线性规划详细
线性规划的标准形式
线性规划的标准形式线性规划是运筹学中的一种重要方法，用于求解最优化问题。
在实际应用中，线性规划的标准形式是一种常见的数学表达方式，能够简化问题的求解过程，提高计算效率。
本文将对线性规划的标准形式进行详细介绍，包括定义、特点、转换方法等内容，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性规划方法。
一、定义。
线性规划的标准形式是指将线性规划问题转化为一种特定的数学表达形式，以便于利用现有的数学工具进行求解。
一般来说，线性规划的标准形式可以表示为：Max z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n。
其中，c1, c2, ..., cn为目标函数的系数，x1, x2, ..., xn为决策变量，a11, a12, ..., amn为约束条件的系数，b1,b2, ..., bm为约束条件的常数，m和n分别为约束条件和决策变量的个数。
通过这种形式的表示，线性规划问题可以被更方便地求解。
二、特点。
线性规划的标准形式具有以下几个特点：1. 目标函数为线性函数，约束条件为线性不等式。
这种形式的表示使得问题具有了良好的数学性质，可以利用线性代数和凸优化等数学工具进行求解。
2. 决策变量为非负数。
这一特点使得问题的解空间被限制在第一象限，简化了问题的求解过程。
3. 约束条件为≤型不等式。
这种形式的约束条件使得问题的可行域为一个凸集，便于进行几何和数学分析。
三、转换方法。
对于一般的线性规划问题，可能并不总是处于标准形式。
因此，需要将问题转化为标准形式，以便于求解。
常见的转换方法包括：1. 将最小化问题转化为最大化问题。
这可以通过将目标函数的系数取相反数来实现。
线性规划经典例题及详细解析
一、 已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。
二、 已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值就是 。
3. 已知变量x,y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则 y x 的取值范围就是( )、 A 、 [95,6] B 、(－∞,95]∪[6,＋∞) C 、(－∞,3]∪[6,＋∞) D 、 [3,6]三、 研究线性规划中的整点最优解问题4. 某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 与y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值就是 。
四、 已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题5. 已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 。
6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩,使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为( )A. －3 B 、 3 C 、 －1 D 、 1五、 求可行域的面积7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 ( )A. 4 B 、 1 C 、 5 D 、 无穷大图1解析:1.如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处,目标函数z最大值为18。
图22. 如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或最小化线性目标函数。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理科学、工程等。
本文将对线性规划的基本概念、模型构建、解法以及应用进行详细总结。
二、基本概念1. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
2. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
3. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
4. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。
三、模型构建1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：根据问题的要求，构建一个线性函数作为目标函数。
3. 约束条件：根据问题的限制条件，构建一系列线性等式或不等式作为约束条件。
四、解法1. 图形法：适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的图形，找出目标函数的最优解。
2. 单纯形法：适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，找出最优解。
3. 整数规划法：适用于决策变量需要为整数的线性规划问题，通过限制变量的取值范围，找出最优解。
4. 网络流法：适用于网络优化问题，通过建立网络模型，找出最优解。
五、应用1. 生产计划：线性规划可以帮助企业制定最优的生产计划，以最小化成本或最大化利润。
2. 资源分配：线性规划可以帮助政府或组织合理分配资源，以满足各方面的需求。
