选修2-1双曲线及其标准方程课时作业

课时作业11双曲线及其标准方程

时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)

1．双曲线x2

16－y2

9＝1的焦点坐标为()

A．(－7，0)，(7，0)B．(0，－7)，(0，7)

C．(－5,0)，(5,0) D．(0，－5)，(0,5)

【答案】C

【解析】∵a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2＋b2＝25，∴c＝5，又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(5,0)和(－5,0)．故选C.

]

2．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()

－y2

16＝1 －

x2

16＝1

－y2

16＝1(x≤－3) －

y2

16＝1(x≥3)

【答案】D

【解析】由题意得点M到A点的距离大于到B点的距离，且|MA|－|MB|<10，所以动点M的轨迹是双曲线的右支．3．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为()

D．5

(

【答案】C

【解析】

点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P 与双曲线右支顶点M 重合时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝7

2，故选C.

4．已知点F 1(－2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2.当点P 的纵坐标是1

2时，点P 到坐标原点的距离是( )

D ．2

【答案】 A

>

【解析】 由题意知，点P 的轨迹是双曲线的左支，c ＝2，a ＝

1，b ＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝1，把y ＝1

2代入双曲线方程，得x 2

＝1＋14＝5

4.

∴|OP |2

＝x 2

＋y 2

＝54＋14＝64，∴|OP |＝6

2.

5．已知双曲线x 29－y 2

16＝1上一点P 到焦点F 1的距离为8，则P 到焦点F 2的距离为( )

A．2 B．2或14

C．14 D．16

【答案】B

【解析】如图，

·

设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，

由已知得a＝3，b＝4，c＝5，

∵双曲线右顶点到左焦点F1的距离为a＋c＝8，

∴点P在双曲线右顶点时，|PF2|＝c－a＝5－3＝2，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝|PF1|＋6＝8＋6＝14.

6．设F1、F2为双曲线x2

5－

y2

4＝1的两个焦点，P(3,1)是双曲线内的

一点，点A是双曲线上一动点，则|AP|＋|AF2|的最小值为()＋4 －4

>

－2 5 ＋25

【答案】C

【解析】如图，连接F1P交双曲线右支于点A0，∵|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－25，∴要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋

|AF 1|的最小值，当A 落在A 0时，|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|最小，最小值为37，∴|AP |＋|AF 2|的最小值为37－2 5.

二、填空题(每小题10分，共30分)

7．已知双曲线C ：x 29－y 2

16＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于________．

【答案】 48

【解析】 由题意知|F 1F 2|＝|PF 2|＝10且|PF 1|－|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝16. "

由勾股定理得PF 1上的高h ＝102－82＝6.

∴△PF 1F 2的面积S ＝12h ·|PF 1|＝1

2×6×16＝48.

8．已知双曲线的一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程是________.

【答案】 x 2

－y 2

4＝1

【解析】 因为线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以P 点坐标为(5，4)，又因为焦点在x 轴上，且c ＝5，所以设双曲线的标准方程为x 2

a 2－

y 25－a

2＝1，将(5，4)代入得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝25或a 2

＝1，由c >a 知a ＝1，此时b 2＝c 2－a 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 2－y

2

4＝

1.

9．过双曲线x 23－y 2

4＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．

【答案】 83

3

【解析】 ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，

~

∴c ＝7，弦所在直线方程为x ＝7，

由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝

7x 23－y 2

4＝1得y 2

＝163，∴|y |＝433，弦长为83

3.

三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说

明、证明过程或演算步骤)

10．(13分)双曲线x 29－y 2

16＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 是双曲线上的点．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离是多少

【解析】 解法一：由题意得F 1(－5,0)、F 2(5,0)， 设P 的坐标是(x 0，y 0)，又PF 1⊥PF 2， 则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，

—

∴⎩⎨

⎧

?x 0＋5?2＋y 20＋?x 0－5?2＋y 2

0＝100，x 209－y 20

16＝1.

解得|y 0|＝16

5，