第一节 计数的基本原理
计数的基本原理教案
计数的基本原理教案一、教学目标1. 让学生理解数数的概念，掌握数的顺序和数的基本单位。
2. 培养学生初步的数感，能够正确地进行数的表示和简单的运算。
3. 培养学生观察、思考、交流的能力，提高他们的问题解决能力。
二、教学内容1. 数的顺序：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……2. 数的基本单位：个、十、百、千、万等。
3. 数的表示：数字的书写和读法。
4. 简单的数运算：加法、减法。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数的顺序、数的基本单位、数的表示、简单的数运算。
2. 教学难点：数的顺序的理解和运用，数的基本单位的换算。
四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生通过观察、实践，理解数的顺序和基本单位。
2. 采用游戏教学法，激发学生的学习兴趣，提高他们的数感。
3. 采用分组合作法，培养学生的团队协作能力和交流能力。
五、教学准备1. 教具：数字卡片、计数棒、教学课件等。
2. 学具：学生用书、练习本、计数棒等。
六、教学过程1. 导入：通过数数游戏，让学生自由发挥，尝试用数来描述物品的数量。
2. 新课导入：讲解数的顺序，从1开始，依次数到10，让学生跟随老师一起数。
3. 数的表示：讲解数字的书写和读法，例如数字“3”写作“三”，读作“three”。
4. 数的基本单位：讲解数的基本单位，如个、十、百、千、万等，并以实际物品为例，让学生直观感受。
5. 数的换算：讲解相邻单位之间的换算，例如10个一是十，10个十是一百。
6. 练习环节：让学生运用所学知识，进行数的表示和换算的练习。
八、作业布置1. 请学生用数字卡片进行数的表示和换算练习。
2. 请学生编写一个关于数的家庭作业，如数数、表示数字等。
九、课后反思1. 针对本节课的教学内容，反思教学方法是否合适，学生掌握情况如何。
2. 对于教学过程中遇到的问题，如学生对数的换算理解困难等，思考解决办法。
3. 对下一节课的教学进行预告，让学生提前做好准备。
十、教学评价1. 学生能够熟练掌握数的顺序，正确表示数字。
最新《计数的基本原理》第一课时说课稿
《计数的基本原理》第一课时说课稿《计数的基本原理》第一课时说课稿1各位领导，老师们，下午好，我今天说课的题目是《计数的基本原理》我将从以下几个方面说课。
一、教材分析1、教材的地位和作用计数的基本原理包括分类计数及分步计数原理，这两个原理是学习排列组合的基础,是推导排列数、组合数的重要理论，同时也给出了分析解决排列与组合问题的思维方法。
因此，在整章书中的作用非常重要。
2、教材的重点、难点和关键教学重点：分类计数原理及分步计数原理的区别及应用教学难点：对复杂事件的分类及分步。
二、学情分析和学法指导学情分析：学生基础差，学习主动性差，缺乏学习兴趣。
基于以上情况，我设计了如下的学法指导。
学法指导：从培养学生的兴趣入手，使学生在学习过程中学会观察问题、探究问题，自主归纳总结进而得出结论。
三、教学目标分析根据以上两点，我制定了如下的教学目标：1、知识目标：掌握计数的基本原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2、能力目标：通过计数基本原理的理解和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力。
3、情感目标通过各种贴近学生生活的素材，激发学生学习兴趣，培养学生爱国热情.四、教学方法在课堂上，让学生积极主动参与是关键。
正所谓：“学问之道，问而得，不如求得之深固也” 学习任何东西最好的途径是让自己去发现。
本节课采用启发式的教学方法，启发学生积极思考，积极探索，创设一个以学生为主体，教师为主导，师生互动、合作交流、共同探索的教与学的情境。
最后我来具体谈一谈这一堂课的教学过程：根据上述情况，我设计了如下六个环节的教学过程。
五、教学过程1、创设情境——引入课题首先，我会给出以下一组图片激发学生的学习兴趣及爱国热情。
看到图片，有的学生马上脱口而出：“中国女排”。
我说：“对，这正是中国女排在去年的雅典奥运会上夺冠的画面，好，现在假使你是一名统计员，我给出如下比赛规则：分成两个小组，每个小组6支队伍进行循环赛，决出4强，再由这四支对进行淘汰赛，那么请问，夺冠的中国女排总共进行了多少场比赛？这时，学生觉得这个问题很困难。
计数的基本原理
计数的基本原理计数是我们日常生活中经常会用到的一种基本技能，它在各个领域都有着重要的应用，比如数学、统计学、计算机科学等。
在本文中，我们将探讨计数的基本原理，包括计数的概念、方法和应用。
首先，我们来理解一下计数的概念。
计数是指根据一定的规则和方法，将事物的数量用数字表示出来的过程。
在日常生活中，我们可以用计数来表示物体的个数、人员的数量、时间的长短等。
计数的基本原理是建立在对事物进行分类和归纳的基础上，通过对每个类别进行标记和计数，最终得到总体的数量。
其次，我们来讨论一下计数的方法。
在实际应用中，计数有多种方法，常见的包括一一对应法、分组计数法、估算法等。
一一对应法是指将每个物体与一个唯一的数字进行对应，通过一一对应来确定数量。
分组计数法是将物体分成若干组，再分别计数，最后将各组数量相加得到总数。
估算法则是根据已知的数量和规律，推算出未知的数量。
这些方法在不同的场景下都有着各自的优势和适用范围，可以根据实际情况选择合适的方法进行计数。
最后，我们来探讨一下计数的应用。
计数在各个领域都有着广泛的应用，比如在数学中，计数是组合数学和概率论的基础，它与排列、组合、概率等概念密切相关，是解决各种数学问题的重要方法。
在统计学中，计数是数据收集和分析的基础，通过对数据进行计数可以得到各种统计指标，为决策提供依据。
在计算机科学中，计数是算法设计和数据处理的基础，通过对数据进行计数可以实现各种算法和数据结构。
可以说，计数是现代科学技术发展的基础，它在各个领域都有着不可替代的作用。
综上所述，计数是一种基本的技能和方法，它在各个领域都有着重要的应用。
通过对计数的概念、方法和应用的探讨，我们可以更好地理解计数的基本原理，为实际应用提供理论基础和方法指导。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
计数基本原理
学生宿舍楼两边各有一个上下楼梯。问： 从底楼（一楼）到六楼共有多少种不同的走法？
问题1.小红从职教中心回家，可以乘火车，也可以乘 汽车。一天中，火车有3班，汽车有5班。那么 她乘交通公具回家，有多少种不同的选择？
职教 中心
汽车5班 火车3班
小红家
因为不管是坐汽车，还是坐火车，每一类方 法都能完成从学校到家的这件事，所以共有：
（1）分类：5+4＝9种 （2）分步：5χ4＝20种
2.小红想去商场买上衣、裙子各一件配成一套服装，已知 商场里有15种不同的上衣，10种不同的裙子，则小红可 以配出多少套不同的服装？
说明：关键要弄清要完成的“一件事情”是什么。 不要把“完成一件事情”与“计算完成这件事情的 方法总数”混同.
练习
1.财会2班有4名男生，54名女生。从中任选一名学生 作为学生会干部后选人，有多少种不同的选法？从 中选男、女生各一名到学生会文体部工作，又有多 少种不同和选法？
的语文书,下层放有6本不同的数学书. (1)从书架中取1本书,有多少种不同取法?
(2)从书架中取外语、语文、数学各1本,有多少种 不同取法?
