浅谈参数取值范围问题在函数习题中的求解思路
求参数取值范围的两个技巧
求参数的取值范围问题比较常见，常出现在不等式、函数、方程、直线、圆、向量等问题当中.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和综合分析能力.要求得参数的取值范围，需重点讨论与参数相关的变量或式子，用变量来约束参数的取值.下面介绍两个求参数取值范围的技巧.一、分离参数分离参数是指将不等式或等式进行恒等变形，使不等式或等式的一边含有参数，另一边不含有参数，然后根据不含参数的式子的范围来确定参数的取值范围.一般地，我们可以运用构造函数法、基本不等式法、导数法等来确定不含参数的式子的范围.例1.若函数f(x)=x3-b2x2+bx+c在[-2,1]上是增函数，求b的取值范围.解：由题意可知，函数f(x)在[-2,1]上是增函数，则对于∀x∈[-2,1],有f'(x)=3x2-bx+b≥0恒成立.当x=1时，3x2-bx+b≥0成立；而当x∈[-2,1),要使3x2-bx+b≥0，需使b≥3x2x-1，那么就只需要b>(3x2x-1)max,又(3x2x-1)max=0,所以b≥0.因此，实数b的取值范围是[0,+∞).若遇到含参不等式问题时，我们可先将不等式进行变形，把参数分离出来，得到a≤f(x),a≥f(x),a< f(x),a>f(x)的形式，求出f（x）的最值，只要使a≤f(x)min, a≥f(x)max,a<f(x)min,a>f(x)max，即可求出参数的取值范围.例2.已知不等式sin x∙cos x>m2+m2-1的解集为R，求m的求值范围.解：将不等式sin x∙cos x>m2+m2-1变形可得2sin x∙cos x>2m2+m-2，设g(m)=2m2+m-2,f(x)=2sin x∙cos x=sin2x≥-1,而g(m)<f(x)min，所以2m2+m-2<-1,即(2m-1)(m+1)<0,解得-1<m<12,因此m的取值范围为(-1，12）.本题的不等式中有多项含有m，因此将含m的项与常数项一起分离出来，再构造函数g（x）、f（x），求得f（x）的最值，使g(m)<f(x)min，即可求得m的取值范围.由此可见，通过分离参数解答含参不等式问题，大致可以分为三步：①分离参数；②求函数的最值；③利用极端原理得到最终的答案.二、变更主元对于一些含有多个参数、变量的问题，我们通常使用变更主元法来解题.将参数作为主元，将变量当作参数，将问题转化为关于参数的不等式、函数、方程问题，借助不等式的性质、函数的性质、方程的判别式来建立关于参数的关系式，从而求得参数的取值范围.例3.若函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,对任意a∈[-1,1]，有g(x)<0，求实数x的取值范围.解：∵g(x)=3x2-ax+3a-5,∴令ϕ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.对于-1≤a≤1,有g(x)<0恒成立,即ϕ(a)<0.∴ìíîϕ(1)<0,ϕ(-1)<0,即ìíî3x2-x-2<0,3x2+x-8<0,解得x∈(-23,1).∴x的取值范围为(-23,1).我们将x看作参数，将a看作变量，将问题转化为关于a的一次函数问题.根据g(x)<0，建立关于a的不等式，解不等式就能求得参数a的取值范围.相比较而言，分离参数的适用范围较广，但运算量较大；变更主元的技巧较为简单，但使用范围较窄，很多同学经常很难想到这个技巧.因此，在解题受阻时，同学们要注意变通，尝试从不同的角度思考解题的思路.（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）折直解题宝典45。
例谈函数中参数范围的求解策略
例谈函数中参数范围的求解策略摘要:求解函数中的参数取值范围，这类题型能考查学生分析问题,解决问题能力以及数学应用的意识,因此是历年高考中的热点和难点内容。
由于其综合性较强、比较灵活且难度较大，因而解答需要较高的技巧,并且相似问题容易混淆,解题时容易出现错误,甚至运算冗繁,但笔者认为“分离参数法”因其具有思路清晰,有章可循,易操作,易掌握的特点。
本文从不同的角度,通过实例把所探讨的问题进行转化、归类,总结出几种常用的求参方法与大家共享。
关键词：分离参数 数形结合 主参换位 根的分布 构造函数一、分离参数策略这种分离方法经常用到，如果参数在方程或者一个不等式的两侧，往往实行左右分离的策略；如果分子、分母中都含有参数，就实施上下分离；这样会大大优化解题的过程，顺利求出参数的范围。
例1、已知函数。
32() 1.f x x ax x a R =+++∈ （Ⅰ）讨论函数的单调性。
()f x （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围()f x 21(,33--a 解：（Ⅰ）略。
（Ⅱ）依题设，当时，有恒'2()32 1.f x x ax =++21(,33x ∈--23210x ax ++≤成立。
23111(322x a x x x+∴≥=-+令。
则11()(32g x x x=-+111()(3)()22g x x x ⎡⎤=-+-≥⨯=⎢⎥⎣⎦当且仅当，即时取等号。
13x x -=-x =min ()(g x g ∴==由此可知，上递减，在上递增。
2()-3g x 在（1-3（，）当时，，或∴21(,33x ∈--27(()(34g g x g ≤<-=<,,(()g g x ≤1(23g -=()2g x ≤<所以，于是的取值范围是。
2a ≥a [)2,+∞说明：在的某个范围内，不等式恒成立的问题，求其参数x ()(,,0f x ><≥≤或）的范围，若通过等价变形，能将变量与参数整体中分离出来，转化为恒成立的问题，则只需求出在给定的范围内的值域，(,)a F x ><≥≤或）（()F x 即可确定参数的取值范围。
解析几何中参数取值范围问题（精）
解析⼏何中参数取值范围问题（精）解析⼏何中参数取值范围问题⼀．学习⽬标：1、掌握求参数取值范围的基本思路与⽅法，会解决⼀些简单的求参数取值问题；2、了解双参数问题的求解思路。
⼆．思想⽅法技巧1．利⽤数形结合思想求解：挖掘参数的⼏何意义，转化为直线斜率、距离等问题求解； 2．通过建⽴参数的不等式求解：（1）利⽤题设中已有的不等关系建⽴不等式；（2）利⽤判别式建⽴不等式（3）利⽤图形特征建⽴不等式 3．双参数问题求解策略：建⽴参数的不等式、⽅程的混合组，通过消元转化为⼀元不等式，或转化为求函数值域问题求解。
