齐次方程组的基础解系和通解
4.3 齐次线性方程组解的结构
1 2 3
1 2 3 1 2 0
解：
A
3
2
6 5
10
初等行变换
0
7
0
1 0
1 1
0 0
1 0
0 1
1
2
4
0
0
0
0 0 0
1 0 0
0 0
1 0
0 1
0 0 0
r A 3 n,
所以只有零解。
例2 求齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0, 2 x1 5 x2 3 x3 2 x4 0, 7 x1 7 x2 3 x3 x4 0 的基础解系与通解.
其通解为
x k11 k22 knrnr .
其中k1 ,k2 , ,knr是任意常数 .
3.若rA n,则dim N A 0,即N A 0,仅有
零解.Ax 0有非零解 RA n
例1 求下列齐次方程组的基础解系及通解。
(1)2
x1 x1
2 x2 4 x2
4 x3 8 x3
定 理 4 .4: 设m n型齐次线性方程组AX 0的系数矩
阵的秩为rA,则AX 0的解空间N A的维数
dim N A n rA
证 : 设齐次线性方程组的系数矩阵为 A，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A可化为
1
0
b11
b1,n r
A
~
0
0
1
br1
br ,n r
A k1, B k2, C k1 2 , D k1 2 ,
2、 要使1 1 0 2T ,2 0 1 1T 是齐次线性
方程组AX 0的基础解系，则系数矩阵A可取为
0 1 1
线性代数模拟试题(4套)
模拟试题一一、判断题:（正确：√,错误：×）（每小题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………（ ）2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆。
……………………………( )3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( ）4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶方阵，且0=A ,则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合。
…………………………………………………………( ) 二、填空题：(每空2分，共20分）1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= 。
2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 。
3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 。
4、已知()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==256,102B A 则=AB .5、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为 。
7、()B A R + ()()B R A R +。
8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-500210111t ，则当t 时，A 的行向量组线性无关。
10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=,则B 的特征值为 . 三、计算:(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+。
2、设矩阵A 和B 满足B AE AB +=+2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B 。
四、(10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、（10分) 设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ, 讨论当λ取何值时，b Ax =无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解。
第11讲齐次线性方程组解的结构
(m n)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
它的矩阵形式为
AX 0 ,
其中,
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n
,
amn
X
xxn2
。
也可用向量来表示齐次线性方程组。
a11
a12
a1n
记
1 aam211 , 2 aam222 , , n aam2nn ,
四 解线性方程组的一个应用
本节讨论矩阵的特征值与特征向量
定义 4.1
设 A Rnn , 如果存在数 及 n 维非零向量，使得：
A .
(4.1)
则称 为矩阵 A 的一个特征值, 而 称为矩阵 A 相应 于特征值 的一个特征向量。
由于
A ( A E) 0.
为矩阵 A的一个特征值的充要条件是齐次方程组
2 (1, 1, 0, 1, 0 )T 。
齐次线性方程组的通解
若齐次线性方程组(2*) 的基础解系为
1, 2 , , nr
r(A) r
则(2*) 的通解为
C11 C22 Cnrnr ,
其中, Ci 为任意常数 ( i 1, 2, , n r )。
例 求齐次线性方程组的通解: x1 x2 2x3 2x4 7x5 0 , 2x1 3x2 4x3 5x4 0 , 3x1 5x2 6x3 8x4 0。
就是说 , 方程组(2*) 的任何一个解均可由方程组 (3)中所定义
的 1, 2, , nr 线性表出。于是称方程组(3)中的这一组向
量为齐次线性方程组(2*) 的基础解系。
齐次线性方程组的基础解系
线性方程组的解的结构
例：求线性方程组
x1 2 x1
+ +
2 x2 3 x2
+
x3 2x4 3 x4 5 的通解．
x1 x2 5 x3 + 7 x4 0
1
解：容易看出
*
1
是方程组的一个特解
．
0
0 其对应的齐次线性方程组为
x1 2 x1
+ +
2 x2 3 x2
+
x3 2x4 0 x4 0
记作 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r ．（满足基础解系②）
(x1 ,x2 ,
b11
b21
,xnr
)
br 1
,1
0
0
b12 b22
br ,2 0 1
0
b1,nr
b2 , n r
br ,nr
0
0
1
n−r列
前r行 后n−r行
故 R(x1, x2 , … , xn-r ) = n − r ， 即 x1, x2 , … , xn-r 线性无关． （满足基础解系①） 于是 x1, x2 , … , xn-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系．
br ,nr xn .
