垂直于弦的直径知识点总结
九年级数学垂直于弦的直径
在机械制造中应用
机械制造中的轴心定位
在机械制造中，垂直于弦的直径原理可用于轴心的定位。通过确保轴心与某个参考平面垂直，可以确保机械部件 的精确运动和定位。
机械制造中的切削工具设计
在切削工具的设计中，垂直于弦的直径可用于确定切削刃的角度和形状。这有助于确保切削工具在加工过程中能 够准确地去除材料，并获得所需的表面质量和精度。
九年级数学垂直于弦的直径
目
CONTENCT
录
• 垂直于弦的直径基本概念与性质 • 垂直于弦直径在圆中位置关系 • 垂直于弦直径判定方法 • 垂直于弦直径在几何证明中应用 • 垂直于弦直径在解决实际问题中应
用 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直于弦的直径基本概念与性质
定义及性质介绍
01
定义：垂直于弦的直径是指一 个圆的直径，它垂直于给定弦
80%
问题三
探讨垂径定理在解决实际问题中 的应用，如建筑设计、工程测量 等领域中如何利用垂径定理进行 计算和测量。
THANK YOU
感谢聆听
03
D、∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴DE=CE，故本选项正确；
04
故选C．
03
垂直于弦直径判定方法
利用垂径定理判定
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
判定方法
若一条直径垂直于弦，则该直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。因此， 我们可以通过观察图形或计算来验证这一条件，从而判断一条直径是否垂直于 弦。
解析
连接AC、FC，由于AB是⊙O的直径且AB⊥CD， 根据垂径定理可知弧AC=弧AD。因此， ∠AFC=∠ACF。又因为∠GFC是弧AC所对的圆周角， ∠ACF是弧AD所对的圆周角，所以∠GFC=∠ACF。 因此，∠AFD=∠GFC。
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径简介在数学几何中，弦是圆上的线段，而直径是连接圆的两个点的线段，且经过圆心。
垂直于弦的直径指的是与弦互相垂直的直径。
本文将介绍垂直于弦的直径的性质和相关定理。
垂直于弦的直径的性质1.垂直性质：垂直于弦的直径与弦互相垂直。
也就是说，如果一条直径与一个弦相交，并且与这个弦的交点互相垂直，那么这条直径就是垂直于该弦的直径。
2.关于圆心的性质：垂直于弦的直径通过圆心。
由弦的性质可知，连接弦的两个端点和圆心的线段形成一个三角形，而垂直于弦的直径正好是这个三角形的高。
3.长度性质：垂直于弦的直径是所有以弦为直径的圆中最长的直径。
垂直于弦的直径的定理1.定理一：垂直于弦的直径平分弦如果一条直径垂直于计圆的一条弦，那么这条直径将会平分该弦。
即弦的两个端点到直径上的交点的距离相等。
2.定理二：以垂直于弦的直径为直径的圆相切于弦以垂直于弦的直径为直径的圆和原有的圆相切于弦的两个端点。
这意味着，以垂直于弦的直径为直径的圆与原有圆恰好有一个公共的切点。
3.定理三：垂直于弦的直径经过圆心垂直于弦的直径经过圆心，也就是说，垂直于弦的直径的两个端点和圆心三个点共线。
应用举例应用一：判定两条弦是否垂直对于给定的两条弦，如果它们的交点和圆心三点共线，那么这两条弦就垂直。
应用二：平分弦当我们需要将一条弦平分为两段时，可以通过构造垂直于弦的直径来实现。
只需在弦的中点上构造垂直于弦的直径，即可将弦平分为两段。
结论垂直于弦的直径在圆的几何性质中扮演着重要的角色。
它具有许多有趣的性质和定理，对于解决几何问题有着重要的作用。
通过理解垂直于弦的直径的性质，我们能够更深入地理解圆的几何特征，提升解题的能力。
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人教版九年级数学上《垂直于弦的直径》知识全解
《垂直于弦的直径》知识全解课标要求1．经历圆的轴对称性和垂径定理及其推论的探索过程，理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论；2．会运用垂径定理及其推论解决一些证明、计算和作图问题．知识结构内容解析1．圆的对称性圆既是中心对称图形，又是轴对称图形．在⊙O中，将圆周绕圆心O旋转任意一个角度，都能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心O；圆可以绕圆心作任意角度的旋转变换，经过圆心O的任意一条直线，并沿次直线⊙O对折，直线两旁的部分能完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，因为圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．2．垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，如图是直径的基本图形：这个定理的条件有两项：（1）CD是⊙O的直径，AB是弦；（2）CD⊥AB，垂足为E．定理的结论有三项：（1）AE=BE；（2）AD=BD；（3）AC=BC．理解垂径定理要注意以下四点：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其实质是“过圆心”；（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立；（3）垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了思考的方法和理论依据；（4）垂径定理也可以这样理解：一条直线，如果它具有两个性质：①经过圆心；②垂直于弦，那么这条直线就具有另外三个性质：①平分弦；②平分弦所对的劣弧；③平分弦所对的优弧．3．垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，如图是垂径定理推论的基本图形：其条件有两项：（1）AB过圆心O；（2）AB平分非直径的弦CD与点M，其结论有三项：（1）AB⊥CD于点M，（2）AC=AD；（3）BC=BD．方法规律：垂径定理的内容可以概括为五二三或知二推三，一条直线如果具有：（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，则必然具备其余三条，简称“知二推三”．特别提醒：以上“知二推三”中（3）“平分弦”为条件时，弦一定不能是直径，若是直径，则结论不一定成立，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直；“平分弦”为结论时，弦包括直径，因为垂径定理中的弦就包括直径．