正弦定理和余弦定理知识点总结附答案
高中数学必修5：正弦定理与余弦定理 知识点及经典例题(含答案)
高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)
正弦定理、余弦定理和射影定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。
其中，正弦定理表达了三角形边长和角度之间的关系，余弦定理则是通过两条边和它们之间的夹角计算第三条边的长度。
射影定理则是利用三角形中某个角的正弦值或余弦值来计算三角形中某条边的长度。
二、面积公式可以用来计算三角形的面积，其中a、b、c 分别为三角形的三条边，而对应的角度则可以通过正弦定理或余弦定理来计算。
三、在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。
同时，需要注意计算过程中的精度和单位。
学前诊断】
1.在△ABC中，若C=90，a=6，B=30，则c-b等于1.
2.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于30或60.
3.在△ABC中，c-a=b-ba，且∠C=90.
经典例题】
例1.在△ABC中，若∠A=45°，a=2，c=6，则∠B=45°，b=4.
例2.已知△ABC满足条件acosA=bcosB，可以判断
△ABC是等腰三角形。
例3.在△ABC中，已知b+c=6，求a的值。
根据余弦定理可得a²=(b+c)²-4bc，代入数据得a=2.
本课总结】
本课介绍了三角形中的正弦定理、余弦定理、射影定理和面积公式，这些定理可以帮助我们计算三角形的边长、角度和面积。
在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。
第27讲 正弦定理、余弦定理(解析版)
一、课程标准 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 2、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
二、基础知识回顾 1．正弦定理 a ＝ b ＝ c ＝2R(R 为△ABC 外接圆的半径)． sin A sin B sin C
正弦定 理的常 见变形
2
四、例题选讲 考点一、运用正余弦定理解三角形
例 1、（2020 届山东实验中学高三上期中）在 △ABC 中，若 AB 13, BC 3, C 120 ，则 AC =
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】
余弦定理 AB2 BC 2 AC 2 2BC·AC cos C 将各值代入 得 AC2 3AC 4 0
a2
c2
2ac cos
B
，得 b2
a2
52
2 a 5
1 2
，
因为 b
10
a
，所以
(10
a)2
a2
52
2
a5
1 2
，
解得 a 3，所以 b 7 .
（2）由
cos
B
1 2
，得
sin
B
3 2
由正弦定理得 sin C c sin B 5 3 5 3 .
b
7 2 14
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时， 则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
解得 AC 1 或 AC 4 (舍去)选 A.
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
正余弦定理知识点及高考考试题型整理学生理
正、余弦定理一、知识总结 (一)正弦定理1.正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 2.变形公式：（1）化边为角：（2）化角为边：（3）（4）.3、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 1.余弦定理: 2222cos a b c bc A =+-2222cos c a b ab C =+-2222cos b a c ac B =+-2.变形公式:222222222cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab+-+-+-===.注：2a ＞22c b +⇒A 是钝角；2a =22c b +⇒A 是直角；2a ＜22c b +⇒A 是锐角；2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R ===::sin :sin :sin a b c A B C =2sin sin sin sin sin sin a b c a b c RA B C A B C ++====++3.余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：4.由余弦定理判断三角形的形状a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。
（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形，必须说明每个角都是锐角）(三) ΔABC的面积公式:（1）1() 2a aS a h h a= 表示边上的高；（2）111sin sin sin() 2224abcS ab C ac B bc A RR====为外接圆半径；（3）1()() 2S r a b c r=++为内切圆半径(四) 实际问题中的常用角1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
(完整版)正余弦定理及解三角形整理(有答案)
正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。
C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理的公式： 或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法1．掌握正弦定理、 余弦定理，并能解决一些简单的三角形胸怀问题．2．能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与丈量和几何计算相关的实质问题．主要考察相关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转变的数学思想．解三角形经常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一同求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1． 正弦定理(1) 正弦定理：在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等， 即 ．其 中 R 是三角形外接圆的半径．(2) 正弦定理的其余形式：， c① a ＝ R A ， b ＝2 sin＝；a②sin A ＝2R ， sin B ＝，sin C ＝ ；③a ∶b ∶c ＝______________________.2． 余弦定理——王彦文 青铜峡一中(1) 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝，b 2＝，c 2＝.，即为勾若令 C ＝°，则 c 2＝90股定理．(2) 余 弦 定 理 的 变 形 ： cosA＝ ， cosB ＝ ，cosC ＝ .若 C 为锐角，则 cosC>0，即 a 2＋ b 2 ______c 2；若 C 为钝角，则 cosC<0，即 a 2＋b 2______c 2. 故由 a 2 ＋b 2 与 c 2 值的大小比较，能够判断 C 为锐角、钝角或直角．(3) 正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦能够写成 sin 2A＝ sin 2B ＋ sin 2C － 2sin Bsin CcosA ，近似地，sin 2B ＝ ____________ ； sin 2C ＝__________________.注意式中隐含条件 A ＋ B ＋C ＝π.3． 解斜三角形的种类(1) 已知三角形的随意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2) 已知三角形的随意两边与此中一边的对 角 ， 用 ____________ 定 理 ， 可 能 有___________________．如在△ ABC 中，已知 a ， b 和 A 时，解的状况如表：A 为钝角A 为锐角或直角图 形关 a ＝ b A aa ≥b a b 系 b A sin <b> 式 sin <解 的 ① ② ③ ④ 个 数(3) 已知三边，用 ____________定理．有1解时，只有一解．(4) 已知两边及夹角，用 ____________定理，必有一解．4． 三角形中的常用公式或变式(1) 三角形面积公式 S △＝ ＝＝ ____________ ＝ ____________ ＝____________．此中 R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．，(2) A ＋ B ＋ C ＝π，则 A ＝__________A＝ __________ ， 从 而sin A ＝2____________，cosA ＝ ____________ ， tan A ＝____________；A Asin 2＝ __________， cos 2＝__________，Atan 2 ＝ ________.tan A ＋ tan B ＋ tan C ＝__________.(3) 若三角形三边 a ，b ，c 成等差数列，则b ＝____________? 2sin B ＝____________?2B A －C A ＋ C A － C A2sin 2＝ cos2 ? 2cos 2 ＝ cos 2 ? tan 2C 1tan 2＝3.【自查自纠】． a bc R1(1)sin A ＝ sin B ＝sin C ＝ 2R BRC ② bc(2) ①2 si2 siRR2 2③ s in A ∶sin B ∶sin C2． (1) b 2＋c 2－2bccosA c 2＋a 2－ 2cacosB a 2 ＋b 2－2abcosC a 2＋ b 2b 2 ＋c 2－a 2c 2＋a 2－b 2a 2 ＋b 2－c 2>(2)2ca2ab2bc<(3) 互化sin 2C ＋sin 2A －2sin Csin AcosBsin 2A ＋ sin 2B －2sin Asin BcosC3．(1) 正弦 (2) 正弦 一解、两解或无解①一解 ②二解 ③一解 ④一解 (3) 余弦 (4) 余弦．11 1 abc(1) ab sin C bc s inA ac s in B2 22R412( a ＋b ＋c) rπ B ＋C(2) π－ ( B ＋ C)2 － 2sin( B ＋C－cos( B ＋C) )－ tan( B ＋ C cos B ＋CsinB ＋ C) 2 21 B ＋Ctan 2A B C (3)a ＋ csin A ＋ sin C tan tan tan2在△ABC中， A B 是A B 的()>sin >sinA．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选 C.在△ABC中，已知 b＝， c＝，B＝°，则61030解此三角形的结果有 ()A．无解B．一解C．两解D．一解或两解解：由正弦定理知 sin C＝c·sin B5b＝6，又由c>b>csin B知， C有两解．也可依已知条件，画出△ ABC，由图知有两解．应选 C.( 2013·陕西 ) 设△ ABC的内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若b cos C＋ c cos B＝a sin A,则△ ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确立C＋解：由已知和正弦定理可得BC B ＝A· A ，即sin cos＝sin sin sin sin( B ＋C cos A)sinA A，亦即sinA＝A因为Aπ，sin sin sin.0< <π所以 sin A＝1，所以 A＝ 2.所以三角形为直角三角形．应选.B( 2012·陕西 ) 在△ ABC中，角 A，B，C 所对的π边分别为 a，b，c. 若 a＝2，B＝6，c＝23，则 b＝________．解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－ 2accosB＝π222 ＋( 23)－2×2×2 3×cos 6＝ 4， b＝ 2.在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a＝ 2，b＝2，sin B＋cosB＝ 2，则角 A 的大小为 ________．解：∵ sin B＋ cosB＝2，ππ∴2sin B＋4＝ 2，即 sin B＋4＝1.πππ又∵ B∈(0 ，π ) ，∴ B＋4＝2， B＝4 .a b依据正弦定理sin A＝sin B，可得sin A＝asin B1＝.b2ππ∵a＜b，∴ A＜B. ∴ A＝6 . 故填6 .种类一正弦定理的应用△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 A－ C＝90°， a＋ c＝ 2b，求 C.解：由 a＋c＝ b 及正弦定理可得sinA2＋s in C＝ 2sin B.又因为 A－ C＝90°， B＝180°－ ( A＋ C) ，故 cosC＋ sin C＝ sin A＋sin C＝ 2sin( A＋ C) ＝2sin(90 °＋ 2C) ＝ 2sin2(45 °＋ C) ．∴2 sin(45° ＋C＝2 2 sin(45° ＋)C)cos(45 °＋ C) ，41即 cos(45 °＋ C) ＝2.又∵ 0°＜ C＜90°，∴ 45°＋ C＝60°，C ＝15°.【评析】利用正弦定理将边边关系转变为角角关系，这是解本题的重点．( 2012·江西 ) 在△ ABC中，角 A，B，C 的对边分别为a， b，c已知 A＝π，bsinπ＋C －.44c sinπ＋B ＝a4.π(1)求证： B－C＝2；(2)若 a＝ 2，求△ ABC的面积．解：(1)证明：对bπ＋C－sin4csin π＋ B＝ a应用正弦定理得4B π＋ C －sinCπ＋B ＝sinA，sin sin4sin422即sin B2 sin C＋2 cosC－sinC222，整理得 B C2 sin B＋2 cosB ＝2sin cos －s in CcosB＝ 1，即 sin ( B－C)＝1.3ππ因为 B，C∈ 0，4，∴ B－C＝2 .3π，又由 (1)知 B－C(2) ∵ B＋ C＝π－ A＝4π＝2，5ππ∴B＝8，C＝8.∵a＝2，A＝πb＝，∴由正弦定理知4a Bπa Cπsin5sinsin A＝ 2sin8，c＝sin A＝2sin 8 .115ππ∴S△ABC＝2bcsin A＝2×2sin8×2sin 8×225ππππ2＝ 2sin8 sin 8＝ 2cos8 sin8＝2π 1sin 4＝2.种类二 余弦定理的应用1 3 3∴S △ABC ＝2acsin B ＝ 4 .【评析】①依据所给等式的构造特色利用余弦定理将角化边进行变形是快速解答本题的 重点．②娴熟运用余弦定理及其推论，同时还 要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运 用．