高三理科数学临门一脚
广东省茂名市2024届高三模拟测试临门一脚数学试卷
广东省茂名市2024届高三模拟测试临门一脚数学试卷一、单选题1．双曲线2215y x -=的离心率为（ ）A B ．2 C D ．32．已知集合{}5x A y y ==，{}245B x x x =-<，则A B ⋃=（ ）A ．()1,-+∞B ．()0,5C ．()1,+∞D ．()()1,00,-⋃+∞3．某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日这6天员工的出勤率的折线图如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．这6天员工的出勤率呈递增趋势B ．这6天员工的出勤率呈递减趋势C ．这6天员工的出勤率的极差大于0.15D ．这6天员工的出勤率的中位数小于0.854．()98展开式中系数为有理数的项共有（ ） A ．2项B ．3项C ．4项D ．5项5．在四面体ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，4AB AD ==，且2BC CD BD ===，则四面体ABCD 的体积为（ ）A ．2B ．6C D ．6．若函数()f x 的图象与圆22:4C x y +=恰有4个公共点，则()f x 的解析式可以为（ ） A ．()|||2|f x x =-B ．2()2||f x x x =-C ．()22xf x =-D ．2()lg f x x =7．一箱苹果共有12个苹果，其中有(27)n n <<个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为355n，则n =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．P 是ABC V 内一点，45,30ABP PBC PCB ACP ∠=︒∠=∠=∠=︒，则tan BAP ∠=（ ） A ．23B ．25C ．13D ．12二、多选题9．已知a 为非零实数，复数12i,1i z a z a=+=-，则（ ）A ．12z z 的虚部为1a a- B ．1zC ．12z z 的实部为1a a+D ．当1a =时，12z z 为纯虚数10．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π2，故其各个顶点的曲率均为ππ2π3=22-⨯．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，132,2AC BC AA ===，点C的曲率为π,,,3D E F 分别为11,,AC AB AC 的中点，则（ ）A ．直线//BF 平面1A DEB ．在三棱柱111ABC A B C -中，点A 的曲率为5π6C ．在四面体1A ADE 中，点E 的曲率小于πD ．二面角1A DE A --的大小为π311．已知1x 为方程310x x +-=的根，2x 为方程510x x +-=的根，则（ ）A ．12121x x x x +<+B ．121124x x <+<C ．12x x <D ．1221e e x x x x >三、填空题12．将函数4sin9y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象，则()f x 的最小正周期为，7π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.13．已知圆22:(1)1A x y ++=内切于圆P ，圆P 内切于圆22:(1)49B x y -+=，则动圆P 的圆心的轨迹方程为.14．设向量(1,),(2,)OA x OB x ==u u u r u u u r ，则cos ,OA OB 〈〉u u u r u u u r的最小值为.四、解答题15．设函数()()e cos xf x x x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)求()f x 在[]0,π上的最大值和最小值.16．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平,3,4BCD AB AD BC CD ====．(1)证明：AC BD ⊥．(2)若BD E =为CD 的中点，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值．17．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为2的直线l 与C 交于A ，B 两点，且||10AB =． (1)求C 的方程；(2)过点B 作x 轴的平行线(BP P 是动点，且异于点)B ，过点F 作AP 的平行线交C 于M ，N 两点，证明：2||||||PA MN AB =g． 18．如图，开车从A 站到E 站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为A B C D →→→,E A B→→C →,G E →→A B F G E →→→→.开车从A 站到B 站需要3分钟，从C 站到D 站需要2分钟，从F 站到G 站需要2分钟，从C 站到G 站需要，2.5分钟，从B 站到C 站需要1t 分钟，从B 站到F 站需要2t 分钟，从G 站到E 站需要3t 分钟，从D 站到E 站需要4t 分钟，受路上的红绿灯影响，1234,,,t t t t 都是随机变量，且分布列如下(01)m <<.(1)若选择甲路线，开车从A 站到E 站的总时间为X 分钟，求X 的分布列；(2)小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过C 站的前提下，若他开车从C 站到E 站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求m 的值；(3)以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求m 的取值范围.19．已知{}1122n nn n a a ++-是公差为2的等差数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123,22a a ==．(1)求{}n a 的通项公式；S；(2)求n≥时，[]n S是定值，求正整数k的最小值．(3)[x]表示不超过x的最大整数，当n k。
江苏省南通市西城中学高三数学“临门一脚”试卷
江苏省南通市西城中学高三数学“临门一脚”试卷一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
) 1. 定义集合运算：A ⊙B=｛zz=xy ，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛-1，0，1｝，B=｛sin ,αcos α｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为 ( )A ．1 B.0 C.1- D.ααcos sin + 2. 若0,0>>b a 且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是 （ ）A ．211>ab B ．111≤+ba C ．2≥abD ．81122≤+ba）A.若l m ⊥，l α⊥，则//m αB.若//l α，αβ⊥，则l β⊥C.若//a β，,l m αβ⊂⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥ 5.若关于x 的方程4cosx －cos 2x+m －3=0恒有实数解，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．),1[+∞B ．[－1，8]C ．[1，5]D ．[0，8]6．已知函数y ＝32321x x +-在区间(,0)m 上为减函数, 则m 的取值范围是 （ ）A ．49m ≥-B ．409m -≤<C ．49m <-D ．409m -<< 7.在正三棱锥S-ABC 中，M 、N 分别为SC 、BC 的中点，且AM ⊥MN ，，则S-ABC 的外接球的表面积为（ ）A.9πB.12πC.16πD.32π8.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．()0,0123322>>=+y x y x B ．()0,0123322>>=-y x y x C ．()0,0132322>>=-y x y x D ．()0,0132322>>=+y x y x否sum=sum+2i是i>99？i=i+1i=0Sum=0结束输出sum开始9．点P （－3，1）在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向向量)5,2(-=a 的光线，经过直线2-=y 反射后经过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．31 C ．22 D ．21 10．一条螺旋线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线11223CA A A A A 、、分别以A B C 、、为圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧，曲线123CA A A 称为螺旋线，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得螺旋线112233231313,,,n n n n CA A A A A A A A A ---的总长度n S 为A ．(31)n n π+B ．(1)3n n π+ C ．2(31)n π- D ．(1)n n π+ 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
2021届安徽省池州市第一中学高三模拟考试(临门一脚)数学(理)试题(解析版)
2021届安徽省池州市第一中学高三模拟考试〔临门一脚〕数学〔理〕试题一、单项选择题1．{A x y ==，{}13B y y =≤≤，那么A B =〔 〕A ．∅B ．[]1,2C ．[)1,2D ．[]2,3【答案】B【分析】先求得集合A ，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】由220x x -≥，解得02x ≤≤，所以{}02A x x =≤≤， 所以{}12A B x x ⋂=≤≤. 应选：B2．复数()2512i i --的虚部为〔 〕 A ．4- B ．2 C ．4 D ．4i -【答案】A【分析】由复数除法的运算法那么直接可求.【详解】()()()()()251511210210102024222225i i i i i ii i i i i i ----+--=====-----+，所以虚部为4-. 应选：A.3．以下图是我国2021—2021年载货汽车产量及增长趋势统计图，针对这10年的数据，以下说法错误的选项是〔 〕A ．与2021年相比拟，2021年我国载货汽车产量同比增速不到15%B ．这10年中，载货汽车的同比增速有增有减C ．这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆D ．这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆 【答案】D【分析】根据表示数据，结合极差、中位数的求法，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A ：由表中折线图可得，与2021年相比拟，2021年我国载货汽车产量同比增速不到15%，故A 正确；对于B ：增长率有正有负，所以这10年中，载货汽车的同比增速有增有减，故B 正确； 对于C ：产量最大为423.9万辆，最小为273.5万辆，所以极差为423.9273.5150.4-=万辆，故C 正确；对于D ：这10年中，数据按从小到大排列，第5组数据为339.9，第6组数据为344.1， 两组的平均值为中位数，所以中位数为339.9344.13423402+=>万辆，故D 错误.应选：D4．一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，假设()tan 3θϕ+=，那么tan ϕ=〔 〕 A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C【分析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=.【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=, 所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ= 应选:CSO 的底面圆O S O ''与圆锥SO 是相似圆锥，且其高为8，那么圆锥S O ''的侧面积为〔 〕 A ．15π B ．60π C ．96π D ．120π【答案】B【分析】根据题意，求得圆锥SO 的底面直径和高，根据圆锥S O ''与圆锥SO 是相似圆锥，且其高为8，可得圆锥S O ''的底面直径，进而可得其母线长，代入侧面积公式，即可得答案.【详解】由题意得：圆锥SO 的底面直径为64=， 所以高与底面直径之比为4263=， 因为圆锥S O ''与圆锥SO 是相似圆锥，且其高为8， 所以圆锥S O ''的底面直径为81223=，那么底面半径为6，所以圆锥S O ''10=， 所以圆锥S O ''的侧面积为12610602ππ⨯⨯⨯=.应选：B6．椭圆C ：22195x y +=的左焦点为F ，点M 在椭圆C 上，点N 在圆E ：()2221x y -+=上，那么MF MN +的最小值为〔 〕 A ．4 B ．5C ．7D ．8【答案】B【分析】根据椭圆的定义把求MF MN +的最小值转化为求ME MN -的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边即可求得.【详解】易知圆心E 为椭圆的右焦点，且3,2a b c ===， 由椭圆的定义知：26MF ME a +==，所以6MF ME =-， 所以()66MF MN ME MN ME MN +=-+=--，要求MF MN +的最小值，只需求ME MN -的最大值，显然,,M N E 三点共线时ME MN -取最大值，且最大值为1，所以MF MN +的最小值为615-=.应选：B.7．假设定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，那么不等式()10xf x -≤的解集为〔 〕A ．(][),13,-∞-+∞B ．(][],11,3-∞-C ．[][]1,01,3-D ．[][)1,03,-+∞【答案】C【分析】首先将()10xf x -≤转化为()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，根据函数单调性解()10f x -≥和()10f x -≤，进而可以求出结果.【详解】因为()10xf x -≤，所以()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，所以()001310012x x x f x x ≥≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨-≤≤-≤⎩⎩， 因为()f x 在R 上为奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()20f -=，因此()001010211x x x f x x ≤≤⎧⎧⇒⇒-≤≤⎨⎨-≥-≤-≤-⎩⎩， 综上：不等式()10xf x -≤的解集为[][]1,01,3-.应选：C.8．数列{}n a 为等比数列，给出以下结论： ①1827a a a a =；②假设24a =，616a =，那么48a =±； ③当50a >时，3752a a a +≥； ④当30a <时，3746a a a a +>+. 其中所有正确结论的编号是〔 〕 A ．①②③ B ．②④ C ．①④ D ．①③【答案】D【分析】根据等比数列的性质可判断①； 由22424a a q q ==可判断②；由372255122q q a a a a ⎛⎫-=+- ⎝+⎪⎭，结合均值不等式可判断③；当1q =时，④不成立.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q对于①. 那么72718111a a a a q a q =⋅=，62727111a a a q a q a q =⨯=所以1827a a a a =，故①正确.对于②. 由题意224240a a q q ==>，所以48a =±不正确，所以②不正确.对于③. 225375525552122022a a a a a a a q q q q a ⎛⎫⎛⎫-=+-=+-≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 当且仅当21q =时，取得等号. 故③正确对于④. 当1q =时，7346a a a a ===，那么3746a a a a +=+，故④不正确 应选：D9．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，假设()0,0AF xAE yDC x y =+>>，那么22341xy -+的最大值为〔 〕 A ．12B ．34C ．1D ．2【答案】A【分析】设BD 、AE 交于O ，根据题意可得AOB EOD ∽△△，所以32AE AO =，进而可得32AF xAO y AB =+，根据O 、F 、B 三点共线，可得x ，y 的关系，代入所求，即可根本不等式，即可得答案.【详解】设BD 、AE 交于O ，因为DE AB ∕∕，所以AOB EOD ∽△△，所以2AO ABOE DE==, 所以2AO OE =，那么32AE AO =， 所以32AF xAO y AB xAE yDC ++==， 因为O 、F 、B 三点共线， 所以312x y +=，即232x y -=，所以222322141414x y y y y y-==+++，因为0,0x y >>，所以144y y +≥=， 当且仅当14y y =，即12y =时等号成立，此时13x =， 所以223221141424x y y y-=≤=++，应选：A10．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的局部图象如下图，且点(M ，4AB π=，假设124,,3x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()12f x f x =，那么()12cos x x +=〔 〕 AB ．