问题剖析 需要完成的事是什么事
（2） 取外、语、数各一本
完成这个事情要分类还是分步
分步：分三步
每类（步）中各有几种不同的方法 各有4、5、6种方法
完成这件事情共有多少种不同的方法 4χ5χ6＝120种
第2步：选裙子，有10种不同的选法
共配：15χ10＝150套不同的服装
练一练
1.学校要开运动会拉！ 径赛有5项：100m、200m、400m、800m、1500m ; 田赛有4项：跳高、跳远、铅球、标枪 ;
（1）我想报名参加一项，有多少种选择方法？ （2）若我想参加径赛、田赛各1项，有多少种选择方法？
3.2-两个计数原理
4. 用 0,1,2,3,4 可以组成多少个无重复数字的 比 2 300 大的四位数？
解法：按千位是 2,3,4 分三类： 第一类：千位是 2 的有 2×3×2＝12(个)； 第二类：千位是 3 的有 4×3×2＝24(个)； 第三类：千位是 4 的有 4×3×2＝24(个)； 则由分类加法计数原理有 N＝12＋24＋24＝60(个)．
例1.书架的第1层放有5本不同的数学书，第2层放有3 本不同的语文书，第3层放有2本不同的英语书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? （2）从书架的第1、2、3层各取1本不同的书，有多少 种不同的取法？
解：（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可 分3个步骤完成：
第1步有5种方法；
第2步有3种方法；
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类 区别1 办法，关键词“分类”
完成一件事，共分n个 步骤，关键词“分步”
区别2
每类办法都能独立地完成 这件事情，它是独立的、 一次的、且每次得到的是 最后结果，只须一种方法 就可完成这件事。
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能独立完成这件 事，缺少任何一步也不能完成 这件事，只有各个步骤都完成 了，才能完成这件事。
例2： 用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：
（1）银行存折的四位密码？ （2）四位数？ （3）四位奇数？
（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步 骤：
第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种 不同的选取方法；
第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取 一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；
第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种 不同的选取方法；
计数的基本原理
甲 地
乙 地
分析: 完成由甲地到乙地这件事有三类办法：
第一类办法乘火车，有2种不同走法，
第二类办法乘汽车，有3种不同走法 第三类办法乘轮船，有4种不同走法。
因此，在一天中，此人由甲地到乙地不同的走法 共有 2+3+4=9 种。
计数的基本原理
一、分类计数原理 如果完成一件事，有n类办法。在第1类办法
中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不 同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
关键词是“分类”，各类办法之间相互独立,每种 方法都能单独的完成这件事，要计算所有方法种数,只 需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理。
1. 某商业大厦有东、西、南3个大门，某人从一 个门进从另一个门出，共有多少种不同的走法？
N＝3 × 2＝6（种）
2.把3封不同的信投到2个不同的信箱中，共有多少 种不同的投法？
N＝2 ×2×2＝8（种）
练一练
1.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字
给教室里的座位编号，总共能够编来自多少种不同的号码？这件事情。
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能单独完成 这件事情，缺少任何一步也 不能完成这件事情，只有每 个步骤都完成了，才能完成 这件事情。
区别三
各类办法是并列的、独立 的
各步之间是相互关联的
作业
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3 条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地 有2条路。从甲地到丁地共有多少种不同地走法？
例1 书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书
18本，下层有不同的物理书7本。现要从书架上任取一本书， 问有多少种不同的取法？
计数原理知识点
计数原理知识点
计数原理是概率论中的一种基本原理，也是计数学中的一个重要方法。
它用于解决计数问题，即通过一些简单的问题和已知的条件，推导出所需的计数结果。
计数原理包括了乘法原理和加法原理两个部分。
乘法原理是指，如果一个实验的过程可以划分为两个步骤，第一步有m种可能的选择，第二步有n种可能的选择，那么整
个实验的结果就有m*n种可能的情况。
举个例子，如果一串密码由4个数字组成，每个数字的取值范围都是1到9，那么根据乘法原理，总共可能的密码数量就是
9*9*9*9=6561种。
加法原理是指，如果一个实验的结果可以分为两种互斥的情况，第一种情况有m种可能，第二种情况有n种可能，那么整个
实验的结果就有m+n种可能的情况。
举个例子，如果一部电影院提供两个不同的电影放映时间，第一个电影共有4个时间选择，第二个电影共有3个时间选择，那么根据加法原理，总共的放映时间选择有4+3=7种可能。
在实际问题中，可以通过乘法和加法原理来解决复杂的计数问题，其中有些问题可能还需要用到排列组合等进一步的数学方法。
计数原理是处理计数问题时的基本思路和方法，它在概率、组合数学、统计学等领域中具有广泛的应用。
计数的基本原理
计数的基本原理计数是我们日常生活中经常会遇到的一个概念，无论是在工作中、学习中，甚至是在日常生活中，我们都会用到计数。
而计数的基本原理，是我们进行计数的前提和基础，了解计数的基本原理对我们正确进行计数具有重要意义。
首先，计数的基本原理包括了两个重要的概念，一是一一对应的原理，二是顺序排列的原理。
一一对应的原理是指，在进行计数时，每一个被计数的对象都要和一个自然数相对应，不能漏掉，也不能重复计数。
这意味着在进行计数时，我们需要对被计数的对象进行逐一对应，确保每一个对象都被正确计数到。
而顺序排列的原理则是指在进行计数时，被计数的对象需要按照一定的顺序进行排列，不能随意打乱顺序。
这两个原理是进行计数的基本前提，也是我们在日常生活中进行计数时必须要遵守的规则。
其次，了解计数的基本原理对我们进行正确的计数具有重要意义。
在工作和学习中，我们经常需要进行数据的统计和计数，而如果我们没有正确理解计数的基本原理，很容易出现错误的统计结果。
比如在进行库存盘点时，如果没有按照一一对应的原理进行盘点，就有可能漏掉一些库存商品；又比如在进行考试成绩统计时，如果没有按照顺序排列的原理进行统计，就有可能造成统计数据的混乱。
因此，了解计数的基本原理对我们进行正确的统计和计数非常重要。
最后，除了在工作和学习中，计数的基本原理也贯穿在我们日常生活的方方面面。
比如在购物时，我们需要对购买的商品进行计数和核对；又比如在做菜时，我们需要对食材进行计数和配比。
了解计数的基本原理，能够帮助我们在日常生活中更加准确地进行计数，避免出现错误和混乱。
总之，计数的基本原理是我们进行计数的基础和前提，了解和遵守计数的基本原理对我们进行正确的计数具有重要意义。
在工作、学习和日常生活中，我们都需要运用计数的基本原理，以确保我们的统计和计数结果准确无误。
希望通过本文的介绍，能够让大家更加深入地了解计数的基本原理，从而在实际应用中运用得更加得心应手。
