挖掘机的稳定性计算

第四章 挖掘机的稳定性
区别于部件的稳定性，本章所指的稳定性是指整机的稳定性，包括整机在作业、停车、特定运行工况下的车身稳定性等。

挖掘机的稳定性影响到其作业、行使、停放时整机的安全性，并进一步关系到挖掘力的发挥、作业效率、底盘和平台的受力以及回转支承的磨损等，也是相关部件设计计算的依据，但该问题涉及到整机的全部部件的姿态、重量、重心位置和工况的选择，因此分析过程较为复杂。

通过查阅各类文献，目前的分析计算还沿用传统的设计思想，其详细内容如下。

§4.1稳定性的概念
倾覆线：从理论上看，倾覆线是指整机在发生倾覆的临界状态时，围绕其转动的一条假想的直线。

对于履带式挖掘机，根据工作装置与履带的相对位置分为横向和纵向两种情况进行确定，如图5-1、5-2所示。

为便于观察，两图的俯视图斗省去了平台和工作装置。

参照图5-1，纵向挖掘是指工作装置平行于履带行走方向的方式，这时的倾覆线取为驱动轮或导向轮的中心在地面上投影的连线即履带的接地长度，如图5-1中的虚线P 1P 2和P 3P 4，在该图的主视图分别用一个小三角的上顶点标记。

横向挖掘如图5-2所示，是指工作装置所在平面垂直于履带行走方向的方式，为安全起见，这时的倾覆线取为两侧履带中心对称平面的距离即履带中心距，如图5-2中的虚线P 2P 4和P 1P 3，相应地在主视图中用一个小三角的上顶点标记，图中的符号I 、J 分别表示前后倾覆线的中点。

稳定力矩：对应于不同的倾覆趋势和倾覆线，是指阻止整机发生倾覆的所有力矩之和。

倾覆力矩：对应于不同的倾覆趋势和倾覆线，是指是整机发生倾覆的所有力矩之和。

稳定系数K ：用来量化挖掘机稳
定性的参数，是指挖掘机在特定工况下对倾覆线的稳定力矩M 1与倾覆力矩M 2之比，其值应大于1才稳定，对稳定系数的计算通常应考虑风载和坡度的影响，后文将详细介绍。

§4.2稳定系数的计算及稳定性工况的选择
对稳定系数的计算，传统的方法是首先选定一种工况，根据该选定的工况采用数学中的解析方法计算，但这不便于从全局的观点全盘考虑整机的稳定性，为此，本文选择数学中的矢量分析手段，从全局的观点出发，建立任意姿态时的稳定系数计算公式。

当任选一个工况及油缸长度和坡度参数时，可以利用计算机很快获得相应的稳定系数，结
果也十分精确。

以下是具体过程。

一.建立坐标系
建立如图5-3所示的空间直角坐标系，其中，坐标原点为回转中心线与停机面的交点，z 轴垂直水平面向上为正、y 轴水平向前、x 轴垂直于yz 平面。

各部件所受重力及重心位置标示于图中。

二.影响稳定性的因素及其数学表达
如图5-3所示，挖掘机在空间的姿态受以下六个几何参数的影响即铲斗油缸长度、斗杆油缸长度、动臂油缸长度、转台回转角、机身侧倾角和前后倾角。

挖掘机的稳定性除受上述几何参数影响外，还有各部件重量G i （i =1~11）、挖掘阻力F W 、行驶时的起、制动加速度、转台的起、制动加速度及机身迎风面积和风载W 等。

图5-1 纵向挖掘
前倾线为P 1P 2，后倾覆线为P 3P 4
图5-2 横向挖掘 前倾线为P 2P 4，后倾覆线为P 1P 3 图5-3 稳定系数计算简图
动态稳定性所受影响因素则更多，不仅涉及到上述参数，还受动力源及传动系统加载特性、司机操纵的熟练程度等因素有关。

限于本书的篇幅和作者的水平，本书只讨论一般意义上的整机稳定性，而不涉及到其动态稳定性。

以下分别阐述各影响因素的意义。

1．坡度：坡度影响着整机的姿态，是影响稳定性的主要因素之一，它主要受作业场地的限制。

2．各部件的重量及重心位置矢量
各部件的重量和重心位置由设计人员通过分析计算或估计给出。

各部件的重量标记为G i （i =1，
2,…,11）,依次表示下部车架及行走部分、回转平台、动臂油缸、动臂、斗杆油缸、斗杆、铲斗油缸、摇臂、连杆、铲斗及物料的重量，如图5-3所示。