在△ ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，cosBb且cosC ＝－ 2a ＋c .(1) 求 B 的大小；(2) 若 b ＝ 13，a ＋c ＝4，求△ ABC 的面积．a 2＋ c 2－b 2， 解：(1) 由余弦定理知， cosB ＝ac2cosC ＝ a 2＋b 2－ c 2cosB b 2ab ，将上式代入cos C ＝－ a ＋c2 得a 2 ＋c 2－b 2 abb2＝－ a ＋c ， ac·a 2＋b 2－c22整理得 a 2＋c 2－ b 2＝－ ac.a 2＋c 2－b 2 －ac 1 ∴cosB ＝ ac ＝ ac ＝－ .22 22∵B 为三角形的内角，∴ B ＝ 3π.(2) 将 b ＝ 13，a ＋c ＝4，B ＝23π 代入 b 2＝a 2＋ c 2－2accosB ，得 13＝42－ 2ac －2accos 2 3π，解得 ac ＝3.若△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边 a ，b ，c 知足( a ＋b) 2－ c 2＝4，且 C ＝60°，则 ab 的值为 ( )4A. 3B ．8－4 3C ． 12D.3解：由余弦定理得 c 2＝ a 2 ＋b 2－2abcosC ＝a 2＋b 2－ab ，代入 ( a ＋ b) 2－ c 2 ＝4 中得 ( a ＋ b) 24－ ( a 2＋b 2－ab) ＝ 4，即 3ab ＝ 4，∴ ab ＝3. 应选A.6种类三正、余弦定理的综合应用以用余弦定理化边后用不等式求最值．( 2013·全国新课标Ⅱ ) △ ABC的内角A、B、 C的对边分别为 a，b，c，已知 a＝bcosC＋ csin B.(1)求 B；(2)若 b＝2，求△ ABC面积的最大值．解： (1) 由已知及正弦定理得 sin A＝sin BcosC＋ sin Csin B. ①又 A＝π－ ( B＋ C) ，故sin A ＝ sin( B ＋ C) ＝ sin BcosC ＋cosBsin C. ②由①，②和 C∈(0 ，π ) 得 sin B＝ cosB.π又 B∈(0 ，π ) ，所以 B＝4 .12(2) △ ABC的面积 S＝2acsin B＝4 ac.由已知及余弦定理得 4 ＝ a2＋ c2－π2accos 4 .又 a2＋ c2≥2ac，故 ac≤4，2－ 2当且仅当 a＝c 时，等号成立．所以△ ABC面积的最大值为2＋1.【评析】(1) 化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧； (2) 已知边及其对角求三角形面积最值是高考取考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可( 2013·山东 ) 设△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 a＋ c＝ 6， b＝ 2， cosB7＝9.(1)求 a，c 的值；(2)求 sin( A－ B) 的值．解： (1) 由余弦定理 b2＝a2＋ c2－2accosB，得 b2＝( a＋c) 2－2ac(1 ＋cosB) ，又 a＋ c ＝6，b＝2，7cosB＝9，所以 ac＝9，解得 a＝3，c＝3.242(2) 在△ ABC中， sin B＝ 1－cos B＝9 ，asin B 22由正弦定理得 sin A＝b＝ 3 .因为 a＝c，所以 A 为锐角，21所以 cosA＝1－sin A＝3.所以 sin( A－B) ＝sin AcosB－ cosAsin B＝10 227.种类四 判断三角形的形状后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的 关系；或将角都化成边，而后进行代数恒等变 形，可一题多解，多角度思虑问题，进而达到 对知识的娴熟掌握．在三角形 ABC 中，若 tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形 ABC 的形状．a 2 sin 2A解法一：由正弦定理，得 b 2＝sin 2B ， tan A sin 2 A所以 tan B ＝sin 2 B ，A Bsin 2AA ＝ Bsin cos2 ，即sin2所以cosAsin B ＝sinB sin2 . 所以 A ＝ B ，或2 A ＋B ＝π，所以 A ＝B2 22π或 A ＋ B ＝ 2 ，进而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．a2sin 2A解法二：由正弦定理，得 b 2＝ sin 2B ，所以tan A sin 2A cosB sin Atan B ＝sin 2B，所以 cosA ＝ sin B，再由正、余弦a 2＋ c 2 －b 2aca a 2－ b2c 2－定理，得 2 22 2 )( b ＋ c －a ＝ b ，化简得 (2bca 2－b 2 )＝ ，即 a 2＝ b 2 或c 2＝ a 2 ＋b 2. 进而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．【评析】由已知条件，可先将切化弦，再联合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然( 2012·上海 ) 在 △ABC 中 ， 若 sin 2A ＋sin 2B 2C ，则△ ABC 的形状是 ( )<sin A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不可以确立解：在△ ABC 中，∵ sin 2A ＋sin 2 B<sin 2C ，∴由正弦定理知 a 2 ＋b 2<c 2. ∴cos C ＝ a 2＋b 2－c 22ab<0，即∠ C 为钝角，△ ABC 为钝角三角形． 应选 C.种类五 解三角形应用举例某港口 O 要将一件重要物件用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口 O北偏西 30°且与该港口相距20 n mile的A 处，并以 30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假定该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过 t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假定小艇的最高航行速度只好达到 30 n mile/h ，试设计航行方案 ( 即确立航行方向和航行速度的大小 ) ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明原因．解法一：(1) 设相遇时小艇航行的距离为 S n mile ，则S＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos（90°－ 30°）＝t2－t ＋400＝900600900 t －123＋300，1103故当 t ＝3时，S min＝103，此时 v＝1＝3 303.即小艇以 30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在 B 处相遇，则v2 t 2＝400＋t 2－900 2·20·30t ·cos(90 °－ 30°) ，2600400故 v ＝ 900－t＋t2.v≤，∴6004002－＋≤，即∵0<30900t t900t3－t≤0，22解得 t ≥3. 又 t ＝3时，v＝30. 故 v＝ 30 时，2t 获得最小值，且最小值等于3.此时，在△ OAB中，有 OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案以下：航行方向为北偏东30°，航行速度为 30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1) 若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．在 Rt△OAC中， OC＝20cos30°＝ 10 3，AC＝20sin30 °＝ 10.又 AC＝30t ，OC＝vt ，101103此时，轮船航行时间 t ＝30＝3，v＝1＝330 3.即小艇以 30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假定 v＝ 30 时，小艇能以最短时间与轮船在 D处相遇，此时 AD＝DO＝30t .又∠ OAD＝60°，所以 AD＝ DO＝OA＝20，2解得 t ＝3.据此可设计航行方案以下：航行方向为北偏东 30°，航行速度的大小为30 n mile/h. 这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明以下：如图，由 (1) 得 OC＝103， AC＝10，故 OC>AC，且关于线段 AC上随意点 P，有OP≥ OC>AC.而小艇的最高航行速度只好达到30 n mile/h ，故小艇与轮船不行能在 A，C 之间 ( 包括 C) 的随意地点相遇．设∠ COD＝θ (0 °<θ<90°) ，则在 Rt△COD 中，103CD＝103tan θ， OD＝cosθ .因为从出发到相遇，轮船与小艇所需要的10＋10 3tan θ和 t ＝103，时间分别为 t ＝30vcosθ10＋10 3tan θ10 3所以30＝vcosθ.153由此可得，v＝sin （θ＋30°）.3又 v≤30，故 sin( θ＋30°) ≥2，进而，30°≤ θ<90°.因为θ＝30°时， tan θ获得最小值，且3最小值为3 .10＋103tan θ于是，当θ＝30°时，t ＝302获得最小值，且最小值为3.【评析】①这是一道相关解三角形的实质应用题，解题的重点是把实质问题抽象成纯数学识题，依据题目供给的信息，找出三角形中的数目关系，而后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实质问题中，有宽泛的应用．在物理学中，相关向量的计算也要用到解三角形的方法．最近几年的高考取我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热门问题之一．③不论是什么种类的三角应用问题，解决的重点都是充足理解题意，将问题中的语言表达弄理解，画出帮助剖析问题的草图，再将其归纳为属于哪种可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简易．10( 2012·武汉 5月模拟 ) 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 60°方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里 / 小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，恰好用2 小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin α的值．解： (1)依题意，∠BAC＝°，A B＝，12012 AC＝× ＝2，在△ ABC中，由余弦定理知 BC 1022022∠ BAC＝2＋2－＝AB＋ AC－ AB·AC·12202cos2×12×20×cos120°＝ 784，BC＝ 28.所以渔船甲的速度为 v＝28＝14( 海里 / 小2时) ．(2)在△ ABC中， AB＝12，∠ BAC＝120°，BC＝ 28，AB ∠BCA＝α，由正弦定理得sinα＝BC12＝28，进而 sin α＝，即sin120 °sin ∠ BAC sin α12sin120 °3328＝14.1．已知两边及此中一边的对角解三角形时，要注意解的状况，提防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转变为角角关系 ( 注意应用 A＋ B＋ C＝π 这个结论 ) 或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形( 如因式分解、配方等 ) 求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，不然有可能遗漏一种形状．3．要熟记一些常有结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与引诱公式联合产生的结论：sin A＝ sin( BA B＋C ＋C) ，cosA＝－ cos( B＋ C) ，sin 2＝cos 2，sin2 A＝－ sin2( B＋C) ，cos2A＝ cos2( B＋C) 等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)剖析：理解题意，分清已知与未知，画出表示图；(2)建模：依据已知条件与求解目标，把已11知量与求解量尽量集中到一个三角形中，成立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)查验：查验上述所求得的解能否切合实际意义，进而得出实质问题的解．5．正、余弦定理是应用极为宽泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，进而使三角与几何产生联系，为求与三角形相关的量( 如面积、外接圆、内切圆半径和面积等 ) 供给了理论依照，也是判断三角形形状、证明三角形中相关等式的重要依照．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意领会此中蕴涵的函数与方程思想、等价转变思想及分类议论思想．12。