4、分类讨论思想的运⽤三．基础训练1．已知两点A （－3，4）．B （3，2），过点P （2，－1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．[1,3]-B ．(1,3)-C ．(,1][3,)-∞-?+∞D ．(,1)(3,)-∞-?+∞2．直线y kx =与双曲线221169x y -=不相交，则k 的取值范围是 3．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）（A ）），（2222-（B ）），（22-（C ）），（4242-（D ）），（8181-⼆．典型例题1．若直线y=x+b 与曲线21y x -=恰有⼀个公共点,则有b 的取值范围是。
2．双曲线1422=+ky x 的离⼼率为e ，且e ∈(1，2)则k 的范围是________。
3．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是（）A ． [2,2]-B ． [0,2]C ．D ． [-4．直线y=kx －2与焦点在x 轴上的椭圆1522=+my x 恒有公共点，求m 的取值范围5．已知椭圆C ：2214x y += 和直线:2l y x m =+，椭圆C 上存在两个不同的点A 、B 关于直线l 对称，求m 的取值范围三．巩固练习1．若平⾯上两点A （-4，1），B （3，-1），直线2+=kx y 与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是。
求参数范围问题—常见解题方法
求参数范围问题—常见解题方法一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量例2．若对于任意角总有成立，求的范围．分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立．根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为即时，有最小值为0，故．评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)④f(x)<g(k) [f(x)] max < g(k)三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．设函数，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
浅谈确定解几问题中的参数取值范围的策略.
浅谈确定解几问题中的参数取值范围的策略重庆一中 李红林求参数的取值范围在中学数学中比比皆是,它使函数、方程与不等式、数与形、常量与变量有机地结合在一起。
这类问题不仅综合性强,而且情景新颖，能很好地考查考生的创新能力和潜在的数学素质，是历年高考命题的热点和重点.本文结合近几年的高考试题，对此问题的转化方法作简单探讨.转化策略一：构造关于目标参数的不等式建立关于目标参数的不等式，然后解出不等式，则得到所求参数的取值范围.建立目标参数的不等式有多种途径,常见的有：圆锥曲线的x,y 取值范围、函数的有界性、判别式、基本不等式及位置关系(点与曲线、曲线与曲线)等。
通过解不等式求参数的取值范围特别要注意必须进行等价变换，不然会扩大或缩小参数的取值范围。
例1（2004年高考题重庆卷10题）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ） A 43 B 53 C 2 D 73分析：因题意涉及到双曲线的焦半径,故可考虑利用双曲线的两种定义。
若用第一定义则据焦半径存在一个取值范围能列出关于离心率的不等式；若用第二定义（焦半径公式）则据双曲线上的点的坐标存在取值范围也能列出关于离心率的不等式.略解1：由双曲线的定义可得：122232PF PF a PF a -=⇒= (点P 在双曲线的右支上） 2PF c a ≥- 523()533a c a a c e ∴≥-⇒≥⇒≤ 所以选B. 略解2：∵点P （x,y)在双曲线的右支上，由焦半径公式可得： 1PF a ex =+ 2PF a ex =-+ 5533ax x a e e ∴=≥∴≤ 例2(2002年高考题全国卷19题）设点P 到点)0,1(-M 、)0,1(N 距离之差为m 2，到x 轴、y 轴距离之比为2.求实数m 的取值范围.分析:显然点P 是直线与双曲线的交点，其交点P 的横坐标、纵坐标都与参数m 有,显化这种关系，则为实数的平方，根据其有界性即可列出关于参数m 的不等式。
中学数学中求取值范围的解题策略
浅谈中学数学中求取值范围的解题策略内容摘要：本文给出了中学数学中求取值范围的两类解题策略，包括了九种具体的解题方法，基本解决了初等数学中求变量取值范围的问题.求取值范围问题是中学数学的重要内容，也是高考中的热点题型.这类问题涉及面广,综合性强,学生常常感到束手无策. 本文给出此类问题的一般解题策略,以供同志们商榷.一、基本策略――不等式法.求参数m的取值范围的基本策略是列出关于m的不等式 (组). 由于得到不等式的根据是多方面的,因此列不等式求取值范围有以下几个常见类型：(一)根据实际问题有意义列不等式(二) 利用不等式的放缩变形得不等式(三)利用恒不等成立的最值法得不等式(四)利用某些变量的有界性得不等式(五)利用有关图形的性质得不等式.(六)利用方程有解的条件得不等式二、常用策略——转移法.如果欲求范围的变量m的不等式(组)不易直接得到,题中常常隐含有m 与另一变量n间的等量关系 F(m,n)＝０及n的取值范围.解题的一般思路是求出F(m,n)=0及n的范围,再设法利用F(m,n)＝０求出m的范围.这种求变量范围的方法就是转移法.由于F(m,n)＝０的情况不同，转移法常有如下三种类型：(1)不等式型如果由F(m,n)＝０能够解出 n = f(m)，则利用n的范围容易得到m的不等式，即可求其范围.(2)函数值域型如果 F(m,n)＝０能够解出m=f(n)，则在n的范围内去求m=f(n) 的值域即可.(3)方程根的分布型如果F(m,n)=0 比较复杂，常常可以变形为关于n的一个一元二次方程，这时可以通过讨论方程在n的范围内有解的条件得出m的不等式.注：这是06年自己评中学高级教师时发表的一篇论文的提纲。
由于自己输入科技论文的水平有限，不能把例题一同附上，望各位同仁谅解。
参数取值问题求解策略
参数取值问题求解策略参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，主要体现在以下四个方面：一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。
