【新教材】新人教A版必修一 二次函数 教案

2019-2020学年新人教A版必修一二次函数教案二次函数的图象和性质

解析式f(x)＝ax2＋bx＋c（a>0）f（x）＝ax2＋bx＋c(a〈0)

图象

定义域R R

值域错误!错误!

单调性

在x∈错误!上单调递减；

在x∈错误!上单调递增

在x∈错误!上单调递增；

在x∈错误!上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－错误!对称

概念方法微思考

1．二次函数的解析式有哪些常用形式？

提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0）;

（2）顶点式:y＝a(x－m)2＋n(a≠0）；

（3)零点式：y＝a（x－x1）(x－x2）(a≠0）．

2．已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）,写出f（x)≥0恒成立的条件．

提示a〉0且Δ≤0.

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)

(1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）,x∈[a，b]的最值一定是错误!.（×）

(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √）

(3）函数y＝

1

2

2x是幂函数．（×)

(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（√)

(5)当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数．( ×)

题组二教材改编

2．已知幂函数f(x）＝k·xα的图象过点错误!，则k＋α等于( )

A.

1

2

B．1C。错误!D．2

答案 C

解析 由幂函数的定义，知错误! ∴k ＝1，α＝错误!。∴k ＋α＝错误!.

3．已知函数f （x ）＝x 2

＋4ax 在区间(－∞,6）内单调递减,则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3B．a ≤3 C ．a <－3D ．a ≤－3 答案 D

解析 函数f (x )＝x 2

＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间（－∞,6）内单调递减可知，区间（－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D 。 题组三 易错自纠 4．幂函数f (x ）＝21023

a a x

－＋（a ∈Z )为偶函数，且f (x ）在区间（0，＋∞)上是减函数,则

a 等于（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 答案 C

解析 因为a 2

－10a ＋23＝（a －5）2

－2，

f （x )＝2

(5)2a x －－（a ∈Z ）为偶函数，

且在区间（0,＋∞）上是减函数， 所以(a －5)2

－2<0，从而a ＝4，5,6，

又（a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C 。

5．已知函数y ＝2x 2

－6x ＋3，x ∈[－1，1］，则y 的最小值是______． 答案 －1

解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32〉1,∴函数y ＝2x 2

－6x ＋3在［－1,1］

上单调递减，

∴y min ＝2－6＋3＝－1。

6．设二次函数f （x )＝x 2

－x ＋a (a >0），若f （m ）<0，则f (m －1)________0。（填“>”“<”或“＝”) 答案 〉

解析 f (x ）＝x 2

－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝错误!，且f （1)〉0，f (0)>0，而

f (m )<0,∴m ∈(0,1），

∴m －1〈0，∴f （m －1)>0。

题型一 幂函数的图象和性质

1．若幂函数的图象经过点错误!，则它的单调递增区间是（ ) A ．(0，＋∞) B．［0，＋∞） C ．（－∞,＋∞） D ．（－∞,0） 答案 D

解析 设f (x )＝x α

，则2α

＝错误!，α＝－2，即f （x )＝x －2

，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0）．故选D.

2。若四个幂函数y ＝x a

，y ＝x b

，y ＝x c

,y ＝x d

在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ,d 的大小关系是( )

A ．d 〉c 〉b 〉a

B ．a >b 〉c 〉d

C ．d >c 〉a >b

D ．a >b >d >c 答案 B

解析 由幂函数的图象可知，在（0，1）上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a 〉b >c >d ，故选B 。

3．已知幂函数f (x )＝(n 2

＋2n －2)23n n

x

－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在（0，＋∞）上

是减函数，则n 的值为（ ) A ．－3B ．1C ．2D ．1或2 答案 B

解析 由于f （x ）为幂函数,所以n 2

＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B 。

4．(2018·潍坊模拟）若(a ＋1)13

－<（3－2a )

13

－,则实数a 的取值范围是____________．

答案 （－∞,－1)∪错误! 解析 不等式（a ＋1)

1

3

－〈（3－2a ）

1

3

－等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a

〈3－2a ，解得a 〈－1或错误!〈a 〈错误!。

思维升华 （1）幂函数的形式是y ＝x α

(α∈R ），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．