北师大版九年级数学上册期末试卷
北师大版九年级上册数学期末考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．下列函数中不是反比例函数的是（）A ．3y x=B ．13y x -=C ．1xy =D ．3x y =-2．下列立体图形中，主视图是圆的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，在菱形ABCD 中，60B ∠=︒，4AB =，则正方形ACEF 的面积为（）A ．8B ．12C ．16D ．204．用如图所示的两个转盘（分别进行四等分和三等分）设计一个“配紫色”的游戏，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，分别转动两个转盘（指针指向区域分界线时，忽略不计），那么可配成紫色的概率为（）A ．712B ．12C ．512D ．135．如图，在平面直角坐标系中，OAB 与OCD 位似，点O 是它们的位似中心，已知()4,2A -，()2,1C -，则OAB 与OCD 的面积之比为（）A ．1:1B ．2:1C ．3:1D ．4:16．若双曲线ay x=在第二、四象限，那么关于x 的方程2210ax x ++=的根的情况为（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实根7．如图，四边形OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线1k y x=和2ky x =的一支上，过点A ，点C 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，有以下结论：①ON OM =；②12k AM CN k =；③阴影部分面积是()121k k 2+；④若四边形OABC 是菱形，则图中曲线关于y 轴对称．其中正确的结论是（）A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④8．如图，矩形ABCD 中，点E ，点F 分别是BC ，CD 的中点，AE 交对角线BD 于点G ，BF 交AE 于点H ．则GHHE的值是（）A ．12B ．23C．2D9．如图，已知△A′B′C′与△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，若A′是OA 的中点，则△A′B'C′与△ABC 的面积比是（）A ．1：4B ．1：2C ．2：1D ．4：110．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BECE的值为（）A ．512B ．725C ．718D ．524二、填空题11．如果四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，且4a =，12b =，8c =，那么d 为______．12．已知1x =是一元二次方程220x ax +-=的一个根，则此方程的另一个根为______．13．如图，在ABC 中，∥DE BC ，若:3:2AD DB =，6cm AE =，则EC 的长为______cm ．14．已知近视眼镜的度数D （度）与镜片焦距f （米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了___度．15．如图，函数()0y kx k =-≠的图象与2y x=-的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，连接BC ，则BOC 的面积为______．16．如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所标的数据，这个几何体的体积为______．17．如图，在正方形ABCD 中，顶点A ，B ，C ，D 在坐标轴上，且()2,0B ，以AB 为边构造菱形ABEF （点E 在x 轴正半轴上），将菱形ABEF 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点2022F 的坐标为______．18．如图，OA OB OC ==且30ACB ∠=︒，则AOB ∠的大小是______度．三、解答题19．关于x 的一元二次方程2240x x k --=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若1k =，请用配方法求该方程的根．20．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且//DE AC ，//AE BD ，连接OE ．求证：OE AD ⊥．21．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为（1，2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图像直接写出使正比例函数的值大于反比例函数的值的x取值范围．22．如图：一次函数的图象与反比例函数kyx=的图象交于()2,6A-和点()4,B n．（1）求点B的坐标；（2）根据图象回答，当x在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．23．如图，BD、CE是ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点．(1)求证：ADE ABC △△∽．(2)试说明MN 与DE 的关系．24．如图，在ABC 中，2BC AB =，AD 是BC 边上的中线，O 是AD 的中点，过点A 作AE BC ∥，交BO 的延长线于点E ，BE 交AC 于点F ，连接DE 交AC 于点G ．(1)判断四边形ABDE 的形状，并说明理由；(2)若34AB =:3:5OA OB =，求四边形ABDE 的面积；(3)连接DF ，求证：2DF FG FC =⋅．25．如图，点E 是矩形ABCD 的边BA 延长线上一点，连接ED ，EC ，EC 交AD 于点G ，作CF ∥ED 交AB 于点F ，DC ＝DE ．(1)求证：四边形CDEF 是菱形；(2)若BC ＝3，CD ＝5，求AG 的长．26．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．27．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝kx（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）求ABBC的值．参考答案1．D2．D3．C4．A5．D6．A 7．C 8．B 9．A 10．C 11．2412．2x =-13．414．15015．116．18π17．(2,-18．60．19．（1）2k >-（2）1x =2x =20．证明：//,//A C D E E D A B ，∴四边形AODE 是平行四边形，四边形ABCD 是矩形，1122OA OD AC BD ∴===，∴平行四边形AODE 是菱形，OE AD ∴⊥．21．（1）2y x=；（2）10x -<<或1x >．【详解】解：（1）设反比例函数表达式为k y x=，∵正比例函数与反比例函数的图象交于A 、B 两点，∴将A 的坐标（1，2）代入k y x =得：21k=，解得：k=2，∴2y x=；（2）设正比例函数表达式为y=ax ，将A 的坐标（1，2）代入y=ax 得：2=a ，∴y=2x ，联立正比例函数表达式和反比例函数表达式，得：22y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，整理得：222x =，解得：1211x x ==-，，∴B 点横坐标为-1，将x=-1代入y=2x 得：y=-2．∴B(-1，-2)，由图像可得，正比例函数的值大于反比例函数的值的x 取值范围是10x -<<或1x >．22．（1）()4,3B -；（2）2x <-或04x <<．【详解】解：（1）将点()2,6A -代入ky x=得：2612k =-⨯=-，则反比例函数的解析式为12y x=-，将点()4,B n 代入12y x=-得：1234n =-=-，则点B 的坐标为()4,3B -；（2） 一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，2x ∴<-或04x <<．23．(1)见解析(2)MN 垂直平分DE ，理由见解析【分析】（1）根据三角形高、相似三角形的性质，通过证明ABD ACE ∽△△，得AB ACAD AE=，再根据相似三角形的性质分析，即可完成证明；（2）根据直角三角形斜边中线的性质，得12EM BC =，12DM BC =，再根据等腰三角形三线合一的性质分析，即可得到答案．(1)∵BD 、CE 是ABC 的两条高，∴90ADB AEC ∠=∠=︒，∵A A ∠=∠，∴ABD ACE ∽△△，∴AB ADAC AE=，∴AB ACAD AE=，∵A A ∠=∠，∴ADE ABC △△∽；(2)如图，连接DM ，EM∵BD 、CE 是ABC 的两条高，∴90CDB BEC ==︒∠∠∵M 是BC 的中点，，∴12EM BC =，12DM BC =，∴EM DM =，∵N 是DE 的中点，∴MN 垂直平分DE ．24．(1)四边形ABDE 是菱形，理由见解析(2)30(3)见解析【分析】（1）先判定△AOE ≌△DOB （ASA ），得出AE ＝BD ，根据AE ∥BD ，即可得出四边形ABDE 是平行四边形，再根据BD ＝BA ，即可得到平行四边形ABDE 是菱形；（2）根据四边形ABDE是菱形，AB =OA:OB ＝3:5，运用勾股定理求得AD ＝6，BE ＝10，即可得出菱形ABDE 的面积；（3）根据菱形的性质得出∠GDF ＝∠DCF ，再根据∠GFD ＝∠DFC ，即可判定△DFG ∽△CFD ，进而得到GFDFDF CF =，得证．（1）解：（1）四边形ABDE 是菱形．理由：∵AE BC ∥，∴EAO BDO ∠=∠，∵O 是AD 的中点，∴AO DO =，在AOE △和DOB 中，EAO BDOAO DO AOE DOB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA AOE DOB △△≌，∴AE BD =，又∵AE BD ∥，∴四边形ABDE 是平行四边形，∵AD 是BC 边上的中线，∴2BC BD =，又∵2BC AB =，∴BD BA =，∴平行四边形ABDE 是菱形．（2）解：∵四边形ABDE 是菱形，∴AD BE ⊥，12AO AD =，12BO BE =，设3OA k =，5OB k =，在Rt AOB △中，由勾股定理得222AO OB AB +=，∴()()22235k k +=，整理得2292534k k +=，解得1k =，∴3OA =，5OB =，∴6AD =，10BE =，∴菱形ABDE 的面积1106302=⨯⨯=．（3）证明：∵四边形ABDE 是菱形，∴BE 垂直平分AD ，EA ED =，FA FD =，∴EAO EDO ∠=∠，FAO FDO ∠=∠，∴EAF EDF ∠=∠，∵AE BC ∥，∴EAF DCF ∠=∠，∴GDF DCF ∠=∠，又∵GFD DFC ∠=∠，∴DFG CFD △△∽，∴GFDFDF CF =，∴2DF FG FC =⋅．25．(1)解：证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∵CF ∥ED ，∴四边形CDEF 是平行四边形，∵DC=DE ．∴四边形CDEF 是菱形；(2)如图，连接GF ，∵四边形CDEF 是菱形，∴CF=CD=5，∵BC=3，∴BF=4==，∴AF=AB-BF=5-4=1，在△CDG 和△CFG 中，CD CF DCG FCG CG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDG ≌△CFG （SAS ），∴FG=GD ，∴FG=GD=AD-AG=3-AG ，在Rt △FGA 中，根据勾股定理，得FG 2=AF 2+AG 2，∴（3-AG ）2=12+AG 2，解得AG=43．26．（1）见解析（2）【分析】（1）证△ABE ≌△CBE （SAS ），即可得出结论；（2）连接AC 交BD 于H ，先由菱形的性质可得AH ⊥BD ，BH ＝DH ，AH ＝CH ，求出BH 、EH 的长，由勾股定理求出AH 的长，再由勾股定理求出AB 的长，即可得出结果．【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝∠CBE ，AB ＝CB ，在△ABE 和△CBE 中，AB CB ABE CBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE ，∴AE ＝CE ，∵AE ＝DE ，∴CE ＝DE ；（2）如图，连接AC 交BD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AH ⊥BD ，BH ＝DH ，AH ＝CH ，∵CE ＝DE ＝AE ＝1，∴BD ＝BE+DE ＝2+1＝3，∴BH ＝12BD ＝32，EH ＝BE ﹣BH ＝2﹣32＝12，在Rt △AHE 中，由勾股定理得：AH在Rt △AHB 中，由勾股定理得：AB＝27．（1）y ＝2x；（2）1【分析】（1）将点A 坐标代入两个解析式可求a 的值，k 的值，即可求解；（2）连接OA ，OB ，先求得B 、C 的坐标，然后求得S △AOC ＝1322⨯⨯＝3，S △BOC ＝1312⨯⨯＝32，则可求得S △AOB ＝32，根据同高三角形面积的比等于底边的比即可求得结论．【详解】解：（1）把点A （1，a ）代入y ＝﹣x+3，得a ＝2，∴A （1，2），把A （1，2）代入反比例函数k y x =，∴k ＝1×2＝2，∴反比例函数的表达式为y ＝2x；（2）如图，连接OA ，OB ，由一次函数y ＝﹣x+3可知C 的坐标为（3，0），解23y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩得12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，∴B （2，1），∴S △AOC ＝1322⨯⨯＝3，S △BOC ＝1312⨯⨯＝32，∴33322AOB AOC BOC S S S =-=-= ，∴AOB BOC S S ∆∆＝1，∴AB BC ＝1．。
北师大版九年级上册数学期末测试卷及含答案
北师大版九年级上册数学期末测试卷及含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（）A.4.5米B.6米C.3米D.4米2、下列说法正确的是（）A.菱形都是相似图形B.各边对应成比例的多边形是相似多边形C.等边三角形都是相似三角形D.矩形都是相似图形3、面积为4的矩形的长为x，宽为y，则y与x的函数关系的图象大致是（）A. B. C.D.4、以下变换可以改变图形的大小的是（）A.位似变换B.旋转变换C.轴对称变换D.平移变换5、若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最大边的比是（）A.1：2B.1：4C.1：5D.1：166、在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=2：3，DE=4，则BC等于（）A.10B.8C.9D.67、下列说法不一定正确的是（）A.所有的等边三角形都相似B.有一个角是100 °的等腰三角形相似 C.所有的正方形都相似 D.所有的矩形都相似8、如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（）A.21cmB.14cmC.6cmD.24cm9、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，AB＝3，点E是边CB上一动点，过点E作EF∥CA交AB于点F，D为线段EF的中点，按下列步骤作图：①以C 为圆心，适当长为半径画弧交CB，CA于点M，点N；②分别以M，N为圆心，适当长为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线CG．若射线CG经过点D，则CE 的长度为（）A. B. C. D.10、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则的值为（）A. B.1:2 C.1:3 D.1:411、关于对位似图形的4个表述中：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．正确的个数（）A.1个B.2个C.3个D.4个12、如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA 的长为（）A.4B.2C.3D.2.513、已知：如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为（）A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm14、矩形面积为3cm2，则它的宽y(cm)与x(cm)长之间的函数图象位于（）A.第一、三象限B.第二象限C.第三象限D.第一象限15、已知M、N两点关于y轴对称，且点M在反比例函数y=的图象上，点N 在一次函数 y=x+3的图象上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=abx2+(a+b)x（）A.有最小值，且最小值是-B.有最大值，且最大值是-C.有最大值，且最大值是D.有最小值，且最小值是二、填空题(共10题，共计30分)16、若点A（，3）在反比例函数的图象上，则=________.17、在△ABC中，点A到直线BC的距离为d，AB＞AC＞d，以A为圆心，AC为半径画圆弧，圆弧交直线BC于点D，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，若BC=4，DE=1，∠EDA=∠ACD，则AD=________.18、已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是BC边上的高，AC=3，AB=5，AD=2，此圆的直径等于________.19、已知一次函数的图象过定点M.①请写出点M的坐标________，②若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A(p，q).当一次函数y的值随x的值增大而增大时，p的取值范围是________．20、如图，已知在△ABC中，，，，点E为AB 的中点，D为BC边上的一动点，把△ACD沿AD折叠，点C落在点F处，当△AEF为直角三角形时，CD的长为________.21、“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=________里．22、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2 ，BC= ．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′=________．23、一元二次方程的两根为, ,则的值为________ .24、若方程两根为，则=________．25、如图，已知点A在反比例函数的图象上，作，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若的面积为6，则k=________.三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：.27、我县实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，胡老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对某班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，胡老师一共调查了_________ 名同学，其中女生共有_________ 名；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，胡老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．28、如图,小丽在观察某建筑物AB．（1）请你根据小亮在阳光下的投影,画出建筑物AB在阳光下的投影．（2）已知小丽的身高为1.65m,在同一时刻测得小丽和建筑物AB的投影长分别为1.2m和8m,求建筑物AB的高．29、如图，△OAB以O为位似中心放大1倍到△A′OB′，写出变化前后各顶点的坐标，并指出坐标的变化规律．30、如图，边长为6的正方形ABCD中，AD＝2AE，AB＝3AF，连接EF和AC交于点G，求FG的长.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、B4、A5、A6、A7、D8、A9、C10、C11、B12、A13、C14、D15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、30、。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷带答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．一元二次方程x(x－3)＝4的解是（）A．1B．4C．－1或4D．1或－42．一个由5个相同的正方体组成的立体图形，如图所示，则这个立体图形的左视图是A．B．C．D．3．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C坐标A．（﹣1，﹣1）B．（﹣43，﹣1）C．（﹣1，﹣43）D．（﹣2，﹣1）4．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值是（）A．45B．35C．54D．435．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC ＝9，则BF的长为（）A．4B．C．4.5D．56．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx+b （k 、b 是常数，且k≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c≠0）的图象相交于A （﹣3，﹣2），B （2，3）两点，则不等式y 1＞y 2的解集是（）A ．﹣3＜x ＜2B ．x ＜﹣3或x ＞2C ．﹣3＜x ＜0或x ＞2D ．0＜x ＜27．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME AC ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是（）A ．1.2B ．1.5C ．2.4D ．2.58．反比例函数4y x =和6y x =在第一象限的图象如图所示，点A 在函数6y x=图象上，点B 在函数4y x=图象上，AB ∥y 轴，点C 是y 轴上的一个动点，则△ABC 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为对角线AC 上一动点，90EDP ∠=︒，DE DP =，当点E 从点A 运动到点C 的过程中，EPC ∆的周长的最小值为（）A ．222B ．42C ．324D ．22310．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x ．根据题意列方程，则下列方程正确的是A ．22500(1)9100x +＝B ．22500(1%)9100x +＝C ．22500(1)2500(1)9100x x +++＝D ．225002500(1)2500(1)9100x x ++++＝11．如图，某次课外实践活动中，小红在地面点B 处利用标杆FC 测量一旗杆ED 的高度．小红眼睛点A 与标杆顶端点F ，旗杆顶端点E 在同一直线上，点B ，C ，D 也在同一条直线上．已知小红眼睛到地面距离 1.6AB =米，标杆高 3.8FC =米，且1BC =米，7CD =米，则旗杆ED 的高度为（）A ．15.4米B ．17米C ．17.6米D ．19.2米12．若0ab >，则一次函数y ax b =-与反比例函数aby x=在同一坐标系数中的大致图象是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．一元二次方程220x x -+=的解是______．14．一个反比例函数的图象过点A(-3，2)，则这个反比例函数的表达式是_____．15．如图，Rt △ABC 中，∠ACD=90°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ．若S △AEG=13S 四边形EBCG ，则CF AD=_________．16．如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若ADE 的面积为12．则四边形DBCE 的面积为_______．三、解答题17．解方程(1)2230x x --=（公式法）；(2)23740x x -+=（配方法）；(3)22(2)(23)x x -=+（因式分解法）；(4)2(1)22x x -=-（适当的方法）．18．现有5个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字–1，–2，1，2，3．先将标有数字–2，1，3的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里．现分别从两个盒子里各随机取出一个小球．（1）请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果；（2）求取出的两个小球上的数字之和等于0的概率．19．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似？20．如图，△ABC 是等边三角形，点D 在AC 上，连接BD 并延长，与∠ACF 的角平分线交于点E ．（1）求证：△ABD ∽△CED ；（2）若AB=8，AD=2CD ，求CE 的长．21．如图，已知反比例函数y 1＝1k x与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （1，8）、B （﹣4，m ）．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB 的面积；(3)若y 1＜y 2，直接写出x 的取值范围．22．如图，在菱形ABCD ，对角线AC,与BD 交于点O,过点C 作BD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，两直线交于点E,（1）求证：四边形OCED 是矩形；（2）若CE=1，菱形ABCD的周长为ABCD 的面积.23．如图，反比例函数ky x（k≠0）的图象经过点A （1，2）和B （2，n ），（1）以原点O 为位似中心画出△A1B1O ，使11AB A B =12；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得PA+PB 的值最小？