第三章-数值分析(08)用矩阵分解法解线性代数方程组
工程数学(09)用矩阵分解法解线性代数方程组
工程数学
工程数学
L2 P2 L1 P1 A = U , 令P = P2 P1
A = P1−1 L−1 P2−1 L−1U = P1 L−1 P2 L−1U 1 2 1 2
PA = P2 P1 P1 L−1 P2 L−1U = P2 L−1 P2 L−1U ， L = P2 L−1 P2 L−1 1 2 1 2 1 2 PA = LU
工程数学
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第二步 : 求解上三角方程组 Ux = Y ,向后回代求出 x x n = y n unn xk = ( yk −
j = k +1
∑u
n
kj
x j ) ukk y1 y 2 M yn
( k = n − 1, n − 2, L ,1) u11 u12 L u1 n x1 u22 L u2 n x 2 = O M M unn x n
工程数学
系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组称为三对角方程组。 系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组称为三对角方程组。
工程数学
三对角线性方程组
b1 a 2
c1 b2 O
c2 O O O O an
x1 d 1 x d 2 2 M = M cn−1 M M bn x n d n
j =1 k −1
1 l 21 l 31 M M l n1
1 l 32 M M 1 O 1
l n 2 L L l n , n −1
y1 b1 y2 b2 = M M 1 yn bn
线性代数中的矩阵分解与特征值计算
线性代数中的矩阵分解与特征值计算线性代数是数学中的一门重要学科，它研究向量和线性变换之间的关系。
在线性代数中，矩阵分解与特征值计算是两个重要的概念和技术。
矩阵分解是将一个矩阵表示成若干个简单的矩阵间的乘积，可以帮助我们更好地理解和计算矩阵的性质和运算。
常见的矩阵分解方法有LU分解、QR分解、奇异值分解等。
LU分解是将一个矩阵表示成下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，常用于解线性方程组和求逆矩阵。
通过LU分解，我们可以将一个原本复杂的线性方程组变为两个简单的三角线性方程组，从而更容易求解。
QR分解是将一个矩阵表示成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积，常用于最小二乘问题和特征值计算。
QR分解可以将一个矩阵转化为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式，从而方便我们进行进一步的计算和分析。
奇异值分解是将一个矩阵表示成三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另外两个矩阵是对角矩阵。
奇异值分解常用于矩阵压缩和降维。
通过奇异值分解，我们可以将一个矩阵的信息压缩到较小的矩阵中，从而减少了存储空间和计算量。
特征值和特征向量是矩阵分解和特征值计算中的另一个重要概念。
一个方阵的特征值是指满足方程Av=λv的非零向量v和标量λ，其中A是给定的方阵。
特征向量是对应于特征值的非零向量。
特征值和特征向量可以帮助我们了解矩阵的性质和变换规律。
通过计算特征值和特征向量，我们可以对矩阵进行分类、求解线性方程组和进行数据处理等。
特征值计算是求解特征值和特征向量的过程。
常见的特征值计算方法有幂法、QR算法、Jacobi算法等。
幂法是一种迭代算法，通过不断迭代求解矩阵的特征向量和特征值。
QR算法是一种基于QR分解的特征值计算方法，可以有效地计算矩阵的特征值和特征向量。
Jacobi算法是通过不断进行正交变换来对矩阵进行对角化的方法，从而求解其特征值和特征向量。
矩阵分解和特征值计算在科学计算、数据分析和工程应用等领域具有广泛的应用。
它们可以帮助我们解决一系列实际问题，如图像处理、信号处理、网络分析等。
矩阵求方程的解
矩阵求方程的解
矩阵可以被用来求解线性方程组。
线性方程组可以表示为以下形式：
A * x = b
其中，A 是一个系数矩阵，x 是未知向量，b 是已知向量。
矩阵求解线性方程组主要有两种方法：逆矩阵法和高斯消元法。
1.逆矩阵法：如果矩阵A 是可逆的（即行列式不等于零），
则可以通过以下公式求解线性方程组的解：
x = A⁻¹ * b
其中，A⁻¹ 表示矩阵 A 的逆矩阵，* 表示矩阵的乘法运算。
2.高斯消元法：高斯消元法是通过变换线性方程组的形式，
将其转化为上三角形式或者简化行阶梯形式。
然后，可以
通过回代的方式求解线性方程组的解。
具体步骤如下：
•用初等行变换将矩阵A 转化为上三角形式（或简化行阶梯形式）。
•根据变换后的矩阵形式，可以直接得到解的结果或通过回代得到解。
需要注意的是，在实际应用中，矩阵方程的求解可能会遇到多解、无解或条件问题等情况。
因此，在使用矩阵求解线性方程组时，需要对方程组的性质进行仔细分析，并进行适当的处理。
矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用
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1．矩阵常用分解方法
1.1 矩阵的标准分解
矩阵的标准分解法是将原矩阵分解三个矩阵的乘积形式， 并使中间的矩阵的 秩与原矩阵的秩相同，且左右乘上的矩阵为可逆矩阵。
定 理 1.1.1[1] ： 若
A C mn ， 且 矩 阵 A 满 足 r(A)=r ， 则 存 在 可 逆 矩 阵
Er 0 [1] P C mm , Q C nn ，有 A=P Q 0 0
1.2 矩阵的满秩分解 将任意非零矩阵表示为一列满秩矩阵和一行满秩矩阵的乘积的矩阵分解称 为矩阵的满秩分解 定 理 1.2.1[1] ： 若 A C nm ， 且 矩 阵 A 满 足 r(A)=r ， 则 存 在 矩 阵
G C nr , H C r m ，有 A=GH，其中 G 列满秩阵，H 为行满秩阵且 r(G)=r(H)=r. Er 0 证明： r(A)=r 存在可逆矩阵 P,Q，使 A=P Q 0 0 Er A=P Er 0 Q 0
院（系） 专 业
学生姓名 学 号
指导教师 论文字数完成日期:来自2013 年 5 月 日
巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书
现代科学工程计算基础课后答案
现代科学工程计算基础课后答案《现代科学与工程计算基础》较为详细地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法、基本概念及有关的理论和应用。
全书共分八章，主要内容有误差分析，函数的插值与逼近，数值积分与数值微分，线性代数方程组的直接解法与迭代解法，非线性方程及非线性方程组的数值解法，矩阵特征值和特征向量的数值解法，以及常微分方程初、边值问题的数值解法等。
使用对象为高等院校工科类研究生及理工科类非“信息与计算科学”专业本科生，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考。
《现代科学与工程计算基础》讲授由浅人深，通俗易懂，具备高等数学、线性代数知识者均可学习。
基本信息出版社: 四川大学出版社; 第1版 (2003年9月1日)平装: 378页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7561426879条形码: 9787561426876商品尺寸: 20 x 13.8 x 1.6 cm商品重量: 399 g品牌: 四川大学出版社ASIN: B004XLDT8C《研究生系列教材:现代科学与工程计算基础》是我们在长期从事数值分析教学和研究工作的基础上，根据多年的教学经验和实际计算经验编写而成。
其目的是使大学生和研究生了解数值计算的重要性及其基本内容，熟悉基本算法并能在计算机上实现，掌握如何构造、评估、选取、甚至改进算法的数学理论依据，培养和提高读者独立解决数值计算问题的能力。
目录第一章绪论§1 研究对象§2 误差的来源及其基本概念2.1 误差的来源2.2 误差的基本概念2.3 和、差、积、商的误差§3 数值计算中几点注意事项习题第二章函数的插值与逼近§1 引言1.1 多项式插值1.2 最佳逼近1.3 曲线拟合§2 Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值2.2 n次Lagrange插值多项式2.3 插值余项§3 迭代插值§4 Newton插值4.1 Newton均差插值公式4.2 Newton差分插值公式§5 Hermite插值§6 分段多项式插值6.1 分段线性插值6.2 分段三次Hermite插值§7 样条插值7.1 三次样条插值函数的定义7.2 插值函数的构造7.3 三次样条插值的算法7.4 三次样条插值的收敛性§8 最小二乘曲线拟合8.1 问题的引入及最小二乘原理8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合8.4 多变量的最小二乘拟合§9 连续函数的量佳平方逼近9.1 利用多项式作平方逼近9.2 利用正交函数组作平方逼近§10 富利叶变换及快速富利叶变换10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换10.2 快速富利叶变换习题第三章数值积分与数值微分§1 数值积分的基本概念1.1 数值求积的基本思想1.2 代数精度的概念1.3 插值型求积公式§2 等距节点求积公式2.1 Newton—CoteS公式2.2 复化求积法及其收敛性2.3 求积步长的自适应选取§3 Romberg 求积法3.1 Romberg求积公式3.2 Richardson外推加速技术§4 Gauss型求积公式4.1 Gauss型求积公式的一般理论4.2几种常见的Gauss型求积公式§5 奇异积分和振荡函数积分的计算5.1 奇异积分的计算5.2 振荡函数积分的计算§6 多重积分的计算6.1 基本思想6.2 复化求积公式6.3 Gauss型求积公式§7 数值微分7.1 Taylor级数展开法7.2 插值型求导公式习题第四章解线性代数方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 主元素消去法2.1 全主元素消去法2.2 列主元素消去法§3 矩阵三角分解法3.1 Doolittle分解法（或LU分解）3.2 列主元素三角分解法3.3 平方根法3.4 三对角方程组的追赶法§4 向量范数、矩阵范数及条件数4.1 向量和矩阵的范数4.2 矩阵条件数及方程组性态习题第五章解线性代数方程组的迭代法§1 Jacobi迭代法§2 Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛迭代法§4 共轭梯度法习题第六章非线性方程求根§1 逐步搜索法及二分法1.1 逐步搜索法1.2 二分法§2 迭代法2.1 迭代法的算法2.2 迭代法的基本理论2.3 局部收敛性及收敛阶§3 迭代收敛的加速3.1 松弛法3.2 Aitken方法§4 New-ton迭代法4.1 Newton迭代法及收敛性4.2 Newton迭代法的修正4.3 重根的处理§5 弦割法与抛物线法5.1 弦割法5.2 抛物线法§6 代数方程求根6.1 多项式方程求根的Newton法6.2 劈因子法§7 解非线性方程组的Newton迭代法习题……第七章矩阵特征值和特征向量的计算第八章常微方分程数值解法附录参考文献欢迎下载，资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!。
数值分析--第三章--迭代法
数值分析--第三章--迭代法迭代⼀般⽅程：本⽂实例⽅程组：⼀.jacobi迭代法从第i个⽅程组解出xi。