3. 运输问题：线性规划可以帮助解决物流运输问题，以最小化运输成本。
4. 投资组合：线性规划可以帮助投资者选择最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
六、案例分析以生产计划为例，假设某公司有两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为15元。
公司有两个工厂，分别生产产品A和产品B。
工厂1每天生产产品A需要耗费2小时，生产产品B需要耗费1小时；工厂2每天生产产品A需要耗费1小时，生产产品B需要耗费3小时。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它可以帮助我们在资源有限的情况下，找到最佳的解决方案。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用领域。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数被称为目标函数。
例如，最大化利润或最小化成本。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一系列线性约束条件，用于限制变量的取值范围。
例如，生产数量不能超过资源限制。
3. 变量：线性规划问题中的变量是我们要优化的决策变量。
例如，生产的数量或分配的资源。
4. 非负约束：线性规划的变量通常需要满足非负约束，即变量的取值必须大于等于零。
二、模型构建线性规划问题的模型构建包括确定目标函数、约束条件和变量的定义。
下面以一个简单的生产问题为例进行说明。
假设某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，产品B的利润为15元。
工厂拥有两台机器，每台机器每天的工作时间为8小时。
生产一单位产品A需要2小时，生产一单位产品B需要3小时。
工厂希望确定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
目标函数：最大化总利润，即10A + 15B。
约束条件：工作时间约束，即2A + 3B ≤ 16。
非负约束：A ≥ 0，B ≥ 0。
三、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，其中最常用的方法是单纯形法。
单纯形法通过迭代的方式逐步接近最优解，直到找到最优解为止。
单纯形法的基本步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束。
2. 选择一个初始可行解，通常为原点（0,0）。
3. 计算目标函数的值，并确定是否达到最优解。
4. 如果未达到最优解，则选择一个进入变量和一个离开变量，通过调整这两个变量的值来改善目标函数的值。
5. 重复步骤3和步骤4，直到达到最优解。
四、应用领域线性规划在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以帮助企业确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
高中线性规划
高中线性规划引言概述：线性规划是一种数学建模方法，通过建立数学模型来解决实际问题。
在高中数学中，线性规划是一个重要的概念，它可以帮助我们解决一些优化问题。
本文将详细介绍高中线性规划的概念、原理和应用。
一、线性规划的概念1.1 线性规划的定义线性规划是一种数学优化方法，它的目标是找到一组变量的最佳取值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足一组线性约束条件。
1.2 线性规划的基本要素线性规划包含以下基本要素：- 目标函数：表示需要最大化或最小化的数学模型。
- 决策变量：需要确定的变量，它们的取值将影响目标函数的结果。
- 约束条件：限制决策变量的取值范围，通常为一组线性不等式或等式。
1.3 线性规划的解法线性规划可以使用图像法、单纯形法或二次规划等方法进行求解。
其中，图像法适用于二维问题，单纯形法适用于多维问题，而二次规划适用于目标函数为二次函数的问题。
二、线性规划的原理2.1 线性规划的线性性质线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，这意味着它们的图像是直线或平面。
这种线性性质使得线性规划问题的求解相对简单。
2.2 线性规划的可行解与最优解线性规划的可行解是指满足所有约束条件的解，而最优解是在可行解集合中使得目标函数取得最大或最小值的解。
线性规划问题可能存在多个最优解，或者无解。
2.3 线性规划的应用领域线性规划广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。
例如，企业可以使用线性规划来确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
三、线性规划的应用举例3.1 生产计划问题一个工厂需要生产两种产品，每种产品的生产时间、材料成本和利润不同。
通过线性规划，可以确定每种产品的生产数量，以最大化利润。
3.2 运输问题一个物流公司需要将商品从多个仓库运送到多个销售点，每个仓库和销售点之间的运输成本不同。
通过线性规划，可以确定每个仓库和销售点之间的货物运输量，以最小化总运输成本。
3.3 资源分配问题一个学校需要将教师和教室分配给不同的班级，每个班级的人数和课程要求不同。
线性规划的解法
线性规划的解法线性规划是现代数学中的一种重要分支，它是研究如何在一定约束条件下优化某种目标函数的一种数学方法。