12C ．12-D． 【答案】A【分析】由图可知：2A =，T π=，22Tπω==，把点(M 代入()()2sin 2f x x ϕ=+即可求ϕ的值，从而求出函数()f x 的解析式；根据124,,3x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦判断出假设122sin 22sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么123x π+与223x π+关于直线52x π=对称，从而求出()12cos x x +的值.【详解】由图知：2A =，T π=，所以22Tπω==，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，把点(M 代入()()2sin 2f x x ϕ=+，得2sin ϕ=sin ϕ=因为0ϕπ<<，所以3πϕ=或23ϕπ=(舍)， 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由124,,3x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得172,333x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，272,333x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，又由()()12f x f x =，得122sin 22sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以125222332x x πππ⎛⎫⎛⎫+++=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12136x x π+=，所以()1213cos cos cos 66x x ππ+===. 应选：A.11．抛物线C ：216y x =的焦点为F ，直线l 经过点F 交C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ，假设2PB BF =，那么弦AB 的中点E 到y 轴的距离为〔 〕 A ．133B ．92C ．4D ．253【答案】A【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，写出AB 所在直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系结合焦半径公式求得||AB ，可得弦AB 的中点到准线的距离，进而可求弦AB 的中点到y 轴的距离．【详解】解：由抛物线2:16C y x =，可得焦点(4,0)F ，准线方程为4x =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，又2PB BF = 那么2x PB PB OF PF PB BF==+∴2243x =，得283x =，代入抛物线方程求得2y =那么343AB BFk k ===，那么AB 方程为4)y x =-，联立24)16y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，求得16x =，代入抛物线方程得1y =那么AB 的中点坐标为133D ⎛ ⎝ ∴弦AB 的中点到y 轴的距离为133．应选：A ．12．函数211(0)()2242(0)x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪++≤⎩，假设函数()()()2g x f f x m =--，那么以下结论正确的选项是〔 〕A ．假设()g x 没有零点，那么0m ≤B ．当2m =时，()g x 恰有1个零点C ．当()g x 恰有2个零点时，m 的取值范围为(]0,1D ．当()g x 恰有3个零点时，m 的取值范围为(]{}1,34【答案】D【分析】作出()f x 的图象，令()0g x =，可得()f x m =或()2f x m =-，分别讨论在0m <、0m =、01m <≤、12m <<、2m =、23m <≤、34m <<、4m =和4m >情况下，y m=和2y m =-图象与()y f x =图象交点个数，即可得()g x 零点个数，综合分析，即可得答案.【详解】作出()f x 的图象，如下图：令()()()20g x f f x m =--=，即()()2f f x m -=，可得()0f x m -=或()2f x m -=-，即()f x m =或()2f x m =-， 当0m <时，()f x m =和()2f x m =-均无解，此时()g x 无零点，当0m =时，()0f x =有且仅有一个根x =-1，()2f x =-无解，此时()g x 有一个零点，故A 错误；当01m <≤时，y m =图象与()y f x =图象有2个交点，即()f x m =有2个根，221m -<-≤-，2y m =-图象与()y f x =无交点，即()2f x m =-无解，此时()g x 有2个零点；当12m <<时，y m =图象与()y f x =图象有3个交点，即()f x m =有3个根，120m -<-<，2y m =-图象与()y f x =无交点，即()2f x m =-无解，此时()g x 有3个零点；当2m =时，2y =图象与()y f x =图象有2个交点，即()2f x m ==有2个根，0y =图象与()y f x =图象有1个交点，此时()g x 有3个零点；故B 错误当23m <≤时，y m =图象与()y f x =图象有1个交点，即()f x m =有1个根，021m <-≤，2y m =-图象与()y f x =图象有2个交点，即()2f x m =-有2个根，此时()g x 有3个零点；当34m <<时，y m =图象与()y f x =图象有1个交点，即()f x m =有1个根，122m <-<，2y m =-图象与()y f x =图象有3个交点，即()2f x m =-有3个根，此时()g x 有4个零点；当4m =时，4y =图象与()y f x =图象有1个交点，即()4f x =有1个根，2y =图象与()y f x =图象有2个交点，即()2f x =有2个根，此时()g x 有3个零点；当4m >时，y m =图象与()y f x =图象有1个交点，即()f x m =有1个根，22m ->，2y m =-图象与()y f x =图象有1个交点，即()2f x m =-有1个根，此时()g x 有2个零点，故C 错误；综上可得：当()g x 恰有3个零点时，m 的取值范围为(]{}1,34，故D 正确.应选：D【点睛】解题的关键是将函数零点问题，转化为图象求交点问题，分别讨论m 的范围，数形结合，即可得答案，考查分段讨论，分析整理的能力，属中档题. 二、填空题13．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2122S a =+，534a a =，那么数列{}n a 中不超过2021的所有项的和为___________. 【答案】2046【分析】先根据题意列方程组，求出通项公式，再判断不超过2021的所有项的和为前10项的和，直接利用等比数列的前n 项和公式求和即可. 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，10,0q a >>， 因为2122S a =+，534a a =，所以1114311224a a q a a q a q +=+⎧⎨=⎩，解得：122a q =⎧⎨=⎩，所以2n n a =. 令2021n a ≤，解得：10n ≤.所以数列{}n a 中不超过2021的所有项的和为：()()101011012122046112a q S q--===--.故答案为：2046. 14．33d 4a x π=⎰，那么()2(1)1a x x +-的展开式中含5x 项的系数为___________. 【答案】3- 【分析】先由33d 4a x π=⎰，得213344a ππ⨯=，从而可求出3a =，所以()()223(1)1(1)1ax x x x =+-+-2323(1)(1)x x x =-+-，而23(1)x -展开式中不可能有5x 项，从而可求出结果【详解】解：因为33d 4a x π=⎰，所以213344a ππ⨯=，解得3a =， 所以()()223(1)1(1)1ax x x x =+-+- 2323(1)(1)x x x =-+-，因为23(1)x -展开式中不可能有5x 项，所以()32(1)1x x +-展开式中含5x 项的为122153()(1)3x C x x ⋅-=-，所以()2(1)1ax x +-的展开式中含5x 项的系数为3-，故答案为：3-15．疫情防控期间，某中学从9位(包含甲､乙､丙､丁)行政人员中选出6人负责某月1日到6日的学生体温情况统计工作，每人各1天，其中甲､乙､丙､丁四人必须选中，且甲､乙两人不能安排在相邻的两天，丙､丁两人也不能安排在相邻的两天，那么不同的安排方法共有___________种(用数字作答). 【答案】3360【分析】从反面分析，考虑甲乙相邻，但丙丁不相邻、丙丁相邻，但甲乙不相邻、甲乙相邻，丙丁也相邻，即可求出结果.【详解】余下5人选2人，即25C ，6人全排，即66A ，所以共有26567200C A ⋅=种，甲乙捆绑一起，即22A ，丙丁捆绑一起，即22A ，2个组合与另外2人全排，即44A ，故22422245960A A A C ⋅⋅⋅=；甲乙捆绑一起，与另外4人全排，即2522552400A A C ⋅⋅=；丙丁捆绑一起，与另外4人全排，即2522552400A A C ⋅⋅=；所以符合条件的有()7200240024009603360-+-=种. 故答案为：336016．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，E ，F 分别为线段AB ，BC 上的点，且BE =35AB ，FC =2BF .那么平面1EFC 截该正方体的面11ADD A 所得的线段的长度为___________.【分析】连接1C F 交1BB 的延长线于点I ，连接IE 交1AA 于点H ，设平面1EFC 与棱11A D 的交点为G ，连接1GC ，GH ，得到平面1EFC 截该正方体所得的截面，进而得到截该正方体的面11ADD A 所得的线段为线段GH ，结合平行关系和相似比，即可求解. 【详解】如下图，连接1C F 交1BB 的延长线于点I ，连接IE 交1AA 于点H ， 设平面1EFC 与棱11A D 的交点为G ，连接1GC ，GH ， 那么五边形1EFC GH 即为平面1EFC 截该正方体所得的截面， 平面1EFC 截该正方体的面11ADD A 所得的线段为线段GH ， 由35BE AB =，可得2655AE AB =⨯=，3955BE AB =⨯=，由FC =2BF ，可得1,2BF FC ==， 由11BC //B C ，可得111BI BF IB B C ==13，所以112BI BB =，所以32BI =，由//BI AH ，可得32BI BE AH AE ==，所以121,23BIAH A H ===， 由平面//ABCD 平面1111D C B A ，平面1EFC ⋂平面ABCD EF =， 平面1EFC ⋂平面11111A B C D GC =，可得1//EF GC ， 又由11//AB D C ，所以11FEB GC D ∠∠=，所以11159D G BF D C BE ==， 所以153D G =，所以1A G =43，所以GH ==【点睛】方法点拨：结合正方形的结构特征，得到五边形1EFC GH 为平面1EFC 截该正方体所得的截面，进而得到平面1EFC 截该正方体的面11ADD A 所得的线段为线段GH 是解答的关键. 三、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c且2sin sin sin sin A C B B A ⎫+=⎪⎪⎝⎭2sin C + 〔1〕求B ；〔2〕2,a c b -==求sin()A C -的值. 【答案】〔1〕3π；〔2【分析】〔1〕由正弦定理转化为边的关系，再由余弦定理即可求出tan B ，求解即可； 〔2〕由余弦定理及3B π=可得ac ，联立条件解出,a c ，由正弦定理求解.【详解】〔122sin B b a +=+2c即222sin a c b B +-=再由余弦定理可得2cos sin ac B B =sin B B =所以tan B =因为(0,)B π∈ 所以3B π=〔2〕由余弦定理得2222cos(3a c ac a π=+-=2)c ac -+所以8ac =又2a c -=，所以42a c =⎧⎨=⎩由正弦定理，得4sin sin sin c a b C A B === 所以1sin 1,sin ,(0,),(0,)2A C A C ππ==∈∈所以,,26A C ππ==所以sin()sin3A C π-==18．在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PAD △为等边三角形，底面ABCD 为菱形，3DAB π∠=，O 为AD 的中点.〔1〕试在线段BP 上找一点E ，使//OE 平面PCD ，并说明理由； 〔2〕求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.【答案】〔1〕当点E 为PB 的中点时，//OE 平面PCD ，理由见解析；〔2【分析】〔1〕当点E 为PB 的中点时，//OE 平面PCD ，取PC 的中点F ，连接EF ，DF ，证明//OE DF ，//OE 平面PCD 即得证；〔2〕连接PO ，证明,,PO OB OA 两两垂直. 以点O 为原点，直线,,OA OB OP 分别人x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐系O xyz -，利用向量法求解.【详解】解：〔1〕当点E 为PB 的中点时，//OE 平面PCD ，理由如下：取PC 的中点F ，连接EF ，DF ， 因为,PE EB PF FC ==， 所以1//,2EF BC EF BC =， 因为底面ABCD 为菱形，OA OD =， 所以1//,2OD BC OD BC =， 所以//,OD EF OD EF =， 所以四边形ODFE 是平行四边形， 所以//OE DF ，又因为OE ⊄平面,PCD DF ⊂平面PCD ， 所以，//OE 平面PCD .〔2〕连接PO ，因为PAD △是等边三角形，O 是AD 的中点， 所以PO AD ⊥，又侧面PAD ⊥底面ABCD ， 侧面PAD 底面ABCD AD =， 所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO OB ⊥. 因为底面ABCD 是菱形，3DAB π∠=，那么ABD △为等边三角形，所以OB AD ⊥，即,,PO OB OA 两两垂直.如图，以点O 为原点，直线,,OA OB OP 分别人x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐系O xyz -，设AD =2，那么(1,0,0),A B P ，((C AB →-=- 设平面P AB 的法向量为n (x,y,z)→=，由0,0AB n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x =n →=， 设PC 与平面P AB 所成的角为θ，那么||sin |cos ,|||||PC n PC n PC n θ→→→→→→⋅=<>==那么直线PC 与平面P AB . 【点睛】方法点睛：直线和平面所成的角的求法：方法一：〔几何法〕找→作〔定义法〕→证〔定义〕→指→求〔解三角形〕，其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：〔向量法〕sin AB nAB nα→→→→=，其中AB →是直线l 的方向向量，n →是平面的法向量，α是直线和平面所成的角.19．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()0,4M ，且与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点.〔1〕求证：OA OB ⊥；〔2〕在y 轴上是否存在定点N ，无论直线l 的斜率为何值，向量AN BN ANBN+与MN 始终共线？假设存在，求出点N 的坐标；假设不存在，请说明理由. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕存在，定点()0,4N -.【分析】〔1〕设直线l 的方程为4y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据0OA OB ⋅=，即可得证； 〔2〕假设存在定点()0,N t ，使得向量AN BN ANBN+与MN 共线，即存在定点N ，使得MN平分ANB ∠，即y 轴平分ANB ∠，那么有0NA NB k k +=，表示出NA k 、NB k ，即可得到方程，计算可得；【详解】解：〔1〕当直线l 的斜率不存在时，不满足与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ， 那么过点()0,4M 的直线l 的方程为4y kx =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，244x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y ，得24160x kx --=， 216640k k R ∆=+>⇒∈，124x x k +=，1216x x =-，所以()21212121216x x x x y y x x OA OB =+=+⋅2(16)16016--+==，所以OA OB ⊥.〔2〕假设存在定点()0,N t ，使得向量AN BN ANBN+与MN 共线，即存在定点N ，使得MN 平分ANB ∠，即y 轴平分ANB ∠， 那么有0NA NB k k +=， 那么1212NA NB y t y tk k x x --+=+ ()()122112440kx t x kx t x x x +-++-==，整理得()12122(4)0kx x t x x +-+=，即为324(4)0k k t -+-=，整理得(4)0k t --=， 所以4t =-，所以在y 轴上存在定点()0,4N -，不管直线l 的斜率为何值，向量AN BN ANBN+与MN 始终共线.20．某科技企业投资2亿元生产一种供5G 智能 使用的芯片，该芯片因生产原因其性能存在着一定的差异，该企业为掌握芯片的性能情况，从所生产的芯片中随机抽取了200片进行了性能测试，得到其性能指标值的频数分布表如下所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表).