线性⽅程组Ax=b，先给定⼀组x的初始值，如[0,0,0]，第⼀次迭代，⽤x2=0，x3=0带⼊第⼀个式⼦得到x1的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x3=0,带⼊第⼆个式⼦得到x2的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x2=0带⼊第三个式⼦得到x3的第⼀次迭代结果。
得到第⼀次的x后，重复第⼀次的运算。
转化成⼀般的形式：（其中L是A的下三⾓部分，D是A的对⾓元素部分，U 是上三⾓部分）得到迭代公式：其中的矩阵B和向量f如何求得呢？其实，矩阵B的计算也很简单，就是每⾏的元素/该⾏上的对⾓元素⼆.Gauss-Seidel迭代法【收敛速度更快】这个可以和jacobi法对⽐进⾏理解，我们以第⼆次迭代为例（这⾥的第⼀次迭代结果都⽤⼀样的，懒得去换）从上表对⽐结果可以看出，Jacobi⽅法的第⼆次迭代的时候，都是从第⼀次迭代结果中，获取输⼊值。
上⼀次迭代结果[2.5,3.0,3.0]，将这个结果带⼊上⾯式⼦1，得到x1=2.88，；将[2.5,3.0,3.0]替换成[2.88,3.0,3.0]带⼊第⼆个式⼦的运算，这⾥得到x2=1.95，所以把[2.88,3.0,3.0]替换成[2.88,1.95,3.0]输⼊第三个式⼦计算X3=1.0.这就完成了这⼀次的迭代，得到迭代结果[2.88,1.95,1.0],基于这个结果，开始下⼀次迭代。
特点：jacobi迭代法，需要存储，上⼀次的迭代结果，也要存储这⼀次的迭代结果，所以需要两组存储单元。
⽽Gauss-Seidel迭代法，每⼀次迭代得到的每⼀个式⼦得到的值，替换上⼀次迭代结果中的值即可。
所以只需要⼀组存储单元。
转化成⼀般式：注意：第⼆个式⼦中的是k+1次迭代的第⼀个式⼦的值，不是第k次迭代得值。
计算过程同jacobi迭代法的类似三.逐次超松弛法SOR法上⾯仅仅通过实例说明，Jacobi和Seidel迭代的运算过程。
用矩阵消元法求解线性方程组
用矩阵消元法求解线性方程组一、主要内容1. 概念1) 方程、方程组、线性方程组、(一个、有、无)解、齐次线性方程组的零解 m n ⨯2) 矩阵(的型、元素、相等)、线性方程组的系数矩阵、非齐次线性方程组的增广矩阵 行矩阵(行向量)、列矩阵(列向量)、线性方程组的解向量 3) 矩阵的加法、数量乘法、转置 4) 线性方程组的三类初等变换、同解变形(增广)矩阵的三类初等行变换、矩阵的初等(列)变换 5) 行阶梯形矩阵(的主元)、行最简形6) 线性方程组的一般解、通解 2. 计算1) 非齐次线性方程组的增广矩阵−−−−−−→ 有限次初等行变换A 行阶梯形矩阵−−−−−−→有限次初等行变换行最简形矩阵 R； 2) 齐次线性方程组的系数矩阵−−−−−−→有限次初等行变换A 行阶梯形矩阵−−−−−−→有限次初等行变换行最简形矩阵R .3. 结论1) 线性方程组的三类初等变换都是同解变形.2) 矩阵经过初等行变换所得的行最简形矩阵存在且唯一. 3) 线性方程组的解的个数必为0,1,+∞三者之一.二、基本要求1. 熟练使用初等行变换将矩阵化为行阶梯形和行最简形.2. 熟练使用矩阵消元法求解(非齐次、齐次)线性方程组.3. 会求解简单的含参数线性方程组.三、典型例题例1 求解3非齐次线性方程组4⨯123412341234335522322321x x x x x x x x x x x x ,1,.--+=⎧⎪--+=⎨⎪--+=⎩ 解 对线性方程组的增广矩阵做初等行变换，有335521105111231001412232100000-----⎡⎤⎡⎢⎥⎢=--−−−−→--⎢⎥⎢⎢⎥⎢--⎣⎦⎣ 有限次初等行变换⎤⎥=⎥⎥⎦A R ， 由R可知方程组有无穷多解. 结果形式1 方程组的一般解为123415144,,x x x x x =-++⎧⎨=-+⎩ 其中24,x x 任意取值.结果形式2 令自由未知量214,2x k x k ==，得方程组的通解为1121324215,14,2,,x k k x k x k x k =-++⎧⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=⎩ 即 12123411011000x x k k x x -⎡⎤5041⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢=++⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎣⎦⎦， ,,,⎤⎥⎥⎥⎥⎦其中k 为任意常数.12,k 注 线性方程组的全部解既可以按一般形式给出(即一般解)，也可以按向量形式给出(即通解). 用线性空间的语言讲，后者还反映了解的结构，也被称为解的结构式.例2 求齐次线性方程组46⨯12345612345612345612345625620253450346230653960x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --++-=⎧⎪+++-+=⎪⎨+++++=⎪⎪++--+=⎩ 的通解.解 对线性方程组的系数矩阵做初等行变换，有112562101003253145011010341623000111165396000000----⎡⎤⎡⎢⎥⎢--⎢⎥⎢=−−−→=⎢⎥⎢-⎢⎥⎢--⎣⎦⎣有限次初等行变换A R ， 由R 可知方程组有无穷多解.法1 令自由未知量31526,,3x k x k x k ===，得方程组的通解为1133101101x k k x k k x k k -301-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎤⎢⎥⎢⎥⎢-+-⎥-+-其中k k 为任意常数.123,,k 法2 令自由未知量，得3561,0,0x x x ===1241,1,0x x x ==-=，有解向量T 1[1,1,1,0,0,0]=-η；令，得，有解向量3560,1,0x x x ===1240,1,1x x x ===-T 2[0,1,0,1,1,0]=-η；令，得，有解向量3560,0,1x x x ===1243,0,1x x x =-==T 3[3,0,0,1,0,1]=-η.记T123456[,,,,,]x x x x x x =X ，则方程组的通解为112233k k k =++X ηηη，其中为任意常数.123,,k k k例3 设非齐次线性方程组45⨯3,,,123451234512345123452524311622312624x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t-++-=⎧⎪-++-=⎪⎨-++-=⎪⎪-+--=⎩有解，求参数及通解.t 解 对线性方程组的增广矩阵做初等行变换，有213141221211531211532431116001110122312600127324111001396t t -------⎡⎤⎡⎢⎥⎢----⎢⎥⎢=−−−→⎢⎥⎢---⎢⎥⎢------⎣⎦⎣ r r r r r r A ⎤⎥⎥⎥⎥⎦ 3242323123()/34120001001031000121000002t -+++---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−−→=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦r r r r r r r r r r R . 因为线性方程组有解，所以02t t 2=-⇒=.令自由未知量215,2x k x k ==，得方程组的通解为112131242521212011310121000x k x k x k k x k x k +⎡⎤⎡⎤200321k ⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢==+++⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢+⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎣⎦⎣⎦⎦， 其中为任意常数. 12,k k课堂作业：完成例1-3中的初等行变换过程. 提醒同学：一定要动手练习，熟能生巧！08092线性代数复习课2：方阵的行列式08092线性代数复习课3：方阵的特征值与特征向量 08092线性代数复习课4：矩阵定理 初等行变换不改变矩阵的列之间的线性关系.可以基于该结论验证矩阵的行最简形计算是否正确，例如在例2中，令123456[,,,,,]=A αααααα，则R 正确312524613⇔=-+=-+=-，，4ααααααααα.方阵的行列式一、定义1. 低阶行列式 一阶行列式11111||a a =二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- (完全展开式)(按展开式)1122112211||||a a a a =-1r 三阶行列式111213222321232122212223111213323331333132313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+ (按展开式)1r112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- (完全展开式)2. n 阶行列式n 阶方阵A = 的元素[或(,位置]的余子阵、余子式(,)i j ij a )i j ij M 、代数余子式.(1)i jij ij A M +=-行列式的归纳法定义：方阵A 的行列式是一个数，常记作det A 或||A . 1) 1阶方阵][11a =A 的行列式为1111]det[det a a ==A ；2) 当n 时，如果阶方阵的行列式已经定义，则阶方阵的行列式为2≥1-n n ][ij a =A 111111212111111121211det (1).n n nn n a M a M a M a A a A a A +=-++-=+++ An 阶方阵的行列式也称为阶行列式. []n ij n n a ⨯的行列式也记作|或||.|ij n a ij a 3. 矩阵的乘法型：m n n s m s ⨯⨯⨯=A B C元素：(“行乘列”法则)ij i j c =⋅row A col B 二、性质1. 展开公式按任一行展开公式1122det ,1,2,,i i i i in in a A a A a A i n =+++= A ；按任一列展开公式1122det ,1,2,,j j j j nj nj a A a A a A j n =+++= A .2. 基本性质 1) |T|||=A A .显然考察||A 的行(列)相当于考察T||A 的列(行).因而，行列式的对于行(列)普遍成立的性质对于列(行)也普遍成立. 2) 111|,,,,||,,,,||,,,,j j n j n j n |αβγααβααγα+=+ . 一般地，|||||+≠+|A B A B .3) 11|,,,,||,,,,|j n j k k n αααααα= . 注意，|||nn n k k ⨯=|A A ，||(1)|n n n ⨯-=-|A A . 4) 有两列(行)相同的行列式等于零. 5) 有两列(行)成比例的行列式等于零. 6) 含有零列(行)的行列式等于零.7) |11|,,,,,,||,,,,,,i j j n i j k n ααααααααα+= . 8) 11|,,,,,,||,,,,,,|i j n j i n αααααααα=- . 3. 乘法规则：|.|||||n n n n n n n n ⨯⨯⨯⨯=A B A B 三、结论1. 