江苏省启东中学-第一学期高三数学期中考试卷

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江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题-f1a10c0eccd84011979c7a0dc55fa7ab

绝密★启用前江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题试卷副标题 xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题 1．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 3．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a ma b ⊥-，则m =_________. 4．已知复数z 满足(1i)34i z +=-（i 是虚数单位），则||z =________.5．化简：tan17tan133(tan17tan13)++=________.6．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= __________. 7．在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是____．8．已知02πα-<<，且5cos 13α=．则2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值为_____.9．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于____.10．设α为锐角，若π3cos()65α+=，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.11．已知函数()((0)6f x sin x cos x πωωω＝＋－＞．若函数()f x 的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的取值集合为______.12．设点O 在ABC ∆所在平面内，若230OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积比为___.13．正方形ABCD 的边长为1，O 为正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为________.14．已知等腰直角三角形ABC 中=2AB AC =，半径为2的圆O 在三角形外与斜边BC 相切，P 为圆上任意一点，且满足AP xAB y AC =+，则x y +的最大值为________.……○…………线_______……○…………线二、解答题 15．已知函数π()2sin()(0)2f x x ωϕωϕ=+><，的图像的一部分如图所示，5(,0)2C 是图像与x 轴的交点，,A B 分别是图像的最高点与最低点且5AB =．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数31()()(,0,22g x f x f x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦的最大值． 16．在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，，()sin cos b ββ=-，，()12c =-．（1）若a b c +=，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//a b c +，求β的值． 17．已知函数()2sin cos sin()sin()44f x x x x x x ππ=-++-. （1）求()f x 的最小值并写出此时x 的取值集合；（2）若[]0,x π∈，求出()f x 的单调减区间；（3）若()0042x x x f x ππ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭为的一个零点，求0cos2x 的值. 18．已知矩形ABCD 所在的平面与地面垂直，点A 在地面上，设AB a =(0)a >，1BC =，AB 与地面成θ角（02πθ<<），如图所示，CE 垂直地面，垂足为E ，点B 、D 到CE 的距离分别为12,h h ，记CE h =．…………装…………○…………线…………○……※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线…………装…………○…………线…………○…… （1）若a =h 的最大值，并求此时的θ值；（2）若12()h h h +的最大值为4，求a 的值．19．启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目,设计方案如下：如图所示的圆O 是圆形湖的边界,沿线段AB ,BC ,CD ,DA 建一个观景长廊,其中A ,B ,C ,D 是观景长廊的四个出入口且都在圆O 上，已知：BC =12百米,AB =8百米,在湖中P 处和湖边D 处各建一个观景亭,且它们关于直线AC 对称,在湖面建一条观景桥APC .观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设ABC α∠=．（1）若观景长廊AD ＝4百米，CD =AB ，求由观景长廊所围成的四边形ABCD 内的湖面面积；（2）当60α=︒时，求三角形区域ADC 内的湖面面积的最大值；（3）若CD =8百米且规划建亭点P 在三角形ABC 区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP 内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时α的值；若没有，请说明理由．20．已知函数1()(cos ),x f x e a x a R -=-+∈．（1）若函数()f x 在[]0,π上存在单调增区间，求实数a 的取值范围；（2）若()02f π=，证明：对于11,2x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--+-->参考答案1．－1【解析】【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i+-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．二【解析】【分析】由点P （tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．【详解】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为二．点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号． 3．-1.【解析】【分析】根据,a b 坐标表示出ma b -r r ，再根据()a ma b ⊥-，得坐标关系，解方程即可.【详解】(1,0),(1,)a b m ==-，(,0)(1,)(1,)ma b m m m m ∴-=--=+-，由()a ma b ⊥-得：()0a ma b ⋅-=，()10a ma b m ∴⋅-=+=，即1m =-.【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则①1221//0a b x y x y ⇔-=；②12120a b x x y y ⊥⇔+=.4．2【解析】【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据模长的概念即可得出结果．【详解】复数z 满足(1i)34i z +=-（i 为虚数单位）， ∴()()()()341341711122i i i z i i i i ---===--++-，则2z ==，故答案为2. 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．1【解析】【分析】逆用两角和的正切公式：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-即可求得答案．【详解】∵()tan13tan17tan 30tan 13171tan13tan17︒+︒︒=︒+︒==-︒︒∴)tan13tan171tan13tan17︒+︒=-︒︒，∴)tan13tan17tan13tan171︒︒+︒=．故答案为1.【点睛】本题考查两角和的正切函数公式的在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，逆用公式是关键，属于中档题．6．6425【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系把1换成22sin cos αα+，22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+，分子分母同时除以2cos α，最后把tan α的值代入即可求得答案．【详解】22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+ 2231414tan 644.tan 125314αα⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即答案为6425. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．7【解析】由题可知：1sin sin 22AB AC A A ⋅⋅==，又为锐角三角形，所以60A =，由余弦定理222cos 2b c a A a BC bc+-=⇒==8．2316- 【解析】【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求sin α和tan α，根据诱导公式化简所求后即可代入求值．【详解】 ∵02πα-<<，且5cos 13α=， ∴12sin 13α=-，12tan 5α=-， ∴12232cos()3sin()2cos 3sin 23tan 235124cos()sin(2)4cos sin 4tan 1645παπαααααπαααα⎛⎫-+⨯- ⎪--+-+-+⎝⎭====--+---+，故答案为2316-. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用，三角函数齐次式值的求法，属于基础题.9．32【解析】【分析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，求出ω的范围得到答案．【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，而x ω的取值范围是[]34ωπωπ-，，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-， ∴232k ωπππ-≤-+，且 242k ωπππ≥-+，k Z ∈，∴3 62k ω-≤，82k ω≥-，k Z ∈， ∵0>ω， ∴ω的最小值等于32，故答案为32．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力，属于中档题.10．50【解析】【分析】由条件求得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用二倍角公式求得sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再根据221234sin sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式计算求得结果．【详解】∵α为锐角，π3cos()65α+=，∴465sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴24sin 22sin cos 36625πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 27cos 22cos 13625ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故sin 2sin 21234πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2cos cos 2sin 3434ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24725225250=⋅+⋅=50. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．11．154,,363⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】()1sin cos sin cos sin 6226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x π=是一条对称轴，2=+62k πππωπ∴-，得()1=+32kk Z ω∈，又()f x 在区间44，ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调， 2T ππω∴=≥，得2ω≤，且462{462πππωπππω--≥--≤，得403ω<≤，154=363ω∴，，，集合表示为154363⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，。

江苏省启东中学高三数学上学期期中考试理选修【会员独享】

江苏省启东中学2012届高三期中考试数学试题（选修）2011．11参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1．已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ ．2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3．命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4．有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 ▲ .5．设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .6．给出如下10个数据：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68．根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.566.5，）这组所对应的矩形的高为 ▲ ．7．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .8．如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．设x y >，xy λ=（λ为常数），且22x y x y +-的最小值为λ= ▲ .11．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅,, , 时，观察下列等式： 211122S n n =+，322111S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .12．已知正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ．13．设函数e x y =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .14．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , , 且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．16．(本小题满分14分)在如图所示的多面体中，11//AA BB ，11CC AC CC BC ⊥⊥，．（1）求证：1CC AB ⊥；（2）求证：11//CC AA ．17．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N , 的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值；（2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．1l2l DABC1l2lDABC（图甲）（图乙）BA1A1B1CC19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．（1）已知1()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．2012届高三年级期中考试数学（选修历史）2011．11参考答案及评分细则一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1．已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B =U ▲ ． 2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ .3．命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4．有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 ▲ .5．设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .6．给出如下10个数据：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68．根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.566.5，）这组所对应的矩形的高为 ▲ ．7．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .8．如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲. 9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种） 10．设x y >，xy λ=（λ为常数），且22x y x y+-的最小值为λ= ▲ .11．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+,当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式： 2111S n n =+，322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .12．已知正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ．（锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）13．设函数e x y =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .14．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .【填空题答案】1. {}1 9，；2. ；3. 0 sin x x x ∀>>，；4. 35 ；；6. 15； 7. (01), ； 8. 8 361，； 9. 充分不必要； 10. 1 ；11. 14；； 13. 6- ； 14. )2⎡-⎣ . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , , 且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,()BC x y =, , ………………………2分因为//AD BC ，所以(4)x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分（2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++，，(2 3)BD BC CD x y =+=--，， ………………6分因为AC BD ⊥，所以(6)(2)x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =，，(0 4)BD =-，，则1=162A B C D S A C B D =四边形 …………………12分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162A B C DS A C B D=四边形 …………………14分所以，四边形ABCD 的面积为16．16．(本小题满分14分)在如图所示的多面体中，11//AA BB ，11CC AC CC BC ⊥⊥，．（1）求证：1CC AB ⊥；（2）求证：11//CC AA ．【证】（1）因为1CC AC ⊥，1CC BC ⊥，又AC BC C =I ，AC BC ⊆、平面ABC ，所以1CC ⊥平面ABC ， …………………………4分而AB ⊆平面ABC ，所以1CC⊥； …………………………………………………………………………………6分（2）因为11//AA BB ，又1AA ⊄平面11BB C C ，1BB ⊆平面11BB C C ，所以1//AA 平面11BB C C ， ………………………………………………………………………10分而1AA ⊆平面11ACC A ，平面11BB C C I 平面111ACC A CC =，BA1A1B1CC（第16题图）所以11//CC AA ． …………………………………………………………………………………14分17．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N , 的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值；（2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>，化简得()sin ωπ+4 ………………………………………………………………………2分因为0ω>，所以()minωπ3π+=44，即min ωπ=2，所以，T 的最大值为8． …………………………………………………………………………6分（2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+ ()22222sin cos 2sin cos x x x x ωωωω=+-()212sin cos x x ωω=- 211sin 22x ω=-()11cos4122x ω-=-13cos 444x ω=+(0)ω>， (10)分因为244T ωπ==，所以8ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos x f x π==+，所以3(1)f =．……………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin 60αα=-，………………………………………2分解得t a α=4分所以，养殖区的面积()()22231sin6091sin6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=； ………………6分（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈，，则AB 与2l 所成夹角为()180θα-+，对菱形AB的边长“算两次”得()36sin 180θα=-+，……………………………………8分 1l2lDABC1l2lDABC（图甲）（图乙）解得s i ta 2cθαθ=+，……………………………………………………………………………10分所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9θθ+=，………………12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得 4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． ………………………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．（1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为()f x =是[)0 +∞，上的正函数，且()f x =在[)0 +∞，上单调递增，所以当[]x a b ∈，时，()() fa a fbb⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即a b =，，…………………………………………………3分解得0 1a b ==，，故函数()f x 的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分（2）因为函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的减函数，所以当[] x a b ∈，时，()() g a bg b a⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22 a m b b m a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，…………………………………………………7分两式相减得22a b b a -=-，即()1b a =-+， ……………………………………………………9分代入2a m b +=得210a a m +++=，由0a b <<，且()1b a =-+得112a -<<-， ……………………………………………………11分故关于a 的方程210a a m +++=在区间()11 --，内有实数解，………………………………13分记()21h a a a m =+++，则()()10 10 2h h ->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()31 4m ∈--，． ……………………………………………………………16分20．(本小题满分16分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）．因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==．而且当2n ≥时，2n n a S +=， ①112n n a S --+=， ②①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列． ………………………………………………4分【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．(ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数），当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．…9分(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S 的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列． ……………………………………16分。