各部件重心位置在坐标系xyz 下的矢量标记定义如下。

1）下部车架及行走部分的重心位置矢量为 ),,(11z y x f ααα=r ，该重心位置除与自身结构有关外主要取决于停机面的坡度，因此它是停机面坡度的函数，其中，αx 、αy 、αz 分别为停机面法向量与x 、y 、z 坐标轴的夹角。

2）上部转台（除第1部分和工作装置外）的重心位置矢量,),,,(22ϕαααz y x f =r ，其中，ϕ为转台转角。

3）动臂油缸重心位置矢量：),,,,(133l f Z y x ϕααα=r ，其中l 1为动臂油缸长度。

4）动臂重心位置矢量：),,,,(144l f z y x ϕααα=r 。

5）斗杆油缸重心位置矢量：),,,,,(2155l l f z y x ϕααα=r ，其中l 2为斗杆油缸长度。

6）斗杆重心位置矢量：),,,,,(2166l l f z y x ϕααα=r 。

7）摇臂、连杆、铲斗、铲斗油缸及物料的重心位置矢量：),,,,,,(321l l l f z y x i i ϕααα=r （i =7，8，9，10，11），其中，l 3为铲斗油缸长度。

物料重量考虑与否应根据各工况来定，其重量与斗容量、装满程度、斗口倾角等因素有关。

8）斗齿尖（中间齿）的位置矢量：),,,,,,(321l l l f z y x V V ϕααα=r 。

上述形式只是各部件重心位置矢量的一般表达式，这些矢量随着括号中各参数的变化而改变，其具体形式十分复杂,除涉及到上述七个变量外，还与挖掘机各部件的结构参数有关，是一系列形式较为复杂的多重复合函数；此外，某些部件的重量会随着姿态和倾覆趋势的变化改变其对整机稳定性所起的作用，因此在推导稳定系数计算公式时应区别对待。

3．挖掘阻力：作业中的挖掘阻力，如前文所述受土壤性质等诸多因素限制，但此处出于分析研究稳定性临界状态的目的，只考虑最大理论挖掘力分析中的六种基本因素，并取其最小值。

4．行驶时的起、制动加速度：该类参数来自于发动机和传动系统的性能限制，但也会影响挖掘机运动中的稳定性，尤其是上坡起动和下坡制动时的稳定性，为避免发生翻车事故，该类因素应当引起足够的重视。

5．转台的起、制动加速度：挖掘机在作业中转台的起、制动过程频繁进行，由于上部转台连同工作装置的重量和转动惯量较大，因此，在转台的起、制动过程中会产生很大的惯性力和惯性力矩，尤其在坡上作业时，所以必须考虑转台起、制动过程对稳定性的影响。

6．风力：在高原和沿海地区，风往往会产生较大的威力，其引起的自然灾害十分严重，因此必须加以考虑，但在具体分析计算时，需考虑风力的等级和迎风面积。

三． 不同工况的稳定性系数计算公式
挖掘机的基本状态分为作业状态、行使状态和停车状态三类，相应地也分为三类工况（见表5-1），每类工况又根据具体情况分为前倾、后倾稳定性。

此外，由于行走装置的不同，履带式挖掘机和轮胎式挖掘机的稳定性计算也不尽相同。

对履带式挖掘机，由于履带中心距一般小于履带接地长度，因此横向作业时的稳定性一般低于纵向作业
时的稳定性，所以，一般以横向作业工况作为稳定性分析的主要危险工况之一。

对轮胎式挖掘机，作业中通常是支腿着地，因而应考虑支腿的作用；而在运动中，由于后驱动桥与底盘连接的特殊性，又分为“一次失稳”和“二次失稳”，其分析计算过程较为复杂。

表5-1稳定性分类
由于工况较多、不同工况的稳定性要求不完全相同，甚至同一个部件，由于其位置的不断变化，在同样工况中的作用也不一定相同，因此难以用一个计算公式描述所有工况的稳定性系数，必须加以具体分析，以
下为根据这三类工况运用数力学原理推导出的稳定力矩M 1、倾覆力矩M 2及稳定系数K 的一般化计算公式[2]。