目标行列式 1) 三角行列式1111112222221122000nn nnnnnna a a a a a a a a a a a ===⨯⨯，(1)21212(1)n n n na a a a a a -=- .2) 范德蒙行列式211112131121123222322222221123333111112112311111()()(1()(1()1n n n n n n n n n n n n n n n nn na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------=-----=-)). 3) 分块行列式|||=A O |A B OB，(1)||||n n ns s s⨯⨯=-O A A B B O.2. ||0n n ⨯≠⇔A A 的行最简形为diag(1,1,,1)n = E .3. 克拉默法则(以为例)3n =111122133111121321122223322122233113223333313233,,0a x a x a x b a a a a x a x a x b a a a a x a x a x b a a a ++=⎛⎧ ⎪⎪++=≠⎨ ⎪⎪ ⎪++=⎩⎝⎭⎫存在唯一解，且有公式112131111311121222232122321222332333133331323123111213111213111213212223212223212223313233313233313233,,b a a a b a a a b b a a a b a a a b b a a a b a a a b x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ===.四、典型例题例1 设2212[,]A αα⨯=，2212[,]B ββ⨯=，求||||||+--A B A B . 解 使用行列式的按列分拆性质，有1122122122121212121212|||,||,||,|(|,||,|)(|,||,|)||(|,||,|)||,+=++=+++=+++=+++A B A B αβαβααββαβαααββαββαββα从而1212|||||||,||,+--=+A B A B |αββα.例2 设,A B 均为四阶方阵，12341234[,,,],[,,,A B ]αγγγβγγγ==，且，，求||1A =||2B =||A B +.解 11234|||,2,2,2A B |αβγγγ+=+311234123412342|,,,|8(|,,,||,,,|)8(||||)8(12)24.A B αβγγγαγγγβγγγ=+=+=+=+= 例3 1) 求证奇数阶反对称(矩阵的)行列式必为零；2) 计算三阶行列式3012103234D =---.证 1) 设A 为阶反对称矩阵，为奇数，则n n T ||||||(1)||||||0A A A A A A n ==-=-=-⇒=. □解 2) 按(或)分拆，得3c 3r3330120100110310004(1)10230234D +=-+-=+⋅-=-----4.例4 计算行列式111222121212n n n n x x x nx x x D nx x x n++++++=+++， 注意对阶数进行讨论.n 解 当时，3n ≥11211111102111j n n x n x n D j x n +--+-=≥+- c c ；当时，；1n =111D x =+当时，2n =211112122212111211x x x D x x x x 2x -+++==+++c c -.例5 计算下列行列式：1) adae af bdbe bf cdce cf ---； 2) 246427327814643543342721621-；3) 111111121n n----； 4) 2232333636144104102a b ac b ad c b a a b ac b ad c b aa b ac b ad c b a a b ac b ad c b a++++++++++++++++++++++++400.解 1) 原式12321311111111110204,111002abcdefabcdef abcdef -++=--=----r r r r r r r. 2) 原式1232131231000100327100010032722000100543010011129400000100010062100294++---=---c c c r r r rc c .3) 原式(1)211011(1)(1)110112211121n j n n n n n n j nn +--+++-==-<-c c .4) 原式1213141/11223234133636101441041020a ab ac b ab a b ac b aaa b a c b aca b a c b ad+++-++++++-+++-cc cc cc c2324324342111111 //123341234136********()/14101020141020a b aa aa b aa aa b ab b aa b ac+++--+-c cc c c cc c4343433244432211111111111110123012301230136001300130141000140001a a a----=--r rr r r rr rr rr r4a.例6 计算下列行列式：1)11123449162582764125--------15； 2)222333b c d a c d a b d a b ca b c da b c da b c d23++++++++；3) 11(1a bcb ac abcc ab≠0)； 4)222111a bc ab ac bc ab c---.解 1) 原式241111[(32)(42)(52)]/(1)2345[(43)(53)]12 491625/(1)(54) 82764125----=⋅--= -⋅-rr.2) 原式122222133331111()/()a b c da b c da b c da b c da b c d+++++++r rr()()()()()()(a b c d b a c a d a c b d b d c=+++------).3) 原式2212323222232111 ,/()11111a a abc a a a aa b abcb b abc b b b babcc c c abc c c c c ⨯⨯↔⨯↔r r c ccr c c222)()()(b ac a c b=---.4) 原式22211110 11a bc a ab ac b bc ab c c=-=.例7 设44||⨯3=-A ，33||⨯4=B ，C 是任意34⨯矩阵，试求2O AB C-.解 ，4|2|2||48==-A A 3||(1)||4-=-=-B B ；432(1)|2|||192⨯=--=-O AA B B C.例8 计算六阶行列式6111000234000310161111101112411233161149D =---.解 346111000234000111111491600023412322411011149161492411233161149D -==⨯=---r r . 例9 计算n 阶三对角行列式11()11n a b ab a b aba b abD a a b aba b+++=≠++b . 解 将按第一列分拆，得n D 111101111010(2,3,,)1101n j j n a abb a b aba b ab D n a b ab a b a ac bc j n abD c a a--++=+⎛⎫⎪-⎝⎭++-=+前者后者按展开0原来后列00*1(2n n a bD n -=+≥).)同理有，从而1(2nn n D b aD n -=+≥111(11)(1n n n n n n a a a =)≥b b D n D n a b b++----≥⇒=--,2,2,2,.. 例10 求解线性方程组=⎧121232343454556156565654x x x x x x x x x x x x x +⎪++=-⎪⎪++=⎨⎪++=-⎪+=-⎪⎩解 法1 对线性方程组的增广矩阵做初等行变换，有453452341235565656560001000066566515600210002112100156020100656400156200101918000154000154--------⎡⎤⎡⎢⎥⎢--⎢⎥⎢⎢⎥⎢=−−−−→-⎢⎥⎢--⎢⎥⎢⎢⎥⎢-⎣⎦⎣ r r r r r r r r r r r A ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦1213141511/6652211653195451,1,1,1,1.+-+-=-=−−−−→==-=-r r r r r r r r r法2 由例9中公式或直接计算系数行列式，得||6650=≠A .由克拉默法则，可知453455234123561006655156210021056||156210064561521018561414-----=--------r r r r r B r r r r r r515155||6656656651||A M x =-=-=-⇒==B A -； 45451x x =--=； 3452561x x x =---=-； 2342561x x x =--=； 1232561x x x =---=-.注 将克拉默法则的公式解与代入法结合使用可以减少运算量. 例11 满足条件( C )的矩阵A 可以不是方阵.1⨯ (A)1A n n ⨯=ξξ (B)AS SB =(C)SAS B = (D)TS AS B =例12 设，[]ij m n a ⨯=A 12diag(,,,)m p p p = P ，12diag(,,,)n q q q = Q ，试求PA 与AQ .解 与PA AQ 均为矩阵.m n ⨯P 的第i 行与A 的第j 列分别为100[0,,0,,0,,0]i m i p --个个i ，12j j mj a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， PA 的元素为(,)i j (1,2,,1,2,,i ij )p a i m j n == ；，从而111112112212222212[]n n i ij m nm m m m m mn p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦PA . 类似可得111122121122221122[]n n n n ij j m nm m mn a q a q a q a q a q a q a q a q a q a q ⨯n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦AQ . 注1 确定一个矩阵只需把握它的型(即行数与列数)和所有元素. 注2 乘积矩阵的元素用“行乘列”法则来确定.例13 设100320213⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，465054006⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，则|AB |=________. 解 |.|||||6!720===AB A B行列式的计算方法小结：完全展开法 化三角形法 范德蒙法归零法 分拆法 降阶法镶边法 略 例5 例6 例3，例4例1，例2例3(2)，例10法2略 递推公式法 数学归纳法 析因子法换元法 分块法 乘积法 特征值法例9 略略略例7，例8例13以后课堂作业：用“打洞”方法计算例10中的系数行列式；用“行乘列”法则计算例12中的AQ .方阵的特征值与特征向量一、定义设，若有数[]n nij a ⨯=∈PA k ∈P 与非零列向量n∈P ξ，使得11n n n n k ⨯⨯⨯=A ξξ，则称k 是A 的一个特征值，称ξ是A 的属于特征值k 的一个特征向量.