江苏省启东市06-07学年上学期高三期中测试(数学)

江苏省启东市2006—2007学年度第一学期高三期中测试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分；每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y ｜y ＝x 2＋2x ＋2,x ∈R }，集合N ＝{x ｜y ＝log 2（4－x ），y ∈R }，则集合M ∩N 为A ．（2,＋∞）B ．（－∞，3）C ．（1,3）D ．[)4,12．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于 A ．0B ．2C ．－2D ．2tan α3．平在向量a ＝（x,y ），b ＝（x 2, y 2），＝（1,1），＝（2,2），若·＝·＝1，则这样的向量有 A ．1个B ．2个C ．多个2个D ．不存在4．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 3＋a 7＋a 11为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 135．有容积相等的桶A 和桶B ，开始时桶A 中有a 升水，桶B 中无水，现把桶A 的水注入桶B ，t 分钟后，桶A 的水剩余y 1＝am t （升），其中m 为正常数，假设5分钟时，桶A 和桶B 的水相等，要使桶A 的水有16a升，必须再经过 A ．12分钟B ．13分钟C ．14分钟D ．15分钟6．函数y ＝x 21log 的定义域为［a , b ］，值域为［0,2］，则区间［a , b ］的长度为b －a 的最小值是 A ．3B ．43C ．2D ．237．已知圆C 关于y 轴对称，经过点（1,0），且被x 轴分成两段弧长之比为1:2，则圆C 的方程为 A ．34)33(22=+±y xB ．31)33(22=+±y x C ．34)33(222=+±+y y xD ．31)33(222=+±+y y x 8．设双曲线的左、右焦点为F 1、F 2，左、右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切民边F 1F 2的切点的位置是A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能9．若动点P 的横坐标为x ，纵坐标为y 使lg y 、lg ｜x ｜、lg 2xy -成公差不为零的等差数列，则点P 的轨迹图形是10．已知点F 1（－4,0）,F 2（4,0）,又P （x , y ）是曲线13||5||=+y x 上的，则 A ．｜PF 1｜＋｜PF 2｜＝10 B ．｜PF 1｜＋｜PF 2｜<10 C ．｜PF 1｜＋｜PF 2｜≤10D ．｜PF 1｜＋｜PF 2｜≥10第Ⅱ卷（选择题共100分）11．函数y ＝x 2＋2x 在[－4,3]的最大值为________．12．在算式“1×□＋4×□=30”的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为________．13．已知两P （－1,1）,Q （2,2），若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 没有公共点．．．．．，则m 的取值范围是________．14．已知抛物线y 2＝4x ，过点p （4,0）的直线与抛物线相交于A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）两点，则y 12＋y 22的最小值值是_______．15．已知函数f （x ）＝2sin x ，g （x ）＝sin （x -2π），直线x ＝m 与f （x ）、g （x ）的图象分别交于M 、N 点，则｜MN ｜的最大值是_______．16．设O 为坐标原点，A （2,0），P （x , y ）坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y x ，则｜OP ｜cos ∠AOP的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点p （3,－1），若此圆过点p 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．18．（本题满分14分）已知二次函数y ＝f （x ）的图像与x 轴交于A ，B 两点，且｜AB ｜＝23,它在y 轴上的截距为4．又对任意的x 都有f （x ＋1）＝f （1－x ）．（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图像都在直线l : y ＝x ＋c 的下方，求c 的取值范围．19．（本题满分14分）已知n OP ＝（2n ,2n），n ∈N ＋，O 为坐标原点．（1）设＝1OP ＋2OP ＋3OP ＋…＋n OP ，求P 的坐标；（2）求动点P n 的轨迹方程；（3）动点P n 的轨迹上有连续三点P n ，P n ＋1，P n ＋2，求△P n P n ＋1P n ＋2的面积S n ．20．（本题满分14分）如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面4 m ，已在水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点p 0）开始计算时间．（1）将点p 距离水面的高度z （m ）表示为时间t （s ）的函数；（2）点p 第一次到达最高点大约需要多少时间？21．（本题满分16分）已知函数 f （x ）＝a1+x （a ≠0）,对于定义域内任意x 1,x 2（x 1≠x 2），不等式)2(2)()(2121xx f x f x f +>+恒成立．（1）求a 的取值范围；（2）设函数f （x ）＝a 1+x （a≠0）图像上任意不同的三点A ，B ，C ，其横坐标成等差数列，试证明△ABC 是钝角三角形且不是等腰三角形．数学试题参考答案一、选择题1．D 2．A 3．A 4．D 5．D 6．B 7．C 8．C 9．B 10．C 二、填空题11．15 12．10．5 13．m <31-或m >2114．32 15．5 16．5 三、解答题17．切点为p （3,－1）的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x －y ＝10…………3分∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称 …………7分 ∴两渐近线方程为3x ±y ＝0…………9分设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ，λ（λ≠0）． ∵点p （3,－1）在双曲线上，代入上式可得λ＝80∴所求的双曲线方程为8098022y x -＝1 …………12分18．（1）∵f （x ＋1）＝f （1－x ）又f （x ）为二次函数∴可设f （x ）＝a （x －1）2＋k ,（a ≠0）…………2分又当x ＝0时y ＝4 ∴a ＋k ＝4得f （x ）＝a （x －1）2－a ＋4 令f （x ）＝0得a （x －1）2＝a －4，∴｜AB ｜＝2aa 4- …………6分 ∵｜AB ｜＝23，∴a ＝－2即f （x ）＝－2（x －1）2＋6＝－2x 2＋4x ＋4…………8分解法二：令二次函数y ＝f （x ）的图像与x 轴交于A （x 1,0），B （x 2,0），……1分则x 1＋x 2＝2，x 2－x 1＝23，得x 1＝1－3，x 2＝1＋3, …………3分设二次函数f （x ）＝a ［x －（1－3）］［x －（1＋3）］ …………5分又f （0）＝4得a ＝－2…………7分则f （x ）＝－2（x －1）2＋6＝－2x 2＋4x ＋4…………8分（2）由条件知－2x 2＋4x ＋4<x ＋c…………10分即2x 2－3x －4＋c >0对x ∈R 恒成立△＝9＋8（4－c ）>0…………12分使c >841 ∴c 的取值范围是（841，∞） …………14分19．（1）设P （x , y ）则x ＝2（1＋2＋3＋4＋…＋n ），y ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n 即所求P 的坐标为（n （n ＋1），2n ＋1－2）n ∈N ．（2）令P n （x n ，y n ）则⎩⎨⎧==nn n y n x 22 n ∈N ＋，消去n 得轨迹方程y －2x ＝0，x ∈N ＋且x 为偶数…………8分（3）如图，所求面积为22)232(2)22(22)22(412⨯⨯+--⨯--⨯++n n n n n n即S ＝6×2n －2n －4×2n ＝2n ，n ∈N ， …………14分20．（1）如图建立直角坐标系，设角φ)02(<<-φπ是以ox 为始边，op 0为终边的角，op每分钟内所转过的角为t 6)6025(ππ＝⨯，得z ＝4sin 2)6(++φπt 当t ＝0时，z ＝0,得sin φ＝－21，即φ＝6π…………8分故所求的函数关系式为z ＝4sin )66(ππ-t ＋2…………9分（2）令z ＝4sin )66(ππ-t ＋2＝6，得sin )66(ππ-t ＝1取266πππ=-t ，得t ＝4…………13分故点P 第一次到达最高点大约需要4S…………14分21．（1）因为定义域[)∞-,1所以设－1≤x 1<x 2…………2分得x 1＋1≥0,x 2＋1>0,由基本不等式可得（x 1＋1）＋（x 2＋1）>2)1)(1(21++x x 即2［（x 1＋1）＋（x 2＋1）］>（x 1＋1）＋（x 2＋1）＋2)1)(1(21++x x可化为212122121+++>+x x x x …………6分又∵)2(2)()(2121x x f x f x f +>+即a （212121+++x x ）>a 1221++x x（2）证明：设A （x 1，a ），B （x 2，a 12+x ）,C （x3，a 13+x ），不妨令－1≤x 1<x 2<x 3，其中x 1，x 2，x 3成等差数列，则＝（x 1－x 2，a （11+x －12+x ）），＝（x 3－x 2，a （13+x －12+x ）） ·＝（x 1－x 2）（x 3－x 2）＋a 2［（11+x －12+x ）（13+x －12+x ）］ ∵－1≤x 1< x 2< x 3，∴11+x <12+x ，13+x >12+x即BA ·BC <0，所以角B 为钝角，△ABC 是钝角三角形………12分若△ABC 是等腰三角形，则只有B Ａ＝BC ，｜｜＝｜｜｜｜2＝（x 1－x 2）2＋a 2（11+x －12+x ）2｜｜2＝（x 3－x 2）2＋a 2（13+x －12+x ）2因为x 1，x 2，x 3成等差数列，所以x 1－x 2＝x 2－x 3，又a 2>0，从而得（11+x －12+x ）2＝（13+x －12+x ）2 ………14分化简得x 1＝x 2，或x 22＝x 1·x 3 若x 1＝x 2，则与x 1<x 2矛盾，若x 22＝x 1·x 3，又2x 2＝x 1＋x 3，得x 1＝x 2＝x 3，也与－1≤x 1<x 2<x 3矛盾故△ABC 不是等腰三角形综上所述，△ABC 是钝角三角形且不是等腰三角形．…………16分。