xr+1 1 0
令
xr
+2
0
,
1
,
xn
0 0
0
x1 b11 b12
,
0
，则
x2
,
b21
,
b22
,
1
xr br1 br2
b1,nr
,
b2,nr
方程组解的结构
x5
0 0
1 0
0 1
所以原方程组的一个基础解系为
2
1
1
1
,
0
0
13
2
0
,
1
0
2
1
3
0
.
0 1
故原方程组的通解为 x k11 k22 k33 .
其中k1 ,k2 ,k3为任意常数.
定理1 n元齐次线性方程组Amn x 0的全体解所 构成的集合S是一个向量空间,当系数矩阵的秩 R( Amn) r时, 解空间S的维数为n r.
2x 73
5 7
x3
x 3
x4
3 7 4 7
x4 x4
2
7
5
7
1
0
x 3
3
7
4
7
0
1
x, 4
2 7
3 7
即得基础解系1
57 1
,
2
47 0
,
0 1
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x2
x x
3 4
c1
57 1 0
c2
47 0 1
A
2
1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1
~
0 0
0
1 1 2 2
1 1 2 2
4 3 6 6
3
1
2
2
~
1 0 0 0
0 1 0 0
2 1 0 0
1 3 0 0
2
1
0
0
RA r 2, n 5, n r 3,即方程组有无穷多解，
齐次线性方程组的解
14 齐次线性方程组的解一、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++022*********43214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系，并写出通解.解 1121112110102111~0131~0131221200340034---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭基础解系为494,3ξ=-T（，，）通解为 ξk x =. (k 为任意实数)二、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++=++++0334503230543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
解：系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⨯-+--0000062210511016221062210111111334531123111112153223211312r r r r r r r r r A 则同解方程组为⎩⎨⎧---=++=543254316225x x x x x x x x 令⎪⎩⎪⎨⎧===352413k x k x k x 则通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100650102100121321k k k x 三、已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x t x x tx x x x x x 问：（1）t 取何值时，方程组仅有零解?（2）t 取何值时，方程组有无穷多解? 并用基础解系表示其通解.解：系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2)(1(0011011141211112t t t t t A 行变换要使方程组有零解必有3)(=A R 即0)2)(1(≠--t t 即21≠≠t t 且 要使方程组有非零解必有3)(<A R 则0)2)(1(=--t t 即21==t t 或此时,当1=t 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010101141121111行变换A 同解方程组为⎩⎨⎧=-=0231x x x 则基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101ξ通解为ξ1k X = )(1R k ∈当2=t 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110001441221111行变换A 同解方程组为⎩⎨⎧-==3210x x x 则基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110ξ通解为ξ2k X = )(2R k ∈四、写出一个以1212(2,1,0)(3,0,1)(,T T x c c c c =-+是常数)为通解的齐次线性方程组． 解 三元齐次线性方程组的基础解系含2个解向量,系数矩阵的秩为1． 所求方程组为 032321=-+x x x。
全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷7(题后含答案及解析)
