1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质

他在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图以及数学教育方 面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨 论其构成规律的数学家。著有数学著作5种21卷，即《详解九章算法》 12卷，《日用算法》2卷，《乘除通变本末》3卷，《田亩比类乘除捷 法》2卷和《续古摘奇算法》2卷后三种合称为《杨辉算法》。朝鲜、 日本等国均有译本出版，流传世界。
k

1)!

n
k k

1
Cnk1
所以
C
k n
相对于
wk.baidu.com
C
k n
1
的增减情况由
nk 1 1 k n1
nk 1 k
决定．
k
2
可知，当 k n 1 时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后 半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
新知探究
（3）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
n
系数
C
2 n
取得最大值；
n1 n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 Cn2 、Cn2
相等，且同时取得最大值。
（4）各二项式系数的和
新知探究
C0n
C1n

C
2 n


C
n n
2n
这就是说，(a b)n 的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
数学
选修 2-3
§ 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
Mathematics
POWERPOINT PRESENTATION
授课人：范国柱
凯里实验高级中学
杨辉 （南宋著名数学家）
杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学 家和数学教育家，生平履历不详。曾担任过南宋地方行政官员，为政 清廉，足迹遍及苏杭一带。
含x的项等于( A )
A.210 B.120 C.461
D.416
3:(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 C173 .
小结
对称性
(1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值
各二项式系数的和
(2) 数学思想：函数思想
a 单调性；
b 图象；
c 最值.
课堂小结
注意
课堂小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊 的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好， 同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别， 不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项， 而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和 掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式
杨辉还曾论证过弧矢公式，时人称为“辉术”。与秦九韶、李冶、 朱世杰并称“宋元数学四大家”。
杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的 系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三 角”。
杨辉
一、新课引入
课前引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2
3 6 9r
由函数图象也可以很直观地看到 “对称性”、“增减性与最大值”，一目了然.
课堂练习
课堂练习
a+b 1）已知 C155

a, C195

b，那么
C10 16
=
；
2）(a b)9 的展开式中，二项式系数的最大值是 126 ；
3）若 (a b)n 的展开式中的第十项和第十一项的二项式
系数最大，则n= 19 ；
Cn0Cn1Cn2...Cnr ...Cnn1Cnn
表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的
两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系
数先增后减。
(a b)0
1
(a b)1
11
(a b)2
1 21
(a b)3
13 31
(a b)4 1 4 6 4 1
Cn0 , Cn1, Cnn 有如下性质：
（1） Cnm Cnnm
（2） Cnm Cnm1 Cnm1
（3）当 当
r r

n 1 n 21
2
时，Cnr Cnr1 时， Cnr1 Cnr
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
新知探究
还可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
C50C51C52C53C54C55
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
……
……
……
(a b)n
L
Cnr a nr br
L

C
n n
b
n
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通 过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？
“杨辉三角”的来历及规律
新知探究
(a b)n展开式中的二项式系数，如下表所示：
(a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5
37 1 ; 2 1093
(4) | a0 | | a1 | L | a7 | 2187
课堂练习 1.若（2x 3)4 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4
1 则（a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 的值是____.
课堂练习 ,
典型例题
典例解析
例1 证明在 (a b)n 的展开式中，奇数项的 二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数
项的二项式系数的和.
： 即证
C
0 n

C
2 n
L

C
1 n

C
3 n
L
2n1
证明：在展开式
C
0 n
a
n

C
1 n
a
这就是组合数的性质
2:
C
m n1

C
m n

C m1 n
(3)增减性与最大值.
增减性的实质是比较 Cnk与Cnk1 的大小.
新知探究
(3)增减性与最大值.
新知探究
增减性的实质是比较 Cnk与Cnk1 的大小.
Cnk

k
n! !(n
k)!

n
k k

1

(k
n! 1)!(n
(a b)5 1 5 10 10 5 1
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
新知探究
二项式系数的性质
(1)对称性:
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1:
C
m n

C nm n
(2)递推性:
除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
新知探究
研究二项式系数的性质．
(a+b)n展开式的二项式系数是
C
0 n
,
Cn1
,
C
2 n
,L
, Cnr，L
,C
n n
.
Cnr 可看成是以r为自变量的函数f(r),其
定义域是{0,1,2,…,n},
对于确定的n,可以画出它的图像。例如： 当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点.
f(r)
.20-
. . 1106---.. .. 8462----
典例解析
例3：求（1 x）1（0 1 1 ）10 展开式中的常数项. x
C2100
例4:求(x+2)10 （x2-1）展开式中含 x 10 项的系数为 179 .
变式：求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x项的系数. -9 方法提炼
求两个(多个)二项式乘积的展开式的特定项方法： （1）先化简，化成一个二项式的展开式; （2）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数, 利用找伙伴的方式解决.
典型例题
典例解析
例4： (1 2x)n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，
求展开式中二项式系数最大的项。 70
变式引申
1、(x y)7 的展开式中，系数绝对值最大的项是（ B ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2、若
(x3

1 x2
)n
展开式中的第6项的系数最大，则不
n
1b
L

C
n n
b
n
中
令a=1，b=－1得
(1 1)n

C
0 n

C
1 n

Cn2

C
3 n
L

(1)n
C
n n
即0 Cn0 Cn2 L Cn1 Cn3 L
Cn0

C
2 n



Cn1

Cn3


典例解析
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1 等来整体得到所求。
系数的问题的重要手段。
谢谢聆听 请多指教
THANK YOU FOR READING I WOULD APPRECIATE YOUR COMMENTS
@FACOZOOR
POWERPOINT PRESENTATION
综合法
2
探究3
探究3
25
DESIGN
1
3
1
小结
课前引入
思考
赋值法
新知探究
赋值法的应用 —解决二项式系数问题.
赋值法再思考
已知(1 2x)7 a0 a1 x a2 x2 L a7 x7
求:(1) a1 a2 L a7； -2
(2) a1 a3 a5 a7 ； 1094
(3) a0 a2 a4 a6