在现实生活中，许多问题都可以用线性规划求解。
如在生产中，如何安排产品的产量才能最大化利润；在运输中，如何安排不同的运输方式最大程度降低成本等等。
线性规划的解法有多种，下面我们就来对其进行详细的介绍。
1. 单纯形法单纯形法是线性规划中最重要的求解方法之一，它是由Dantzig于1947年提出的。
单纯形法的基本思路是从某一个初始解出发，通过挑选非基变量，使得目标函数值逐步减少，直到得到一个最优解。
单纯形法的求解过程需要确定初始解和逐步迭代优化的过程，所以其求解复杂度较高，但是在实际中仍有广泛应用。
2. 对偶线性规划法对偶线性规划法是一种将线性规划问题转化为另一个线性规划问题来求解的方法。
这种方法的主要优势是，它可以用于求解某些无法用单纯形法求解的问题，如某些非线性规划问题。
对偶线性规划法的基本思路是将原问题通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，然后求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
3. 内点法内点法是一种由Nesterov和Nemirovsky于1984年提出的方法，它是一种不需要寻找可行起点的高效的线性规划求解方法。
内点法的基本思路是通过不断向可行域的内部靠近的方式来求解线性规划问题。
内点法的求解过程需要实现某些特殊的算法技术，其求解效率高，可以解决一些规模较大、约束条件复杂的线性规划问题。
4. 分枝定界法分枝定界法是一种通过逐步将线性规划问题分解成子问题来求解的方法。
这种方法的基本思路是，在求解一个较大的线性规划问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并在每个子问题中求解线性规划问题，在不断逐步求解的过程中不断缩小问题的规模，最终得到问题的最优解。
总之，不同的线性规划解法各有千秋，根据实际问题的需要来选择合适的求解方法是非常重要的。
希望本文能够对您有所帮助。
高中线性规划
高中线性规划引言概述:线性规划是数学中的一种优化方法，用于解决最大化或者最小化目标函数的问题。
在高中数学中，线性规划是一个重要的概念，它可以应用于各种实际问题，如资源分配、生产计划等。
本文将详细介绍高中线性规划的概念、应用以及解题方法。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为常数，xi 为变量。
1.2 约束条件：线性规划的解必须满足一组约束条件，这些条件通常表示为一组线性不等式或者等式。
例如，Ax ≤ b，其中A是一个矩阵，x和b是向量。
1.3 可行解和最优解：满足所有约束条件的解称为可行解。
在可行解中，使目标函数达到最大或者最小值的解称为最优解。
二、线性规划的应用领域2.1 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
通过考虑资源约束和市场需求，可以确定每种产品的生产量。
2.2 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方式，以最大化资源利用率或者最小化浪费。
例如，可以确定每一个部门的资源分配，以满足不同项目的需求。
2.3 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，即确定如何将货物从供应地点运送到需求地点，同时最小化运输成本。
三、线性规划的解题方法3.1 图形法：对于二维问题，可以使用图形法来解决线性规划问题。
通过绘制目标函数和约束条件的图形，可以确定最优解所在的区域。
3.2 单纯形法：对于多维问题，单纯形法是一种常用的解题方法。
该方法通过迭代计算，逐步接近最优解。
3.3 整数规划：在某些情况下，变量的值必须是整数。
这种情况下，可以使用整数规划方法来解决问题。
整数规划通常比线性规划更复杂，需要使用特定的算法进行求解。
四、线性规划的局限性4.1 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，但实际问题中往往存在非线性因素。
线性规划详细解析
产品名称
甲
乙
可供利用的原料 数量（T/日） 6 8
A B
产品售价 （千元/T）
1 2 3
2 1 2
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 T/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 T/日。 求该厂产值最大的生产方案。
提出三个问题大家考虑： 1.问题的未知数是什么？ 2.以什么准则进行决策？ 设未知数 目标函数
2万m3 1.4万m3
3 3 3 3 3 3
2万m3 1.4万m3
设 x1、x2 分别为第一、第二化工厂每天处理的工业污水量。 约束条件： 第一化工厂到第二化工厂之间的污水含量要不大于 0.2% (2 - x1) / 500 2 / 1000 流经第二化工厂后，河流中的污水含量仍不大于 0.2% [0.8(2 - x1) + (1.4- x2)] / 700 2 / 1000 污水处理量限制 x1 2，x2 1.4，x1 0，x2 0 目标函数： 要求两厂用于处理工业污水的费用最小 min z = 1000 x1+800 x2
线性规划问题及单纯形法
线性规划问题及其数学模型
图解法
单纯形法原理
单纯形法计算步骤
Matlab计算线性规划问题
一、
线性规划问题及其数学模型
线性规划在经营管理中，常常用来解决 有限资源（人、财、物）的合理分配问题。 在经营管理中，几乎一切问题都与有限资源 的合理分配利用有关。线性规划为解决有限 资源的合理分配利用提供了一个有效的数学 工具。
