2021高考数学专项预测《压轴题大全》+答案、解析

高考数学压轴题大全

1．（本小题满分14分）

如图，设抛物线2

:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、

PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程.

（2）证明∠PFA=∠PFB.

解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012112

0x x x x x x ≠和，

∴切线AP 的方程为：;

022

00=--x y x x 切线BP 的方程为：;022

11=--x y x x 解得P 点的坐标为：1

01

0,2

x x y x x x P P =+=

所以△APB 的重心G 的坐标为P P

G x x x x x =++=

3

10，

,

3

43)(332

1021010212

010p

P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以2

43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：

).

24(3

1

,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为4

1,(),41,2(),41,(2

1110102

00-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.

0||≠FP ∴||41)41)(41(2

||||cos 102

010010FP x x x x x x x x FA FP FA FP AFP +

=--+⋅+==∠

同理有||41)41)(41(2||||cos 102

110110FP x x x x x x x x FB FP FB FP BFP +

=--+⋅+==

∠∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2

(

1

x ，则P 点到直线AF 的距离为：,

414

1

:;2||1

2111x x x y BF x d -=-=

的方程而直线即.04

1

)4

1(1121=+

--x y x x x 所以P 点到直线BF 的距离为：2||412|

|41()()4

1(|42)41(|121

1

212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=

所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.

②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,04

1)41(),0(041

41002002

0=+-----

=-x y x x x x x x y 即直线BF 的方程：,04

141(),0(041

411121121=+-----

=-x y x x x x x x y 即所以P 点到直线AF 的距离为：

2||41)

41)(2|)4

1(|41)2)(41(|1020

2010202200120102

01x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=

+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2

|

|012x x d -=

，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.2．（本小题满分12分）

设A 、B 是椭圆λ=+2

2

3y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.

（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.

（此题不要求在答题卡上画图）

本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.

（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=2

2

3,3)1(y x x k y 代入，整理得

.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①

设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根，∴,0])3(3)3([42

2

>--+=∆k k λ②

且,3

)

3(2221+-=

+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得

.

3)3(,12

22

1+=-∴=+k k k x x 解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）.于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有

.0))(())((33212121212

2222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λ

λ

依题意，.

)

(3,2

12121y y x x k x x AB ++-

=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点，

∴.

1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而又由N （1，3）在椭圆内，∴,123132

2

=+⨯>λ∴λ的取值范围是（12，+∞）.

直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.

（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得

.

04442=-++λx x 又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根，∴).2

3

,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=

-=+M x y x x x x x 即且