解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3,∴45-a -a+5>3即45-a >a+2，上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8.说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。
另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即a+1-2sin 2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1],整理得2t 2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。
设f(t)= 2t 2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1, ∴ f(x)在[-1，1]内单调递减。
∴ 只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同)例2．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求AP PB 的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =BA x x-，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1: 从第一条想法入手，AP PB =BA x x-已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k. 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PB AP ； 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k ，解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.当0>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以 21x x PB AP-==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得 952≥k ，所以 51592918112-<-+-≤-k ，综上 511-≤≤-PB AP . 思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.解2：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k （*）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x 令λ=21x x ，则，.20453242122+=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0≥∆可得 952≥k ，从而有5362045324422≤+≤k k ，所以536214≤++≤λλ，解得551≤≤λ.结合10≤<λ得151≤≤λ. 综上，511-≤≤-PB AP . 说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。
参数与范围求解题技巧
参数与范围求解题技巧参数与范围求解是一种常见的数学解题技巧，它在数学竞赛、高中数学考试中经常出现。
该技巧主要是通过确定参数和范围的方法，来解决一些无法直接求解的问题。
下面我将详细介绍参数与范围求解题的基本思路和具体步骤。
参数与范围求解题主要包括以下几种类型：1. 参数为整数的问题：即问题中涉及到整数参数，我们需要通过对参数的取值范围进行分析，来找到适合条件的整数解。
2. 参数为实数的问题：此类型的问题中，参数可以取任意实数，我们需要通过对参数的取值范围进行分析，来找到适合条件的实数解。
3. 参数为二元或多元函数的问题：此类型的问题中，参数可以是一个函数或多个函数。
我们需要通过对参数函数的性质进行分析，来找到适合条件的解。
接下来我将以具体的例题来介绍参数与范围求解题的解题思路和步骤。
例题1：已知实数x满足方程x^2 − (a + 5)x + (12 −a) = 0的两个根之和大于1，并且根之间的差值小于3，求a的取值范围。
解题思路和步骤：根据题目要求，设方程的两个根分别为x1和x2，则根据韦达定理，有：x1 + x2 = (a + 5) / 1x1 * x2 = (12 - a) / 1根据题目要求，我们有以下条件关系：x1 + x2 > 1x1 - x2 < 3接下来我们来分析这些条件关系：条件1：x1 + x2 > 1根据韦达定理，我们有x1 + x2 = (a + 5) / 1。
因此，(a + 5) / 1 > 1，即a + 5 > 1。
解得：a > -6。
条件2：x1 - x2 < 3根据韦达定理，我们有x1 - x2 = sqrt((a + 5)^2 - 4 * (12 - a))。
化简得：x1 - x2 = sqrt(a^2 + 10a + 25 - 48 + 4a)。
化简得：x1 - x2 = sqrt(a^2 + 14a - 19)。
因为差值小于3，所以有sqrt(a^2 + 14a - 19) < 3。
求参数的取值范围的两种思路
伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍方法集锦求参数的取值范围问题比较常见，常出现在函数、不等式、三角函数、解析几何、解三角形等试题中.解答这类问题的常用技巧有：分离参数和分类讨论.下面主要谈一谈如何运用这两种技巧来求参数的取值范围.一、分离参数分离参数是求参数的取值范围的常用技巧.运用该技巧解题，需先根据题意建立含有参数的关系式；然后对含有参数的关系式进行合理的变形，使参数位于等号或不等号的一侧；最后利用函数的性质、基本不等式、导数法等求得关系式另一侧式子的最值，即可求出参数的取值范围.例1.如果函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在区间[-2,1]上为增函数，求实数b 的取值.解：因为函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在[-2,1]上为增函数，所以对于∀x ∈[-2,1]，都有f ′()x =3x 2-bx +b ≥0,当x =1时，3x 2-bx +b ≥0，当x ∈[-2,1）时，要使3x 2-bx +b ≥0，就需使b ≥3x 2x -1，即b ≥(3x 2x -1)max ，又因为(3x 2x -1)max =0，所以b ≥0，即实数b 的取值范围为[0,+∞).当遇到含参不等式问题时，运用分离参数法求解比较有效，只需将不等式中的参数与变量分离，把含参不等式变成形如a ≥h ()x 或a ≤h ()x 的式子，即可将问题转化为函数最值问题来求解.二、分类讨论由于问题中含有参数，所以往往需要运用分类讨论思想对参数进行分类讨论，以逐步确定参数的取值范围.在运用分类讨论法求参数的取值范围时，要先根据题意确定分类讨论的对象和标准，如根据抛物线的开口方向对二次函数的二次项的系数进行讨论，根据函数的单调性对指数函数的底数进行分类讨论；然后逐层逐级进行讨论；最后综合所得的结果.例2.已知函数f ()x =ln ()x +1-x x +1，若当x ≥0时，f ()x ≤ax 2恒成立，求实数a 的取值范围.解：要使当x ≥0时，ln ()x +1-x x +1≤ax 2恒成立，需使当x ≥0时，ln ()x +1-x x +1-ax 2≤0恒成立，令g ()x =ln ()x +1-x x +1-ax 2，x ≥0，可得g ′()x =x [1-2a (x +1)2](x +1)2.（i ）当a ≤0时，1-2a (x +1)2>0，则g ′()x ≥0，则g ()x 在区间[0,+∞）上单调递增，所以当x >0时，g ()x >g ()0=0，与题意不相符.（ii ）当a ≥12时，2a ≥1，可得(x +1)2≥1，则1-2a (x +1)2≤0，所以g ′()x ≤0，则g ()x 在区间[0,+∞)上单调递减，所以g ()x ≤g ()0=0，满足题意.（iii ）当0<a <12时，1-2a (x +1)2>0，当x ∈(0，12a-1)时，g ′()x >0，所以g ()x 在区间(01)上单调递增，可得g ()x >g ()0=0，与题意不相符合.故实数a 的取值范围为[12,+∞）.因为分离参数后的式子较为复杂，所以本题需采用分类讨论法求解.由于参数a 对函数的单调性和最值影响较大，于是将a 分为a ≤0、a ≥12、0<a <12三种情况，并在每一种情况下讨论函数的单调性；然后根据导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，求得其最值，就能确定不等式恒成立时a 的取值范围.相比较而言，分类讨论法的适用范围较广，而分离参数法的适用范围较窄，但较为简单.所以在解题时，要首先尝试将参数分离，运用分离参数法求解，若行不通，再考虑运用分类讨论法.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）43。
参数范围问题常见解法
参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p 两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
例2．若对于任意角总有成立，求的范围．分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立．根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为即时，有最小值为0，故．评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)④f(x)<g(k) [f(x)] max < g(k)三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．设函数，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
对高中数学中参数取值范围求解方法的思考
173神州教育对高中数学中参数取值范围求解方法的思考欧琴四川省旺苍中学摘要：数学中求参数的取值范围这一知识点，在高考数学试卷中占的分值很高，并且高考是一个选拔性的考试，综合分低的学生会被淘汰。
因此，只有让学生拥有好的解题方法，训练出一个清晰的解题思路，学生才有可能在这场竞争中胜出。
关键词：高中数学；参数取值范围求解；方法引言：参数取值范围求解是高中数学一大重要的板块，是学生们不可避免的去学习的知识点。
同样，这也是一大难点。
因此，学会不同的方法求解可以让学生更加灵活得解题，避免学生在解题过程中被一道题栓住，从而耽误了整张卷子的解答的情况。
一、方程求导得极值求范围求导是一个万能方法，不管遇到什么样的求参数取值范围的题，都可以试试求导。
这一方程中的万金油，运用的前提就是让学生熟练的掌握求导的基本公式，虽然这是必学的知识点，但是有着学生在毕业时甚至都不能熟练的运用。
因此保证基础算式的正确率是求导的基础，或许会有学生找老师抱怨，这时候就需要教师给予解释，这是一种必备不可的方法，就像乘法口诀表，就算不背运用加法也可以算出答案，但是这其中的计算速度和正确率却有着十万八千里的差距。
让学生可以耐心的学，即使不能把数学当做爱好开学，但是至少也要做到对数学不反感。
在求参数在方程递增的范围时，如果用f(x1)减去f(x2)在比上x1减去x2来计算的话，就会很麻烦，作对的几率也是很低的。
因此不如直接求导比如教师在教习求函数h(x)=(x 的平方+bx+1)/(e 的x 次方)的单调减区间这道题时，如果不求导，根本就是没有办法计算的，如果让学生熟练的运用求导公式并求出极值，那么这道题的难度水平也就从高中直接降到了初中水平，只要细心，就可以拿到满分。
求导在取函数的范围这一题型中占有着不可磨灭的地位，甚至说超过一半的函数取值题，都可以用求导得到结果，可见求导的重要性。
教师应该让学生培养求导意识，让学生认识到求导是一个万金油，当学生遇到难题时自然而然想到的便是求导，同时导数中的极值和范围也需要教师向学生强调其重要性。
函数题中参数取值范围的确定方法例谈