江苏省启东中学高三数学上学期期中考试Ⅰ 文选修【会员独享】

江苏省启东中学2012届高三期中考试数学试题Ⅰ（选修）2011．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1．已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3．命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4．设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6．已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7．若集合{}22011x x <()a ⊆-∞,，则整数a 的最小值为 ▲ . 8．如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅,, , 时，观察下列等式： 211122S n n =+，322111S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e x y =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤ {}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , , 且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（第11题图）（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N , 的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值；（2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b B c的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．1l2lDABC1l2lDABC（图甲）（图乙）19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．（1）已知1()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．2012届高三年级期中考试数学Ⅰ（选修物理）2011．11参考答案及评分建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1．已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B =U ▲ .2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3．命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4．设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()f x =式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6．已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a = ▲.7．若集合{}22011x x <()a ⊆-∞,，则整数a 8．如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、372、327、354、361、345、337，则打印出的第59． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+= （在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+,当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式： 211122S n n =+，322111S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .（第11题图）12．已知函数e x y =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .【填空题答案】1. {}1 9，；2. ；3. 0 sin x x x ∀>>，；； 5. (01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 14；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡-⎣ ； 14. 1 . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , , 且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,()BC x y =, , ………………………2分因为//AD BC ，所以(4)x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分（2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++，，(2 3)BD BC CD x y =+=--，， ………………6分因为AC BD ⊥，所以(6)(2)x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =，，(0 4)BD =-，，则1=162A B C D S A C B D =四边形 …………………12分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162A B C DS A C B D=四边形 …………………14分所以，四边形ABCD 的面积为16．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ．（1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值；（2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>，化简得()sin ωπ+4 ………………………………………………………………………2分因为0ω>，所以()minωπ3π+=44，即min ωπ=，所以，T 的最大值为8．…………………………………………………………………………6分（2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+ ()22222sin cos 2sin cos x x x x ωωωω=+-()212sin cos x x ωω=- 211sin 22x ω=-()11cos4122x ω-=-13cos 444x ω=+(0)ω>， (10)分因为244T ωπ==，所以8ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos 424x f x π==+，所以3(1)4f =．……………………………………………………14分17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b B c的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．【解】（1）由222b ac bc =-+得2221cos 22b c a A bc +-==，在△ABC 中，A π=3， ……………………………………………………………………………3分由2b ac =得sin sin b B a B c c =，由正弦定理得sin sin a B A =，所以，s i n b B c ………………………………………………………………………………7分（2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分由222b ac a c bc ==-+知不失一般性，可设1c =，则221b a a b ==+-，消去a 得241b b b =+-，即32(1)(1)0b b b -++=，所以1b =，1a =，即证．…………………………………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-，………………………………………1l2l DABC1l2lDABC（图甲）（图乙）2分解得t a α=4分所以，养殖区的面积()()22231sin6091sin6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=； ………………6分（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈，，则AB 与2l 所成夹角为()180θα-+，对菱形AB的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+，……………………………………8分解得s i ta 2cθαθ=+，……………………………………………………………………………10分所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9θθ+=，………………12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得 4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． ………………………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．（1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为()f x=是[)0+∞，上的正函数，且()f x=在[)0+∞，上单调递增，所以当[]x a b∈，时，()()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即ab=，，…………………………………………………3分解得01a b==，，故函数()f x的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分（2）因为函数2()g x x m=+是() 0-∞，上的减函数，所以当[]x a b∈，时，()()g a bg b a⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22a m bb m a⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，…………………………………………………7分两式相减得22a b b a-=-，即()1b a=-+，……………………………………………………9分代入2a m b+=得210a a m+++=，由0a b<<，且()1b a=-+得112a-<<-，……………………………………………………11分故关于a的方程210a a m+++=在区间()11--，内有实数解，………………………………13分记()21h a a a m=+++，则()()10102hh->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()314m∈--，．……………………………………………………………16分20．(本小题满分146分)设()kf n为关于n的k()k∈N次多项式．数列{a n}的首项11a=，前n项和为nS．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）．因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==．而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列． ………………………………………………4分【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数），当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④ ③－④得12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．…9分(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列． ……………………………………16分。

江苏省启东中学高三数学上学期期中考试Ⅱ 文选修

江苏省启东中学高三期中考试数学试题Ⅱ（选修）附加题部分21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B , ，AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、、、四点共圆． B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π ，求以OP 为直径的圆的极坐标方程． D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>，若棱1C C 上存在点P满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．PABCD 1A 1B 1C 1D MPABOC D（第21—A 题）23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．数学Ⅱ（选修物理）附加题部分参考答案及评分细则21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B , ，AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、、、四点共圆．【证明】因为PA ，PB 为圆O 的两条切线，所以OP 垂直平分弦AB ，在Rt OAP ∆中，2OM MP A⋅=， …………………………4分在圆O 中，AM BM CM DM ⋅=⋅，所以，O ⋅=⋅， …………………………8分 MPABOC D （第21—A 题）又弦CD 不过圆心O ，所以O C P D , , , 四点共圆． ………………………10分B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．【解】由题意得0110000002011mn m n⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, , …………………………6分化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩,, ,,所以12m n =⎧⎨=⎩,. …………………………10分 C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π ，求以OP 为直径的圆的极坐标方程．【解】设点()Q ρθ,为以OP 为直径的圆上任意一点，在Rt OQP ∆中，()4ρθπ=-，故所求圆的极坐标方程为()2c o s 4ρθπ=-． …………………………10分D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【证明】由2123a ab b --++=得()2113ab a b --=+-， …………………………3分又正实数a ，b满足1a b -+≥，PABCD1A 1B 1C 1D （第22题图）（第22题图）y即1ab -≤()214a b -+，（当且仅当a b =时取“=”） …………………………6分所以()213a b -+-≤()214a b -+，即证1a b -+≤2． …………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>，若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．【解】如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD , , 分别为x y z , , 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()000D ,, ，()110B , , ，()110A λ, , ，设()01P x ,, ，其中[]0x λ∈, ， …………………………3分因为1A P ⊥平面PBD ，所以10A P BP ⋅=，即()()11100x x λ--⋅-=,, , , ， …………………………化简得210x x λ-+=，[]0x λ∈,， …………………………故判别式24λ∆=-≥0，且0λ>，解得λ≥2． …………………………10分 23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=，所以，2222nn n A =⨯⨯个相乘； …………………………4分（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠，所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-，设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤, , ，不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）；同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， …………………………6分又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，所以，12C 2n nn n nB --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+…………………………8分11222(2+C 2C 2C )22n n n n nn n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯2(12)22n n =+-⨯2(32)n n =-． …………………………10分。

江苏省南通市启东市2019-2020学年高三上学期期中数学试题(解析版)