若存在，求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．某品牌童装平均每天可售出40件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出4件．要想平均每天销售这种童装盈利2400元，那么每件童装应降价多少元？25．如图，在正方形ABCD 中，点G 是对角线上一点，CG 的延长线交AB 于点E ，交DA 的延长线于点F ，连接AG ．（1）求证：AG ＝CG ；（2）求证：△AEG ∽△FAG ；（3）若GE•GF ＝9，求CG 的长．参考答案1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．A 8．A 9．A 10．D 11．D 12．C13．120,2x x ==【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】解：220x x -+=，(2)0x x -+=，0,20x x =-+=，则120,2x x ==，故答案为：120,2x x ==．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键．14．6y x=-【分析】根据反比例函数的意义待定系数法求解析式．【详解】解：∵反比例函数的图象过点A(-3，2)，∴6k =-∴这个反比例函数的表达式是6y x=-故答案为：6y x=-15．12【详解】解：∵EF BD∥∴∠AEG=∠ABC ，∠AGE=∠ACB ，∴△AEG ∽△ABC ，且S △AEG=13S 四边形EBCG∴S △AEG ：S △ABC=1：4，∴AG ：AC=1：2，又EF BD∥∴∠AGF=∠ACD ，∠AFG=∠ADC ，∴△AGF ∽△ACD ，且相似比为1：2，∴S △AFG ：S △ACD=1：4，∴S △AFG=13S 四边形FDCGS △AFG=14S △ADC ∵AF ：AD=GF ：CD=AG ：AC=1：2∵∠ACD=90°∴AF=CF=DF∴CF ：AD=1：2．故答案为：1216．32【分析】先根据三角形中位线定理得出1//,2DE BC DE BC =，再根据相似三角形的判定与性质得出2()ADE ABC S DE S BC= ，从而可得ABC 的面积，由此即可得出答案．【详解】 点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点1//,2DE BC DE BC ∴=ADE ABC∴ 21(4ADE ABC S DE S BC ∴==△△，即4ABCADES S =△△又12ADES =1422ABCS ∴=⨯= 则四边形DBCE 的面积为13222ABC ADE S S -=-= 故答案为：32．17．(1)123,1x x ==-(2)124,13x x ==(3)121,53x x =-=-(4)123,1x x ==【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用配方法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用因式分解法求解即可．(1)解：∵2230x x --=，∴1a =，2b =-，3c =-，∴()()22=42413160b ac ∆-=--⨯⨯-=>，∴242x ±==，∴13x =，21x =-；(2)解：∵23740x x -+=，∴2374x x -=-，∴27433x x -=-，∴22277473636x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴271636x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴7166x -=±，∴143x =，21x =；(3)解：∵22(2)(23)x x -=+∴22(2)(23)0x x -+-=，∴()(223)2230x x x x -++---=，∴()()3150x x ++=，∴113x =-，25x =-；(4)解：∵2(1)22x x -=-，∴()2(1)210x x --=-，∴()(12)10x x ---=，∴13x =，21x =．18．（1）详见解析；（2）13【分析】（1）首先根据题意列出表格，由表格即可求得取出的两个小球上数字之和所有等可能的结果；（2）首先根据（1）中的表格，求得取出的两个小球上的数字之和等于0的情况，然后利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）列表得：-12-2-30103325则共有6种结果，且它们的可能性相同；（2）∵取出的两个小球上的数字之和等于0的有：（1，-1），（-2，2），∴两个小球上的数字之和等于0的概率为：2163=．19．当t=4或t=2时，△POQ 与△AOB 相似．【详解】试题分析：根据题意可知：OQ=6-t ，OP=t ，然后分OQ OP OB OA =和OQ OP OA OB=两种情况分别求出t 的值．试题解析：解：①若△POQ ∽△AOB 时，=，即=，整理得：12﹣2t=t ，解得：t=4．②若△POQ ∽△BOA 时，=，即=，整理得：6﹣t=2t ，解得：t=2．∵0≤t≤6，∴t=4和t=2均符合题意，∴当t=4或t=2时，△POQ 与△AOB 相似．20．（1）见解析；（2）CE=4【分析】（1）根据等边三角形的性质得到60A ACB ∠=∠=︒，则120ACF ∠=︒，根据角平分线的性质，得到60ACE ∠=︒，即可求证；（2）利用相似三角形的性质得到CD CE AD AB=，即可求解．【详解】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°；∵CE 平分∠ACF ，∴∠ACE=60°；∴∠BAC=∠ACE ；又∵∠ADB=∠CDE ，∴△ABD ∽△CED ；（2）解：∵△ABD ∽△CED ，∴CD CE AD AB=，∵AD=2DC ，AB=8；∴1842CD CE AB AD =⨯=⨯=21．(1)18y x =，y 2＝2x+6，过程见解析；(2)15，过程见解析；(3)﹣4＜x ＜0或x ＞1，过程见解析．【分析】（1）利用待定系数法即可求得结论；（2）设直线AB 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点C ，利用直线AB 解析式求得点C ，D 的坐标，用△AOC ，△OCD 和△OBD 的面积之和表示△AOB 的面积即可；（3）利用图象即可确定出x 的取值范围．（1）解：点A （1，8）在反比例函数11ky x =上，∴k 1＝1×8＝8．∴18y x =．∵点B （﹣4，m ）在反比例函数18y x =上，∴﹣4m ＝8．∴m ＝﹣2．∴B （﹣4，﹣2）．∵点A （1，8）、B （﹣4，﹣2）在一次函数y 2＝k 2x+b 的图象上，∴22842k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：226k b =⎧⎨=⎩．∴y 2＝2x+6．（2）解：设直线AB 与y 轴交于点C，如图，由直线AB:y 2＝2x+6，令x ＝0，则y ＝6，∴C （0，6）．∴OC ＝6．过点A 作AF ⊥y 轴于点F ，过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，∵A （1，8），B （﹣4，﹣2），∴AF ＝1，BE ＝4．∴AOBAOC BOC S S S =+△△△11××22OC AF OC BE =+1=6(14)2⨯⨯+=15答：△AOB 的面积是15．（3）解：由图象可知，点A 右侧的部分和点B 与点C 之间的部分y 1＜y 2，∴若y 1＜y 2，x 的取值范围为：﹣4＜x ＜0或x ＞1．【点睛】本题是一道反比例函数与一次函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长和利用数形结合的思想方法求得x 的取值范围是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）4.【分析】（1）欲证明四边形OCED 是矩形，只需推知四边形OCED 是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，90COD ︒∴∠=，//,//CE OD DE OC ，所以四边形OCED 是平行四边形，90COD ︒∠= ，∴四边形OCED 是矩形；（2）由（1）知，四边形OCED 是矩形，则CE=OD=1，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD=CD=BC ，∵菱形ABCD 的周长为CD ∴2OC∴==，24,22 AC OC BD OD==== ，∴菱形ABCD的面积为：11424 22AC BD⋅=⨯⨯=.23．(1)作图见解析；（2）存在，P（0，5 3）．【分析】（1）有两种情形，分别画出图象即可；（2）存在．如图作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，连接PA，此时PA+PB 的值最小．求出直线BA′的解析式即可解决问题．【详解】（1）△A1B1O的图象如图所示．（2）存在．如图作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，连接PA，此时PA+PB 的值最小．∵点A（1，2）在反比例函数y=kx上，∴k=2，∴B （2，1），∵A′（﹣1，2），设最小BA′的解析式为y=kx+b ，则有221k b k b -+⎧⎨+⎩＝＝，解得1253k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴直线BA′的解析式为y=﹣13x+53，∴P （0，53）．24．每件童装应降价20元．【分析】设每件童装应降价x 元，再根据题意即可列出关于x 的一元二次方程，解出x ，最后舍去不合题意的解即可．【详解】解：设每件童装应降价x 元，依题意可列方程为(40)(404)2400x x -+=，解得：121020x x ==，，∵要减少库存，∴20x =，答：每件童装应降价20元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出方程是解题关键．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）CG ＝3【分析】（1）根据正方形的性质得到∠ADB ＝∠CDB ＝45°，AD ＝CD ，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG ≌△CDG （SAS ），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；（2）根据正方形的性质得到AD ∥CB ，推出∠FCB ＝∠F ，由（1）可知△ADG ≌△CDG ，利用全等三角形的性质得到∠DAG ＝∠DCG ，结合图形根据角之间的和差关系∠DAB−∠DAG ＝∠DCB−∠DCG ，推出∠BCF ＝∠BAG ，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG ∽△FAG ，（3）根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】（1）证明：∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，又AD ＝CD ，在△ADG 和△CDG 中，AD CDADG CDG DG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△CDG （SAS ），∴AG ＝CG ；（2）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥CB ，∴∠FCB ＝∠F ，由（1）可知△ADG ≌△CDG ，∴∠DAG ＝∠DCG ，∴∠DAB−∠DAG ＝∠DCB−∠DCG ，即∠BCF ＝∠BAG ，∴∠EAG ＝∠F ，又∠EGA ＝∠AGF ，∴△AEG ∽△FAG ；（3）∵△AEG ∽△FAG ，∴GEGAGA GF =，即GA 2＝GE•GF ，∴GA ＝3或GA ＝−3（舍去），根据（1）中的结论AG ＝CG ，∴CG ＝3．。
北师大版九年级上册数学期末测试卷(完美版)
北师大版九年级上册数学期末测试卷一、单选题(共15题，共计45分)1、若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（）A.m＞﹣2B.m＜﹣2C.m＞2D.m＜22、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD 于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论：①∠ACD=30°；②S▱ABCD =AC•BC；③OE：AC= ：6；④S△OCF=2S△OEF成立的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3、以下A、B、C、D四个三角形中，与左图中的三角形相似的是（）A. B. C. D.4、将方程x2－6x＋1＝0配方后，原方程变形（）A.(x－3) 2＝8B.(x－3) 2＝－8C.(x－3) 2＝9D.(x－3) 2＝－95、用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中，配方正确的是（）A.（B.C.D.6、如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长，交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为（）A. B. C. D.7、如下图，双曲线经过平行四边形ABCO的对角线的交点D，已知边OC在y轴上，且于点C，则平行四边形OABC的面积是（）A. B. C.3 D.68、在已知反比例函数（k为常数）的图象上有三点，，，若，则a的取值范围是（）A. B. C. 或 D.9、某反比例函数的图象经过点（-1，6），则此函数图象也经过点 ( )A. B. C. D.10、用公式法解一元二次方程，正确的应是（）A.x=B.x=C.x=D.x=11、如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12、如图，一次函数y=kx﹣1的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B，BC垂直x轴于点C．若△ABC的面积为1，则k的值是（）A.1B.2C.3D.413、如图，已知▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BHD∽△BDG.其中正确的结论是（）A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④14、阜宁到南京之间的距离约为240千米，在一张比例尺为1:2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于（）A.一根火柴的长度B.一根筷子的长度C.一支铅笔的长度D.一支钢笔的长度15、若反比例函数y＝﹣的图象上有3个点A（x1， y1），B（x2， y2），C（x3， y3），且满足x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）A.y3＜y2＜y1B.y3＜y1＜y2C.y1＜y2＜y3D.y2＜y1＜y3二、填空题(共10题，共计30分)16、反比例函数的图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数的解析式为________17、在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是________.18、已知点A1(-1，y1)，A2(-3，y2)都在反比例函数y= (k>0)的图像上，则y1与y2的大小关系为________.19、如图，△AOB，AB∥x轴，OB＝2，点B在反比例函数y＝上，将△AOB 绕点B逆时针旋转，当点O的对应点O′落在x轴的正半轴上时，AB的对应边A′B恰好经过点O，则k的值为________．20、如图，以的斜边为边，向外作正方形，设正方形的对角线与的交点为O，连接，若，，则的值是________.21、若一个反比例函数的图象经过点和，则这个反比例函数的表达式为________.22、如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为________.23、一个不透明的口袋里有10个黑球和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有________个．24、已知关于x的方程的一个根为,则方程的另一个根为________。
北师大版数学九年级上册期末试卷及参考答案
北师大版数学九年级上册期末试卷1一、选择题(每题3分，共30分)1．用配方法解方程3x2－6x＋2＝0，则方程可变形为()A．(x－3)2＝23B．3(x－1)2＝23C．(3x－1)2＝1 D．(x－1)2＝132．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值为()A．1 B．－1 C．1或－1 D．1 23．已知反比例函数的图象经过点P(1，－2)，则这个函数的图象位于() A．第一、三象限B．第二、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限4．如图是一次数学活动课上制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数－1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数(当指针恰好指在分界线上时，不记，重转)，则记录的两个数都是正数的概率为()A．18B．16C．14D．125．如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是()6．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为()A．6 B．8 C．10 D．127．如图，线段AB的两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为()A．(3，3) B．(4，3)C．(3，1) D．(4，1)8．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为()A．5 B．4 C．342D．349．如图，两个反比例函数y＝1x和y＝－2x的图象分别是l1和l2.设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△P AB的面积为()A．3 B．4 C．92D．510．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为()A．22B．32C．1 D．62二、填空题(每题3分，共30分)11．如图，添加一个条件：______________，使△ADE∽△ACB(写出一个即可)．12．一个反比例函数的图象过点A(－3，2)，则这个反比例函数的表达式是____________．13．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是___________________________．14．从甲、乙2名医生和丙、丁2名护士中任意抽取2人参加医疗队，那么抽取的2人恰好是一名医生和一名护士的概率为________．15．若干桶方便面摆放在桌子上，三视图如图所示，则这一堆方便面共有___桶．16．若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为________．17．如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．若S△CMN＝1，则S四边形ABNM＝________．18．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝________．19．如图，A，B两点在函数y＝4x(x＞0)的图象上，分别经过A，B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1＋S2＝________．20．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上的一点，且BE＝1，P是对角线AC上的一动点，连接PB，PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是________．三、解答题(21～25题每题8分，其余每题10分，共60分)21．解下列方程：(1)x2－6x－6＝0；(2)(x＋2)(x＋3)＝1.22．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD.(1)求证：四边形AODE是菱形；(2)若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是________．23．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．24．现有5个质地、大小完全相同的小球，上面分别标有数－1，－2，1，2，3.先将标有数－2，1，3的小球放在一个不透明的盒子里，再将其余小球放在另一个不透明的盒子里．现分别从这两个盒子里各随机取出一个小球．(1)请利用画树状图或列表的方法表示取出的两个小球上的数之和的所有可能结果；(2)求取出的两个小球上的数之和等于0的概率．25．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售．销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．如果这批旅游纪念品共获利1 250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？26．如图，一次函数y1＝kx＋b和反比例函数y2＝mx的图象交于A，B两点．(1)求一次函数y1＝kx＋b和反比例函数y2＝mx的表达式；(2)观察图象，当y1＜y2时，x的取值范围为________________；(3)求△OAB的面积．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B 出发，在BA边上以5 cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4 cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t s(0＜t＜2)，连接PQ.(1)若△BPQ和△ABC相似，求t的值；(2)连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．答案一、1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.A 8.D 9.C 10.C 二、11.∠ADE ＝∠ACB (答案不唯一) 12．y ＝－6x 13.k ＞12且k ≠1 14.23 15.6 16.5 17.3 18．20° 19.6 20.6三、21.解：(1)移项，得x 2－6x ＝6，配方，得x 2－6x ＋9＝6＋9，即(x －3)2＝15. 两边开平方，得x －3＝±15， 即x －3＝15或x －3＝－15. ∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15.(2)将原方程化为一般形式，得x 2＋5x ＋5＝0.∵b 2－4ac ＝52－4×1×5＝5，∴x ＝－5±52.∴x 1＝－5＋52，x 2＝－5－52.22．(1)证明：∵DE ∥CA ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形． ∵矩形ABCD 的对角线相交于点O ， ∴AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD . ∴OA ＝OD .∴四边形AODE 是菱形． (2)矩形23．(1)证明：∵在方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0中，Δ＝[－(k ＋3)]2－4×1×(2k ＋2)＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0， ∴方程总有两个实数根．(2)解：∵x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝(x －2)(x －k －1)＝0，∴x 1＝2，x 2＝k ＋1.∵方程有一个根小于1，∴k ＋1＜1，解得k ＜0.24．解：(1)画树状图如图所示．(2)因为所有等可能的结果有6种，其中和为0的有2种，所以所求概率为26＝13.25．解：由题意得出200×(10－6)＋(10－x －6)×(200＋50x )＋(4－6)[600－200－(200＋50x )]＝1 250，即800＋(4－x )(200＋50x )－2(200－50x )＝1 250， 整理得x 2－2x ＋1＝0， 解得x 1＝x 2＝1. ∴10－1＝9(元)．答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元． 26．解：(1)由图象可知点A 的坐标为(－2，－2)．∵反比例函数y 2＝mx 的图象过点A ，∴m ＝4. ∴反比例函数的表达式是y 2＝4x .把x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝43，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，43.∵直线y 1＝kx ＋b 过A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，3k ＋b ＝43，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝－23. ∴一次函数的表达式是y 1＝23x －23. (2)x ＜－2或0＜x ＜3(3)设直线AB 与y 轴的交点为C ，由一次函数y 1＝23x －23可知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23，∴S △OAB ＝S △OAC ＋S △OBC ＝12×23×2＋12×23×3＝53.27．解：(1)由题易知AB＝10 cm，BP＝5t cm，CQ＝4t cm，∴BQ＝(8－4t) cm.当△ABC∽△PBQ时，有BPBA＝BQBC，即5t10＝8－4t8，∴t＝1；当△ABC∽△QBP时，有BQBA＝BPBC，即8－4t10＝5t8，∴t＝3241.∴若△BPQ和△ABC相似，则t＝1 或t＝32 41.(2)如图，过点P作PD⊥BC于点D.由(1)知BP＝5t cm，CQ＝4t cm，可求得PD＝3t cm，BD＝4t cm，∴CD＝(8－4t) cm.∵AQ⊥CP，∠ACB＝90°，∴∠CAQ＋∠ACP＝90°，∠DCP＋∠ACP＝90°.