重点难点本节的重点是：垂径定理及其应用．教学重点的解决方法：从日常生活现象入手，循序渐进，引导学生归纳出垂径定理的有关内容，借助对垂径定理的探究来归纳出垂径定理的基本图形，学生利用由易到难的练习来加深垂径定理的理解．本节的难点是：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教学难点的解决方法：从生活中的垂径定理问题入手，让学生体会生活中的垂径定理的应用，并通过垂径定理的探究，逐步掌握垂径定理及其应用，最后通过课堂练习得到巩固．教法导引本节课采用的教学方法是“主体探究式”．整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证．令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理．学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人．学法建议圆是平面几何知识中接触到的唯一的曲线形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题．另外，这一章的概念和定理较多，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识．由于本章要经常用到前面学过的许多知识，综合性较强，所以要不怕困难，才能学好本章．。
24.1.2垂直于弦的直径 垂径定理三种语言
提示：此中直角三角形AOD中只有A D是已知量，但可以通过弦心距、半径、 拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列 出方程。利用垂径定理进行的几何证明
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形，便将问题 转化为直角三角形 的问题。
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
C M H A E D F B O N
2 2
如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所 在圆的半径为10米，某天通过拱桥的 水面宽度AB为16米，现有一小帆船高 出水面的高度是3.5米，问小船能否从 拱桥下通过？
1.已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 2. 已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的四等 分点。
N D
1.作 法 1.连接AB；
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理三种语言
九年级圆垂径定理知识点
九年级圆垂径定理知识点圆垂径定理是数学中的一个重要定理，它是研究圆的性质和应用的基础。
本文将详细介绍九年级圆垂径定理的相关知识点，帮助你更好地理解和应用这一定理。
一、圆垂径定理的概述圆垂径定理是指：在一个圆中，如果一条直径垂直于另一条弦，那么它一定是这条弦的垂直平分线。
二、圆垂径定理的证明为了证明圆垂径定理，我们可以采用几何证明和代数证明两种方法。
1. 几何证明假设圆的中心为O，半径为r，直径AB垂直于弦CD。
我们需要证明AO = BO。
首先，连接AC和BC，并设AC = x，BC = y。
根据圆的性质，我们知道AO = r，BO = r，AC = BC = r。
又因为AO垂直于CD，所以∠ACO = ∠BCO = 90°。
由三角形的性质可知，AO² = AC² - CO²，BO² = BC² - CO²。
代入已知条件，我们可以得到r² = x² - CO²，r² = y² - CO²。
通过这两个等式，我们可以得到x² - CO² = y² - CO²，即x² = y²。
进而，我们可以得知x = y，即AC = BC。
所以，根据直角三角形的特性，AO = BO，也就是说AO = BO = r。
因此，根据圆的定义，我们可以得出圆垂径定理的结论。
2. 代数证明我们也可以采用代数方法证明圆垂径定理。
设圆的方程为x² + y² = r²（其中，O为坐标原点）。
直径AB垂直于弦CD，且AB的斜率k存在。
根据直线的斜率公式，可以得到直线AB的方程为y = kx。
将直线AB的方程代入圆的方程中，我们可以得到x² + (kx)² =r²。
简化这个方程，可以得到x² + k²x² = r²。
垂直于弦的直径知识点 垂直于弦的直径教学反思
垂直于弦的直径知识点1. 弦和直径的定义弦：在圆上取两点A和B，并且A、B点都在圆上，这条线段AB称为弦，常用小写字母表示，例如ab。
直径：过圆心O的两个点，构成直径，常用大写字母表示，例如CD。
垂直于弦的直径：当弦ab与直径CD相交时，如果交点E在弦ab的中点上，则直径CD被称为垂直于弦ab的直径。
2. 垂直于弦的直径性质性质1：垂直于弦的直径的两条弦等长当弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上时，有以下性质成立： - AE = BE - CE = DE - 弦ab与直径CD所在的扇形和面积相等性质2：垂直于弦的直径的两条弦垂直于彼此当弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上时，有以下性质成立： -∠AED = 90° - ∠BEC = 90°性质3：垂直于弦的直径上的任意两点与圆心构成的直线垂直于弦当弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上时，连接两点A、B与圆心O所构成的直线与弦ab垂直，即∠AOC = ∠BOC = 90°。
性质4：垂直于弦的直径上的任意两点与圆心构成的直线是等腰三角形的高当弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上时，连接两点A、B与圆心O所构成的直线是等腰三角形AOC和BOC的高。
3. 实际应用圆的切线利用垂直于弦的直径的性质，可以辅助判断圆与直线的切点。
如果已知弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上，同时弦与直线的交点为F，则EF是切线。
因为垂直于弦的直径与弦垂直，所以EF与切线是垂直的。
这个性质可以用于解决很多与圆相关的实际应用题。
4. 垂直于弦的直径教学反思在教学垂直于弦的直径相关知识时，可以采取以下教学策略，以提高学生的兴趣和理解程度：1.利用多媒体课件或实物演示工具展示圆、弦和直径的概念。
通过图像和实物的展示，引导学生理解弦、直径的概念。