2019～2020学年第一学期期中素质调研测试高三数学（Ⅰ）试题参考公式：柱体的体积公式V ＝Sh ，其中S 为底面面积，h 为高；锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}21A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =____．【答案】{}1,0- 【解析】【分析】根据交集的定义可得出集合A B .【详解】{}21A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，因此，{}1,0A B ⋂=-.故答案为：{}1,0-.【点睛】本题考查集合交集的计算，主要考查对集合交集定义的理解，考查计算能力，属于基础题. 2.函数()sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为____．【答案】23【解析】【分析】根据正弦型函数的周期公式可求出函数()y f x =的最小正周期. 【详解】由题意可知，函数()sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2233ππ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，解题时要熟悉正弦型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.3.“3x >”是“2320x x -+>”的____条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）【答案】充分不必要【解析】【分析】解不等式2320x x -+>，根据集合的包含关系判断出两条件的充分不必要条件关系. 【详解】解不等式2320x x -+>，解得1x <或2x >. 因此，“3x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查充分不必要条件关系的判断，同时也考查了一元二次不等式的解法，一般转化为集合的包含关系来处理，考查运算求解能力与推理能力，属于基础题.4.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 2sin a B b A =，则cos B =______．【解析】【分析】利用边角互化思想求出cos 2sin B B =，可得出cos 0B >，再结合22cos sin 1B B +=可求出cos B 的值. 【详解】cos 2sin a B b A =Q ，由正弦定理得sin cos 2sin sin A B B A =，sin 0A >，cos 2sin B B ∴=，又sin 0B >Q ，cos 0B ∴>，由题意得22cos 2sin cos sin 1cos 0B B B B B =⎧⎪+=⎨⎪>⎩，解得cos 5B =.. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查运算求解能力，属于基础题.5.记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，122a a +=，454a a +=，则96S S =_______．【答案】73【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用已知条件求出3q 的值，再利用等比数列的求和公式可求出96S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得()()12134511214a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨+=+=⎪⎩，上述两个等式相除得32q =，所以，()()()()9133939262636111112711123111a q q S q qS q a q q q-----=====-----. 故答案为：73. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.6.如图所示，长方体1111ABCD A B C D -的体积为24，E 为线段1B C 上的一点，则棱锥1A DED -的体积为______．【答案】4 【解析】【分析】先证明出1//B C 平面11AA D D ，可得出三棱锥1E ADD -的高等于CD ，然后利用锥体的体积公式可求出三棱锥1E ADD -的体积.【详解】设矩形11AA D D 的面积为S ，CD h =，则长方体1111ABCD A B C D -的体积为24Sh =. 在长方体1111ABCD A B C D -中，平面11//BB C C 平面11AA D D ，1B C ⊂平面11BB C C ，1//B C ∴平面11AA D D ，1E B C ∈Q ，所以，三棱锥1E ADD -的高等于CD .1ADD ∆的面积为12S ，所以，三棱锥1E ADD -的体积为111112443266E ADD V S h Sh -=⋅⋅==⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，在解题时一般要找出合适的底面，并利用等体积法进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7.已知函数()1ln 2f x x x m =-+的最小值为1，则m =_____．【答案】ln 2 【解析】【分析】利用导数求出函数()y f x =的最小值，结合题中条件可求出实数m 的值. 【详解】函数()1ln 2f x x x m =-+的定义域为()0,∞+，且()11222x f x x x-'=-=，令()0f x '=，得2x =.当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在2x =取得极小值，亦即最小值，即()()min 21ln 21f x f m ==-+=，因此，ln 2m =.故答案为：ln 2.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，要熟悉函数的最值与导数的关系，考查计算能力，属于中等题.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x -=．若当01x ≤≤时，()2cos2xxf x π=-，则()2019f =_____. 【答案】2- 【解析】【分析】利用题中定义推导出函数()y f x =的周期为4，然后利用周期性和奇函数的性质求出()2019f 的值. 【详解】函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，()()()22f x f x f x =-=--Q ，()()()()42f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦.所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，则()()()()1201945051112cos22f f f f π⎛⎫=⨯-=-=-=--=- ⎪⎝⎭. 故答案为：2-.【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，解题的关键就是利用题中定义推导出函数的周期，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9.若02πα-<<，1cos 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos2=α______．【答案】9- 【解析】【分析】求出4πα-的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用二倍角的正弦公式可计算出cos 2sin 22παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值.【详解】02πα-<<Q ，3444πππα<-<Q，sin 04πα⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭因此，1cos 2sin 22sin cos 2244339πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：9-. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式求值，解题时要求出角的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.10.如图，在平面四边形ABCD 中，2CAD π∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E 、F 分别为边BC 、CD的中点，则AE AF ⋅=______．【答案】6-【解析】【分析】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系xAy ，计算出AE 、AF 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出AE AF ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,1F -、(3,E -，()2,1AF ∴=-uu u r，(3,AE =-uu u r ，因此，()()(2316AE AF ⋅=-⨯-+⨯=uu u r uu u r.故答案为：6【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线3y x =上，该曲线在点A 处的切线l 与x 轴交于点B ．若A C x⊥轴，垂足为C ，且BC 长为1，则切线l 的斜率为______．【答案】27 【解析】【分析】设点()3,A t t，利用导数求出直线l 的方程，可求出点B 的坐标，由题意得出点C 的坐标为(),0t ，利用题中条件求出t 的值，由此可得出切线l 的斜率. 【详解】设点()3,A t t，对于函数3y x =，则23y x'=，所以，切线l 的方程为()323y t t x t -=-，即2332y t x t =-，令0y =，得23t x =，则点B 的坐标为2,03t ⎛⎫⎪⎝⎭，易知点C 的坐标为(),0t ， 2133t tBC t =-==，得3t =，因此，切线l 的斜率为2233327t =⨯=.故答案为：27.【点睛】本题考查函数切线方程的应用，解题时要熟悉导数求切线方程的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数()254,188,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，则不等式()()2f x f x +>的解集是_____．【答案】()(),03,-∞+∞U 【解析】【分析】分21x x <+≤，12x x ≤<+、21x x +>>三种情况分类讨论，结合函数()y f x =的解析式解不等式()()2f x f x +>，可得出该不等式的解集.【详解】()254,188,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩.①当21x +≤时，即当1x ≤-时，由()()2f x f x +>，得()52454x x +->-，整理得100>，该不等式恒成立，此时，1x ≤-；②当121x x ≤⎧⎨+>⎩时，即当11x -<≤时，由()()2f x f x +>，得()()2282854x x x +-++>-，整理得290x x ->，解得0x <或9x >，此时10x -<<；③当1x >时，由()()2f x f x +>，得()()2f x f x +>，即()()22282888x x x x +-++>-+，整理得4120x ->，解得3x >，此时3x >.综上所述，不等式()()2f x f x +>的解集是()(),03,-∞⋃+∞. 故答案为：()(),03,-∞⋃+∞.【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，解题时要对自变量所满足的范围选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 13.若函数()()30,1xf x a xa a =->≠有两个不同的零点，则a 的取值范围是_______．【答案】3e 1,e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】令()0f x =，得出3x a x =，可得出0x >，在等式两边取自然对数得ln 3ln x a x =，可得出3ln ln xa x=，将问题转化为直线ln y a =与函数()3ln xg x x=的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出ln a 的取值范围，可解出实数a 的取值范围.【详解】令()0f x =，得出30x a x =>，则0x >，在等式3x a x =两边取自然对数ln 3ln x a x =，可得出3ln ln x a x =，构造函数()3ln xg x x=，则问题转化为直线ln y a =与函数()3ln xg x x=的图象有两个交点.()()231ln x g x x-'=，令()0g x '=，得x e =. 当0x e <<时，()0g x '>；当x e >时，()0g x '<.所以，函数()y g x =的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞.所以，函数()y g x =在x e =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 3g x g e e==. 如下图所示，当30ln a e <<时，即当31e a e <<时，直线ln y a =与函数()3ln xg x x=的图象有两个交点，即函数()3xf x a x =-有两个不同的零点，因此，实数a 的取值范围是31,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：31,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数求解函数的零点个数问题，在含单参数的函数零点个数问题，一般利用参变量分离法转化为两个函数图象的交点个数问题，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 14.如图，在ABC ∆中，D 、E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos B 的最小值为_________．【解析】分析】用BA 、BD 表示AC 、AD 、AE ，然后利用2AB AD AC AE ⋅=⋅，利用平面向量的数量积的运算律以及数量积的定义得出cos B 的表达式，然后利用基本不等式可求出cos B 的最小值.【详解】D Q 、E 是BC 上的两个三等分点，3A C B C B A B D B A ∴=-=-uuu r uuu r uur uuu r uur ，AD BD BA =-uuu r uu u r uu r，2AE BE BA BD BA =-=-uu u r uur uu r uu u r uu r ，()2AB AD BA BD BA BA BA BD ⋅=-⋅-=-⋅uu u r uuu r uu r uu u r uu r uu r uu r uu u r ，()()223265AC AE BD BA BD BA BD BD BA BA ⋅=-⋅-=-⋅+uuu r uu u r uu u r uu r uu u r uu r uu u r uu u r uu r uu r ，2AB AD AC AE ⋅=⋅uu u r uuu r uuu r uu u r Q ，即22212102BA BA BD BD BD BA BA -⋅=-⋅+u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u r ，221299cos BA BD BD BA BD BA B ∴+=⋅=⋅⋅uu r uu u r uu u r uu r uu u r uu r，可得2212cos 9BA BD B BA BD +=⋅uu r uu u r uu r uu u r ，由基本不等式得1211cos 999BA BD B BD BA ⎛⎫ ⎪=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭uu r uu u r uu u r uu r. 因此，cos B 的.. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算夹角余弦值的最值，考查了利用基本不等式求最值，解题的关键就是找出合适的基底表示向量，并根据题中条件建立代数式求解，考查运算求解能力，属于中等题.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠=o ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，可得出点O 为BD 的中点，由中位线的性质得出//OE PB ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//PB 平面AEC ；（2）由90PAB ∠=o ，可得出PA AB ⊥，由平面与平面垂直的性质定理可得出PA ⊥平面ABCD ，再利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面PAC ⊥平面ABCD ．【详解】证明：（1）连BD ，交AC 于点O ，连OE.因为底面ABCD 是平行四边形，所以O 为BD 的中点，因为E 为棱PD 的中点，所以//OE PB ，又因为OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；（2）90PAB ∠=o Q ，PA AB ∴⊥，因为平面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD .【点睛】本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的证明，在遇到平面与平面垂直时，一般利用平面与平面垂直的性质定理转化为直线与平面垂直，考查推理能力，属于中等题.16.已知3a x π⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎭r ，()sin ,1b x =r ，5,66x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. （1）若a =r ，求cos2x 的值；（2）求函数()f x a b =⋅的单调区间和值域．【答案】（12）单调增区间2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，单调减区间5π2π,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．值域为[1,0]-．【解析】【分析】（1）利用平面向量的模长公式以及二倍角余弦公式可求出2cos 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值，并求出223x π+的值，利用同角三角函数的基本关系求出2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值，然后利用两角差的余弦公式可求出cos2x 的值；（2）利用两角和余弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由5,66x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦计算出2,063x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由2,632x πππ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦、,062x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦可分别求出函数()y f x =在区间5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间和递增区间，利用正弦函数的性质可得出函数()y f x =的值域.【详解】（1）因为a =r ，所以2103cos 33x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即21cos 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以221cos 22cos 1333x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为5,66x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以22,33x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，因为2cos 203x π⎛⎫+<⎪⎝⎭，所以22,32x πππ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，所以2sin 23x π⎛⎫+=== ⎪⎝⎭ 所以222222cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11132326-⎛⎫=-⨯--=⎪⎝⎭；（2）因为()cos cos cos sin sin 333f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos cos sin 226x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为5,66x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以2,063x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当2,632x πππ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，即52,63x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =单调递减；当,062x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，即2,36x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =单调递增；故函数()y f x =的单调增区间2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，单调减区间52,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．