∴∠CAQ＝∠DCP.又∵∠CDP＝∠ACQ＝90°，∴△CPD∽△AQC.∴CDAC＝PDQC，即8－4t6＝3t4t.∴t＝78.北师大版数学九年级上册期末试卷2一、选择题(每题3分，共30分)1. 下列方程中，不是一元二次方程的是()A.3y2＋2y＋1＝0B.12x2＝1－3x C.110a2－16a＋23＝0D．x2＋x－3＝x22．如图放置的几何体的左视图是()3．下列命题为真命题的是()A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形4．若反比例函数y＝kx的图象经过点(m，3m)，其中m≠0，则反比例函数的图象在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限5．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是()A．k≤－2 B．k≤2 C．k≥2 D．k≤2且k≠16．有三张正面分别标有数－2，3，4的不透明卡片，它们除数不同外，其他全部相同．现将它们背面朝上洗匀后，从中任取两张，则抽取的两张卡片上的数之积为正偶数的概率是()A.49 B.112 C.13 D.167．如图，在△ABC中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，DE∥AB，且CE：EB＝2：3，则DE AB等于()A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．4：58．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB的中点，折叠该纸片使点C 落在点C′处，且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的度数为()A．30°B．40°C．45°D．60°9．设△ABC的一边长为x，这条边上的高为y，y与x之间的反比例函数关系如图所示．当△ABC为等腰直角三角形时，x＋y的值为()A．4 B．5 C．5或3 2 D．4或3 210．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边上的中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，DE与BM相交于点N，EF⊥AC于点F，有以下结论：①∠DBM＝∠CDE；②S△BDE<S四边形BMFE；③CD·EN＝BN·BD；④AC＝2DF.其中正确结论的数量是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每题3分，共24分)11．已知一元二次方程(m－2)x2－3x＋m2－4＝0的一个根为0，则m＝________.12．如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24 cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间带小孔的纸板应放在离蜡烛________的地方．13．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有________个．14．为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)之间的函数关系如图所示．已知在药物燃烧阶段，y与x成正比例，燃烧完后y与x成反比例．现测得药物10 min燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg.当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经过________min后教室内的空气才能达到安全要求．15．已知三角形纸片(△ABC)中，AB＝AC＝5，BC＝8，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线AC上，记为点B′，折痕为EF.若以点B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是________．16．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者首先从鱼塘中捕获10条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞100条鱼．如果在这100条鱼中有2条鱼是有记号的，则可估计鱼塘中约有鱼________条．17．如图，以▱ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A，C的坐标分别为(2，4)，(3，0)，过点A的反比例函数y＝kx的图象交BC于点D，连接AD，则四边形AOCD的面积是________．18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．三、解答题(19～22题每题8分，23，24题每题11分，25题12分，共66分) 19．解方程：(1)x2－6x－6＝0; (2)(x＋2)(x＋3)＝1.20．已知关于x的一元二次方程kx2＋x－2＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足(x1＋x2)2＋x1·x2＝3，求k的值．21．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除所标数字外其他完全相同，小明从布袋里随机取出1个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出1个小球，记下数字为y.(1)计算由x，y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率．(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy＞6，则小明胜，若x，y满足xy＜6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．22．如图，九(1)班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆DE的高度，已知直立在地面上的竹竿AB的长为3 m．某一时刻，测得竹竿AB在阳光下的投影BC的长为2 m.(1)请你在图中画出此时旗杆DE在阳光下的投影，并写出画图步骤；(2)在测量竹竿AB的影长时，同时测得旗杆DE在阳光下的影长为6 m，请你计算旗杆DE的高度．23．如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，－2)，反比例函数y＝kx的图象经过点C，一次函数y＝ax＋b的图象经过A，C两点．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．24．如图①，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于F.(1)求证：PC＝PE；(2)求∠CPE的度数；(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．25．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F.(1)如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF.(2)如图②，若BD＝1n CE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明．(3)如图③，在(2)的条件下，若点E在CA的延长线上，那么(2)中的结论还成立吗？试证明．答案一、1.D 2.C 3.C4．B 【点拨】把点(m ，3m )的坐标代入y ＝kx ，得到k ＝3m 2，因为m ≠0，所以k >0.所以图象在第一、三象限． 5．D 6.C 7.B 8.C9．D 【点拨】由题意得xy ＝4，当等腰直角三角形ABC 的斜边长为x 时，x ＝2y ，所以2y 2＝4，解得y ＝2或y ＝－2(不合题意，舍去)，所以x ＝22，所以x ＋y ＝32；当等腰直角三角形ABC 的一条直角边长为x 时，x ＝y ，所以y 2＝4，解得y ＝2或y ＝－2(不合题意，舍去)，所以x ＝2，所以x ＋y ＝4.故x ＋y 的值为4或3 2.故选D.10．C 【点拨】设∠EDC ＝x ，则∠DEF ＝90°－x ，从而可得到∠DBE ＝∠DEB ＝180°－(90°－x )－45°＝45°＋x ，∠DBM ＝∠DBE －∠MBE ＝45°＋x －45°＝x ，从而可得到∠DBM ＝∠CDE ，所以①正确．可证明△BDM ≌△DEF ，然后可证明S △DNB ＝S 四边形NMFE ，所以S △DNB ＋S △BNE ＝S 四边形NMFE＋S △BNE ，即S △BDE ＝S 四边形BMFE .所以②错误．可证明△DBC ∽△NEB ，所以CD BD ＝BNEN ，即CD ·EN ＝BN ·BD .所以③正确． 由△BDM ≌△DEF ，可知DF ＝BM ，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM ＝12AC ，所以DF ＝12AC ，即AC ＝2DF .所以④正确．故选C. 二、11.－2 12.8 cm13．5 【点拨】综合左视图和主视图知，这个几何体有两层，底层最少有2＋1＝3(个)小正方体，第二层有2个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3＋2＝5(个)．14．50 【点拨】设药物燃烧完后y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ，把点(10，8)的坐标代入y ＝k x ，得8＝k10，解得k ＝80，所以药物燃烧完后y 与x 之间的函数表达式为y ＝80x .当y ＝1.6时，由y ＝80x 得x ＝50，所以从消毒开始，经过50 min后教室内的空气才能达到安全要求． 15．4或4013 16.50017．9 【点拨】由题易知OC ＝3，点B 的坐标为(5，4)，▱ABCO 的面积为12.设直线BC 对应的函数表达式为y ＝k ′x ＋b ，则⎩⎨⎧3k ′＋b ＝0，5k ′＋b ＝4，解得⎩⎨⎧k ′＝2，b ＝－6.∴直线BC 对应的函数表达式为y ＝2x －6.∵点A (2，4)在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴k ＝8.∴反比例函数的表达式为y ＝8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －6，y ＝8x解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－8(舍去)．∴点D 的坐标为(4，2)． ∴△ABD 的面积为12×2×3＝3. ∴四边形AOCD 的面积是9.18．12 【点拨】易知EF ∥BD ∥HG ， 且EF ＝HG ＝12BD ＝3，EH ∥AC ∥GF 且EH ＝GF ＝12AC ＝4. ∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形．∴四边形EFGH 的面积＝EF ·EH ＝3×4＝12. 三、19.解：(1)x 2－6x －6＝0， x 2－6x ＋9＝ 15， (x －3)2＝ 15， x －3＝ ±15，∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15.(2)(x ＋2)(x ＋3)＝1， x 2＋5x ＋6＝ 1， x 2＋5x ＋5＝ 0， ∵a ＝1，b ＝5，c ＝5， ∴b 2－4ac ＝52－4×1×5＝5. ∴x ＝－5±52. ∴x 1＝－5＋52，x 2＝－5－52. 20．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12＋8k ＞0， ∴k ＞－18. 又∵k ≠0，∴k 的取值范围是k ＞－18且k ≠0.(2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－1k ，x 1·x 2＝－2k . ∵(x 1＋x 2)2＋x 1·x 2＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2－2k ＝3，即3k 2＋2k －1＝0， 解得k ＝13或k ＝－1. 由(1)得k ＞－18且k ≠0， ∴k ＝13.21．解：(1)画树状图如图．由树状图可知共有12种等可能的结果．其中在函数y ＝－x ＋5的图象上的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)， ∴点(x ，y )在函数y ＝－x ＋5的图象上的概率为412＝13.(2)不公平．理由：∵x ，y 满足xy ＞6的有(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种结果，x ，y 满足xy ＜6的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种结果， ∴P (小明胜)＝412＝13， P (小红胜)＝612＝12. ∵13≠12，∴游戏不公平．公平的游戏规则为：若x ，y 满足xy ≥6，则小明胜，若x ，y 满足xy ＜6，则小红胜．(规则不唯一)22．解：(1)如图，线段EF 就是此时旗杆DE 在阳光下的投影．作法：连接AC ，过点D 作DF ∥AC ，交直线BE 于点F ，则线段EF 即为所求．(2)∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE . 又∠ABC ＝∠DEF ＝90°， ∴△ABC ∽△DEF .∴AB DE ＝BC EF . ∵AB ＝3 m ，BC ＝2 m ，EF ＝6 m ， ∴3DE ＝26. ∴DE ＝9 m.即旗杆DE 的高度为9 m.23．解：(1)∵点A 的坐标为(0，1)，点B 的坐标为(0，－2)， ∴AB ＝1＋2＝3，即正方形ABCD 的边长为3，∴点C 的坐标为(3，－2)．将点C 的坐标代入y ＝kx 可得k ＝－6， ∴反比例函数的表达式为y ＝－6x .将C (3，－2)，A (0，1)的坐标分别代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎨⎧3a ＋b ＝－2，b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋1. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－6t ，∵△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积， ∴12×1×|t |＝3×3，解得t ＝±18.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－13或⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，13. 24．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADP ＝∠CDP . 又∵DP ＝DP ，∴△ADP ≌△CDP . ∴P A ＝PC .又∵P A ＝PE ，∴PC ＝PE . (2)解：由(1)知△ADP ≌△CDP ， ∴∠DAP ＝∠DCP . ∵P A ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E . ∴∠FCP ＝∠E .又∵∠PFC ＝∠DFE ，∠EDF ＝90°， ∴∠CPE ＝∠EDF ＝90°. (3)解：AP ＝CE .理由如下： ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝CD ，∠ADP ＝∠CDP . 又∵DP ＝DP ，∴△ADP ≌△CDP . ∴P A ＝PC ，∠DAP ＝∠DCP .又∵P A＝PE，∴PC＝PE，∠DAP＝∠DEP.∴∠DCP＝∠DEP.又∵∠PFC＝∠DFE，∴∠CPF＝∠EDF.∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠ADC＝120°.∴∠EDC＝60°.∴∠CPE＝∠EDF＝60°.又∵PC＝PE，∴△PCE是等边三角形．∴PE＝CE.又∵P A＝PE，∴AP＝CE.25．(1)证明：在题图①中作EG∥AB交BC于点G，则∠ABC＝∠EGC，∠D＝∠FEG.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∴∠EGC＝∠C.∴EG＝EC.∵BD＝CE，∴BD＝EG.又∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠GFE，∴△BFD≌△GFE.∴DF＝EF.(2)解：DF＝1n EF.证明：在题图②中作EG∥AB交BC于点G，则∠D＝∠FEG. 同(1)可得EG＝EC.∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠EFG，∴△BFD∽△GFE.∴BDEG＝DFEF.∵BD＝1n CE＝1n EG，∴DF＝1n EF.(3)解：成立．证明：在题图③中作EG∥AB交CB的延长线于点G，则仍有EG ＝EC ，△BFD ∽△GFE . ∴BD EG ＝DF EF .∵BD ＝1n CE ＝1n EG ，∴DF ＝1n EF .。
北师大版九年级(上)期末数学试卷及答案
北师大版九年级（上）期末数学试卷及答案一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）如图，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．2．（3分）下列函数不是反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝5x﹣1D．xy＝103．（3分）一元二次方程2x2+3x＝1化为一般式后的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，14．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．125（1﹣x）2＝80B．80（1﹣x）2＝125C．125（1+x）2＝80D．125（1﹣x2）＝805．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（）A．B．﹣1C．3﹣D．6．（3分）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，连接EF，则的值为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，反比例函数的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（）A．k＝2B．x＞0，y随x的增大而减小C．图象也经过点B（2，1）D．当x＜﹣1时，y＜﹣28．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△P AE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积为．10．（3分）已知＝，且a+b＝22，则a的值为．11．（3分）把一元二次方程x2+6x﹣1＝0通过配方化成（x+m）2＝n的形式为．12．（3分）若sin A＝，则锐角∠A的度数为．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为．三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）14．（5分）计算：4cos230°+|2﹣4|+6×．15．（5分）解方程：x（x+1）﹣x＝1．16．（5分）已知：△ABC．求作：菱形DBEC，使菱形的顶点D落在AC边上．结论：．17．（6分）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为；（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．18．（6分）点P在反比例函数（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，求反比例函数的表达式．19．（5分）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．求证：四边形ABCD是菱形．20．（5分）如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛F，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛F 在南偏东45°方向上，接原方向再航行10海里至C处，测得小岛F在正东方向上，求A，B之间的距离．（结果保留根号）21．（8分）如图，路灯OP在BC左侧，路灯P距地面8米，当身高1.6米的小明在点A时影长为AM，距离灯的底部O点20米，小明沿AB所在的直线从点A行走14米到点B处时，影长为BN，（1）请你画出灯杆OP位置；（保留作图痕迹）（2）求此时人影的长度BN．22．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．请说明方程实数根的情况并加以证明．23．（7分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．24．（7分）已知A（﹣3，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）连接OB，求△AOB的面积．25．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B （1，2），C（﹣4，4）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出A2，B2，C2的坐标．26．（12分）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F，G分别落在AC，AB边上？勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）解决问题：（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC＝12，求出矩形DEFG的面积．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）如图，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，可得如下图形：故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．2．（3分）下列函数不是反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝5x﹣1D．xy＝10【分析】根据反比例函数的定义，知道反比例函数的形式有：y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k ≠0）或xy＝k（k为常数，k≠0）．【解答】解：A，C，D选项都是反比例函数的形式，故A，C，D选项都不符合题意；B选项不是反比例函数的形式，它是正比例函数，故该选项符合题意；故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．3．（3分）一元二次方程2x2+3x＝1化为一般式后的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a、b、c．【解答】解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中a、b分别是二次项和一次项系数，c为常数项．4．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．125（1﹣x）2＝80B．80（1﹣x）2＝125C．125（1+x）2＝80D．125（1﹣x2）＝80【分析】设平均每次降价的百分率为x，则原价×（1﹣x）2＝现价，据此列方程．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得，125（1﹣x）2＝80．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．5．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（）A．B．﹣1C．3﹣D．【分析】根据黄金分割的定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＜BC），且使BC是AB和AC的比例中项（即AB•BC＝BC•AC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中BC＝AB ≈0.618AB．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，BC2＝AC•AB（2﹣AC）2＝2ACAC2﹣6AC+4＝0解得AC＝3+（舍去）或3﹣则AC长是3﹣．故选：C．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．6．（3分）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，连接EF，则的值为（）A．B．C．D．【分析】先根据三角形中位线的性质得到EF∥BC，EF＝BC，则可判断△OEF∽△OBC，利用相似比得到＝，然后根据比例的性质得到的值．【解答】解：∵中线BE、CF交于点O，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△OEF∽△OBC，∴＝＝，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．7．（3分）如图，反比例函数的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（）A．k＝2B．x＞0，y随x的增大而减小C．图象也经过点B（2，1）D．当x＜﹣1时，y＜﹣2【分析】把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数的解析式能求出k，把A的坐标代入一次函数的解析式得出关于k的方程，求出方程的解即可．【解答】解：把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数的解析式得：k＝xy＝2，故A正确；∵k＝2＞0，∴y随x的增大而减小，∴x＞0，y随x的增大而减小，故B正确；∵反比例函数的解析式为y＝，把x＝2代入求得y＝1，∴图象也经过点B（2，1），故C正确；由图象可知x＜﹣1时，则y＞﹣2，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度适中．