1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
人教a版数学【选修2-3】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件
„„
k C n 第 k＋1 类：取 n－k 个 1，k 个 x，共_____种取法；
1 2 n 2n (5)C0 n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝_______ 1 2 2 n n 由(1＋x)n＝C0 ＋ C x ＋ C x ＋„＋ C n n n nx .令 x＝1 得出．
此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式 中系数问题中很有用，应重点体会掌握． (1＋x)n 展开式的组合数解释为：展开式左边是 n 个(1＋x) 的乘积，按照取 x 的个数可以将乘积中的项按 x 的取法分为
k n k－1 n－k＋1 Cn · .
k
第一章
1.3
1.3.2
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所以
k Cn 相对于
n－k＋1 k－1 C n 的增减情况由 决定，故当 k
n－k＋1 n＋1 n－k＋1 增大 >1， 即 k< 2 时， 二项式系数__________ ． 而当 k k n＋1 k 递减 ≤1(即 k≥ 2 )时，Cn 的值转化为__________ ．又因为与首末
相等 两端“等距离”的两项的二项式系数__________ ，所以二项式
系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在
中间 __________ ．
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当 n 是偶数时，n＋1 是奇数，展开式共有 n＋1 项，所以
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn2．二项式系数的性质题型一、二项式系数与二项展开式中项的系数的区别例1、已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项． [解析] 令x ＝1得，展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n ，∴22n2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x 23 )3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23 )2(3x 2)3＝270x 223 . (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由T k ＋1＝C k 5(x 23 )5－k (3x 2)k ＝3k C k 5x10+4k3， 得⎩⎨⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x 23 )(3x 2)4＝405x 263 .例2、(1)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421展开式中前三项系数成等差数列．则展开式中系数最大的项为________．(2)在(1＋2x )n 的展开式中，末三项的二项式系数和为56，则展开式中系数最大的项为________． [答案] (1)7·x 35 和7·x 74(2)15360x 7 题型二、求展开式中各项系数之和例3、已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)由(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7－1－372＝－1 094.(3)由(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6－1＋372＝1 093.(4)方法一：(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093＋1 094＝2 187.方法二：∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.例4(1)(x ＋a x )·(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40(2)若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．[解析] (1)令x ＝1得，(1＋a )·(2－1)5＝2，∴a ＝1，(2x －1x )5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·25－r C r 5x5－2r. r ＝0、1、2、3、4、5.令5－2r ＝－1得r ＝3，令5－2r ＝1得，r ＝2.∴展开式的常数项为：(－1)3·22C 35＋(－1)2·23C 25＝40. (2)对于(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1得(2＋3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 令x ＝－1得(3－2)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4， 两式相乘得1＝(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2， 故答案为1.题型三、与杨辉三角有关的问题例5、如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 19的值.[解析] 由图知，数列的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第18项是C 110，第19项是C 211，∴S 19＝C 22＋C 12＋C 23＋C 13＋…＋C 210＋C 110＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋(C 33＋C 23＋…＋C 211)＝(2＋10)×92＋C 312 ＝54＋12×11×101×2×3＝274.例6、如图所示，满足：①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似杨辉三角，将第n (n ≥2)行的第m 个数记作a (n ，m )，则a (100,2)＝________.1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6…[解析] 由a (n ，m )的定义知，a (100,2)表示表中第100行第2个数，注意观察可以发现，从第三行开始，每一行的第二个数都等于它的上一行肩上两个数字的和，故a (100,2)＝a (99,1)＋a (99,2)＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (98,2) ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋a (97,2)＝…… ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋…＋a (2,1)＋a (2,2) ＝(99＋98＋97＋…＋2)＋2 ＝98×(99＋2)2＋2＝4951. 题型四、求系数最大的项例7、已知(3x ＋x )2n 的展开式的二项式系数的和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数的和大992.求(2x －1x )2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．[解析] 由题意22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)(2x －1x )10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝T 5＋1＝C 510·(2x )5·(－1x )5＝－8 064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大， 则T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·(－1x )r＝(－1)r ·C r 10·210－r ·x 10－2r，∴⎩⎨⎧C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1. ∴⎩⎨⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110.即⎩⎨⎧11－r ≥2r ，2(r ＋1)≥10－r . 解得83≤r ≤113.∵0≤r ≤10，且r ∈N ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，即T 4＝－15360x 4. 例8、已知(1＋2x )n 的展开式所有的二项式系数之和为128. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的系数最大项．[解析] (1)由题意知2n ＝128，所以n ＝7.在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.(2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎨⎧ C r 72r ≥C r －172r －1，C r 72r ≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎨⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5. 