正确计算统计平均数

正确计算统计平均数

平均数是社会经济统计的基本指标与基本方法，在社会经济统计学中占有十分重要的作用，国外一位统计学家曾称：统计学是一门平均数的科学。因此，正确理解、计算、运用统计平均数，是学习社会经济统计的基本要求，也是学好后续统计方法特别是统计指数、统计评价、序时平均数等统计方法的关键。

统计平均数的计算方法按其资料的时间属性不同，分为静态平均与动态平均，前者属于截面数据的平均，即为一般平均数，后者为时间数列的平均，也称序时平均。序时平均是静态平均方法的具体应用。统计平均数的计算方法按其体现原始数据的充分性不同，主要可分为数值平均与位置平均，前者包括算术平均、调和平均、几何平均、平方平均，它们均有简单式与加权式之分，实践中较常用的是算术平均、调和平均与几何平均。后者则指中位数与众数。这些平均方法与公式具有不同的应用场合或应用条件，实践中必须正确选择。但我们在多年的教学实践中发现，许多初学者往往无法正确区分这些不同平均方法的应用条件，特别是算术平均、几何平均、调和平均的应用条件，从而出现乱套公式的情况。

本文拟通过案例分析，与同学们谈谈如何正确计算算术平均数、调和平均数与几何平均数。

[例1]某企业报告期三个车间的职工人均日产量分别为：50件、65件、70件，车间日总产量分别为800件、650件、1050件。

要求：计算三个车间的职工每人平均日产量。

[解题过程]三个车间的职工每人平均日产量=Σm/Σ(m/x)

=(800+650+1050)/(800/50+650/65+1050/70)

=2500/41=60.98（件/人）

[解题说明]本题从公式形式上看，是加权调和平均数。从内容上看，属于“统计平均数的平均数计算”，但初学者常常容易犯的错误是乱套公式。最常见的错误是：选择算术平均数公式计算，即以三个车间的日总产量为权数，对三个车间的劳动效率进行算术平均：（50×800+65×650+70×1050）/（800+650+1050）

=155750/2500

=62.3

另一类错误是采用简单平均公式计算平均产量，即

（50+65+75）/3=63.33。

出现上述两类错误的根源是：没有正确理解社会经济统计中平均数的经济含义。其实，无论资料条件如何，职工人均产量的基本含义永远是：总产量/工人数。因此，本例资料只需要求出三个车间的总产量及三个车间的总人数即可。由所提供的资料可以知道，总产量已经知道了，为(800+650+1050)=2500，而各车间的职工人数却需要推算。因为各车间的总产量与该车间工人数之比即为该车间的人均产量，所以各车间职工人数应该等于总产量与人均产量之对比，三个车间的职工总人数应该为：

(800/50+650/65+1050/70)=41人。

[例

要求：计算25个企业的平均计划完成程度及平均每个企业实现的利润额。

[解题过程]

平均计划完成程度=Σxf/Σf

=（800×85%+2200×95%+6000×105%+1000×115%）/10000

=10220/10000=102.2%

平均每个企业实现的利润额=全部企业实现的利润总额/企业个数

=10220/25=408.8万元

[解题说明]本例是统计学中比较典型的“相对数的平均数计算”问题。我们所采用的是“加权算术平均数”公式，权数是每一组的计划利润额。常见的错误有这样几种：一种是组中值错误。特别是第一组与最后一组的组中值，有一些初学者常常用90%作为第一组的组中值，用110%作为最后一组的组中值，这是不对的。组中值的一般计算方法是（上限+下限）/2，但对于这类“开口组”，其组中值应该按邻组的组距去推算。故本例第一组的组中值应该取85%，最后一组的组中值应该取115%；第二种错误是用“企业个数”作权数计算平均计划完成程度，这说明没有正确理解平均计划完成程度的含义。其实，作为权数的指标f与变量值x之间的乘积应该具有实际经济意义的，本例若将企业个数与计划完成程度相乘，就不可能得到有实际意义的指标值（某一组的标志总量）。本例只有当各个企业的计划利润全部相同时，才可以以企业个数为权数进行加权算术平均。正如当我们掌握三个企业的计划完成程度时，我们一般不能采用简单算术平均计算它们的平均计划完成程度，除非三个企业的计划数相同。第三种错误与之相类似，初学者也有以“企业个数×计划利润总额”为权数计算算术平均数，误以为表中的“计划利润总额”是平均每一个企业的计划任务。其实，表中文字中根本就没有“平均”之意，更何况还有一个“合计”计划利润总额为10000万元的资料，若为“平均”，就不能“合计”。第四种错误就是套用调和平均数公式。或是套用简单调和平均公式，或是以企业数为权数计算加权调和平均，或是以计划利润总额为权数计算调和平均，或是以企业个数与计划利润额之间的乘积为权数计算调和平均。这一错误产生的根源是：学习过程中没有正确理解统计平均数，只简单化地背一些公式，应用时就想当然地套用平均数公式。其实，与例1类似，计算相对数的平均数时，必须首先明白该相对数的基本公式，即分子是什么，分母是什么。然后计算“分子总和”与“分母总和”，将这两个总和相除，就是相应的“平均数”。所以，平均计划完成程度的真实含义应该是“总实际/总计划”，因为计划完成程度的一般公式是“实际/计划”。本例计算时，初学者根本不必猜测应该采用算术平均还是采用调和平均，也不必猜测应该以哪一项指标为权数，正确的思路是：由所给资料

求出“分子总和”---25个企业总的实际利润，求出“分母总和”----25个企业总的计划利润。因本例已经知道了各组企业的计划总额，所以需要推算“实际利润总额”，其推算过程应该是“计划数×计划完成程度”。即，实际总利润=（800 × 85% + 2200 × 95% + 6000 × 105% + 1000 × 115%）。而总计划为（800+2200+6000+1000），二者的对比在形式上是一个加权算术平均数公式。因此，本例的计算方法就称为“算术平均数”。若本例不是提供“计划利润总额”而是提供“实际利润总额”，则计算平均计划完成程度时需要推算“计划利润总额”。而计划利润总额的推算需要采用“实际利润/计划完成程度”，在形式上表现为（m/x ），因此，此时的平均计划完成程度在形式上就属于“加权调和平均数”。依此类推，当计算若干村的“平均亩产”时，就应该把握住基本公式：平均亩产永远是“粮食总产量/总面积”，不论资料形式如何，只要求得“总产量”与“总面积”两项基本资料即可，若知道各村亩产及种植面积，则推算总产量即可，这在形式上是一个“加权算术平均”，但若已知各村亩产及总产量时，需要推算种植面积，这在形式上是一个“加权调和平均”；当计算若干个企业的“平均资金利润率”时，就应该把握住基本公式：平均资金利润率永远是“总利润/总资金”；计算若干商品或企业的平均销售利润率时，就应该把握基本公式：平均销售利润率永远是“总利润/总销售”。

[例3]

要求：①若这三个车间是同一产品生产流水线上的三个阶段（工序），则平均不合格品率为多少？

②若这三个车间是独立生产完全相同产品的三个小组，则平均不合格品率是多少？ ③若这三个车间不仅完全独立，且所生产的产品使用价值完全不同，产品的出厂价格分别为300元/件、400元/件、1000元/件，则应该如何计算它们的平均不合格品率？

[解题过程] ①平均合格品率

=0.96325=96.325%

平均不合格品率=1-96.325%=3.675%

②平均不合格品率=不合格产品总件数/全部产品总件数

28800

1062%4372%2190%5500372190500==∑∑=++++x m m H

3196

.098.095.0⨯⨯==∏=n i n i x =0.036875=3.69%