2.引入具体问题或实际应用场景，让学生思考垂直于弦的直径的性质。
可以使用贴近学生生活的例子，如自行车轮胎、篮球等圆形物体。
垂直于弦的直径
④⑤
①②③
注意要点
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ① 经过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径，CD⊥AB
O · A
∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
O · A
∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
知识点三：
垂径定理的推论
定理：如图,在下列五个条件中:
① CD是直径(一条直线过圆心) ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
C
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
A
M└
●
B
O
D
垂径定理的推论
条件
①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤
结论
②④⑤ ②③⑤ ②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④ ①②⑤ ①②④
命题
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧． 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧． 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 分弦和所对的另一条弧． 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦 ，并且平分弦所对的另一条弧． 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
垂径定理知识点
垂径定理知识点1. 垂径定理说啦，垂直于弦的直径平分弦！就好像你有一根绳子，我拿一根直直的杆子从中间穿过，那这根杆子是不是就把绳子给平均分成两半啦！比如说，一个圆形的蛋糕，直径把它分成相等的两半，这就是垂径定理在起作用呀，是不是很神奇？2. 嘿，垂径定理还提到，平分弦的直径垂直于弦呢！这不就像拔河比赛，中间的红绳被公平地分成两半，那和地面肯定是垂直的呀！就像一个圆形的大饼，用刀平分它，这刀肯定和饼是垂直的呀，是不是很有意思呢？3. 你想想看呀，垂径定理告诉我们，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧！好比一把撑开的伞，伞骨垂直伞面，把伞面分成相等的部分，那同时也把下面的空间也给平分啦！比如一个圆形的池塘，中间有根柱子垂直立着，那柱子两边的水面区域就是相等的，超厉害的吧！4. 不得了哦，垂径定理里说平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分这条弦！就好像英雄总是和他的武器相得益彰，武器能发挥最大威力，英雄也能更厉害！像个钟的指针，钟的中心轴线平分了指针划过的弧，那必然也和指针是垂直的呀，多形象呀！5. 哇塞，垂径定理也包括平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦呢！这就好像有个神奇的魔法棒，只要一挥，就能让东西变得整齐有序！比如一个摩天轮，中间的轴既能把那些车厢走过的弧平分，又能让连接车厢的杆子垂直，这就是垂径定理的魅力呀！6. 哎呀呀，垂径定理还有哦，弦的垂直平分线经过圆心！这简直就像是给圆心找到回家的路一样清楚明白呀！好比你放风筝，线的垂直平分线肯定是要经过风筝的中心呀！像个圆形的轮子，轮子上一根线的垂直平分线肯定会经过轮子中心，是不是很明了？7. 最后呢，平分弦的直径，不一定垂直于弦哦！这就好像不是所有的好人都一定是强壮的一样。
比如有根不太直的棍子平分了一根线，但它们不一定是垂直的呀。
垂径定理真的很有趣呢，我们一定要好好掌握呀！我的观点结论就是：垂径定理非常的神奇和有趣，在很多方面都有重要的应用，我们要多多去理解和运用它呀！。
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径什么是垂直于弦的直径？在圆的几何学中，直径是两个在圆周上相对点之间的线段，并且经过圆心。
而垂直于弦的直径是指与给定弦垂直的直径。
换句话说，如果一个直径与某条弦垂直相交，那么它就是垂直于弦的直径。
特性和性质1.垂直于弦的直径的性质之一是它们互相垂直。
这意味着，如果两条直径都是垂直于同一条弦，那么这两条直径相互垂直。
2.对于一个给定的圆和一条弦，只有一个垂直于该弦的直径。
这是因为直径经过圆心，且圆心位于弦的垂直平分线上。
3.垂直于弦的直径被称为弦的直径。
这是因为垂直于弦的直径通过弦的中点，并将弦一分为二。
4.对于一个给定的圆，以及圆心处的一点，存在唯一的垂直于通过该点的弦的直径。
这是因为垂直于弦的直径经过圆心。
如何证明一条直径垂直于弦？要证明一条直径垂直于弦，可以使用以下步骤：1.假设有一个圆，以及一条弦和它的中点。
我们需要证明通过该中点的直径是垂直于弦。
2.通过指定的弦的两个端点和圆心绘制弧。
3.连接弧的两个端点与圆心，形成两条半径。
4.根据性质，半径与圆周相切于弦的端点。
5.通过弦的中点绘制一条水平线段，并通过圆心绘制一条垂直线段。
6.证明水平线段与垂直线段相交于直径的一点。
7.由于水平线段与弦平行，且垂直线段与弧相切于弦的端点，因此直径与弦垂直相交。
8.因此，通过弦的中点的直径是垂直于弦的。
垂直于弦的直径的应用垂直于弦的直径的概念在几何学和数学中具有广泛的应用。
以下是几个具体的应用场景：1.圆锥与割线问题：当我们考虑一个锥体与平面相交时，垂直于割线的直径对于计算截面的半径和圆锥的体积非常有用。
2.弦截矩关系：根据垂直于弦的直径的性质，我们可以推导出弦的截矩公式。
截矩是描述截面形状的一个参数，它对于材料的强度和性能分析非常重要。
3.三角函数与圆：在三角函数中，正弦值、余弦值和正切值等与圆相关的概念经常涉及到垂直于弦的直径。
这些概念为我们理解三角函数的图像、计算角度和边长提供了基础。
垂径定理方法总结
垂径定理方法总结
垂径定理超厉害好不好！它可不仅仅是一个数学定理，更是解决很多问题的利器呢！那垂径定理到底咋用呢？首先，找到圆的一条弦和过圆心的垂线。
这就像在茫茫大海中找到一艘船和它的航线一样关键。
接着，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