例9、已知(2x －1)n 的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小316，求C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n 的值.[正解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，且奇次方项系数和为A ，偶次方项系数和为B ，则依题意可得，A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，且B －A ＝316，令x ＝－1得，f (－1)＝(－3)n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…) ＝B －A ＝316＝(－3)16， ∴n ＝16.从而C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝C 016＋C 216＋C 416＋…＋C 1616＝216－1＝215. ∴C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝215－1.课后作业一、选择题 1．若(3x －1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是( ) A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第6项[答案] C[解析] 令x ＝1，得出(3x －1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n ＝256，解得n ＝8； ∴(3x －1x)8的展开式通项公式为： T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·38－r ·C r 8·x 4－r ， 令4－r ＝0，解得r ＝4.∴展开式的常数项是T r ＋1＝T 5，即第5项．故选C ．2．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为( )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[答案] A[解析] 9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋19n ＋…＋C n －1n ＋192＋C n n ＋19＋C n ＋1n ＋1)－19 ＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数， ∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数．3．若a 为正实数，且(ax －1x)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为( )A ．1x 2016B ．－1x 2016C ．4032x 2014D ．－4032x2014[答案] D[解析]由条件知，(a －1)2016＝1，∴a －1＝±1， ∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2016项为： T 2016＝C 20152016·(2x )·(－1x )2015 ＝－2C 12016·x －2014＝－4032x－2014，故选D ．4．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2B ．54 C ．1 D ．24[答案] C[解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 5．已知(x －ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________.[答案] 1或38[解析] T r ＋1＝C r 8x 8－r(－a x )r ＝(－a )r ·C r 8·x 8－2r，令8－2r ＝0得r ＝4，由条件知，a 4C 48＝1120，∴a ＝±2， 令x ＝1得展开式各项系数的和为1或38.6．在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B＝72，则n ＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3. 7．设(1－2x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017(x ∈R ).(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2017|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…－a 2017＝32017② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2015＋a 2017)＝－1－32017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝－1＋320172.(3)∵T r ＋1＝C r 2017·12017－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2017·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2016－a 2017 ＝320178．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.9．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则(1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝________； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝________. [答案] (1)255 (2)32896 [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.10．在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．[解析] 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*) 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.11．在二项式(x ＋12x)n的展开式中，前三项系数成等差数列.(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)二项式(x ＋12x )n 的展开式中，前三项系数分别为1，n 2，n (n －1)8，再根据前三项系数成等差数列，可得n ＝1＋n (n －1)8，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式(x ＋12x)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r . 令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式的常数项为T 5＝C 48·(12)4＝358. (2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧C r 8·(12)r ≥C r ＋18·(12)r ＋1C r 8·(12)r≥C r －18·(12)r －1，求得2≤r ≤3，因为r ∈Z ，所以r ＝2或r ＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T 3＝7x 2，T 4＝7x .。
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
“杨辉三角与二项式系数的性质”说课一、教材分析：二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推广过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力。
结合二项式定理介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。
二项式定理是组合知识与多项式知识的结合，教学时应特别注意让学生掌握二项展开式的通项公式。
二项展开式的性质有比较广泛的应用，尤其要注意赋值法在证明组和数等式时的应用。
发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力。
二项展开式的性质运用涉及项、项数、系数、二项式系数等容易混淆的一些概念，还由于a,b 的变化使得计算比较复杂，教学时要抓住通项公式，并结合具体问题加以分析、比较，避免产生误解。
二、教学过程： 复习回顾：［引入］计算(a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表:师：通过计算填表，你发现了什么？大家思考一下如何迅速准确地写出二项式系数？生：写出二项展开式的系数运用计算器，或者组和数公式。
每一行的系数具有对称性。
师：除此以外还有什么规律呢?上表写成如下形式:能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? ［稍让学生思考］师：(首先从横向观察，启发学生发现规律1，纠正表达错误) 规律1：首末两项系数为1，与首末两项等距离的系数相等。
(再从上、下两行系数观察，画出斜线寻找规律2)规律2：除首末两项系数外，每一个数都等于它肩上两个数和。
师：再提问()7b a +=7652433425677213535217b ab b a b a b a b a b a a +++++++［由此类比、归纳提问学生，并一同写出()7a b +二项式系数(1，7，21，35，35，21，7，1)］ 师：[归纳小结]启用观察、类比、归纳的方法我们得到二项式系数的两个规律，可见应用观察、分析、类比、归纳的方法是我们获得新知识的重要途径。