函数题中参数取值范围的确定方法例谈作者：杨培绍来源：《中学教学参考·理科版》2014年第08期一、问题的提出函数题中求参数的取值范围是高考中经常出现的问题，常用的解题方法是分离参数法，转化为求新函数的最值；但如果解析式中含ex、lnx或sinx等，则新函数的最值可能难以计算，导致无法做下去.下里例谈几种确定参数取值范围的方法.二、问题的解决1.普遍方法——分离参数法【例1】已知函数f（x）=x2+bx+a·lnx的图像过点（1，1）.（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若g（x）=f（x）+21x在[1，+∞）上为单调函数，求实数a的取值范围.解析：（1）略.（2）易得f（x）=x2+a·lnx，∴g（x）=x2+a·lnx+21x，∴g′（x）=2x+a1x-21x2=2x3+ax-21x2，∵g（x）在[1，+∞）上为单调函数，则有以下两种情况.①如果g（x）单调递增，则2x3+ax-2≥0a≥-2x3+21x在[1，+∞）上恒成立，令F（x）=-2x2+21x，易知F（x）在[1，+∞）上递减.∴F（x）max=F（1）=-2+211=0，∴a≥0.②如果g（x）单调递减，同理可求得a≥0.综上：a的取值范围是[0，+∞）.点评：通法容易理解掌握，若新函数的最值易求，则此通法为上策.2.结构变形——运用整合思想法【例2】（2012年全国新课标卷第16题）设函数f（x）=（x+1）2+sinx1x2+1的最大值为M，最小值为m，则M+m=.解析：若对y=f（x）求导，再利用单调性求最值将陷入繁冗的运算中，无果而终，仔细观察其表达式，将其结构变形，得f（x）=2x+sinx1x2+1+1，F（x）=2x+sinx1x2+1是奇函数，至此，问题很容易就可以解决.点评：数学是研究结构式的一门科学，善于利用数学表达式的结构解决问题是具备较高数学素养的表现之一.3.移项转化——画基本函数的图像解决【例3】（2012年大纲卷第20题）图1设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].（1）略讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.解析：（1）略.（2）∵ax+cosx≤1+sinx，设h（x）=ax-1，φ（x）=sinx-cosx=2sin（x-π14），∵ax+cosx≤1+sinxax-1≤si nx-cosxh（x）≤φ（x），从图1知，若h（x）≤φ（x）（x∈[0，π]）成立，则问题转化为求a≤kBD即可.故ax-1≤sinx-cosx21πx-1≤sinx-cosx，∵h（0）=-1，φ（0）=-1，h（π）=π·a-1，φ（π）=1，图2下面只要证明：21πx-1≤sinx-cosx即可.设F（x）=sinx-cosx-21πx+1，∴F′（x）=cosx+sinx-21π，设cosx0+sinx0-21π=0，当00；当x0∴F（x）max=F（x0），又F（0）=0，F（π）=0，∵F（x）≥0，∴21πx-1≤sinx-cosx，∴a≤21π.点评：数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”在解题中应结合图像通过移项、重组等方式将问题转化为常见的、熟悉的函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）.通过图像研究函数问题是具备较高数学素养的表现之一.4.图像转化【例4】已知函数f（x）=2x-1（x>0）-x2-2x（x≤0），若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，求实数m的取值范围.图3解析：函数y=f（x）图像如图3所示，令f（x）-m=0得f（x）=m有三个零点，即y=f（x）与y=m两个图像有三个交点，由图知0点评：遇到与抽象函数、超越函数、超越方程、超越不等式、分段函数等有关的问题，应尽量由题意转化为图像进行解决，类似的问题如2012年高考题：当05.猜想转化——得到目标再试证【例5】（2008年全国卷22）已知函数f（x）=sinx12+cosx.（1）略；（2）如果x≥0时，f（x）≤ax恒成立，求实数a的取值范围.解析：思路1分离参数得a≥sinx1x（2+cosx），然后求右式的最大值，思路符合常规想法，但再做下去就难了.思路2先猜想转换，得到目标再证，设F（x）=sinx1x（2+cosx），∵x→0时，sinx≈x，F （x）→113，x→+∞时，F（x）→0.猜测F（x）在[0，+∞）是递增函数，∴a≥113.下证：（1）a≥113时，f（x）≤ax对x≥0恒成立；（2）当a下略.点评：先猜再证，目标明确就有证题方向了.6.放缩转化——丢ex、lnx或sinx【例6】（2013年辽宁卷）已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x312+1+2xcosx.，当x∈[0，1]时，（1）求证：1-x≤f（x）≤111+x；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围.解析：（1）略.（2）（1+x）e-2x≥ax+x312+1+2xcosx（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx≥0.设F（x）=（1+x）e-2x-ax-x312-1-2xcosx≥1-x-ax-x312-1-2xcosx（放缩丢e-2x）=-x（1+a+x212+2cosx）设G（x）=x212+2cosx，则G′（x）=x-2sinx，∴G″（x）=1-2cosx，∵x∈（0，1），∴G″（x）≤0，∴G′（x）在（0，1）上递减，∴G′（x）∴G（x）在（0，1）上递减，∴G（x）≤G（0）=2，∴a+1+G（x）≤a+3.当a+3≤0时，即a≤-3时，f（x）≥g（x）恒成立，下证：当a+3>0时，即a>-3时，f（x）≤g（x）不恒成立，F（x）=f（x）-g（x）≤111+x-1-ax-x312-2xcosx（放缩丢e-2x）=-x（111+x+x212+2cosx+a）.设I（x）=111+x+x212+2cosx+a=111+x+a+G（x），∵I′（x）=-11（1+x）2+G′（x），又x∈（0，1）时，I′（x）∴I（x）在（0，1）上递减，∴a+1+2cos1≤I（x）≤a+3，存在x0∈（0，1），使得I（x0）>0，此时，f（x0）综上所述，a的取值范围为（-∞，-3].点评：遇到含有或lnx或sinx，若题目隐含有可放缩的条件（如（1）是为（2）做放缩提供条件），则放缩丢掉或lnx或sinx，使解析式更简，然后使问题迎刃而解.三、结束语问题是数学的核心，学数学的目的是要学会分析问题，然后解决问题.解决问题中，转化（化归）问题是关键，学生解决不了问题的原因大多是基础知识掌握不牢固，基本概念理解不到位，基本技能、基本方法的运用不熟练，不能举一反三.归根结底是不会转化（化归）问题.本文列举了求参数取值范围的多种转化（化归）方法，旨在抛砖引玉，让大家对这一问题有更多的解决方案以及做进一步的研究.（责任编辑钟伟芳）。