利用样本估计总体的思想，解决以下问题：〔1〕估计该科技企业所生产的芯片性能指标值的平均数；〔2〕每块芯片的性能等级和纯利润X (单位：元/片，14m <<)如下表所示：〔i 〕从该科技企业所生产的芯片中随机抽取3片芯片，试求至少有2片芯片为A 级或B 级芯片的概率；〔ii 〕假设该科技企业该芯片的年产量为200万片，其中次品直接报废处理，其他芯片全部能被 厂商收购，问：该企业两年之内是否有可能收回总投资？试说明理由.参考数据：ln10 2.30≈.【答案】〔1〕平均数为70.5分；〔2〕〔i 〕0.57475；〔ii 〕两年之内能收回总投资，理由见解析.【分析】〔1〕根据平均数公式计算可得；〔2〕首先求出芯片为A 级或B 级芯片的概率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；〔3〕列出芯片的性能指标值与对应概率的表格，求出每块芯片的纯利润的期望值，再利用导数求出最值；【详解】解：〔1〕由题意知，样本平均数为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.所以可以估计该科技企业所生产的芯片性能指标值的平均数为70.5分. 〔2〕〔i 〕由题意知芯片为A 级或B 级芯片的概率3020600.55200P ++==，那么从该科技企业所生产的芯片中随机抽取3片芯片，至少有2片芯片为A 级或B 级芯片的概率为01333210.450.450.550.57475P C C =--⨯=.〔ii 〕由题意可知，该芯片的性能指标值与对应概率如下表所示：(14m <<)故每块芯片的纯利润()400.1300.35500.45700.1440m m E X e m m m e m =-⨯+⨯+⨯+⨯=-+，记()y E X =，那么()'440410m my e e =-+=--，令'0y =，得ln10m =，故当()1,ln10m ∈时，'0y >，()y E X =单调递增， 当()ln10,4m ∈时，'0y <，()y E X =单调递减， 所以当ln10 2.30m =≈时，y 取得最大值， ln10max 440ln1041040 2.3052y e =-+⨯≈-⨯+⨯=(元).21．函数()()()2ln 1f x m x x =---. 〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕当2x >时，()2()2f x m x ≤-恒成立，求m 的取值范围. 【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕[]0,1.【分析】〔1〕含参数函数的单调性需要分类讨论得出结果；〔2〕通过换元把()2()2f x m x ≤-恒成立转化为()2ln(1)0m t t t -++≥恒成立，然后构造函数即可.【详解】解：〔1〕由题意，函数()f x 的定义域为()1,+∞. 那么1'(1)m f x x =--. 〔i 〕当0m >时，令'()0f x >，得11x m>+， 令'()0f x <，得111x m<<+； 所以函数()f x 在11,1m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,m ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增；〔ii 〕当0m ≤时，'()0f x <对任意()1,x ∈+∞恒成立， 所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减；综上，当0m >时，()f x 在11,1m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,m ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0m ≤时，()f x 在()1,+∞上单调递减. 〔2〕2x ∀>，()2()2f x m x ≤-恒成立，即22(2)()(2)(2)ln(1)0m x f x m x m x x --=---+-≥恒成立，设20t x =->，那么()2ln(1)0m t t t -++≥，设()2()ln(1)g t m t t t =-++，那么问题转化为0t ∀>，都有()0g t ≥恒成立. 〔i 〕当1t =时，()1ln 20g =>成立， 〔ii 〕当1t >时，20t t ->， 所以2ln(1)()0t g t m t t+≥⇔≥--， 由〔1〕知，当1m =时，()(2)ln(1)f x x x =---在[)2,+∞上单调递增， 所以当2x >时，()()20f x f >=，即()ln 12x x -<-， 于是得当20t x =->时，有()ln 1t t +<，即ln(1)1t t+<，故当1t >时，()2ln(1)ln(1)10,(1)1t t t t t t t ++=<∈+∞---， 即2ln(1)1(,0)1t t t t +->-∈-∞--， 所以当0m ≥时，2ln(1)t m t t+≥--恒成立； (iii )当01t <<时，20t t -<， 所以2ln(1)()0t g t m t t+≥⇔≤--， 而2ln(1)ln(1)1(,1)(1)1t t t t t t t ++=>∈-∞----， 即2ln(1)1(1,)1t t t t +-<-∈+∞--， 所以当1m 时，()2ln 1t m t t+≤--恒成立. 综上所述，假设对于0t ∀>，都有()0g t ≥恒成立， 那么只需01m ≤≤即可. 故所求的m 的取值范围为[]0,1. 【点睛】恒成立问题解题思路： 〔1〕参变量别离：〔2〕构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数别离即可解决问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为221212t x tt y t ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔1〕求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；〔2〕假设C 与x 轴的正半轴交于点P ，C 与l 交于点Q ，求以线段PQ 为直径的圆的标准方程.【答案】〔1〕221x y -=，40x y --=；〔2〕2225151531616128x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】〔1〕将两式平方再相减即可得到曲线C 的普通方程，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程；〔2〕首先求出P 的坐标，再求出直线与双曲线的交点Q ，求出PQ 的中点坐标即为圆心，再求出PQ ，即可得到圆的方程；【详解】解：〔1〕因为曲线C 的参数方程为221212t x tt y t ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩(t 为参数) 所以曲线C 的参数方程为122122t x tt y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②(t 为参数)， 22-①②，整理得221x y -=，所以C 的普通方程为221x y -=.由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin θθ= 所以l 的直角坐标方程为40x y --=.〔2〕在221x y -=中，令0y =，得点P 的直角坐标为()1,0， 由22140x y x y ⎧-=⎨--=⎩，得178158x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点Q 的直角坐标为1715,88⎛⎫- ⎪⎝⎭，线段PQ 的中点的直角坐标为2515,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭，PQ所以以线段PQ 为直径的圆的标准方程为2225151531616128x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 23．函数()()21f x x a x a R =-++∈. 〔1〕当2a =时，解不等式()4f x <；〔2〕记关于x 的不等式()5f x x ≤+的解集为M ，假设[]1,2M -⊆，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕71,3⎛⎫⎪⎝⎭；〔2〕[]0,1.【分析】〔1〕分类讨论去绝对值符号，然后解不等式即可；〔2〕首先根据x 的范围，确定10x +≥，50x +>，然后解不等式得到22a x a -≤≤+.，进而根据集合的包含关系得到不等式组，解不等式组即可. 【详解】解：〔1〕当2a =时，()221f x x x =-++，原不等式可化为14214x x x <-⎧⎨---<⎩，或124214x x x -≤≤⎧⎨-++<⎩或22414x x x >⎧⎨-++<⎩，解得x ∈∅或12x <≤或723x <<， ∴原不等式的解集为71,3⎛⎫⎪⎝⎭.〔2〕假设()5f x x ≤+的解集包含[]1,2-， 即当[]1,2x ∈-时，215x a x x -++≤+恒成立， 由于在[]1,2-上，10x +≥，50x +>， ∴11x x +=+，55x x +=+， ∴()5f x x ≤+，等价于24x a -≤， 即2x a -≤，22x a -≤-≤， ∴22a x a -≤≤+.由于当[]1,2x ∈-时该不等式恒成立， ∴21a -≤-且22a +≥，∴01a ≤≤，即a 的取值范围为[]0,1.。
云南省玉溪市数学高考临门一脚试卷(理科)
云南省玉溪市数学高考临门一脚试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·安徽模拟) 已知集合，集合 0，1，3，，则A . 1，B .C . 0，1，D . 1，2. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 复数的共轭复数是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·山东模拟) △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足a• +b• +c• =0，则G是△ABC中的（）A . 内心B . 外心C . 重心D . 垂心4. （2分）下列说法中不正确的是（）A . “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于演绎推理B . 已知数据x1 ， x2 ，…，xn的方差是4，则数据﹣3x1+2015，﹣3x2+2015，…，﹣3xn+2015的标准差是6C . 用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D . 若变量y和x之间的相关系数r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有很强的线性相关关系5. （2分） (2016高一下·汕头期末) 已知{an}是首项为a1 ，公比为q的等比数列，Sn是{an}的前n项和．Sn=；若am+an=as+at ，则m+n=s+t；Sk ， S2k﹣Sk ， S3k﹣S2k成等比数列（k∈N•）．以上说法正确的有（）个．A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分） (2016高三上·烟台期中) 设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的图象大致为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二下·衡阳期末) 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A . －B .C . －D .8. （2分）(2016·海南模拟) 等比数列{an}中，a3a5=64，则a4=（）A . 8B . ﹣8C . 8或﹣8D . 169. （2分） (2017高一上·焦作期末) 如图为一个几何体的三视图，三视图中的两个不同的正方形的边长分别为1和2，则该几何体的体积为（）A . 6B . 7C . 8D . 910. （2分） (2016高一下·鹤壁期末) 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC 且AB=BC=1，SA= ，则球O的表面积是（）A . 4πB . πC . 3πD . π11. （2分） (2015高二上·船营期末) 若双曲线上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是（）A . 4B . 12C . 4或12D . 612. （2分）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，x-1045 f(x)1221的导函数的图象如图所示.下列关于的命题：①函数的极大值点为；②函数在上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④函数最多有2个零点.其中正确命题的序号是（）A . ①②B . ③④C . ①②④D . ②③④.二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·南京模拟) 已知实数x，y满足，则的最小值是________．14. （1分） (2015高三上·东莞期末) 已知a是第二象限角，P（t，4）为其终边上的一点，且cosa= ，则（x2+ ）（x+ ）6的展开式中常数项等于________．15. （1分）某班共有50名学生，已知以下信息：①男生共有33人；②女团员共有7人；③住校的女生共有9人；④不住校的团员共有15人；⑤住校的男团员共有6人；⑥男生中非团员且不住校的共有8人；⑦女生中非团员且不住校的共有3人．根据以上信息，该班住校生共有________人．16. （1分）长度为5的线段AB的两端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM=2，则点M的轨迹方程是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2016高二下·揭阳期中) 已知．（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（B）的值．18. （5分）(2018·茂名模拟) 一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：温度x/°C212324272932产卵数y/个61120275777经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中xi, yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.(Ⅰ)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程 = x+ （精确到0.1）；(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为 =0.06e0.2303x ，且相关指数R2=0.9522.( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn), 其回归直线 = x+ 的斜率和截距的最小二乘估计为= −；相关指数R2= ．19. （10分） (2017高二下·宜昌期中) 四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP=1，AD= ，三棱锥P﹣ABD的体积V= ，求二面角D﹣AE﹣C的大小．20. （10分）(2017·安徽模拟) 已知椭圆C： =1，直线l过点M（﹣1，0），与椭圆C交于A，B 两点，交y轴于点N．（1）设MN的中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；（2）设=λ ，=μ ，试探究λ+μ是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21. （10分） (2017高二下·邢台期末) 已知函数f（x）=（2x+b）ex ， F（x）=bx﹣lnx，b∈R．（1）若b＜0，且存在区间M，使f（x）和F（x）在区间M上具有相同的单调性，求b的取值范围；（2）若F（x+1）＞b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．22. （10分） (2017高二下·正定期末) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为 .（1）写出直线的普通方程及圆的直角坐标方程；（2）点是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.23. （10分）(2018·河北模拟) 已知函数，若的解集是或.（1）求实数的值；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
华附高考理科数学临门一脚资料
高考理科数学临门一脚资料班____学号______姓名__________（龙非池中物，乘雷欲上天。
高三数学备课组全体同仁祝同学们一举成名天下知！）例1.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,（1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值. 解：（1）由题设知0cos ,cos 3sin ,cos 26sincos 6cossin ≠==+A A A A A A 所以从而ππ，.3,0,3tan ππ=<<=A a A 所以因为（2）由.,cos 23,31cos 222222c b a A bc c b a c b A -=-+===得及 故△ABC 是直角三角形，且31cos sin ,2===A C B 所以π.例2.某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人），现用分层抽样方法（按A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。