“杨辉三角”与二项式系数的性质
C C C C C C C C C
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2
8 8
=1107
240 例7. ( x 3x 2) 的展开式中 x 的系数是 ___________
2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)
3(r 1) 2(20 r ) 2(21 r ) 3r
37 42 r 5 5
r 8
所以当 r 8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
8 20 12 8 12
8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最 大的项，则有
Tr 1 Tr Tr 1 Tr 2
1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n
n 2
b
2
r n r r Cn a b
n n Cn b
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
20 ( 3 x 2 y ) 例 5 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C 20 3 2 C 20 3 2
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
2019-2020学年人教A版数学选修2-3课时规范训练：1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
第一章 1.3 1.3.2【基础练习】1．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210【答案】C2．(2018年宁波模拟)若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．－3C ．1D ．1或－3【答案】D3．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，即a ＝C m 2m .同理b ＝C m 2m ＋1，∴13C m 2m＝7C m 2m ＋1，即13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，∴7(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6.4．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】A【解析】令x ＝－1，得[(－1)2＋1]×[2×(－1)＋1]9＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.故选A.5.(2019年六安期末)在(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8的展开式中，含x 2项的系数是________.(结果用数值表示)【答案】84 【解析】展开式中，含x 2项的系数是C 22+C 32+C 42+C 52+C 62+C 72+C 82=C 33+C 32+C 42+C 52+C 62+C 72+C 82=C 93=84.6．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．【答案】2n －17．(1－x )5(3＋2x )9＝a 0(x ＋1)14＋a 1(x ＋1)13＋…＋a 13(x ＋1)＋a 14，求： (1)a 0＋a 1＋…＋a 14的值； (2)a 1＋a 3＋…＋a 13的值．【解析】(1)令x ＝0，得a 0＋a 1＋…＋a 14＝39.(2)设A ＝a 0＋a 2＋…＋a 14，B ＝a 1＋a 3＋…＋a 13，则有A ＋B ＝39.令x ＝－2，有A －B ＝－35，联立方程组，解得a 1＋a 3＋…＋a 13＝39＋352.8．在(3x －2y )20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．【解析】(1)二项式系数最大的项是第11项， T 11＝C 1020·310·(－2)10·x 10y 10＝C 1020·610·x 10y 10. (2)设系数绝对值最大的项是第r ＋1项，于是⎩⎪⎨⎪⎧C r 20·320－r ·2r ≥C r ＋120·319－r ·2r ＋1，C r 20·320－r ·2r ≥C r －120·321－r ·2r －1.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3(r ＋1)≥2(20－r )，2(21－r )≥3r .解得725≤r ≤825.所以r ＝8，即T 9＝C 820·312·28·x 12y 8是系数绝对值最大的项． (3)由于第9项系数绝对值最大且为正，所以第9项系数最大． T 9＝C 820·312·28·x 12y 8. 【能力提升】A.-80B.-40C.40D.80【答案】D【解析】令x=1，可得展开式中各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2，解得a=1,则(1+a x )(2x-1x )5=(2x-1x )5+1x(2x-1x )5.其中，(2x-1x )5的展开式的通项为T r+1=C 5r (2x)5-r(-1x )r =(-1)r 25-r C 5r x 5-2r ，其中不含常数项，令r=2得T 3=80x ，所以该展开式中常数项为80.故选D.10．若(x ＋1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则(a 5＋a 3＋a 1)2－(a 4＋a 2＋a 0)2的值等于( )A ．0B ．－32C ．32D ．－1【答案】A【解析】令x ＝1得到25＝a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0， 令x ＝－1得到0＝－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0，所以(a 5＋a 3＋a 1)2－(a 4＋a 2＋a 0)2＝(a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0)(a 5－a 4＋a 3－a 2＋a 1－a 0)＝0. 11．(2015年上海)在⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 2 01510的展开式中，x 2项的系数为________．(结果用数值表示)【答案】45【解析】⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎡⎦⎤(1＋x )＋1x 2 01510，其二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(1＋x )10－r x －2 015r .当r >0时不合题意，故r ＝0，问题转化为求(1＋x )10的展开式中x 2的系数，其二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10x k ，令k ＝2，则x 2项的系数为C 210＝45.12.(2019年江苏)设(1+x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，n ≥4，n ∈N *.已知a 32=2a 2a 4． (1)求n 的值；(2)设(1+3)n =a +b 3，其中a ,b ∈N *，求a 2-3b 2的值． 【解析】(1)由(1+x )n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+…+C n n x n ,n ≥4，可得a 2=C n 2=12n (n -1),a 3=C n 3=16n (n -1)(n -2),a 4=C n 4=124n (n -1)(n -2)(n -3).由a 32=2a 2a 4，可得[16n (n -1)(n -2)]2=12n (n -1)·124n (n -1)(n -2)(n -3)，化简得2(n -2)=3(n -3)，解得n =5.(2)方法一:(1+3)5=C 50+C 513+C 52(3)2+C 53(3)3+C 54(3)4+C 55(3)5 =1+53+30+303+45+9 3 =76+443,又(1+3)n =a +b 3，其中a ,b ∈N *， 所以a =76,b =44. 所以a 2-3b 2=762-3×442=-32. 方法二:(1+3)5=a 0+a 13+a 2(3)2+a 3(3)3+a 4(3)4+a 5(3)5=a +b 3，则(1-3)5=a 0+a 1(-3)+a 2(-3)2+a 3(-3)3+a 4(-3)4+a 5(-3)5=a -b 3， 可得(a +b 3)(a -b 3)=(1+3)5(1-3)5, 即a 2-3b 2=(1-3)5=-32.。
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【学习目标】
1．结合“杨辉三角”体会二项式系数的性质． 2．会求二项展开式中二项式系数最大的项． 3. 会对n
b a )(+中的b a ,赋值解决和的问题.
【复习】
1. 二项式定理：
2. 二项展开式的通项： 公式中的r n
C 叫做 【探究活动与知识点梳理】
（三）、二项式系数的性质：
①性质1： ，即
直线 将函数r n
C r f =)( ,},,2,1,0{n r ∈的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. ②性质2：
当 时，二项式系数是逐渐增大的；
当 时，二项式系数是逐渐减小的；
当n 是偶数时，第 项的二项式系数最大；
当n 是奇数时，第 项的二项式系数最大.
