高考数学专题19

培优点十九 圆锥曲线综合

1．直线过定点

例1：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C

，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q

两点，且PQ = （1）求C 的方程；

（2）若直线l 是圆228x y +=上的点()2,2处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，设切线的斜率都存在．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】（1）22

184

x y +=；

（2）证明见解析，()2,1． 【解析】（1）由已知，设椭圆C 的方程为()22

2210x y a b a b +=>>，

因为PQ =

(P c -，代入椭圆方程得2222

1c a b

+=，

又因为c e a =

=

，所以212

12b

+=，b c =，所以24b =，2228a b ==， 所以C 的方程为22

184

x y +=．

（2）依题设，得直线l 的方程为()22y x -=--，即40x y +-=， 设()00,M x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，

由切线MA 的斜率存在，设其方程为()11y y k x x -=-，

联立()

112218

4y y k x x x y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩得，()()()2

221111214280k x k y kx x y kx ++-+--=，

由相切得()()()22

2211111682140Δk y kx k y kx ⎡⎤=--+--=⎣⎦

，

化简得()2

21184y kx k -=+，即()22211118240x k x y k y --+-=，

因为方程只有一解，所以11111

22

111

822x y x y x k x y y ===---，所以切线MA 的方程为()1

111

2x y y x x y -=-

-， 即1128x x y y +=，同理，切线MB 的方程为2228x x y y +=，

又因为两切线都经过点()00,M x y ，所以101020

2028

28x x y y x x y y +=+=⎧⎨⎩，所以直线AB 的方程为

0028x x y y +=，

又004x y +=，所以直线AB 的方程可化为()00248x x x y +-=，

即()02880x x y y -+-=，令20

880x y y -=-=⎧⎨⎩，得21x y ==⎧⎨⎩，

所以直线AB 恒过定点()2,1．

2．面积问题

例2：已知椭圆(

)222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1:b

l y x

c =与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1-的直线2l 与线段

AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求四边形ACBD 面积的取值范围．

【答案】（1）22184x y +=；

（2）3232,93⎛⎤

⎥⎝⎦

． 【解析】（1）由椭圆焦距为4，设()12,0F -，()22,0F ，连结1EF ，设12EF F α∠=， 则tan b c

α=，又222a b c =+，得sin b a α=，cos c a α=，

()12122sin9012||sin sin 90F F c a c

e b c a EF EF b c a

a a

αα︒∴=

=====++︒-++， 解得2

2

2a bc c b c =+⇒==，2

8a =，所以椭圆方程为22

184x y +=．

（2）设直线2l 方程：+y x m =-，()11,C x y 、()22,D x y ，

由22184x y y x m +==-+⎧⎪⎨⎪⎩，得22

34280x mx m -+-=，所以122

12

43283x x m m x x +=-=⎧

⎪⎪⎨⎪⎪⎩，

由（1）知直线1l ：y x =

，代入椭圆得A ⎛ ⎝

，B

，得AB =由直线2l 与线段AB 相交于点P

，得m ⎛∈ ⎝，

12CD x =-=

而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥

，12ACBD S AB CD ∴=

⨯=

由m ⎛∈ ⎝，得232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦

3232,93⎛⎤

⎥⎝⎦， ∴四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤

⎥⎝⎦．

3．参数的值与范围

例3：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，点()1,2A 在抛物线C 上，过焦点F 的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点． （1）求抛物线C 的方程以及AF 的值；

（2）记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ，若MF FN λ=u u u u r u u u r ，22

40BM BN +=，求λ的值．

【答案】（1）24y x =，2AF =

；（2）2λ=． 【解析】（1）Q 抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，

12

p

∴

=，则24p =，抛物线方程为24y x =； Q 点()1,2A 在抛物线C 上，122

p

AF ∴=+

=． （2）依题意，()1,0F ，设:1l x my =+，设()11,M x y 、()22,N x y ，