计数的基本原理
计数的基本原理
计数的基本原理是将某个事件或物体的数量进行统计和计算。
无论是在日常生活中还是科学研究中，计数都是一种常见的方法。
其基本原理可以概括为以下几点：
1. 确定计数单位：在进行计数之前，需要明确确定计数单位。
计数单位可以是个体、组织或者其他可以独立计数的实体。
例如，在统计一群人的数量时，计数单位可以是个人。
2. 进行实际计数：在确定计数单位后，可以通过实际观察、记录或者其他方法进行计数。
实际计数可以是逐个计数，也可以是通过间接测量或抽样方法进行估算。
3. 记录计数结果：将实际计数的结果进行记录。
一般情况下，计数结果可以用数字表示。
记录计数结果的目的是为了更好地理解和分析数据。
4. 分析计数数据：对计数数据进行进一步分析，可以得到有关数量的信息。
通过计数数据的分析，可以发现规律、探索规律背后的原因，并从中获得更深入的认识。
计数的基本原理在各个领域和学科中都有广泛应用。
在数学中，计数是数论的重要内容之一，涉及到各种计数方法和技巧。
在统计学和数据分析中，计数是一种常用的数据描述和分析方法。
在科学研究和工程设计中，计数可以帮助研究人员对实验结果进行准确的统计和计量。
无论是在日常生活中还是专业领域中，计数都是一种重要的基本技能。
计数的基本原理
计数的基本原理
计数是一种常见的数学概念，用于确定事物的数量或数量的大小。
其基本原理是利用数数的方法，对所要计数的对象进行逐一排列或标记，然后在最后进行统计。
计数可以应用于各个领域，例如人口普查、库存管理、实验数据统计等。
在进行计数时，我们可以使用不同的计数单位，如个、张、件、本等，根据对象的特征来选择合适的单位。
例如在统计人口数量时，可以使用“人”作为计数单位；在统计书籍数量时，可以使用“本”作为计数单位。
通过使用适当的计数单位，可以更准确地表达数量的大小。
进行计数时，要注意遵循一定的计数原则。
首先，每个对象只能被计数一次，以确保不会重复计算；其次，每次计数都应该准确无误，以避免遗漏或错误统计；最后，要对计数结果进行整理和总结，以便对数量进行分析和解读。
在实际应用中，计数经常与其他数学概念和方法相结合，如加法、减法、乘法、除法等。
通过使用这些运算方法，可以对数量进行进一步的计算和处理，得到更多有用的信息。
总之，计数作为一种基本的数学原理，能够帮助我们准确地了解和统计事物的数量。
通过遵循计数原则和运用适当的计数单位，我们可以对各种对象进行有效的计数，并进一步应用计算方法进行数量的处理和分析。
基本计数原理
基本计数原理
基本计数原理是组合数学中的一个基本概念，它用于计算由一系列独立事件组成的样本空间中某个事件发生的总数。
简而言之，基本计数原理告诉我们，如果一个任务可以通过若干个步骤完成，第 i 个步骤有 n（i）种选择方式，那么完成整个任务
的总方法数为 n(1) × n(2) × ... × n(k) 。
举个例子来说明基本计数原理的应用。
假设我们要选择一件衣服的颜色和一双鞋子的颜色，衣服有红、黄、蓝三种颜色可选，鞋子有黑、白两种颜色可选。
如果我们按照基本计数原理来计算，衣服的选择有 3 种，鞋子的选择有 2 种，那么整个搭配的方式就有 3 × 2 = 6 种。
在实际应用中，基本计数原理常常用于解决组合、排列、分配等问题。
例如，我们要将 5 台电脑分配给 3 个班级，每个班级至少分配一台电脑。
这个问题可以通过基本计数原理求解。
首先，我们可以将其中一台电脑分配给每个班级，这样每个班级至少有一台电脑。
然后，剩余的两台电脑可以按照自由分配的原则，每个班级都可以选择或不选择。
因此，总的分配方案数为 C(3,1) × 2² = 12。
基本计数原理在计算中的应用十分广泛，可以帮助我们解决各种复杂的计数问题。
它是组合数学中的重要基础，也是深入理解概率论、组合优化等领域的基石。
第1章 计数原理
第1章计数原理江苏省宿迁市马陵中学范金泉本章是组合数学的最基础的知识，共包含1. 1两个基本计数原理、1. 2排列、1. 3组合、1. 4计数应用题和1. 5二项式定理五节内容，其中分类加法计数原理、分步乘法计数原理这两个计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．一、《课程标准》关于《计数原理》的表述及教学要求1．表述：计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．在本模块中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题．2．教学要求：（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理．通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．（2）排列与组合．通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题．（3）二项式定理．能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．二、《课程标准》与《教学大纲》在要求上的主要变化1．2002年4月由教育部颁布实施的《教学大纲》，将这一部分的教学内容的标题定为《排列、组合、二项式定理》，教学目标规定为：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．2．对比2003年4月由教育部颁布的《课程标准》，一是章节名称变为《计数原理》，突显了计数原理的基础地位，同时在教学要求上，发生了明显的变化，主要变化有：（1）“计数原理”的要求由“掌握”变为“通过实例，总结出加法计数原理、分步乘法计数原理”；（2）“排列、组合”的要求也由“理解排列、组合的意义”变为“通过实例，理解排列、组合的概念”，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）关于“排列数、组合数”，则由“掌握排列数计算公式，掌握组合数计算公式和组合数的性质”变为“能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式”．（4）“二项式定理”由“掌握二项式定理和二项展开式的性质”变为“能用计数原理证明二项式定理”，省去了“二项展开式的性质”，并给出了参考例题1．以上变化，主要是为了防止教学过程中“人为地加深难度，对知识点进行深挖”．（5）教学课时也有所变化，《教学大纲》规定为18课时，而《课程标准》规定为14课时，减少了学时数．三、《江苏省普通高考数学学科考试说明》中“计数原理”部分的考试范围与要求层次四、江苏高考考题《计数原理》作为选修内容，只能出现在江苏省普通高考数学试卷的附加题部分，由于这一部分内容的考点较多，故涉及排列、组合、二项式定理的考题仅在2008年江苏省普通高考数学试卷中出现，为第23题（真题如下）：请先阅读：在等式cos2x ＝2cos 2x －1（x ∈R ）的两边求导，得：（cos2x ）'＝（2cos 2x －1）'，由求导法则，得（－sin2x ）·2＝4cos x ·（－sin x ），化简得等式：sin2x ＝2cos x ·sin x ．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1＋x ）n ＝122C C C C n n n n n n x x x ++++ （x ∈R ，整数n ≥2），证明：n [（1＋x ）n -1－1]＝12C nk k n k k x-=∑． （2）对于正整数n ≥3，求证：（i ）1(1)C n k k n k k =-∑＝0；（ii ）21(1)C n k k n k k =-∑＝0；（iii ）10121C 11n nk n k k n +=-=++∑． 本题重在考查二项式定理，并融入了导数的内容！