（I ）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人； （II ）从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1：间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（ii ）分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为110，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为1111010100p =⨯= . （Ⅱ）（i ）由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名. 故48525x +++=，得5x =，6361875y +++=，得15y = . 频率分布直方图如下从直方图可以判断：B 类工人中个体间的关异程度更小 .（ii ）485531051151251351451232525252525A x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ， 6153618115125135145133.875757575B x =⨯+⨯+⨯+⨯= ，2575123133.8131.1100100x =⨯+⨯=DAE CF1BDAE CF1BA 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133.8和131.1 .例3.已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，12BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿着AE 翻折到1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD ，F 为1B D 的中点.（Ⅰ）求四棱锥1B AECD -的体积； （Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ；（Ⅲ）求平面1ADB 与平面1ECB 所成二面角（锐角）的余弦值.解：（Ⅰ）取AE 的中点,M 连接1B M ，因为12BA AD DC BC a ====，ABE ∆为等边三角形，则1B M a =，又因为面1B AE ⊥面AECD ，所以1B M ⊥面AECD ， 所以31sin 334a V a a π=⨯⨯⨯= （Ⅱ）连接ED 交AC 于O ，连接OF ，因为AECD 为菱形，OE OD =，又为1B D 的中点， 所以FO ∥1B E ，所以1B E ∥面ACF 分（Ⅲ）连接MD，分别以1,,ME MD MB为,,x yz 轴 则1(,0,0),(,,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,)22222a a E Ca a A D B -11((((2222a a a a EC EB AD AB ==-== 。
考前临门一脚-高考理科数学压轴题分析详解
(一)巧用性质 妙解函数 [速解技法——学一招]函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，要深刻理解并加以巧妙地运用．以对称性为例，若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数图象关于直线x ＝a ＋b2对称；若函数f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，c 2对称．[例1] 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0,1]上是增函数，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32 B ．f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫32 C ．f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫－14D ．f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14 [解析] 由题设知f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )， 所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 由于奇函数f (x )在[0,1]上是增函数， 故f (x )在[－1,0]上也是增函数，综上，函数f (x )在[－1,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数． 又f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12， 所以f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32. [答案] B[例2] 已知函数f (x )＝x 3＋sin x 的定义域为[－1，1]，若f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋sin x 的定义域为[－1,1]， 易知f (x )在[－1,1]上单调递增， 由f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤log 2m ≤1，－1≤log 4(m ＋2)≤1，log 2m <log 4(m ＋2)，m >0，m ＋2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤2，－74≤m ≤2，0<m <2，m >0，m >－2，故12≤m <2. 综上可知，实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，2. [答案] ⎣⎡⎭⎫12，2[经典好题——练一手]1．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2＋x )＝－f (2－x )，当x <2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值为( )A ．可正可负B ．可能为0C ．恒大于0D ．恒小于0解析：选D 由f (2＋x )＝－f (2－x )可知，函数f (x )的图象关于点(2,0)中心对称．因为x <2时，f (x )单调递增，所以x >2时，f (x )单调递增．因为x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，设x 1<2<x 2，则x 2<4－x 1，所以f (x 2)<f (4－x 1)．又因为f (4－x 1)＝－f (x 1)，所以f (x 2)<－f (x 1)，即f (x 1)＋f (x 2)<0.2．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 017)＋f (2 018)＝( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：选B y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，即函数f (x )是偶函数，令x ＝－1，则f (－1＋2)－f (－1)＝2f (1)， 即f (1)－f (1)＝2f (1)＝0，f (1)＝0， 所以f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，则函数的周期是2，又f (0)＝2，所以f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (0)＝0＋2＝2.3．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 解析：由题意得g (－1)＝f (－1)＋2.又f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]＝－2，所以f (－1)＝－3.故f (－1)＋2＝－3＋2＝－1，即g (－1)＝－1. 答案：－14．已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝5a x ＋3a x ＋1＋4log a 1＋x 1－x ，其中－14≤x ≤14，则函数f (x )的最大值与最小值之和为________．解析：依题意知，f (x )＝4＋a x －1a x ＋1＋4log a 1＋x 1－x ，令g (x )＝a x －1a x ＋1＋4log a 1＋x1－x ，其定义域为⎣⎡⎦⎤－14，14，可知g (－x )＝a －x －1a －x ＋1＋4log a1－x 1＋x ＝－g (x )，∴函数g (x )的图象关于原点对称，从而可知函数f (x )的图象关于点(0,4)对称，故函数f (x )的最大值与最小值之和为8.答案：8[常用结论——记一番]1．函数的单调性 在公共定义域内：(1)若函数f (x )是增函数，函数g (x )是增函数，则f (x )＋g (x )是增函数； (2)若函数f (x )是减函数，函数g (x )是减函数，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)若函数f (x )是增函数，函数g (x )是减函数，则f (x )－g (x )是增函数； (4)若函数f (x )是减函数，函数g (x )是增函数，则f (x )－g (x )是减函数． [提示] 在利用函数单调性解不等式时，易忽略函数定义域这一限制条件． 2．函数的奇偶性(1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f (x )±f (－x )＝0，f (x )f (－x )＝±1；(2)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．有关函数f (x )周期性的常用结论(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数f (x )的周期为2|a |； (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数f (x )的周期为2|a |； (3)若f (x ＋a )＝1f (x )，则函数f (x )的周期为2|a |； (4)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数f (x )的周期为2|a |. (二)最值函数 大显身手 [速解技法——学一招]最值函数的定义：设a ，b 为实数，则min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ；max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，b >a .解有些求最值问题时，巧妙借助以下性质，可如虎添翼.(1)min{a ，b }≤a ＋b2≤max{a ，b }；(2) min a >0，b >0{a ，b }≤ab ≤max a >0，b >0{a ，b }.[例1] 对于任意x ∈R ，函数f (x )表示y ＝－x ＋3，y ＝32x ＋12，y ＝x 2－4x ＋3中的最大者，则f (x )的最小值是( )A ．2B ．3C ．8D ．－1[解析] 如图，分别画出函数y ＝－x ＋3，y ＝32x ＋12，y ＝x 2－4x ＋3的图象，得到三个交点A (0,3)，B (1，2)，C (5,8)． 由图象可得函数f (x )的表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x ＋3，0<x ≤1，32x ＋12，1<x ≤5，x 2－4x ＋3，x >5，所以f (x )的图象是图中的实线部分，图象的最低点是B (1,2)，所以函数f (x )的最小值是2.[答案] A[例2] 已知函数f (x )＝x 2－x ＋m －12，g (x )＝－log 2x ，min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，则当函数h (x )有三个零点时，实数m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，34 D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞[解析] 在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示．当两函数图象交于点A (1,0)时，即有1－1＋m －12＝0，解得m＝12，所以当函数h (x )有三个零点时， 即为点A 和y ＝f (x )与x 轴的两个交点， 若满足条件，则需⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f ⎝⎛⎭⎫12<0，f (1)>0，解得12<m <34.所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，34. [答案] C[经典好题——练一手]1．设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{| a ＋b |，| a －b |}≤min{| a |，| b |} B ．min{| a ＋b |，| a －b |}≥min{| a |，| b |}C ．max{| a ＋b |2，| a －b |2}≤| a |2＋| b |2D ．max{| a ＋b |2，| a －b |2}≥| a |2＋| b |2解析：选D max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a ＋b |2＋| a －b |22＝|a |2＋|b |2，故选D.2．记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，已知向量a ，b ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa＋μb (λ≥0，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223 C ．1D.52解析：选A 如图，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ， 则a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，∵λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1，∴0≤λ≤1. 又c ＝λa ＋μb ，∴c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ； c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ. 由λ＝4－4λ，得λ＝45.∴max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎨⎧λ，45≤λ≤1，4－4λ，0≤λ<45.令f (λ)＝⎩⎨⎧λ，45≤λ≤1，4－4λ，0≤λ<45.则f (λ)∈⎣⎡⎦⎤45，4.∴f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，∴c ＝45a ＋15b ＝⎝⎛⎭⎫45，25.∴|c |＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫252＝255. 3．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．16解析：选C f (x )的图象的顶点坐标为(a ＋2，－4a －4)，g (x )的图象的顶点坐标为(a －2，－4a ＋12)，并且f (x )与g (x )的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示，所以A －B ＝－4a －4－(－4a ＋12)＝－16.(三)应用导数 开阔思路 [速解技法——学一招]1．函数的单调性与导数的关系 ①f ′(x )>0⇒f (x )为增函数； ②f ′(x )<0⇒f (x )为减函数； ③f ′(x )＝0⇒f (x )为常数函数． 2．求函数f (x )极值的方法求函数的极值应先确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，再判断f ′(x )＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．[例1] 若函数f (x )＝2sin x (x ∈[0，π))的图象在切点P 处的切线平行于函数g (x )＝2x⎝⎛⎭⎫x 3＋1的图象在切点Q 处的切线，则直线P Q 的斜率为( )A.83 B ．2 C.73D.33[解析] 由题意得f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝x 12＋x －12.设P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，g (x 2))，又f ′(x 1)＝g ′(x 2)，即2cos x 1＝x 122＋x －122，故4cos 2x 1＝x 2＋x －12＋2，所以－4＋4cos 2x 1＝x 2＋x －12－2，即－4sin 2x 1＝(x 122－x －122)2，所以sin x 1＝0，x 1＝0，x 122＝x －122，x 2＝1，故P (0,0)，Q ⎝⎛⎭⎫1，83，故k P Q ＝83. [答案] A求曲线的切线方程时，要注意是在点P 处的切线还是过点P 的切线，前者点P 为切点，后者点P 不一定为切点．[技法领悟][例2] 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f(x 2)<x 22＋12的解集为______________________． [解析] 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f(x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)[例3] 已知函数f (x )＝(ax ＋b )ln x －bx ＋3在(1，f (1))处的切线方程为y ＝2. (1)求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值；(3)若g (x )＝f (x )＋kx 在(1,3)上是单调函数，求k 的取值范围． [解] (1)因为f (1)＝－b ＋3＝2，所以b ＝1. 