参数取值范围问题的求解方法
一
（ ２ ） 若ｇ （ ） 一， （ ） ＋ 且ｇ （ Ｌ ｚ ） 在区间 （ ０ ， ２ ］ 上为减 函数 ， 求实数 ａ的取值范围．
解析 （ １ ） 设（ ｚ， ） 是 函数 （ ｚ ） 的 图像
１的最 大值为 ３ ， 所以 ｎ ≥３ ．
２ 不等式 法
Ａ＝ ４ ｋ ｔ － ８ （ １ 一 ） ＞０ ，
利用 题 没条件 建立关 于 所求参 数 的不等 式（ 组） ， 通 过解 不等 式 （ 组） 求 解． 此种 方法具 有普 遍性 ．
（ ＋１ ） ＋（ Ｉ ７ ＋Ｉ ） 一－ （ ｘ ｌ ＋１ ） ＋１ ） 一
第３ ５卷第 １ ｌ 期
２ ０ １ ６ 年 １ １ 月
数 学教 学研究
３ ９
参数 取 值范 围问题 的求 解 方法
华腾 飞
（ 安徽省灵璧县黄湾中学 ２ ３ ４ ２ １ ３ ）
求参数的取值范围问题是 同学们 比较常 见 的问题 ， 既 是 我们 学 习高 中数 学 知识 的重
点， 也是 难点 ， 更 是 高考 的热 点 ． 由于此 类 问 题 覆盖知 识点 多 ， 求 解方 法更 是千 变万 化 ， 因
例 １ 设
舞
恒 成立 ， 而
研
７ ２
≤
一２ 一 导 ，
厂 （ ｚ ） 一ｌ ｇ 堡 土
一
所以口 ≥２ 昔， 故应 选 Ｃ ．
（ 其中 口 ∈Ｒ， ≥２且 Ｔ ／ ∈Ｎ） ， 若 当 ｘＥ（ 一∞ ，
例 ３ 已知 函数 ＿ 厂 （ ｚ） 的 图 像 与 函数
望对 大家 能够有 所启迪 ． １ 分离 参数 法
高考函数题中求参数取值范围的策略探究
２
【 （ ３ １ ） ・ ｌ ＋ ４ ａ ＞ ｌ ｏ ｇ ０ １
答案选Ｃ 。 点评 ： 本题根据 减函数 的含 义和分段 函数在分
界点 ＝ １ 处函数值 的关系 即（ （ ３ ａ 一 １ ） ＋ ４ ｎ ） １ ＞ （ １ ｏ ｇ 似）
Ｄ［ １ １ ］
．
，
例 设 函数 ） ＝ ：２ ｘ ＋ ２ ， 对 于满足 １ ＜ ｘ ＜ ４ 的一 切 值都有 ） ＞ ０ ， 求实数。 的取值范围。 解 析 ：由厂（ ） ＞ ０ ，得 伽 ２ ｘ ＋ ２ ＞ ０ ， ・ ． － １ ＜ ４ ’ ． ． 以 ＞
２ ｘ－２
时， ） ＞ ０ 成立， 求ａ 的取值范围； （ Ⅱ） 若厂 （ ） 在（ ０ ， ＋ 。 。 ）
上单调 递减 ， 求。 的取值范围。 解析 ： ・ ． ・ ） ＝ ｉ ｎ （ １ ＋ ） 一 似， 由， （ ） ＞ ０ ， 即ｌ ｎ （ １ 慨） 一 ＞ ０ ； 而 ∈（ ０ ， １ ） ， 即０ ＜ ＜ １ ， ． ・ ． ｌ ＿ 一 口 ＞ ０即。 ＜
一
・ ． ．
Ⅱ ＜ ） ＝ １ ） ＝ ｌ ｎ ２ ， ． ・ ． ａ ∈（ 一 ∞， ｌ ｎ ２ ）
（ Ⅱ） ・ ． ・ （ ） ＝ —Ｉ ＿一 。 ， 又已知 函数 ） 在（ ０ ， ＋ 。 。 ）
１ 帆
上单 调 递减 ， ＿ ． ． （ ） ≤０ ， 即— ＿ ≤ｎ ｌ 在（ ０ ， ＋ ） 恒成
点评 ： 第 （Ｉ） 问先根据题设构造新函数 ， 然后利 用新 函数 的单调性求解 ； 第（ Ⅱ） 问利用 已知函数单 调递减 的必要条件求解。
三、 分离变量 。 求 参 数 取 值 范 围
巧用“三招”破解参数的取值范围问题
考点透视求参数的取值范围问题一般较为复杂，通常会综合考查多个知识点，如函数的图象、性质、基本不等式、一元二次方程的根的判别式、不等式的性质、导函数与函数单调性之间的关系、极值等.解答参数的取值范围问题，需根据题意，选择合适的思路.下面结合实例，谈一谈三个求解参数的取值范围问题的“妙招”.一、变更主元当求参数的取值范围受阻时，可转换思路，将参数视为主元、变量视为次元，通过变更主元，将关系式转化为关于新主元的不等式问题.根据已知变量的取值范围建立关于新主元的关系式，通过消元、降次、化简等方式，将复杂的问题简单化，从而求得参数的取值范围.例1.已知实数p 满足||p ≤2，求使得不等式x 2+px +1>p +2x 恒成立的x 的取值范围.剖析：解答本题，需先将变量x 、参数p 的位置互换，通过变更主元，构造关于p 的函数f ()p =()x -1p+x 2-2x +1，将问题转化为f ()p 在[]-2,2上大于0恒成立.然后根据一次函数的性质建立关于x 的不等式，即可求得x 的取值范围.解：由x 2+px +1>p +2x 得()x -1p +x 2-2x +1>0，设f ()p =()x -1p +x 2-2x +1，由题意可知在[]-2,2上，f ()p >0恒成立，可得ìíîf ()-2>0，f ()2>0，即{x 2-4x +3>0，x 2-1>0，解得x >3或x <-1，所以x 的取值范围为{}x |x >3或x <-1.二、分离变量分离变量是求解参数的取值范围问题的常用思路.在运用分离变量法求参数的取值范围问题时，需先将不等式变形为不等号的一侧含有变量、另一侧含有参数的式子，从而使参数、变量分离，然后求得含有变量的式子的最值，建立使不等式恒成立的关系式，即可解题.例2.对于任意x ∈R ，不等式a +cos 2x <5-4sin x+5a -4恒成立，求实数a 的取值范围.解：由a +cos 2x <5-4sin x +5a -4得5a -4-a +5>4sin x +cos 2x ，要使上述不等式恒成立，需使5a -4-a +5>()4sin x +cos 2x max ，令f ()x =4sin x +cos 2x ，而f ()x =4sin x +cos 2x =-2sin 2x +4sin x +1=-2()sin x -12+3≤3，所以只需使5a -4-a +5>3恒成立，可得ìíîïïa -2≥0，5a -4≥0，5a -4>()a -22，或{a -2<0，5a -4≥0，解得：45≤a <8.所以实数a 的取值范围为{}a |||45≤a <8.一般地，在分离变量后，可将问题转化为最值问题来求解.若f (x )>a 恒成立，只需使f (x )min >a ；若f (x )<a 恒成立，只需使f (x )max <a .求得了函数f (x )的最值，即可建立关于参数a 的不等式，求得参数a 的取值范围.三、分类讨论由于参数的取值范围问题中涉及了参数，所以在解题时经常需对参数或不确定的量进行分类讨论.可首先根据题意确定分类讨论的对象以及标准，然后逐层逐级进行分类讨论，最后综合所得的结果，即可求得参数的取值范围.例3.已知函数y =lg []()a 2-1x 2+()a +1x +1的定义域为R ，求a 的取值范围.剖析：a 2-1为二次项的系数，需分a 2-1=0、a 2-1≠0两种情况进行讨论，分别求得不同情况下a 的取值范围，即可解题.解：因为当x ∈R 时，()a 2-1x 2+()a +1x +1>0恒成立，（1）当a 2-1=0时，a =-1或a =1，当a =-1时，1>0成立，满足题意；当a =1时，2x +1>0，不满足题意，（2）当a ≠±1时，ìíîa 2-1>0，∆=()a +12-4()a 2-1<0，解得：a >53或a <-1，综上所述，a 的取值范围为æèöø53,+∞⋃(]-∞,-1.可见，求参数的取值范围问题的思路较多.在解题时，我们可根据已知关系式的结构特征，将参数、变量的位置互换，把参数、变量分离，还可以将变量、参数作为讨论的对象，通过分类讨论来求得参数的取值范围.（作者单位：新疆阿克苏地区第二中学）徐少平35。
