第十章-偏微分方程数值解法

第十章 偏微分方程数值解法

偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝

大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。

§1 差分方法的基本概念

1.1 几类偏微分方程的定解问题

椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程

),(22

2

2y x f y

u x u u =∂∂+∂∂=∆ 特别地，当

0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称

为调和方程

22

22

=∂∂+∂∂=∆y

u

x u u Poisson 方程的第一边值问题为

⎪⎩

⎪⎨

⎧Ω

∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(),(),(),(),(22

22y x y x u y x y x f y u

x u y x ϕ

其中

Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，

ΓΩY

称为定解区域，),(y x f ，),(y x ϕ分别为Ω，Γ上的已知连

续函数。

第二类和第三类边界条件可统一表示为

),(),(y x u u y x ϕα=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∂∂Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。

抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程

2

20(0)u u

a a t x

∂∂-=>∂∂ 方程可以有两种不同类型的定解问题：

初值问题

⎪⎩

⎪⎨⎧+∞

<<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x u a t

u )()0,(,00

22

ϕ

初边值问题

2

212

00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u

a t T x l t x u x x x l

u t g t u l t g t t T

ϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪

=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩

其中

)(x ϕ，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件

)0()(),

0()0(21g l g ==ϕϕ

边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条

件。

第二类和第三类边界条件为

)()()()(22101t g u t x u t g u t x u l

x x =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+∂∂=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-∂∂==λλ

T t ≤≤0

其中0)(1≥t λ，0

)(2≥t λ。当

0)()(21≡=t t λλ时，为第二

类边界条件，

否则称为第三类边界条件。

双曲型方程:

最简单形式为一阶双曲型方程

=∂∂+∂∂x

u

a t u 物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程

2

2

2

22x

u a t u

∂∂=∂∂

描述，它是双曲型方程的典型形式。方程的初值问题为

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧+∞

<<∞-=∂∂=+∞

<<∞->∂∂=∂∂=x x t

u x x u x t x u a t u t )()()0,(,0022

222ψϕ

边界条件一般也有三类，最简单的初边值问题为

22

2

220

12

00,0(,0)(),

()0(0,)(),(,)()0t u u a t T x l t x u u x x x x l t u t g t u l t g t t T

ϕψ=⎧∂∂==<<<<⎪∂∂⎪⎪∂⎪

==≤≤⎨∂⎪

⎪==≤≤⎪⎪⎩

1.2 差分方法的基本概念

差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定 解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。

它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连 续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连 续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网 格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问 题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果 差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解 问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。 因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题： （1）选取网格；

（2）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式； （3）求解差分格式；

（4）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。

下面，用一个简单的例子来说明用差分方法求解偏微分方程 问题的一般过程及差分方法的基本概念。

设有一阶双曲型方程初值问题。

⎪⎩

⎪⎨⎧=+∞

<<∞->=∂∂+∂∂)()0,(,00x x u x t x u a t

u

ϕ

（1） 选取网格：

分，最简单

kh

x x k ==(0,1,2,0,1,2,)j t t j k j τ===±±=L L 将

D 分成许

多小矩形

区域。这些直线称为网格线，其交点称为网格点，也称为节点，

h 和τ

分别称作

x 方向和t

方向的步长。这种网格称为矩形网格。

（2） 对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式： 如果用向前差商表示一阶偏导数，即