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△P AE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△P AE∽△PBC和△P AE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设AP＝x，则BP＝8﹣x，当△P AE∽△PBC时，＝，即＝，解得，x＝，当△P AE∽△CBP时，＝，即＝，解得，x＝2或6，可得：满足条件的点P的个数有3个．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积为24．【分析】由菱形面积公式即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC＝8，BD＝6，∴菱形ABCD的面积为AC×BD＝×8×6＝24；故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质；熟记菱形面积公式是解题的关键．10．（3分）已知＝，且a+b＝22，则a的值为12．【分析】根据题意设＝＝k（k≠0），得出a＝6k，b＝5k，求出k的值，然后求出a的值即可．【解答】解：设＝＝k（k≠0），则a＝6k，b＝5k，∵a+b＝22，∴6k+5k＝22，∴k＝2，∴a＝6k＝6×2＝12．故答案为：12．【点评】此题考查了比例的性质，根据题意设出a＝6k，b＝5k是解题的关键．11．（3分）把一元二次方程x2+6x﹣1＝0通过配方化成（x+m）2＝n的形式为（x+3）2＝10．【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2+6x﹣1＝0，∴x2+6x＝1，∴（x+3）2＝10，故答案为：（x+3）2＝10【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．12．（3分）若sin A＝，则锐角∠A的度数为30°．【分析】根据锐角三角函数值即可确定锐角的度数．【解答】解：∵sin A＝，∴锐角∠A的度数为30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为6．【分析】当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可得AC ＝4，AP＝2，再由勾股定理可得答案．【解答】解：如图，当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，∴∠PCA＝30°，∵∠A＝60°，∴∠APC＝90°，△ABC中，AC＝AB＝4，△ACP中，AP＝AC＝2，∴PC＝＝＝2，∴周长为2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，运用勾股定理是解题关键．三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）14．（5分）计算：4cos230°+|2﹣4|+6×．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用绝对值的性质和二次根式的乘法法则进行计算，最后计算加减即可．【解答】解：原式＝4×+4﹣2+2＝4+3＝7．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握特殊角的三角函数值和绝对值的性质，注意计算顺序．15．（5分）解方程：x（x+1）﹣x＝1．【分析】先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．【解答】解：∵x（x+1）﹣x＝1，∴x（x+1）﹣（x+1）＝0，则（x+1）（x﹣1）＝0，∴x+1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16．（5分）已知：△ABC．求作：菱形DBEC，使菱形的顶点D落在AC边上．结论：菱形DBEC即为所求．【分析】作BC的垂直平分线交AC于点D，连接DB，再分别以点B，C为圆心，BD长为半径画弧交于点E，进而可得菱形DBEC．【解答】解：如图，菱形DBEC即为所求．故答案为：菱形DBEC即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握菱形的判定和性质，属于中考常考题型．17．（6分）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为；（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，∴摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率为＝．【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（6分）点P在反比例函数（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，求反比例函数的表达式．【分析】先求出P点坐标，再把P点坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值，进而得出结论．【解答】解：∵点Q（2，4）和点P关于y轴对称，∴P点坐标为（﹣2，4），将（﹣2，4）代入解析式得，k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，∴反比例函数解析式为．【点评】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．19．（5分）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】根据菱形的判定方法可得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵△ACE是等边三角形，∴EA＝EC，∴BE⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定，等边三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．20．（5分）如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛F，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛F 在南偏东45°方向上，接原方向再航行10海里至C处，测得小岛F在正东方向上，求A，B之间的距离．（结果保留根号）【分析】根据等腰直角三角形的性质求出CF，根据正切的定义求出AC，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△BCF中，∠BFC＝45°，∴CF＝BC＝10，在Rt△ACF中，tan∠CAF＝，即＝，解得，AC＝10，∴AB＝AC﹣BC＝10（﹣1），答：A，B之间的距离为10（﹣1）海里．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．（8分）如图，路灯OP在BC左侧，路灯P距地面8米，当身高1.6米的小明在点A时影长为AM，距离灯的底部O点20米，小明沿AB所在的直线从点A行走14米到点B处时，影长为BN，（1）请你画出灯杆OP位置；（保留作图痕迹）（2）求此时人影的长度BN．【分析】（1）小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化；（2）证明△BCN∽△OPN，推出，由此可得结论．【解答】解：（1）如图即为所求．（2）解：∵OA＝20米，AB＝14米，∴OB＝20﹣14＝6（米）．∵BC∥OP，∴△BCN∽△OPN，∴，即，解得BN＝1.5（米）答：人影的长度为1.5米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．22．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．请说明方程实数根的情况并加以证明．【分析】方程总有两个实数根．计算方程根的判别式，利用根的判别式的符号进行证明即可．【解答】解：方程总有两个实数根．理由如下：∵Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣3）2﹣4（﹣2k+2）＝k2﹣6k+9+8k﹣8＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0．所以方程总有两个实数根．【点评】此题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．23．（7分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．【分析】（1）根据该广场绿化区域的面积＝广场的长×广场的宽×80%，即可求出结论；（2）设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．答：该广场绿化区域的面积为144平方米．（2）设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．答：广场中间小路的宽为1米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（7分）已知A（﹣3，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）连接OB，求△AOB的面积．【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，再由A、B两点坐标可求得一次函数解析式；（2）根据一次函数解析式可求得C点的坐标，则可求得OC的长度，且根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC可求得△AOB 的面积．【解答】解：（1）∵A（﹣3，4）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y＝﹣，又∵B（n，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，∴n＝6，又∵B（6，﹣2），A（﹣3，4）是一次函数y＝kx+b的上的点，∴，解得，∴一次函数的关系式为y＝﹣x+2；（2）在y＝﹣x+2中，令y＝0，则x＝3，∴C（3，0），∴CO＝3，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+＝9．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，掌握待定系数法求函数解析式的关键是求得点的坐标．25．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B （1，2），C（﹣4，4）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出A2，B2，C2的坐标．【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）根据位似变换的定义分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（4，﹣2），B2（﹣2，﹣4），C2（8，﹣8）．【点评】本题主要考查作图—位似变换、轴对称变换，解题的关键是掌握位似变换与旋转变换的定义及性质．26．（12分）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F，G分别落在AC，AB边上？勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）解决问题：（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC＝12，求出矩形DEFG的面积．【分析】（1）由正方形的性质得出IJ＝KJ，KJ∥BC，由平行线分线段成比例定理得出，则GF＝EF，可得出结论；（2）按题意画出图形即可；（3）若DE＝2DG，设AN＝x，则MN＝6﹣x，证明△AGF∽△ABC，由相似三角形的性质得出，则，求出x＝3，若DG＝2DE，可求出x＝，则可得出答案．【解答】解：（1）正确．理由：∵EF⊥BC，BC⊥GD，∴∠FED＝∠EDG＝90°，∵FG∥BC，∴∠EFG＝180°﹣∠FED＝90°，∴四边形DEFG是矩形，∵四边形HIJK是正方形，∴IJ＝KJ，KJ∥BC，∴，∴GF＝EF，∴四边形DEFG为正方形；（2）如图1和图2，矩形DEFG为所作．（3）如图3，作△ABC的高AM，交GF于点N，∵△ABC的面积＝BC•AM＝×12×AM＝36，∴AM＝6，∵DE＝2DG，设AN＝x，则MN＝6﹣x，DG＝MN＝6﹣x，DE＝GF＝2（6﹣x）＝12﹣2x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，∴，解得x＝3，∴DG＝6﹣x＝3，∴DE＝2DG＝6，∴矩形DEFG的面积＝6×3＝18，同理，在矩形DEFG中，若DG＝2DE，可求出x＝，∴DG＝6﹣x＝，DE＝，∴矩形DEFG的面积＝＝，故矩形DEFG的面积为18或．【点评】此题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、矩形的性质等知识．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．。
北师大版九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)
北师大版九年级数学第一学期期末考试试题及答案本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共3页，满分为48分；第Ⅱ卷共5页，满分为102分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．第I卷（选择题共48分）注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．2．如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝6，则线段AC的长为（）A．12 B．18 C．24 D．30第2题图第3题图3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则cos B的值为（）A．B．C．D．4．下列函数是y关于x的反比例函数的是（）A．B．C．D．5．如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝76°，则∠C的度数为（）A．24°B．33°C．38°D．76°第5题图第6题图6．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有两个实数根D．没有实数根7．如图所示，△ADE∽△ABC，若AD＝1，AB＝2，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：28．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是函数y图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．无法确定9．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．32π﹣16 B．16π﹣32 C．8π﹣16 D．4π﹣16第9题图第10题图10．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（）A．B．C．D．11．为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A时测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长（）A．米B．米C．5米D．6米12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 共102分）注意事项：1.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．如图，过原点O 的直线与反比例函数xky的图象相交于点A （1，3）、B （x ，y ），则x = ．第13题图 第14题图14．如图，D 为△ABC 的边AC 上的一点，若要使△ABD ∽△ACB 相似，可添加一个条件： ． 15．将二次函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数解析式是 ．16．如图，河坝的横断面AB 的坡比是1：2，坝高BC ＝3米，则坡面AB 的长度是 米．第16题图 第17题图17．如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，∠CAB ＝24°，则∠ADC 的度数为 °．18．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG S △FGH ；④AG +DF ＝FG ．其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题:（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（本小题6分）计算：sin30°+（π﹣3.14）0+tan45°﹣（﹣1）2018．20．（本小题6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2 ﹣1 0 2 …y…﹣3 ﹣4 ﹣3 5 …求该二次函数的表达式．21．（本小题6分）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB=3，PC=1，PD=2，求P A的长度．22．（本小题8分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0）．（1）柱子OA的高度是米；（2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？23．（本小题8分）如图，AB是⊙O的直径，点F是AB上方半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，DE是⊙O的切线，交射线AF于点E．（1）求证：DE⊥AF；（2）若AE＝8，AB＝10，求AD长．24．（本小题10分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平地上，放置一个平面镜E来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离EB＝20米，镜子中心与测量者的距离ED＝2米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，求学校旗杆的高度是多少米．（1）在计算过程中C，D之间的距离应是米．（2）根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度．（3）该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）25．（本小题10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D．（1）求反比例函数的表达式及n的值；（2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F，①请求出点F的坐标；②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．26．（本小题12分）如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠ADE＝90°，ABC＝∠AED＝α°．（1）当α=30°时，①当点D，E分别落在边AC，AB上，猜想BE和CD的数量关系是；②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．分别连接CD，BE，则①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．（2）当α=45°时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，直接写出线段CD的长．27．（本小题12分）如图（1），直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B（3，0）、点C（0，3），经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式与点P的坐标；（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；（3）连接AC，点N在x轴上，点M在对称轴上，①是否存在使以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由；②是否存在点M，N，使以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（图（2）、图（3）供画图探究）。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷含答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．下列命题是真命题的是（）A ．四个角都相等的四边形是菱形B ．四条边都相等的四边形是正方形C ．平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形2．如图，该几何体的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，直线AB//CD//EF ，若BD ：DF ＝3：4，AC ＝3.6，则AE 的长为（）A ．4.8B ．6.6C ．7.6D ．8.44．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA cosA 等于（）A ．12B C D ．15．若关于x 的一元二次方程21022kx x +=-有两个实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．2k <B ．2k ≥C ．k 2≤且0k ≠D ．2k <且0k ≠6．一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是（）A．49B．23C．12D．137．已知正比例函数y1＝kx的图象与反比例函数y2＝mx的图象相交于点A（2，4），则下列说法正确的是（）A．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4）C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2D．反比例函数y2的解析式是y2＝﹣8 x8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D．若BD=9，DC=5，cos B=35，E为边AC的中点，则cos∠ADE的值为（）A．45B．513C．512D．12139．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为()A．8B．10C．12D．1410．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（）A．52B．73C．3D．3.511．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（）A．43B．4C．23D．212．如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC交于点N、M，则下列式子中错误的是（）A．DN ADBM AB=B．AD DEAB BC=C．DO DEOC BC=D．AE AOEC OM=二、填空题13．方程x2＝2x的解是_______．14．高为7米的旗杆在水平地面上的影子长为5米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_____米．15．小明要把一篇文章录入电脑，所需时间(min)y与录入文字的速度x（字/min）之间的反比例函数关系如图所示，如果小明要在9min内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为______字/min．16．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，S 菱形ABCD ＝48，则OH 的长为___．17．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB 为多少？___．（结果保留根号）18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B （5，1），B 1（10，2），若△ABC 的面积为m ，则△A 1B 1C 1的面积为_____．19．如图，点A ，B 在反比例函数()10y x x=>的图象上，点C ，D 在反比例函数()0k y k x =>的图像上，AC BD y ∥∥轴，已知点A ，B 的横坐标分别为2，4，OAC 与ABD △的面积之和为3，则k的值为_______．三、解答题20．解方程：3x2+5（2x+1）=0．21．如图，CD是线段AB的垂直平分线，M是AC延长线上一点．(1)用直尺和圆规：作∠BCM的角平分线CN，过点B作CN的垂线，垂足为E；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)求证：四边形BECD是矩形．22．在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？23．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米，（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54米，那么小路的宽度是多少米？24．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ．（1）求证：CF ＝AE ；（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．25．如图，一次函数y kx b =+的图象交反比例函数()0ay x x=>的图象于()4,8A -、(),2B m -两点，交x 轴于点C ．（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象回答：在第四象限内，当一次函数的值小于反比例函数的值时，x 的取值范围是什么？