求参数取值范围一般方法
求参数取值范围一般方法参数取值范围是指其中一变量或参数的取值范围。
它是指该变量能够取到的所有可能的值的范围。
在许多领域中，包括科学、工程、计算机科学等，参数的取值范围是非常重要的。
在这篇文章中，我们将介绍一般的方法来确定参数的取值范围，并探讨一些常见的应用。
首先，确定参数取值范围的一般方法是根据问题的要求和约束条件来确定。
在大多数情况下，参数的取值范围是根据问题的需求来确定的。
例如，如果我们正在解决一个问题，需要找到一个正数解，那么参数的取值范围通常是0到正无穷大。
而如果我们需要找到一个整数解，那么参数的取值范围通常是整数集合。
其次，我们可以使用数学模型来确定参数取值范围。
数学模型是在问题域中对问题进行建模的过程。
通过建立合适的数学模型，可以帮助我们更好地理解问题的性质和要求，并确定参数的取值范围。
例如，在优化问题中，我们可以使用线性规划模型来确定参数的取值范围，以满足线性约束条件。
在模拟和数值计算中，我们可以使用数值分析方法，如有限元法和差分法来确定参数的取值范围。
第三，我们可以利用经验和专业知识来确定参数取值范围。
在许多领域，专业人士通常有丰富的经验和专业知识，可以帮助他们确定参数的取值范围。
例如，在医学诊断中，医生通常利用他们的临床经验和专业知识来确定一些指标的正常范围。
在工程设计中，工程师通常根据材料的性质和安全要求来确定参数的取值范围。
最后，我们可以使用计算机模拟和优化方法来确定参数取值范围。
计算机模拟和优化是一种通过计算机模拟和优化算法来确定参数的取值范围的方法。
通过建立合适的数学模型和使用相应的计算机算法，可以帮助我们在大规模和复杂的问题中确定参数的取值范围。
例如，在交通规划中，我们可以使用交通模拟软件来模拟不同的交通情景，并确定最佳的参数取值范围。
总之，确定参数取值范围是一项复杂而重要的任务。
通过运用上述方法，我们可以更好地理解问题，并确定合适的参数取值范围。
无论在哪个领域，确定参数取值范围都是非常重要的，它将直接影响到问题的解决方案和结果。
求参数范围问题—常见解题方法
求参数范围问题—常见解题方法一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量例2．若对于任意角总有成立，求的范围．分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立．根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为即时，有最小值为0，故．①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)④f(x)<g(k) [f(x)] max < g(k)三、数形结合例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．设函数，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．四、分类讨论例4．当时，不等式恒成立，求a的取值范围．解：（1）当时，由题设知恒成立，即，而∴解得（2）当时，由题设知恒成立，即，而∴解得．∴a的取值范围是．五、利用判别式例5．不等式，对一切恒成立，求实数的取值范围.解：∵在R上恒成立，∴，R∴，解得故实数的取值范围是.一般地二次函数f(x)=ax2+bx+c恒正，f(x)=ax2+bx+c恒负.六、构造函数例6．已知不等式对于一切大于1的自然数都成立，求实数的取值范围．分析：注意到不等式仅仅左边是与有关的式子，从函数的观点看，左边是关于的函数，要使原不等式成立，即要求这个函数的最小值大于右式．如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手．解：设,N∴是关于N的递增函数，则=.∴要使不等式成立，只须，解之得.∴实数的取值范围是．。
求实际问题中函数自变量取值范围之思路
求实际问题中函数自变量取值范围之思路实际问题中函数的自变量取值范围是指函数在实际问题中合理的输入值的范围。
确定函数自变量的取值范围是解决实际问题的重要一步，它直接影响到问题的有效求解和结果的准确性。
下面将从几个不同的角度探讨确定函数自变量取值范围的思路。
一、问题的物理特性：在物理问题中，函数的自变量往往与一些物理量有关。
我们可以通过对物理问题的分析，确定函数自变量的取值范围。
例如，考虑物体的位移函数，自变量可以是时间t，而时间t的取值范围可以根据实际问题中的时间限制来确定。
二、问题的约束条件：在实际问题中，通常存在一些约束条件，这些约束条件对函数的自变量有一定的限制。
可以通过分析问题的约束条件来确定函数的自变量取值范围。
例如，在一个投资问题中，假设要投资x万元，且投资额必须大于等于100万元，小于等于500万元，那么函数的自变量取值范围就在100到500之间。
三、问题的实际意义：在解决实际问题时，函数的自变量取值范围应当有一定的实际意义。
我们可以通过对实际问题的分析，确定函数自变量的取值范围。
例如，考虑一个数学模型，模型中的自变量表示一些物体的质量，那么自变量的取值范围就应当是非负数。
四、计算机模拟：在一些情况下，我们可以通过计算机模拟来确定函数自变量的取值范围。
通过模拟大量的实际数据，可以发现函数自变量的取值范围。
例如，在疫情模型中，可以通过模拟感染人数随时间的变化来确定感染率的范围。
总之，确定函数自变量取值范围是解决实际问题的关键一步。
我们可以从问题的物理特性、约束条件、实际意义和计算机模拟等不同的角度出发，确定函数自变量的取值范围。
这样可以确保问题的有效求解和结果的准确性。
