以欧拉命名的诸多公式

欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有复变函数中的欧拉幅角公式，将复数、指数函数与三角函数联系起来；拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等。

欧拉公式- 简介

欧拉公式是根据其提出者莱昂哈德•欧拉（‎L eonhard Euler）而命名的公式。欧拉公式的背后是一门新的几何学，这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑图形尺寸大小，这就是由莱布尼兹和欧拉共同奠基的“橡皮膜上的几何学”（位置几何学），如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支——拓扑学。

有关凸多面体最有趣的定理之一是欧拉公式“F+V-E=2”，其实大约在1635年笛卡尔就早已发现了它。欧拉在1750年独立地发现了这个公式，并于1752年发表了它。由于笛卡尔的研究到1860年才被人们发现，所以这个定理就称为欧拉公式而不是笛卡尔公式。

欧拉公式- 公式

(1) 在复分析领域的欧拉公式

对于任意实数x，存在：e ix=cos x+i sin x

当x=π时，欧拉公式的特殊形式为e iπ+1=0。（参见欧拉恒等式）(2) 在几何学和代数拓扑学方面的欧拉公式

对于一个拥有F 个面、V 个顶角和E 条棱（边）的单联通多面体，必存在F+V-E=2。

（参见欧拉示性数）

欧拉公式- 四种形式

（1）分式

a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

（2）复数

由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

（3）三角形

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d2=R2-2Rr

（4）多面体

设v为顶点数，e为棱数，是面数，则

v-e+f=2-2p

p为亏格，2-2p为欧拉示性数，例如：p=0 的多面体叫第零类多面体;p=1 的多面体叫第一类多面体等等。

欧拉公式- 特殊形式

e iπ+1=0，这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个

超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。