第一节 计数的基本原理

的取法？ (2)140
(3)从盒子中任取2个颜色不同的球，有多少种不同的取
法？
(3)83
【解析】 (1)根据分类计数原理，不同的选法种数 为N＝4＋7＋5＝16(种)．
(2)根据分步计数原理，不同的选法种数为N＝ 4×7×5＝140(种)．
典例解析
【解析】 (3)可按所选两球的颜色分为如下3类． 第1类：红球、黄球各一个，有4×7＝28(种)选法； 第2类：红球、蓝球各一个，有4×5＝20(种)选法； 第3类：黄球、蓝球各一个，有7×5＝35(种)选法． 根据分类计数原理，不同的选法种数为N＝28＋20＋35 ＝83(种)． 注意：①理解好分类与分步的本质区别，才能在应用 时不会发生混淆； ②分类计数原理与分步计数原理混合使用的问题，一 般要“先分类，后分步”； ③要解决某个此类问题，首先要判断是分类还是分步， 分类时用加法，分步时用乘法．
第十章 概率与统计初步
思维导图
第一节 计数的基本原理
知识梳理
1．分类计数原理
如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不 同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n 类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ _m__1＋__m__2＋__…__＋__m__n_种不同的方法．
典例解析
【思路点拨】 ①4名学生中的任一名均可报其中 的一项，因此每个学生都有3种报名方法，使用分步计 数原理．
②因为每个项目的冠军只有一个，4名学生中的每 一名学生都有可能获得其中的一个冠军，所以每个项 目获得冠军的可能性有4种，使用分步计数原理．
同步精练
一、单项选择题
1．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直
典例解析
②根据分步计数原理，第一步，个位上的数需从1，3，5， 7中选一个数字，有4种选法；第二步，千位上的数需从剩 余的6个非零数字中选一个，有6种选法；百位、十位上依 次有6种和5种选法．故组成没有重复数字的四位奇数共有 N＝4×6×6×5＝720(个)．
【思路点拨】 ①需要注意千位不能是0，因有特 殊的要求，要首先进行考虑；②除了千位外，个位也 有特殊要求，因为二者之间相互影响且个位的要求更 高，所以应优先考虑个位．
＋4＝13(种)．
(2)由分步计数原理可知，不同的选法共有N＝6×3×4＝
72(种)．
典例解析
(3)选两个不同类型的节目，可分为3类： 第1类选歌曲和小品，有6×4＝24(种)选法；第2类选歌曲和 舞蹈，有6×3＝18(种)选法；第3类选舞蹈和小品，有3×4 ＝12(种)选法．由分类计数原理可知，共有不同的选法种数 为N＝24＋18＋12＝54(种)
【提示】 每人有3种报名方法，由分步计数原理可知， 4人报名的方法数共有N＝34＝81(个)，故选D.
同步精练
二、解答题 11．一个盒子里有4个不同的红球，5个不同的白球，7个 不同的绿球． (1)从盒子中取红球、白球和绿球各一个，有多少种不同 的取法？ (2)从盒子中任取两个颜色不同的球，有多少种不同的取 法？
(2)两个基本计数原理的区别：分类计数原理——每一类 办法都能把事单独完成；分步计数原理——缺少任何一个 步骤都无法把事完成．
典例解析
【例1】 一个盒子里有4个不同的红球，7个不同的黄
球和5个不同的蓝球．
(1)从盒子中任取一个球，有多少种不同的取法？ (1)16
(2)从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个，有多少种不同
同步精练
4．已知函数y＝kx＋b，k，b∈{0，1，2，3，4}，则一次
函数的个数是( A )
A．20
B．25
C．16
D．30
【提示】 k不能取0，只能从1，2，3，4中任取一个， 而b没有限制，所以每一个k，对应着5个b，所以一共有 4×5＝20个一次函数．故选A.
同步精练
5．某班排练了5个小品节目，2个舞蹈节目，3个歌曲节 目，从中任选两个不同类型的节目参加学校文艺汇演，有
2．分步计数原理
如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同
的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种
不同的方法，那么完成这件事共有N＝_m__1_·__m_2_·__…__·__m__种
不同的方法．
n
知识梳理
注：(1)分类计数原理也称作加法原理，即完成这件事的 方法总数等于各类方法数之和；分步计数原理也称作乘法 原理，即完成这件事的方法总数等于各步方法数之积．
【举一反三2】 (1)由数字0到7可以组成： ①多少个没有重复数字的四位数？ ②多少个没有重复数字的四位奇数？
(1) ①要组成没有重复数字的四位数，要依次不能重复的选 出千位、百位、十位、个位上的数字，并且千位上的数不 能为0.根据分步计数原理可知，可组成没有重复数字的四 位数的个数为N＝7×7×6×5＝1470(个)．
解：(1)根据分步计数原理得4×5×7＝140(种)． (2)先分类再分步红白，红绿，白绿都可完成任务， 即4×5＋4×7＋5×7＝83(种)．
同步精练
12．(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人 限报一科，有多少种不同的报名方法？
(2)有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，可能有 多少种不同的结果？
9．一座山的南坡有4条路，北坡有3条路，如果上
山和下山走不同的路，共有___种不同的走法．( C )
A．7
B．12
C．42
D．24
【提示】 由分步计数原理可知，不同的走法有N＝ 7×6＝42(种)，故选C.