正弦定理和余弦定理知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数的概念及运算一、知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：4.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.5.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( ) 解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，由A ∈(0，π)，得A ＝2π3，即∠BAC ＝23π. 答案 C3.在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________. 解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形4.(2018·烟台质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( ) A.2B.1C. 3D.2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝bsin π4，∴112＝b22，∴b ＝ 2.答案 D5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2B.30C.29D.25解析 由题意得cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.答案 A6.(2019·荆州一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝22，cos A ＝34，sin B ＝2sin C ，则△ABC 的面积是________. 解析 由sin B ＝2sin C ，cos A ＝34，A 为△ABC 一内角， 可得b ＝2c ，sin A ＝1－cos 2A ＝74， ∴由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得8＝4c 2＋c 2－3c 2， 解得c ＝2(舍负)，则b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×74＝7. 答案 7考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 (a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22， 结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4. 答案 (1)75° (2)B (3)C【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12B.π6C.π4D.π3(2)(2019·北京海淀区二模)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos 2A ＋B2－cos 2C ＝1，4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D.6(3)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定解析 (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4＝2sin C ，则sin C ＝12，又C ∈(0，π)，得C ＝π6.(2)由2cos 2A ＋B 2－cos 2C ＝1，可得2cos 2A ＋B 2－1－cos 2C ＝0，则有cos 2C ＋cos C ＝0，即2cos 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍)，由4sin B ＝3sin A ，得4b ＝3a ，① 又a －b ＝1，②联立①，②得a ＝4，b ＝3， 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋9－12＝13，则c ＝13.(3)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个. 答案 (1)B (2)A (3)B 考点二 判断三角形的形状【例2】 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.答案(1)A(2)B【训练2】若将本例(2)中条件变为“c－a cos B＝(2a－b)cos A”，判断△ABC的形状.解∵c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，∴A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形.考点三 和三角形面积、周长有关的问题 角度1 与三角形面积有关的问题【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 解 (1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π，所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3.即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3. 角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】 (2018·上海嘉定区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.答案12【训练3】(2019·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B.∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.∵a＋b＋c＝3＋23，b＝3，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC ＝12a a c sin B＝12×3×32＝334.三、课后练习1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝223，b cos A＋a cosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π解析由题意及正弦定理得2R sin B cos A＋2R sin A cos B＝2R sin(A＋B)＝2(R为△ABC的外接圆半径).即2R sin C＝2.又cos C＝223及C∈(0，π)，知sin C＝13.∴2R＝2sin C＝6，R＝3.故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. 答案 C2.(2019·武汉模拟)在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( ) A.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3 B.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 C.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3D.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3解析 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A .于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3. 答案 C3.(2019·长春一模)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，且a ＝23，则△ABC 面积的最大值为________. 解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ， 所以12b cos A －sin C cos A ＝sin A cosC ，所以12b cos A ＝sin(A ＋C )，所以12b cos A ＝sin B ， 所以cos A 2＝sin Bb ， 又sin B b ＝sin A a ，a ＝23， 所以cos A 2＝sin A 23，得tan A ＝3，又A ∈(0，π)，则A ＝π3， 由余弦定理得(23)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时取等号)， 从而△ABC 面积的最大值为12×12×32＝3 3. 答案 334.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得b sin A ＝a sin B ， 又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3， 有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.5.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为________. 解析 根据正弦定理及a 2sin C ＝4sin A ，可得ac ＝4， 由(a ＋c )2＝12＋b 2，可得a 2＋c 2－b 2＝4， 所以S △ABC ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222＝14×（16－4）＝ 3. 答案3。
正弦定理和余弦定理考点与提醒归纳
正弦定理和余弦定理考点与提醒归纳一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总——规律多一点 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13，∵a ＝3>b ＝2，∴B <A ，即B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝223. (2)∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝5π6，又∵C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. [答案] (1)223 (2)1考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b2c －a＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________.[解析] (1)∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，∴由余弦定理可得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2，整理可得2c 2＝2c 3，解得c ＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.(2)由正弦定理可得c －b2c －a ＝sin A sin B ＋sin C ＝a b ＋c， ∴c 2－b 2＝2ac －a 2，∴c 2＋a 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∵0<B <π，∴B ＝π4.[答案] (1)D (2)π4[题组训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24B ．－24C.34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以t a n A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C得c ＝a sin C sin A ＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.考点二 判定三角形的形状[典例] (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形[解析] (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．[答案] (1)B (2)C[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________． 解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形． 答案：等腰或直角三角形3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝ba ＝2”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又因为A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2，所以C ＝π2，于是△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形[课时跟踪检测]A 级1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2018·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝ac ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D.6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(2019·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sinC sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6.6．(2019·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A.5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，∴c ＝4. 答案：49．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又因为a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1411．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．解：(1)证明：因为A ＝2B ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin 2B ＝bsin B ，所以a ＝2b cos B .(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为b ＝2，c ＝4，A ＝2B ，所以16c os 2B ＝4＋16－16cos 2B ，所以c os 2B ＝34，因为A ＋B ＝2B ＋B <π，所以B <π3，所以cos B ＝32，所以B ＝π6.12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，结合正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以bc ＝－2bc cos A ，即cos A ＝－12.由于A 为△ABC 的内角，所以A ＝2π3.(2)由已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，结合正弦定理，得2sin 2A ＝(2sin B ＋sin C )sin B ＋(2sin C ＋sin B )sin C ， 即sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝sin 22π3＝34.又由sin B ＋sin C ＝1，得sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，结合sin B ＋sin C ＝1，解得sin B ＝sin C ＝12.因为B ＋C ＝π－A ＝π3，所以B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰三角形．B 级1．(2019·郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( )A.13B.7C.37D ．