例1 设的每行元素之和均为c ，求证是33[]ij a ⨯=A T[1,1,1]=ξA 的属于特征值的特征向量.c 证 只需按定义验证即可.111213111213212223212223313233313233111111a a a a a a c a a a a a a c c c a a a a a a c ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A =ξξ. □ 二、计算1. 特征值1) 方程||n 0λ-=E A 的全体根(重根按重数计数)就是A 的所有特征值.2) 次多项式n 111212122212||n nn n n nna a a a a a a a a λλλλ-------=--- E A n 1n -的次项系数、次项系数、常数项分别为11221,(),(1)||nnn a a a -+++- A . 3) 若有n 个特征值[]n nij a ⨯=∈PA 12,,,n λλ λ)，则12||()()(n n λλλλλλλ-=--- E A ；121122n a a a nn λλλ+++=+++ (——tr A ，称为A 的迹)，12|n |λλλ= A .4) T|||n n λλ-=-|E A E A ，即A 与TA 的特征值完全相同.例2 分情形讨论220110⨯⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦P A 的特征值：1) =P R =P C ；2) . 解 221||1λλλλ--==+E A 1. 1) 在实数范围内，没有根，所以2211||0λλ+≥⇒-=E A A 没有实数特征值. 2) 在复数范围内，是222121i (i)(i)i,λλλλλλ+=-=-+⇒==-i A 的全体复数特征值.注 n 阶方阵不一定有个特征值.n 例3 求上三角矩阵1122nn a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⨯A 的全体特征值.解 11221122||()()(0n nn nna a a a a a λλλλλ---==----⨯E A )λλn a111222,,,n n a a λλλ⇒=== 是A 的全体特征值.例4 求下列矩阵A 的特征值.1)；2)111333222-⎡⎤⎢⎥-⎢⎢⎥-⎣⎦⎥121242363--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； 3)211212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； 4)；5)221111122-⎡⎤⎢⎥-⎢⎢⎥-⎣⎦⎥3252610123-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 6)2615115126-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；7)101435115122-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；8)126103114-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；9)123143125-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；10)526203212-⎡⎤⎢⎥-⎢⎢⎥⎥-⎣⎦； 11)412946935-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； 12)213639426--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 13)；14)962181231896-⎡⎤⎢⎥-⎢⎢⎥-⎣⎦⎥620346325142032-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 15)131614676687---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 16)； 17)37204341741197011-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦71510222295-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； 18)321222365-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 19)；20)102113585132-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦311221220-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦；21)211251325⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 22)； 23)2321822143⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦425649537-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 24)452221111--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 25)；26)212533102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦03318621410⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； 27)1332613148--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；28)； 29)134478677-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦123112114-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 30)4210437317-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；31)； 32)； 33)121111201⎡⎤⎢⎥-⎢⎢⎥⎣⎦⎥131616576687---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1132112332112311--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦. 解 1) 3||λ-E A3003020λλλλ-=-，可知220020(2)30λλλλ-=--，可知A 计算最后一个特征值.3) 32112111λλλλ+---=---+E A ||222131++c cc c 212110λλλλλ101++++-+，可知123121,tr ()3(2)1λλλλλ==-=-+=---=-A 是A 的全体特征值.4) 32211112λλλλ---=-+---E A ||1221312+-c c c c 22211110λλλλλ01---+----，可知123121,tr ()321λλλλλ===-+=-=A 是A 的全体特征值.5) 33252612λλλλ---=----E A ||103+213125-+c c c c 3245102210λλλλλ02--+-----，可知123122,tr ()642λλλλλ===-+=-=A 是A 的全体特征值.6) 326151112λλλλ---=----E A ||56+213125-+c c c c 222551110λλλλλ01---+-+-+，可知123121,tr ()3(2)1λλλλλ==-=-+=---=-A 是A 的全体特征值.7) 3101435||1112λλλλ---=----+E A 52213125-+c c c c 10265151310λλλλλ03--+----，可知3,tr ()963λλλλλ===-+=-=A 是A 的全体特征值.8) 3126||13411λλλλ---=---+E A 21313-+c c c c 1131110λλλλλ301---+-+-+， 可知123121,tr ()3(2)1λλλλλ==-=-+=---=-A 是A 的全体特征值.9) 312||14312λλλλ---=---E A 35213123+-c c c c 124361210λλλλλ02---+---，可知123122,tr ()1046λλλλλ===-+=-=A 是A 的全体特征值.10) 3526||23221λλλλ---=---+E A 123223-+c c c c 120223301λλλλλ--1-+---，可知123121,tr ()321λλλλλ===-+=-=A 是A 的全体特征值.11) 341||94293λλλλ---=--+E A 65123232++c c c c 113342203λλλλλ-01-----，可知123121,tr ()321λλλλλ===-+=-=A 是A 的全体特征值.12) 321||63342λλλλ--=----E A 96123223+-c c c c 102302λ3λλλλ---，可知123120,tr ()11011λλλλλ===-+=-=A 是A 的全体特征值.13) 396||181231896λλλλ+--=--2---E A 132363+-c c c c 3003618396λλλλλ23------+-，可知123123,tr ()963λλλλλ===-+=-=A 是A 的全体特征值.14) 36203||6324420λλλλ---=----+E A 513221173125-+c c c c 1726510176240λλλλλ02--+-----， 可知123122,tr ()642λλλλλ===-+=-=A 是A 的全体特征值.15) 3131614||6767-68λλλλ+-=-----E A 314213--c c c c 44331316160λλλλ01λ+---+-+--，可知123121,1,tr ()101λλλλλ=-==-+=-=A 是A 的全体特征值.16) 337204||341741197011λλλλ+--=-----E A 23171325-+c c c c 175122300351511λλλλλ44+-+-+---，可知3,tr ()9(6)3λλλλλ==-=-+=---=-A 是A 的全体特征值.17) 37151||22029λλλλ---=-+--+E A 25133232-+c c c c3322300135λλλλλ102+------+，可知123123,1,tr ()0(2)2λλλλλ=-==-+=--=A 是A 的全体特征值.18) 332||22136λλλλ---=-+---E A 25123232+++c c c c c 20222245λλλλλλ12--------，可知123122,tr ()642λλλλλ===-+=-=A 是A 的全体特征值.