（1）证明：在等式（1＋x ）n ＝0122C C C C n n n n n n x x x ++++两边求导得：n （1＋x ）n -1＝12321C 2C 3C C n n n n n n x x n x -++++＝n ＋12C nk k n k k x -=∑， 故n [（1＋x ）n -1－1]＝12C n k k n k k x-=∑． （2） （i ）在等式n （1＋x ）n -1＝12321C 2C 3C C n n n n n n x x n x -++++中，令x＝－1，则有0＝12321C 2C (1)3C (1)C (1)n n n n n n n -+⋅-+⋅-++⋅-两边同乘以－1得，0＝12233C (1)2C (1)3C (1)C (1)n n n n n n n ⋅-+⋅-+⋅-++⋅-＝1(1)C n k k n k k =-∑．即1(1)C n k k n k k =-∑＝0． （ii ）对等式n （1＋x ）n -1＝12321C 2C 3C C n n n n n n x x n x -++++再求导，得n （n －1）（1＋x ）n -2＝23221C 32C (1)C n n n n n x n n x -⨯⋅+⨯⋅++⋅-⋅． 令x ＝－1，则有0＝23221C 32C (1)(1)C (1)n n n n n n n -⨯⋅+⨯⋅⋅-++⋅-⋅⋅-．两边乘以(－1)2，得0＝223321C (1)32C (1)(1)C (1)n n n n n n n ⨯⋅⋅-+⨯⋅⋅-++⋅-⋅⋅- ＝1223310C (1)21C (1)32C (1)(1)C (1)nn n n n n n n ⨯⋅⋅-+⨯⋅⋅-+⨯⋅⋅-++⋅-⋅⋅-＝1(1)C (1)n kk n k k k =--∑＝21(1)C n k k nk k =-∑－1(1)C nk kn k k =-∑． 由（i ）得21(1)C nk kn k k =-∑＝0．（iii ）因为11!!C 11!()!(1)!()!k n n n k k k n k k n k =⋅=++⋅-+⋅- ＝111(1)!1(1)!1C 1(1)!()!1(1)
全国“xx杯”数学类说课大赛优秀作品：计数的基本原理说课 (一)全国“xx杯”数学类说课大赛优秀作品：计数的基本原理说课一、引言计数学是数学中的一个重要分支，其涵盖的范围非常广泛，不仅是数学中的重要部分，而且不可缺少的应用数学。
本次说课将以计数的基本原理为出发点，详细阐释计数在数学中的应用和重要性。
二、学习目标1. 理解计数的基本原理，能够应用所学知识进行计算；2. 掌握排列与组合的概念和计算方法；3. 发现和理解计数在日常生活中的应用。
三、课堂展开1. 导入（15分钟）教师通过介绍暑期生活中的特殊活动，如打游戏、看电影等活动，引出计数的重要性。
随后让同学们思考，如果参加这些活动，你想拥有多少个不同的玩伴或看电影的伴侣，应该如何计算？2. 讲解（30分钟）第一部分：排列教师为同学们讲解排列的概念，即从n个不同元素中取出m个元素，可以按照特定的顺序组成的不同的组合方式数目。
如：从5个元素中取出3个元素，可以排列成的不同组合方式为5x4x3=60种。
第二部分：组合教师为同学们讲解组合的概念，即从n个不同元素中取出m个元素，按照任意顺序组合后，不计较元素位置的不同的组合方式数目。
如：从5个元素中取出3个元素，可以组合成的不同组合方式为5x4x3 / 3x2x1 = 10种。
3. 拓展（15分钟）同学们自由发挥，探讨计数在日常生活中的应用，例如：方案设计、比赛分组、统计人群等，以此巩固所学内容。
4. 结束（5分钟）教师对本次课堂内容进行总结，并希望同学们在后续学习中能够将所学知识运用到实际生活中，有意识地发现和解决身边事务中的计数问题。
四、教学效果通过讲解排列和组合的概念、方法及其应用，同学们深入理解了计数在数学中的重要性，并在实际生活中进行了自由拓展，进一步扩展了知识面。
此次课程能够有效提升同学们的计数思维和应用能力，有助于提升数学实践应用水平。
《计数基本原理》高二数学教案
《计数基本原理》高二数学教案一、教学目标1.理解分类计数原理与分步计数原理的基本概念。
2.能够运用分类计数原理与分步计数原理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力及解决问题的能力。
二、教学重难点1.教学重点：分类计数原理与分步计数原理的理解和应用。
2.教学难点：实际问题的分析及解题策略的运用。
三、教学过程第一环节：导入新课1.引导学生回顾排列组合的基本概念，如排列数、组合数等。
2.提问：在实际问题中，如何运用排列组合知识进行计数？第二环节：新课讲解1.讲解分类计数原理：当完成一个任务有几种不同的分类方式时，每种分类方式中的方法数相加即为总方法数。
举例讲解：从A、B、C三个班级中各选一名学生参加比赛，共有多少种选法？2.讲解分步计数原理：当完成一个任务需要分成几个步骤时，每个步骤中的方法数相乘即为总方法数。
举例讲解：从A、B、C三个班级中各选一名学生参加比赛，且要求选出的学生依次站在一排拍毕业照，共有多少种排法？3.对比讲解分类计数原理与分步计数原理的区别和联系。
第三环节：案例分析1.分析案例1：从A、B、C三个班级中各选一名学生参加比赛，共有多少种选法？引导学生运用分类计数原理进行解答。
2.分析案例2：从A、B、C三个班级中各选一名学生参加比赛，且要求选出的学生依次站在一排拍毕业照，共有多少种排法？引导学生运用分步计数原理进行解答。
第四环节：课堂练习（1）从A、B、C三个班级中各选一名学生参加比赛，共有多少种选法？（2）从A、B、C三个班级中各选一名学生参加比赛，且要求选出的学生依次站在一排拍毕业照，共有多少种排法？2.老师对学生的解答进行点评，指出错误和不足之处。
第五环节：巩固拓展1.引导学生思考：如何运用分类计数原理与分步计数原理解决更复杂的问题？2.举例讲解：某学校举办运动会，有100名学生报名参加，其中跳远项目有20人报名，100米短跑项目有30人报名，200米短跑项目有50人报名。
现在需要从这三个项目中各选一名运动员参加比赛，共有多少种选法？第六环节：课堂小结2.强调在实际问题中，如何灵活运用这两个原理进行计数。
人教B版数学选修2-3《1.1基本计数原理》说课稿
人教B版数学选修2-3《1.1基本计数原理》说课稿各位老师，大家好，我今天说课的课题是《基本计数原理》，我将从教材、学情、教学策略、教学过程、板书设计、教学反思等几个方面对本节课进行说明。
一、教材分析本节课是人教B版的数学教材选修2-3第一章第一节第一课，本节课所讲授的两个基本计数原理，即分类加法原理与分步乘法原理，是本章继续学习排列、组合的基础，学生能否理解并能应用两个基本原理，是学好本章知识的一个关键，本节课建议安排两课时，本节为第一课时，根据其在教材中的地位，结合课标的要求，设置了如下的教学目标：1、知识目标理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用两个基本原理分析、解决一些简单的应用问题。
2、能力目标在概念形成的过程中培养学生的总结与概括能力，在解决实际问题过程中锻炼学生逻辑思维能力。
3、情感目标让学生体验知识从生活中来又应用到生活中去得过程，培养学生用数学的眼光观察世界和用数学的思想思考世界的习惯。
教学重点是两个基本计数原理的内容。
难点是如何正确是用两个基本计数原理来解决实际问题。
二、学情分析高二学段的高中生已经具备较好的计算能力和基本的逻辑思维能力，但是对于实际问题的生活背景了解不多，对问题中创设的实际背景和如何完成一件事的含义的理解将成为学生运用两个基本计数原理解决问题是的瓶颈，所以找到如何完成一项实际任务的方法，是应用过程中难点。
三、教学策略本课由于内容比较简单学生通过预习多都能够看懂，在实际授课时，我将使用更能贴近学生生活的实例，以激发学生的求知欲和学习热情。
采用教师启发、学生小组合作学习方式进行教学，利用多媒体课件展示引例的问题环境，引导学生思维，具体的分析比较进而归纳出两个基本计数原理，遵循从特殊到一般的思维过程，在学生现有的认知基础上，促使其获取知识，让学生始终保持高水平的思维活动水平，增强学习效果。
四、教学过程1、设置情景，引入新课使用多媒体课件展示郑板桥《咏雪》让学生齐读古诗并请学生对古诗进行自由鉴赏。
计数的基本原理ppt课件
祝愿同学们学习进步！
机会钟爱有准备的人， 机会钟爱爱学习的人。
3.一个口袋内有6个不同的黑球，4个不同的白球，5个 不同的红球，从中任取1个球，共有多少种不同的取法
4.某商业大厦有东、南、西三个大门，某人从一个门进 从另一个门出，共有多少种不同的走法
实践应用
课后作业
1.从2,3,5,7这4个数字，任取2个不同的数做成分数，这 样的分数共有多少个.