（3）若点P 在x 轴上，点Q 在坐标平内面，当以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是矩形时，求出点P 的坐标．26．如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，且满足BF ＝EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG ，过点B 作FG 的平行线，交DA 的延长线于点N ，连接NG ．（1）求证：BE ＝2CF ；（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．27．如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证：△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．参考答案1．D【分析】根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质一一判断即可【详解】解：A、若四个角都相等，则这四个角都为直角，有三个角是直角的四边形是矩形，故A选项为假命题，不符合题意；B、四条边都相等的四边形是菱形，故B选项为假命题，不符合题意；C、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，菱形和矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项为假命题，不符合题意；D、顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，故D选项为真命题，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查的是命题的真假判断以及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质等知识，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．A 【分析】俯视图，从上面看到的平面图形，根据定义可得答案.【详解】解：从上面看这个几何体看到的是三个长方形，所以俯视图是：故选A【点睛】本题考查的是三视图，注意能看到的棱都要画成实线，掌握“三视图中的俯视图”是解本题的关键.3．D 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，然后带入已知条件即可得到CE 的长，最后求得AE 的长．【详解】解：∵AB//CD//EF ，BD ：DF ＝3：4，∴34AC B DF CE D ==，∵AC ＝3.6，∴ 4.8=CE ，∴ 3.6 4.88.4AE AC CE =+=+=．故选：D【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4．A 【分析】利用60°的三角函数值解决问题．【详解】解：∵∠C ＝90°，sinA 2=，∴∠A ＝60°，∴cosA ＝cos60°12=．故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，记住特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键．5．C 【分析】根据根的判别式24b ac ∆=-是非负数，且二次项系数不等于0，列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，21(2)402k --⨯≥且0k ≠解得k 2≤且0k ≠．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）根的判别式24b ac ∆=-与根的关系求参数，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．6．D 【分析】根据题意画出树状图，由概率公式即可得两次都摸到红球的概率．【详解】解：画出树状图：根据树状图可知：所有等可能的结果共有6种，其中两次都摸到红球的有2种，∴两次都摸到红球的概率是26＝13；故选：D ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，解决本题的关键是画出树状图．7．C 【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，根据正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．【详解】∵正比例函数1y kx =的图象与反比例函数2my x=的图象相交于点(2,4)A ，42k ∴=，42m =，解得：2k =，8m =，∴正比例函数12y x =，反比例函数28y x=，28y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，∴两个函数图象的另一个交点为(2,4)--，在正比例函数12y x =中，20k => ，∴y 随x 的增大而增大，在反比例函数28y x=中，80m => ，，∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵当x ＜﹣2或0＜x ＜2时，y 1＜y 2，∴A 、B 、D 选项说法错误；选项C 说法正确．故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数与正比例函数，掌握函数的图像与性质是解题的关键．8．D 【分析】根据直角三角形勾股定理及余弦函数可得12AD =，再由勾股定理可得13AC =，根据直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半可得12ED AC EC ==，依据等边对等角可得EDA DAE ∠=∠，由此计算角的余弦即可．【详解】解：∵AD BC ⊥于D ，9BD =，3cos 5B =，∴15cos BDAB B==，12AD ==，∵5DC =，∴13AC ==，∵E 为AC 中点，∴12ED AC EC ==，∴EDA DAE ∠=∠，∴12cos cos 13AD EDA DAE AC ∠=∠==，故选：D ．【点睛】题目主要考查勾股定理、锐角三角函数解三角形，等腰三角形的判定和性质，理解题意，综合运用解三角形方法是解题关键．9．C 【分析】先利用平行四边形的性质得AD BC ∥，AD=BC ，由AE BC ∥可判断△AEF ∽△CBF ，根据相似三角形的性质得12EF AF AE BF CF BC ===，然后根据三角形面积公式得16AEF ABC S S ∆∆=，，则=6=12ABC AEF S S ∆∆．【详解】∵平行四边形ABCD∴AD BC ∥，AD=BC∵E 为边AD 的中点∴BC=2AE∵AE BC∥∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF ∽△CBF如图，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，FG ⊥BC 于点G ，则12EF AF AE HF BF CF BC FG ====，∴111221362AEF ABC AE FH BC FH S S BC FH BC HG ∆∆⋅⋅⋅===⋅⋅⋅，∵△AEF 的面积为2∴66212ABCAEF S S ∆∆==⨯=故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题．10．A 【分析】作EH ⊥BD 于H ，根据折叠的性质得到EG ＝EA ，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD 为等边三角形，得到AB ＝BD ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：作EH ⊥BD 于H ，由折叠的性质可知，EG＝EA，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝AD＝6，设BE＝x，则EG＝AE＝6﹣x，在Rt△EHB中，BH＝12x，EH32，在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（6﹣x）2＝（32x）2+（4﹣12x）2，解得，x＝5 2，∴BE＝5 2，故选：A．【点睛】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．11．A【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，AC⊥BD，AD=AB=4∴△ABD为等边三角形，∴EB=11=2 22BD AB=在Rt△ABE中，2223AB BE-=故可得AC=2AE=3故选A．12．D【详解】试题分析：∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，∴DN ADBM AB=，AD DEAB BC=，DO DEOC BC=，所以A、B、C正确；∵DE∥BC，∴△AEN∽△ACM，∴AE AN AC AM=，∴AE AN EC NM=，所以D错误．故选D．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质．注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边成比例．注意数形结合思想的应用．13．x1＝0，x2＝2【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．【详解】解：∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特征灵活选用合适的方法解答是解题的关键．14．42【分析】根据同一时刻物体的高度与影长成比例解答即可．【详解】解：设此建筑物的高度为x米，根据题意得：7530x=，解得：x=42．故答案为：42．【点睛】本题考查了平行投影，属于基础题型，明确同一时刻物体的高度与影长成比例是解题的关键．15．14009【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出9y =时，x 的值，然后根据反比例函数的增减性即可得．【详解】解：设反比例函数的解析式为(0)k y x x =>，将点(140,10)代入得：140101400k =⨯=，则反比例函数的解析式为1400y x =，当9y =时，14009x =， 反比例函数的1400y x=在0x >内，y 随x 的增大而减小，∴如果小明要在9min 内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为14009字/min ，故答案为：14009．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题关键．16．4【分析】由菱形的性质得出OA=OC=6，OB=OD ，AC ⊥BD ，则AC=12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH=12BD ，再由菱形的面积求出BD=8，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA=OC=6，OB=OD ，AC ⊥BD ，∴AC=12，∵DH ⊥AB ，∴∠BHD=90°，∴OH=12BD ，∵菱形ABCD 的面积=12AC•BD=12×12•BD=48，∴BD=8，∴OH=12BD=4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得OH=12BD ．17．AB x =，利用正切的定义以及特殊角的正切值，表示出BC 和CD ，然后求解即可．【详解】解：设AB x =米在Rt ABD △中，tan tan 60AB ADB BD ∠=︒==BD =在Rt ABC 中，tan tan 30AB ACB BC ∠=︒==BCCD BC BD =-8=，解得x =即AB =故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三角函数的定义以及特殊角的正切值．18．4m 【分析】根据面积比等于位似比的平方即可求得．【详解】 B （5，1），B 1（10，2）则2OB '==12OB OB '∴=，111:1:4ABC A B C S S ∴= ，△ABC 的面积为m ，则△A 1B 1C 1的面积为4m ．故答案为4m ．【点睛】本题考查了位似图形的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，位似图形面积的比等于相似比的平方，掌握位似图形的性质是解题的关键．19．5【分析】根据题意求得A B C D 、、、四边的坐标，再根据OAC 与ABD △的面积之和为3，列方程求解即可．【详解】解：AC BD y ∥∥轴，点A ，B 的横坐标分别为2，4，点C ，D 的横坐标分别为2，4又∵点A ，B 在反比例函数()10y x x=>的图象上，点C ，D 在反比例函数()0k y k x =>的图像上∴1(2,)2A ，1(4,)4B ，(2,)2k C ，(4,)4k D∴12k AC -=，14k BD -=由图形可得，11222OAC k S AC AC -=⨯==△，11224ABD k S BD BD -=⨯==△由题意可得：3OAC ABD S S +=△△，即11342k k --+=解得5k =故答案为：5【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的有关性质，根据题意正确列出方程．20．1x =2x =b 2-4ac 的值，再代入公式求出解即可．【详解】解：3x 2+5（2x+1）=0，整理得：3x 2+10x+5=0，∴a=3，b=10，c=5，∴22=410435400b ac ∆-=-⨯⨯=>，∴10563x -±-±=，则原方程的解为1x =，2x =21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）尺规作∠BCM 的角平分线CN 的作法：先以点C 为圆心，某一长度为半径作圆，交射线CM 、CN 于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径作圆，在角的内部产生交点，连接交点与点C ，即为∠BCM 的角平分线CN ；尺规作过点B 作CN 的垂线段BE ：先以点B 为圆心，某一长度为半径作圆，交CN 于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径作圆，交CN 上方于一点，连接该点与点B ，与CN 交点即为点E ．（２）由CD 是线段AB 的垂直平分线，可得AC ＝BC ，∠DCB ＝12∠ACB ，又因为CN 平分∠BCM ，易证∠DCN ＝12(∠ACB+∠BCM)＝90°，再结合CD ⊥AB ，BE ⊥CN ，即可证明四边形BECD 是矩形．(1)如图所示，CN，BE为所求(2)证明：∵CD是AB的垂直平分线∴CD⊥BD，AD＝BD∴∠CDB＝90°，AC＝BC∴∠DCB＝12∠ACB∵CN平分∠BCM∴∠BCN＝12∠BCM∵∠ACB+∠BCM＝180°∴∠DCN＝∠DCB+∠BCN＝12(∠ACB+∠BCM)＝90°∵BE⊥CN∴∠BEC＝∠DCN＝∠CDB＝90°∴四边形BECD是矩形．【点睛】本题主要考查了尺规作图、矩形的判定，要求掌握５类基本尺规作图：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的角平分线、作已知线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线．22．（1）见解析；（2）小明获胜的概率大，见解析【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，然后根据概率公式求解．【详解】（1）树状图如图所示：所有(m ，n)可能的结果有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共12种结果；（2）∵m ，n 都是方程x 2﹣5x+6＝0的解，∴m ＝2，n ＝3，或m ＝3，n ＝2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m ，n 都是方程x 2﹣5x+6＝0的解的结果有4个（包括m ＝n ＝2，和m ＝n ＝3两种情况），m ，n 都不是方程x 2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为41=123，小利获胜的概率为21=126，∴小明获胜的概率大．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式，画出树状图是解题的关键．23．（1）长为10米，宽为8米；（2）小路的宽为1米．【分析】（1）设与墙垂直的一面为x 米，然后可得另两面则为（26﹣2x+2）米，然后利用其面积为80，列出方程求解即可；（2）设小路的宽为a 米，利用去掉小路的面积为54平米列出方程求解即可得到答案．【详解】解：（1）设与墙垂直的一面为x 米，另一面则为（26﹣2x+2）米根据题意得：(282)80x x -=整理得：214400x x -+=解得4x =或10x =，当x ＝4时，28﹣2x ＝20＞12，不符合题意，舍去当x ＝10时，28﹣5x ＝8＜12，符合题意∴长为10米，宽为8米．（2）设宽为a 米，根据题意得：（8﹣2a ）（10﹣a ）＝54，a 2﹣14a+13＝0，解得：a ＝13＞10（舍去），a ＝1，答：小路的宽为1米．【点睛】此题考查了一元二次方程与几何图形面积的应用，理解题意找到题中的等量关系是解题的关键．24．（1）见解析；（2）四边形AFCE 是菱形，理由见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得AD ＝BC ，AD//BC ，则∠ADE ＝∠CBF ，再由SAS 证△ADE ≌△CBF 即可求解；（2）根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD 是菱形，从而可以得到AC ⊥BD ，然后即可得到AC ⊥EF ，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE 是平行四边形，然后根据AC ⊥EF ，即可得到四边形AFCE 是菱形．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD//BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBD+∠CBF=180°∴∠ADE ＝∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，=AD CBADE CBF DE BF=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CBF （SAS ），∴CF=AE；（2）四边形AFCE 是菱形，理由如下：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，AD//BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∴∠ABD=∠ADB ，∴AB=AD ，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE=BF，∴OE=OF，又∵OA=OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的性质与判定判定、全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（1）32yx-=，1102y x=-；（2）当4＜x＜16时，（3）（0，0），（15，0），P(10+或(10-．【分析】（1）将点A（4，﹣8），B（m，﹣2）代入反比例函数yax=（x＞0）中，可求m、a；再将点A（4，﹣8），B（m，﹣2）代入y＝kx+b中，列方程组求k、b即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值小于反比例函数的值时x的范围；（3）根据矩形形的性质，分类讨论，即可得出结论．【详解】解：（1）∵反比例函数yax=（x＞0）的图象于A（4，﹣8），∴k＝4×（﹣8）＝﹣32．∵双曲线yax=过点B（m，﹣2），∴m＝16．由直线y ＝kx+b 过点A ，B 得：48162k b k b +=-⎧⎨+=-⎩，解得，1210k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴反比例函数关系式为32y x -=，一次函数关系式为1102y x =-．（2）观察图象可知，当4＜x ＜16时，一次函数的值小于反比例函数的值．（3）在直线y 12=x ﹣10中，令y ＝0，则x ＝20，∴C （20，0），∴OC ＝20，AC ==BC ==AO==∴22280320400AO AC OC +=+==∴△OAC 为直角三角形∴OA ⊥AB四边形是矩形时分三种情况①当PA ⊥AB 时∵OA ⊥AB∴P 点以O 点重合∴P 点坐标为（0,0）②当PB ⊥AB 时设P （m ，0），则PC ＝20﹣m ，∵∠PBC=∠OAC=90°，∠PCB=∠OCA ∴△BCP ∽△ACO ，∴PCBC OC AC=，即2020m-=，，∴m ＝15，此时P （15，0），③当∠APB=90°时设P （m ，0），作AM ⊥OC ，BN ⊥OC∴∠AMP=∠BNP=90°∵()4,8A -，()16,2B -∴AM=8，BN=2，PM=m-4，NP=16-m∵∠APB=90°∴∠APM+∠BPN=90°∵∠MAP+∠APM=90°∴∠MAP=∠BPN∴△APM ∽△PBN ，∴AM PM PN BN=，即84162m m =--，解得：1025m =±此时P (105,0)+或(105,0)-综上，四边形是矩形时P 点的坐标为（0，0），（15，0），P (1025,0)+或(1025,0)-．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及反比例函数和一次函数的交点问题，这里体现了数形结合的思想．26．（1）见解析；（2）四边形BFGN 是菱形，理由见解析.【分析】（1）过F 作FH ⊥BE 于点H ，可证明四边形BCFH 为矩形，可得到BH ＝CF ，且H 为BE 中点，可得BE ＝2CF ；（2）由条件可证明△ABN ≌△HFE ，可得BN ＝EF ，可得到BN ＝GF ，且BN ∥FG ，可证得四边形BFGN 为菱形．【详解】（1）证明：过F 作FH ⊥BE 于H 点，在四边形BHFC中，∠BHF＝∠CBH＝∠BCF＝90°，所以四边形BHFC为矩形，∴CF＝BH，∵BF＝EF，FH⊥BE，∴H为BE中点，∴BE＝2BH，∴BE＝2CF；（2）四边形BFGN是菱形．证明：∵将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，∴EF＝GF，∠GFE＝90°，∴∠EFH＋∠BFH＋∠GFB＝90°∵BN∥FG，∴∠NBF＋∠GFB＝180°，∴∠NBA＋∠ABC＋∠CBF＋∠GFB＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠NBA＋∠CBF＋∠GFB＝180°−90°＝90°，由BHFC是矩形可得BC∥HF，∴∠BFH＝∠CBF，∴∠EFH＝90°−∠GFB−∠BFH＝90°−∠GFB−∠CBF＝∠NBA，由BHFC是矩形可得HF＝BC，∵BC＝AB，∴HF＝AB，在△ABN和△HFE中，NAB EHF90AB HFNBA EFH∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝，∴△ABN≌△HFE，∴NB＝EF，∵EF＝GF，∴NB＝GF，又∵NB∥GF，∴NBFG是平行四边形，∵EF＝BF，∴NB＝BF，∴平行四边NBFG是菱形．点睛：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，菱形的判定等，作出辅助线是解决（1）的关键．在（2）中证得△ABN≌△HFE是解题的关键．27．(1)证明见解析；(2)四边形AFBE是菱形【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG=BG，在△AGE和△BGF中，∵∠AEG=∠BFG，∠AGE=∠BGF，AG=BG，∴△AGE≌△BGF（AAS）；（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE=BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．【点睛】考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；探究型．。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷附答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．2．顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．三角形3．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2﹣2x＝0B．x2+4x＝﹣4C．2x2﹣4x+3＝0D．3x2＝5x﹣2AC=，4．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知树的高度3mAB=，树影4mAP=，则路灯高PO的长是（）树AB与路灯O的水平距离6mA．2m B．4.5m C．7.5m D．12m5．如图，点D，E是△ABC中AB边上的点，△CDE是等边三角形，且△ACB＝120°，则下列结论中正确的是（）A．CD2＝AD•BE B．BC2＝BE•BDC．AC2＝AD•AE D．AC•BC＝AE•BD6．将抛物线y ＝x 2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ）A ．（﹣2，3）B ．（﹣2，﹣4）C ．（﹣2，4）D ．（2，﹣3）7．如图，在△ABC 中，BC ＝12cm ，高AD ＝6cm ，正方形EFGH 的四个顶点均在△ABC 的边上，则正方形EFGH 的边长为（ ）cm ．A ．2B ．2.5C ．3D ．48．如图，点P ，点Q 都在反比例函数y ＝k x的图象上，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S 1，过点Q 作x 轴的垂线，交x 轴于点A ，△OAQ 的面积为S 2，若S 1+S 2＝3，则k 的值为（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣29．某商场在销售一种日用品时发现，如果以单价20元销售，则每周可售出100件，若销售单价每提高0.5元，则每周销售量会相应减少2件．如果该商场这种日用品每周的销售额达到2024元．若设这种日用品的销售单价为x 元，则根据题意所列方程正确的是（ ）A ．（20+x ）（100﹣2x ）＝2024B ．（20+x ）（100﹣20.5x ）＝2024 C ．