确保每一步都是等价变换，不改变不
等式的解集。
解一元一次不等式的实例分析
03
通过具体例子展示解一元一次不等式的详细步骤和注意事项。
一元一次不等式的应用举例
课程目标与要求
知识与技能
掌握不等式的定义、性质及基本 不等式，能够运用所学知识解决
相关问题。
过程与方法
通过探究、归纳、证明等方法， 培养学生的数学思维和解决问题
的能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 认识到数学在解决实际问题中的 重要作用。同时，通过基本不等 式的学习，培养学生的严谨、细
排序不等式的概念与性质
性质 反序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和。
当且仅当$a_i = b_i$（$i = 1, 2, ldots, n$）时，反序和等于顺序和。
切比雪夫不等式的概念与性质
概念：对于任意两个实数序列$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，若它们分别单调不 减和单调不增，则有$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i cdot frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}b_i leq frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_ib_i$。
1 2
一元一次不等式在生活中的应用 例如比较两个数的大小、判断某个数是否满足某 个条件等。
一元一次不等式在数学中的应用 例如在解方程、求函数值域等问题中，经常需要 利用一元一次不等式进行求解。
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y= _____
构造“定积”
和“定和”的
2、已知０＜ｘ＜１，
原理，以及取
求ｘ（１－ｘ）的最大值．
等号的条件。
（四）初步运用，归纳提升
结论 1、最值的含义：“和”定
“积”最大，“积”定“和”最 小。
2、用基本不等式求最值的 三个限制条件：一“正”、二 “定”、三“相等”
设计意图：通 过小组讨论完 成探究，引导 学生归纳出利 用不等式确定 最大值和最小 值的结论，这 样设计既符合 学生的认知特 点，也让学生 经历从特殊到 一般过程.
相 等
归 纳
例 题
尝 试
培自 养主
情概条提 学 练 能学
析境 念 件 升
习
习
力习
（一）设问激疑，创设情景
设计意图:从实际 问题出发，激发 学生学习兴趣， 从而在感性上认 识不等式。
（二）启发引导，形成概念
a
1 b2
b2
1 a2
2
a
设计意图: 从不同角 度归纳不 等式，加 深对基本 不等式的 理解．
（八）课后作业，自主学习
设计意图:巩固学
生所学的新知识，
作业：
将学生的思维向外 延伸，激发学生的
发散思维．达到熟
练使用均值不等式
的目的，利用选做
题可以使不同层次
1、课本第113页习题3.4第1题 的学生得到应有的 2、选作题：若x0,求xx1的最大值提节高课， 作同 好时 铺为 垫下 。一
（五）观察感知，例题学习
1
例2、已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
的最小值
xy
解：
12xy22xy
分析错因：
xy 1 即 1 2 2 2 2 xy
112 122 24 2 x y xy
即 1 1 的最小值为4 2
xy
过程中两次运用 了均值不等式中取 “=”号过渡，而这 两次取“=”号的条 件是不同的，故结 果错。
❖ 二 教学目标
❖ （一）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等 式解决最值问题。
❖ （二）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等 思维能力。
❖ （三）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形 的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和 勇于探索的精神。
❖ 三 教学重点、难点
（六）知识应用，尝试练习
1、已知0 x 1 ，求函数 3
yx(13x)的最大值；
2.巳知x0,则6x24的最小值是____, x
此时x=_____.
设计意图:对新知识 的理解需要一个不断 深化完善的过程，通 过练习、学生演板， 进行数学思想方法的 小结，可使学生更深 刻地理解数学思想方 法在解题中的地位和 应用，同时反映教学 效果，便于教师进行 查漏补缺.
ab2 ab
（二）启发引导，形成概念 基本不等式
定理２（均值定理）
如果 a , b 是正数，那么
ab ab 2
(当且仅当 a b时取“ = ”号）．
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
（二）启发引导，形成概念
概念
❖ 如果ａ、ｂ都是正数，我们就称
ab 2
为ａ、ｂ
的算术平均数， a b 称为ａ、ｂ的几何平均数。
（七）反思小结，培养能力
（1） 已知 x, y 是正数，xyP（定值），
求 xy的最大值 2 P
（2） 已知 x, y 是正数， xy S（定值），
求 xy的最小值 1 S 2
4
和定积最大 积定和最小
一正二 定三相
等
设计意图：
通过师生共同反思，优化学生的认知结构，
把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.
（三）讨论探究，相等条件
当且仅当
a b 时
ab 2
ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab ab ab
当
ab
2
ab ab
2
（四）初步运用，归纳提升
1.已知x>0,y>0且xy=100,则x+y的 设计意图：初
步认识不等式
最小值是 _______,此时x=___, 的应用，理解
法 分 析
关于学法的解析
以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展， 着眼于学生的学习体验，设置问题，由浅入深、循序渐进，给
不同层次的学生提供思考、创造和成功的机会。
教1
2
3
4
5
Байду номын сангаас
6
78
学设 启 讨 初
观
知
反课
过问 发 论 步 激引探运
察 感
识 应
思后 小作
程疑 导 究 用
知
用
结业
分创 设
形 成
（五）观察感知，例题学习
例、已知正数x、y满足2x+y=1，求 1 x
1 y
的最小值
解：
11 xy
2x y 2x y
x
y
3 y 2x xy
32
2
“1”代换法
当且仅当 y 2 x 即: y 2x 时取“=”号 xy
而 y 2x
2x y 1
x y
2 2
1
2
2 2
即此时 ym in32 2
均值定理可以描述为：
两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 它们的几何平均数
（二）启发引导，形成概念
几何意义： 均值不等式的几何解释是: 半径不小于半弦.
ab
a
b
结构特点： 均值不等式的左式为和结构, 右 式为积的形式, 该不等式表明两正数的和与两 正数的积之间的大小关系, 运用该不等式可作 和与积之间的不等变换.
（二）启发引导，形成概念
重要不等式
定理１：如果a,bR ，那么
a2b2 2ab
（当且仅当 a b 时取“=”
号）．
设计意图： 引导学生用完全平方式给出代数证明，深
刻理解其中取等号的条件和意义．
（二）启发引导，形成概念
由代换思想提出问题
当 a0,b0,在 a2b22ab中 以a,b分 别 代 替 a,b能 得 到 什 么 结 果 ?
❖
重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度
探索基本不等式。
❖
难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不
等式求最值。
关于教法的解析
先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出重
教 要不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可调动学生的
法 学
学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自 主探究，通过类比得到答案。充分发挥教师的主导作用和学生 的主体作用.采用 “启发—探究—讨论”式教学模式.
一．教材分析 二．学法分析 三．教法分析 四．过程分析 五．板书设计
教 材
❖ 一 本节教材的地位和作用
❖ “ 基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在学完“不
分
等式的性质”、“不等式的解法”的基础上对不等式的进一 步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
析
求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了数形结合、 化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。