在罗列这些公式之前，首先假设挖掘机重量沿纵向对称分布，即各部件重心位置处于纵向对称平面yoz 内，以下为具体工况的稳定性计算公式。

工况1：挖掘作业前倾稳定性：如图5-4所示，斗齿上作用有挖掘阻力，风自后面吹来，整机有绕前倾覆线（图5-4中用I 点标记）向前倾覆的趋势。

此时的稳定力矩按下式计算：
∑=⋅-=11
1
I 1)(i i i G y y M （当0)(>=⋅-i I i G y y 时） （1）
倾覆力矩按下式计算：
h W F z z F y y G y y M ⋅-⋅--⋅-+⋅-=∑=wy I V wz I V 11
1
i i I i 2)()()(
（当0)(<⋅-i I i G y y 且0)()(wy I V wz I V <⋅--⋅-F z z F y y 时） （2） 稳定系数计算公式为：
2
1M M
K = (3)
式中，()i i i z ,y ,x ——前述各部件重心位置坐标分量(m)；
()I I I ,,z y x ——代表前倾覆线标记点I 的坐标分量(m)； ()V V V ,,z y x ——斗齿的位置坐标分量(m)；
()WZ WY WX F ,F ,F ——挖掘阻力分量(KN)；
W ——为风载荷，q A W ⋅=，A 为迎风面积(m 2
)，q 为风压，推荐去q=0.25Kpa ，下同。

h ——为风载荷作用中心到停机面的垂直距离(m)；
G i 为各部件重量(KN)，i=1～11，按顺序依此代表下部车架及行走部分、平台、动臂、动臂油缸、斗杆油缸、铲斗、铲斗油缸、摇臂、连杆及物料的重量，G i 公式中应代以负值。

工况2：挖掘作业后倾稳定性：如图5-5所示，斗齿上作用有挖掘阻力，整机绕后倾覆线（图5-5中用J 点标记）向后倾覆的趋势。

图5-4 作业时的前倾稳定性分析
此时的稳定力矩按下式计算：
∑=⋅-=11
1
i J i 1)(i G y y M （当0)(<=⋅-i J i G y y 时） （4）
倾覆力矩按下式计算：
h W F z z F y y G y y M ⋅+⋅--⋅-+⋅--=∑=wy J V wz J V 11
1
i i J i 2)()()(
（当0)(>⋅-i J i G y y 且0)()(wy J V wz J V >⋅--⋅-F z z F y y 时） （5）
2
1
M M K =
(6) 式中，()J J J ,,z y x 代表后倾覆线的标记点坐标，其余符号的意义同前述。

需要强调的是，挖掘机的后倾在有些情况下是允许
的也是必须具备的性能。

当挖掘机爬较大的坡或逾越一
些特殊的障碍物时工作装置前伸、齿尖着地，这时应能
将机身前部抬起；另一方面，在挖掘地面以下土壤时，为防止前翻，伸出的工作装置必须有足够的力量顶住地面，此时的稳定系数必须小于等于1，如图5-5所示的姿态即属于这种情况。

工况3：挖掘机横向停车于斜坡上、满斗静止时，整机有向坡下倾翻的趋势，前倾覆线用I 点标记，如图5-6所示。

此时的稳定力矩按下式计算：
∑=⋅-=11
1
i I i 1)(i G y y M （当0)(I >=⋅-i i G y y 时） （7）
倾覆力矩按下式计算：
h W G y y M ⋅-⋅-=∑=11
1
i i I i 2)( （当0)(<⋅-i I i G y y 时） （8）
稳定系数计算公式为：
2
1
M M K =
(9) 工况4：斜坡满斗回转紧急制动：此时挖掘机停于斜坡上，满斗，且铲斗伸出的幅度较大。

当从挖掘位置转至卸料位置时，有时需要对转台进行紧急制动，如果恰好转至图5-7所示的位置，则制动时产生的惯性力和惯性力矩有使整机向坡下倾翻的可能，因此必须对此时的稳定性进行分析计算。

图中倾覆线标用点J 标记。

此时的稳定力矩按下式计算：
()()[]
∑∑==⋅--⋅-+⋅--=11
1
111
1)(i giz J i gix J i i i J i F x x F z z G x x M
图5-6 横坡停车的稳定性分析
（当0)(11
1
≥⋅--
∑=i i J i
G x x
，()()[]
0≥⋅--⋅-giz J i gix J i F x x F z z 时） （10）
倾覆力矩按下式计算：
()()[]
h W F x x F z z G x x M i giz J i gix J i i i J i ⋅-⋅--⋅-+⋅--=∑∑==11
1
111
2)(
（当0)(11
1
<⋅--
∑=i i J i
G x x
且()()[]
0<⋅--⋅-giz J i gix J i F x x F z z 时） （11）
稳定系数计算公式为：
2
1M M
K = (12)
式中，()
giz giy gix F ,F ,F 为各部件的惯性
力，与部件重心至回转中心的垂直距离及
回转制动角速度及角加速度有关。