这一步就如同找到了打开宝藏的钥匙，一下子就能得出好多重要的结论。
在运用垂径定理的过程中，安全性那是杠杠的。
只要找准了弦和直径，按照定理来操作，就不会出错。
稳定性也没得说，就像一座坚固的桥梁，稳稳地连接着各种数学问题。
那垂径定理都用在啥场景呢？在解决圆的相关问题时，它可是大显身手。
比如求弦长、弧长、圆心角等等。
优势那可多了去了，能快速准确地得出答案，让你在数学的海洋中如鱼得水。
举个实际案例吧！比如说有一个圆，已知一条弦长和圆心到弦的距离，让你求圆的半径。
这时候垂径定理就派上用场啦！通过垂直于弦的直径平分弦这个性质，再结合勾股定理，就能轻松求出半径。
哇塞，是不是超厉害？
垂径定理就是这么牛，用起来方便快捷，安全性和稳定性都超高，应
用场景广泛，优势明显。
赶紧把它用起来吧！。
专题3.3垂径定理(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题3.3 垂径定理【十大题型】【北师大版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式11】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式12】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式13】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式21】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式22】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式23】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式31】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式32】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式33】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式41】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式42】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式43】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式51】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式52】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式53】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式61】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式62】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式63】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式71】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式72】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式73】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式81】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式82】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式83】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式91】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式92】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式93】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式101】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式102】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式103】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。
24.1.2 垂直于弦的直径
———（垂径定理）
C
推论：平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧．
A
O · M
B
推论：
D
由
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB, ⌒ ⌒ AC=BC,
⌒ ⌒ AD=BD.
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； (3) 平分弦 ； (4)平分劣弧；
O 的半径是3cm ，那么过P点的最短
的弦等于
2 5cm .
B O E C A P D
1. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D, 已知AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则 两个同心圆的半径之比为( B ) A.3:2 B. 5 : 2 C. 5 :2 D.5:4
2.已知:AB是⊙O的直径,OA=10,弦 CD=16,则A,B两点到CD的距离之和 等于( B ) A.24 B.12 C.16 D.6
O
这条弧所对的弦)
AB=2AD=32cm
已知:如图,ＡＢ是⊙Ｏ直径,AB=10,弦 AC=8,D是弧AC中点,求CD的长.
B
O
5
A
3 E 4 2
C
D2
5
（1）已知⊙O的半径为4.5，它的内接 ΔABC中，AB=AC,AD⊥BC于 D,AD+AB=10,求AD的长。
（2）若D是BC的中点，AD⊥BC,BC=24,
A
E
B D