又f ′(x )＝b x ＋a ln x ＋a －b ＝1x ＋a ln x ＋a －1，而函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y ＝2， 所以f ′(1)＝1＋a －1＝0，所以a ＝0.(2)由(1)得f (x )＝ln x －x ＋3，f ′(x )＝1x －1(x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故f (x )的极大值为f (1)＝2，无极小值． (3)由g (x )＝f (x )＋kx ，得g (x )＝ln x ＋(k －1)x ＋3(x >0)，g ′(x )＝1x ＋k －1，又g (x )在x ∈(1,3)上是单调函数， 若g (x )为增函数，有g ′(x )≥0，即g ′(x )＝1x ＋k －1≥0，即k ≥1－1x 在x ∈(1,3)上恒成立．又1－1x ∈⎝⎛⎭⎫0，23，所以k ≥23. 若g (x )为减函数，有g ′(x )≤0，即g ′(x )＝1x ＋k －1≤0，即k ≤1－1x 在x ∈(1,3)上恒成立，又1－1x ∈⎝⎛⎭⎫0，23，所以k ≤0. 综上，k 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫23，＋∞. [技法领悟]破解此类问题需注意两点：(1)求函数的单调区间时应优先考虑函数的定义域；(2)求得函数在多个区间单调性相同时，区间之间用“，”分割，或用“和”相连，不能用“∪”相连．[经典好题——练一手]1．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A.12B ．1C ．2D ．e解析：选B 由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.2．若函数f (x )＝ax －x 2－ln x 存在极值，且这些极值的和不小于4＋ln 2，则a 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．[23，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选C f ′(x )＝a －2x －1x ＝－2x 2－ax ＋1x (x >0)，因为f (x )存在极值，所以f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有根，即2x 2－ax ＋1＝0在(0，＋∞)上有根，所以Δ＝a 2－8≥0，显然当Δ＝0时，f (x )无极值，不合题意，所以Δ＝a 2－8>0，即a >22或a <－2 2.记方程2x 2－ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1x 2＝12，x 1＋x 2＝a 2，易知a >0，则f (x 1)，f (x 2)为f (x )的极值，所以f (x 1)＋f (x 2)＝(ax 1－x 21－ln x 1)＋(ax 2－x 22－ln x 2)＝a (x 1＋x 2)－(x 21＋x 22)－(ln x 1＋ln x 2)＝a 22－⎝⎛⎭⎫a 24－1＋ln 2≥4＋ln 2，所以a ≥2 3.综上，a 的取值范围为[23，＋∞)．3．π是圆周率，e 是自然对数的底数，在3e ，e 3，e π，π3,3π，πe 六个数中，最小的数与最大的数分别是( )A ．3e,3πB ．3e ，e πC ．e 3，π3D ．πe,3π解析：选A ∵e<3<π，∴eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.又函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，故3e <πe <π3，e 3<e π<3π，故这六个数中的最大数为π3或3π.构造函数f (x )＝ln xx ，f (x )的定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x )＝1－ln x x 2，当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．由e<3<π及函数f (x )＝ln xx 的单调性，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln 33<ln e e .由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln 3π，∴3π>π3，∴在3e ，e 3，e π，π3,3π，πe 六个数中的最大的数是3π，同理得最小的数为3e .4．已知函数f (x )＝1－ln x ＋a 2x 2－ax (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)若a ＝0且x ∈(0,1)，求证：f (x )e x＋x 2－1x <1.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x ＋2a 2x －a ＝2a 2x 2－ax －1x＝(2ax ＋1)(ax －1)x.①若a ＝0，则f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ②若a >0，则当x ＝1a时，f ′(x )＝0，当0<x <1a 时，f ′(x )<0；当x >1a 时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增． ③若a <0，则当x ＝－12a时，f ′(x )＝0，当0<x <－12a 时，f ′(x )<0；当x >－12a时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递增． (2)证明：若a ＝0且x ∈(0,1)， 则f (x )＝1－ln x ，x ∈(0,1)． 欲证f (x )e x ＋x 2－1x <1，只需证1－ln x e x＋x 2－1x <1， 即证x (1－ln x )<(1＋x －x 3)e x .设函数g (x )＝x (1－ln x )，则g ′(x )＝－ln x .当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，故函数g (x )在(0,1)上单调递增，所以g (x )<g (1)＝1. 设函数h (x )＝(1＋x －x 3)e x ， 则h ′(x )＝(2＋x －3x 2－x 3)e x .设函数p (x )＝2＋x －3x 2－x 3，则p ′(x )＝1－6x －3x 2. 当x ∈(0,1)时，p ′(0)·p ′(1)＝－8<0， 故存在x 0∈(0,1)，使得p ′(x 0)＝0，从而函数p (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0,1)上单调递减．当x ∈(0，x 0)时，p (x 0)>p (0)＝2， 当x ∈(x 0,1)时，p (x 0)·p (1)<0， 故存在x 1∈(0,1)，使得h ′(x 1)＝0， 即当x ∈(0，x 1)时，h ′(x )>0， 当x ∈(x 1,1)时，h ′(x )<0，从而函数h (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1,1)上单调递减． 因为h (0)＝1，h (1)＝e ，所以当x ∈(0,1)时，h (x )>h (0)＝1， 所以x (1－ln x )<(1＋x －x 3)e x ，x ∈(0,1)， 即f (x )e x＋x 2－1x <1，x ∈(0,1)．[常用结论——记一番]1．函数的极值点(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)极值点不是一个点，而是一个数x 0，当x ＝x 0时，函数取得极值．在x 0处有f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x 0处取得极值的必要不充分条件．2．函数最值的判别方法(1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上最值的关键是求出f ′(x )＝0的根的函数值，再与f (a )，f (b )作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)求函数f (x )在非闭区间上的最值，只需利用导数法判断函数f (x )的单调性，即可得结论．(四)三角问题 重在三变 [速解技法——学一招]“三变”是指变角、变数与变式.(1)变角如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β.(2)变数特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等.(3)变式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)，sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1.[例1] 对于锐角α，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝( )A.2425 B.38 C.28D ．－2425[解析] 由α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝35， 可得cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＝45， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2α＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫α－π12cos ⎝⎛⎭⎫α－π12 ＝－2×35×45＝－2425.[答案] D [例2] 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是 ( )A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4[解析] 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π， 又sin 2α＝55，故2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以cos 2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4， 于是cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)] ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案] A[经典好题——练一手]1．若cos ⎝⎛⎭⎫π8－α＝16，则cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋2α的值为( ) A.1718 B ．－1718C.1819D ．－1819解析：选A ∵cos ⎝⎛⎭⎫π8－α＝16， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π8－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫162－1＝－1718， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝1718. 2．sin 40°(tan 10°－3)＝( ) A ．－12B ．－1 C.32D ．－33解析：选B sin 40°(tan 10°－3)＝sin 40°(sin 10°－3cos 10°)cos 10°＝sin 40°·2sin (10°－60°)cos 10°＝－2sin 40°cos 40°cos 10°＝－sin 80°cos 10°＝－cos 10°cos 10°＝－1.3．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．[－2，1]B ．[－1，2]C ．[－1,1]D ．[1，2]解析：选C ∵sin αcos β－cos αsin β＝1， ∴sin(α－β)＝1，∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2.由⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π⇒π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. ∵π2≤α≤π， ∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 即所求的取值范围是[－1,1]．4．已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(A >0，ω>0)的图象相邻两条对称轴的距离为π2，且f (0)＝1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π4，f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－1013，f ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝65，求tan(2α－2β)的值． 解：(1)∵函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(A >0，ω>0)的图象相邻两条对称轴的距离为π2，∴T 2＝πω＝π2，∴ω＝2， 又f (0)＝1，∴12A ＝1，∴A ＝2，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π3－π3＝2cos(2α－π)＝－2cos 2α＝－1013， ∴cos 2α＝513，sin 2α＝1－cos 22α＝1213，则tan 2α＝sin 2αcos 2α＝125.∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π4， f ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫β＋π6－π3＝2cos 2β＝65， ∴cos 2β＝35，sin 2β＝1－cos 22β＝45，则tan 2β＝sin 2βcos 2β＝43.∴tan(2α－2β)＝tan 2α－tan 2β1＋tan 2α·tan 2β＝125－431＋125×43＝1663.[常用结论——记一番]三角公式中常用的变形(1)对于含有sin α±cos α，sin αcos α的问题，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，建立sin α±cos α与sin αcos α的关系．(2)对于含有sin α，cos α的齐次式⎝ ⎛⎭⎪⎫如sin α＋cos αsin α－cos α，sin αcos α，利用tan α＝sin αcos α转化为含tan α的式子．(3)对于形如cos 2α＋sin α与cos 2α＋sin αcos α的变形，前者用平方关系sin 2α＋cos 2α＝1化为二次型函数，而后者用降幂公式化为一个角的三角函数．(4)含tan α＋tan β与tan αtan β时考虑tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(五)正弦余弦 相得益彰 [速解技法——学一招]边角互化的技巧：若要把“边”化为“角”， 常利用“a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ”，,若要把“角”化为“边”，常利用“sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ”(R 为△ABC 外接圆的半径)等.[例1] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .[解] (1)证明：根据正弦定理， 可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )． 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C . (2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.[例2] 如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．[解] (1)在△ADC 中，∵cos ∠ADC ＝17，∴sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，则sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(π－∠ADC )＝sin ∠ADC ＝437.由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB＝8×3314437＝3，在△ABC 中，BC ＝BD ＋DC ＝5，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，即AC ＝7.[经典好题——练一手]1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba＝2，则该三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：选A 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2，所以C ＝π2，于是△ABC 是直角三角形．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos C ＋c cos A ＝2b sin A ，则A 的值为( )A.5π6B.π6C.2π3D.