3.约束条件是什么？
约束方程
这里生产方案指的是如何安排甲、乙产品的产量。显然，产量是未 知数。 ① 设：甲产品的产量为 x1 T/日 乙产品的产量为 x2 T/日
高中线性规划
高中线性规划引言概述：高中线性规划是数学中的一个重要概念，它是一种用于解决最优化问题的数学方法。
线性规划可以应用于各种实际情况，如资源分配、生产计划和投资决策等。
本文将详细介绍高中线性规划的基本概念、解决方法和实际应用。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划中的目标函数是需要最小化或最大化的线性表达式。
它通常表示为一系列变量的线性组合。
1.2 约束条件：线性规划中的约束条件是限制变量取值范围的条件。
这些条件可以是等式或不等式，用于限制解的可行域。
1.3 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
线性规划的目标是找到一个最优可行解，使目标函数达到最小值或最大值。
二、线性规划的解决方法2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的图形来求解最优解。
最优解通常出现在可行域的顶点上。
2.2 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
该方法通过迭代计算，逐步接近最优解。
单纯形法是一种高效且广泛使用的线性规划求解算法。
2.3 整数规划：当问题要求变量取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划是线性规划的扩展，它在求解过程中限制变量取值为整数。
三、线性规划的实际应用3.1 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，如生产线上的机器分配、员工排班和原材料采购等。
通过合理安排资源的使用，可以最大化效益并降低成本。
3.2 生产计划：线性规划可以应用于生产计划中，如确定产品的生产数量和生产时间。
通过最优化生产计划，可以提高生产效率和产品质量。
3.3 投资决策：线性规划可以帮助进行投资决策，如确定投资的资金分配和投资组合。
通过最优化投资决策，可以实现最大化回报和降低风险。
四、线性规划的局限性和发展方向4.1 非线性问题：线性规划只适用于目标函数和约束条件均为线性的问题。
对于非线性问题，需要采用其他数学方法进行求解。
4.2 多目标优化：线性规划只能处理单一目标的优化问题。
对于多目标优化问题，需要引入多目标规划方法进行求解。
线性规划讲义
线性规划讲义引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将从五个大点来详细阐述线性规划的相关概念和应用。
正文内容：1. 线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义和形式线性规划是一种数学模型，其目标函数和约束条件均为线性函数。
一般形式为：最大化（或最小化）目标函数 Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为常数。
约束条件一般为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm，其中a11, a12, ..., amn为系数，b1, b2, ..., bm为常数。
1.2 线性规划的可行解和最优解可行解是指满足所有约束条件的解，而最优解是在所有可行解中使目标函数达到最大（或最小）值的解。
线性规划问题的解空间是一个多面体，最优解通常位于多面体的顶点。
1.3 线性规划的图解法和单纯形法线性规划问题可以通过图解法和单纯形法求解。
图解法适用于二维或三维问题，通过画出目标函数和约束条件的图形，找到最优解所在的区域。
单纯形法适用于高维问题，通过一系列的迭代计算，逐步接近最优解。
2. 线性规划的应用领域2.1 生产计划线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
通过考虑生产能力、资源约束和市场需求等因素，可以确定最优的生产数量和产品组合。
2.2 资源分配线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。
通过考虑资源供应量、需求量和优先级等因素，可以实现资源的有效调配。
2.3 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，如货物的调度和路径规划。
线性规划的定义解析
线性规划的定义解析线性规划是数学和计算机科学领域中的一种优化方法，用于解决线性约束条件下的最大化或最小化问题。
它的应用非常广泛，包括生产计划、物流管理、金融投资、资源分配等多个领域。
本文将对线性规划进行详细解析，介绍其基本概念、数学模型和求解方法。
一、基本概念线性规划是在一定的约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值的过程。
为了方便分析，我们首先引入以下几个基本概念：1.决策变量：线性规划中需要决策的量，通常用$x_1, x_2, ...,x_n$表示，它们代表了问题的不同方面或要求。
2.目标函数：线性规划的目标函数是一个线性表达式，用于衡量问题的目标，可以是最大化或最小化一个指标。
常用的形式为$Z =c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n$。