x[100﹣2（x ﹣20）]＝2024D ．x （100﹣200.5x -×2）＝2024 10．如图，点,A B 分别在反比例函数()()10,0a y x y x x x =>=<的图象上．若OA OB ⊥，2OB OA =，则a 的值为（ ）A．2-B．4-C．4 D．2二、填空题11．方程x2＝3x的根是_____．12．甲公司前年缴税100万元，今年缴税121万元，则该公司缴税的年平均增长率____ 13．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%，则袋中有红球个数是__________．14．如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．若AF＝5，BF＝3，则AC的长为_____．15．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H在线段AB上，则AHAB的值是_____．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB的中点，点G在CD上，连接AG．将ABE△和CEG 分别沿直线AE 和EG 折叠，点B 和点C 同时落在点AG 上的点F 处，则AG 的长是______．17．如图，点A 为直线y x =-上一点，过A 作OA 的垂线交双曲线(0)k y x x=<于点B ，若2216OA AB -=，则k 的值为______．三、解答题18．解方程：2y 2+6y ＝y+3．19．计算：22tan60cos30sin 45︒︒-︒20．在一个不透明的盒子里有红球、黄球、绿球各一个，它们除了颜色外其余都相同，小颖从盒子里随机摸出一球，记录下颜色后放回盒子里，充分摇匀后，再随机摸出一球，并记录下颜色．请用列表法或画树状图法，求小颖两次摸出的球颜色相同的概率．21．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ△BC，△BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，△ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．22．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB△BD 于点B，CE△BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝kx的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是；（3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD△x轴，交反比例函数y＝k x的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为．24．如图，小明父亲想用长为100m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为，并直接写出x的取值范围是；（2）求当x为多少m时，面积S为1050m2；（3）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？25．如图，反比例函数myx=图象上A、B两点的坐标分别为(3,4)A，()1,6B n--．(1)求反比例函数myx=和直线AB的解析式；(2)连结AO、BO，求AOB的面积．26．如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD BC ∥，2AD BC =，90ABD ∠=︒，E 为AD 的中点，连接BE ．(1)求证：四边形BCDE 为菱形；(2)连接AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长．27．已知正方形ABCD 的边长等于4，点E 为边AD 上一动点，连接CE ，以CE 为边长作正方形CEFG （点D 、F 在CE 所在直线的同侧），H 为CD 中点，连接FH ．(1)如图1，当点E 为AD 中点时，连接BE ，BH ，求证：四边形BEFH 为菱形；(2)如图2，连接EH ，若1AE =，求EHF 的面积；(3)在点E 的运动过程中，求AF 的最小值．参考答案1．B2．B3．B4．C5．A6．C7．D8．D9．D10．B11．0或3【详解】解：x 2＝3xx 2﹣3x ＝0即x （x ﹣3）＝0△x ＝0或3故答案为：0或312．10%【详解】解：设该公司缴税的年平均增长率为x ，依题意得100（1+x ）2 ＝121解方程得x 1＝0.1＝10%，x 2＝﹣2.1（舍去）所以该公司缴税的年平均增长率为10%．故答案为：10%．13．6【详解】设袋中有x 个红球． 由题意可得：100%20%30x⨯=，解得：6x =，故答案为：6．14．【详解】解：△四边形ABCD 是矩形，△△B ＝90°，△AF ＝5，BF ＝3，△4AB ==，△将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ．△CF ＝AF ＝5，△BC ＝BF+CF ＝8，△AC ==，故答案为：15【详解】解：设2AB a =，四边形ABCD 为正方形，2AD AB a ∴==，90BAD ∠=︒， E 点为AD 的中点，AE a ∴=，BE ∴，EF BE ∴==，1)AF EF AE a ∴=-=，四边形AFGH 为正方形，1)AH AF a ∴==，∴AH AB ==．16．5【详解】解：由折叠性质知，AF= AB= 4，CG = FG ，△AFE=△B=△C=△EFG=90°， △ A 、F 、G 三点共线，设CG=FG=x ，则DG=4-x ，AG = x+4，△△D= 90°，△AD 2+ DG 2= AG 2，△42+(4-x)2=(x +4)2， 解得x=1，△AG = x+4= 5，故答案为△5．17．8-【详解】解：延长AB 交x 轴于点C ，过点A 作AF x ⊥轴于点F ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，点A 为直线y x =-上的一点， 45AOC =∴∠︒，AB OA ⊥，AOC ∴和BCE 均为等腰直角三角形，AO AC ∴=，BC =，12AF OC =，)AB AC BC AF BE ∴=--． 2216OA AB -=，)22)]16AF BE ∴--=， 整理得，228AF BE BE ⋅-=，即()28BE AF BE ⋅-=， ()8BE OC CE ∴⋅-=， 8BE OE ∴⋅=，设B 点坐标为()x y ，， 8xy ∴-=，△8xy =-，8k ∴=-．故答案为：8-．18．y1＝﹣3，y2＝12【详解】解：△2y2+6y＝y+3，△2y（y+3）﹣（y+3）＝0，△（y+3）（2y﹣1）＝0，△y+3＝0或2y﹣1＝0，解得y1＝﹣3，y2＝12．19．5 2【详解】解：原式=22=132-=5 220．1 3【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小颖两次摸出的球颜色相同的结果有3个，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，小颖两次摸出的球颜色相同的结果有3个，∴小颖两次摸出的球颜色相同的概率为31 93 =．21．见解析【分析】先根据平行线的性质得到△DEC＝△BCE，△DFC＝△GCF，再由角平分线的定义得到=1 2BCE DCE BCA∠∠＝∠，=1 2DCF GCF ACG∠∠＝∠，则△DEC＝△DCE，△DFC＝△DCF，推出DE＝DC，DF＝DC，则DE＝DF，再由AD＝CD，即可证明四边形AECF是平行四边形，再由△ECF＝△DCE+△DCF＝11=9022BCA ACG+︒∠∠，即可得证．【详解】证明：△PQ△BC，△△DEC ＝△BCE ，△DFC ＝△GCF ，△CE 平分△BCA ，CF 平分△ACG ， △=12BCE DCE BCA ∠∠＝∠，=12DCF GCF ACG ∠∠＝∠，△△DEC ＝△DCE ，△DFC ＝△DCF ，△DE ＝DC ，DF ＝DC ，△DE ＝DF ，△点D 是边AC 的中点，△AD ＝CD ，△四边形AECF 是平行四边形，△△BCA+△ACG ＝180°，△△ECF ＝△DCE+△DCF ＝11=9022BCA ACG +︒∠∠，△平行四边形AECF 是矩形．22．3m【分析】根据垂直的定义得到△FOE ＝90°，推出AB EO ∥，证明△ABD△△COD ，△ABF△△EOF ，再根据相似三角形的性质列方程组，再解方程组即可得到结论．【详解】解：△EO△BF ，△△FOE ＝90°，△AB△BF ，CO△BF ，△AB EO ∥，△△ABD△△COD ，△ABF△△EOF ， △,,AB BD AB BFOC OD OE OF△OE ＝1m ，CE ＝1.5m ，OF ＝1.2m ，OD ＝12m ，△12 1.2, 2.5121 1.2ABBO AB BO 解得：AB ＝3．答：围墙AB 的高度是3m ．23．（1）2y x-=，(1,0)B ；（2）10x -<<或2x >；（3）(1或(1 【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数关系式求出k ，把0y =代入一次函数关系式求得B 点横坐标，进而求得结果；（2）先求出直线和反比例函数另一个交点坐标，然后由图象得出结果；（3）因为//CD OB ，所以只需CD OB =，设点C 的纵坐标是a ，表示出C 、D 两点横坐标，列出方程求得结果．【详解】解：（1）k y x=过(2,1)A -， 2(1)2k xy ∴==⨯-=-，2y x-∴=， 由0y =得，10x -+=，1x ∴=，(1,0)B ∴；（2）由21x x-=-+得， 12x =，21x =-，∴当一次函数值小于反比例函数值时，10x -<<或2x >，故答案是：10x -<<或2x >；（3）设(1,)C a a -，2(D a-，)a ， 2|1|CD a a ∴=-+， 当CD OB =时，2|1|1a a-+=，a ∴=1a =±C 在第二象限，a =1a =(1C ∴-或(1，故答案是：(1或(，1+．24．（1）22100S x x =-+，30≤x ＜50；（2）35m ；（3）当AB ＝30m ，BC ＝40m 时，面积S 有最大值为1200m 2【分析】（1）根据BC =（栅栏总长2)AB -，再利用矩形面积公式即可求出；（2）把1050S =代入（1）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可；（3）根据二次函数的性质以及自变量的取值范围求最值即可．【详解】解：（1）AB CD x ==m ，则(1002)BC x m =-，2(1002)2100S x x x x ∴=-=-+，0100240x <-，3050x ∴<，S ∴与x 之间的函数表达式为22100S x x =-+，自变量x 的取值范围是3050x <，故答案安为：22100S x x =-+，3050x <；（2）令1050S =，则221001050x x -+=，解得：115x =，235x =，3050x <，35x ∴=，∴当x 为35m 时，面积S 为21050m ；（3）222(50625625)2(25)1250S x x x =--+-=--+，20-<，∴当25x >时，S 随着x 的增大而减小，3050x <，∴当30x =时，S 有最大值为1200，∴当30AB m =，40BC m =时，面积S 有最大值为21200m ．25．(1)12y x =；y=2x -2(2)5【分析】（1）把A（3，4）代入myx=，可得出m的值，进而得出B的坐标，然后把A、B的坐标代入y＝kx＋b，即可利用待定系数法求得函数的解析式；（2）求得D的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．（1）解：把A（3，4）代入myx=得：m＝12，△反比例函数解析式为：12yx =，把B（n−1，−6）代入12yx=得：1261n∴-=-，解得：n＝−1，△B（−2，−6），设直线AB的解析式为：y＝kx＋b，把A（3，4），B（−2，−6）代入得：4362k bk b ⎧⎨--⎩＝＋＝＋，解得：22kb⎧⎨-⎩＝＝，△直线AB的解析式为：y＝2x−2；（2）设直线AB与x轴于点D，则当y＝0时，2x−2＝0，△x＝1，△D（1，0），△S△AOB＝12×1×4＋12×1×6＝5，△△AOB 的面积为5．26．(1)证明见解析．【分析】（1）先证明四边形BCDE 是平行四边形，再证明一组邻边相等即可；（2）连接AC ，根据平行线的性质及等角对等边证明AB=1，AD=2，可知30ADB ∠=︒，再根据菱形的性质即可得出ACD △是含30的特殊三角形，最后根据勾股定理即可求AC 的长．（1）2AD BC =，E 为AD 的中点，DE BC ∴=，AD BC ∥，△四边形BCDE 是平行四边形，90ABD ∠=︒，AE DE =，BE DE ∴=，△四边形BCDE 是菱形．（2）解：连接AC ．AD BC ∥，AC 平分BAD ∠，BAC DAC BCA ∴∠=∠=∠，1AB BC ∴==，22AD BC ∴==，30ADB ∴∠=︒，30DAC ∴∠=︒，四边形BCDE 是菱形∴260ADC ADB ∠=∠=︒，90ACD ∴∠=︒在Rt ACD △中，2AD =，1CD ∴=，∴AC =27．(1)见解析 (2)172EFH S = (3)AF的最小值是【分析】（1）先证Rt Rt (SAS)BHC CED ≌，推出BH CE =，CBH DCE ∠=∠，再结合正方形的性质得出EF BH =，//EF BH ，得出四边形BEFH 为平行四边形，再由()Rt Rt SAS ABE CBH ≌得出BE BH =，即可证明四边形BEFH 为菱形；（2）连接EH ，连接DF ，过点F 作FM AD ⊥，交AD 延长线于点M ，利用EFH EFD EDH DHF S S S S =++求解；（3）连接AF ，先证AE DM =，设AE x =，则DM x =，4DE FM x ==-，由勾股定理得AF ===，可知当0x =，即点E 与点A 重合时，AF 有最小值．（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，BC CD AD ∴==，90BCD ADC ︒∠=∠=． 又E 为AD 中点，H 为CD 中点，CH DE ∴=，在BHC △与CED 中，BC CD BCH CDE CH DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt Rt (SAS)BHC CED ≌．BH CE ∴=，CBH DCE ∠=∠．90DCE BCE ︒∠+∠=，90CBH BCE ︒∴∠+∠=，BH CE ∴⊥，在正方形CEFG 中，EF CE =，EF CE ⊥， EF BH ∴=，//EF BH ，∴四边形BEFH 为平行四边形．同理可证()Rt Rt SAS ABE CBH ≌，BE BH ∴=，∴四边形BEFH 为菱形；（2）解：如图，连接EH ，连接DF ，过点F 作FM AD ⊥，交AD 延长线于点M ，1AE =，3DE ∴=．90FEM CEM ︒∠+∠=，90CEM ECD ︒∠+∠=， FEM ECD ∴∠=∠，在EFM △与CED 中，90FEM ECDEDC EMF CE EF︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，(AAS)EFM CED ∴≌，4CD EM ∴==，3DE FM ==，1DM ∴=， 111173332212222EFH EFD EDH DHF S S S S ∴=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；（3）解：如图，连接AF ，由（2）可知，(AAS)EFM CED ≌， CD EM ∴=，DE FM =，CD AD EM ∴==，AE DM ∴=，设AE x =，则DM x =，4DE FM x ==-，在Rt AFM △中，由勾股定理，得AF = ∴当0x =，即点E 与点A 重合时，AF =．。
北师大版数学九年级上册期末考试试卷含答案
北师大版数学九年级上册期末考试试卷含答案一、选择题（共20小题，每小题4分，共80分）1.已知函数f(x) = 2x + 5，则f(-3)的值是多少？A. 1B. -1C. -3D. 112.根据平行四边形的性质，以下说法正确的是：A. 其对角线相等B. 其对边平行且相等C. 其内角和为360°D. 其对边相等且对角线垂直3.已知a:b = 3:4，b:c = 4:5，则a:c = ？A. 12:20B. 15:12C. 12:15D. 15:204.在指数运算中，对于任意正数a和b，以下哪个等式成立？A. a^b = b^aB. (a^b)^c = a^(b+c)C. (a+b)^c = a^c + b^cD.(a*b)^c = a^c * b^c5.已知直线AB经过点C(2, 3)，斜率为1/2，则直线AB的方程为：A. y = 2x - 1B. y = 2x + 1C. y = -2x + 1D. y = -2x - 16.若正方体的棱长为a，则其表面积为：A. 4a^2B. 5a^2C. 6a^2D. 8a^27.已知a + b = 7，a - b = 1，则a的值为多少？A. 3B. 4C. 5D. 68.如图，以B为圆心，BC为半径的圆与直线DE相切于点F，则∠BFC的度数为：（图略）9.已知集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4}，C = {2, 4}，则A ∩ (B ∪ C)等于：A. {2}B. {3, 4}C. {2, 3, 4}D. {1, 2, 3, 4}10.解方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为：A. x = 3或x = 2B. x = 3或x = -2C. x = -3或x = 2D. x = -3或x = -211.一件商品原价为500元，现在进行8折打折后再打9折，折后的价格为多少元？A. 360B. 365C. 400D. 44512.已知平行四边形ABCD，对角线AC的长为6 cm，对角线BD的长为8 cm，则平行四边形ABCD的面积为：A. 12 cm^2B. 20 cm^2C. 24 cm^2D. 30 cm^213.若sinα = 1/2，且α为第二象限角，则cosα的值为：A. -√3/2B. -1/2C. 1/2D. √3/214.若一个角的补角是30°，则这个角的度数为多少？A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°15.已知一个圆的半径为5 cm，则其周长为多少？A. 10 cmB. 15 cmC. 20 cmD. 25 cm16.已知函数y = 2x^2 + 3x - 1，求其对应的图象在x轴上的截距。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．若方程kx 2＋2x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是（）A ．k ＞1B ．k≤1C ．k≤1且k≠0D ．k ＜1且k≠02．在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为（）A ．(3,2)-B ．(2,3)-C ．(2,3)-D ．(3,2)-3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若△ABC 的三边都缩小3倍，则sinA 的值（）A ．缩小3倍B ．放大3倍C ．不变D ．无法确定4．将y=2x 2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（）A ．y=2x 2+2B ．y=2（x+2）2C ．y=（x －2）2D ．y=2x 2－25．如图，四边形ABCD 为菱形，A ，B 两点的坐标分别是()3,0，(，点C ，D 在坐标轴上，则菱形ABCD 的周长等于（）A ．B ．C ．D ．6．在△ABC 中，DE ∥BC ，AE ：EC ＝2：3，则S △ADE ：S 四边形BCED 的值为（）A ．4：9B ．4：21C ．4：25D ．4：57．如图，点A 是反比例函数y=（x ＞0）的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（）A．2B．3C．4D．58．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．9．已知反比例函数kyx=的图象经过点（﹣3，6），则k的值是（）A．﹣18B．﹣2C．2D．1810．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．611．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数kyx=（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A．12B．16C．20D．32 12．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3二、填空题13．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=2，那么BD=________．14．已知xy＝23，则x yy-＝___．15．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a=_____．16．如图，已知 ABC∽ AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝_____．17．某商店以30元的价格购进了一批服装，若按每件50元出售，一个月内可销售100件；当售价每提价1元时，其月销售量就减少5件．当利润达到1875元时，设售价提价x元，则可列方程为____________．18．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中．不断重复实验多次后，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．则据此估计盒子中大约有白球___________个．三、解答题19．如图，已知直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以()0,1C为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则PAB∆面积的最小值是______．20．计算：1 01 (3)2cos30|1|2π-︒⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭．21．已知方程x2﹣3x＋m＝0的一个根是x1＝1，求方程的另一个根x222．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=14 DC，求证：△ABE∽△DEF．23．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，tan∠A＝1 3．(1)尺规作图：以AC为直径作⊙O，与AB交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；(2)求⊙O的半径长度．24．面对突如其来的疫情，全国人民响应党和政府的号召，主动居家隔离．随之而来的，则是线上买菜需求激增．某小区为了解居民使用买菜APP的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查（每户必选且只能选最常用的一个APP），现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（A：美团优选，B：叮咚买菜，C：每日优鲜，D：盒马生鲜）(1)本次随机调查了户居民；(2)补全条形统计图的空缺部分；(3)某日下午，张阿姨想购买苹果和生菜，各APP的供货情况如下：美团优选（A）仅有苹果在售；叮咚买菜（B）仅有生菜在售；每日优鲜（C）仅有生菜在售；盒马鲜生（D）的苹果和生菜均已全部售完．求张阿姨随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋1与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与反比例函数y＝mx的图象在第一象限内交于点C（1，n）．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)过x轴正半轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线（a＞0），分别与直线AB和双曲线y＝mx交于点P、Q，且PQ＝OD，求点D的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3．动点P从点C 出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x 轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、Q的运动时间为t秒（1）当t＝2秒时，求tan∠QPA的值；（2）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t的值；（3）连结CQ，当点P，Q在运动过程中，记CQPV与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S 与t 的函数关系式；（4）直接写出∠OAB 的角平分线经过CQP V 边上中点时的t 值．27．如图，D 、E 、F 分别是ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、AE ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）加上条件后，能使得四边形ADEF 为菱形，请从①90BAC ∠=︒；②AE 平分BAC ∠；③AB AC =，这三个条件中选择一个条件填空（写序号），并加以证明．参考答案1．B【分析】分k ＝0和k≠0对应的一元一次方程和一元二次方程分类讨论即可求解．【详解】解：当k ＝0变成一元一次方程：2x ＋1＝0，有实数根，符合题意；当k≠0时，为一元二次方程，此时判别式△=4-4k≥0，解得k≤1，综上，k 的取值范围为：k≤1，故选：B ．2．D【分析】利用关于x 轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．【详解】点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为（3，-2），故选：D．3．C【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．【详解】解：∵∠C＝90°，∴sin∠A=AA∠∠的对边的斜边，∵△ABC的三边都缩小3倍，∴∠A的对边与斜边的比不变，∴sinA的值不变，故选：C．4．B【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将函数y=2x2的图象向左平移2个长度单位所得到的图象对应的函数关系式是：y=2（x+2）2．