π6或5π6解析：选D 由a cos C ＋c cos A ＝2b sin A ，结合正弦定理可得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B sin A ，即sin(A ＋C )＝2sin B sin A ，故sin B ＝2sin B sin A ．又sin B ≠0，可得sin A ＝12，故A ＝π6或5π6.3．非直角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝1，C ＝π3.若sin C＋sin(A －B )＝3sin 2B ，则△ABC 的面积为( )A.1534B.154 C.2134或36D.3328解析：选D 因为sin C ＋sin(A －B )＝sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ＝6sin B cos B ，因为△ABC 非直角三角形，所以cos B ≠0，所以sin A ＝3sin B ，即a ＝3b .又c ＝1，C ＝π3，由余弦定理得a 2＋b 2－ab ＝1，结合a ＝3b ，可得b 2＝17，所以S ＝12ab sinC ＝32b 2sin π3＝3328.故选D.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A 2＝52b . (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解：(1)证明：由已知得， a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .整理得a ＋c ＋a cos C ＋c cos A ＝52b .在△ABC 中，由余弦定理，得a cos C ＋c cos A ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc＝2b 22b＝b . ∴a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)∵cos B ＝14，∴sin B ＝154.∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 2(a ＋c )＝3b ， ∴b 2＝9b 24－16×⎝⎛⎭⎫1＋14，解得b 2＝16， ∴b ＝4.[常用结论——记一番]1．解三角形中常用结论：(1)三角形中正弦、余弦、正切满足的关系式有：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .(2)三角形形状判断(一般用余弦定理)： 直角三角形⇔a 2＋b 2＝c 2；锐角三角形⇔a 2＋b 2>c 2(c 为最大边)； 钝角三角形⇔a 2＋b 2<c 2(c 为最大边)． (3)在锐角三角形ABC 中： ①A ＋B >π2，C ＋B >π2，A ＋C >π2；②任意角的正弦值都大于其他角的余弦值． (4)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列⇔B ＝60°；在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，且a ，b ，c 成等比数列⇔三角形为等边三角形． 2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S . (1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形ABC 内切圆的半径)．(六)向量小题 三招搞定[速解技法——学一招]解决与向量有关的小题，一般用三招，即“构图、分解、建系”，就能突破难点，顺利解决问题.[例1] 如图， 在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14 AB ―→， BE ―→＝2EC ―→，且AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 法一：根据图形，由题意可得 AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23 BC ―→＝AB ―→＋23( BA ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→) ＝13AB ―→＋23AD ―→＋14AB ―→ ＝12AB ―→＋23AD ―→. 因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.法二：因为BE ―→＝2EC ―→，所以AE ―→－AB ―→＝2(AC ―→－AE ―→)，整理得AE ―→＝13AB ―→＋23AC ―→＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝12AB ―→＋23AD ―→，则r ＝12，s ＝23，2r ＋3s ＝3.法三：如图，延长AD ，BC 交于点P ，则由DC ―→＝14AB ―→得DC ∥AB ，且AB ＝4DC ，又BE ―→＝2EC ―→，所以E 为PB 的中点，且AP ―→＝43AD ―→.于是，AE ―→＝12(AB ―→＋AP ―→)＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋43AD ―→＝12AB ―→＋23AD ―→. 则r ＝12，s ＝23，2r ＋3s ＝3.法四：如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m,0)，D (3m,3h )，E (4m,2h )，其中m >0，h >0.由AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→， 得(4m,2h )＝r (4m,0)＋s (3m,3h )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms ，2h ＝3hs ，解得⎩⎨⎧r ＝12，s ＝23，所以2r ＋3s ＝1＋2＝3. [答案] C[技法领悟]解决平面向量问题的常用方法(1)求解有关平面向量的问题时，若能灵活利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析，则有利于问题的顺利获解．这种解题思路，我们不妨称之为按“图”处理．(2)建系法：处理有关平面图形的向量问题时，若能灵活建立平面直角坐标系，则可借助向量的坐标运算巧解题，这也体现了向量的代数化手段的重要性．(3)基底法：求解有关平面向量的问题时，若能灵活地选取基底，则有利于问题的快速获解．理论依据：适当选取一组基底e 1，e 2，利用平面向量基本定理及相关向量知识，可将原问题转化为关于e 1，e 2的代数运算问题．[经典好题——练一手]1．已知AB ―→·BC ―→＝0，|AB ―→|＝1，|BC ―→|＝2， AD ―→·DC ―→＝0，则|BD ―→|的最大值为( ) A.255B ．2C. 5 D ．2 5解析：选C 由AB ―→·BC ―→＝0可知，AB ―→⊥BC ―→.故以B 为坐标原点，分别以BA ，BC 所在的直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意，可得B (0,0)，A (1,0)，C (0,2)．设D (x ，y )，则AD ―→＝(x －1，y )， DC ―→＝(－x,2－y )．由AD ―→·DC ―→＝0，可得(x －1)(－x )＋y (2－y )＝0， 整理得⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝54. 所以点D 在以E ⎝⎛⎭⎫12，1为圆心，半径r ＝52的圆上． 因为|BD ―→|表示B ，D 两点间的距离， 而|EB ―→|＝52，所以|BD ―→|的最大值为| EB ―→|＋r ＝52＋52＝ 5.2．已知向量a ，b 满足a ·(a ＋2b )＝0，|a |＝|b |＝1，且|c －a －2b |＝1，则|c |的最大值为( )A ．2B ．4 C.5＋1D.3＋1解析：选D 设a ＝OA ―→，a ＋2b ＝OB ―→，c ＝OC ―→，且设点A 在x 轴上，则点B 在y 轴上，由|c －a －2b |＝1，可知|c －(a ＋2b )|＝|OC ―→－OB ―→|＝|BC ―→|＝1，所以点C 在以B 为圆心，1为半径的圆上，如图所示．法一：因为a ·(a ＋2b )＝0，所以2a ·b ＝－|a |2. 又|a |＝|b |＝1，所以|a ＋2b |＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4|b |2－|a |2＝3，所以|c |max ＝|OB ―→|＋1＝|a ＋2b |＋1＝3＋1. 法二：连接AB ，因为OB ―→＝OA ―→＋AB ―→＝a ＋2b ，所以AB ―→＝2b .因为|a |＝|b |＝1，所以|AB ―→|＝2，|OA ―→|＝1， 所以|OB ―→|＝|AB ―→|2－|OA ―→|2＝3，所以|c |max ＝|OB ―→|＋1＝3＋1.3．在Rt △ABC 中，CA ＝4，CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM ―→·CN ―→的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤2，52 B ．[4,6] C.⎣⎡⎦⎤11925，485D.⎣⎡⎦⎤11925，535解析：选C 设MN 的中点为E ，则有CM ―→＋CN ―→＝2CE ―→，所以CM ―→·CN ―→＝14[(CM ―→＋CN ―→)2－(CM ―→－CN ―→)2]＝|CE ―→|2－14| NM ―→|2＝|CE ―→|2－1.易知|CE ―→|的最小值等于点C 到斜边AB 的距离，即125，所以CM ―→·CN ―→的最小值为⎝⎛⎭⎫1252－1＝11925.当点M (或点N )与点A 重合时，|CE ―→|最大， 此时|CE ―→|2＝12＋42－2×1×4×45＝535，所以CM ―→·CN ―→的最大值为535－1＝485.综上，CM ―→·CN ―→的取值范围是⎣⎡⎦⎤11925，485.4.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB ―→·AC ―→＝2AB ―→·AD ―→，则AD ―→·AC ―→＝__________.解析：法一：因为AB ―→·AC ―→＝2AB ―→·AD ―→， 所以AB ―→·AC ―→－AB ―→·AD ―→＝AB ―→·AD ―→， 所以AB ―→·DC ―→＝AB ―→·AD ―→.因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，所以2|AB ―→|＝|AB ―→||AD ―→|cos π4，化简得|AD ―→|＝2 2.故AD ―→·AC ―→＝AD ―→·(AD ―→＋DC ―→) ＝|AD ―→|2＋AD ―→·DC ―→ ＝(22)2＋22×2cos π4＝12.法二：如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n,0)，其中m >0，n >0， 则由AB ―→·AC ―→＝2AB ―→·AD ―→， 得(n,0)·(m ＋2，m )＝2(n,0)·(m ，m )， 所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD ―→·AC ―→＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12. 答案：12[常用结论——记一番]1．在四边形ABCD 中：(1)AB ―→＝DC ―→，则四边形ABCD 为平行四边形；(2)AB ―→＝DC ―→且(AB ―→＋AD ―→)·(AB ―→－AD ―→)＝0，则四边形ABCD 为菱形； (3)AB ―→＝DC ―→且|AB ―→＋AD ―→|＝|AB ―→－AD ―→|，则四边形ABCD 为矩形； (4)若AB ―→＝λDC ―→(λ>0，λ≠1)，则四边形ABCD 为梯形．2．设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔OA ―→2＝OB ―→2＝OC ―→2. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0. (5)O 为△ABC 的A 的旁心⇔a OA ―→＝b OB ―→＋c OC ―→.(七)玩转通项 搞定数列[速解技法——学一招]几种常见的数列类型及通项的求法[例1] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1a n，求a n (n ∈N *)．[解] 由条件知a n ＋1a n ＝nn ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，(n －1)，代入上式得(n －1)个等式累乘，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ⇒a n a 1＝1n .又∵a 1＝23，∴a n ＝23n .[技法领悟]累加、累乘法起源于等差、等比数列通项公式的求解．使用过程中要注意赋值后得到(n －1)个式子，若把其相加或相乘，等式的左边得到的结果是a n －a 1或a na 1，添加首项后，等式的左边累加或累乘的结果才为a n .[例2] 已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ∈N *)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前10项和．[解] 因为a n ＋1＝a n2a n ＋1，所以1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ，即1a n ＋1－1a n＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以1a n ＝2n －1，所以a n ＝12n －1，而1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a 10a 11＝12⎝⎛ 1－13＋13－15＋…＋⎭⎫119－121＝12⎝⎛⎭⎫1－121＝1021.[经典好题——练一手]1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋lg n B ．2＋(n －1)lg n C ．2＋n lg nD ．1＋n ＋lg n解析：选A 由a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ⇒a n ＋1－a n ＝lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，那么a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋lg 2＋lg 32＋lg 43＋…＋lg n n －1＝2＋lg2×32×43×…×n n －1＝2＋lg n .2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由a n ＝12a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，得a n －2＝12(a n －1－2)，而a 1－2＝1－2＝－1，∴数列{a n －2}是首项为－1，公比为12的等比数列．∴a n －2＝－⎝⎛⎭⎫12n －1，∴a n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1. 答案：2－⎝⎛⎭⎫12n －13．设数列{a n }是首项为1的正项数列，且a 2n －a 2n －1－na n －na n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由题设得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－n )＝0， 由a n >0，a n －1>0知a n ＋a n －1>0，于是a n －a n －1＝n ，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.答案：n (n ＋1)24．在数列{a n }中，已知a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n －1(n ∈N *)，求通项公式a n .解：原递推式可化为a n ＋1＋λ·3n ＝2(a n ＋λ·3n －1)，即a n ＋1＋3λ·3n －1＝2a n ＋2λ·3n －1，比较系数得λ＝－4，即a n ＋1－4·3n ＝2(a n －4·3n －1)，则数列{a n －4·3n －1}是首项为a 1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列，故a n －4·3n －1＝ －5·2n －1，即a n ＝4·3n －1－5·2n －1.[常用结论——记一番]等差(比)数列的重要结论(1)数列{a n }是等差数列⇔数列{c a n }是等比数列；数列{a n }是等比数列，则数列{log a |a n |}是等差数列．(2){a n }，{b n }是等差数列，S n ，T n 分别为它们的前n 项和，若b m ≠0，则a mb m ＝S 2m －1T 2m －1. (3)首项为正(或为负)递减(或递增)的等差数列前n 项和最大(或最小)问题转化为解不等式⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，也可化为二次型函数S n＝An 2＋Bn 来分析，注意n ∈N *.(4)等差(比)数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(各项均不为0)仍是等差(比)数列．(八)掌握规律 巧妙求和[速解技法——学一招]求数列的前n 项和的主要方法(1)公式法：对于等差数列或等比数列可用公式法．(2)裂项相消法：将数列的每一项分解为两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而累加相消．(3)错位相减法：若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则对于数列{a n b n }的前n 项和可用错位相减法．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }中与首、末两端等“距离”的两项的和等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加法．