2.一座山的南坡有3条路、北坡有2条路通往山顶.问： （1）从南坡上山，再由北坡下山，共有多少种不同的走法. （2）要求上、下坡走不同的山路，共有多少种不同的走法. （3）随意选择上、下坡路线，共有多少种不同的走法.
问题探究
问题一：某人从甲地到乙地，可以乘火 车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中， 火车有2班，汽车有5班,轮船有3班．那么一 天中此人乘坐这些交通工具从甲地到乙地共 有多少种不同的走法？
甲地
火车2班 汽车5班
乙地
解：因为一天中乘火轮车船3班有2种走法，乘汽车有5 种走法，轮船有3班，每一种走法都可以从甲 地到乙地，所以共有 2＋5+3＝10 种不 同的走法。
归纳探究
分类计数原理 完成一件事，有n类方 式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在 第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第 n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有：
N m1 m2 mn
种不同的方法。
分类计数原理又称为加法原理。
实践探究
例1：书架上层有不同的数学书15本，中层有不同 的语文书18本，下层有不同的物理书7本。现要从 书架上任取一本书，有多少种不同的取法？
解: 根据分类计数原理得
N m1 m2 m3
15 18 7 究
计数的基本原理
变：（1）、由数字1、2、……9可以组成多少个四位数？
（2）由数字0、1、2、……9可以组成多少个四位数？
（3）、由数字1、2、……9可以组成多少个无重复数字的四位数？
5、完成情境题目②某福利彩票
1、学生讨论完成题目并展示。
2、由问题2归纳分步计数原理：如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
1、针对上面两个不同的问题，学生阅读课本，小组讨论并展示，师生共同总结出两个原理。
2、教师画图分析引领学生找出两个原理的要点，并类比两个原理。
1、通过以上两个简单的问题抽象构建数学原理，自学讨论加以总结。
2、体现由特殊到一般、类比的数学方法。
探究讨论、
个别指导
1、总结两个计数原理的联系和区别：
同：都是研究完成一件事共有多少种不同的方法
异：分类和分步，分类独立完成，分步各步关联。
2、两个例题
（1）、书架上层有不同的数学书3本，中层有不同的语文书4本，下层有不同的物理书5本，现要从书架上任取一本，问有多少种不同的取法？
②某彩票，1号到30号共30个号码球，从中按照次序任取7个共能组成多少种情况？
1、教师通过创设情境说明复杂计数要用科学的计数方法，导入并板书课题。
2、学生积极思考问题，联系预习内容。
1、由视频和实例导入，提高学生学习兴趣。
2、说明其在生产生活中应用的广泛性和学习的必要性。
教学环节
内容及方式
师生活动
设计意图
（2）、书架上层有不同的数学数3本，中层有不同的语文书4本，下层有不同的物理书5本，从中取出数学、语文、物理书各一本，问有多少种不同的取法
第一节 计数原理、排列与组合
第一节计数原理、排列与组合考试要求1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”.2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．[知识排查·微点淘金]知识点1两个计数原理(1)分类加法计数原理完成一件事可以有n 类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．[微提醒]①每类方法都能独立完成这件事，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.②各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.(2)分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．[微提醒]①每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.②各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.知识点2排列与组合(1)排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个从n个不同元素中取出m(m≤n)个元元素的所有不同排列的个数素的所有不同组合的个数公式A m n＝n(n－1)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！性质A n n＝n！，0！＝1 C m n＝C n－mn ，C m n＋C m－1n＝C m n＋1[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(5)若C x n＝C m n，则x＝m成立．(×)2．(链接教材选修2－3 P24例7)将3张不同的武汉军运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是()A．2160B．720C．240 D．120答案：B3．(链接教材选修2－3 P28B组T4)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A．18 B．24C．30 D．36答案：C4．(链接教材选修2－3 P28A组T17)A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有()A．24种B．60种C．90种D．120种答案：B5．(混淆两个计数原理)一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，则从两个口袋中各取1个小球，有种不同的取法．答案：20一、基础探究点——两个计数原理的应用(题组练透)1．下图是某项工程的网络图(单位：天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有()A．14条B．12条C．9条D．7条解析：选B由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①→⑧共有3×2×2＝12条路径．故选B．2．甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．6种C．10种D．16种解析：选B分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的传递方式有3种(如图)；同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的传递方式也有3种．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．3．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()A．240 B．204C．729 D．920解析：选A若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．4．某班一天上午有4节课，每节都需要安排1名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F这6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A，B两人中安排一个，第四节课只能从A，C两人中安排一人，则不同的安排方案共有种．解析：①第一节课若安排A，则第四节课只能安排C，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有4×3＝12(种)排法．②第一节课若安排B，则第四节课可由A或C上，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有2×4×3＝24(种)排法．因此不同的安排方案共有12＋24＝36(种)．答案：36利用两个基本计数原理解决问题的步骤第一步，审清题意，弄清要完成的事件是怎样的；第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种；第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数；第四步，根据两个基本计数原理计算出完成这件事的方法种数．二、应用探究点——排列、组合的基本问题(多向思维)[典例剖析]思维点1排列的基本问题[例1]有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．解：(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37A44＝5040(种)．(3)解法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3600(种)．解法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1440(种)．排列应用题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．思维点2组合的基本问题[例2](1)某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有() A．30种B．36种C．42种D．48种解析：若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C14种选法，9日、10日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有C14C13C22＝12(种)安排方法；若甲、乙都在10日值班，则共有C24C22＝6(种)安排方法．