6解析：选A 由2c os 2A ＋B2－cos 2C ＝1，得1＋c os(A ＋B )－(2c os 2C －1)＝2－2c os 2C －cos C ＝1，即2c os 2C ＋cos C －1＝0，解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍去)．由4sin B ＝3sin A及正弦定理，得4b ＝3a ，结合a －b ＝1，得a ＝4，b ＝3.由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋32－2×4×3×12＝13，所以c ＝13.2．(2019·长春模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n Cc，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________. 解析：∵2sin A a ＝t a n C c ＝sin C c cos C ，且由正弦定理可得a ＝2R sin A ，c ＝2R sin C (R 为△ABC的外接圆的半径)，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.∵sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，sin C ＝sin(A＋B )，∴2sin A cos B ＝4sin B cos B ．当cos B ＝0时，B ＝π2，则A ＝π6，∵c ＝3， ∴a ＝1，b ＝2，则a ＋b ＝3.当cos B ≠0时，sin A ＝2sin B ，即a ＝2b .∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴b 2＝1，即b ＝1，∴a ＝2，则a ＋b ＝3.综上，a ＋b ＝3.答案：33．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .解：(1)2a cos C －c ＝2b ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin B ⇒2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－12， 又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. (2)在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BD sin A， ∴sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝22. 又∠ADB ∈(0，π)，A ＝2π3， ∴∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，b ＝c ＝2， 由余弦定理，得a 2＝c 2＋b 2－2c ·b ·cos A ＝(2)2＋(2)2－2×2×2c os 2π3＝6，∴a ＝ 6.。
高中数学必修5：正弦定理与余弦定理 知识点及经典例题(含答案)
正弦定理与余弦定理【知识概述】在△ABC 中，a , b, c 分别为内角A, B, C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 定理变式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin = ,sin sin ,sin sin ,sin sin C b B c A c C a A b B a ===C B A c b a sin :sin :sin ::=2.余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 2222222222-+=-+=-+=定理变式：,2cos ,2cos ,2cos 222222222abc b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+=3.射影定理：,cos cos ,cos cos ,cos cos A c C a c A c C a b B c C b a +=+=+=4.面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆【学前诊断】1．[难度] 易在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．[难度] 易在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．[难度] 易在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 且ba b a c -=-222，∠C = .【经典例题】例1．在△ABC 中，若 ,则△A =45°，a = 2,c ，则△B =_______, b =___________.例2．已知△ ABC 满足条件cos cos ,a A b B =判断△ ABC 的形状.例3． 在△ABC 中，△A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且满足 cos3.25A AB AC =⋅= （1）求△ ABC 的面积；（2）若b + c =6，求a 的值．例4．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.例5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是 a ，b ，c ，已知 c =2，C =π3．（1）若△ABC a ，b ； （2）若sin 2sin B A =，求△ABC 的面积．【本课总结】一、合理选择使用定理解三角形需要利用边角关系，正弦定理和余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，如何恰当的选择公式则是解题的关键，一般来说，如果题目中含有边的一次式或角的正弦，可考虑选择正弦定理，如果题目中含有边的二次式或角的余弦，可考虑选择余弦定理.二、确定三角形的形状常用归一法 在解三角形的题目中，条件中往往会同时涉及边和角，解题策略则是选择合适的公式把已知条件转化成只含有边或角的关系式.三、解三角形主要涉及的问题解三角形主要处理的是三角形中各边的长度、角的大小以及三角形面积等问题，在三角形中有六个基本元素，三条边、三个角，通常是给出三个独立条件，可求出其它的元素，如果是特殊三角形，如直角三角形，则给出两个条件就可以了.如，若已知两边a,b 和角A,则解的情况如下：（1）当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解. （2）当A 为锐角时，如果a≥b ，那么只有一解；如果a<b ，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若>sin a b A ，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解.【活学活用】1．[难度] 易在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A =60°，a =3，b =1，则c 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3－1 D. 32. [难度] 易△ABC 中，若a =2b cos C ，则△ABC 的形状一定为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形3. [难度] 中在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足c a )13(-=，tan 2tan B a cC c-=，求A 、B 、C 的大小.。
(完整版)解三角形1.1正弦定理和余弦定理知识点总结
第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba 。
二、正弦定理（一）知识与工具：正弦定理：在△ABC 中， R Cc B b A a 2sin sin sin ===。
（外接圆圆半径） 在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。
注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180°(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式：S=21absinC=Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC 111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径） )(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)(4)三角函数的恒等变形。
(5) sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin 2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（6）(边化角公式）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（7）(角化边公式） ::sin :sin :sin a b c A B C =（8）sin sin sin (9),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === （10）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1 利用正弦定理公式原型解三角形题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。
解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案
解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、正弦定理1、正弦定理：在△ABC 中，R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径）。
2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R=== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C++====++.3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABCabc S ah ab C ac B bc A R A B C R∆====== 4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一） 二、余弦定理1、余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bcac b A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=2、余弦定理可以解决的问题：α北东h i l=θ（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.图1 图2 图3 图42、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角相对于某一正方向的水平角（如图3）.4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、（2012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A 【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B BC B B ≠∴===-=. 2、（2009广东文）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==75A ∠=，则b =α 北东南西 B目标lh( )A ．2B ．4＋ C ．4— D【答案】 A【解析】0sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+=由a c ==可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A3、（2011浙江）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )A ．-12 B ．12C ． -1D ． 1 【答案】D【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2sin cos sin =，∴1cos sin cos cos sin 222=+=+B B B A A .4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==6、（2012重庆理）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______ 【答案】145c =【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513A B A B ==⇒==, 由正弦定理sin sin a b A B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===, 由余弦定理2222142cos 25905605a cb bc A c c c =+-⇒-+=⇒=7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=. （I ）求B ； （Ⅱ）若075,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos 2B =，因此45B = （II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=+4=故sin 1sin A a b B =⨯==+ sin sin 6026sin sin 45C c b B =⨯=⨯=8、（2012江西文）△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（1）求cosA;（2）若a=3,△ABC 的面积为求b,c.【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.9、（2011安徽）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ， 又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=， 即12cos 0A -=，1cos 2A =， 又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 2sin 602sin 3b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC·sinC 2752sin(4530)=+2(sin 45cos30cos 45sin 30)=+2321312()2+==10、（2012辽宁理）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.