故选：B．5．A【分析】由勾股定理可求AB的长，由菱形的性质可求解．【详解】解：∵A，B两点的坐标分别是（3，0），(，∴OBOA＝3，∴AB=∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝∴菱形ABCD的周长等于＝4×故选：A．6．B【分析】由已知条件得到AE：AC=2：5，根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到S△ADE：S△ABC=（AE：AB）2=4：25，即可得到结论．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴2ADE ABC S AE S AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵23AE EC =，∴25AE AC =，∴425ADE ABC S S = ，∴S △ADE ：S 四边形BCED=4:21.故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，比例的基本性质的运用，相似三角形的面积与相似比的关系，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7．D【详解】设A 的纵坐标是b ，则B 的纵坐标也是b ．把y=b 代入y=得，b=，则x=，，即A的横坐标是，；同理可得：B的横坐标是：﹣．则AB=﹣（﹣）=．则S □ABCD =×b=5．故选D ．8．A【分析】找到从上面观察所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】解：这个几何体的俯视图如图所示：，故选：A ．9．A【分析】把（﹣3，6）代入，求解析式即可．【详解】解：把（﹣3，6）代入y ＝kx得，6=()3k -，解得，k=-18故选：A ．10．D【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，列出比例式，解出AB 的值即可．【详解】∵△ABO ∽△CDO ，BO ＝8，DO ＝4，CD ＝3，∴BO ABDO CD =，即843AB =，∴AB=6．故选：D ．11．D【分析】由菱形OABC 的顶点C 的坐标为（3，4），可求得BC ＝OC ＝5，继而求得点B 的坐标，然后由待定系数法即可求得k 的值．【详解】解：∵点C 的坐标为（3，4），∴OC 5，∵四边形OABC 是菱形，∴BC ＝OC ＝5，BC ∥OA ，∴点B 的坐标为（8，4），∵反比例函数ky x=（x ＞0）的图象经过顶点B ，∴k ＝xy ＝8×4＝32．故选：D ．12．D【详解】解：x 2＝3x ，230x x -=，-=(3)0x x ，∴120,3x x ==，故选：D ．13．4【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，先算AC ，再算BD ．【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴1,2AO OC AC AC BD ===又∵2AO =∴4AC BD ==故答案为：414．13-【分析】由x y ＝23得23x y =，代入要求的式子进行计算即可．【详解】解：∵x y ＝23，∴23x y =，∴211333y y yx y y y y ---==-=，故答案为：13-15．2【详解】解：由数轴可得：0＜a ＜2，则=a+（2﹣a ）=2．故答案为：2．16．163【分析】根据相似三角形的性质，得AB ACAM AN=，代入数据得出AN 的长即可．【详解】解：∵△ABC ∽△AMN ，∴AB ACAM AN=，∵M 是AC 的中点，AB ＝6，AC ＝8，∴AM ＝MC ＝4，∴684AN=，解得AN ＝163，故答案为：163．17．5x 2-125=0【分析】根据“每月售出服装的利润=每件的利润×每周的销售量”可得1875=(50+x-30)(100-5x)，然后整理即可解答．【详解】解：根据题意得出：1875=(50+x−30)（100-5x ）整理得：5x 2-125=0故答案为：5x 2-125=0．18．16【分析】设盒子中大约有白球x 个，根据黑球有4个，利用黑球数量除以球的总数可得其频率为0.2，据此列方程解题即可．【详解】设盒子中大约有白球x 个，根据题意得：40.24x=+解得:16x =故答案为：16．19．112【分析】过C 作CM AB ⊥于M ，MC 的延长线交O 于N ，连接AC ，根据一次函数求出点A 、B 的坐标，然后利用等面积即可求出CM 的值，根据圆上距离直线AB 最近的点为CM 与O 的交点，从而求出PAB ∆面积的最小值．【详解】解：过C 作CM AB ⊥于M ，连接AC ，将x=0，代入334y x =-中，得y=-3，将y=0代入334y x =-中，得x=4∴点B 的坐标为（0，-3）点A 的坐标为（4,0）∴OA=4，OB=3，BC=1－（-3）=4根据勾股定理可得5=则由三角形面积公式得，1122AB CM OA BC ⨯⨯=⨯⨯，∴516CM ⨯=，∴165CM =，∴圆C 上点到直线334y x =-的最小距离是1611155-=，即点P 为CM 与O 的交点时∴PAB ∆面积的最小值是111115252⨯⨯=，故答案是：112．20．2【分析】按顺序分别进行零指数幂运算、代入特殊角的三角函数值、化简绝对值、进行负整数指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可.【详解】()1013π2cos3012-︒⎛⎫--++ ⎪⎝⎭=1212-+=2．21．22x =【详解】解：∵方程x 2﹣3x ＋m ＝0的一个根是x 1＝1，另一个根x 2∴12331x x -+=-=22x ∴=22．见解析【分析】由正方形的性质得出∠A=∠D=90°，AB=AD=CD=BC ，证出AE DF AB DE=，即可得出结论．【详解】∵ABCD 为正方形，∴AD=AB=DC=BC ，∠A=∠D=90°，∵AE=ED ，∴12 AEAB=，∵DF=14 DC，∴12 DFDE=，∴AE DF AB DE=，又∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEF．考点：相似三角形的判定．23．(1)见解析【分析】（1）分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径画弧交于两点，连接这两点交AC于点O，以O为圆心，OA为半径作圆交AB于点D；（2）连接CD，根据AC是⊙O的直径，可得∠ADC=90°，由tan∠A=13，可得CD=2，再运用勾股定理可得AC=(1)如图所示，⊙O即为所作的圆：(2)连接CD，如图，∵AC 是圆O 的直径∴90ADC ∠=︒，即CD AB⊥∵BC=AC ∴1112622AD AB ==⨯=∵tan ∠A ＝13∴13CD AD =∴123CD AD ==在Rt △ACD 中，222AD CD AC +=∴222262210AC AD CD =+=+=∴⊙O 的半径=110102⨯=24．(1)200(2)见解析(3)13【分析】（1）根据题意即可得本次随机调查的户数；（2）根据题意计算出选择A ：天虹到家的户数即可补全条形统计图的空缺部分；（3）根据题意画出树状图，即可得张阿姨随机选择两个不同的APP 能买到苹果和生菜的概率．(1)根据题意，得30÷15%=200，所以，本次随机调查了200户居民；故答案为：200；(2)∵200-80-40-30=50，∴条形统计图的A：美团优选为50，如图为补全的条形统计图，(3)根据题意画出树状图，根据树状图可知：所有等可能的结果有12种，随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的有4种，所以随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率是41 123=．25．(1)y=x+1，2 yx =(2)20D（，）或1(4D-【分析】（1）把点A（-1，0）代入y=kx+1得k=1，从而求出直线AB的解析式y=x+1，把点C(1，n)代入y=x+1，求出n=2，即可求出m=2，从而可得反比例函数解析式；（2）分别表示出DO=a，21PQ aa=+-，根据PQ OD=列出方程求解即可．（1）把点A（-1，0）代入y=kx+1得：-k+1=0∴k=1，∴直线AB 的解析式为：y=x+1，∵点C(1，n)是直线AB 与反比例函数图象的交点，∴n=1+1=2∴122m =⨯=∴反比例函数的解析式为：2y x=（2）如图，∵D （a ，0）（a ＞0）∴Q(2,a a)，P(a ，a+1)∴DO=a ，21PQ a a =+-，∵PQ ＝OD ，∴2|1|a a a =+-∴21a a a =+-，或2(1)a a a=-+-解得，2a =，或14a -=，或14a -=经检验，2a =或14a -=，或14a -=是原方程的解，但14a -=不符合题意，舍去；∴2a =或14a -=∴20D （，）或1(,0)4D -+26．（1）23；（2）3t s =；（3）()()()3022424432424t t S t t t tt <⎧≤≤⎪⎪⎪=--⎨≤>⎪⎪⎪⎩；（4）1s 或5s 或5.3s 【分析】（1）当t ＝2s 时，可知P 与点B 重合，在Rt △ABQ 中可求得tan ∠QPA 的值；（2）用t 可表示出BP 和AQ 的长，由△PBM ∽△QAM 可得到关于t 的方程，可求得t 的值；（3）当点Q 在线段OA 上时，S ＝S △CPQ ；当点Q 在线段OA 上，且点P 在线段CB 的延长线上时，由相似三角形的性质可用t 表示出AM 的长，由S ＝S 四边形BCQM ＝S 矩形OABC ﹣S △COQ ﹣S △AMQ ，可求得S 与t 的关系式；当点Q 在OA 的延长线上时，设CQ 交AB 于点M ，利用△AQM ∽△BCM 可用t 表示出AM ，从而可表示出BM ，S ＝S △CBM ，可求得答案．（4）先利用待定系数法求出直线AD 解析式，再由C （0，3），P （2t ，3），Q （t ，0）知CP 的中点坐标为（t ，3），CQ 中点坐标为（2t ，32），PQ 中点坐标为（32t ，32），继而分别代入计算可得．【详解】解：（1）当t ＝2s 时，则CP ＝2×2＝4＝BC ，即点P 与点B 重合，OQ ＝2，如图1，∴AQ ＝OA ﹣OQ ＝4﹣2＝2，且AP ＝OC ＝3，∴tan ∠QPA ＝23AQ AP =；（2）当线段PQ 与线段AB 相交于点M ，则可知点Q 在线段OA 上，点P 在线段CB 的延长线上，如图2，则CP＝2t，OQ＝t，∴BP＝PC﹣CB＝2t﹣4，AQ＝OA﹣OQ＝4﹣t，∵PC∥OA，∴△PBM∽△QAM，∴BP BMAQ AM=，且BM＝2AM，∴244tt--＝2，解得t＝3，∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，t为3s；（3）当0≤t≤2时，如图3，由题意可知CP＝2t，∴S＝S△PCQ ＝12×2t×3＝3t；当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，如图4，由题意可知PC＝2t，OQ＝t，则BP＝2t﹣4，AQ＝4﹣t，同（3）可得244BP BM tAQ AM t-==-，∴BM＝244tt--•AM，∴3﹣AM＝244tt--•AM，解得AM＝123t t-，∴S＝S四边形BCQM＝S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ＝3×4﹣12×t×3﹣12×（4﹣t）×123t t-＝24﹣24t﹣3t；当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，由题意可知OQ＝t，AQ＝t﹣4，∵AB∥OC，∴AM AQOC OQ=，即43AM tt-=，解得AM＝312 tt-，∴BM＝3﹣312tt-＝12t，∴S＝S△BCM ＝1122442t t⨯⨯=；综上可知()()()3022424324244t tS t tttt⎧⎪≤≤⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪>⎪⎩（4）如图6，∵∠OAD ＝12∠OAB ＝45°，OA ＝4，∴D （0，4），设直线AD 解析式为y ＝kx+b ，代入，得：404k b b +=⎧⎨=⎩，解得14k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AD 解析式为y ＝﹣x+4，由题意知C （0，3），P （2t ，3），Q （t ，0），∴CP 的中点坐标为（t ，3），CQ 中点坐标为（2t ，32），PQ 中点坐标为（32t ，32），若直线AD 经过CP 中点，则﹣t+4＝3，解得t ＝1；若直线AD 经过CQ 中点，则﹣2t +4＝32，解得t ＝5；若直线AD 经过PQ 中点，则﹣32t+4＝32，解得t ＝53；综上，∠OAB 的角平分线经过△CQP 边上中点时的t 值为1或5或53．27．（1）见解析；（2）②或③，见解析【分析】（1）先证明//EF AB ，根据平行的传递性证明EF //AD ，即可证明四边形ADEF 为平行四边形．（2）选②AE 平分BAC ∠，先证明DAE FAE ∠=∠，由四边形ADEF 是平行四边形ADEF ，得出AF EF =，即可证明平行四边形ADEF 是菱形．选③AB AC =，由//DE AC 且12DE AC =，AB AC =得出EF DE =，即可证明平行四边形ADEF 是菱形．【详解】（1）证明：已知D 、E 是AB 、BC 中点∴//DE AC21又∵E 、F 是BC 、AC 的中点∴//EF AB ∵//DE AF ∴EF //AD ∴四边形ADEF 为平行四边形（2）证明：选②AE 平分BAC ∠∵AE 平分BAC ∠∴DAE FAE ∠=∠又∵平行四边形ADEF ∴//EF DA ∴=∠∠FAE AEF ∴AF EF =∴平行四边形ADEF 是菱形选③AB AC =∵//EF AB 且12EF AB=//DE AC 且12DE AC=又∵AB AC =∴EF DE =∴平行四边形ADEF 为菱形故答案为：②或③。
北师大版九年级上册数学期末试卷及答案【完整版】
北师大版九年级上册数学期末试卷及答案【完整版】 班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．2-的相反数是（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12- 2．已知抛物线24y x bx =-++经过(2,)n -和(4, )n 两点，则n 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣4C ．2D ．43．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A ．内角和为360°B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线互相垂直4．已知整式252x x -的值为6，则整式2x 2-5x+6的值为（ ） A ．9 B ．12 C ．18 D ．245．预计到2025年，中国5G 用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为（ ）A ．94.610⨯B ．74610⨯C ．84.610⨯D ．90.4610⨯6．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于A(m ，3),则不等式2x ax+4<的解集为（ ）A ．3x 2> B ．x 3> C ．3x 2< D ．x 3<8．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE 的大小为（ ）A．44°B．40°C．39°D．38°9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17C．18 D．1910．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．计算：2131|32|2218-⎛⎫--+=⎪⎝⎭____________．2．分解因式：3x－x=__________．3．以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是__________．4．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽度增加__________m.5．如图所示，一次函数y=ax+b 的图象与x 轴相交于点（2，0），与y 轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x 的方程ax+b=0的解是__________．6．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则AEF 的周长=__________cm ．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：2142242x x x x +-+--=12．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2+k ﹣1=0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若此方程的两实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=11，求k 的值．3．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.4．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D 竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．5．甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日搅件数超过40，超过部分每件多提成2元．如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图：（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均件数；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，井说明理由．5．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）求出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、B3、C4、C5、C6、C7、C8、C9、B10、B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、2+2、x （x+1）（x －1）3、30°或150°．4、-45、x=26、9三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、x=12、（1）k ≤58；（2）k=﹣1．3、（1）y=x 2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE 面积最大，最大值为758.（3）P 点的坐标为 ：P 112-），P 2（352，2），P 3，2），P 412-）. 4、河宽为17米 5、（1）215；（2）39件；仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘．6、（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷含答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．若25x y =，则xy的值是（）A ．52B ．25C ．32D ．232．如图所示的几何体的左视图是（）A ．B ．C ．D ．3．下列关于矩形的说法，正确的是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分4．连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（）A ．16B ．14C ．12D ．135．两个相似多边形的相似比是3：4，其中小多边形的面积为18cm 2，则较大多边形的面积为（）A ．16cm 2B ．54cm 2C ．32cm 2D ．48cm 26．如图，////AB CD EF ，若3BF DF =，则ACCE的值是（）A ．2B ．12C ．13D ．37．点A （﹣3，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （2，y 3）都在反比例函数y ＝6x-的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 38．下列对一元二次方程x 2+x ﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）A ．有两个不相等实数根B ．有两个相等实数根C ．有且只有一个实数根D ．没有实数根9．如图，有一张矩形纸片，长10cm ，宽6cm ，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm 2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm ，根据题意可列方程为（）A ．10×6﹣4×6x=32B ．（10﹣2x ）（6﹣2x ）=32C ．（10﹣x ）（6﹣x ）=32D ．10×6﹣4x 2=3210．函数y=x+m 与my x=(m≠0)在同一坐标系内的图象可以是()A ．B ．C ．D ．11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣3，6）、B （﹣9，﹣3），以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B′的坐标是（）A ．（﹣3，﹣1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣9，1）或（9，﹣1）D ．（﹣3，﹣1）或（3，1）12．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，2,BC AE BD =⊥，垂足为E ，30BAE ∠=︒，那么ECO ∆的面积是（）A B C D 二、填空题13．在某一时刻，测得一根长为1.5m 的标杆的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为16m ，那么这根旗杆的高度为_______m ．14．一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是27，则袋中红球约为________个．15．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2021=0有一根为x=﹣1，则a+b=______．16．如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE //AC ，CE //BD ，连接OE ，设AC ＝12，BD ＝16，则OE 的长为_____．17．如图，矩形ABCD 的顶点A 和对称中心均在反比例函数y ＝kx（k≠0，x ＞0）上，若矩形ABCD 的面积为8，则k 的值为___．三、解答题18．已知关于x 的方程x 2+ax+a ﹣2＝0．(1)若该方程的一个根为1，求a 的值；(2)若a的值为3时，请解这个方程．19．某数学小组为调查实验学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐普通公交车或地铁，C：乘坐学校的定制公交车，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．（1）本次调查中一共调查了名学生；扇形统计图中，E选项对应的扇形圆心角是度；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两名学生放学时从A、B、C三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率．20．某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．（1）求平均每次降价盈利的百分率；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）22．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y ＝mx（x ＞0）的图象交于点A （8，1）．(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；(2)点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积；(3)在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O 的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．23．如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，//AD BC ，2AD BC =，90ABD ∠=︒，E 为AD 的中点，连接BE ．（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长．24．如图，已知Rt △ABO ，点B 在x轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=函数()0ky x x=＞的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D ．（1）求反比例函数ky x=的表达式；（2）求△OCD 的面积；（3）点P 是x 轴上的一个动点，请直接写出使△OCP 为直角三角形的点P 坐标.25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 是斜边AB 的中点，过点B 、点C 分别作BE ∥CD ，CE ∥BD ．（1）求证：四边形BECD 是菱形；（2）若∠A=60°，BECD 的面积.26．如图（1），在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，CD ＝8cm ，动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s ．点P 和点Q 同时出发，设运动的时间为t （s ），0＜t ＜5（1）用含t 的代数式表示AP ；（2）当以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 的值；（3）如图（2），延长QP 、BD ，两延长线相交于点M ，当△QMB 为直角三角形时，求t 的值．参考答案1．