由于[]sin 1,06x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的值域为[]1,0-．【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，同时也考查了三角函数在定区间上的单调区间和值域问题，一般利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17.已知函数()()0,1,0,1xxf x a ba ab b =+>≠>≠是偶函数．（1）求ab 的值；（2）若()()lg 1f x f <，求x 的取值范围．【答案】（1）1；（2）1,1010⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由函数()y f x =为偶函数，结合定义()()0f x f x --=，得出10x x a b -=对任意的x ∈R 恒成立，由此可得出ab 的值；（2）设1a >，利用函数单调性的定义证明出函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，再由偶函数的性质，由()()lg 1f x f <可得出()()lg 1f x f <，利用函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，得出lg 1x <，解出该不等式即可.【详解】（1）因为()y f x =是偶函数，所以对任意实数x ，有()()0f x f x --=，即()()()()()()11x x xxxxxxx xxx x a b f x f x a b a b a b a b a b ab --+--=+-+=+--=+-()()()10x x x x ab a b ab ⎡⎤-+⎣⎦==，所以()()10xx x ab a b ⎡⎤-+=⎣⎦对任意实数x 成立，因为0x a >，0x b >，所以()10xab -=，即()1xab =对任意实数x 成立，所以1ab =；（2）由（1）知1b a =，此时()1xx f x a a=+，因为0a >，1a ≠，0b >，1b ≠，故不妨设1a >，任取120x x ≤<，则()()()12121212121111x x x x x x x x f x f x a a a a a a aa ⎛⎫-=+--=-+- ⎪⎝⎭()()()1212211212121x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a+++---=-+=. 因为120x x ≤<，1a >，所以121x x a a <≤，所以120-<x x a a ，121x x a +>，则1210x x a +->，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以，函数()y f x =在[)0,+∞上单调递增，又因为函数()y f x =是R 上的偶函数，()()lg 1f x f <Q ，则()()lg 1f x f <， lg 1x ∴<，即1lg 1x -<<，解得11010x <<.因此，不等式()()lg 1f x f <的解集为1,1010⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用偶函数的定义求参数、同时也考查了利用函数的单调性解不等式，解题时可充分利用偶函数的性质()()f x fx =，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45，沿倾斜角为α（其中1tan 2α=）后到达D到达山顶B ．（1）求山的高度BE ；（2）现山顶处有一塔38CB km =．从A 到D 的登山途中，队员在点P 处测得塔的视角为()CPB θθ∠=．若点P 处高度PF 为xkm ，则x 为何值时，视角θ最大？【答案】（1）3km ；（2）当34x km =时，视角θ最大. 【解析】【分析】（1）解法一：计算出cos BAD ∠的值，然后在ABD ∆中，过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，利用锐角三角函数的定义求出AB ，然后在ABE ∆中利用锐角三角函数可求出BE ；解法二：过D 作DG AE ⊥于点G ，过D 作DH BE ⊥于点H ，计算出DG 、AG ，设BE h =，可得出1BH h =-，2DH h =-，由勾股定理222BD BH DH =+可解出h 的值，即可得出山高；（2）过P 作PM BE ⊥于M ，计算出tan CPM ∠和tan BPM ∠，利用两角差的正切公式()tan tan CPM BPM θ=∠-∠可得出tan θ关于x 的表达式，通过化简后利用基本不等式可求出tan θ的最大值，利用等号成立求出x 的值，即可得出该问题的解答. 【详解】（1）法一：因为1tan2α=，α是锐角，所以sin α=，cos α=，所以cos cos cos cos sin sin444BAD πππααα⎛⎫∠=-=+=⎪⎝⎭10=，在ABD ∆中，过D 作DM AB ⊥，垂足为M .因为AD BD ==22cos AB AM AD BAD ==∠==在ABE ∆中，cos 453BE AB ==o ，所以山的高度为3km ；法二：过D 作DG AE ⊥于点G ，过D 作DH BE ⊥于点H ，在ADG ∆中，DAG α∠=，1tan2α=，所以sin α=，cos α=，所以sin 1DG AD α===，cos 2AG AD α===. 设BE h =，在直角BDH ∆中，1BH h =-，2DH h =-，由于222BD BH DH =+，所以()()22212h h =-+-因为0h >，所以3h =，所以山的高度为3km ；（2）过P 作PM BE ⊥于M ，因为PF x =，所以2AF x =，因为P 在AD 上，1DG =，所以[]0,1x ∈，所以3tan 32BM x BPM PM x -∠==-，327388tan 3232x xCM CPM PM x x+--∠===--. 所以()tan tan tan tan 1tan tan CPM BPM CPM BPM CPM BPMθ∠-∠=∠-∠=+∠∠()()273383232827273388132323232xx x x x x x x x x x x-----==⎛⎫--- ⎪-⎝⎭+⋅-+---，[]0,1x ∈.令[]321,3t x =-∈，所以322tx -=，则3628tan 15392954278222t t t t t tθ==≤=⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+. 当且仅当94t t=，即[]31,32t =∈时，即34x =时tan θ取得最大值229.所以，当34x km =时，视角θ最大.【点睛】本题考查解三角形中测量高度问题，同时也考查了利用基本不等式来求角的最值，解题的关键在于建立关系式，并对代数式进行化简变形，考查运算求解能力，属于中等题.19.已知函数()()22ln xae f x x a R x x=+-∈．（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间()0,2内有两个极值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值ln21+，无极大值；（2）221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式，求出导数()f x '，解导数方程()0f x '=，然后列表分析函数()y f x =的单调性，可得出函数()y f x =的极值；（2）求出导数()()()2xx ae x f x x='--，构造函数()xg x x ae =-，问题转化为函数()y g x =在区间()0,2上有两个零点，对参数a 进行分类讨论，利用导数分析()y g x =在区间()0,2上的单调性与极值，根据题意得出关于a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）因为0a =，所以()2ln f x x x=+，所以()22122x f x x x x='-=-，令()0f x '=得2x =．列表如下：因此，当2x =时，()y f x =有极小值()2ln 21f =+，无极大值；（2）因为()()()()2332212x x x ae x ae x f x x x x x---='=-- 由02x <<，得320x x-<，记()xg x x ae =-，()0,2x ∈，因为()y f x =在区间()0,2内有两个极值点，所以()y g x =在区间()0,2内有两个零点，所以()1xg x ae ='-且0a >，令()0g x '=，则ln x a =-.①当ln 0a -≤，即1a ≥时，()0g x '<，所以()y g x =在()0,2上单调递减，至多与x 轴有一个交点，不满足题意；②当ln 2a -≥，即210a e<≤时，()0g x '>，所以()y g x =在()0,2上单调递增，至多与x 轴一个交点，不满足题意；； ③当0ln 2a <-<时，即211a e <<时，()y g x =在()0,ln a -上单调递增，在()ln ,2a -上单调递减. 由()00g a =-<，要使()y g x =在区间()0,2内有两个零点，必须满足()()()max 2ln ln 10220g x g a a g ae ⎧=-=-->⎪⎨=-<⎪⎩，解得221a e e <<，综上所述，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，解题关键就是将极值点转化为函数的零点来处理，在求解时可以利用分类讨论思想以及参变量分离法求解，考查化归与转化思想，属于中等题.20.数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．已知对任意的N n *∈，存在实数p 、q 满足2n n S pa qn =+．（1）若2n a n =，求p 、q 的值；（2）若1a 、2a 、3a 成等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．【答案】（1）1,14p q ==.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，然后由条件2n nS pa qn =+可求出p 、q 的值；（2）设数列1a 、2a 、3a 的公差为0d ≥，由21122233223S pa qS pa q S pa q⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩经过变形后得出0p =或1a d =，然后分0p =和1a d =两种情况讨论，结合等差数列的定义证明出数列{}n a 是等差数列. 【详解】（1）因为2n a n =，所以()2222n n n S n n +==+，代入2n nS pa qn =+得，224n n pn qn +=+，因为上式对N n *∈恒成立，所以411p q =⎧⎨=⎩，因此，14p =，1q =；（2）因为1a 、2a 、3a 成等差数列，设公差为0d ≥，则21122233223S pa qS pa q S pa q ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩，即 ()()()()()211211211223323a pa q i a d p a d q ii a d p a d q iii ⎧=+⎪⎪+=++⎨⎪+=++⎪⎩， ()()2ii i -⨯，()()3iii i -⨯得()()()()2211221123244d p a da d iv d p a da d v ⎧=-++⎪⎨=-++⎪⎩， ()()3v iv -⨯得，()221120p a a d d -+=，所以0p =或1a d =，1°当0p =时，n S qn =，所以n a q =，所以10n n a a +-=，所以{}n a 是以q 为首项，0为公差的等差数列； 2°当1a d =时，则0d >，代入()iv ，()i 得，12p d =，2dq =，所以2122n n d S a n d =+，()2111122n n d S a n d ++=++，两式相减得222112n n n da a a d ++=-+， ()2210n n a d a +∴--=，即()()110n n n n a a d a a d +++---=，所以1n n a a d ++=或1n n a a d +-=，因为10a d =>，1a 、2a 、3a 成等差数列，所以22a d =，33a d =，下面证明1n n a a d +-=对N n *∈恒成立，假设1n n a a d ++=成立的最小n 值为k ，即1k k a a d ++=，显然3k ≥，又1k k a a d --=，两式相减得，110k k a a +-+=，这与0n a >，N n *∈ 矛盾，因此，1n n a a d +-=，N n *∈，所以{}n a 是以d 为首项d 为公差的等差数列. 综合1°2°，数列{}n a 是等差数列．【点睛】本题考查等差数列前n 项和的求解，同时也考查了利用n S 与n a 的递推公式证明等差数列，在证明时应充分利用等差数列的定义来证明，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.附加题.21.在空间直角坐标系O xyz -中，()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,1,2C ，点P 满足AP AC λ=u u u ru u u r．（1）求点P 的坐标（用λ表示）；（2）若OP BC ⊥，求λ的值．【答案】（1）(1,,2)λλλ-．（2）14λ=．【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算求出AC 的坐标，结合等式AP AC λ=u u u r u u u r可得出AP 的坐标，再利用OP OA AP=+uu u r uu r uu u r 可求出点P 的坐标；（2）计算出BC 的坐标，由OP BC ⊥，得出0OP BC ⋅=uu u r uu u r，利用空间向量数量积的坐标运算可得出关于实数λ的等式，解出即可得出实数λ的值.【详解】（1）因为()1,0,0A ，()0,1,2C ，所以()1,1,2AC =-uu u r，因为(),,2AP AC λλλλ==-uu u r uu u r，所以()()()1,0,0,,21,,2OP OA AP λλλλλλ=+=+-=-uu u r uu r uu u r，所以点P 的坐标为()1,,2λλλ-；（2）因为()1,1,2BC =--uu u r ，OP BC ⊥，所以0OP BC ⋅=uu u r uu u r，即()11122410λλλλ-⨯--⨯+⨯=-=，解得14λ=．【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了利用空间向量处理直线与直线的垂直关系，考查计算能力，属于基础题.22.确定函数()cos24cos f x x x =+，()0,2x π∈的单调区间．【答案】单调增区间为(),2ππ，单调减区间为()0,π．【解析】【分析】求出函数()y f x =的导数()()4sin cos 1f x x x =-+'，在()0,2x π∈上分别解不等式()0f x '>和()0f x '<，可得出函数()y f x =在区间()0,2π上的单调递增区间和单调递减区间.【详解】()cos24cos f x x x =+，()()2sin 24sin 4sin cos 1f x x x x x ∴=--=-+'，()0,2x π∈，则1cos 1x -≤<，则0cos 12x ≤+<.令()0f x '>，则sin 0x <，又()0,2x π∈，所以2x ππ<<；令()0f x '<，则sin 0x >，又()0,2x π∈，所以0πx <<．因此，函数()y f x =的单调增区间为(),2ππ，单调减区间为()0,π．【点睛】本题考查利用求导数函数的单调区间，同时也考查了简单复合函数的导数，解题时要熟悉导数符号与单调区间之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.23.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==（1）求二面角11D AC B --余弦值；（2）试问线段11A B 上是否存在点E ，使得直线//DE 平面1ACB ？若存在，求线段1A E 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）10（2）线段11A B 上不存在点E ，使直线//DE 平面1ACB ，理由见解析【解析】【分析】（1）以A 为坐标原点，AC 、AB 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出二面角11D AC B --的余弦值；（2）设()101A E a a =≤≤，求出点E 的坐标，由//DE 平面1ACB ，可得出DE 与平面1ACB 的法向量垂直，转化为两向量数量积为零求出a 的值，即可判断出点E 是否存在.【详解】（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，因为AB Ì平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，因为AB AC ⊥，所以，以A 为坐标原点，AC 、AB 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.依题意可得()0,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,0C ，()1,2,0D -，()10,0,2A ，()10,1,2B ，()12,0,2C ，()11,2,2D -．设(),,m x y z =为平面1ACB 的法向量，则100m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩.因为()10,1,2AB =，()2,0,0AC =，所以2020y z x +=⎧⎨=⎩.不妨设1z =，可得()0,2,1m =-．设()111,,n x y z =为平面1ACD 的法向量，则100n AD n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩.因为()11,2,2AD =-，()2,0,0AC =，所以111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设11z =，可得()0,1,1n =．所以cos ,5m n m n m n ⋅===⋅⨯．由图知，二面角11D AC B --为锐角，所以二面角11D AC B --；（2）假设线段11A B 上是否存在点E ，使得直线//DE 平面1ACB ，则0DE m ⋅=uuu r u r，设()101A E a a =≤≤，则()0,,2E a ，()1,2,2DE a =-+．所以()2220DE m a ⋅=-++=，所以1a =-，不合题意，故舍去所以，线段11A B 上不存在点E ，使直线//DE 平面1ACB .【点睛】本题考查利用空间向量法求二面角的余弦值，同时也考查了利用空间向量法处理线面平行的存在性问题，一般转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，考查计算能力，属于中等题.24.已知1x >，()111n n n x S x x +-=+，()()()112n n x T x +-=，N n *∈．（1）比较()2S x 与()2T x 的大小；（2）比较()n S x 与()()n T x n N*∈大小，并加以证明．【答案】（1）()()22S x T x <；（2）()()n n S x T x ≤，N n *∈，证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用作差法可得出()2S x 与()2T x 的大小关系；（2）猜想()()n n S x T x ≤，N n *∈，利用分析法可得知要证()()11112n n n n x x x x -++++++≤L ，N n *∈，然后利用数学归纳法证明出即可，即可证明()()(),1n n S x T x n N x *≤∈>.【详解】（1）()()()()()()()3232222213113111221x x x x x S x T x x x ---+---=-=++()()()()()()()()()2232222121311*********x x x x x x x x x x x ⎡⎤-++-+--+--⎣⎦===-+++.因为1x >，所以()()321021x x --<+，所以()()220S x T x -<，所以()()22S x T x <；（2）结论：()()n n S x T x ≤，N n *∈，证明如下：要证()()n n S x T x ≤，N n *∈，只要证()()111112n n n x x x ++--≤+，N n *∈. 只要证()()()()1111112n n n x x x x n x x --+++++-≤+L，N n *∈.因为1x >，所以只要证()()11112n n n n x x x x -++++++≤L ，N n *∈（i ）.下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，（i ）式成立；②假设当n k =时，（i ）式成立，即有()()11112k k k k x x x x -++++++≤L ，则当1n k =+时，（i ）式左边()()111112k kk k k x x x xx ++++=++++≤+L ，而此时（i ）式右边()()1212k k x +++=，所以只要证()()()()11112122k k k k x k x x +++++++≤，只要证()1110k k kxk x +-++≥（ii ），令()()111k k f x kx k x +=-++，1x >，k *∈N ，因为()()()()()1111110kk k f x k k x k k x k k x x --'=+-+=+->，所以()y f x =在()1,+∞上单调递增，所以()()10f x f >=，故（ii ）式成立.这就是说，当1n k =+时，（i ）式也成立，综合①②可知（i ）式成立，所以()()n n S x T x ≤，N n *∈成立，得证.【点睛】本题考查数列不等式的证明，一般利用数学归纳法来证明，在证明时也可以结合分析法与导数来证明，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。