C
作业:
C
M D O
1.已知:AB,CD是⊙O的两条平行 弦,MN是AB的垂直平分线. 求证:MN垂直平分CD 2.在直径为130mm的圆铁片 上切去一块高为32mm的弓形 铁片.求弓形的弦AB的长.
初三垂径定理精讲精练
初三数学学科精讲精练--垂径定理【知识点】1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.直线与圆：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的一条弧；（5）平分弦所对的另一条弧.这五者只要具备其中两个，就可以推出另外三个，即“知二推三”.垂径定理是由（1）（2）→（3）（4）（5），推论是由（1）（3）→（2）（4）（5）.由（2）（3）→（1）（4）（5）即垂直平分弦的直线必过圆心，并且平分弦所对的两条弧，尤其在找三角形的外接圆等作图题中经常运用.【典型例题】1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=8，AE=2，求⊙O的半径．【考点】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=4，∠OEC=90°，设OC=OA=x，则OE=2x−，根据勾股定理得：222+=，CE OE OC即222+−=，x x4(2)解得x=5，所以⊙O的半径为5．2.如图，已知AB是圆O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点E，∠AEC=30°，OE：AE=2：3，求弦CD的长．（【考点】此题考查了勾股定理，垂径定理和含30度角的直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法．【解答】解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO，∵AB=10，∴AO=OB=OD=5，∵OE：AE=2：3，∴OE=2cm．∵∠AEC=30°，∴∠OEF=30°，∴OF=OE=1（cm）；∴2226−=，OD OF∵OF⊥CD，∴CD=2DF=463.如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），OD ⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为O，E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．【考点】该题主要考查了垂径定理、三角形的中位线定理、勾股定理及其应用问题；牢固掌握定理是基础，灵活运用解答是关键．【解答】解：（1）∵OD⊥BC，∴BD=DC=1BC=0.5，2由勾股定理得：OD2=OB2﹣BD2，而OB=2，∴15．（2）存在，DE的长度不变．∵∠AOB=90°，OA=OB=2，∴AB2=22+22，∴AB=22∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴BD=DC，AE=CE，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=12．24.一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．【考点】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．【解答】解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，由垂径定理得：BC=1AB=0.3，2在Rt△OBC中，22−OB BCCD=0.5﹣0.4=0.1，此时的水深为0.1米；（2）当水位上升到圆心以下时,水面宽0.8米则，水面上升的高度为：0.3﹣0.2=0.1米；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：0.4+0.3=0.7米，综上可得，水面上升的高度为0.1米或0.7米．【练习】1.如图，直径AB，CD的夹角为60°，P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合）PM，PN分别垂直于CD，AB，垂足分别为M，N，若⊙O的半径长度为2，则MN的长为．2.已知：如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，∠BED=60°，DE=OE=2．求：（1）CD的长；（2）⊙O的半径．3.如图，在半径为23的扇形AOB 中，∠AOB=120°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）当BC=4时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．4.赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB 约为40米，主拱高CD 约10米，（1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O （保留作图痕迹）；（2）如图2，求桥弧AB 所在圆的半径R ．【练习解析】1.解：MN 的长没有变化；理由如下，如图所示，延长PN 交圆于点E ，延长PM 交圆于点F ，连接EF 、OE 、OF ，作OH ⊥EF 于H ． 根据垂径定理，PN=NE ，PM=MF ，∴//MN EF 且12MN EF =， ∵∠MON=120°，∠PNO=∠PMO=90°，∴∠P=60°，120EOF ∠=︒,∴弦EF 的长为定值，MN 的长也为定值，在Rt △EOH 中，易知∠EOH=60°，∠OEH=30°∵OE=2，∴OH=1 22213−=∴EF=23 ∴132MN EF =， 32.解：（1）过点O 作OF ⊥CD 于点F ．∴DF=CF ．在△OEF 中，∵∠OFE=90°，∠OEF=60°，OE=2，∴EF=1．∴CF=DF=DE+EF=3．∴CD=6．（2）连接OC ．在△OEF 中，∵∠OFE=90°，∠OEF=60°，OE=2，∴223OE EF −在△OFC 中，∵∠OFC=90°，CF=3，OF=，∴2223OF CF += 3.解：（1）∵OD ⊥BC ，∴122BD BC ==， ∴2222(23)222OD BO BD =−−=（2）存在，DE 是不变的，理由是：如图，连接AB ，过点O 作AB 的垂直平分线，与AB 交于点F ，与弧AB 交于点M ，则OM 平分∠AOB 与弧AB ，∴∠AOF=60°，在Rt △AOF 中，∵60,23AOF OA ∠=︒= ∴33AF =， ∴AB=2AF=6，由垂径定理可知，点D 、E 分别是BC 和CA 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线， ∴132DE AB ==． 4.解：（1）如图1所示；（2）连接OA ．如图2．由（1）中的作图可知：△AOD 为直角三角形，D 是AB 的中点，CD=10， ∴AD=12AB=20． ∵CD=10，∴OD=R ﹣10．在Rt △AOD 中，由勾股定理得，OA 2=AD 2+OD 2，∴R 2=202+（R ﹣10）2．解得：R=25．即桥弧AB 所在圆的半径R 为25米．。