(5)分组求和法：将原数列分解成可用公式法求和的若干个数列．[例1] 已知各项均为正数的等差数列{a n }满足：a 4＝2a 2，且a 1,4，a 4成等比数列，设{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ·2n 的前n 项和为T n .[解] (1)根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 4＝2a 2，且a 1,4， a 4成等比数列，a 1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝2(a 1＋d )，a 1·(a 1＋3d )＝16，解得a 1＝2，d ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由(1)知a 1＝d ＝2，则S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n ，设b n ＝S n n ·2n ，则b n ＝S n n ·2n ＝n ＋12n .∴T n ＝221＋322＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ，12T n ＝222＋323＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1， 两式相减得，12T n ＝221＋122＋123＋…＋12n －n ＋12n ＋1， ∴T n ＝2＋121＋122＋…＋12n －1－n ＋12n＝2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－n ＋12n ＝3－n ＋32n .[技法领悟]利用错位相减法求和的3个注意点(1)判断模型，即判断数列{a n }，{b n }中一个为等差数列，一个为等比数列；(2)错开位置，一般先乘以公比，再把前n 项和退后一个位置来书写，这样避免两式相减时看错列；(3)相减，相减时定要注意式中最后一项的符号，考生常在此处出错，一定要细心． [例2] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，b n ＝11＋a n(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，P n ＝b 1b 2·…·b n ，求2P n ＋S n 的值．[解] 因为a 1＝12，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，n ∈N *， 所以a n ＋1>a n >0，a n ＋1＝a n (a n ＋1)，所以b n ＝11＋a n ＝a n a n ＋1＝a 2n a n a n ＋1＝a n ＋1－a n a n a n ＋1＝1a n －1a n ＋1.P n ＝b 1b 2·…·b n ＝a 1a 2·a 2a 3·…·a n a n ＋1＝12a n ＋1，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝2－1a n ＋1，故2P n ＋S n ＝1a n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n ＋1＝2.[技法领悟]利用裂项相消法求和的2个注意点(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2.[经典好题——练一手]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15，其中m ∈N *且m ≥2.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143 B.1143 C.2413D.613解析：选D 因为S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， 所以a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13， a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15， 因为数列{a n }为等差数列，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2×(－2)＝13，ma 1＋m (m －1)2×(－2)＝0，解得a 1＝13.所以a n ＝13－2(n －1)＝15－2n ，当a n ≥0时，n ≤7.5，当a n ＋1≤0时，n ≥6.5，又n ∈N *，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前6项为正数，又因为1a n a n ＋1＝1(15－2n )(13－2n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n ， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为12×111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13＝12×⎝⎛⎭⎫1－113＝613. 2．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n ＝________.解析：利用分组求和法，可得S n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n . 答案：n 2＋1－12n3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1(n ∈N *)，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 4＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝2a n －1b n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)∵S n ＝2a n －1，∴S n ＋1＝2a n ＋1－1, 两式相减，得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， ∴a n ＋1＝2a n .又当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. ∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n －1，∴b 1＝a 1＝1，b 4＝a 3＝4. ∵数列{b n }为等差数列，∴b n ＝n . (2)∵a n ＝2n －1，b n ＝n ，∴c n ＝2a n －1b n b n ＋1＝2·⎝⎛⎭⎫12n －1－1n (n ＋1) ＝2·⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝4－12n －2－n n ＋1.4．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列． (1)若数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差．解：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 1，a 4，a 8成等比数列，可得a 24＝a 1·a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1·(a 1＋7d )，得a 1＝9d .(1)由数列{a n }的前10项和为45，得10a 1＋45d ＝45， 即90d ＋45d ＝45，所以d ＝13，a 1＝3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×13＝n ＋83.。
江苏省2022届高三高考前临门一脚数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知，，则（ ）A．B．C．D．2. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，的图象关于直线对称，则（ ）A．B．C．D．4. 设是两个不同的平面，b 是直线且，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．6. 函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．7.数列满足，对任意的恒成立，则下列说法正确（ ）A．B．C．D．8. 在空间直角坐标系中，已知，，则当点A 到平面BCD 的距离最小时，直线AE 与平直BCD 所成角的正弦值为（ ）A．B．C．D．9. 已知函数，下列选项正确的是（ ）A ．点是函数的零点B ．，使C ．函数的值域为D ．若关于x 的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是江苏省2022届高三高考前临门一脚数学试题江苏省2022届高三高考前临门一脚数学试题三、填空题四、解答题10. 已知，，且，则（ ）A．B．C．D．11. 下列命题的否定中，是真命题的有（ ）A ．某些平行四边形是菱形B．C．D ．有实数解12. 如图，正三棱锥A -PBC 和正三棱锥D -PBC 的侧棱长均为，BC = 2．若将正三棱锥A -PBC 绕BC 旋转，使得点A ，P分别旋转至点处，且，B ，C ，D 四点共面，点，D 分别位于BC 两侧，则（）A．B．平面BDC C．多面体的外接球的表面积为D ．点A ，P 旋转运动的轨迹长相等13. 一条沿江公路上有18盏路灯，为节约用电，现打算关掉其中4盏路灯，为安全起见，要求公路的头尾两盏路灯不可关闭，关掉的相邻两个路灯之间至少有3盏亮着的路灯，则不同的方案总数共有_______种．14.无穷数列的前项和，存在正整数，使恒成立，则__________.15.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是_______．16.在等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)设为的前项和，若，求的值.17. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，，与交于点．(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值．18. 某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径. 假定拟建体育馆的高米.（1）若要求米，米，求与的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；（3）若，求的最大值.（参考公式：若，则）19. 如图，在几何体中，四边形是等腰梯形，四边形是矩形，且平面平面，，分别是的中点．(1)证明：;(2)若点到平面的距离是，求与平面所成的线面角的正弦值．20. 已知函数.(1)若，求的值；(2)设，求函数的最小值.21. 在中，，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：（1）的值；（2）的面积.条件①：边上的高为；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.。
6中临门一脚(理科)(含答案)
武汉六中 2021 届高三年级临门一脚考试理科数学试卷第Ⅰ卷(60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{0,1, 2,3, 4,5} ，集合A = {1, 5}，集合B ={2}，则集合(C U A) ∪ B＝（）A．{0, 2, 3, 4} B．{0, 3, 4} C．{2} D．∅2．若z =-2+3i（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（）iA．2i B．-2i C．-2D．2 3．若命题“ ∃x ∈R, x2 + 2mx +m + 2 < 0 ”为假命题，则m 的取值范围是（）0 0 0A．(-∞, -1]⋃[2, +∞)B．(-∞, -1)⋃(2, +∞)C．[-1, 2] D．(-1, 2)4.在∆ABC 中，a, b, c 分别是角A, B, C 的对边，且2b +c = 2a cos C ，则A =（）A．πB．5πC．πD．2π6 6 3 35．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n, x 的值分别为4, 2 ，则输出v 的值为( )A．50 B．35 6．若函数 f (x)=(x + C．18 D．91)(x + 3)(x2+mx +n)满足f(x)=f(x)，则f (x)的最小值为（）A．-2 B．16C．-16 D．27．如图，在直角坐标系xOy 中，过坐标原点O 作曲线y =e x 的切线，切点为P ，过点P 分别作x, y 轴的垂线，垂足分别为A, B ，向矩形OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）e - 2 A．2ee -1B．2ee -2C．ee -1D．e10 10 8．已知正四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的底面边长为 1，高为 2，M 为 B 1C 1 的中点，过 M 作 平面α ，使得平面α // 平面 A 1BD ，若平面α 把 ABC - A 1B 1C 1 分成的两个几何体中，体积较小的几何体的体积为（） A ． 148B ．1C ． 124 12 D ． 189. △ABC 中，AB = 5 ，AC = 4 ，AD = λ AB + (1- λ ) AC (0 < λ < 1)，且 AD ⋅ AC =16 ，则 DA ⋅ DB 的最小值等于（）A ． -754B ． -214C ． - 94D ． -2110．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数 1，3，6，10，…，第 n 个三角形数为n (n +1) = 1 n 2 + 1n ，记第 n 个 k 边形数为 N (n , k ) (k ≥ 3) ，下面列出 2 2 2了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数 N (n ,3) = 1n 2+ 1n ，22正方形数 N (n , 4) = n 2，五边形数 N (n ,5) = 3n 2- 1n ，22六边形数 N (n , 6) = 2n 2- n ， 以此类推，下列结论错误的是（）A ． N (5, 4) = 25F , FB ． N (3,7) = 182y 2C ． N (5,10) = 145D ．N (10, 24) = 1000 11．已知点 12 分别是双曲线C ： x - = 1(b > 0) 的左、右焦点，O 为坐标原点，点 Pb 2在双曲线 C 的右支上，且满足 F 1F 2 = 2 OP ， tan ∠PF 2 F 1 ≥ 3 ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ）A ． (1， 10 ]2B ．[ , +∞)2C ． (1， 10 )2D ． ( , 2]2⎨⎩ *b 12．已知函数 f (x ) = sin(ωx + π)(ω>0) 在区间[-5π , 2π]上单调递增，且存在唯一 66 3x ∈[0, 5π] 使得 f (x ) = 1 ，则ω 的取值范围为（） 0 6 01 12 1 1 4 2 4 A ．[ , ]5 2B ．[ , ]5 2 C ．[ , ]5 5第Ⅱ卷(90 分)D ．[ , ]5 5本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考Th 都必须作 答.第 22 题、第 23 题为选考题，考Th 根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡上的相应位置.13． ( +a )5 展开式中常数项为 10，则实数a =．x 2⎧x - y ≥ 0,14．已知实数 x , y 满足约束条件⎪x + y ≤ 2, ，则 z = 3x - 4 y -12 的最小值等于 .⎪ y ≥ 0. 15．已知8cos(2α + β ) + 5cos β = 0 ，且cos(α + β ) cos α ≠ 0 ，则tan(α + β ) tan α = . 16 .设OA 是球O 的半径， M 是OA 的中点，过 M 且与OA 成 45°角的平面截球O 的表面 7π 得到圆C 。
高考数学临门一脚考试试题 理
智才艺州攀枝花市创界学校高考数学临门一脚考试试题理本卷须知：2、答复第一卷时，选出每一小题之答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、答复第二卷时，将答案填写上在答题卡上，写在试卷上无效。
4、在考试完毕之后，将本套试卷和答题卡一起交回。