3.约束条件：线性规划中的约束条件是一组限制性条件，限制了决策变量的取值范围。
常见的约束条件形式为$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \leq b_1$，$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \leq b_2$，...，$a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n \leq b_m$。
二、数学模型线性规划问题可以通过建立数学模型来描述。
其标准形式可以表示为：最大化：$Z = c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n$约束条件：$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \leq b_1$$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \leq b_2$...$a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n \leq b_m$$x_1, x_2, ..., x_n \geq 0$其中，$Z$表示目标函数的值，$c_1, c_2, ..., c_n$为目标函数的系数，$a_{ij}$为约束条件的系数，$b_1, b_2, ..., b_m$为约束条件的常数项。
线性规划知识点
线性规划知识点引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍线性规划的相关知识点。
一、线性规划的定义与基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来达到最优解。
目标函数是一条线性方程，表示需要优化的目标。
1.2 约束条件：线性规划问题还需要满足一组线性约束条件，这些条件对决策变量的取值范围进行了限制。
1.3 决策变量：决策变量是指在线性规划问题中需要进行决策的变量，其取值将影响目标函数的值。
二、线性规划的基本模型2.1 标准型线性规划：标准型线性规划是指目标函数为最小化问题，约束条件为等式形式的线性规划问题。
2.2 松弛变量与人工变量：为了将约束条件转化为等式形式，我们引入松弛变量和人工变量。
2.3 基变量与非基变量：在标准型线性规划中，基变量和非基变量是用来描述决策变量的状态的。
三、线性规划的解法3.1 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划解法，通过迭代计算基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.2 对偶性理论：线性规划问题与其对偶问题之间存在着对偶关系。
对偶性理论可以帮助我们求解原始问题的最优解。
3.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，我们可以使用整数线性规划方法来求解。
整数线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
四、线性规划的应用领域4.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，通过合理安排生产资源和生产量，实现最大化利润或最小化成本。
4.2 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，通过合理分配运输量和运输路径，实现最优的物流方案。
4.3 资源分配：线性规划可以用于资源分配问题，如人力资源、资金分配等，通过最优化决策，实现资源的合理利用。
五、线性规划的局限性与拓展5.1 非线性规划：线性规划只适用于目标函数和约束条件为线性关系的问题。
对于非线性问题，我们需要使用非线性规划方法进行求解。
线性规划课件ppt
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
线性规划和最优解
线性规划和最优解线性规划是一种在数学和运筹学领域常见的问题求解方法，可以应用于各种现实生活中的决策问题。
它是通过一系列线性等式和不等式来建模，并在满足特定约束条件下求解使目标函数取得最优值的变量值。
线性规划的最优解能够帮助我们做出高效的决策，下面将详细介绍线性规划的原理和求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划中，我们首先需要明确问题的目标，并将其表示为一个线性函数，也被称为目标函数。
目标函数可以是最大化或最小化的，具体取决于问题的需求。
其次，我们需要确定一组变量，这些变量的取值将会对目标函数产生影响。
接下来，我们还需要列举出一系列约束条件，这些约束条件通常来自于问题的实际情况，例如资源限制、技术要求等。
最后，我们需要确定这些变量的取值范围，这也是约束条件的一部分。
二、线性规划的数学建模在线性规划中，我们可以通过以下步骤进行数学建模：1. 确定目标函数：根据问题的要求，我们可以定义一个线性函数作为目标函数。
例如，如果我们要最大化某个产品的利润，那么利润就可以是目标函数。
2. 列举约束条件：根据问题的实际情况，我们需要列举出一系列约束条件。
这些约束条件可以是线性等式或不等式，并且通常包含了变量的取值范围。
3. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，我们需要确定变量的取值范围。
例如，如果某个变量代表一个产品的产量，那么它的取值范围可能是非负数。