③性质3： ， 即
④ ，
即
【例题及练习】
例1. 画出函数r
C r f 6)(= ,}6,543,2,1,0{，，r ∈的图象.
例2. 试证明：在n
b a )(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
练习：
1. 当n 为偶数时，n
b a )(+的二项式系数的最大值是
当n 为奇数时，n
b a )(+的二项式系数的最大值是
2. =+++1111311111C C C
3. =+++++++++++++1
1
221101210n n n n n n
n
n n n C C C C C C C C
4. =++++n n n n n C C C C 420。
“杨辉三角”与二项式系数的性质(一)
变式: 设1 - 2 x a0 a1 x 1 a2 x 1 a7 x 1 ,
求a1 a3 a5 a7的值.
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课时小结
“杨辉三角”与二项式系数的性 质
一般地,(a+b)n展开式的二项式系数有 如下性质：
0 1 2 3 4 5 n n [问题拓展] 你能求cn cn cn cn cn cn ........ (1) cn 吗 ?
1 n r n r r n n 由 (a b)n Cn0 a n Cn a b Cn a b Cn b (n N )
n k 1 k
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二项式系数的性质
“杨辉三角”与二项式系数的性 质
（2）增减性与最大值
当n为偶数时,中间一项的二项式 系数Cn 取得最大值.
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 Cn , Cn 相等, 且同时取得最大值.
n-1 2 n 1 2
n 2
n k 1 k 1 C C 所以 相对于 n 的增减情况由 决定． k
由 n k 1 1 k n 1 k 2 n 1 k 可知，当 时，二项式系数是逐渐 2 增大的，由对称性可知它的后半部分是 逐渐减小的，且中间项取得最大值.
n! (k 1)!(n k 1)!
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问题探究
“杨辉三角”与二项式系数的性 质
观察:图像增减性与最大值.
n r 2
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1.3.2杨辉三角与二次项系数的性质(一)
Cn0 Cn2 C1n Cn3
C
0 n
C2n
C1n
C3n
2n 2
2n1
特例法 赋值法
知识对接测查3
1.C110 C120 L
C 10 10
2_1_0__1_; 1023
2 1024 C111
C131
每行两端都是1从第二行起每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和这个表叫做二项式系数表也称杨辉三角类似上面的表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了这个表称为杨辉三角
1.3.2 “杨辉三角” 与二次项系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2
二项式系数最T大r1的 T项r2为第11项,即
C10 20
由所此以确它定们r的的取比值是
C2102 28312 C2100
5 27 313 11
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表 叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现 要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数 学的成就是非常值得中华民族自豪的
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
3、若
高中数学杨辉三角综合测试题(含答案)
高中数学杨辉三角综合测试题(含答案)选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质一、选择题1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为()A．2n－1 B．2n－1C．2n＋1－1 D．2n[答案] C[解析] 解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋ (2)＝1(2n＋1－1)2－1＝2n＋1－1.解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C. 2．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是()A．第4项 B．第4、5两项C．第5项 D．第3、4两项[答案] B[解析] (x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n ＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．3．假设x3＋1x2n展开式中的第6项的系数最大，那么不含x的项等于()A．210 B．120C．461 D．416[答案] A[解析] 由得，第6项应为中间项，那么n＝10.Tr＋1＝Cr10(x3)10－r1x2r＝Cr10x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.T7＝C610＝210.4．(2022安徽6)设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，那么a0，a1，…，a8中奇数的个数为()A．2 B．3C．4 D．5[答案] A[解析] ∵a0＝a8＝C08＝1，a1＝a7＝C18＝8，a2＝a6＝C28＝28，a3＝a5＝C38＝56，a4＝C48＝70，奇数的个数是2，应选A.5．设n为自然数，那么C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)kCkn2n －k＋…＋(－1)nCnn＝()A．2n B．0C．－1 D．1[答案] D[解析] 原式＝(2－1)n＝1，应选D.6．设A＝37＋C2735＋C4733＋C673，B＝C1736＋C3734＋C5732＋1，那么A－B＝()A．128 B．129C．47 D．0[答案] A[解析] A－B＝37－C1736＋C2735－C3734＋…－1＝(3－1)7＝128.7.x2＋2x8的展开式中x4项的系数是()A．16 B．70C．560 D．1120[答案] D[解析] 考察二项式定理的展开式．设第r＋1项含有x4，那么Tr＋1＝Cr8(x2)8－r(2x－1)r ＝Cr82rx16－3r，16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C4824＝1120. 8．(2022广东惠州)等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，那么(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的()A．第9项 B．第10项C．第19项 D．第20项[答案] D[解析] ∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C4511＋C4612＋C4713＝5＋15＋35＝55，由3n－5＝55得n＝20，应选D.9．假设n为正奇数，那么7n＋C1n7n－1＋C2n7n－2＋…＋Cn－1n7被9除所得的余数是()A．0 B．2C．7 D．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n9n－1＋C2n9n－2－…＋Cn－1n9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，那么余数为7. 10．(2022江西理，6)(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为()A．－1 B．0C．1 D．2[答案] B[解析] (2－x)8的通项式为Tr＋1＝Cr828－r(－x)r＝(－1)r28－rCr8xr2，那么x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，应选B.二、填空题11．假设(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022＋a2022x2022(xR)，那么(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2022)＋(a0＋a2022)＝________.(用数字作答) [答案] 2021[解析] 令x＝0，那么a0＝1.令x＝1，那么a0＋a1＋a2＋…＋a2022＋a2022＝(1－2)2022＝－1.(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2022)＋(a0＋a2022)＝2022a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2022)＝2022－1＝2021.12．