2024-2025学年江苏省南通市启东、通州联考高三(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年江苏省南通市启东、通州联考高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设z1=1+2i，z2=i，则z1z在复平面内对应的点位于( )2A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限≥0}，则A∩B=( )2.若集合A={−1,0,1,2}，B={x|x2−xA. {−1,0}B. {0,1}C. {1,2}D. {−1,0,1}3.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=3，a+b=(1,3)，则|a−b|=( )A. 2B. 13C. 4D. 164.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=−x2+ax+1，若f(x)在(0,1)上单调递减，则a的取值范围是( )A. (−∞,−2]B. [−2,+∞)C. (−∞,−1]D. [−1,+∞)5.从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为( )A. 15B. 40C. 55D. 706.一个正四棱台油槽可以装汽油190L(1L=1000cm3)，若它的上、下底面边长分别为60cm和40cm，则它的深度为( )A. 25cmB. 75cmC. 100cmD. 150cm)(ω∈N+)的图象有4个交点，则ω的值为( )7.当x∈[0,2π]时，函数y=sinx与f(x)=2sin(ωx−π6A. 1B. 2C. 3D. 48.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+6)=2f(x)，当x∈(0,6]时，f(x)=x2−4x，则∑25f(k)=( )k=1A. −7B. 25C. 57D. 102二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