注 多个倍加变换之间必须协调.19) 3102113||5852+13λλλλ---=-+---E A 21313++-c c cc c 3210232λλλλλλ352+-------+，可知123123,2,tr ()0(1)1λλλλλ=-==-+=--=A 是A 的全体特征值.20) 331||22122λλλ1λ---=----E A 133122+-c c r r 2111021(1)(2002λλλλ---=---)λ，可知1231,2λλλ===是A 的全体特征值.21) 321||25132λλλλ----=----E A 151232131,++--c c cr r r r 3411040(4014λλλλ----=--)-，可知1234λλλ===是A 的全体特征值.22) 323||182214λλλλ----=---23+E A 311322-+r r c c 22518214λλλ+--001-22225(1)(1)(69)(1)(3)18λλλλλλλ+λ=-=--+=----，可知1231,3λλλ===是A 的全体特征值.23) 342||64553λλλλ---=----E A 97+1232131,++--r r r r c c c 120201λλλ---542-+224(1)(1)12λλλλλ-=-=--+，可知1231,0λλλ===是A 的全体特征值.24) 345||22211λλλλ+--=----E A 11+1232131,--++r r r r c c c150304λλλ211+-+--41λ-可知1231λλλ===-是A 的全体特征值.25) 321||53210λλλλ---=-+-32+E A 3121323,--++r r r r c c c114310λλλ--++0012311(1)(1)(21)(1)43λλλλλλ-λ=+=+++=-++，可知1231λλλ===-是A 的全体特征值.26) 333||18610214λλλλ---=---+E A 321132322,--++c c c r r r r 42516214λλ00λ--+-22425(21)(116λλλλλλλ-)λ==++=+-+，可知1230,1λλλ===-是A 的全体特征值.27) 313||26314λλλλ+--=----E A 138+321132333,++--c c c r r r r 491214λλλ+--001--+2349(1)(1)(21)(1)12λλλλλλ+λ=+=+++=--+，可知1231λλλ===-是A 的全体特征值.28) 3134||478677λλλλ---=-+---E A 211222-+r r c c 530187λλλ407+-+-2254(1)(1)(23)(1)(387λλλλλλλ+-)λ=+=+--=+--，可知1231,3λλλ==-=是A 的全体特征值.29) 312||11311λλλλ---=-----E A 243223-+r r c c 111300λλλ-322----2311(2)(2)(44)(2)13λλλλλλ-λ=-=--+=---，可知1232λλλ===是A 的全体特征值.30) 3421||43031λλλλ+---=----E A 77133122-+r r c c 204331λλλ--011--11λ--可知1232λλλ===是A 的全体特征值.31) 312||11120λλλλ----=-+---E A 11322322-+c c r r 141100λλλ111------+2214(1)(1)(23)(1)(311λλλλλλλ--)λ=+=+--=+---，可知1231,3λλλ==-=是A 的全体特征值.32) 3131616||5767-68λλλλ+-=-----E A 133122+-c c r r 105768λλλ+--045--+2274(1)(1)(23)(1)(385λλλλλλλ-)λ=+=+--=+-+-，可知1231,3λλλ==-=是A 的全体特征值.33) 4113112||32123231λλλλλ-----=----E A 111324++r r r r 21211212321231λλλλλλ11+-+--+-+----31-c c 42-c c 2100120021432431232334λλλλλλλ+--++--=34λ---+---)(1)(3)(1)(7λλλλ=++--，可知12341,3,1,7λλλλ=-=-==是A 的全体特征值. 注 分块法.2. 特征向量对于特征值i λ，齐次线性方程组()i n λ-=0E A X 或()i n λ-=0A E X 的全体非零解向量就是A 的属于特征值i λ的所有特征向量.例5 求下列矩阵A 的特征值与特征向量.1)； 2)； 3)1423⎡⎤⎢⎣⎦⎥111111111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111222333⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 4)133353664-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 5)； 6)173015254825306032-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1422112480100351512468414-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦； 7)1111111111111111⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦；8)； 9)3131131331311313--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦13032601303131408-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦； 10)2112542*********--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦； 11)； 12)142288434579120242361480361113285684110----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦1234501234002000032000452⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 1) 214||23λλλ---=--E A 1221+-c c r r 54(5)(101λλλλ--)=-++，可知125,1λλ==-是A 的全体特征值.对特征值15λ=，2441152200--⎡⎤⎡-=→⎤⎢⎥⎢-⎥⎣⎦⎣A E ⎦， 可知是属于特征值T11[1,1](0)k k ≠15λ=的全体特征向量.对特征值21λ=-，224122400⎡⎤⎡+=→⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣A E ⎦，可知是属于特征值T22[2,1](0)k k -≠21λ=-的全体特征向量.注 为节省版面，常将列向量1n x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦写作行向量的转置[,T1,]n x x .2) 3111||111-111λλλλ----=-----E A 1232131,++--c c cr r r r 231100(300λ)λλλλ---=-，可知1233,0λλλ===是A 的全体特征值.对特征值13λ=，32111013121011120001--⎡⎤⎡⎢⎥⎢-=-→-⎢⎥⎢⎢⎥⎢-⎣⎦⎣A E ⎤⎥⎥⎥⎦，可知是属于特征值T11[1,1,1](0)k k ≠13λ=的全体特征向量.对特征值2,30λ=，111⎡⎤→⎢⎥⎣⎦A O ， 可知不全为零)是属于特征值TT[1,0,1][0,1,1](,k k -+-k k 0λ=的全体特征向量.3) 311||22133λλλλ----=-----E A 23-1232131,++--r r rc c c c 260020(6)30λλλλλ--=--，可知1236,0λλλ===是A 的全体特征值.对特征值16λ=，3511121624203333000--⎡⎤⎡⎢⎥⎢-=-→-⎢⎥⎢⎢⎥⎢-⎣⎦⎣A E 2⎤⎥⎥⎥⎦， 可知T11[1,2,3](0)k k ≠是属于特征值16λ=的全体特征向量.对特征值2,30λ=，111⎡⎤→⎢⎥⎣⎦A O ， 可知不全为零)是属于特征值TT23[1,0,1][0,1,1](,k k -+-23k k 2,30λ=的全体特征向量.4) 313||35366λλλλ---=-+---E A 342131+-c c c c 123260λλλλλ202-+---+-+，可知123122,tr ()0(4)4λλλλλ==-=-+=--=A 是A 的全体特征值.对特征值1,22λ=-，3333111233300666000--0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢+=-→⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎥⎣⎦⎣A E ⎦12k ，可知不全为零)是属于特征值TT12[1,1,0][1,0,1](,k k k +-1,22λ=-的全体特征向量.对特征值34λ=，3333110439302660000---1⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢-=-→-⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎥⎣⎦⎣A E ⎦，可知T33[1,1,2](0)k k ≠是A 的属于特征值34λ=的全体特征向量.5) 3173015||254825306032λλλλ---=-+---E A 21312+-c c c c 1724225203002λλλλλ---+----，可知123122,tr ()143λλλλλ===-+=-=-A 是A 的全体特征值.对特征值1,22λ=，3153015121225502500306030000--⎡⎤⎡⎢⎥⎢-=-→⎢⎥⎢⎢⎥⎢-⎣⎦⎣A E 0⎤⎥⎥⎥⎦，可知不全为零)是属于特征值T T12[2,1,0][1,0,1](,k k +-12k k 1,22λ=的全体特征向量.对特征值33λ=-，32030152013254525065306035000--⎡⎤⎡⎢⎥⎢+=-→-⎢⎥⎢⎢⎥⎢-⎣⎦⎣A E ⎤⎥⎥⎥⎦，可知T33[3,5,6](0)k k ≠是属于特征值33λ=-的全体特征向量.6) 4||λ-E A141248(1)35124414λλλλ--=----+21314-+c c c c14248(1)32040λλλλλλ2--+------，-可知12341231,2,tr ()651λλλλλλλ====-++=-=A 是A 的全体特征值.对特征值1,41λ=，4132211248117030000004335141200004684150000--⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎤⎥-⎢⎥⎢-=→⎢⎥⎢-⎢⎥⎢-⎣⎦⎣A E ⎥⎥⎥⎦12k k ， 可知不全为零)是属于二重特征值1的全体特征向量.TT12[17,1,0,0][12,0,3,4](,k k -+对特征值2,32λ=，412221124810140100010023513120000468416000--⎡⎤⎡⎢⎥⎢-⎢⎥⎢-=→⎢⎥⎢-⎢⎥⎢-⎣⎦⎣A E ⎤⎥⎥⎥⎥⎦34k k ， 可知不全为零)是属于二重特征值2的全体特征向量.TT34[1,0,1,0][4,0,0,1](,k k -+7) 答案：12340λλλ====是A 的全体特征值.