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷7(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A为3阶方阵且，则｜一2A｜= ( )A．一4B．4CC．一1D．1正确答案：A解析：答案为A2．若AB=AC，能推出B=C，其中A，B，C为同阶方阵，则A应满足条件( )A．A≠0B．A=0C．｜A｜=0D．｜A｜≠0正确答案：D解析：若AB=AC,则A(B-C)=0，故当A可逆，即｜A｜≠0时B=C答案为D。
3．设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是( )A．A的任意m个列向量必线性无关B．A的任意一个m阶子式不等于零C．若矩阵B满足BA=0，则B=0D．A通过初等行变换，必可以化为(ImO)的形式正确答案：D解析：矩阵Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行满秩，列不满秩，A的m个列向量可能线性无关也可能线性相关，且A通过初等行变换，可以化为(ImO)形式，故选D答案为D。
4．若α1,α2,α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列答案中也是Ax=0的基础解系的为( )A．α1一α2，α2一α3，α3一α1B．α1，α2，α3的任意三个线性组合C．α1，α1一α2，α1一α2一α3D．α1，2α1,3α1正确答案：C解析：本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与α1,α2,α3等价．答案为C。
5．设则A的属于特征值O的特征向量是( ) A．(1，1，2)TB．(1，2，3)TC．(1，0，1)TD．(1，1，1)T正确答案：B解析：用定义Ax=λx来判断，这时λ=0，故计算Ax的值，使Ax=0的向量x就是A的属于特征值0的特征向量．当x=(1，2，3)T时，有Ax=0．答案为B。
齐次线性方程组的基础解系和通解
齐次线性方程组的基础解系和通解
齐次线性方程组是一类形如 Ax=0 的方程组，其中 A 是一个矩阵，x 是一个列向量。
基础解系是指使得方程组有非零解的最小的解系。
对于齐次线性方程组，基础解系的大小等于线性无关的自由变量的个数。
通解是指所有满足齐次线性方程组的解的线性组合的形式。
对于齐次线性方程组，通解可以表示为 x =x0 + k1x1 + k2x2 + ... + kmxm 其中 x0 是基础解系中的任意一个解，k1、k2、...、km 是任意的常数，x1、x2、...、xm 是线性无关的自由变量。
基础解系和通解的求法通常是使用高斯消元法或高斯-约旦消元法，它们是一种用于解决线性方程组的数值解法。
这些方法可以将原方程组转化为等价的三角形方程组，然后从下往上逐步求解。
基础解系和通解在很多领域都有广泛的应用，例如工程计算、线性代数、数学建模等。
它们可以帮助我们找到满足特定条件的解，并且可以方便我们解决各种实际问题。
齐次和非齐次线性方程组的解法整理
线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解。
其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1)若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）;写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.注：此法仅对n 较小时方便【例题2】 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解（,()m n r r ⨯=A A ） 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。
求齐次方程组基础解系和通解
求齐次方程组基础解系和通解
1 概述
求齐次方程组基础解系和通解是数学中解方程的重要方法，用来确定方程组解的存在和唯一性。
一般来说，齐次方程组是一类有限多项式方程组，其解可能不止一个，所以求齐次方程组基础解系和通解尤其重要。
2 求解方法
求解齐次方程组基础解系和通解的方法主要分为定解法和猜解法两类。
定解法是求解方程的一般方法，即把已知条件和方程系数写成一系列完全确定的表达式，再从中寻找方程组的解，以达到求解齐次方程组基础解系和通解的目的。
猜解法是基于定解法，将已知条件和方程系数定出部分解，把齐次方程组分为两部分：一部分是不变的，另一部分是可变的部分，以成功求出基础解系和通解。
3 总结
求齐次方程组基础解系和通解的方法是非常重要的，可以帮助我们找出方程组解的存在，唯一性更明确，目的圆满达成，是数学相关研究者和科学家们必须掌握的知识点。
一般来说，求解齐次方程组基础解系和通解的方法主要分为定解法和猜解法两类，其中定解法把已
知条件和方程系数写成一系列完全确定的表达式，从中寻找方程组的解，而猜解法则把齐次方程组分为两部分，一部分固定，一部分可变，以成功求出基础解系和通解。
齐次线性方程组解的结构
故1,2 ,L ,nr与 1,2,L ,nr等价. 推论1得证.
