齐次方程组的基础解系和通解

线性代数
齐次方程组的基础解系
定理 设齐次线性方程组 Amn X 0 若其系数矩阵的秩 r(A) n, 则该齐次线性方程组一个基础解系有 n r 个解向量组成.
证明：为简明起见不妨设A 的前r 列前r 行线性无关，因为 r(A)=r<n, 所以对方程组的系数矩阵A 施以初等行变换, 可化为如下的形式:
0
0 0
3
0
0 1 1 0
1 2 2 0
1 1
1
0
3 0
4
0
0 1 0 0
1 2 0 0
1
1
1
0
1
0
0
0
0 1 0 0
1 2 0 0
0
0
1
0
x1 x3 0
等价同解的线性方程组为：
x2 2x3 0 x4 0
0 0
1
1
取自由变元x3
1,
得
2 1
为方程组的基础解系. 通解为：X
V X Amn X 0,r(A) n
矩阵表示形式
Amn X 0
定义 设V 是向量空间，若 1,2,K ,r V ,满足 1）1,2,K ,r 线性无关； 2） V 中的每个向量都可由 1,2,K ,r 线性表示；
则向量组 1,2,K ,r 就称为向量空间V 的一个基.
线性代数
齐次方程组的基础解系
矩阵表示形式
Amn X 0
r(A) n r(A) n
齐次线性方程组有非零解 齐次线性方程组仅有零解
线性代数
齐次方程组的基础解系
齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
x1 2x2 x3 3x4 3x1 8x2 x3 x4
0 0
x1 9x2 3x3 7x4 0
6
线性代数
齐次方程组的基础解系
1 5 1 1
1 5 1 1
1 5 1 1
1
2
1
3
r2 r1
0
7
2
4
r3 r2
0
7
2
4
3 8 1
1
9
3
1
7
r3 3r1
r4 r1
齐次方程组的基础解系
x1
3 7
x3
13 7
x4
0
x2
2 7
x3
4 7
x4
0
00
00
通解为：X
x1 x2 x3 x4
3 7
c1
13 7
c2
2 7
c1
4 7
c2
c1
c2
c1
3 7
2 7
1
0
c2
13 7
4
7
0 1
线性代数
齐次方程组的基础解系
定理 设齐次线性方程组 Amn X 0 若其系数矩阵的秩 r(A) n, 则该齐次线性方程组一个基础解系有 n r 个解向量组成.
线性代数
齐次方程组的基础解系
例 构造齐次线性方程组的基础解系，并表示出线性 方程组的通解.
x1 2x2 x3 x4 0 3x1 6x2 x3 3x4 0 5x1 10x2 x3 5x4 0
线性代数
齐次方程组的基础解系
解：
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 1
x1 k1r1xr1 k1r2 xr2 L k1n xn
x2
k2 r 1 xr 1
k2r2 xr2
L
k2n xn
LLLLLL
xr kr r x 1 r1 kr r2 xr2 L krn xn
其中xr+1,xr+2,…,xn为自由未知量， 对nr个自由未知量分别取：
xr1 1 0
0
0
1
线性代数
齐次方程组的基础解系
其次对于Ax=0的任意一个解向量，
d1
v
d
2
M
d
n
满足等价同 解的方程组：
dx11 kk11rr11xdrr11k1kr1r2x2rdr22 L L k1nkx1ndn
dx22 kk22rr11xdrr11kk2r2r2x2rdr22 L L k2kn x2ndn
0 0
7 2 14 4
4
8
r4 2r2
0
0
0 0
0 0
0
0
1
r3 2r2
0
0 7
3 7
2
13 7
4
1 7
r2
1
0
0 1
3 7
2 7
13 7
4 7
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0
0 0 0 0
x1
3 7
x3
13 7
x4
0
x2
2 7
x3
4 7
x4
0
00
00
线性代数
3
6
1
3
0
0
4
0
0
0
1
0
5 10 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0
x1 2x2 x4 0
等价同解的线性方程组为：
x3 0
0 0
2
1
取自由变元
x2 x4
1
0
和
x2 x4
0
1
,
得
1
1 0
,
0
2
0
;
0
1
1,2 为方程组的基础解系. 通解为：X k11 k22, k1, k2 R.
线性代数
齐次方程组的基础解系
例 构造齐次线性方程组的基础解系，并表示出线性 方程组的通解.
x1 x3 x4 0
2x1 x2 4x3 3x4 0
3x1 x2 x3
0
7x1 7x3 3x4 0
线性代数
齐次方程组的基础解系
解：
1
2
3
7
0 1 1 0
1 4 1 7
1 1
3
定义 一个齐次线性方程组若有非零解，则称其一组解向量
1,2,K ,l , 为该齐次线性方程组的一个基础解系，如果 1) 1,2,K ,l 线性无关； 2) 该齐次线性方程组的任一解向量均可由1,2 ,K ,l线性表出.
线性代数
齐次方程组的基础解系
例. 求线性方程组的通解.
x1 5x2 x3 x4 0
LLLLLLLLLLLL
dxrr kkrrrr11xdrr11kkr rrr2x2rdr22 L L krnkxrndn
k1r1dr1 k1r2dr2 L k1ndn
k2
r
1dr
1
k2
r
2dr
2
L
k2ndn
k1r1
k2
r
1
k1r2
k2
r
2
k1n
k2
n
LLLLLL
系数矩阵
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
am1
am 2
L
a1n
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L
amn
未知向量
x1
X
x2
M
xn
矩阵表示形式
Amn X 0
线性代数
齐次方程组的基础解系
齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
0
xr
2
0
,
1
,
L,
0
M M M
M
xn
0
0
1
可得方程组的nr个解向量：
k1r1
k2
r
1
k1r2
k2
r2
k1n
k2
n
M M
M
v1
kr r 1
1
,
v2
kr
r
2
,L
0
, vnr
krn
0
0
1
0
M M
M
1 0 L 0 k1r1 k1r2 L k1n
0
1L
0 k2r1 k2r2 L k2n
L L L L L L L L
0
0L
1 kr r1 kr r2 L
krn
0 0 L 0 0 0 L 0
L0
L 0
L L
L 0
L 0
L LL LL0
线性代数
齐次方程组的基础解系
即方程组的等价 同解方程组为：
深圳大学 数学与统计学院
线性代数
第五章 向量空间和线性方程组解的结构
5.3 齐次线性方程组的基础解系和通解
齐次方程组的基础解系
齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
M M
M
即：v
kr
d r1 r1
kr
d r2 r2
L
d r 1
dr2
krndn
ddr r11v1k1rr 1dr 2dvr 22
Lkr r 0
2 dnLvnrd
n
krn 0
0
1
0
O
dn
M
0
M
0
M
1
线性代数
齐次方程组的基础解系
定理 设齐次线性方程组 Amn X 0 若其系数矩阵的秩 r(A) n, 则该齐次线性方程组一个基础解系有 n r 个A的解向量组成.
k
2
1
, k R.
0
0
线性代数
总结
定理 设齐次线性方程组 Amn X 0 若其系数矩阵的秩 r(A) n, 则该齐次线性方程组一个基础解系有 n r 个A的解向量组成.
线性代数