(2022北京11)假设x2＋1x3n展开式的各项系数之和为32，那么n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．[答案] 5 10[解析] 令x＝1，得2n＝32，得n＝5，那么Tr＋1＝Cr5(x2)5－r1x3r＝Cr5x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.13．(2022全国Ⅱ理，14)假设x－ax9的展开式中x3的系数是－84，那么a＝________.[答案] 1[解析] 由Tr＋1＝Cr9x9－r－axr＝(－a)rCr9x9－2r得9－2r＝3，得r＝3，x3的系数为(－a)3C39＝－84，解得a＝1.14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图的01三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．[答案] 2n－1 32[解析] 用不完全归纳法，猜测得出．三、解答题15．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：(1)a8＋a7＋…＋a1；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.[解析] 令x＝0，得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝12(28＋48)＝32 896.16．设(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022(xR)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2022的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2021的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2022|的值．[分析] 分析题意令x＝1求(1)式的值令x＝－1求(2)式的值令x＝－1求(3)式的值[解析] (1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2022＝(－1)2022＝1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2022＝32022②与①式联立，①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2021)＝1－32022，a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝1－320222.(3)∵Tr＋1＝Cr202212022－r(－2x)r＝(－1)rCr2022(2x)r，a2k－10(kN*)，a2k0(kN*)．|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2022|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022，所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022＝32022. 17．证明：(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n. [证明] ∵(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)＝(1＋x)2n，而Cn2n是(1＋x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理得C0nCnn＋C1nCn－1n＋…＋CnnC0n＝Cn2n.∵Cmn＝Cn－mn(0n)，(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.18．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①n＝5；②三项的和与差．解答此题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法那么，由组合数的定义求解．[解析] 方法一：(1＋x－2x2)5＝[1＋(x－2x2)]5，那么Tr＋1＝Cr5(x－2x2)r(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Ckrxr－k(－2x2)k＝(－2)kCkrxx＋k.令r＋k＝4，那么k＝4－r.∵0r,05，且k、rN，r＝2k＝2或r＝3k＝1或r＝4k＝0.展开式中含x4的项为[C25(－2)2C22＋C35(－2)C13＋C45(－2)0C04]x4＝－15x4.方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5(1＋2x)5，那么展开式中含x4的项为C05C45(2x)4＋C15(－x)C35(2x)3＋C25(－x)2C25(2x)2＋C35(－x)3C15(2x)＋C45(－x)4C05(2x)0＝－15x4.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
计数原理
1.3 二项式定理
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
栏 目 链 接
1．掌握二项式系数的性质． 2．会运用二项式系数的性质解决相关的问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．二项式系数的性质．
自 测 自 评 解析：令x＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选 B. 答案：B
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型一
“杨辉三角”的变形及引申问题用
例1 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从
1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．
栏 目 链 接
变 式 训 练
2n 2．(1)(2013· 哈尔滨高二检测)若x＋x 的展开式中各项系
数和为 99－n，则展开式中系数最大的项为( A．第 3 项 B．第 4 项 C．第 5 项 D．第 6 项
)
栏 目 链 接
(2)(2x－1)10 展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为( 310－1 1－310 A. B. 2 2 1－210 210－1 C. D. 2 2
13 n 14 n
栏 目 链 接
解得 n 34 . 答案：34
题型二 例2
求展开式的系数和
已知(1－2x)7＝a0＋a1 x＋a2x2＋…＋a7x7.求：
栏 目 链 接
(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解析：(1)令x＝0，则a0＝17＝1； 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1.① ∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2. (2)令x＝－1，则
人教版数学高二《“杨辉三角与二项式系数的性质》 精品课件
高中数学
• 根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性 确定二项式系数最大的项．列出不等关系 解不等式组，可求系数最大的项．
高中数学
• [规范解答] 令x＝1， • 则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n， • 又展开式中二项式系数和为2n， • ∴22n－2n＝992，n＝5.2分 • (1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的
高中数学
• 解得5≤r≤6， • 因为r＝0,1,2，…，8， • 所以r＝5或r＝6. • 故系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
高中数学
高中数学
• 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方， 从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为Sn，求S19的 值．
高中数学
• (4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零， 而a1，a3，a5，a7小于零，
• ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| • ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， • ∴由(2)(3)即可得其值为2 187.
高中数学
[题后感悟] (1)赋值法——对恒等式中的变量代入数 值，可得到为解决某些问题而所需的关系．
②Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…
＝ 2n－1
.