要获得该值，首先得求得各部件重心位置至回转中心的垂直距离，然后根据运动参数求得
其法向加速度和切向加速度，并进一步求得其惯性力，最后将求得的惯性力
在坐标轴x 、y 、z 方向分解即可得到该值，其过程较为复杂，此处不作详细介绍，详细见运动分析部分。

工况5：停车时的稳定性：倾覆线标用点J 标记，参见图5-8。

此时的稳定力矩按下式计算：
∑=⋅-=11
1
i i J i 1)(G y y M （当0)(11
1
i i J i ≤⋅-∑=G y y 时） （13）
倾覆力矩按下式计算：
h W G y y M ⋅+⋅-=∑=111
i i J i 2)( （当0)(11
1
i i J i >⋅-∑=G y y 时） （14）
稳定系数计算公式为：
2
1
M M K =
(15) 除工作装置外的部分一般称之为挖掘机的机身，其重心位置靠后，在挖掘机作业时起稳定作用，但在停机或空载时则会使挖掘机向后倾翻，当挖掘机横向停于斜坡上（如图5-8所示），坡度较大且有风自前面吹来时，挖掘机向后倾翻的危险性很大，因此，应避免这种停机方式。

工况6 上坡起动时的稳定性：挖掘机行驶时会发生颠簸，而上坡的坡度有时也很大，上坡时的突然加速会使整机有向后倾翻的趋势，如再考虑风力的影响，则必须考虑整机向后倾翻的可能，如图5-9所示。

以下列出其稳定系数计算公式。

稳定力矩按下式计算：
图5-7 斜坡满斗回转紧急制动的稳定性分析
图5-9 上坡起动的稳定性
图5-8 斜坡横向停车的稳定性分析
()()[]
∑∑==--⋅-+⋅-=11
1
giy J i giz J i 111
i i J i 1)(i F z z F y y G y y M
（当
∑=≤⋅-11
1i i J i
0)(G y y
， ()()[]
011
1giy J i giz J i ≤--⋅-∑=i F z z F y y 时） （16）
()()[]
h W F z z F y y G y y M i ⋅+--⋅-+⋅-=∑∑==11
1
giy J i giz J i 111
i i J i 2)(
（当
∑=>⋅-11
1
i i J i
0)(G y y
， ()()[]
011
1
giy J i giz J i >--⋅-∑=i F z z F y y 时） （17）
2
1
M M K =
(18) 工况7：下坡制动时的稳定性：与上坡起动相反的是下坡制动，下坡时的突然制动会使整机有向前倾翻的趋势，如再考虑风力的影响，则必须考虑整机的这种稳定性，如图5-10所示。

以下列出其稳定系数计算公式。

稳定力矩按下式计算：
()()[]
∑∑==--⋅-+⋅-=11
1
giy I i giz I i 111
i i I i 1)(i F z z F y y G y y M
（当
∑=≥⋅-11
1i i J i
0)(G y y
，()()[]
011
1giy I i giz I i ≥--⋅-∑=i F z z F y y 时）
（16） ()()[]
h W F z z F y y G y y M i ⋅---⋅-+⋅-=∑∑==11
1
giy I i giz I i 111
i i I i 2)(
（当
∑=<⋅-11
1
i i J i
0)(G y y
， ()()[]
011
1
giy I i giz I i <--⋅-∑=i F z z F y y 时） （17）
2
1
M M K =
(18) 以上是常见的3类共7种稳定性工况的稳定系数计算公式，应该说，上述这些工况基本上代表了挖掘机常见的几种工况，但实际情况千差万别。

在这些工况中，还可以进一步找出最危险的姿态。

传统的方法是根据经验判断并计算其稳定系数，但理论分析表明，这些姿态不能算是严格意义上的最危险姿态，作为对照和补充，以下介绍一种使用优化手段寻找最危险姿态的方法，希望对挖掘机的设计者和使用者提供有用的参考。

以下是根据上述问题建立的优化数学模型。

四． 最不稳定姿态的确定
上述提到的工况基本符合挖掘机实际工作的情况，也是反映挖掘机稳定性的危险工况（见图示姿态），但在姿态的确定和计算方法上还有很多值得探讨的地方，这首先是工作装置最危险姿态的确定。