（I ）求cos B 的值;（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值. 【解析】（I ）由已知12,,,cos 32B AC A B C B B ππ=+++=∴==（Ⅱ）解法一：2b ac =，由正弦定理得23sin sin sin 4A CB ==， 解法二：2222221,cos 222a c b a c ac b ac B ac ac+-+-====，由此得22a b ac ac +-=，得a c =所以3,sin sin 34A B C A C π====【课堂练习】1、（2012广东文）在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（ ）A ．B ．CD 2、（2011四川）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ3、（2012陕西理）在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（ ）A B C ．12 D ．12- 4、（2012陕西）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（ ） A ．23B ．22 C ．21D ．21-5、（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===则sin C 的值为( )A ．3 B ．6 C ．3 D ．66、（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab（ ）A ．B ．CD 7、（2012湖北文）设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（ ）A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶48、（2011上海）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A C 两点之间的距离是 千米。
正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳
●高考明方向掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．★备考知考情1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考考查的热点．2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的判断等问题．3.三种题型都有可能出现，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62知识点一 正弦定理(其中R 为△ABC 外接圆的半径)变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222===a bc A B C R R R 变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c注意：(补充)关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化。
知识点二 余弦定理222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇔=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩b c a A bca b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：(补充)（1）关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化。
（2）勾股定理是余弦定理的特例（3）在∆ABC 中，222090︒︒<+⇔<<a b c A用于判断三角形形状《名师一号》P63问题探究 问题3判断三角形形状有什么办法？判断三角形形状的两种途径：一是化边为角；二是化角为边， 并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．知识点三 三角形中常见的结论△ABC 的面积公式有：①S ＝12a ·h (h 表示a 边上的高)；②S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc4R ；--知两边（或两边的积）及其夹角可求面积③S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．(补充)（1）++=A B C π（2）在三角形中大边对大角，大角对大边．（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（4）有关三角形内角的常用三角函数关系式sin()sin ,cos()cos ,tan()tan sin cos ,cos sin 2222+=+=-+=-++==B C A B C A B C AB C AB C A利用++=A B C π及诱导公式可得之（5）在△ABC 中的几个充要条件:《名师一号》P63问题探究 问题4sin A >sin B ? a2R >b2R ? a >b ? A >B .(补充) cos cos A B A B >⇔<若R ∈、αβ或2k απβπ=-+(k Z ∈)或2k αβπ=-+?(k Z ∈)《45套》之7--19（6）锐角△ABC 中的常用结论∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π4．解斜三角形的类型《名师一号》P63问题探究 问题1利用正、余弦定理可解决哪几类问题？在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．(补充)已知两边和其中一边的对角（如,,a b A ）用正弦定理或余弦定理均可《名师一号》P63问题探究 问题2选用正、余弦定理的原则是什么？若式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．补充:一、正弦定理推导必修5证明思路：转化到特殊情形----直角三角形中二、余弦定理推导必修52011年陕西高考考查余弦定理的证明18.（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理。
正弦定理、余弦定理精讲精析(解析版)
正弦定理、余弦定理精讲精析点点突破热门考点01 正弦定理正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B【典例1】（2019·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 【典例2】（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =. 由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =-=. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解热门考点02 余弦定理余弦定理：2222cos a b c ab C +-= ， 2222cos b c a ac A +-= ， 2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab【典例3】（2020·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【典例4】（2019·北京高考真题（文））在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值． 【答案】（Ⅰ）7,5b c ==；. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，因为3a =，所以22390c b c -++=；因为2b c -=，所以解得75b c =⎧⎨=⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3,7,5a b c ===，所以22213cos 214b c a A bc +-==；因为A 为ABC ∆的内角，所以sin A ==.因为sin()sin()sin B C A A +=π-==. 【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：热门考点03正弦定理与余弦定理的综合运用【典例5】（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【典例6】（2019·全国高考真题（理））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22-=-．(sin sin)sin sin sinB C A B C（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =. 【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈3Aπ（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==>所以sin C >，故sin C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin 63cos C C -=，即3sin 3cos 23sin 66C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭2sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+ 62sin sin()46C ππ+=+=. 【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．热门考点04 应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例7】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝2π或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)， 所以△ABC 为等腰或直角三角形． 【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．热门考点05 与三角形面积有关的问题【典例8】（2018·全国高考真题（文））△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．. 【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===.【典例9】（2017·上海高考真题）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+，()0,x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）[,)2ππ;（2 【解析】（1）函数2211()cos sin cos 2,(0,)22f x x x x x π=-+=+∈ 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈1k =时，12x ππ≤≤，可得()f x 的增区间为[,)2ππ（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边b=5， 若()0f A =，即有1cos 202A += 解得223A π=，即3A π= 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c =2或3， 若c =2，则cos 0B =<即有B 为钝角，c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为11sin 532224S bc A ==⨯⨯⨯=【总结提升】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．热门考点06 与三角形周长有关的问题【典例10】（2017课标1，理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】 【解析】【典例11】（2019·江西洪都中学高二月考（理））在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且cos 4c A =，sin 5a C =．（1）求边长c ；（2）若ABC △的面积20S =．求ABC △的周长． 【答案】（141（2）8241+【解析】（1）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得sin sin a C c A =， 因为sin 5a C =，可得sin 5c A =，所以5sin A c=， 又由cos 4c A =，可得4cos A c=，又因为22222516sin cos 1A A c c+=+=，解得c = （2）由题意，ABC ∆的面积1sin 202S ab C ==，sin 5a C =，解得8b =，由余弦定理，可得2222cos 64412841a b c bc A =+-=+-=，解得a =，所以ABC ∆的周长88L a b c =++=+=+【总结提升】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.热门考点07 三角形中的最值与范围问题【典例12】（2018·江苏高考真题）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例13】（2020·全国高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴周长的最大值为3+【典例14】（2019·全国高考真题（文））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】 (1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 0<B <π，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故82ABCS <<. 故ABCS的取值范围是 【总结提升】三角形中的最值范围问题，往往有三种情况，一是转化成三角函数的值域问题，利用三角函数的图象和性质；二是利用基本不等式求最值，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误；三是利用函数的单调性.热门考点08 应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【典例15】（2019·上海市金山中学高一月考）如图，在笔直的海岸线l 上有两个观测点A 和B ，点A 在点B 的正西方向，2AB km =．