垂直于弦的直径(一)
垂直于弦的直径（一）弦的基本概念首先，我们先了解一下什么是弦。
在几何中，弦是圆上两个点之间的线段。
特别地，对于一个圆，弦是连接圆上任意两点的线段。
而垂直于弦的直径则是一个和弦垂直的直线段，它通过圆心，并且刚好与弦的中点重合。
在本文中，我们将探讨关于垂直于弦的直径的性质和应用。
性质以下是关于垂直于弦的直径的性质：1.垂直性质：垂直于弦的直径和弦是垂直的。
也就是说，垂直于弦的直径与弦所在的直线段之间的夹角为90度。
这一性质可以通过几何推理很容易证明。
2.垂直二分性质：垂直于弦的直径将弦分成两个相等的线段。
也就是说，垂直于弦的直径的两个端点与弦的两个端点连线，这两条线段是相等的。
这一性质也可以通过几何推理来证明。
证明接下来，我们来证明上述两个性质。
垂直性质的证明设O为圆的圆心，AB为圆上的一条弦，CD为垂直于弦AB的直径，CE为弦AB的中点。
首先，我们可以通过圆的性质得知OA和OD分别是圆的半径。
又因为直径OD通过圆心O，所以OA和OD是共线的。
因此，可以得出三角形OAD是等腰直角三角形。
同时，正因为OD是圆的直径，所以正好通过弦AB的中点E。
根据等腰直角三角形的性质，直角边OE等于斜边OD的一半，即OE=EA。
而根据直角三角形的性质，OE和EA垂直，因此垂直于弦的直径和弦是垂直的。
垂直二分性质的证明同样设O为圆的圆心，AB为圆上的一条弦，CD为垂直于弦AB的直径，CE为弦AB的中点。
首先，我们可以通过圆的性质得知OA和OD分别是圆的半径。
又因为直径OD通过圆心O，所以OA和OD是共线的。
接下来，连接直线段OC和OD。
由于OC和OD都是圆的半径，所以它们相等，即OC=OD。
由于CD为垂直于弦AB的直径，所以C和D是弦AB的中点E的两个对称点。
根据对称性质，直线段OC和OD是相等的，即OC=OD，因此得出OC=OD=CE。
综上所述，连接垂直于弦的直径的两个端点与弦的两个端点连线，这两条线段是相等的。
应用在几何学和物理学中，垂直于弦的直径有许多重要的应用。
九年级数学垂直于弦的直径
结论
③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB
① ① ④ ② ⑤ ④ ① ③ ⑤
C E O B A
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且 平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂 直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
6、在直径为650毫米 的圆柱形油槽内装入 一些油后，截面如图 所示。若油面宽AB＝ 600毫米，求油的最 大深度。
O A B
； / 交通违章查询
就算是咯咯壹桩事情。难不成非要拖到有咯壹男半女の时候才能给名分？别又闹得跟那家似の，非要等小格格格生出来咯才认命。唉，不过话说 回来，那各丫环の肚皮也实在是不争气，都这么长时间咯，怎么也不见有啥啊动静。”排字琦先是莫名其妙，再壹听德妃如此说来，简直就是五 雷轰顶！天啊！爷与年家那各玉盈仆役好上咯？除咯她也没有别人啊！总不可能是看上吟雪那丫头吧，那也就只剩下这各以丫环身份随行の年家 大仆役咯！震惊不已、怒火中烧の排字琦回到府里。这年家大仆役竟然敢在她の眼皮子底下与爷存咯私情，枉她那么好心好意地帮衬着她，甚至 还曾经操心过她の婚事，想过哪家の小格、公子配得上她。原来，原来，她耗成咯壹各嫁不出去の老姑娘，竟是惦记上自家爷咯！痛恨不已の排 字琦借着德妃娘娘催问她办婚事の由头，毫不掩饰地向王爷发难：“爷，妾身今天进宫里跟娘娘请安，额娘催问媳妇啥啊时候把那各年家大仆役 娶进府里来？”王爷被排字琦の这番话气得脸色铁青！此时の他，正被玉盈那各“谁也不嫁”の话伤心不已，本来就窝着壹口气，现在又听排字 琦说起这件事情，简直就是往他の伤口上撒盐。本来就邪火没处撒の他，正好遇到排字琦撞到咯枪口上，结果壹肚子の怒气全都壹股脑地发泄到 咯她の头上：“这种恶语中伤の事情你也做得出来？额娘不清楚情况，你也跟着不辨是非、人云亦云？人家是未出阁の姑娘，怎么就要凭白地被 你毁咯名节？”第壹卷 第331章 除疑被王爷劈头盖脑、不分青红皂白地壹顿训斥，排字琦简直就是委屈至极！她分明就是两面不讨好嘛。娘娘 那里指责她肚量小，不积极操持张罗爷の婚事；而在爷这里居然训斥她是毁咯年仆役名节の罪魁祸首，她排字琦还有没有活路咯？受咯夹板气の 排字琦从爷那里讨不来说法，只好派小柱子留意侧福晋以及侧福晋娘家姐姐の情况。她の想法是：既然德妃娘娘提出来咯，壹定不是捕风捉影の 事情，但是爷不但矢口否认，还倒打壹耙。那她只有凭自己の本事咯，谁让她不管是德妃娘娘还是爷都不敢得罪呢！排字琦最想知道の是，到底 是娘娘说の真，还是爷在欺骗她？或者是说，爷在塞外の时候跟那各年仆役好上咯，回到京城又后悔咯？这各应该是最有可能。爷根本就看不上 天仙妹妹，这出门在外大半年の时间，谁负责侍寝？只可惜，这年仆役是打错咯如意算盘，做错咯白日梦，赔咯身子也没换来啥啊好结果！虽然 分派咯小柱子，排字琦自己也格外地留意和观察起天仙妹妹の神色、情绪，企图寻找出来蛛丝马迹。结果不管是她自己观察の年妹妹，还是小柱 子上报来の侧福晋，都让她不得不相信咯王爷の说辞。先说水清妹妹这里。每日里她依然是早来早走，不跟其它の姐姐们有啥啊过多の来往，但 是排字琦还真是看不出她の脸上有壹丝の哀伤、怨气、不满、或是妒忌の神色。相反，不但壹如既往、克尽礼数地对待她，平淡如水地对待其它 の姐姐们，而且偶尔地，居然还会有些许の满足、些许の欣喜，洋溢在她の小脸上。水清那时候不高兴才怪呢！王爷の心思和时间先是被两各新 降生の小小格分去咯许多，继而又被二废太子之后新增の夺储大业占据咯全部，早就完全地将她忘到咯脑后。假如不是偶尔の家宴，以及压抑不 住の对玉盈の思念，他早就将她彻底地遗忘。因此这两年来，由于没有咯爷の“关注”，水清再也不会无缘无故地被爷寻咯短处，也不会无缘无 故地被爷安上“莫须有”の罪名，她开始充分地享受着无忧无虑、随性自然、幸福快乐の生活，这让她怎么能不面露喜色？再说小柱子那里。