初中数学求一类参数取值范围的三种方法学法指导
初中数学求一类参数取值范围的三种方法学法指导在初中数学中，经常需要求解一类参数的取值范围。
这是解决各类数学问题的基本方法之一，涉及到不等式、方程、函数等多个数学概念和技巧。
下面我将介绍三种常见的方法来求解一类参数的取值范围。
一、画图法画图法是最直观、简单的一种方法。
它适用于求解一元一次方程、一元二次方程以及简单的不等式等问题。
步骤：1.先根据题意，确定参数与自变量之间的关系。
例如，参数x和自变量y满足不等式，x-2，<y；2.根据给定的条件，确定画图的范围。
例如，确定x轴的范围为x∈R；3.在坐标系中画出参数x的范围，并标出关键点，如x=2，x=-2等；4.根据参数与自变量之间的关系，画出符合题意的图形；5.根据图形，确定参数的取值范围。
如不等式满足的区域是一个开区间，则参数的取值范围是开区间的两个端点。
二、代数法代数法是通过代数方法求解参数的取值范围。
它适用于不等式、方程和函数等问题。
步骤：1.根据题意列出等式或不等式，并将参数表示为符号；2.对等式或不等式进行化简和转换，使问题变得更简单；3.利用数学原理、规律和公式对参数进行求解；4.根据求解结果，确定参数的取值范围。
如不等式有解，则根据解的形式确定参数的取值范围。
三、区间法区间法是通过确定参数的范围，将问题转化成可解的区间，从而求解参数的取值范围。
它适用于函数和方程等问题。
步骤：1.根据题意列出方程或不等式，并将参数表示为符号；2.将方程或不等式转换成函数形式；3.利用函数的定义域和值域等性质，确定参数的范围；4.根据参数的范围，确定参数的取值范围。
需要注意的是，对于复杂的问题，我们可能需要结合不同的方法来求解参数的取值范围。
每一种方法都有其适用的场景和特点，我们可以根据具体的题目要求和参数的条件来选择合适的方法。
总结起来，画图法适用于直观、简单的问题；代数法适用于各类代数问题；区间法适用于复杂函数和方程问题。
通过多练习、多思考，我们可以更加熟练地运用这些方法，求解各类参数的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈参数取值范围问题在函数习题中的求解思路
浅谈参数取值范围问题在函数习题中的求解思路
许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。
而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。
但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。
下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法：
一、分离参数法
所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。
这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。
当参数与变量能分离且函数的最值易求出。
利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式。
例1 如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数求实数a的值范围。
解：抛物线f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴直线x=1-a，因此它的单调减区间为(-∞,1-a]，依题设，(-∞,4](-∞,1-a]∴1-a≥4即a≤-3。
二、主参换位法
某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。
即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。
例2 若对于任意a∈（-1，1]，函数f(x)=x2（a-4）x+4-2a的值恒大于0，求x的取值范围。
分析：此题若把它看成x的二次函数，由于a, x都要变，则函数的最小值很难求出，思路受阻。
若视a为主元，则给解题带来转机。
解：设g(a)=(x-2)a+x2-4x+4，把它看成关于a的直线，由题意知，直线恒在横轴下方。
所以g(1)＞0,g(-1)≥0 解得：x＜1或x=2 或 x≥3
例3 对于(0,3)上的一切实数x,不等式(x-2)m＜2x-1恒成立，求实数m的取值范围。
分析：一般的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围。
但求x的表达式时，两边必须除以有关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦。
解：若设f(x)=(x-2)m-(2x-1)=(m-2)x+(1-2m)，把它看成是关于x的直线，由题意知直线恒在x的轴的下方。
所以 f(0)≤0 f(3)≤0 解得≤m≤5
三、构造函数法
当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时，可以通过构建函数来解决。
我们知道，函数概念是高中数学的一个很重要的概念，其思想和方法已渗透到数学的各个分支。
在某些数学问题中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质结论解题，往往收到意想不到的效果。
例4 若对一切|p|≤2 ，不等式x2+px+1＞2x+p恒成立，求实数x的取值范围。
解：原不等式变形为p(x-1)+x2-2x+1＞0，现在考虑p的一次函数：f（p）=p(x -1)+x2-2x+1(|p|≤2)
∴f（p）＞0在 p∈[-2,2]上恒成立
f（2）=2(x-1)+x2-2x+1＞0
f(-2)=-2(x-1)+x2-2x+1＞0
得 x ＜-1或x＞3
∴x的取值范围为（-∞，-1）∪(3,+∞)
数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强。
这就要求我们要以变应变，在解题过程中，要根据具体的题设条件，认真观察题目中不等式的结构特征，从不同的角度，不同的方向，加以分析探讨，从而选择适当方法快速而准确地解出。
当然除了以上的方法外，还有许多其它的方法，值得一提的是，各种方法之间并不是彼此孤立的。
因此，系统地掌握参数问题的解题方法，无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助。