若从点A 测得船C 在北偏东60°的方向，从点B 测得船C 在北偏东45°的方向，则船C 离海岸线l 的距离为______km ．（结果保留根号）【答案】13+ 【解析】如图所示，过点C 作CD AB ⊥，交AB 的延长线与点D ，设CD x =，45CBD BCD ∴∠=∠=， 设BD CD x ==， 又2AB =，2AD AB BD x ∴=+=+，30,tan CDCAD CAD AD︒∠=∠=， 323x x ∴=+， 解得：13x =+所以船C 离海岸线l 的距离为(13)km ， 故答案为：13+【典例16】（2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二））我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”） 【答案】1255步【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步，由相似三角形的性质有，解得：，则海岛高度为1255步.【典例17】（2019·海南高一期中）在海岸A 处发现北偏东45︒方向，距A 处()31-海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75︒方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.【答案】缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 【解析】如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船（在D 点），则3CD t =海里，10BD t =海里， 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅))2212212cos1206=+-⋅⋅⋅︒=，解得=BC 又sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，sin sin2AC BAC ABC BC ⋅∠∴∠===45ABC ∴∠=︒，故B 点在C 点的正东方向上，9030120CBD ∴∠=︒+︒=︒，在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，sin sin BD CBDBCD CD⋅∠∴∠=12==. 30BCD ∴∠=︒，∴缉私船沿北偏东60︒的方向行驶.又在BCD ∆中，120CBD ∠=︒，30BCD ∠=︒，30D ∴∠=︒，BD BC ∴=，即10t =解得t =15≈分钟. ∴缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.【总结提升】1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有： （1）两点都不可到达； （2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达. 2. 求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 3. （1）测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． （2）解决角度问题的注意事项①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． ②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C2．（2020·全国高考真题（理））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12 D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.3. （2019·上海市金山中学高一月考）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选：B4．（2016·全国高考真题（文））△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.5．（2018·全国高考真题（理））在ABC ∆中，cos 2C =，则AB=（ ）A ．BCD ．【答案】A 【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.6．（2012·陕西高考真题（理））在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A B C ．12D ．12-【答案】C 【解析】2221()2c a b =+，由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”，cos C ∴的最小值为12，选C.7．（2019·吴起高级中学高二期中（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，60B =，b =则ABC ∆外接圆的面积是（ ） A ．2π B ．πC ．34πD ．2π 【答案】B 【解析】设ABC △外接圆的半径r ，则22sin sin 60b r B ===，解得1r =， ∴ABC △外接圆的面积21ππ=⨯=，8．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））在ΔABC 中，4a =，5b =，A =45°，则此三角形解的情况是( ) A ．两解 B ．一解C ．一解或两解D ．无解【答案】A 【解析】因为4a =，5b =，A =45°,所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,所以290c -+=,解得2c =或2c =, 所以此三角形解有两解. 故选:A .9．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））已知△ABC 中，sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】C 【解析】 因为sin sin sin c b Ac a C B -=-+,利用正弦定理角化边得c b a c a c b-=-+,所以()()()c b c b a c a -+=-, 所以222c b ac a -=-, 所以222a c b ac +-=,所以222122a cb ac +-=,根据余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==,因为0B π<<,所以3B π=.10．（2019·陕西高三（理））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos sin A B Ca b c+=，若22285b c a bc +-=，则tan B 的值为（ ） A ．13- B ．13C ．3-D ．3【答案】C 【解析】ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，由cos cos sin A B C a b c +=，得：cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C +==， 故111tan tan A B+=， 若22285b c a bc +-=，则222425b c a bc +-=，即4cos 5A =．3sin 5A ∴=，故3tan 4A =， 代入111tan tan A B+=，解得tan 3B =-． 故选：C ．11．（2019·四川高三月考（理））已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-，若ABC △的面积为ABC △的周长的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】C 【解析】()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,∴222a ab c b -=-,∴222a b c ab +-=,∴222cos 122a b c C ab +-==,∴3C π=, 1sin2S ab C ==∴12ab =,222212c a b ab ab ab =+-≥-=（当且仅当c =时取等号）,∴c ≥∴222()3()36c a b ab a b =+-=+-,∴a b +=，∴a b c c ++=设()f c c =()f c 单调递增,c ≥,∴a b c ++≥=故选：C.12．（2019·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 13.（2018·全国高考真题（文））ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C 【解析】 由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.14.（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.15．（2019·江苏高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【答案】（1）3c =；（2）25. 【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)3c c +-=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a b A B=，得cos sin 2B Bb b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16．（2020·山东海南省高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.。
正弦定理和余弦定理(含解析)
第七节正弦定理和余弦定理[知识能否忆起]1．正弦定理 分类 内容定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 是△ABC 外接圆的半径)变形 公式①a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ，②sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ③sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R解决的 问题 ①已知两角和任一边，求其他两边和另一角， ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2．余弦定理 分类内容定理在△ABC 中，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C 变形 公式 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab解决的 问题 ①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．[小题能否全取]1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝2 3.2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°解析：选C ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，又∵0°<A <180°，∴A ＝60°.3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定解析：选B ∵a sin A ＝bsin B，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°，∴sin B ＝223.又∵a <b ，∴B 有两个．4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________. 解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b ＝2. 答案：25．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：设BC ＝x ，由余弦定理得49＝25＋x 2－10x cos 120°， 整理得x 2＋5x －24＝0，即x ＝3.因此S △ABC ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×3×5×32＝1534.答案：1534(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .(2)在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sinAb sin A <a <ba ≥ba >b解的个数一解两解 一解 一解利用正弦、余弦定理解三角形典题导入[例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． [自主解答] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理 a sin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ， 所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.在本例(2)的条件下，试求角A 的大小． 解：∵a sin A ＝bsin B， ∴sin A ＝a sin Bb ＝3·sinπ33＝12.∴A ＝π6.由题悟法1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．以题试法1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝ 2sin A ，即 sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sinB ＝ 2sin A ，所以b a＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.利用正弦、余弦定理判定三角形的形状典题导入[例2] 在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )·b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12，∵0<A <180°，∴A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34.又sin B ＋sin C ＝1， 解得sin B ＝sin C ＝12.∵0°<B <60°，0°<C <60°，故B ＝C ， ∴△ABC 是等腰的钝角三角形．由题悟法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．以题试法2．