传统的方法大多是通过人们的经验确定相应的危险姿，但这样确定的姿态并非稳定性最差的姿态或是最危险的姿态；其次，由于早期分析计算手段的限制，只能利用解析方法人工来计算，这不仅效率低而且精度也差，为此，我们提出了利用优化方法结合计算机进行分析计算的方法，计算精度和效率都高。

利用优化方法确定挖掘机的最不
图5-10下坡制动的稳定性
稳定姿态，需要建立适当的数学模型，为此，首先要确定目标函数，其次是确定设计变量和约束条件，并把这三个基本因素用数学表达式描述出来。

以下简要介绍其具体过程。

第一步：建立数学模型
反映挖掘机稳定性的主要性能指标是稳定系数，因此，把稳定系数K作为优化问题的目标函数，在一定的工况下，该值越小，越不稳定。

三组油缸的长度作为设计变量，各油缸的伸缩范围作为约束条件，此外，还应根据具体工况增加个别的限制条件，如对于工况1和2还应考虑被动油缸的闭锁条件并寻找相应工况的最小挖掘机力，对工况3～7还应考虑斗齿及铲斗的其余部分不应在地面以下等，而优化的前提条件应是挖掘机各机构参数及其它参数都已知。

这里需要强调的是，稳定系数中的各项不是绝对不变的，因为组成稳定力矩和倾覆力矩的具体项目会因姿态的变化而相互转化，譬如当坡角超过某一值时，原来是起稳定作用的因素会变成倾覆因素，反之亦然，所以，在设计程序时应当根据实际情况插入适当的判断语句来决定某一部件的作用是稳定力矩或倾覆力矩。

右面列出了数学模型的基本形式。

第二步.选择优化方法
由于目标函数的形式非常复杂，需要根据相应的工况、坡角、转台转角、各油缸的长度及机器的运动参数首先确定挖掘机机身及工作装置的姿态，然后才能计算各部件的重心位置及惯性力（工况3、5、6）和挖掘阻力（工况1、2）等，最后由上述公式计算挖掘机的稳定系数，因此这是一个目标函数形式较为复杂、但变量不多的三维非线性约束问题，不能求导，所以推荐选用不需求导的直接法如复合形优化方法，该法不需求导且对于维数不高的问题效率也好。

第三步.编制计算机程序进行分析分析计算
图5-11~5-17为运用传统方法和优化方法对上述7种工况进行实例分析计算的结果。

图中W代表风，其风压按文献取为250Pa，图中所指传统方法确定的姿态表示为按经验人为给定的姿态，其中，稳定系数值大于1为稳定、等于或接近于1为临界稳定、小于1为失稳，用小三角形标记处代表垂直于图面的倾覆线。

由图5-11~5-17可以看出用优化手段找出的不稳定姿态的稳定系数均比人为给定姿态的小。

在某些情况下，最不稳定姿态下的挖掘力小于人为选定姿态的挖掘力。

由计算结果可知，图5-11、5-12中的最不稳定姿态的稳定系数均小于且接近于1，说明该二姿态为临界稳定姿态，进一步的分析还可以知道，这两种姿态下的挖掘力是由整机稳定性决定的，且为稳定性决定的挖掘力中的最小值，之所以称之为最不稳定姿态的原因也在于此。

图5-11、5-12两工况的最不稳定系数近似为1，这是由于整机稳定性限制了挖掘力的发挥，使得由此而限制的最大挖掘阻力在该姿态下起到了平衡作用，即在临界稳定状态下，稳定力矩和阻力距的绝对值应当相等，因此，从这个意义上讲，理论的最小稳定系数应当为1，但由于该模型十分复杂，在计算中会不可避免地带来一些误差，此外，由于在这两种工况下，临界稳定姿态有很多，因而将挖掘力最小的姿态定为最不稳定姿态。

对其它工况，由于没有挖掘阻力的平衡，稳定系数可能会小于1，这时就必然会引起倾覆。

从这些分析计算数字和图形结果不难看出，各工况下的最危险姿态与实际的情况基本吻合，因而该结果是可信的，为此，在设计阶段应当考虑上述不稳定姿态，而在使用过程中也应避免由此而带来的危险。

以上是对挖掘机的三类共7工况进行的稳定性分析研究，限于篇幅本文还未能列出较为详细的分析过程，希望设计人员在设计阶段能充分考虑到这些最危险的情况，而对使用者来说应做到心中有数以防止发生整机失稳事故；另外，采用计算机可视化辅助分析方法，可以更直观准确地进行这方面的分析计算，同时又大量的节省了时间和人力，在此基础上，我们还可以进一步分析挖掘机的动态稳定性，以使我们的产品性能变得更加完善。