所以不同的安排方法共有24＋12＋6＝42(种)．答案：C(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为() A．232 B．252C．472 D．484解析：分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．答案：C组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．[学会用活]1．(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种．解析：将4名同学分成人数为2,1,1的3组有C24＝6种分法，再将3组同学分到3个小区共有A33＝6种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6＝36种．答案：362.如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为()A．30B．42C．54 D．56解析：选B间接法：先从这8个点中任取3个点，有C38种取法，再减去三点共线的情形即可，即三角形的个数为C38－C35－C34＝42.三、综合探究点——分组与分配问题(思维拓展)[典例剖析][例3] 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本．解：(1)6本不同的书分成三份，1份1本 ,1份2本，1份3本 ，分三个步骤，第1步，从6本书中取1本有C 16种分配方法；第2步，从剩余的5本书中取2本有C 25＝10种分配方法，第3步，从剩余的3本书中取3本有C 33种分配方法，所以总共有C 16C 25C 33＝60种分配方法．(2)由(1)可知分组后共有60种方法，分别分给甲、乙、丙后的方法有C 16C 25C 33A 33＝360种．(3)从6本书中选择2本书，有C 26种分配方法；再从剩余4本书中选择2本书，有C 24种分配方法．剩余的就是2本书，有C 22种分配方法，所以有C 26C 24C 22＝90种分配方法．但是，该过程有重复．假如6本书分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若三个步骤分别选出的是(AB )，(CD )，(EF )，则所有情况为(AB ，CD ，EF )，(AB ，EF ，CD )，(CD ，AB ，EF )，(CD ，EF ，AB )，(EF ，AB ，CD )，(EF ，CD ，AB )．所以分配方式共有C 26C 24C 22A 33＝15种． (4)把(3)中分成的三份书分别分给甲、乙、丙三人，则分配方法为C 26C 24C 22A 33×A 33＝90种．(5)从6本书中选4本书的方法有C 46种，从剩余2本书中选1本书的有C 12种，因为在最后两本书选择中发生了重复，所以总共有C 46C 12A 22＝15种方法． (6)把(5)中分成的三份书分别分给甲乙丙三人即可，即共有C 46C 12A 22×A 33＝90种方法．分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配(1)分组问题属于“组合”问题．①对于整体均分，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以组数的阶乘；②对于部分均分，即若有m 组元素个数相同，则分组时应除以m ！；③对于不等分组，只需先分组，后排列．(2)分配问题属于“排列”问题．①相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“挡板法”；②不同元素的“分配”问题，利用分步乘法计数原理，分两步完成，第一步是分组，第二步是发放；③有限制条件的分配问题常采用分类法求解．[学会用活]3．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有 种．解析：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有⎝⎛⎭⎫C 35C 122＋C 15C 242·A 33＝150(种)．答案：150体育教育[情境素材]为深入践行“绿色、共享、开放、廉洁”的办奥理念，广泛汇聚海内外各界人士的力量，共同举办一届精彩、非凡、卓越的奥运盛会，北京冬奥组委面向全球招募北京2022年冬奥会和冬残奥会赛会志愿者．赛会志愿者将为北京冬奥会和冬残奥会开闭幕式以及各项比赛提供志愿服务，包括12类：对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他.2021年全国乙卷第6题以此为背景设计试题，既考查了排列组合的有关知识，又体现了数学在实际生活中的重要作用．[情境命题](2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A．60种B．120种C．240种D．480种[思维导引]解法一：根据题意从5名志愿者中任选2人，和其他3名志愿者一起分成4组，再分配4个项目即可得出结论；解法二：先从5名志愿者中选出2人安排1个项目，再将剩下的3名志愿者各安排剩下的3个项目中的一个，即可求解．[解法探究]解法一：若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则必有一个项目分配2名志愿者，所以先从5名志愿者中任选2名志愿者放在一起，再和剩下的3名志愿者一起分配到4个项目中，共有C25A44＝240(种)不同的分配方案．故选C．解法二：先从5名志愿者中任选2名志愿者安排到1个项目中，则有C25C14种不同的方案；再将剩下的3名志愿者安排到剩下的3个项目中，每个项目1名志愿者，则有A33种不同的方案．根据分步乘法计数原理可知，共有C25C14A33＝240(种)不同的分配方案．故选C．[答案] C以北京冬奥会安排志愿者为背景的试题，可以很好的考查排列与组合的有关知识，增强逻辑推理能力．本试题以“分配5名志愿者到4个比赛项目培训”为载体考查了排列与组合的基础知识．[应用](2021·茂名五校联考)电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，是一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年9月25日正式上映．在《夺冠》上映期间，一对夫妇带着他们的两个孩子一起去观看该影片．订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，影院要求每个孩子至少有一侧要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是()A．8B．12C．16 D．20解析：选C将4个座位编号如下，4人的座位可分四种情况：①②③④.①④坐家长、②③坐孩子，①④坐孩子、②③坐家长，①③坐家长、②④坐孩子，①③坐孩子、②④坐家长，所以不同的坐法种数为4A22A22＝16.限时规范训练基础夯实练1．(2021·四川成都月考)宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有()个矩形()A．3025B．2025C．1225 D．2525解析：选A要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为C211·C211＝3025，故选A．2．某校开展“学党史，感党恩”演讲活动，组建了甲、乙、丙、丁四个演讲组，分别到A，B，C，D四地参加演讲，每组仅去一地，每地仅去一组．其中甲不去B地，乙和丙不去A地也不去B地，则四个演讲组到A，B，C，D四地演讲的不同安排方案共有() A．5种B．4种C．3种D．2种解析：选D因为甲不去B地，乙和丙不去A地也不去B地，所以只能丁去B地，甲只能去A地，乙和丙只能去C地和D地．可能乙去C地，丙去D地，也可能乙去D地，丙去C地，故有两种安排方案．故选D．3．(2021·安徽合肥模拟)某医院有6个医疗小组，每个小组都配备1位主治医师，现根据工作需要，医院准备将其中3位主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，其余的3位主治医师仍在原来的医疗小组(不做调整)，如果调整后每个医疗小组仍都配备1位主治医师，则调整的不同方案数为()A．36 B．40C．48 D．56解析：选B从6个医疗小组选出3位主治医师，有C36＝20种不同的方法；不妨设这3位主治医师分别为甲、乙、丙，调整即为不在原来的医疗小组，有2种不同的方法．综上，调整的不同方案数为20×2＝40.故选B．4．(2021·福建省南安一中二模)现有一圆桌，周边有标号为1,2,3,4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有()A．6种B．8种C．12种D．16种解析：选B先安排甲，其选座方法有C14种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有A22种，所以共有坐法种数为C14·A22＝4×2＝8种．故选B．5．(2021·四川乐至中学月考)某研发机构依次研发六项不同的产品，其中产品a必须排在后三位，产品b，c必须排在一起，则这六项产品的不同安排方案共有() A．120种B．156种C．210种D．226种解析：选A当b, c排在前三位时共有C13A22A22A33＝72种，当b, c排在后三位时共有A22 A22A33＝24种，当b，c排在3,4位时共有A22C12A33＝24种，这项产品的不同安排方案共有72＋24＋24＝120种．故选A．6．(2021·山东泰安二模)如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为()A．30 B．40C．