报 上来の情况壹如排字琦猜测の壹样，每日里不是读书写字儿做女红，就是晒晒太阳种花草，小日子过得有滋有味、怡然自得，不但根本看不出来 她是壹各被爷冷落至极の人，而且也根本看不出来她是壹各被自己の姐姐夺咯夫君の人。“此外，侧福晋与吟雪和月影她们聊天の时候，奴才也 注意到她们经常提到年家那各大姑奶奶，相互之间还经常送衣物、书信啥啊の。大概情况就是这些，不知道福晋还想咯解年家大仆役の啥啊事 情。”“噢，没啥啊咯，你精心当差，少不咯你好处の。”“多谢福晋。”第壹卷 第332章 入宫三月十八日当天，时隔三年，水清再壹次踏入 皇宫の大门。在永和宫，她再次见到咯两年多不见の德妃娘娘和塔娜。此次三小格弘时也随淑清壹同进宫参加皇玛法の寿宴。平时在府里弘时就 格外地不喜欢这各年姨娘。年姨娘没有进府之前，额娘只需要向福晋额娘行礼，现在额娘不但要向这各黄毛丫头行礼，而且自打她进咯府以后， 他又多出来咯两各小弟弟，他不再是王府里の独苗。以前全府所有の主子奴才对他全都是众星捧月，除咯阿玛，就是这各年姨娘，跟别人不壹样。 阿玛不用说咯，从来没有对他笑过，除咯吓人唬啦地查他功课，就是罚他抄书甚至跪地反省。年姨娘倒是壹直对他都是笑吟吟地，但是她从来不 会像其它人那样千方百计、强颜欢笑地讨好他，年姨娘永远都是端庄大方、彬彬有礼，既不会刻意地亲近他，但也绝对不会刻意地冷落他。凭啥 啊！小爷可是这王府里最年长の小格，将来皇玛法封咯小爷作世子，不管将来再有好些各弟弟，小爷也不怕！待小爷当咯世子爷，不信你年姨娘 不上赶着来巴结、讨好小爷。等到咯那各时候，小爷反倒是要好好地考虑考虑，理不理会你呢！嗯，还是理你吧。就罚你每天都要
有关垂直于弦的直径简单介绍
C
构造等腰三角形，利 用等腰三角形的性质 和勾股定理解释
A
P
.
D
· O
B
• 第三步，现在我们知道直径CD和弦AB是垂直的. 请思考：如果把圆沿直径CD所在的直线对折，弦 AB的两个端点会怎样？线段AP和线段BP有怎么 样的数量关系？这说明什么问题？同时弧AD和弧 BD，弧AC和弧BC有怎样的数量关系？为什么呢？
∴ AD=17.2 ∵ OA OD AD
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
问题三：求作弧AB的四等分点。
C m n
F
A
E
G
B
D
问题四：
你能破镜
m
n
C
重圆吗？
注意：不能做两 条平行弦的垂直 平分线 作图依据：
有关垂直于弦的直径简单介绍垂直于弦的直径圆o的直径ab垂直于弦是直径直径是圆中最长的弦弦是直径吗圆中两垂直弦的问题圆o的直径ab与弦cd证明直径是最长的弦弦的垂直平分线经过
重点 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明. 难点 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问 题. 关键 探 索 并 证 明 垂径定理及利用垂径定理解 决一些实际问题.
解:作 OC ⊥ AB 于 C, 由垂径定理得: AC=1/2 AB=0.5 × 16=8 由勾股定理得:
8
C
10 8
OC OB2 BC2 102 82 6
CD=OD-OC=4
D
如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦AC=8，D
⌒ 是AC的中点，连结CD，求CD的长。 B
练 一 练
垂直于弦的直径
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24.1.2 垂直于弦的直径
【知能点分类训练】
知能点1 圆的对称性
1．圆是轴对称图形，它的对称轴是_______，圆还是中心对称图形，它的对称中心是_______．
2．两个同心圆的对称轴（）．
A．仅有1条 B．仅有2条 C．有无数条 D．仅有有限条
3．如图所示，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（3）①在图中，连接OA，OB，则△OAB是等腰三角形，那
么直径CD既是⊙O 的________，又是△OAB的
________．
②把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重
合，点A与点B重合，AE与____•重合，AC与______重
合，AD与_____重合．
③同理可得到AE_____BE，AC=_______，AD=________．
知能点2 垂直于弦的直径
4．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）．
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BC BD
5．如图所示，在⊙O中，OD⊥AB于P，AP=4cm，PD=2cm，则OP的长等于（）．
A．9cm B．6cm C．3cm D．1cm
6．在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD平分AB于E，OE=3cm，AB=8cm，则⊙O 的半径为________．
7．在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于E，∠COD=100°，则∠COE=_______．
8．如图所示，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，当______时，CD ⊥AB．（填写一个你认为适当的条件）
9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA•为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长．
10．如图所示，在⊙O中，AB，CD为两条弦，且AB∥CD，直径MN经过AB中点E，交
吗？
CD于F，试问：（1）点F是CD的中点吗？（2）AC BD
【综合应用提高】
11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m，拱高CD=4m，则拱桥的直径为（）．A．6.5m B．9m C．13m D．15m
(第11题) (第12题)
12．如图，在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=8m，•那么油的最大深度是_________．
13．如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中CD，点O是CD•的圆心，CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD于F，EF=90m，则这段弯路的半径是多少？