λ可知1010*********0⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，可知不全为零)是属于四重特征值0的全体特征向量.T T12[1,0,1,0][0,1,0,1](,k k -+-12k k 12k k 9) 答案：四重特征值1，全体特征向量为不全为零). TT12[0,0,1,0][3,1,0,1](,k k +10) 4||λ-E A21154231229243λλλλ+---+--=----28-13423---r r r r r 101542312011λλλλλλλ--+0921-+-----+-+-24+c c 314++c c c 24100055169516(1)(1)3132130001λλλλλλλλ-------=-=++--，可知12341λλλλ====是A 的全体特征值.43112100.70.1552901 1.1 1.73112000024370000---⎡⎤⎡⎢⎥⎢--⎢⎥⎢-=→⎢⎥⎢--⎢⎥⎢-⎣⎦⎣A E ⎤⎥-⎥⎥⎥⎦T12k k ， 可知不全为零)是属于四重特征值1的全体特征向量.T12[7,11,10,0][1,17,0,10](,k k +-11) 4142288434579120242361480||361113285684110λλλλλ+-----=----+E A213141234---c c c c c c 142243841112021030228002λλλλλλλ+-+-+-+---1----121314234+++r r r r r r 35000120210(5)(2)302128002λλλλλλ+---=+-----，可知12345,2λλλλ=-===是A 的全体特征值.对特征值15λ=-，41372884345791022012024736148001170536161300412856841050000----⎡⎤⎡⎢⎥⎢-⎢⎥⎢+=→⎢⎥⎢⎢⎥⎢----⎣⎦⎣A E ⎤⎥⎥⎥⎥⎦1k ， 可知是属于特征值T1[22,17,1,4](0)k --≠15λ=-的全体特征向量.对特征值2,3,42λ=，4144288434579120012024036148000102369130002856841120000----⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎢⎥⎢-=→⎢⎥⎢⎢⎥⎢----⎣⎦⎣A E 1⎤⎥⎥⎥⎥⎦2≠， 可知是属于三重特征值2的全体特征向量.T2[2,1,0,0](0)k k -12) 答案：特征值特征向量121λλ== T [1,0,0,0,0](0)k k ≠3452λλλ===T [13,4,0,0,1](0)l l ≠快速计算关键揭秘：1) 若A 有属于特征值0λ的特征向量，则T[1,,,]k l ||n λ-E A 12n k k +++ c c c 012102202()()n nn n a a k a l a λλλλλλλλ---------2na a ；2) 若TA 有属于特征值0λ的特征向量，则T[1,,,]k l ||n λ-E A 12n k k +++ r r r 002122212()()n n n k l a a a a a a 0nnλλλλλλλλ---------.目前做法(计算特征值时特征向量已经在起作用)主要适于计算例4、例5中的理想化的低阶方阵的特征值与特征向量！ 小结：1) 计算A 的特征值就是计算行列式||n λ-E A ，每个一次因式对应着一个特征值，应该尽可能避免次多项式的因式分解.n 2) 计算A 的特征向量就是求齐次线性方程组的非零解.课堂作业：计算例5(7)(9)(12).。
数值分析(08)Gauss消元法解线性方程组
end X=backsub(A, b);
%回代求解
消元法是解线性方程组的基本方法，具有计算简 单的优点，但有时由于主元过小，使得计算结果严重 失真,实际中常采用选主元高斯消元法。
§1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies
选主元消去法 /* Pivoting Strategies */
参数表
MATLAB For Gaussian Elimination
function X=gauss(A,b) %Input—A is an n×n nonsingullar maOutput—X is the solution to the system AX=b
进行到底，得到唯一解。
注：事实上，只要 A A ) ... ... A1 存在，则可通过逐 非奇异，即 ... de t( i 次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出 a i 1 ... a ii 唯一解。
a11
... a1i
求解的全过程包括两个步骤：消元和回代
1 . 顺序消元
k 1, , n 1 i k 1, , n （1）mik aik ( k ) / akk ( k ) （2）aij ( k 1) aij ( k ) mik akj ( k )，j k 1, , n （3）bi ( k 1) bi ( k ) mik bk ( k )
常见是m n，称为欠定方程组（方程数少于未知数） 此时，从Ax b的无穷多个解中需求出2 范数最小的解。 即求 x , 使 || x ||2 min || x ||2 ，x满足Ax b。
r ( A) r ( A)方程组Ax b无解（即不相容）。 常见是m n，称为超定方程组（又称矛盾方程组） 此时，向量b不在A的列空间R( A)之中，原方程组 无解，但可求出最小二乘意义下的解 x。 即求 x使 || b Ax ||2 min 2
矩阵与方程组的解法
矩阵与方程组的解法在线性代数中，矩阵与方程组是重要的研究对象。
矩阵可以被用来表示一组线性方程，而方程组则是由多个线性方程组成的系统。
解决方程组的一个基本方法是使用矩阵运算。
本文将介绍几种常见的矩阵与方程组的解法。
一、高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法。
它通过一系列的行变换将方程组转化为简化行阶梯形式。
具体步骤如下：1. 将方程组的系数矩阵与常数矩阵合并为增广矩阵。
2. 通过行变换，将矩阵转化为上三角形矩阵，即每一行从左至右的第一个非零元素为1，其它元素均为0。
3. 从最后一行开始，逐行用“倍加”法将每一行的首个非零元素化为1，同时将其它行的相应元素消为0。
通过高斯消元法，可以得到简化行阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
二、矩阵求逆法对于方程组AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵，如果A可逆，则可以通过以下公式求解：X = A^-1 * B其中A^-1为A的逆矩阵。
为了求得逆矩阵，可以使用伴随矩阵法或初等变换法。
伴随矩阵法：1. 求得矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，即将A中每个元素的代数余子式按一定次序排成一个矩阵。
2. 计算A的行列式det(A)。
3. 若det(A)不等于0，则A可逆，将伴随矩阵Adj(A)除以det(A)，即可得到逆矩阵A^-1。
初等变换法：1. 构造一个n阶单位矩阵I，将A和I相连接成增广矩阵(A|I)。
2. 通过初等行变换将矩阵A转化为上三角矩阵。
3. 继续进行初等行变换，将上三角矩阵转化为单位矩阵。
4. 此时，矩阵I右侧的矩阵即为矩阵A的逆矩阵A^-1。
三、克拉默法则对于n个未知数和n个线性方程的齐次线性方程组，克拉默法则提供了一种求解方法。
该方法通过计算每个未知数的系数矩阵的行列式来求解。
设方程组AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
如果矩阵A的行列式det(A)不为0，则可以通过以下公式求解：X_i = det(A_i) / det(A)其中X_i为方程组的第i个未知数，A_i是将A矩阵中第i列替换为常数矩阵B后得到的矩阵。
矩阵解方程组的方法
矩阵解方程组的方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵解方程组也是线性代数中的基础内容之一。
在实际应用中，往往会遇到包含多个未知数和多个方程的方程组，如何通过矩阵的方法来高效地解决这些方程组成了一项重要的技能。
本文将介绍矩阵解方程组的方法，包括高斯消元法、矩阵求逆法以及克拉默法则等。
一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种基本方法。
它的基本思想是通过对方程组进行一系列的行变换，将其转化为简化的阶梯形或行最简形，从而得到方程组的解。
下面通过一个具体的例子来说明高斯消元法的应用。
考虑如下的线性方程组：\begin{cases}2x + 3y - z = 1 \\3x + 2y + z = 3 \\x - y + 2z = 9\end{cases}首先将上述的方程组写成增广矩阵的形式：然后通过一系列的行变换，将增广矩阵转化为简化的阶梯形：\begin{bmatrix}1 & -1 &2 & | & 9 \\0 & 5 & -5 & | & -10 \\0 & 0 & 1 & | & 0\end{bmatrix}最后通过反向代入法，可以求得方程组的解为x=2, y=-2, z=0。
二、矩阵求逆法A = \begin{bmatrix}1 &2 \\2 & 1\end{bmatrix}，X = \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}，B = \begin{bmatrix}3 \\4\end{bmatrix}然后求解系数矩阵A 的逆矩阵A^{-1}：最后通过矩阵乘法，可以求得方程组的解为X = A^{-1}B =\begin{bmatrix}1 \\1\end{bmatrix}。
三、克拉默法则首先求解系数矩阵A 的行列式|A|：然后求解系数矩阵A 分别替换成结果矩阵B 的行列式|B_x| 和|B_y|：最后通过克拉默法则，可以求得方程组的解为x = \frac{|B_x|}{|A|} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}，y = \frac{|B_y|}{|A|} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}。
用矩阵求解线性方程组
用矩阵求解线性方程组在数学中，线性方程组是描述多个未知量和它们之间关系的方程组。
如果未知量数目等于方程数目，并且每个方程都是线性的，则方程组称为“线性方程组”。
解决线性方程组的常用方法之一是使用矩阵。
在本文中，我们将讨论使用矩阵求解线性方程组的方法。
1. 线性方程组和矩阵线性方程组可以用矩阵形式表示。
例如，以下线性方程组：2x + 3y - z = 1x - y + 2z = 3x + 2y - z = 0可以表示为矩阵方程：\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}其中，矩阵\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}称为系数矩阵，向量\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}称为未知向量，向量\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}称为常向量。
2. 矩阵求解线性方程组的基本思路将线性方程组转换为矩阵方程后，可以使用矩阵的逆来求解未知向量。
具体来说，对于实数域上的矩阵方程AX = B如果矩阵A可逆，则可以将等式两边左乘A的逆矩阵A^-1，得到X = A^(-1)B其中，X和B都是列向量，A^-1是A的逆矩阵。