(2012·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝72.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A2，cos 2A ，∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3.又∵m ·n ＝72，∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3， ∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc .①又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝ 3，于是a ＝b ＝c ＝ 3，即△ABC 为等边三角形．与三角形面积有关的问题典题导入[例3] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cosC ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .[自主解答] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sinA sin C －sinB －sinC ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.由题悟法1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．2．在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．以题试法3．(2012·江西重点中学联考)在△ABC 中，12cos 2A ＝cos 2A －cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin B ＝2sin C ，求S △ABC .解：(1)由已知得12(2cos 2A －1)＝cos 2A －cos A ，则cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由b sin B ＝c sin C ，可得sin B sin C ＝bc＝2，即b ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝12， 解得c ＝3，b ＝23，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝332.1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B .2．(2012·泉州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3解析：选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cos π3＝3⇒a ＝ 3.3．(2013·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2cb，则C ＝( ) A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°解析：选B 由1＋tan A tan B ＝2cb 和正弦定理得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ， 所以cos A ＝12，则A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22， 又c <a ，则C <60°，故C ＝45°.4．(2012·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12解析：选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析：选C 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin A a ＝3sinπ33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π28．(2012·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________；a ＝________.解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin C sin B ＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．答案：2 2 69．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4.答案：410．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sinB .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. 11．(2013·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB u u u r ·AC u u ur 的值．解：(1)因为3a －2b sin A ＝0， 所以 3sin A －2sin B sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3.(2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝ 7.根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a >c ，故a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB u u u r ·AC u u u r ＝|AB u u u r|·|AC u u u r |cos A ＝cb cos A＝2×7×714＝1. 12．(2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tanA ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ， 所以sin B ⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 因此sin 2B ＝sin A sinC . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.1．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析：选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)22n (n ＋1)，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.2．(2012·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．解析：因为4sin2A ＋B2－cos 2C ＝72， 所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab，ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：3323．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得 (2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0， sin B (2cos A －1)＝0. ∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334， ∴bc ＝3，①∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，② 由①②得b ＝c ＝3， ∴△ABC 为等边三角形．1．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.解析：在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又∵sin A ＝a sin B b ＝12，∴A ＝30°或150°(舍)，∴C ＝90°，∴sin C ＝1.答案：12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选A 法一：(化边为角)由正弦定理知： sin A ＝2sin B cos C ，又A ＝π－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B cos C . ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0.又∵B 、C 为三角形内角，∴B ＝C .法二：(化角为边)由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a，∴a 2＝a 2＋b 2－c 2，∴b 2＝c 2，∴b ＝c .3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解：(1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，且0<C <π，所以sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C－1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26， 所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ， 且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解：(1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.。
(完整版)正弦定理、余弦定理知识点
正弦定理、余弦定理讲师：王光明【基础知识点】1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝＝ca sin B ；2121212．三角形中的边角不等关系: A>B a>b,a+b>c,a-b<c ；；⇔3．【正弦定理】：＝＝＝2R （外接圆直径）；A a sin B b sin Ccsin 正弦定理的变式：； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b AR a sin 2sin 2sin 24．正弦定理应用范围： ①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A 为锐角AABa=bsin A bsin A<a<b a b ≥ 一解 两解 一解(2)A 为锐角或钝角当时有一解.a>b 5．【余弦定理】 a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ．若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．【习题知识点】知识点1 运用判断三角形形状例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.【解析】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形解法2:由余弦定理: 22222222bc a c b b ac b c a a -+⋅=-+⋅ 22b a = ∴ b a =即△ABC 为等腰三角形.知识点2 运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理: ①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角.例题2 在△ABC 中，已知，，B=45︒ 求A 、C 及c .3=a 2=b 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【解析】解法1：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BCb c当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理将已知条件代入，整理：解之：B ac c a b cos 2222-+=0162=+-x x 226±=x 当时 从而A=60︒ ，C=75︒226+=c 2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 当时同理可求得：A=120︒ C=15︒.226-=c 知识点3 解决与三角形在关的证明、计算问题例题3 已知A 、B 、C 为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C 的值． 【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角．本题应先求出A+B 和C 的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C ．【解析】 A B C 、、为锐角∴<++<0270°°A B C 又，，由公式可得tan tan A B ==12tan()tan tan tan tan A B A B A B +=+-⋅=+-=-112123[]tan()tan ()A B C A B C ++=++=++-+⋅tan()tan tan()tan A B C A B C 1 =-+--⨯33133() =0所以A+B+C=π知识点4 求三角形的面积例题4 △ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，∠B ＝60o ，∠ADC ＝150o ，求AC 的长及△ABC 的面积．【解析】在△ABC 中，∠BAD ＝150o －60o ＝90o ，∴AD ＝2sin60o ＝3．A在△ACD 中，AD 2＝(3)2＋12－2×3×1×cos150o ＝7，∴AC ＝7． ∴AB ＝2cos60o ＝1．S △ABC ＝21×1×3×sin60o ＝343．知识点4 解决实际为题例题4 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。
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【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则 x 的取 值范围是( )
又 cosB= ,故 ac=6, 由 b2=a2+c2-2accosB,可得 a2+c2=12, 所以(a-c)2=0,即 a=c,所以 a=c= . 15. 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 点 (a,b) 在 直 线 x(sinA-sinB)+ysinB=csinC 上.