5 齐次线性方程组解的结构
若 1,2,L ,t 为齐次线性方程组（1）的一个
基础解系，则（1）的一般解（或通解）为
k11 …… ktt , k1,k2,L ,kt P
令 W k11 L ktt | ki P, i 1,L ,t,
1 (c11,c12 ,L ,c1r ,1,0,L ,0) 2 (c21,c22,L,c2r,0,1,L ,0) n-r (cn-r,1,cn-r,2 ,L ,cn-r,r ,0,0,L ,1)
且 1,2 ,L ,n-r 满足： ① 1,2,L ,n-r 线性无关.
事实上，若 k11 k22 L kn-rn-r 0, 即 k11 k22 …… knrnr
c2n L
crn 0 L 0
第二步：写出方程组(1)的一般解：
x1 c1,r1 xr1 L c1n xn
x2 xr
c2,r1 xr1 L c2n xn LLLLLL
cr ,r1 xr1 L crn xn
推论2 若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为 r , 则(1)的任意 n－r 个线性无关的解向量都是(1)的 基础解系．
证： 设 1,2 ,L ,nr , 为(1)的一个基础解系， 1,2 ,L ,nr 为(1)的 n－r 个线性无关的解向量， 考察向量组 1,2 ,L ,n1,1,2 ,L ,nr () 知 () 的秩为n－r . 1,2 ,L ,nr 与 1,2,L ,nr
一、 齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x 2 L a2n xn LLLLLLLLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn
《齐次线性方程组》课件
通过求解齐次线性方程组，可以得到一组通解，形式上可以表示为一组自由变量的线性组合。
齐次线性方程组的特殊情况
零解是齐次。
齐次线性方程组的基础解系
基础解系是指一组特殊的解集，可以通过基础解系的加权线性组合来表示齐次线性方程组的所有解。
《齐次线性方程组》PPT 课件
让我们一起探索《齐次线性方程组》的奥秘吧！从定义、解法、应用，到更 深入的拓展，这个课件将带领您解开这道数学之谜。
线性方程组的定义
线性方程组是具有类似形式的一组方程，解是可以同时满足所有方程的数值或变量。
齐次线性方程组的概念
齐次线性方程组是指其中所有方程的右侧都为零的线性方程组。
齐次线性方程组的应用
齐次线性方程组在几何、物理和工程领域都有广泛的应用，可以帮助解决各种实际问题。
齐次线性方程组的解法思路
解齐次线性方程组的关键在于确定基础解系和通解，通过逐步推导和变量的代入可以得到解的具体形式。
非齐次线性方程组的概念
非齐次线性方程组与齐次线性方程组相比，其右侧的常数项不全为零。
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非齐次线性方程组的解法
非齐次线性方程组的解法需要先求解对应的齐次线性方程组，再确定特解，通过齐次解和特解的组合得 到非齐次方程组的解。
齐次线性方程组在数学中的重要性
齐次线性方程组是数学中重要的概念之一，它是线性代数和高等数学的基础，为解决各种实际问题提供 了强有力的工具。
关于作者
作者是一位热爱数学的专家，拥有多年从事齐次线性方程组研究的经验，并积极分享自己的知识和见解。
求齐次线性方程组的一个基础解系,并求方程组的通解
求齐次线性方程组的一个基础解系,并求方程
组的通解
求解齐次线性方程组的一个基础解以及求解它的通解是数学分析
中常见的问题。
首先，我们需要明确形式：齐次方程组的一般形式为：$ax_1 + bx_2 + cx_3 + … + nx_n = 0$
一般情况下，求解齐次线性方程组时可以将其具体化为：
$a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + … + a_nx_n = 0$
首先来求齐次线性方程组的一个基础解系。
可以根据基变换理论，将方程组中的系数矩阵分解为一系列单位矩阵组合的形式，由此可以
逐步求出齐次线性方程组的一个基础解系。
接下来求齐次线性方程组的通解。
通解可以分为两种：空解和非
空解，其中非空解表示方程组非空解存在；空解表示方程组无解。
如
果存在非空解，它是某个基础解系的一组特殊解。
更准确地说，通解
是某个基础解系及其一组特殊解的组合。
若求得方程组的通解，则它
的一般形式为：
$x_{n}{(t)} = x_{0} + \int\exp{(A)}t dt$
其中，$x_{0}$ 为基础解系的一解，$ \exp{(A)}t$ 为特殊解的