逆矩阵的定义是，如果存在一个矩阵A^-1，使得A^-1A = I其中，I是单位矩阵，则称A是可逆的，A^-1是A的逆矩阵。
对于实数域上的矩阵，如果矩阵的行列式不为0，则该矩阵可逆。
研究生数值分析(8)分解
b1 bk
k 1
lkj
yj
j 1
(k 2,3,
（5）
, n)
xn
xk
yn / unn (yk
n
ukj xj ) / ukk
j k 1
（6）
(k n 1,n 2, ,1)
杜利特尔矩阵分解 求解线性方程组的过程为: 10 实现A=LU分解，即
(a)按计算公式(1),(2)依次计算U的第1行元素
(i k, k 1, , n) （3）
k 1
lik (aik liju jk ) / ukk j 1
(i k 1, , n; k n) （4）
在我们利用杜利特尔矩阵分解解线性方程 组AX=b时,只要实现矩阵分解A=LU,依次解三角 形方程组LY=b与UX=Y即可。
计算公式：
y1
yk
u1i (i 1, 2, , n) 与L的第1列元素 li1 (i 2,3, , n)
(b) 对k+2,3,…,n 按计算公式(3),(4)依次
计算U的第k行元素 uki (i k, k 1, , n) 与L的第
k列元素 lik (i k 1, , n; k n)
20 求解三角形方程组LY=b，即按计算公
若U为单位上三角阵(对角元都是1的上三角阵),
L为下三角阵,则称为克劳特(Crout)分解。
下面分析实现矩阵杜利特尔(Doolittle)分解和克 劳特(Crout)分解的条件,讨论这些分解的唯一性。
定理2 (矩阵三角分解基本定理)
设 A Rnn 。若A的顺序主子式
det( Ak ) 0
(k 1, 2, , n)
li,k 1
lik
ln,k 1
数值分析矩阵的正交分解
数值分析矩阵的正交分解矩阵的正交分解是数值线性代数中的一个重要概念。
它的主要目标是将一个矩阵表示为两个正交矩阵的乘积，这样可以简化矩阵的计算过程。
矩阵的正交分解有多种形式，其中最常见的有QR分解和SVD分解。
首先，我们来介绍QR分解。
给定一个m×n的矩阵A，它可以表示为两个矩阵Q和R的乘积，其中Q是一个正交矩阵，即QTQ=I，R是一个上三角矩阵。
可以用以下方式计算QR分解：1.初始化矩阵A为Q.2. 对于每一列j = 1,2,...,n，计算矩阵A的第j列的尺度因子rjj。
3. 更新R的第j行为A的第j列除以尺度因子rjj。
4. 对于每一列k = j + 1,j + 2,...,n，更新矩阵A的第k列为原矩阵A的第k列减去R的第j行乘以A的第k列与R的第j行的内积，即ak = ak - (rjTak)rj.5.重复步骤2-4直到所有的列都被处理完。
6.将矩阵A的前n行作为正交矩阵Q。
QR分解的一个重要应用是解决最小二乘问题，即通过最小化误差的平方和来求解一个线性方程组。
在该问题中，可以将矩阵A进行QR分解，然后通过求解三角矩阵R的上三角线性方程组来得到解。
其次，我们来介绍SVD分解。
给定一个m×n的矩阵A，它可以表示为三个矩阵U、Σ和VT的乘积，其中U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，VT是一个n×n的正交矩阵。
可以用以下方式计算SVD分解：1.将矩阵A的转置矩阵AT与A进行乘积，得到一个对称正定矩阵ATA.2. 对ATA进行特征值分解，得到特征值λ1,λ2,...,λn和相应的特征向量v1,v2,...,vn.3. 计算A的奇异值σi=√ λi和左奇异向量ui=Avi/σi.4.构造U和V矩阵，其中U的列向量是左奇异向量，V的列向量是右奇异向量。
5.构造Σ矩阵为对角矩阵，对角线上的元素是A的奇异值。
SVD分解的一个重要应用是矩阵的伪逆的计算。
《矩阵的分解》课件
高斯消元法
基本思想：通过行变换将矩阵 化为上三角矩阵或对角矩阵
步骤：选择主元素、消元、回 代
应用：求解线性方程组、求逆 矩阵、求特征值和特征向量
优点：计算量小，易于实现， 适用于稀疏矩阵和带状矩阵
迭代法
迭代法的基本思想：通过不断迭代， 逐步逼近目标解
迭代法的应用：在矩阵分解、数值 优化、图像处理等领域有广泛应用
U：上三角矩阵，对角线以上元素为0
LDU分解的应用：求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等
平方根分解
平方根分解的定义：将矩阵分解为 两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是 单位矩阵，另一个矩阵是矩阵的平 方根。
平方根分解的应用：平方根分解在 数值计算、线性代数、优化等领域 有着广泛的应用。
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迭代法的步骤：设定初始值，计算 迭代函数，更新迭代值，直到满足 停止条件
迭代法的优缺点：优点是简单易实 现，缺点是收敛速度慢，容易陷入 局部最优解
共轭梯度法
共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法 共轭梯度法的基本思想是利用共轭梯度方向进行迭代 共轭梯度法的优点是收敛速度快，稳定性好 共轭梯度法的缺点是计算量大，需要存储大量的中间结果
a. 选取一组向量 b. 计算向量组的内积 c. 计算向量组的正交化向量 d. 重复步骤b和c，直到所有向量都正交
优点： a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
应用： a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
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数值分析所有常考例题及详细答案
数值分析所有常考例题及详细答案第二章线性方程组的直接解法 (2)第三章解线性方程组的迭代法 (4)第五章非线性方程和方程组的数值解法 (7)第六章插值法与数值微分 (11)第七章数据拟合与函数逼近 (16)第八章数值积分 (20)第九章常微分方程的数值解法 (25)第二章 线性方程组的直接解法1、用LU 分解法求如下方程组的解（1）3351359059171⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪X = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2）3235220330127X ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解：（1）13351124522133A L U ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭4(101)(1,1,)339(,,2)22T TTL Y Y UX Y X =⇒=-=⇒=-（2）132332352222012333301271313b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦15521133371311y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 3235121123321313X X ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦2121311()21()44254213142541425421310212127127350624r r r r r r +-↔+-⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦→→ 32344254102127210084r r +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→得同解方程组1232334254121272184x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-=⎪⎩回代求解得(9,1,6)TX =--②212131112312323111011323231110523523111011323032323122112215747012323r r r r r r +↔+⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦→→323252()57231110231110574757470101232323235235193223030023235757r r r r +-↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦→→得同解方程组12323323110574701232319322300()5757x x x x x x ⎧⎪-++=⎪⎪++=-⎨⎪⎪++-=⎪⎩回代得(0.212435,0.549222, 1.15544)T X =-4、用Jordan 消去法解矩阵方程，AX B =其中：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=112221111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011001B 解：容易验证0A ≠，故A 可逆，有1X A B -= .因此，写出方程组的增广矩阵，对其进行初等变换得111101111011110122010111101111211100313000263---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦100211002110111101022330013001322⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦121122332X A B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥∴==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦5、用LU 分解法求解如下方程组12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：100256210037341004A LU -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦12312311021193413010,19201,34304(10,1,4)TLy by y y y y y y =⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦==-=-=-==-(1)解得即 123321(2)25610371441,2,3(3,2,1)T Ux yx x x x x x x =-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦====解解得：所以方程组的解为。
数值分析第三章线性方程组的迭代法课件
§ 3.3.2 Gauss—Seidel 迭代法的矩阵表示
将A分裂成A =D+L+U，则Ax b 等价于
(D+L+U )x = b
于是,则高斯—塞德尔迭代过程
Dx(k1) Lx(k1) Ux(k) b
因为 D 0 ,所以 D L D 0
故
(D L)x(k1) Ux(k) b
x(k1) (D L)1Ux(k) (D L)1b
e(k) x(k) x* Gx(k1) d (Gx* d) G(x(k1) x* ) Ge(k1)
于是 e(k) Ge(k1) G 2e(k2) Gk e(0)
由于 e (0)可以是任意向量,故 e(k) 收敛于0当且仅