＝(3 2)2＋32－2×3 2×3×2 3 2，
即 BD2＝3，BD＝ 3.
1．已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若 A＝π3 ，b＝2acosB，c＝1， 则△ABC 的面积等于( )
2．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 C＝2B，则cb为(
11.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=
.
【解析】由正弦定理可得 = ,所以 sinB= ,
再由 b<a,可得 B 为锐角,
所以 cosB=
=.
答案:
12. 在 △ABC 中 , 三 个 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 若
sin2A+sin2C-sin2B= sinAsinC,则 B=
.
【解析】在△ABC 中,因为 sin2A+sin2C-sin2B= sinAsinC,
所以利用正弦定理得:a2+c2-b2= ac,
所以 cosB=
= ,所以 B= .
答案: 13.△ABC 中,点 D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.
(1)求 . (2)若∠BAC=60°,求 B. 【解析】(1)如图,由正弦定理得:
C．锐角三角形
D．等边三角形
(2)在△ABC 中，cos2B2＝a2＋cc(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则△ABC 的形状为(
)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 (1)AⅡ)如图，在△ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC， △ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍．
(2)由题意知 a＝ 2b，a2＝b2＋c2－2bccosA， 即 2b2＝b2＋c2－2bccosA，
又 c2＝b2＋ 2bc，
∴cosA＝ 22，A＝45°，sinB＝12，B＝30°，∴C＝105°.
【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法 ①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断．
∴当 B＋π6 ＝π2 ，
即 B＝π3 时，sinA＋sinB 的最大值为 3.故选 C。
答案：C
7.在△ABC 中,若 A= ,B= ,BC=3 ,则 AC=( )
A.
B.
【答案】C。
【解析】由正弦定理可得: = ,
即有 AC=
=
=2 .
8.在△ABC 中,若 a2+b2<c2,则△ABC 的形状是 ( )
A．x＞2
B．x＜2
C．2＜x＜2 2
D．2＜x＜2 3
(2)在△ABC 中，A＝60°，AC＝2，BC＝ 3，则 AB＝________.
答案 (1)C (2)1 解析 (1)若三角形有两解，则必有 a＞b，∴x＞2，
又由 sinA＝absinB＝x2× 22＜1，
可得 x＜2 2，
∴x 的取值范围是 2＜x＜2 2.
)
A．2sinC B．2cosB
C．2sinB D．2cosC
解析：由于 C＝2B，故 sinC＝sin2B＝2sinBcosB，所以ssiinnCB＝2cosB，由正弦定理可得cb ＝ssiinnCB＝2cosB，故选 B。
答案：B c－b sinA
3．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且c－a＝sinC＋sinB，则 B＝( )
(2)如图，在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝2 3 2，AB＝3 2，AD ＝3，则 BD 的长为______．
答案 (1)D (2) 3
(2)sin∠BAC＝sin(π2 ＋∠BAD)＝cos∠BAD，
∴cos∠BAD＝2
3
2 .
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD
C．120° D．150°
2sin2B－sin2A 5．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 3a＝2b，则 sin2A 的 值为( ) A．－19 C．1 解析：由正弦定理可得2sins2Bi－n2Asin2A＝2ssiinnBA2－1＝2ba2－1，因为 3a＝2b，所以ba＝32， 所以2sins2Bi－n2Asin2A＝2×322－1＝72。 答案：D 6．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且满足 csinA＝ 3acosC，则 sinA＋sinB 的最大值是( )
(2)∵A＝60°，AC＝2，BC＝ 3， 设 AB＝x，由余弦定理，得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA， 化简得 x2－2x＋1＝0， ∴x＝1，即 AB＝1.
高频考点二 和三角形面积有关的问题
例 2、(2015·浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 A＝π4 ， b2－a2＝12c2.
A．1
D．3
解析：由 csinA＝ 3acosC，所以 sinCsinA＝ 3sinAcosC，即 sinC＝ 3cosC，所以 tanC
＝
π 2π 3，C＝ 3 ，A＝ 3 －B，所以
sinA＋sinB＝sin23π－B＋sinB＝
3sinB＋π6 ，
∵0＜B＜2π3 ，∴π6 ＜B＋π6 ＜56π，
解析：由 sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR，代入整理得：cc－ －ba＝c＋a b⇒ c2－b2＝ac－a2，
所以
a2＋c2－b2＝ac，即
cosB＝12，所以
π B＝ 3 。
答案：C
4．在△ABC 中，若 lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lgb＋1 c，则 A＝(
)
A．90° B．60°
高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例 1、(1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A．1 个
B．2 个
C．0 个
D．无法确定
(2)在△ABC 中，已知 sinA∶sinB＝ 2∶1，c2＝b2＋ 2bc，则三内角 A，B，C 的度数依 次是________．
,则 B= ( )
10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若 C=120°,c= a,则 ( ) >b <b =b 与 b 的大小关系不能确定 【答案】A 【解析】由余弦定理得 2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,
即 + -1=0, =
<1,故 b<a.
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
【答案】C
【解析】由余弦定理:a2+b2-2abcosC=c2,
因为 a2+b2<c2,所以 2abcosC<0, 所以 C 为钝角,△ABC 是钝角三角形.
9.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且
=
A.
B.
C.
D.
【答案】C.
=
,=
,
因为 AD 平分∠BAC,BD=2DC,
所以 = = . (2)因为 C=180°-(∠BAC+B),∠BAC=60°, 所以 sinC=sin(∠BAC+B)
= cosB+ sinB,
由(1)知 2sinB=sinC,所以 tanB= ,即 B=30°. 14.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB-ccosB.
(3)(2015·广东)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 3，sinB＝12， C＝π6 ，则 b＝________.
答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1
解析 (1)∵bsinA＝ 6× 22＝ 3，∴bsinA<a<b.
∴满足条件的三角形有 2 个．
(1)求角 C 的值. (2)若 2cos2 -2sin2 = ,且 A<B,求 .
(2)因为 2cos2 -2sin2 =1+cosA-1+
cosB=cosA+cos
= cosA+ sinA=sin
(1)求ssiinnBC； (2)若 AD＝1，DC＝ 22，求 BD 和 AC 的长．
解 (1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD. 因为 S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD， 所以 AB＝2AC. 由正弦定理可得ssiinnBC＝AACB＝12. (2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6， 由(1)知 AB＝2AC，所以 AC＝1. 【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应 用 A＋B＋C＝π 这个结论． (2)求解几何计算问题要注意 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理． 【变式探究】(1)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c，若 c－acosB ＝(2a－b)cosA，则△ABC 的形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形