4. 构建数学模型：根据目标函数、约束条件和变量的取值范围，我们可以构建一个数学模型，将问题转化为线性规划模型。
三、线性规划的最优解求解方法线性规划的最优解可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于只有两个变量的简单线性规划问题，我们可以通过绘制变量的可行域图形，并计算目标函数在图形上的最优解点来求解问题。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过逐步迭代改进解向量，从而逼近最优解。
这个方法通常适用于复杂的线性规划问题，可以在较短的时间内得到比较好的结果。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最小化或者最大化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数可以表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性等式或者不等式，称为约束条件。
约束条件可以表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≥ b2等。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解集合称为可行域。
4. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数取得最小值或者最大值的解称为最优解。
二、模型建立1. 决策变量的定义：根据问题的特点，定义适当的决策变量。
例如，假设要生产两种产品，可以定义x1为第一种产品的生产量，x2为第二种产品的生产量。
2. 目标函数的建立：根据问题的要求，建立目标函数。
例如，如果要最大化利润，可以将目标函数定义为Z = p1x1 + p2x2，其中p1和p2为单位产品的利润。
3. 约束条件的建立：根据问题的限制条件，建立约束条件。
例如，如果生产资源有限，可以建立生产资源约束条件，如a11x1 + a12x2 ≤ b1，a21x1 + a22x2 ≤ b2等。
4. 模型的完整表达：将决策变量、目标函数和约束条件整合起来，形成完整的线性规划模型。
三、求解方法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制等式和不等式的图形，找到可行域和最优解。
最优解通常浮现在可行域的顶点处。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断优化目标函数的值，逐步接近最优解。
线性规划求最值详细
转化
可行域
目标函数 Z=Ax+By
转化
一组平行线 y Ax Z
ΒB
最优解 转化
四个步骤： 1.画：画可行域
寻找平行线的 最大(小) 纵截距
2.移：线性目标函数表示的一组平行线中，利用平移方
法找出与可行域公共点且纵截距最大或最小的直线
3. 求：求交点点的坐标，并求最优解
4.答：
精选课件
8
一、目标函数
A P(x, y)
补： x2y2 OP 2 其中 P(x,y)
B
由图 d知O09P021的46最 54小（d值 (为x2dO到2 y直2线)mAMiBn距O12离365）x4y4
精选课件
14
(2)x，y满足 xx2yy2400 解: xyxy 200yk3OP0
求 y 最大值 x
CB
其中 P(x,y)
精选课件
17
精选课件
18
Z m a x 1 0 1 ,Z m i n 0 1 1 .
注意： 目标函数化为斜截式后， 分析斜率大小；z的系数符号。
精选课件
5
x 0
1.
x,
y满足
x
2
y
3
2x y 3
求z=x-y的最值
(2)zxy化为yxz，
B
斜率为1，纵截距为-z的 一组平行线 l
A
(3)平 移 直 线 yx
3
A
补(1)求z=x+4y的最值
(2)求z=x+2y的最值
（ (2 1） )画区z域2x3y化 为 y O2x 4z
表 示 斜 率 为 2 ， 纵 截 距 为 z 的 3 一 组 平 3行 线
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一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问题的一 个重要步骤。
建立的线性规划数学模型是否真正的反映客观实 际，数学模型本身是否正确，都直接影响求解结果， 从而影响决策结果，所以，建立正确的线性规划模 型尤为重要。下面举例说明线性规划数学模型的建 立。
例1：（产品组合问题）
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
设未知数 目标函数 约束方程
这里生产方案指的是如何安排甲、乙产品的产量。显然，产量是未知 数。
① 设：甲产品的产量为 x1 T/日 乙产品的产量为 x2 T/日
② 决策准则是产值最大，用 Z 代表产值，则有： Z=3x1+2x2 Z 是x1、x2 的函数，称为目标函数，目标是求极大值， 即：max
2万m3
1.4万m3
设 x1、x2 分别为第一、第二化工厂每天处理的工业污水量。
约束条件： 第一化工厂到第二化工厂之间的污水含量要不大于 0.2%
(2 - x1) / 500 2 / 1000
流经第二化工厂后，河流中的污水含量仍不大于 0.2%
[0.8(2 - x1) + (1.4- x2)] / 700 2 / 1000
单位产品 消耗原料
产品名称
原料名称
A B
产品售价 （千元/T）
甲乙
12 21 32
可供利用的原料 数量（T/日）