14．一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16m（•如图），桥拱最高处离水面4m．
（1）求桥拱半径；
（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少．
15．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水平宽度为7.2m，•拱顶高出水面
2.4m，现有一艘宽为3m，船舱顶部为长方形，并高出水面2m的货船要经过这里，
此货船能顺利通过这座拱桥吗？用你所学的数学知识说明理由．
【开放探索创新】
16．不过圆心的直线L交⊙O于C，D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥L，垂足为E，BF⊥L，• 垂足为F．
（1）在图所示的三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形．（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其他字母），找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程．
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得的结论．
【中考真题实战】
17．（黑龙江）如图所示，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的弦OD⊥AB， OE⊥AC，垂足分别为D，E，若AC=2cm，则⊙O的半径为________．
(第17题) (第19题)
18．（武汉）过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为（）．
A．3cm B．6cm C．cm D．9cm
19．（南昌）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O ′与两坐标轴分别交于A，B，C，D 四点，且AC=BD．已知A（6，0），B（0，-3），C（-2，0），则点D的坐标是（）．
A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，5）
20．（河北）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，•尺寸如图（•单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A，E，B三个接触点，•该球的大小就符合要求．
图（2）是过球心O及A，B，E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD，请你结合图（1）中的数据，计算这种铁球的直径．
答案:
1．经过圆心的任意一条直线 圆心 2．C 3．（1）是．直径CD 所在的直线．
（2）相等的线段有AE=BE ；相等的弧有AB BC =，AD BD =．
根据此图形是轴对称图形，图形两侧部分重合．
（3）①对称轴 对称轴 ②BE BC BD ③= BC BD
4．C
5．C 提示：连结OA ，则O A 2+（OD-PD ）2=AP 2，即OA 2+（OA-2）2=42， ∴OA=5，OP=OD-PD=OA-PD=3cm ． 6．5cm 7．50°
8．BC BD =（或CE=DE ，或AC AD =）
9．解：如右图所示，作CP⊥AB 于P ． 在Rt△ABC 中，由勾股定理，得
AB===5．
由S △ABC =12AB·CP=1
2AC·BC，
得52CP=12×3×4，所以CP=125．
在Rt△ACP 中，由勾股定理，得
AP=
==9
5． 因为CP⊥AD，所以AP=PD=1
2AD ， 所以AD=2AP=2×95=18
5．
10．解：如右图所示，（1）点F 是CD 的中点． ∵直径MN 平分不是直径的弦AB ， ∴MN⊥AB， ∵AB∥CD， ∴MN⊥CD， ∴CF=FD．
（2）由MN⊥AB，MN⊥CD 得 AN BN =，CN DN =， ∴AN CN BN DN -=-， 即AC BD =．
11．C 12．2cm
13．解：如右图所示，连接OD ．
∵OE⊥CD，∴DF=1
2×600m=300m．
在Rt△DOF 中，OD 2=OF 2+DF 2， ∴R 2=（R-90）2+3002， ∴R=545（m ）．
∴这段弯路的半径是545m ． 14．解：（1）如右图所示，设点O 为AB 的圆心，点C 为AB 的中点， 连接OA ，OC ，OC 交AB 于D ，由题意得AB=16m ，CD=4m ，
由垂径定理得OC ⊥AB ，AD=12AB=1
2×16=8（m ）．
设⊙O 半径为xm ，则在Rt △AOD 中， OA 2=AD 2+OD 2，即x 2=82+（x-4）2
解得x=10，所以桥拱的半径为10m ． （2）设河水上涨到EF 位置（如上图所示），
这时EF=12m ，EF∥AB，有OC⊥EF（•垂足为M ）．
∴EM=1
2EF=6m ．
连接OE ，则有OE=10m ，
OM===8（m ）．
OD=OC-CD=10-4=6（m ），
OM-OD=8-6=2（m ）．
15．解：如右图所示，作出AB 所在的圆心O ，连接OA ，ON ．
设OA=r ，则OD=OC-DC=r-2.4，AD=2AB
=3.6．
在Rt △OAD 中，有OA 2=AD 2+OD 2， 即r 2=3.62+（r -2.4）2，解得r=3.9．
又在Rt△ONH 中，有
OH===3.6， FN=DH=OH-CD=3.6-（3.9-2.4）=2.1（m ），
这里2m<2.1m ，有0.1m 的等量，因此货船可以通过这座拱桥． 16．解：（1）
（2）结论：EC=FD 或ED=FC ． （3）选择（1），证明：
过O 作OG⊥CD 于G ，则CG=GD ． ∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥OG∥BF，则四边形AEFB 为梯形，
∵AB为⊙O的直径，∴OA=OB，∴EG=GF，∴EG-CG=GF-GD，
即EC=DF．
17
．cm
18．A 19．D
20．解：连接OE，交AB于F，连接OA，由题意得四边形ABDC是矩形，• 由圆的轴对称性可知OE⊥CD．
∵CD∥AB，∴OE⊥AB．
且AF=1
2AB=
1
2×16=8（cm），
EF=AC=4cm，设⊙O的半径为r，在Rt△AFO中，OA2=OF2+AF2，即r2=（r-4）2+82，
解得r=10，∴2r=20．
所以这种铁球的直径为20cm．。