)5的展开式中，下列说法正确的是( )9.在(2x+13xA. x的系数为10B. 第4项的二项式系数为10C. 没有常数项D. 各项系数的和为3210.在长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2，AB =AD =2，点P 是底面ABCD 上的一点，且D 1P//平面A 1C 1B 1，则( )A. D 1B ⊥ACB. D 1B ⊥平面A 1C 1BC. D 1P 的最小值为5D. A 1P +PB 的最小值为1011.如图，函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，则( )A. f(x)=2sin(2x +π3)B. 将f(x)图象向右平移2π3后得到函数y =2sin2x 的图象C. f(x)在区间[7π12,13π12]上单调递增D. f(x)在区间[t,t +π3]上的最大值与最小值之差的取值范围为[1,23]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2023-2024学年江苏省启东市高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省启东市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，B＝{2，3}，则A∩B＝（）A．∅B．{2}C．{3}D．{2，3}2．已知a∈R，若（2+i）（1+ai）为纯虚数，则a＝（）A．−12B．12C．﹣2D．23．已知直线l1：x﹣ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣12y﹣4＝0，则“a＝4”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（）A．2375√33πcm3B．4750√33πcm3C．7125√33πcm3D．9500√33πcm35．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题：甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y=cos2x−√3sin2x的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增；丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0．如果只有一个假命题，那么该命题是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．已知奇函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x +b ，则f(20232)=（） A ．−1−√2B ．1−√2C ．√2+1D ．√2−17．若cos(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（）A ．−725B ．−1225C ．725D ．12258．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），若不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，则函数f （x ）的极小值是（） A ．−14B ．0C ．−427 D ．−49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（） A ．a |c |＞b |c | B ．ba ≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a −1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)10．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜311．已知点P 满足|PA|=√2|PB|，点A （﹣1，0），B （1，0），C(0，√7)，则（） A ．当∠PCA 最小时，|PC|=2√2B ．当∠PCA 最大时，|PC|=2√2C ．当△P AB 面积最大时，|PA|=2√2D ．当√2|PC|−|PA|最大时，△P AB 面积为√712．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|= ．14．写出一个同时满足下列三个性质的函数：f （x ）＝． ①f （x ）的值域为（0，+∞）； ②f （x 1+x 2）＝2f （x 1）•f （x 2）； ③∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t 分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −0.08t ．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 11≈2.4）16．在平面四边形ABCD 中，AB =AD =√2，BC =CD =1，BC ⊥CD ，将四边形沿BD 折起，使A ′C =√3，则四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为；若点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n =1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（﹣1）n﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．（12分）已知函数f(x)=4x+14x +a 为奇函数．（1）解不等式f(x)＞53；（2）设函数g(x)=log 2x 2⋅log 2x4+m ，若对任意的x 1∈[2，8]，总存在x 2∈（0，1]，使得g （x 1）＝f （x 2）成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB．（1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长．20．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°．（1）证明：PB ⊥平面P AM ；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值．21．（12分）已知圆C 过点P(−1，√7)，且与直线x +y ﹣4＝0相切于点A （2，2）．（1）求圆C 的方程；（2）若M 、N 在圆C 上，直线AM ，AN 的斜率之积为﹣2，证明：直线MN 过定点． 22．（12分）已知函数f(x)=1+lnxx．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的实数，且ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b ，证明：e a +e b ＞2．2023-2024学年江苏省启东市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}解：A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}＝{﹣3，2}，故A ∩B ＝{2}．故选：B ．2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．2解：（2+i ）（1+ai ）＝2﹣a +（1+2a ）i ，因为a ∈R ，且（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，所以{2−a =01+2a ≠0，解得a ＝2．故选：D ．3．已知直线l 1：x ﹣ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣12y ﹣4＝0，则“a ＝4”是“l 1∥l 2”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由l 1∥l 2可知1a−1=−a−12，解得a ＝4或a ＝﹣3，当a＝4时，l1：x﹣4y+1＝0，l2：3x﹣12y﹣4＝0，l1∥l2成立，当a＝﹣3时，l1：x+3y+1＝0，l2：﹣4x﹣12y﹣4＝0即x+3y+1＝0，l1与l2重合，所以若l1∥l2，则a＝4，所以“a＝4”是“l1∥l2”的充要条件．故选：C．4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（）A．2375√33πcm3B．4750√33πcm3C．7125√33πcm3D．9500√33πcm3解：根据题意，设圆台的上、下底面半径分别为3x，2x，因为母线长为10，且母线与底面所成的角为60°，所以圆台的高为10sin60°＝5√3，并且x＝10×12=5，所以圆台的上底面半径为3x＝15，下底面半径为2x＝10，高为5√3．由此可得圆台的体积为V=13π（152+102+15×10）×5√3=2375√3π3（cm3）．故选：A．5．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题：甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y=cos2x−√3sin2x的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增；丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0．如果只有一个假命题，那么该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：对于甲，该f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为T2=πω=π2，则f（x）的周期T＝π；对于乙，将函数y=cos2x−√3sin2x=2cos(2x+π3)的图象向右平移π4个单位长度，得到y=2cos[2(x−π4)+π3]=2sin(2x+π3)的图象；对于丙，函数f（x）在区间(−π12，π6)上单调递增；对于丁，函数f（x）满足f(π3+x)+f(π3−x)=0，即f（x）图象关于(π3，0)对称．因为只有乙的条件最具体，所以从乙入手，若乙正确，此时f（x）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]（k∈Z），与丙的结论矛盾，根据题设“只有一个命题是假命题”，可知这一个假命题只能是乙或丙，若丙是真命题，则甲、丙、丁三个是真命题，由f（x）图象关于(π3，0)对称，且周期为π，可知：在点(π3，0)的左侧且距离最近的f（x）图象的对称轴为x=π12，而π12∈(−π12，π6)，说明f（x）在区间(−π12，π6)上不单调，与丙是真命题矛盾．若乙是真命题，则甲、乙、丁三个都是真命题，此时f(x)=2sin(2x+π3)，最小正周期T＝π，且图象关于(π3，0)对称，甲、乙、丁之间相符合．综上所述，丙不可能是真命题，即唯一的假命题是丙．故选C．6．已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，则f(20232)=（）A．−1−√2B．1−√2C．√2+1D．√2−1解：因为f（x）为奇函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，所以f（0）＝1+b＝0，解得：b＝﹣1，即当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，又因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）＝f（2﹣x），且f（x）＝﹣f（﹣x）则f （x ）＝f （2﹣x ）＝﹣f （x ﹣2）＝﹣f [2﹣（x ﹣2）]＝﹣f （4﹣x ）＝f （x ﹣4），即函数f （x ）是以4为周期的周期函数，故f(20232)=f(252×4+72)=f(72−4)=f(−12)=−f(12)=1−√2．故选：B ．7．若cos(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（）A ．−725B ．−1225C ．725D ．1225解：∵cos(α+π6)=35，∴sin(2α+5π6)=sin （2α+π3+π2）＝cos （2α+π3）＝2cos 2（α+π6）﹣1＝2×（35）2﹣1=−725．故选：A ．8．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），若不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，则函数f （x ）的极小值是（） A ．−14B ．0C ．−427 D ．−49解：因为不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，所以f （m ）＝f （m +1）＝0，且x ＝m 为f （x ）＝0的二重根，所以f （x ）＝（x ﹣m ）2[x ﹣（m +1）]，则f ′（x ）＝2（x ﹣m ）[x ﹣（m +1）]+（x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）（3x ﹣3m ﹣2），则当x ＞3m+23或x ＜m 时f ′（x ）＞0，当m ＜x ＜3m+23时f ′（x ）＜0，所以f （x ）在(3m+23，+∞)，（﹣∞，m ）上单调递增，在(m ，3m+23)上单调递减，所以f （x ）在x =3m+23处取得极小值，即f(x)极小值=f(3m+23)=(3m+23−m)2[3m+23−(m +1)]=−427．故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（） A ．a |c |＞b |c | B ．ba ≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a −1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)解：选项A．当c＝0时，a|c|＞b|c|不成立，故选项A不正确．选项B．由b+c2a+c2−ba=(b+c2)a−b(a+c2)a(a+c2)=c2(a−b)a(a+c2)＞0，所以ba≤b+c2a+c2，故选项B正确．选项C．由a2−b2−(1a−1b)=(a−b)(a+b)−b−aab=(a−b)(a+b+1ab)＞0，所以a2−b2＞1a−1b，故选项C不正确．选项D．由[√2(a2+b2)]2−(a+b)2=a2+b2−2ab=(a−b)2＞0，所以a+b＜√2(a2+b2)，故选项D正确．故选：BD．10．已知数列{a n}满足a4＝4，a n a n+1＝2n（n∈N*），则（）A．a1＝1B．数列{a n}为递增数列C．a1+a2+…+a2023＝21013﹣3D．1a1+1a2+⋯+1a n＜3解：依题意，a4＝4，a n a n+1=2n，a n=2na n+1，a n+1=2na n，所以a3=23a4=84=2，a2=22a3=42=2，a1=21a2=22=1，A选现正确．所以a3＝a2，所以B选项错误．由a n a n+1=2n得a n+1a n+2=2n+1，两式相除得a n+2a n=2，所以数列{a n}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列；偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．a1+a2+⋯+a2023＝（a1+a3+⋯+a2023）+（a2+a4+⋯+a2022）=1(1−21012)1−2+2(1−21011)1−2=21012−1+21012−2=21013−3，所以C选项正确．由上述分析可知，数列{1a n}的奇数项是首项为1，公比为12的等比数列；偶数项是首项为12，公比为12的等比数列．当n为偶数时，1a1+1a2+⋯+1a n=(1a1+1a3+⋯+1a n−1)+(1a2+1a4+⋯+1a n)，=1(1−12n2)1−12+12(1−12n2)1−12=3−32n2＜3；当n为奇数时，1a1+1a2+⋯+1a n=(1a1+1a3+⋯+1a n)+(1a2+1a4+⋯+1a n−1)，=1(1−12n+12)1−12+12(1−12n−12)1−12=3−22n+12−12n−12＜3，综上所述，1a1+1a2+⋯+1a n＜3，所以D选项正确．故选：ACD．11．已知点P满足|PA|=√2|PB|，点A（﹣1，0），B（1，0），C(0，√7)，则（）A．当∠PCA最小时，|PC|=2√2B．当∠PCA最大时，|PC|=2√2C．当△P AB面积最大时，|PA|=2√2D．当√2|PC|−|PA|最大时，△P AB面积为√7解：设点P（x，y），|PA|=√(x+1)2+y2，|PB|=√(x−1)2+y2，又|PA|=√2|PB|，得√(x+1)2+y2=√2⋅√(x−1)2+y2，化简可得（x﹣3）2+y2＝8，即点P在以M（3，0）为圆心，2√2为半径的圆，又点A（﹣1，0）和点C(0，√7)均在圆外，所以当PC与圆相切时，∠PCA取最值，设切点为Q，则|PC|=√|MC|2−|MP|2=√(3−0)2+(0−√7)2−(2√2)2=2√2，故A，B选项正确；又△P AB的面积S=12|AB|⋅|y P|=|y P|，所以当|y P|最大时，S取最大值，此时P(3，±2√2)，|PA|=√(3+1)2+(2√2)2=2√6，故C选项错误；由|PA|=√2|PB|，所以√2|PC|−|PA|=√2|PC|−√2|PB|=√2(|PC|−|PB|)≤√2|BC|=4，当且仅当P为CB延长线与圆M的交点时，等号成立，又CB延长线方程为y=−√7x+√7，x＞1，联立方程组{y=−√7x+√7(x−3)2+y2=8，解得x1=12（舍），x2＝2，所以P(2，−√7)，此时△P AB的面积为S=|y P|=√7，故D选项正确．故选：ABD．12．已知函数f（x）＝a2x﹣x（a＞0，a≠1），则下列结论中正确的是（）A．函数f（x）恒有1个极值点B．当a＝e时，曲线y＝f（x）恒在曲线y＝lnx+2上方C．若函数f（x）有2个零点，则1＜a＜e 1 2eD．若过点P（0，t）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切，则0＜t＜1解：f（x）＝a2x﹣x（a＞0，a≠1），f′（x）＝2a2x lna﹣1，对于A：因为a2x＞0恒成立，所以当a∈（0，1）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，所以此时不存在极值点，A错误；对于B：当a＝e时，f（x）＝e2x﹣x，令g（x）＝f（x）﹣（lnx+2）＝e2x﹣x﹣lnx﹣2，下面先证明：e x≥x+1和lnx≤x﹣1，令f1(x)=e x−x−1，则f1′(x)=e x−1＞0⇒x＞0，所以f1（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，所以f1（x）≥f1（0）＝0，所以e x≥x+1，当且仅当x＝0时，取到等号；令f2（x）＝lnx﹣x+1，则f2′(x)=1x−1＞0⇒0＜x＜1，所以f2（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f2（x）≤f2（1）＝0，所以lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时，取到等号，由上结论可得：e2x≥2x+1，﹣lnx≥﹣x+1，因为不能同时取等，所以两式相加可得：e2x﹣lnx＞x+2，即e2x﹣lnx﹣x﹣2＞0恒成立，即g（x）＞0恒成立，所以y＝f（x）恒在曲线y＝lnx+2上方，B正确；对于C：函数f（x）有2个零点等价于方程a2x﹣x＝0有两个根，即a2x=x⇒lna2x=lnx⇒2xlna=lnx⇒2lna=lnxx有两个根，令ℎ(x)=lnxx，则ℎ′(x)=1−lnxx2＜0⇒x＞e，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以ℎ(x)max=ℎ(e)=1e，当x→0时，h（x）→﹣∞，当x→+∞时，h（x）→0，所以要使得2lna=lnxx有两个根，则2lna∈(0，1e)，所以0＜lna＜12e⇒1＜a＜e12e，所以C正确；对于D：设切点坐标为(x0，a2x0−x0)，则k=f′(x0)=2a2x0lna−1，又因为切线经过点P（0，t），所以k=a2x0−x0−tx0，所以2a2x0lna−1=a2x0−x0−tx0，解得t=a2x0−a2x0lna2x0，令m=a2x0，则m∈（0，+∞），所以t＝m﹣mlnm，因为过点P（0，t）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切，所以方程t＝m﹣mlnm有两个不同的解，令φ（m）＝m﹣mlnm，则φ′（m）＝﹣lnm＞0⇒0＜m＜1，所以φ（m）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以φ（m）max＝φ（1）＝1，当m→0时，φ（m）→0，当m→+∞时，φ（m）→﹣∞，所以要使得方程t ＝m ﹣mlnm 有两个根，则t ∈（0，1），D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|=√52．解：由于a →与b →共线，所以λ×2=1×(−1)，λ=−12，a →=(−12，1)，a →−b →=(−12，1)−(−1，2)=(12，−1)，所以|a →−b →|=√14+1=√52．故答案为：√52． 14．写出一个同时满足下列三个性质的函数：f （x ）＝（12）x +1（答案不唯一）．①f （x ）的值域为（0，+∞）； ②f （x 1+x 2）＝2f （x 1）•f （x 2）； ③∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．解：由∀x ∈R ，f ′（x ）＜0，即函数f （x ）在R 上单调递减，又函数f （x ）的值域为（0，+∞），可设f(x)=a ⋅(12)x ，a ＞0，又f （x 1+x 2）＝2f （x 1）•f （x 2），即a ⋅(12)x 1+x 2=2a ⋅(12)x 1⋅a ⋅(12)x 2=2a 2(12)x 1+x 2，即a ＝2a 2，解得a =12，所以f(x)=12⋅(12)x =(12)x+1．故答案为：（12）x +1（答案不唯一）．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t 分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −0.08t ．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待 5 分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 11≈2.4）解：由题意得，65＝25+（85﹣25）e﹣0.08t，即e −0.08t =23，所以−0.08t =ln 23，解得t =−252×(ln2−ln3)≈252×(0.7−1.1)=5，所以大约需要等待5分钟．故答案为：5．16．在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，将四边形沿BD折起，使A′C=√3，则四面体A′﹣BCD的外接球O的表面积为3π；若点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为23．解：如图所示：因为AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，所以BE=CE=DE=√22，AE=√AD2−DE2=√(√2)2−(√22)2=√62，且AC⊥BD，点E为△BCD外接圆的圆心，所以四面体A′﹣BCD的外接球的球心O一定在过点E且垂直面BCD的直线上，如图不妨设GE⊥面BCD，A′F⊥面BCD，四面体A′﹣BCD的外接球的半径OE=ℎ，OB=R=√OE2+EB2=√ℎ2+12，FE＝x，则由对称性可知点F也在直线CE上且A′F⊥FC，A′F＝2OE＝2h，由题意A′E=AE=√62，FC=FE+EC=x+√22，A′C=√3，在Rt△A′FE中，有A′F2+FE2＝A′E2，即x2+(2ℎ)2=32，在Rt△A′FC中，有A′F2+FC2＝A′C2，即(x+√22)2+(2ℎ)2=3，联立以上两式解得x=√22，ℎ=12，所以R=√ℎ2+12=√14+12=√32，从而四面体A′﹣BCD的外接球O的表面积为S=4πR2=4π×(√32)2=3π；如图所示：由题意将上述第一空中的点E用现在的点F来代替，而现在的点E为线段BD的靠近点B的三等分点，此时过点E 作球O 的截面，若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小，设球心到截面的距离为d ，截面半径为r ，则r =√R 2−d 2，所以只需球心到截面的距离为d 最大即可，而当且仅当OE 与截面垂直时，球心到截面的距离为d 最大，即d max ＝OE ，由以上分析可知此时OO 1=FE =FB −BE =12BD −13BD =√26，OF =12，OE =√14+118=√116，R =√32，所以r =r min =√R 2−OE 2=√34−1136=23．故答案为：3π；23．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n =1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（﹣1）n ﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）因为a n+1n+1−a n n=1n(n+1)⇒a n+1n+1−a n n =1n −1n+1⇒a n+1+1n+1=a n +1n，所以{a n +1n }是常数列，所以a n +1n =a 1+11=2，所以a n ＝2n ﹣1．（2）b n =(−1)n−14n a n a n+1=(−1)n−14n (2n−1)(2n+1)=(−1)n−1(12n−1+12n+1)，当n 为偶数时，S n =(1+13)−(13+15)+⋯+(12n−3+12n−1)−(12n−1+12n+1)=1−12n+1=2n2n+1，当n 为奇数时，S n =(1+13)−(15+12)+⋯−(12n−3+12n−1)+(12n−1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1，所以S n =2n+1+(−1)n−12n+1．18．（12分）已知函数f(x)=4x+14x +a 为奇函数．（1）解不等式f(x)＞53；（2）设函数g(x)=log 2x 2⋅log 2x4+m ，若对任意的x 1∈[2，8]，总存在x 2∈（0，1]，使得g （x 1）＝f （x 2）成立，求实数m 的取值范围．解：（1）根据条件可知，4x +a ≠0，当a ≥0时，函数的定义域为R ，又函数f(x)=4x+14x +a为奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以4−x +14−x +a=−4x +14x +a在R 上恒成立，即（a +1）（4x +1）＝0，a ＝﹣1（舍），当a＜0时，x≠log4（﹣a），函数的定义域为（﹣∞，log4（﹣a））∪（log4（﹣a），+∞），又函数f(x)=4x+14x+a为奇函数，所以log4（﹣a）＝0，a＝﹣1，此时f(x)=4x+14x−1，满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数成立，所以f(x)=4x+14x−1=1+24x−1，所以函数f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，所以f(x)＞53=f(1)，解得0＜x＜1，所以不等式的解集为{x|0＜x＜1}．（2）由（1），得f(x)=4x+14x−1在x∈（0，1]的值域A=[53，+∞)，又g(x)=log2x2⋅log2x4+m=(log2x−1)(log2x−2)+m，x∈[2，8]．设t＝log2x，t∈[1，3]，则y＝（t﹣1）（t﹣2）+m＝t2﹣3t+2+m，当t=32时，取最小值为−14+m，当x＝3时，取最大值为2+m，即g（x）在x∈[2，8]上的值域B=[−14+m，2+m]，又对任意的x1∈[2，8]，总存在x2∈（0，1]，使得g（x1）＝f（x2）成立，所以B⊆A，所以−14+m≥53，解得m≥2312，所以m的取值范围为[2312，+∞)．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A+tan B=−√3cacosB．（1）求角A；（2）已知a＝7，D是边BC的中点，且AD⊥AB，求AD的长．解：（1）因为tan A+tan B=−√3cacosB，所以sinAcosA+sinBcosB=−√3cacosB，由正弦定理得，sinAcosA+sinBcosB=−√3sinCsinAcosB，因为sinAcosA+sinBcosB=sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=sin(A+B)cosAcosB=sinCcosAcosB，所以sinCcosAcosB=−√3sinCsinAcosB，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，又cos B ≠0，所以tan A =−√3，因为0＜A ＜π，所以A =2π3．（2）因为D 是边BC 的中点，所以BD ＝CD =12BC =72，因为AD ⊥AB ，所以∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD =2π3−π2=π6，在Rt △ABD 中，sin B =AD BD =AD 72=2AD7，在△ACD 中，由正弦定理知，AD sinC=CD sin∠DAC，所以sin C =ADsin∠DAC CD =AD×1272=AD7，在△ABC 中，由正弦定理知，b sinB=c sinC=a sin∠BAC=√32=√3，所以b 2AD 7=c AD 7=√3，所以b =4AD 3，c =2AD3，在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以49＝b 2+c 2﹣2bc ×cos 2π3，即b 2+c 2+bc ＝49，所以（√3）2+（√3）24AD 3×2AD3=49，解得AD =√212．20．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°．（1）证明：PB ⊥平面P AM ；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值．证明：（1）连接OM，MN，BM，因为M，N是底面半圆弧AB̂上的两个三等分点，所以有∠MON＝∠NOB＝60°，又因为OM＝ON＝OB＝2，所以△MON，△NOB都为正三角形，所以MN＝NB＝BO＝OM，即四边形OMNB是菱形，记ON与BM的交点为Q，Q为ON和BM的中点，因为∠PON＝60°，OP＝ON，所以三角形OPN为正三角形，所以PQ=√3=12BM，所以PB⊥PM，因为P是半球面上一点，AB是半球O的直径，所以PB⊥P A，因为PM∩P A＝P，PM，P A⊂平面P AM，所以PB⊥平面P AM；解：（2）因为点P在底面圆内的射影恰在ON上，由（1）知Q为ON的中点，△OPN为正三角形，所以PQ⊥ON，所以PQ⊥底面ABM，因为四边形OMNB是菱形，所以MB⊥ON，即MB、ON、PQ两两互相垂直，以点Q为坐标原点，QM，QN，QP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则O(0，−1，0)，M(√3，0，0)，B(−√3，0，0)，N(0，1，0)，A(√3，−2，0)，P(0，0，√3)，所以PM →=(√3，0，−√3)，OP →=(0，1，√3)，OB →=(−√3，1，0)，设平面P AB 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅OP →=0m →⋅OB →=0，所以{y +√3z =0−√3x +y =0，令x ＝1，则y =√3，z ＝﹣1，所以m →=(1，√3，−1)，设直线PM 与平面P AB 的所成角为θ，所以sinθ=|cos〈PM →，m →〉|=√3+√36×5=√105，故直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值为√105． 21．（12分）已知圆C 过点P(−1，√7)，且与直线x +y ﹣4＝0相切于点A （2，2）．（1）求圆C 的方程；（2）若M 、N 在圆C 上，直线AM ，AN 的斜率之积为﹣2，证明：直线MN 过定点．解：（1）设C （a ，b ），直线l ：x +y ﹣4＝0即y ＝﹣x +4，由圆C 与直线相切于A （2，2），则CA ⊥l ，即b−2a−2×(−1)=−1，可得b ＝a ，又圆C 过点P(−1，√7)，所以|CP |＝|CA |，即√(a +1)2+(b −√7)2=√(a −2)2+(b −2)2，解得a ＝b ＝0，所以圆心C （0，0），半径|CA|=√(0−2)2+(0−2)2=2√2，所以圆C 的方程为x 2+y 2＝8；（2）当直线MN 斜率存在时，设MN ：y ＝kx +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线与圆{y =kx +mx 2+y 2=8，得（1+k 2）x 2+2kmx +m 2﹣8＝0，则Δ＝（2km ）2﹣4（1+k 2）（m 2﹣8）＝﹣4m 2+32+32k 2＞0，即8k 2﹣m 2+8＞0， x 1+x 2=−2km 1+k 2，x 1x 2=m 2−81+k 2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+k2，y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=−8k2+m2 1+k2，又k AM=y1−2x1−2，k AN=y2−2x2−2，所以k AM⋅k AN=(y1−2)(y2−2)(x1−2)(x2−2)=y1y2−2(y1+y2)+4x1x2−2(x1+x2)+4=−8k2+m2−4m+4+4k2m2−8+4km+4+4k2=−2，即4k2+3m2+8km﹣4m﹣4＝0，则（2k+m﹣2）（2k+3m+2）＝0，解得m＝2﹣2k或m=−23k−23，都满足Δ＞0，所以方程为y＝kx+2﹣2k或y=kx−23k−23，即y﹣2＝k（x﹣2）或y+23=k(x−23)，当直线方程为y﹣2＝k（x﹣2）时，恒过点A（2，2），不成立，当直线方程为y+23=k(x−23)时，恒过(23，−23)；当直线MN斜率不存在时，设直线MN：x＝x0，则M（x0，y0），N（x0，﹣y0），x02+y02=8，则k AM=y0−2x0−2，k AN=−y0−2x0−2，所以k AM⋅k BM=y0−2x0−2⋅−y0−2x0−2=4−y02x02−4x0+4=x02−4x02−4x0+4=−2，解得：x0＝2（舍）或x0=23，即MN方程为x=23，仍过(23，−23)，综上所述，直线MN恒过定点(23，−23)．22．（12分）已知函数f(x)=1+lnxx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的实数，且ae b﹣be a＝e a﹣e b，证明：e a+e b＞2．解：（1）由f(x)=1+lnxx得，f′(x)=−lnxx2，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．故f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）．（2）将ae b﹣be a＝e a﹣e b变形为a+1e a=b+1e b．令e a＝m，e b＝n，则上式变为1+lnmm=1+lnnn，即有f（m）＝f（n），于是命题转换为证明：m+n＞2．不妨设m＜n，由（1）知0＜m＜1，n＞1．要证m+n＞2，即证n＞2﹣m＞1，由于f（x）在（1，+∞）上单调递减，故即证f（n）＜f（2﹣m），由于f（m）＝f（n），故即证f（m）＜f（2﹣m），即证f（m）﹣f（2﹣m）＜0在0＜m＜1上恒成立．令g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），x∈（0，1），则g′(x)=f′(x)+f′(2−x)=−lnxx2−ln(2−x)(2−x)2=−(2−x)2lnx+x2ln(2−x)x2(2−x)2，=−(4−4x+x2)lnx+x2ln(2−x)x2(2−x)2=−(4−4x)lnx+x2ln[(2−x)x]x2(2−x)2≥0，所以g（x）在区间（0，1）内单调递增，所以g（x）＜g（1）＝0，即m+n＞2成立．所以e a+e b＞2．。