高中数学
• 1．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n ＝4，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
• A．256
B．136
• C．120
D．16
• 解析： 在展开式中令x＝－1得a0－a1＋a2－ a3＋a4＝44.故选A.
杨辉三角与二次项系数性质(习题课)讲解 PPT
二项式系数性质的应用 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和
比各项的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
【思路探究】 求二项式系数最大的项，利用性质知展 开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式 中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去，包括“＋”、 “－”号．
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质 （习题课）
与杨辉三角有关的问题 如图 1－3－2 所示，在“杨辉三角”中，从 1
开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…， 记其前 n 项和为 Sn，求 S16 的值．
图 1－3－2
【思路探究】 观察数列的特点、它在杨辉三角中的位 置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．
图 1－3－3 【解析】 由图中数字规律可知，第 n 行的第 2 个数是 [1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝nn－ 2 1＋1.
(2)将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图所 示的 0－1 三角数表．从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的 是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，…，第 n 次 全行的数都为 1 的是第________行；第 61 行中 1 的个数是 ________．
T3＝C25(x32)3(3x2)2＝90x6， T4＝C35(x32)2(3x2)3＝270x232.
(2)展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr53r·x32(5＋2r)． 假设 Tr＋1 项系数最大， 则有CC5rr533rr≥≥CCr5r5－＋11··33rr－＋11，
∴55－ －55rr！ ！！ ！rr！ ！×≥34≥－6r－！5！rr！＋5！1r－！1×！3，
1.3 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
值．当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数_C__n2__取得最大值；
n－1
n+1
当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数 C
2 n
，C
2 nLeabharlann 相等，且同时取到最大值.
栏目 导引
第一章 计数原理
(3)各二项式系数的和 ①C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. ②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
栏目 导引
第一章 计数原理
2.二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个
二项式系数相等，即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Cnr ＝Cnn－r.
(2)增减性与最大值：当 k<n＋2 1时，二项式系数是逐渐_增__大___的，
由对称性知它的后半部分是逐渐_减__小___的，且在中间取到最大
栏目 导引
第一章 计数原理
(2)由题意知 C0n＋C1n＋C2n＝79，解得 n＝12 或 n＝－13(舍去). 设展开式中第(r＋1)项的系数最大， 由于12＋2x12＝1212·(1＋4x)12， 则CCr1r122· ·44rr≥ ≥CCr1r1－＋22 11· ·44rr－ ＋11， ， 所以 9.4≤r≤10.4. 又 r∈{0，1，2，…，12}，所以 r＝10， 所以系数最大的项为 T11， 且 T11＝1212·C1102·(4x)10＝16 896x10.
灵活运用性质解决相关问题
第一章 计数原理
问题导学 预习教材 P32～P35 的内容，并思考下列问题： 1.杨辉三角有哪些特点？ 2.二项式系数的性质有哪些？
栏目 导引
第一章 计数原理
数学：1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件(新人教A版选修2-3)
8
1 1 1 1 1 1 1 7
28 6 3
1 2
3 6
1 1 4 1
4
5 10
15 21 35 56
10 5 1 20 15 6 1 35 70
图2
21 7
56 28 8
1 1
除了这几个数的排列规 , 你还能再找出其他一些 律 数的 排列规律吗? 与同学交流一下 !
作业：P37(A组7—8和B组)
n 0 n n 1 n 1 n 2 n2 2 n
C C C , 1 3 5 偶数项二项式系数的和 Cn Cn Cn , 为
0 n 2 n 4 n
n n n
0 2 C b 中, 令a 1, b 1, 则得 1 1 Cn C1 Cn n 0 2 3 n n 3 即 0 Cn Cn C1 Cn , n Cn 1 Cn , n n n n
对于a b 展开式的二项
n
f r
20 15 10
式系数 C , C , C , , C , 我们还可以从函数角度 来
0 n 1 n 2 n n n r n
分析它们.C 可看成是以r 为自变量的函数f r , 其定 o 1 2 3 4 5 6 图1.3 2 义域是 0,1 2, , n .对于确 , 定的n, 我们还可以画出它的图 .例如n 6, 象 其图象是7个孤立点图1.3 2). (
1.3 二项式定理
1.3.2 " 杨辉三角 与二项式系数的性质 "
探究 用计算器计算 a b 展开式的二项 式系数并填入下表 .
n
n
1 2 3 4 5 6
杨辉三角说课课件
四、教材重难点
教学重点：问题的方法，理解二项式系数的性质.
教学难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根 据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系 数的性质.
关键：函数思想的渗透.
五、说教法学法
六、教学过程
环节三：联系旧知探新知
点击添加文本 【问题提出】怎样证明 展开式的二项式系数具有对称性和增减性与最大值呢？ 【问题探究】探究：（1） 展开式的二项式系数 ， 可以看成是以为自变量的函 数吗？它的定义域是什么？ （2）画出函数图象，并观察分析他们是否具有对称性和增减性与最大值. （3）结合杨辉三角和所画函数图象说明或证明二项式系数的性质.
【设计意图】引导学生开展课外学习，了解“杨辉三角”，探究与发现“杨辉三角 ”包含的规律，弘扬我国古代数学文化；展示探究与发现的杨辉三角的规律，为 学习二项式系数的性质埋下伏笔.