系数，$A$ 为系数矩阵。
以上是关于求解齐次线性方程组的一个基础解系并求方程组的通
解的概述，完整的求解需要细节的求解过程和证明。
此外，根据题目
的不同，要求的非空解的形式也会有所变化，因此需要根据实际情况
调整解题过程。
齐次线性方程组解的结构
齐次非齐次线性方程组的基础解系和通解的区别,和各自是什么形式
齐次非齐次线性方程组的基础解系和通解的区别,和各自是什么形式.详细说明
齐次非齐次线性方程组的基础解系和通解的区别,和各自是什么形式.详细说明：
线性代数通解和基础解系的区别如下：
1、定义不同，对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解的统一形式，称为通解。
基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。
2、求法不同，基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。
对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。
求法：
先求出齐次或非齐次线性方程组的一般解，即先求出用自由未知量表示独立未知量的一般解的形式，然后将此一般解改写成向量线性组合的形式，则以自由未知量为组合系数的解向量均为基础解系的解向量。
由此易知，齐次线性方程组中含几个自由未知量，其基础解系就含几个解向量。
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矩阵表示形式
Amn X 0
r(A) n r(A) n
齐次线性方程组有非零解 齐次线性方程组仅有零解
线性代数
齐次方程组的基础解系
齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
0
0 0
3
0
0 1 1 0
1 2 2 0
1 11Biblioteka 03 04
0
0 1 0 0
1 2 0 0
1
1
1
0
1
0
0
0
0 1 0 0
1 2 0 0
0
0
1
0
x1 x3 0
等价同解的线性方程组为：
x2 2x3 0 x4 0
0 0
1
1
取自由变元x3
1,
得
2 1
为方程组的基础解系. 通解为：X
x1 k1r1xr1 k1r2 xr2 L k1n xn
x2
k2 r 1 xr 1
k2r2 xr2
L
k2n xn
LLLLLL
xr kr r x 1 r1 kr r2 xr2 L krn xn
其中xr+1,xr+2,…,xn为自由未知量， 对nr个自由未知量分别取：
xr1 1 0
LLLLLLLLLLLL
dxrr kkrrrr11xdrr11kkr rrr2x2rdr22 L L krnkxrndn
k1r1dr1 k1r2dr2 L k1ndn
k2
r
1dr
1
k2
r
2dr
2
L
k2ndn
k1r1
k2
r
1
k1r2
k2
r
2
k1n
k2
n
LLLLLL
系数矩阵
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
am1
am 2
L
a1n
a2n
L
amn
未知向量
x1
X
x2
M
xn
矩阵表示形式
Amn X 0
线性代数
齐次方程组的基础解系
齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
线性代数
齐次方程组的基础解系
例 构造齐次线性方程组的基础解系，并表示出线性 方程组的通解.
x1 2x2 x3 x4 0 3x1 6x2 x3 3x4 0 5x1 10x2 x3 5x4 0
线性代数
齐次方程组的基础解系
解：
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 1
M M
M
即：v
kr
d r1 r1
kr
d r2 r2
L
d r 1
dr2
krndn
ddr r11v1k1rr 1dr 2dvr 22
Lkr r 0
2 dnLvnrd
n
krn 0
0
1
0
O
dn
M
0
M
0
M
1
线性代数
齐次方程组的基础解系
定理 设齐次线性方程组 Amn X 0 若其系数矩阵的秩 r(A) n, 则该齐次线性方程组一个基础解系有 n r 个A的解向量组成.
定义 一个齐次线性方程组若有非零解，则称其一组解向量
1,2,K ,l , 为该齐次线性方程组的一个基础解系，如果 1) 1,2,K ,l 线性无关； 2) 该齐次线性方程组的任一解向量均可由1,2 ,K ,l线性表出.