第一卷一、选择题：一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每个小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．2{|log (1)0}A x x =-<，{|3}B x x =≤，那么R C A B ⋂=〔〕A.(,1)-∞B.(2,3)C.(2,3]D.(,1][2,3]-∞⋃134z i =+，复平面内，复数1z 与3z 所对应的点关于原点对称，3z 与2z 关于实轴对称，那么12z z ⋅=〔〕A.25-B.25C.7-D.74||ln ||()x x f x x=的图象大致为〔〕 A. B.C. D.ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D 为BC 边上一点，且D 为BC 边上靠近C 的三等分点，那么AB AD ⋅=〔〕A.8B.6C.4D.2ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，外接圆半径为R ，假设1sin sin sin 2b B a A a C -=，且ABC ∆的面积为22sin (1cos 2)R B A -，那么cos B =〔〕 A.14B.13C.12D.3422221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆222()4x c y a -+=截得弦长为圆心到渐近线间隔的两倍〔其中c 为双曲线的半焦距〕，那么该双曲线的离心率为〔〕A.2e =B.3e =C.22e =D.3e =7.执行如下列图的程序框图，假设输出的值是1-，那么判断框中可以填入的条件是〔〕A.999?n ≥B.999?n ≤C.999?n <D.999?n >8.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图〞，亦称“赵爽弦图〞〔以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的〕.类比“赵爽弦图〞，可类似地构造如下列图的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设24DFAF ==，假设在大等边三角形中随机取一点，那么此点取自小等边三角形的概率是〔〕A.413B.513C.926D.3269. 在直三棱柱ABC C B A -111中，90=∠BCA ，点11,F D 分别是1111C A B A 、的中点，1CC CA BC==，那么1BD 与1AF 所成的角的余弦值是〔〕A ．21B ．1030C ．1530D ．1015 (sin 6)y x π=+的图象上各点的横坐标变为原来的12〔纵坐标不变〕，再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在区间[],42ππ-上的值域为〔〕A．[12] B ．1[,2]2C ．[0,2]D ．1[,1]2-11.函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=1,311,log )(21x x x x x f ，假设2)]([0-=x f f ，那么0x 的值是 A ．﹣1B ．0C ．1D ．22:2(0)C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，假设4||||AF BF =，O 为坐标原点，那么||||AF OF =〔〕 A.54B.3C.4D.5第二卷本卷包括必考题和选考题两局部。
2024年高考数学临门一脚模拟卷(新高考)(含解析)
2024年高考数学临门一脚模拟卷高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一：单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（ ）A ．1B ．C ．2D ．20234．已知一个底面内口直径为的圆柱体玻璃杯中盛有高为的水，向该杯中放入一个半径为的实心冰球和一个半径为的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计，则实心钢球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．{}21,121x A y y B yy ⎧⎫===<⎨⎬-⎩⎭∣A B ⋃=(),1-∞-(),-∞+∞()(),11,-∞--+∞ ()(),11,1-∞-- 12131416()f x R ()f x '()f x ()()244f x f x x =-+-()2023f '=2023-2cm 1cm 2r r ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()1cm r +210πcm 212πcm 214πcm 216πcm5．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若直线和的倾斜角分别为和，且，则双曲线的离心率为（ ）AB ．5C ．2D ．7．对任意两个非零的平面向量和，定义：，．若平面向量满足，且和都在集合中，则（ ）A ．1B ．C ．1或D ．1或8．已知满足：①是图象上任意不同的两点，且直线的斜率恒小于1；②存在及无数个使得，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二：多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
辽宁省沈阳市2024年高考临门一脚数学试题试卷
辽宁省沈阳市2024年高考临门一脚数学试题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12- 2．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2π B ．23π C ．π D ．43π 3．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-4．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203πB ．6πC ．103πD ．163π 5．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且斜率为34的直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．33y x =±D ．3y x =±6．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．6481B ．3227C ．89D ．16277．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B 到直线()310x y n n +++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ===，，，则直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（） A ．32 B ．33 C ．155 D ．10510．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．812．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省鹤岗市数学高考临门一脚试卷(理科)
黑龙江省鹤岗市数学高考临门一脚试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合M={(x，y)|x+y=2}，P={(x，y)|x－y=4}，则M∩P=（）A . x=3，y=－1B . （3，－1）C . {3，－1}D . {(3，－1)}2. （2分） (2018高二下·永春期末) 若复数满足是虚数单位，则复数的共轭复数（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·攀枝花期中) 若向量 =（cosθ，sinθ）， =（，﹣1），则|2 ﹣|的最大值为（）A . 4B . 2C . 2D .4. （2分）两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（）模型模型1模型2模型3模型4相关系数r0.980.800.500.25A . 模型1B . 模型2C . 模型3D . 模型45. （2分） (2018·山东模拟) 已知等差数列的第6项是二项式展开式的常数项，则=（）A . 160B . －160C . 320D . －3206. （2分）记f（x）=|log2（ax）|在x∈[， 8]时的最大值为g（a），则g（a）的最小值为（）A .B . 2C .D . 47. （2分）若如图所示的程序框图输出的S是30，则在判断框中M表示的“条件”应该是（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·张家口期中) 已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，则（）A . 9B . 8C . 7D . 69. （2分）某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的体积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高二上·城中期末) 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A . 36πB . 64πC . 144πD . 256π11. （2分） (2016高二上·莆田期中) 双曲线 =1的焦距为（）A . 2B . 4C . 2D . 412. （2分） (2016高一上·杭州期中) 函数的图像大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·泸州模拟) 当实数x，y满足不等式组时，ax+y+a+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．14. （1分） (2017高三上·山东开学考) 若 dx=a，则（x+ ）6展开式中的常数项为________．15. （1分） (2018高三上·永春期中) 甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是________．16. （1分） (2017高一上·西安期末) 若点P在坐标平面xOy内，点A的坐标为（0，0，4）且|PA|=5，则点P的轨迹方程为________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·唐山模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， = ．（1）求角C的大小；（2）求sinAsinB的最大值．18. （10分） (2018高二上·南宁月考) 在某城市气象部门的数据中，随机抽取100天的空气质量指数的监测数据如表：空气质量指（0，50]（50，100]（100，150]（150，200）（200，300]（300，+∞）数t质量等级优良轻微污染轻度污染中度污染严重污染天数K52322251510（1）若该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y与当天的空气质量（取整数）存在如下关系且当t＞300时，y＞500，估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率；（2）若在（1）中，当t＞300时，y与t的关系拟合的曲线为，现已取出了10对样本数据（ti ，yi）（i=1，2，3，…，10），且知试用可线性化的回归方法，求拟合曲线的表达式．（附：线性回归方程中，，．）19. （10分）(2018·郑州模拟) 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别为线段上的点，且，， .（1）求证：平面；（2）若与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角.20. （10分）(2017·南通模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点的坐标为，求a，b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且，求直线AB的斜率．21. （10分） (2020高三上·永州月考) 已知函数，，其中，为自然对数的底数.（1）求函数的最小值；（2）若对于任意的，都存在唯一的，使得，求实数的取值范围.22. （10分） (2019高二下·揭阳期末) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点在直线l：上．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C的相交于点A、B，求的值．23. （10分）(2018·长安模拟) 设函数 .（1）当时，解不等式；（2）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
2024学年郑州市第一中学高三临门一脚强化训练模拟考试数学试题试卷
2024学年郑州市第一中学高三临门一脚强化训练模拟考试数学试题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（ ）A ．427B ．13C ．127D ．192．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．34．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±= B 30x y ±= C ．30x y ±= D ．30x y ±=5．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}2,3- C ．{}1,2,3-- D ．{}36．已知直线,m n 和平面α，若m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．不充分不必要 7．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ）A ．72B ．5319C ．2319-D ．12- 8．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．32C ．212+D ．312+ 9．已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ）A ．[﹣3，2）B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0） 10．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )A ．16B ．17C ．18D ．19 11．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516- B ．18932- C ．2164- D ．2835812．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高三理科数学临门一脚
一、不等式
1、不等式(x －2)x 2－2x －3 ≥0的解集是
2、已知b a x ,,10<<为常数,且0>ab ,则x b x a y -+
=12
2的最小值是 3、设+
∈R y x ,,且12
2
2
=+y x ,则21y x +⋅的最大值为
4、设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取 值范围是
5、已知实数的取值范围是则满足x y x y
x
y x ,,-=
二、离心率
1、若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点为1F ，2F ，P 为双曲线上一
点，且123PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是
2、若椭圆3)0(12222a
b a b
y a x 上横坐标为>>=+的点到左焦点的距离大于它到右准
线的距离，则椭圆离心率e 的取值范围是
3、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆：222
4a x y +=的
切线，切点为E ，直线FE 交双曲线右支于点P ，若1
()2
OE OF OP =+，则双曲
线的离心率为
4、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>过左焦点F 1且倾斜角为60的直线l 交椭圆于A,B 两
点，若112F A BF =，椭圆离心率e=
三、数列
1、等差数列}{n a 中，n S 是其前n 项和，22005
2007,20082005
20071=--=S S a ， 则2008S 的值为
2、已知数列{}n a 中，1
1,21211-+==-n a a a n n ，则数列{}n a 的通项公式=n a
3、设数列{}n a 满足*∈=++++-N a n a a a a n n ,3
3331
3221 ,则数列{}n a 的通项
公式=n a
4、已知数列{a n }是首项为1a ＝
41，公比q ＝4
1的等比数列，设n
n a b 41log 33=+ (n
∈N *)，数列{n c }满足n n n b a c •=
(1)求证：{n b }是等差数列；
(2)求数列{n c }的前n 项和S n ；
(3)若14
12
-+≤m m c n 对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．
四、三角函数
1、已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值是
2、已知α,β均为锐角,且2
1sin sin -=-βα,1
cos cos 3αβ-=,则cos()αβ-=
3、在ABC ∆中，已知3
b A π
==
，若三角形只有一解，则a 的取值范围是
4、在锐角ABC ∆中，已知()()3a b c a c b ac +++-=.
（1）求角B 的度数；（2）求22cos cos()A A C +-的取值范围.
5、已知∆ABC 的面积S 满足4S ≤≤，且AB AC ⋅=—8． （Ⅰ）求角A 的取值范围；
（Ⅱ）若函数2
2
cos
2sin cos 4
444
()x x
x x
f x -+⋅=，求()f A 的最大值．
6、若函数()m x x x f ++=2cos 22sin 3在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上的最大值为6，
（1）求常数m 值及()f x 的对称中心;
（2）作函数)(x f 关于y 轴的对称图象得函数)(1x f 的图象，再把)(1x f 的图象向
右平移4π
个单位得)(2x f 的图象，求函数)(2x f 的单调递减区间.
五、直线和圆
1、过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是
2、已知圆8)1(:22=++y x C .
（1）设点),(y x Q 是圆C 上一点，求y x +的取值范围； （2）如图，(1,0),A M 定点为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2,0,AM AP NP AM =⋅=求N 点的轨迹的内接矩形的最大面积.
3、已知m∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 斜率的取值范围；
(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为2
1
的两段圆弧？为什么？。