42 D．44解析：选B根据题意，4个阴数即4个偶数：2、4、6、8；5个阳数即1、3、5、7、9，从中任选3个，使选出的三个数的和为奇数，共有两种可能：①选出的3个数都是奇数，有C35＝10种选法；②选出的3个数有2个偶数、1个奇数，共有C24C15＝30种选法．综上所述，一共有30＋10＝40种选法．故选B．7．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台作报告，要求夫妻两人中至少有1人作报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有()A．80种B．120种C．130种D．140种解析：选D若夫妻中只选一人，则有C12C25A33＝120种不同的方案；若夫妻二人全选，则有C15A22A22＝20中不同方案，故总计有140种不同的方案，故选D．8．(2021·广东实验中学模拟)某校组织A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A 必须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有()种() A．18 B．36C．60 D．72解析：选B因为A在B的前面出场，且A，B都不在3号位置，则情况如下：①A在1号位置时，B有2、4、5三种位置选择，有3A33＝18种次序；②A在2号位置时，B有4,5号两种选择，有2A33＝12种次序；③A在4号位置时，B有5号一种选择，有A33＝6种；故共有18＋12＋6＝36(种)．故选B．9．若在7位男生和3位女生中随机挑选出1人，则所有选法种数是．(用数字作答)解析：在7位男生和3位女生中随机挑选出1人，从7位男生中随机挑选1人，有7种不同方法，从3位女生中随机挑选1人，有3种不同的方法，根据分类加法计数原理，则所有选法种数是7＋3＝10(种)．答案：1010．(2021·上海模拟)第14届国际数学教育大会于7月在上海举办，大会一共进行8天．若有4位学者分别作个人大会报告，一天只能安排一个报告，且第一天和最后一天不安排报告，则不同的安排方案种数为(用数字作答)．解析：根据题意，大会一共进行8天，第一天和最后一天不安排报告，只需在中间的6天中，任选4天，安排4位学者作报告即可，则有A46＝360种安排方法．答案：360综合提升练11．(2021·辽宁实验中学二模)某班级的六名同学计划制作一个关于清明节的宣传栏，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法有多少种( )A ．11种B ．15种C ．30种D ．9种解析：选B 若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有C 13C 34＝12种分工方法；若丙不是美工，则丙一定是总负责人，此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有C 23种分工方法；综上，共有12＋3＝15(种)分工方法，故选B ．12．(2021·湖南高三模拟)某单位在春节七天的假期间要安排值班表，该单位有值班领导3人，值班员工4人，要求每位值班领导至少值两天班，每位值班员工至少值一天班，每天要安排一位值班领导和一位值班员工一起值班，且一人值多天班时要相邻的安排方案有( )A ．249种B ．498种C ．1052种D ．8640种解析：选D 先安排值班领导：选1位值班领导值三天班，则安排3位领导值班共有C 13A 33＝18(种)方案．再安排值班员工：若4名员工中有1名员工值四天班，其他员工各值一天班，则有C 14＝4(种)选法；若1名员工值两天班，另一名员工值三天班，剩余2名员工各值一天班，则有C 14C 13＝12(种)选法；若3名员工各值两天班，1名员工值一天班，则有C 14＝4(种)选法，故安排4名员工值班共有(4＋12＋4)A 44＝480(种)方案．因此，该单位在春节七天的假期间值班表安排方案共有18×480＝8640(种)．故选D ．13．(2021·贵州贵阳一中月考)有6名实习生去3个学校实习，每个学校至少去一人，每人去一个学校，有多少种安排方法( )A ．540B ．630C ．450D ．720解析：选A 6个人分成3组，有(2, 2, 2)，(4, 1, 1)，(3, 2, 1)三种情况，按(2, 2, 2)分组有C 46·C 24·C 22A 33·A 33＝90，按(3, 2, 1)分组有C 36·C 23·C 11·A 33＝360种，按(4, 1, 1)分组有C 46·C 12·C 11A 22·A 33＝90(种)，故一共有540种方法，故选A ．14．(2021·江苏无锡模拟)四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P-ABCD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面(含公共棱的平面)不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有()A．36种B．72种C．48种D．24种解析：选B如图所示：底面ABCD的涂色有4种选择，侧面P AB有3种选择，侧面PBC有2种选择．①若侧面PCD与侧面P AB所涂颜色相同，则侧面P AD有2种选择；②若侧面PCD与侧面P AB所涂颜色不同，则侧面P AD有1种选择．综上所述，不同的涂法种数为4×3×2×(2＋1)＝72种．故选B．15．(2021·辽宁沈阳二中模拟)《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，一般认为是清代作家曹雪芹所著．《红楼梦》是一部具有世界影响力的人情小说，举世公认的中国古典小说巅峰之作，中国封建社会的百科全书，传统文化的集大成者．《红楼梦》第三十七回中贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉、李纨共8人．若林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，共有种排列方法．(用数字作答) 解析：原问题等价于：含a, b, c在内的8个不同元素排成一排，其中a, b, c互不相邻的排列方法有多少种？先将除a, b, c之外的5个元素(小圆圈)排成一排，共有6个空档(小三角)，如图所示．将a，b，c安排到6个空档之中，原来5个元素全排列即可，所以不同的排列方法共有A36A55＝120×120＝14 400(种)．答案：14 40016．(2021·重庆杨家坪中学模拟)某学校，通过心理问卷调查，发现某校高三年级有6位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有三位心理老师，每位心理老师至少安排一位学生，至多安排三位学生，问共有种心理辅导安排方法．解析：根据题意，分2步进行分析：①将6位学生分为3组，若每组2人，有C26C24C22 A33＝15种分组方法，若一组3人，一组2人，最后1组1人，有C36C23＝60种分组方法，则共有15＋60＝75(种)分组方法；②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有A33＝6种情况，则共有75×6＝450种安排方法．答案：450。
计数的基本原理
计数的基本原理计数是我们日常生活中经常会遇到的一个概念，无论是在工作中还是在生活中，我们都会涉及到各种各样的计数工作。
而计数的基本原理是什么呢？在本文中，我们将深入探讨计数的基本原理，从而更好地理解计数的本质。
首先，我们需要明确计数的定义。
计数是指对事物的数量进行明确的表示和记录。
在日常生活中，我们可以用数字、符号或者其他方式来表示数量，从而进行计数。
而计数的基本原理即是通过对事物的数量进行明确的表示和记录，从而实现对数量的准确把握和掌控。
其次，要了解计数的基本原理，我们需要了解计数的对象。
计数的对象可以是任何事物的数量，比如人的数量、物品的数量、时间的数量等等。
不同的计数对象可能会有不同的计数方式和方法，但是其基本原理是相通的，即对数量进行明确的表示和记录。
接下来，我们需要了解计数的基本方法。
计数的基本方法包括直接计数和间接计数两种方式。
直接计数是指直接对事物的数量进行明确的表示和记录，比如我们数数一群人的数量；而间接计数则是通过其他手段来推断数量，比如通过测量来推断物品的数量。
不同的计数对象可能需要采用不同的计数方法，但是其基本原理是相通的，即对数量进行明确的表示和记录。
此外，我们还需要了解计数的基本规则。
计数的基本规则包括准确性、一致性和完整性三个方面。
准确性是指计数结果应当准确无误，不应有误差；一致性是指同样的数量应当得到相同的计数结果；完整性是指对所有的数量都应当进行计数，不应有遗漏。
遵循这些基本规则，才能保证计数的准确性和可靠性。
总的来说，计数的基本原理是通过对事物的数量进行明确的表示和记录，从而实现对数量的准确把握和掌控。
了解计数的基本原理，有助于我们更好地进行计数工作，提高工作效率和准确性。
希望本文能够帮助您更好地理解计数的基本原理，从而在工作和生活中更好地运用计数的方法和技巧。
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(2)由分步计数原理可知，不同的选法共有N＝6×3×4＝
72(种)．
典例解析
(3)选两个不同类型的节目，可分为3类： 第1类选歌曲和小品，有6×4＝24(种)选法；第2类选歌曲和 舞蹈，有6×3＝18(种)选法；第3类选舞蹈和小品，有3×4 ＝12(种)选法．由分类计数原理可知，共有不同的选法种数 为N＝24＋18＋12＝54(种)
同步精练
4．已知函数y＝kx＋b，k，b∈{0，1，2，3，4}，则一次
函数的个数是( A )
A．20
B．25
C．16
D．30
【提示】 k不能取0，只能从1，2，3，4中任取一个， 而b没有限制，所以每一个k，对应着5个b，所以一共有 4×5＝20个一次函数．故选A.