线性代数
齐次方程组的基础解系
例. 求线性方程组的通解.
x1 5x2 x3 x4 0
0
0
1
线性代数
齐次方程组的基础解系
其次对于Ax=0的任意一个解向量，
d1
v
d
2
M
d
n
满足等价同 解的方程组：
dx11 kk11rr11xdrr11k1kr1r2x2rdr22 L L k1nkx1ndn
dx22 kk22rr11xdrr11kk2r2r2x2rdr22 L L k2kn x2ndn
3
6
1
3
0
0
4
0
0
0
1
0
5 10 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0
x1 2x2 x4 0
等价同解的线性方程组为：
x3 0
0 0
2
1
取自由变元
x2 x4
1
0
和
x2 x4
0
1
,
得
1
1 0
,
0
2
0
;
0
1
1,2 为方程组的基础解系. 通解为：X k11 k22, k1, k2 R.
0
xr
2
0
,
1
,
L,
0
M M M
M
xn
0
0
1
可得方程组的nr个解向量：
k1r1
k2
r
1
k1r2
k2
r2
k1n
k2
n
M M
M
v1
kr r 1
1
,
v2
kr
r
2
,L
0
, vnr
krn
0
0
1
0
M M
M
线性代数
齐次方程组的基础解系
例 构造齐次线性方程组的基础解系，并表示出线性 方程组的通解.
x1 x3 x4 0
2x1 x2 4x3 3x4 0
3x1 x2 x3
0
7x1 7x3 3x4 0
线性代数
齐次方程组的基础解系
解：
1
2
3
7
0 1 1 0
1 4 1 7
1 1
3
x1 2x2 x3 3x4 3x1 8x2 x3 x4
0 0
x1 9x2 3x3 7x4 0
6
线性代数
齐次方程组的基础解系
1 5 1 1
1 5 1 1
1 5 1 1
1
2
1
3
r2 r1
0
7
2
4
r3 r2
0
7
2
4
3 8 1
1
9
3
1
7
r3 3r1
r4 r1
k
2
1
, k R.
0
0
线性代数
总结
定理 设齐次线性方程组 Amn X 0 若其系数矩阵的秩 r(A) n, 则该齐次线性方程组一个基础解系有 n r 个A的解向量组成.
线性代数
深圳大学 数学与统计学院
线性代数
第五章 向量空间和线性方程组解的结构
5.3 齐次线性方程组的基础解系和通解
齐次方程组的基础解系
齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
V X Amn X 0,r(A) n
矩阵表示形式
Amn X 0
定义 设V 是向量空间，若 1,2,K ,r V ,满足 1）1,2,K ,r 线性无关； 2） V 中的每个向量都可由 1,2,K ,r 线性表示；
则向量组 1,2,K ,r 就称为向量空间V 的一个基.
线性代数
齐次方程组的基础解系
1 0 L 0 k1r1 k1r2 L k1n
0
1L
0 k2r1 k2r2 L k2n
L L L L L L L L
0
0L
1 kr r1 kr r2 L
krn
0 0 L 0 0 0 L 0
L0
L 0
L L
L 0
L 0
L LL LL0
线性代数
齐次方程组的基础解系
即方程组的等价 同解方程组为：
0 0
7 2 14 4
4
8
r4 2r2
0
0
0 0
0 0
0
0
1
r3 2r2
0
0 7
3 7
2
13 7
4
1 7
r2
1
0
0 1
3 7
2 7
13 7
4 7
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0
0 0 0 0
x1
3 7
x3
13 7
x4
0
x2
2 7
x3
4 7
x4
0
00
00
线性代数
齐次方程组的基础解系
x1
3 7
x3
13 7
x4
0
x2
2 7
x3
4 7
x4
0
00
00
通解为：X
x1 x2 x3 x4
3 7
c1
13 7
c2
2 7
c1
4 7
c2
c1
c2
c1
3 7
2 7
1
0
c2
13 7
4
7
0 1
线性代数
齐次方程组的基础解系
定理 设齐次线性方程组 Amn X 0 若其系数矩阵的秩 r(A) n, 则该齐次线性方程组一个基础解系有 n r 个解向量组成.