六、教学过程
环节二：感知规律悟性质
点击添加文本 通过课外学习，学生已经观察发现了杨辉三角的一些规律，展开式的二项 式系数具有杨辉三角同行中的规律——对称性和增减性与最大值. 【设计意图】寻找二项式系数与杨辉三角的关系，从而让学生理解二项式系数 具有杨辉三角同行中的规律.
知识 目标
通过学生从函数的角度研究二项式系数 的性质，体会用函数知识研究问题的方法， 培养学生的观察能力和归纳推理能力.
能力 目标
情感 目标
通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明 、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式 系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到 一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解 决问题的“再创造”过程.
“杨辉三角”与二项式系数的性质
合作学习
思维聚焦
1.二项式系数的性质既可以通过观察杨辉三角得到，也可 以通过逻辑推理直接得到：
由组合数性质“Cnm＝Cnn－m”可得到对称性，即 Crn＝Cnn－r. 由 Ckn＝nn－1n－2k…－1n－！k·＋k 2n－k＋1＝n－kk＋1Ckn－1 可知，Cnk相对于 Ckn－1的增减情况将由n－kk＋1与 1 的大小关系 决定．
二项式系数表与杨辉三角中每行的数值对应相同吗？
提示：不相同．二项式系数表第一行是两个数，而杨 辉三角的第一行只有一个数，事实上，二项式系数表中的 第 n 行与杨辉三角中的第 n＋1(n∈N*)行对应数值相等．
如图所示，在杨辉三角中，第 n 条和 第 n＋1 条细斜线上各数之和与第 n＋2 条细斜线各数之和的关系如何？并证 明你的结论．
(3)由(2)得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1① 令 x＝1，y＝－1，
得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝59② ①＋②得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－2 1， 即所有奇数项系数之和为59－2 1.
(4)Tr＋1＝Cr9(2x)9－r(－3y)r ＝(－1)rCr9·29－r3rx9－ryr， 因此当 r＝1,3,5,7,9 时，Tr＋1 的系数小于 0. 即 a1，a3，a5，a7，a9 均小于 0， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| ＝a0－a1＋a2＋…＋a8－a9＝59.
时取得最大值．
(3)各二项式系数的和： (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于__2_n ____， 即⑪___C_0n_＋__C_1n_＋__C_2n_＋__…__＋__C_rn_＋__…__＋__C_nn_＝__2_n____.
(4)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项
2020-2021学年人教A版数学选修2-3教师用书：第1章 1.3 1.3.2 “杨辉三角”与二
姓名，年级：时间：1.3。
2 “杨辉三角"与二项式系数的性质学习目标核心素养1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点）2。
理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点）3。
理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养。
2.借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养.1．杨辉三角的特点（1)在同一行中，每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等．(2）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上"两个数的和，即C错误!＝C错误!＋C错误!.2．二项式系数的性质（1)对称性：在(a＋b）n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C错误!＝C错误!,C错误!＝C错误!，…，C错误!＝C错误!.（2)增减性与最大值:当k＜错误!时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数与相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和(1）C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝2n;(2)C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝2n－1。
1．(1－2x）15的展开式中的各项系数和是( )A．1 B．－1C．215D．315B［令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1。
］2．在（a＋b）10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( ）A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]3．在（a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为________，在（a＋b)9的展开式中,二项式系数最大的项为________________．70a4b4126a5b4与126a4b5［因为（a＋b）8的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大，该项为C错误!a4b4＝70a4b4.因为(a＋b)9的展开式中有10项，所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为C错误!a5b4＝126a5b4，C错误!a4b5＝126a4b5。
杨辉三角和二项式系数性质
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
（1）对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 m n m Cn Cn 得到．
n 图象的对称轴： r 2
二项式系数的性质 （2）增减性与最大值
n(n 1)(n 2) (n k 1) 由于： C k (k 1)! k 1 n k 1 Cn k
n
例2 已知
2 n ( x ) 的展开式中，第 x
3
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项．
小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
(a b)n的展开式的各二项式系 这就是说， n 数的和等于： 2
同时由于C0 n 1，上式还可以写成：
C C C C 2 11 n 2 n 3 n源自n n n这是组合总数公式．
例1 证明在 (a b) 的展开式中，奇 数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和．
10.4
二项式定理
2.二项式系数的性质
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规 n 律 (a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 1 1 (a b) 2 (a b) 1 2 1 3 1 3 3 1 (a b) 4 (a b) 1 4 6 4 1 5 (a b) 1 5 10 10 5 1 6 (a b) 1 6 15 20 15 6 1
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3 6 9r
由函数图象也可以很直观地看到 “对称性”、“增减性与最大值”，一目了然.
课堂练习
课堂练习
a+b 1）已知 C155
a, C195
b，那么
C10 16
=
；
2）(a b)9 的展开式中，二项式系数的最大值是 126 ；
3）若 (a b)n 的展开式中的第十项和第十一项的二项式
系数最大，则n= 19 ；
新知探究
研究二项式系数的性质．
(a+b)n展开式的二项式系数是
C
0 n
,
Cn1
,
C
2 n
,L
, Cnr，L
,C
n n
.