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10．4人参加3项比赛，每人限报一项，报名方法有( D )
A．45种
B．54种
C．20种 D．81种
典例解析
(2)学校有4名学生报名参加三项体育比赛． ①若每人限报一项，报名方法的种数为多少？ ②若他们争夺这三项比赛的冠军，荣获冠军的可能性有多 少种？ (2)①4名学生中的任一名均可报其中的一项，因此每个学 生都有3种报名方法，由分步计数原理，得报名方法有N＝ 3×3×3×3＝81(种)． ②因为每个项目的冠军只有一个，4名学生中的每一名学生 都有可能获得其中的一个冠军，所以每个项目获得冠军的 可能性有4种，由分步计数原理，得获得冠军的可能性有N ＝4×4×4＝64(种)．
A．6个 B．7个 C．10 个 D．12个 【提示】 第一步，分母有4种选法；第二步，分子有3
种选法．根据分步计数原理可知这样的分数共有N＝4×3 ＝12(个)，故选D.
3．由数字0，2，4，5组成的无重复数字的不同的三位数 的个数是( B )
A．12个 B．18个 C．24个 D．48个
【提示】 因百位上的数字不能为0，故先确定百位上 的数字而后依次确定十位和个位上的数字，根据分步计 数原理知N＝3×3×2＝18，故选B.
【思路点拨】 注意确定该问题是分类还是分 步．另外，在混合使用分类计数原理和分步计数原理 时，要先分类再分步．
典例解析
【例2】 由数字0，1，2，3，4，5可以组成：
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(1)多少个不同的三位数？
(1)180
(2)多少个没有重复数字的三位数？(2)100
【解析】 要组成一个三位数，要依次选出百位、十 位、个位上的数字，并且连续完成这三个步骤，这一事 件才算完成，所以应该使用分步计数原理．
(1)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任 选一个，有5种选法；
第二步：选十位上的数字，从0，1，2，3，4，5中任 选一个，有6种选法；
典例解析
【解析】 第三步：选个位上的数字，从0，1，2，3， 4，5中任选一个，有6种选法；
由分步计数原理可知，共可以组成不同的三位数 5×6×6＝180(个)．
典例解析
【举一反三1】 某中职学校为庆元旦排练了6个歌曲节目， 3个舞蹈节目，4个小品节目．
(1)从中任选一个节目参加比赛，共有几种不同的选法？ (2)从中选歌曲、舞蹈、小品节目各一个，有几种不同的 选法？ (3)从中选两个不同类型的节目各一个，有几种不同的选 法？ 解：(1)由分类计数原理可知，不同的选法共有N＝6＋3
_____种不同的选法．( A )
A．31
B．37
C．30
D．10
【提示】 可分为三类：第1类选小品和舞蹈，有5×2 ＝10(种)选法；第2类选小品和歌曲，有5×3＝15(种)选法； 第3类选舞蹈和歌曲，有2×3＝6(种)选法；由分步计数原 理可知不同的选法共有N＝10＋15＋6＝31(种)，故选A.
同步精练
6．5名同学参加数学、语文竞赛，各科第一名有种不同的
结果．( B )
A．52
B．25
C．20
D．10
【提示】 数学、语文的第一名各有5种不同的结果， 由分步计数原理知，不同的结果共有N＝5×5＝25(种)， 故选B.
7．5名游客到2个不同的景点参观，其参观顺序有种不同
的方法．( A )
A．32
B．25 C．20 D．10
【提示】 每名游客各有2种不同的参观顺序，根据分
步计数原理知，5名游客的参观顺序共有N＝25＝32(种)，
故选A.
同步精练
8．某商场有4个门，一人从一门进，从另一门出，则不
同的进出走法有( C )
A．4种
B．8种 C．12种 D．16种
【提示】 由分步计数原理可知，不同的走法有N＝ 4×3＝12(种)，故选C.
(3)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，要求每位 学生最多参加一项竞赛，且每项竞赛只允许有一名学生参加， 可能有多少种不同的结果？
解：(1)34＝81(种)． (2)43＝64(种)． (3)4×3×2＝24(种)．
线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有( A )
A．18条
B．20条 C．25条 D．10条
【提示】 根据分步计数原理可知，不同的选法共有 N＝5×4＝20(种)，但选1，2，4三个数时，重复2条， 故选A.
同步精练
2．从3，5，7，11 这4个数中，任取2个不同的数做成分 数，则这样的分数共有( D )
(2)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任 选一个，有5种选法；
第二步：选十位上的数字，从第一步中剩余的4个数 和0中任选一个，有5种选法；
第三步：选个位上的数字，从剩余的4个数中任选一 个，有4种选法；
由分步计数原理可知，共可以组成没有重复数字的三 位数5×5×4＝100(个)．
典例解析