6 8
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 T/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 T/日。 求该厂产值最大的生产方案。
提出三个问题大家考虑： 1.问题的未知数是什么？ 2.以什么准则进行决策？ 3.约束条件是什么？
x1, x2 , x3, x4 , x5, x6 , x7 , x8 0
二、线性规划问题的共同特征 （模型的三要素）
⑴ 每一个问题都用一组决策变量(x1，x2，…，xn)表示某
一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般 这些变量取值都是非负的。 ⑵ 存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性 等式或线性不等式来表示。 ⑶ 都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函 数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目标 函数实现最大化或最小化。
x2 1.4
x1 0， x2 0
例3、配料问题（min, )
某厂生产一种胶丸， 已知如下资料：
设 x1, x2分别代表每粒胶丸
中甲、乙两种原料的用量
例4、合理下料问题
用7.4m长的钢筋，分别截取2.9m、2.1m、1.5m各 至少100根，要求用料最少。
设 xj 分别代表采用切割方案1~8所需7.4米的钢
污水处理量限制
x1 2，x2 1.4，x1 0，x2 0
目标函数： 要求两厂用于处理工业污水的费用最小
min z = 1000 x1+800 x2
整理得数学模型：
目标函数： min z = 1000 x1 + 800 x2
约束条件： s.t.
x1 1
0.8 x1 + x2 1.6 x1 2
③ 约束条件（分三部分：资源限制、市场限制、非负限制）
x1+2x2≤6
约 束
2x1+x2≤8
条 x2≤2
件 x2 -x1≤1
x1，x2≥0
资源限制 市场限制 非负限制
例 2．靠近某河流有两个化工厂（见图），流经第一化工厂的河 流流量为每天 500 万 m3，在两个工厂之间有一条流量为每天 200 万 m3 的支流。第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水 2 万 m3，第二化工厂每天排放这种工业污水 1.4 万 m3。从第一化工 厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有 20%可以自然净化。根 据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于 0.2%。这两个工厂 都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本 是 1000 元/万 m3，第二化工厂处理工业污水的成本是 800 元/万 m3。 现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水， 使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。
线性规划问题及单纯形法
线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 Matlab计算线性规划问题
一、 线性规划问题及其数学模型
线性规划在经营管理中，常常用来解决有 限资源（人、财、物）的合理分配问题。在 经营管理中，几乎一切问题都与有限资源的 合理分配利用有关。线性规划为解决有限资 源的合理分配利用提供了一个有效的数学工 具。
三、线性规划数学模型的一般表示方式
max(min)Z( x) c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
s.t.
a21x1 a22 x2
a2n xn
(, )b2
am1x1 am2 x2 amn xn (, )bm
x1, x2 ,, xn 0
筋的数量。
若目标函数为使购买的7.4m钢筋最少, 则有
min Z (x) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
2x1 x2 x3 x4 100
s.t.
x1
2x2 x3 3x5 2x6 x7 x3 3x4 2x6 3x7 4x8
100 100
x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 , x7 , x8 0
解）。
1.和式
n
max Z (x) c j x j j 1
若目标函数为余料最少, 则有
min Z (x) 0.1x1 0.3x2 0.9x3 0x4 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8
2x1 x2 x3 x4 100
s.t.
x1
2x2 x3 3x5 2x6 x7 x3 3x4 2x6 3x7 4x8
100 100
n : 变量个数; m : 约束行数; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; bi : 右端项; aij : 技术系数
求解线性规划问题的任务是：在满足
约束条件的所有(x1，x2，…，xn)（可行 解）中求出使目标函数达到最大(小)z 值 的决策变量值(x1*，x2*，…，xn*)（最优