Cnr 可看成是以r为自变量的函数f(r),其
定义域是{0,1,2,…,n},
对于确定的n,可以画出它的图像。例如： 当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点.
f(r)
.20-
. . 1106---.. .. 8462----
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
C50C51C52C53C54C55
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
……
……
……
(a b)n
37 1 ; 2 1093
(4) | a0 | | a1 | L | a7 | 2187
课堂练习 1.若（2x 3)4 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4
1 则（a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 的值是____.
课堂练习 ,
典例解析
例3：求（1 x）1（0 1 1 ）10 展开式中的常数项. x
C2100
例4:求(x+2)10 （x2-1）展开式中含 x 10 项的系数为 179 .
变式：求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x项的系数. -9 方法提炼
求两个(多个)二项式乘积的展开式的特定项方法： （1）先化简，化成一个二项式的展开式; （2）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数, 利用找伙伴的方式解决.
L
Cnr a nr br
L
C
n n
b
n
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通 过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？
“杨辉三角”的来历及规律
新知探究
(a b)n展开式中的二项式系数，如下表所示：
(a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5
r n1Cnn
表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的
两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系
数先增后减。
(a b)0
1
(a b)1
11
(a b)2
1 21
(a b)3
13 31
(a b)4 1 4 6 4 1
含x的项等于( A )
A.210 B.120 C.461
D.416
3:(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 C173 .
小结
对称性
(1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值
各二项式系数的和
(2) 数学思想：函数思想
a 单调性；
b 图象；
c 最值.
课堂小结
注意
课堂小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊 的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好， 同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别， 不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项， 而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和 掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式
赋值法
新知探究
赋值法的应用 —解决二项式系数问题.
赋值法再思考
已知(1 2x)7 a0 a1 x a2 x2 L a7 x7
求:(1) a1 a2 L a7； -2
(2) a1 a3 a5 a7 ； 1094
(3) a0 a2 a4 a6
杨辉还曾论证过弧矢公式，时人称为“辉术”。与秦九韶、李冶、 朱世杰并称“宋元数学四大家”。
杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的 系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三 角”。
杨辉
一、新课引入
课前引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2
系数的问题的重要手段。
谢谢聆听 请多指教
THANK YOU FOR READING I WOULD APPRECIATE YOUR COMMENTS
@FACOZOOR
POWERPOINT PRESENTATION
综合法
2
探究3
探究3
25
DESIGN
1
3
1
小结
课前引入
思考
(a b)5 1 5 10 10 5 1
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
新知探究
二项式系数的性质
(1)对称性:
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1:
C
m n
C nm n
(2)递推性:
除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
数学
选修 性质
Mathematics
POWERPOINT PRESENTATION
授课人：范国柱
凯里实验高级中学
杨辉 （南宋著名数学家）
杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学 家和数学教育家，生平履历不详。曾担任过南宋地方行政官员，为政 清廉，足迹遍及苏杭一带。
这就是组合数的性质
2:
C
m n1
C
m n
C m1 n
(3)增减性与最大值.
增减性的实质是比较 Cnk与Cnk1 的大小.
新知探究
(3)增减性与最大值.
新知探究
增减性的实质是比较 Cnk与Cnk1 的大小.
Cnk
k
n! !(n
k)!
n
k k
1
(k
n! 1)!(n
典型例题
典例解析
例4： (1 2x)n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，
求展开式中二项式系数最大的项。 70
变式引申
1、(x y)7 的展开式中，系数绝对值最大的项是（ B ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2、若
(x3
1 x2
)n
展开式中的第6项的系数最大，则不
Cn0 , Cn1, Cnn 有如下性质：
（1） Cnm Cnnm
（2） Cnm Cnm1 Cnm1
（3）当 当
r r
n 1 n 21
2
时，Cnr Cnr1 时， Cnr1 Cnr
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
新知探究
还可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，
k
1)!
n
k k
1
Cnk1
所以
C
k n
相对于
C
k n
1
的增减情况由
nk 1 1 k n1
nk 1 k
决定．
k
2
可知，当 k n 1 时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后 半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
新知探究
（3）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
他在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图以及数学教育方 面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨 论其构成规律的数学家。著有数学著作5种21卷，即《详解九章算法》 12卷，《日用算法》2卷，《乘除通变本末》3卷，《田亩比类乘除捷 法》2卷和《续古摘奇算法》2卷后三种合称为《杨辉算法》。朝鲜、 日本等国均有译本出版，流传世界。
典型例题
典例解析
例1 证明在 (a b)n 的展开式中，奇数项的 二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数
项的二项式系数的和.
： 即证
C
0 n
C
2 n
L
C
1 n
C
3 n
L
2n1
证明：在展开式
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
系数
C
2 n
取得最大值；
n1 n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 Cn2 、Cn2
相等，且同时取得最大值。
（4）各二项式系数的和
新知探究
C0n
C1n
C
2 n
C
n n
2n
这就是说，(a b)n 的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
n
1b
L
C
n n
b
n
中