故 (D L)x(k1) (1)D U x(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异, (因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
令 L (D L)1 (1)D U
f (D L)1b
则超松弛迭代 公式可写成
称为雅可比迭代公式, B称为雅可比迭代矩阵
雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛 性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量 形式。即
x1(k 1)
1 a11
(a12 x2(k )
a13 x3(k )
a1n xn(k )
b1 )
x2(k 1)
1 a 22
(a21 x1(k )
a23 x3(k )
§ 3.4.2超松弛迭代法的矩阵表示 设线性方程组 Ax=b 的系数矩阵A非奇异,且主对角
元素 aii 0(i 1,2,, n) , 则将A分裂成
线性代数中的矩阵分解和特征值问题
线性代数中的矩阵分解和特征值问题线性代数是数学中的一个重要分支，不仅应用广泛，还在计算机科学、物理学等领域中发挥着重要的作用。
其中，矩阵分解和特征值问题是线性代数中的重要内容。
在本文中，我们将详细介绍这两个问题的理论意义和应用。
一、矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵分解成几个简单矩阵的积的过程。
常见的矩阵分解方法有LU分解、QR分解、奇异值分解等。
1.1 LU分解LU分解是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
具体来说，设A是一个n阶方阵，其LU分解为：A=LU其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
LU分解的应用很广泛，如在求矩阵的逆、解线性方程组等方面都有很大的用处。
1.2 QR分解QR分解是将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
具体来说，设A是一个m×n矩阵（m≥n），其QR分解为：A=QR其中Q是一个正交矩阵，R是一个n阶上三角矩阵。
QR分解在矩阵的最小二乘解、特征值问题等方面具有很大的作用。
1.3 奇异值分解奇异值分解是将一个矩阵分解成一个正交矩阵、一个奇异值矩阵和一个正交矩阵转置的乘积。
具体来说，设A是一个m×n矩阵，其奇异值分解为：A=UΣV^T其中U和V都是正交矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，其对角线上的元素称为A的奇异值。
奇异值分解在图像处理、模式识别等领域中有着广泛的应用。
二、特征值问题特征值问题是线性代数中的一个重要问题，其主要涉及到矩阵的特征向量和特征值。
设A是一个n维方阵，如果存在一个非零n维向量x和一个实数λ，使得下列等式成立：Ax=λx则称λ为矩阵A的一个特征值，x称为矩阵A对应于特征值λ的一个特征向量。
2.1 特征值分解特征值分解是将一个对称矩阵分解成一个正交矩阵和一个对角线矩阵的乘积。
具体来说，设A是一个n阶对称矩阵，其特征值分解为：A=QΛQ^T其中Q是一个正交矩阵，Λ是一个对角线矩阵，其对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
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OO O
M M
an1
bn1
cn1
xn1
d
n1
an bn xn dn
矩阵表示 Ax d
数值分析
数值分析
2 x1 x2
1
例：求解方程组：
x1
2 x2
1
x2 2 x3 x4 0
x3
2
x4
1
2 1
1
u1 r1
解：A
1
2
LU
l2
1
u2 r2
1 2 1
1 2
l3
1 l4
1
u3
r3 u4
1
2 1
1
2
1 23
1 12
1
32 0 2
1
3
2
ck rk ,
k 2, 3,L , n 1
数值分析
数值分析
b1 u1 , c1 r1, a2 l2u1
b2 l2r1 u2 l2c1 u2, c2 r2 ,
ak lk uk1 ,
k 2, 3,L , n
bk lk rk1 uk lkck1 uk , k 2, 3,L , n
y1
f
,
得
y2
y3 y4
113327
117
2 解Ux
1 7
2 0
0
0 0 1 0
1
1 2
13 7
11 7
x1 x2 x3 x4
=
-1
13 2
13 7 117
,得
x1 x2 x3 x4
=
较常见带状矩阵为带宽为3（p=q=2,w=3)的矩阵。
a11
a12
0
0
a21
a22
a23
A 0
0
A称为三对
角矩阵。 an1,n2
an1,n1
an1,n
0
0
an,n1
an,n
系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组称为三对角方程组。
数值分析
数值分析
三对角线性方程组
b1 c1
a2
b2
c2
x1 d1
x(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/LU(i,i); end
数值分析
数值分析
三、用全主元的三角分解PAQT LU求解Ax b Ax b PAQT (Qx) Pb LU(Qx) Pb
lupqdsv.m
%功能：调用全主元三角分解函数[LU,p,q]=lupqd(A)
f (1) b(P(1)) b(3), f (2) b(P(2)) b(4)
f (3) b(P(3)) b(1), f (4) b(P(4)) b(2)
数值分析
数值分析
1
1
解LY
1 2
0
12
1
2 7
17
1 0
y1
y2
1
y3 y4
1
6
0
2
Pb
l3 O OO
OO
O
rn1
an bn
ln 1
un
b1 u1 , c1 r1, a2 l2u1
b2 l2r1 u2 l2c1 u2, c2 r2 ,
ak lk uk1 ,
k 2, 3,L , n
bk lk rk1 uk lkck1 uk , k 2, 3,L , n
数值分析
数值分析
function x=lupdsv(A,b) n=length(b); [LU,p]=lupd(A); y(1)=b(p(1)); for i=2:n
y(i)=b(p(i))-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1)'; end x(n)=y(n)/LU(n,n); for i=(n-1):-1:1
数值分析
数值分析
一、利用三角分解A LU求解Ax b 设已有 A LU 代入原方程 Ax b 得
LUx
b
LY Ux
b Y
第一步 : 求解下三角方程组LY b,向前回代求出
Y ( y1, y2 ,L , yn )T
1
y1 b1
y1 b1
l21
1
y2
b2
k 1
yk bk lkj y j (k 2, 3,L , n)
U
0 0 11 7
数值分析
数值分析
L2 P2 L1P1 A U , A P11L11P21L21U P1 L11P2 L21U 令P P2 P1 PA P2 P1P1 L11P2 L21U P2 L11P2 L21U ， L P2 L11P2 L21
PA LU
1
L
P2 L11P2 L21
x2
d
2
OOO
M M
O
O
cn1
M
M
an bn xn dn
用矩阵表示 Ax d
应用追赶法求解三对角线性方程组。追赶法仍然 保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。充分利用 了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单,得到对三对 角线性方程组的快速解法。
数值分析
数值分析
于是，求解 Ax b x A1b
可化为 x V diag( 1 , 1 ,..., 1 )UTb
1 2 n
数值分析
数值分析
七、 三对角方程组的解法
定义1 若n 阶矩阵A=(aij)的元素满足:对于1<p,q<n的
正整数p、q,有j≥i+p及i≥j+q时，aij=0，则A称为带
状矩阵. 带宽为w=p+q-1。
（1）正交分解 A QR （2）矩阵乘法 b QT b （3）回代求解上三角方程组 Rx b
这种方法没有选主元问题，计算稳定，但计算量略
大，消元法的计算量大约为 大约为 2 n3。
3
1 n3，正交分解法的计算量 3
数值分析
数值分析
(1) A QR
q11 q12 L
Q
q21
q22
L
L L L
LY b
i 1
yi (bi lik yk ) / lii , (i 1, 2,L , n) k 1
(2)求解上三角方程组
LT x Y
n
xi ( yi lki xk ) / lii , (i n, n 1,L ,1) k i 1 数值分析
数值分析
五、利用正交分解A QR求解 Ax b Ax b QRx b Rx QTb，于是可分成三步
z(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*z(i+1:n)')/LU(i,i); x(q(i))=z(i); end
数值分析
数值分析
四、利用Cholesky分解A LLT求解Ax b
A Rnn是对称正定的矩阵，有Cholesky分解式
A LLT代入原方程 LLT x b,可分成两步
(1)求解下三角方程组
数值分析
数值分析
求解 Ly=b, 得 y1=1, y2=1.5, y3=1, y4=0.5 求解 Ux=y , 得 x4=0.3333, x3=-0.3333, x2=-1, x1=-1
数值分析
数值分析
周期三对角方程组的一般形式
b1 c1 a2 b2 c2
x1 d1
x2
d2
数值分析
数值分析
function x=lupqdsv(A,b) n=length(b); [LU,p,q]=lupqd(A); y(1)=b(p(1)); for i=2:n
y(i)=b(p(i))-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1)'; end z(n)=y(n)/LU(n,n);x(q(n))=z(n); for i=(n-1):-1:1
u11 u12 u1n x1 y1
u22
u2n
x2
y2
unn
xnΒιβλιοθήκη yn数值分析数值分析
二、用列主元的三角分解PA LU求解Ax b
Ax
b
PAx
Pb
LUx
Pb
LY
Ux
Pb Y
例：用列主元三角分解求解Ax=b
0 1 1 2
其中A 1 0 0 1 2 1 0 1
0 1
3 2 2
7 2
0
1
2
1 0 0 0
P2
0 0
0 0
0 1
1 0
0 1 0 0
2 1 0 1
P2 L1 P1 A
7 2 1
0 1
1 2 2
12
0
3
2
1
1
L2
27 1
1 7
1
2 1 0 1
L2 P2 L1 P1 A
7 2 0
0 1
1 2
13 7
ck rk ,
k 2, 3,L , n 1
u1 b1, rk ck (k 1, 2,L , n 1) 对k 2, 3,L , n
lk ak uk1 , uk bk lkck1
追赶法的计算过程分为三步
(1)A LU (2)LY d (3)Ux Y
数值分析
数值分析
求解三对角方程组的追赶法 ①计算分解因子阵
数值分析
第三节 用矩阵分解法求解线性方程组
一、利用三角分解A LU求解Ax b 二、用列主元的三角分解PA LU求解Ax b
三、用全主元的三角分解PAQT LU求解Ax b
四、利用Cholesky分解A LLT求解Ax b 五、利用正交分解A QR求解 Ax b 六、利用矩阵奇异值分解A UV T求解Ax b 七、 三对角方程组的解法