同步精练
5．某班排练了5个小品节目，2个舞蹈节目，3个歌曲节 目，从中任选两个不同类型的节目参加学校文艺汇演，有
解：(1)根据分步计数原理得4×5×7＝140(种)． (2)先分类再分步红白，红绿，白绿都可完成任务， 即4×5＋4×7＋5×7＝83(种)．
同步精练
12．(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人 限报一科，有多少种不同的报名方法？
(2)有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，可能有 多少种不同的结果？
(2)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任 选一个，有5种选法；
第二步：选十位上的数字，从第一步中剩余的4个数 和0中任选一个，有5种选法；
第三步：选个位上的数字，从剩余的4个数中任选一 个，有4种选法；
由分步计数原理可知，共可以组成没有重复数字的三 位数5×5×4＝100(个)．
典例解析
典例解析
②根据分步计数原理，第一步，个位上的数需从1，3，5， 7中选一个数字，有4种选法；第二步，千位上的数需从剩 余的6个非零数字中选一个，有6种选法；百位、十位上依 次有6种和5种选法．故组成没有重复数字的四位奇数共有 N＝4×6×6×5＝720(个)．
【思路点拨】 ①需要注意千位不能是0，因有特 殊的要求，要首先进行考虑；②除了千位外，个位也 有特殊要求，因为二者之间相互影响且个位的要求更 高，所以应优先考虑个位．
(2)两个基本计数原理的区别：分类计数原理——每一类 办法都能把事单独完成；分步计数原理——缺少任何一个 步骤都无法把事完成．
典例解析
【例1】 一个盒子里有4个不同的红球，7个不同的黄
球和5个不同的蓝球．
(1)从盒子中任取一个球，有多少种不同的取法？ (1)16
(2)从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个，有多少种不同
_____种不同的选法．( A )
A．31
B．37
C．30
品和舞蹈，有5×2 ＝10(种)选法；第2类选小品和歌曲，有5×3＝15(种)选法； 第3类选舞蹈和歌曲，有2×3＝6(种)选法；由分步计数原 理可知不同的选法共有N＝10＋15＋6＝31(种)，故选A.
【思路点拨】 注意确定该问题是分类还是分 步．另外，在混合使用分类计数原理和分步计数原理 时，要先分类再分步．
典例解析
【例2】 由数字0，1，2，3，4，5可以组成：
(1)多少个不同的三位数？
(1)180
(2)多少个没有重复数字的三位数？(2)100
【解析】 要组成一个三位数，要依次选出百位、十 位、个位上的数字，并且连续完成这三个步骤，这一事 件才算完成，所以应该使用分步计数原理．
2．分步计数原理
如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同
的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种
不同的方法，那么完成这件事共有N＝_m__1_·__m_2_·__…__·__m__种
不同的方法．
n
知识梳理
注：(1)分类计数原理也称作加法原理，即完成这件事的 方法总数等于各类方法数之和；分步计数原理也称作乘法 原理，即完成这件事的方法总数等于各步方法数之积．
B．25 C．20 D．10
【提示】 每名游客各有2种不同的参观顺序，根据分
步计数原理知，5名游客的参观顺序共有N＝25＝32(种)，
故选A.
同步精练
8．某商场有4个门，一人从一门进，从另一门出，则不
同的进出走法有( C )
A．4种
B．8种 C．12种 D．16种
【提示】 由分步计数原理可知，不同的走法有N＝ 4×3＝12(种)，故选C.
第十章 概率与统计初步
思维导图
第一节 计数的基本原理
知识梳理
1．分类计数原理
如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不 同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n 类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ _m__1＋__m__2＋__…__＋__m__n_种不同的方法．
线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有( A )
A．18条
B．20条 C．25条 D．10条
【提示】 根据分步计数原理可知，不同的选法共有 N＝5×4＝20(种)，但选1，2，4三个数时，重复2条， 故选A.
同步精练
2．从3，5，7，11 这4个数中，任取2个不同的数做成分 数，则这样的分数共有( D )
A．6个 B．7个 C．10 个 D．12个 【提示】 第一步，分母有4种选法；第二步，分子有3
种选法．根据分步计数原理可知这样的分数共有N＝4×3 ＝12(个)，故选D.
3．由数字0，2，4，5组成的无重复数字的不同的三位数 的个数是( B )
A．12个 B．18个 C．24个 D．48个
【提示】 因百位上的数字不能为0，故先确定百位上 的数字而后依次确定十位和个位上的数字，根据分步计 数原理知N＝3×3×2＝18，故选B.
的取法？ (2)140
(3)从盒子中任取2个颜色不同的球，有多少种不同的取
法？
(3)83
【解析】 (1)根据分类计数原理，不同的选法种数 为N＝4＋7＋5＝16(种)．
(2)根据分步计数原理，不同的选法种数为N＝ 4×7×5＝140(种)．
典例解析
【解析】 (3)可按所选两球的颜色分为如下3类． 第1类：红球、黄球各一个，有4×7＝28(种)选法； 第2类：红球、蓝球各一个，有4×5＝20(种)选法； 第3类：黄球、蓝球各一个，有7×5＝35(种)选法． 根据分类计数原理，不同的选法种数为N＝28＋20＋35 ＝83(种)． 注意：①理解好分类与分步的本质区别，才能在应用 时不会发生混淆； ②分类计数原理与分步计数原理混合使用的问题，一 般要“先分类，后分步”； ③要解决某个此类问题，首先要判断是分类还是分步， 分类时用加法，分步时用乘法．
(1)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任 选一个，有5种选法；
第二步：选十位上的数字，从0，1，2，3，4，5中任 选一个，有6种选法；
典例解析
【解析】 第三步：选个位上的数字，从0，1，2，3， 4，5中任选一个，有6种选法；
由分步计数原理可知，共可以组成不同的三位数 5×6×6＝180(个)．
同步精练
6．5名同学参加数学、语文竞赛，各科第一名有种不同的
结果．( B )
A．52
B．25
C．20
D．10
【提示】 数学、语文的第一名各有5种不同的结果， 由分步计数原理知，不同的结果共有N＝5×5＝25(种)， 故选B.
7．5名游客到2个不同的景点参观，其参观顺序有种不同
的方法．( A )
A．32
【举一反三2】 (1)由数字0到7可以组成： ①多少个没有重复数字的四位数？ ②多少个没有重复数字的四位奇数？
(1) ①要组成没有重复数字的四位数，要依次不能重复的选 出千位、百位、十位、个位上的数字，并且千位上的数不 能为0.根据分步计数原理可知，可组成没有重复数字的四 位数的个数为N＝7×7×6×5＝1470(个)．
(3)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，要求每位 学生最多参加一项竞赛，且每项竞赛只允许有一名学生参加， 可能有多少种不同的结果？
解：(1)34＝81(种)． (2)43＝64(种)． (3)4×3×2＝24(种)．
9．一座山的南坡有4条路，北坡有3条路，如果上
山和下山走不同的路，共有___种不同的走法．( C )
A．7
B．12
C．42
D．24
【提示】 由分步计数原理可知，不同的走法有N＝ 7×6＝42(种)，故选C.
同步精练
10．4人参加3项比赛，每人限报一项，报名方法有( D )
A．45种
B．54种
C．20种 D．81种
典例解析
【思路点拨】 ①4名学生中的任一名均可报其中 的一项，因此每个学生都有3种报名方法，使用分步计 数原理．
②因为每个项目的冠军只有一个，4名学生中的每 一名学生都有可能获得其中的一个冠军，所以每个项 目获得冠军的可能性有4种，使用分步计数原理．
同步精练
一、单项选择题
1．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直
典例解析
【举一反三1】 某中职学校为庆元旦排练了6个歌曲节目， 3个舞蹈节目，4个小品节目．
(1)从中任选一个节目参加比赛，共有几种不同的选法？ (2)从中选歌曲、舞蹈、小品节目各一个，有几种不同的 选法？ (3)从中选两个不同类型的节目各一个，有几种不同的选 法？ 解：(1)由分类计数原理可知，不同的选法共有N＝6＋3
【提示】 每人有3种报名方法，由分步计数原理可知， 4人报名的方法数共有N＝34＝81(个)，故选D.
同步精练
二、解答题 11．一个盒子里有4个不同的红球，5个不同的白球，7个 不同的绿球． (1)从盒子中取红球、白球和绿球各一个，有多少种不同 的取法？ (2)从盒子中任取两个颜色不同的球，有多少种不同的取 法？