2020届江苏省启东中学高三上学期期初考试数学试题(解析版)

2020届江苏省启东中学高三上学期期初考试数学试题一、填空题1．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 【答案】－1【解析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【答案】二【解析】由点P （tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．【详解】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为二．点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号． 3．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a mab ⊥-，则m =_________. 【答案】-1.【解析】根据,a b 坐标表示出ma b -r r，再根据()a ma b ⊥-，得坐标关系，解方程即可.【详解】(1,0),(1,)a b m ==-，(,0)(1,)(1,)ma b m m m m ∴-=--=+-，由()a ma b ⊥-得：()0a ma b ⋅-=，()10a ma b m ∴⋅-=+=，即1m =-. 【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则①1221//0a b x y x y ⇔-=；②12120a b x x y y ⊥⇔+=.4．已知复数z 满足(1i)34i z +=-（i 是虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】利用复数的运算法则求出z ，根据模长的概念即可得出结果．【详解】复数z 满足(1i)34i z +=-（i 为虚数单位），∴()()()()341341711122i i i z i i i i ---===--++-，则2z ==，故答案为2. 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．化简：tan17tan133(tan17tan13)++=________. 【答案】1【解析】逆用两角和的正切公式：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-即可求得答案．【详解】∵()tan13tan17tan 30tan 13171tan13tan17︒+︒︒=︒+︒==-︒︒∴)tan13tan171tan13tan17︒+︒=-︒︒，∴)tan13tan17tan13tan171︒︒+︒=．故答案为1. 【点睛】本题考查两角和的正切函数公式的在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，逆用公式是关键，属于中档题． 6．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= __________. 【答案】6425【解析】先利用同角三角函数的基本关系把1换成22sin cos αα+，22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+，分子分母同时除以2cos α，最后把tan α的值代入即可求得答案．【详解】22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+ 2231414tan 644.tan 125314αα⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即答案为6425. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．7．在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC的面积为BC 的长是____．【解析】由题可知：1sin sin 2AB AC A A ⋅⋅==，又为锐角三角形，所以60A =，由余弦定理222cos 2b c a A a BC bc+-=⇒== 8．已知02πα-<<，且5cos 13α=．则2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值为_____.【答案】2316-【解析】由已知利用同角三角函数关系式可求sin α和tan α，根据诱导公式化简所求后即可代入求值．【详解】 ∵02πα-<<，且5cos 13α=， ∴12sin 13α=-，12tan 5α=-， ∴12232cos()3sin()2cos 3sin 23tan 235124cos()sin(2)4cos sin 4tan 1645παπαααααπαααα⎛⎫-+⨯- ⎪--+-+-+⎝⎭====--+---+，故答案为2316-. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用，三角函数齐次式值的求法，属于基础题.9．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于____. 【答案】32【解析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，求出ω的范围得到答案．【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，而x ω的取值范围是[]34ωπωπ-，，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，∴232k ωπππ-≤-+，且 242k ωπππ≥-+，k Z ∈， ∴362k ω-≤，82k ω≥-，k Z ∈， ∵0>ω， ∴ω的最小值等于32，故答案为32．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力，属于中档题. 10．设α为锐角，若π3cos()65α+=，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】50【解析】由条件求得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用二倍角公式求得sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再根据221234sin sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式计算求得结果．【详解】∵α为锐角，π3cos()65α+=，∴465sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴24sin 22sin cos 36625πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 27cos 22cos 13625ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故sin 2sin 21234πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2cos cos 2sin 3434ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2472525=+=50. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．11．已知函数()()(0)6f x sin x cos x πωωω＝＋－＞．若函数()f x 的图象关于直线x＝2π对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的取值集合为______. 【答案】154,,363⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】()1sin cos sin cos sin 6226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2x π=是一条对称轴，2=+62k πππωπ∴-，得()1=+32kk Z ω∈，又()f x 在区间44，ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调， 2T ππω∴=≥，得2ω≤，且462{462πππωπππω--≥--≤，得403ω<≤，154=363ω∴，，，集合表示为154363⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，。

江苏省启东中学第一学期期中考试试卷

江苏省启东中学第一学期期中考试试卷高三数学命题人：陈海东一、选择题：本大题共12小题，第小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的.1、设集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（）A ．M ＝N B. M ⊂≠N C. M N D. MN φ=2、下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A ．xy -=215B ．xy -=1)31( C ．1)21(-=x y D ．x y 21-= 3、已知向量 i =（1，0），j =（0，1），则与向量2i ＋j 垂直的一个向量为（）A ． 2i －jB ． i ＋jC ． i －2jD ． i －j4、设Ａ、Ｂ是x 轴上的两点，点Ｐ的横坐标为２，且|ＰＡ|＝|ＰＢ|，若直线ＰＡ的方程为 x －y ＋1=0，则直线ＰＢ的方程是（）Ａ．x ＋y －5=0 B ．2x －y －1=0 C ．x －2y ＋4=0 D ．2x ＋y －7=0 5、不等式2)1(+-x x ≥0的解集是（） A ． {x|x>1} B ． {x|x ≥1}C ． {x|x ≥－2且x ≠1}D ． {x|x ≥1或x= －2} 6、函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（）A ．y=x 2－2x +2(x <1)B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1)7、．如果α、β∈（π2，π），且tan α＜cot β，那么必有（）A ．α＜βB ． β＜αC ． α+β＜3π2D ． α+β＞3π28、如果数列{}n a 的前n 项和)23(21nn n n s -=，那么这个数列（） A.是等差数列但不是等比数列； B.是等比数列不是等差数列； C.既是等差数列又是等比数列； D.既不是等差数列又不是等比数列．9、已知圆()()161222=++-y x 的一条直径恰好经过直线x-2y-3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为（）A.2x+y-3=0B.2x+y-5=0C.x-2y=0D.x-2y+4=0≠⊃10、先将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为（） A ．y=sin(－2x+π3)B ． y=sin(－2x －π3)C ．y=sin(－2x+2π3 ) D ． y=sin(－2x －2π3) 11、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（）A ．22B ．21C ．19D ．1812、已知函数f(x)是在R 上的偶函数，且满足f(x+1)+f(x)=1，当x []2,1∈时，f(x)=2-x ，则f(-2004.5)的值为（）B. 1 C二、填空题：本大题共4小题；第小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13、设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,则x >1时f (x )=________.14、在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ++的值为_________. 15、设正数a 、b 、c 、d 满足a +d =b +c ，且|a －d |＜|b －c |，则ad 与bc 的大小关系是__________.16、函数f (x ) = 212++x x 的定义域是[n ，n +1]（n ∈N *），则函数f (x )的值域中共有个整数．三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、已知命题p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实根, 命题q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．18、设两个非零向量1e 和2e 不共线.（1）如果21e e AB +=，)4(221e e BC +=，)(321e e CD -=。