A【分析】利用比例的基本性质计算即可．【详解】∵2x=5y，∴xy=52，故选A．【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的性质并能进行灵活变形是解题的关键．2．D【分析】根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，即可求解．【详解】解：根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，因此选项D的图形比较符合题意，故选：D．【点睛】考查三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．3．D【详解】分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：1．矩形的四个角都是直角2．矩形的对角线相等3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．5．对边平行且相等6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．故选D．4．B【分析】利用树状图法列出连续两次掷一枚质地均匀的硬币会出现的所有情况，看两次都正面朝上的情况占总情况的多少即为所求．【详解】解：画树状图如图所示：共有4种情况，两次都正面朝上的情况只有一种，所以两次都是正面朝上的概率是1 4．故答案选：B.【点睛】本题考查了求概率的方法，熟练应用树状图法或列表法求出所求情况数和总情况数是解题的关键．5．C【分析】设较大多边形的面积为S，由相似比与面积相似比的关系得18916S=，计算求解即可．【详解】解：设较大多边形的面积为S由两个相似多边形的相似比是3：4，可知两个相似多边形面积的相似比是9：16∴18916 S=解得32S=故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似多边形的面积比与相似比的关系．6．A【分析】由BF=3DF，得BD=2DF，使用平行线分线段成比例定理计算即可.【详解】∵BF=3DF，∴BD=2DF，∵////AB CD EF，∴ACCE=BDDF，∴ACCE=2DFDF=2，故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是定理的对应关系是解题的关键.7．C【分析】分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数y＝6x-求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．【详解】解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝6x-的图象上，∴y1＝63--＝2，y2＝61--＝6，y3＝62-＝﹣3，∵﹣3＜2＜6，∴y3＜y1＜y2，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键8．A【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x ﹣3=0有两个不相等的实数根．【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9．B【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．故选B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．B【分析】先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m 的取值，二者一致的即为正确答案．【详解】A．由函数y=x+m的图象可知m＜0，由函数ymx=的图象可知m＞0，相矛盾，故错误；B．由函数y=x+m的图象可知m＞0，由函数ymx=的图象可知m＞0，正确；C．由函数y=x+m的图象可知m＞0，由函数ymx=的图象可知m＜0，相矛盾，故错误；D．由函数y=x+m的图象可知m=0，由函数ymx=的图象可知m＜0，相矛盾，故错误．故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，解题关键在于掌握它们的性质才能灵活解题．11．D【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以13或-13即可得到点B′的坐标．【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选：D．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．12．B【分析】过点C作CF⊥BD于F．根据矩形的性质得到∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∠AEB＝∠CFD＝90°．根据全等三角形的性质得到AE＝CF．解直角三角形得到OE【详解】解：如图：过点C作CF⊥BD于F．∵矩形ABCD 中，BC ＝2，AE ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠CDF ＝60°，AB ＝CD ，AD ＝BC ＝2，∠AEB ＝∠CFD ＝90°．∴△ABE ≌△CDF ，（AAS ），∴AE ＝CF ．∵∠ABE ＝∠CDF ＝60°，∴∠ADE ＝∠CBF ＝30°，∴CF ＝AE ＝12AD ＝1，∴BE ＝tan AE ABE ∠3333∵∠ABE ＝60°，AO=BO ，∴△ABO 是等边三角形，∴OE ＝33∴S △ECO ＝12OE•CF ＝1331236=故选B ．13．8【分析】根据同时同地物高与影长成比相等，列式计算即可得解．【详解】设旗杆高度为x 米，由题意得：1.5316x =解得8x =.故答案为8．14．25【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷27=35个，所以袋中红球约为35-10=25个.考点：简单事件的频率.15．2021【分析】将1x =-代入原方程即可得出答案．【详解】解：将1x =-代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2021=0中，得：20210a b +-=，∴2021a b +=，故答案为：2021．16．10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD ＝20，证出平行四边形OCED 为矩形，得OE ＝CD ＝10即可．【详解】解：∵DE //AC ，CE //BD ，∴四边形OCED 为平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝6，OB ＝OD ＝12BD ＝8，∴∠DOC ＝90︒，CD ＝10，∴平行四边形OCED 为矩形，∴OE ＝CD ＝10，故答案为：10．17．4.【分析】设A 点的坐标为（m ，n ）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为2n ，根据中心在反比例函数y ＝k x 上，求出中心的横坐标为2k n ，进而可得出BC 的长度，根据矩形ABCD 的面积即可求得．【详解】如图，延长DA 交y 轴于点E ，∵四边形ABCD 是矩形，设A 点的坐标为（m ，n ）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为2n ，∵矩形ABCD 的中心都在反比例函数y ＝k x 上，∴x ＝2k n，∴矩形ABCD 中心的坐标为（2k n ，2n ）∴BC ＝2（2k n ﹣m ）＝4k n﹣2m ，∵S 矩形ABCD ＝8，∴（4k n﹣2m ）•n ＝8,4k ﹣2mn ＝8，∵点A （m ，n ）在y ＝k x上，∴mn ＝k ，∴4k ﹣2k ＝8解得：k ＝4故答案为:418．(1)12(2)12x x ==【分析】（1）将x=1代入原方程可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 的值；（2）把a=3代入原方程得到x 2+3x+1=0，再利用公式法求解即可．(1)将x=1代入原方程，得：1+a+a-2=0，解得：a=12．(2)把a=3代入原方程得，x 2+3x+1=0，∴Δ=32-4×1×1=5，∴33212x --==⨯∴12x x =．19．（1）200，72；（2）见解析；（3）13．【分析】（1）根据B 的人数以及百分比得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）求出C 组的人数即可补全图形；（3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．【详解】解：（1）本次调查的学生人数为6030%200÷=（名)，扇形统计图中，B 项对应的扇形圆心角是4036072200︒⨯=︒，故答案为：200；72；（2）C 选项的人数为200(20603040)50-+++=（名)，补全条形图如下：（3）画树状图如图：共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个，∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为3193=．20．（1）10%；（2）60元【分析】（1）设每次下降的百分率为a ，根据刚上市每件利润100元和连续两次降价后每件利润81元，可列方程为：100（1﹣a ）2＝81，即可求解；（2）设每件应降价x 元，则降价后的利润为()81x -，因降价后销量为()202x +，根据总利润=利润⨯销量，列方程进而求解．【详解】（1）设每次下降的百分率为a ，根据题意，得：100（1﹣a ）2＝81，解得：a ＝1.9（舍）或a ＝0.1＝10%，答：每次下降的百分率为10%；（2）设每件应降价x 元，根据题意，得（81﹣x ）（20+2x ）＝2940，解得：x 1＝60，x 2＝11，∵尽快减少库存，∴x＝60，答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元．21．（1）见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）∠A＝45°．【分析】（1）根据∠ACB=90°，DE⊥BC可得DE//AC，即可证明四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AD＝BD=CD，可得BD=CE，根据AB//MN可证明BECD是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论；（3）根据正方形的性质可得∠CBD=45°，根据∠ACB=90°可得△ABC为等腰直角三角形，可得答案．【详解】（1）∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD．（2）四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∠ACB＝90°，∴AD＝BD=CD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵BD=CD，∴四边形BECD是菱形．（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形，∴∠CBD＝45°，∵∠ACB=90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形BECD 是正方形．22．(1)132y x =-，y=8x；(2)C （2，-2），18(3)O'（4，2），D'（6，6）．【分析】（1）把A 坐标代入一次函数解析式求出k 的值，确定出一次函数解析式，再将A 坐标代入反比例函数解析式求出k 的值，即可确定出反比例解析式；（2）设C 的坐标为（a ，132a -），表示出D 的坐标，两点纵坐标之差即为DC 的长，由已知DC 的长求出a 的值，确定出C 的坐标，过A 作AE ⊥CD 于点E ，由A 与C 的横坐标之差求出AE 的长，三角形ACD 面积以DC 为底，AE 为高，求出即可；（3）连接OO'，由平移可得：OO'∥AC ，根据两直线平行时k 的值相同确定出直线OO'的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点O'的坐标，根据平移的性质，由O 平移到O'的路径确定出D 平移到D'的路径，进而确定出D'的坐标即可．（1）解：∵点A （8，1）在直线y=kx -3上，∴1=8k -3，解得：k=12，∴一次函数解析式为132y x =-，∵A （8，1）在y=m x（x ＞0）的图象上，∴1=8m ，解得：m=8，则反比例函数解析式为y=8x；（2）解：设C （a ，132a -）（0＜a ＜8），则有D （a ，8a ），∴CD=8a-（132a -）=8132a a -+，∵CD=6，∴81362aa-+=，解得：a=-8（舍去）或a=2，∴13132 2a-=-=-，∴C（2，-2），过A作AE⊥CD于点E，则AE=8-2=6，∴S△ACD=12CD•AE=12×6×6=18；（3）连接OO'，由平移可得：OO'∥AC，∴直线OO'的解析式为y=12 x，联立得：812yxy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：42xy=⎧⎨=⎩或42xy=-⎧⎨=-⎩（不合题意，舍去），∴O'（4，2），即O （0，0）通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O'（4，2），又由（2）中知D 坐标为（2，4），∴点D （2，4）往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D'（6，6）．【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．23．（1）见解析；（2）AC =（1）根据2AD BC =，E 为AD 的中点，证得四边形BCDE 是平行四边形，再根据BE=DE 即可证得结论；（2）根据AD ∥BC ，AC 平分BAD ∠，求出AD=2BC=2=2AB ，得到30ADB ∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒，根据Rt ACD ∆求出答案即可．【详解】（1）证明：2AD BC = ，E 为AD 的中点，DE BC ∴=．//AD BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形．90ABD ∠=︒ ，AE DE =，BE DE ∴=，则四边形BCDE 是菱形；（2）解：如答图所示，连接AC ，//AD BC ，AC 平分BAD ∠，BAC DAC BCA ∴∠=∠=∠．1AB BC ∴==．22AD BC ∴==，2AD AB ∴=，∴在Rt ABD ∆中，30ADB ∠=︒．30DAC ∴∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒．在Rt ACD ∆中2AD = ，1CD ∴=，∴AC ==．【点睛】此题考查菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟记菱形的判定及性质是解题的关键．24．（1）3(0)y x x =>；（2）面积为334；（3）P （2，0）或（4，0）【分析】（1）解直角三角形求得AB ，作CE ⊥OB 于E ，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C 的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）补形法，求出各点坐标，S △OCD =S △AOB -S △ACD -S △OBD ；（3）分两种情形：①∠OPC=90°．②∠OCP=90°，分别求解即可．【详解】解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=23∴33OB=2，作CE ⊥OB 于E ，∵∠ABO=90°，∴CE ∥AB ，∴OC=AC ，∴OE=BE=123CE=12AB=1，∴C 31），∵反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，∴33∴反比例函数的关系式为3y x=；（2）∵OB=23∴D的横坐标为23代入3yxy=12，∴D（2312），∴BD=12，∵AB=12，∴AD=3 2，∴S△OCD =S△AOB-S△ACD-S△OBD=12OB•AB-12AD•BE-12334（3）当∠OPC=90°时，点P的横坐标与点C的横坐标相等，C（2，2），∴P（2，0）．当∠OCP=90°时．∵C（2，2），∴∠COB=45°．∴△OCP为等腰直角三角形．∴P（4，0）．综上所述，点P的坐标为（2，0）或（4，0）．【点睛】本题主要考查的是一次函数、反比例函数的综合应用，列出关于k、n的方程组是解答问题（2）的关键，分类讨论是解答问题（3）的关键．25．（1）见解析；（2）面积332（1）先证明四边形BECD是平行四边形，再根据直角三角形中线的性质可得CD=BD，再根据菱形的判定即可求解；（2）根据图形可得菱形BECD的面积=直角三角形ACB的面积，根据三角函数可求BC，根据直角三角形面积公式求解即可．【详解】（1）证明：∵BE∥CD，CE∥BD，∴四边形BECD是平行四边形，∵Rt△ABC中点D是AB中点，∴CD=BD，∴四边形BECD是菱形；（2）解：∵Rt△ABC中，∠A=60°，∴，∴直角三角形ACB的面积为∴菱形BECD【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．26．（1）10-2t；（2）4013或2513；（3）3527或209【分析】（1）作DH⊥AB于H，得矩形DHBC，则CD=BH=8cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的长，从而可得AP；（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；（3）分∠QMB=90゜和∠MQB=90゜两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t的值．【详解】（1）如图，作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形∴CD=BH=8cm，DH=BC=6cm∴AH=AB-BH=16-8=8(cm)在Rt△ADH中，由勾股定理得10(cm)AD===∵DP=2tcm∴AP=AD-DP=(10-2t)cm（2）①当△APQ∽△ADB时则有AP AD AQ AB=∴10210 216tt-=解得：4013 t=②当△APQ∽△ABD时则有AP AB AQ AD=∴10216 210tt-=解得：2513 t=综上所述，当4013t=或2513t=时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；（3）①当∠QMB=90゜时，△QMB为直角三角形如图，过点P作PN⊥AB于N，DH⊥AB于H∴∠PNQ=∠BHD∵∠QMB=90゜∴∠PQN+∠DBH=90゜∵∠PQN+∠QPN=90゜∴∠QPN=∠DBH∴△PNQ∽△BHD∴6384 QN DHPN BH===即4QN=3PN∵PN∥DH∴△APN∽△ADH∴63105PN DHAP AD===，84105AN AHAP AD===∴33(102)55PN AP t ==-，44(102)55AN AP t ==-∴418(102)2855QN AN AQ t t t=-=--=-由4QN=3PN 得：1834(8)3(102)55t t -=⨯-解得：3527t =②当∠MQB=90゜时，△QMB 为直角三角形，如图则PQ ∥DH∴△APQ ∽△ADH ∴45AQAH AP AD ==∴45AQ AP=即42(102)5t t =-解得：209t =综上所述，当3527t =或209时，△QMB 是直角三角形．。
北师大版九年级(上)期末数学试卷(含答案)
北师大版九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．2．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（3分）如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°4．（3分）一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断5．（3分）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm26．（3分）为庆祝中国共产党成立100周年，某学校开展学习“四史”（《党史》《新中国史》《改革开放史》《社会主义发展史》）交流活动，小亮从这四本书中随机选择1本进行学习心得体会分享，则他恰好选到《新中国史》这本书的概率为（）A．B．C．D．17．（3分）如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：18．（3分）下列命题中，是真命题的是（）A．一条线段上只有一个黄金分割点B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似C．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例D．若2x＝3y，则＝9．（3分）文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．小张：该工艺品的进价是每个22元；小李：当销售价为每个38元时，每天可售出160个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出120个．经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（）A．（38﹣x）（160+×120）＝3640B．（38﹣x﹣22）（160+120x）＝3640C．（38﹣x﹣22）（160+3x×120）＝3640D．（38﹣x﹣22）（160+×120）＝364010．（3分）如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）已知：，则＝．12．（3分）深圳某商场为吸引顾客，设置了一种游戏，其规则如下：在一个不透明的纸箱中装有红球和白球共10个，这些球除颜色外都相同．凡参与游戏的顾客从纸箱中随机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个吉祥物，摸到白球没有吉祥物．据统计，参与这种游戏的顾客共有5000人，商场共发放了吉祥物1500个．则该纸箱中红球的数量约有个．13．（3分）如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE ＝°．14．（3分）如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点B的横坐标是1，过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是．15．（3分）如图，已知△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，AB＝AC＝1，AD＝DE＝，点D在直线BC上，EA的延长线交直线BC于点F，则FB的长是．三、解答题（本题共7小题，共55分）16．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝0．17．（7分）小明为探究反比例函数y＝的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到．（1）他列出y与x的几组对应值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣0.50.51b34…y…﹣1﹣a﹣4﹣88421…表格中，a＝，b＝；（2）结合表，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时的函数y的图象；（3）①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，则m n（填“＞”，“＝”或“＜”）；②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，且x1＜x2＜0，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．18．（8分）深圳某地铁站入口有A，B，C三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁．（1）张红选择A安全检查口通过的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率．19．（8分）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB 于点F，DC＝DE．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．20．（8分）如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．（1）求原正方形空地的边长；（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．21．（9分）【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：①根据光源确定榕树在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等；③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．根据上述内容，解答下列问题：（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为米．22．（10分）（1）【探究发现】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E．①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝°．（2）【类比迁移】如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；（3）【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据简单几何体的三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可．【解答】解：从正面看深圳湾“春笋”大楼所得到的图形如下：故选：A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键．2．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得：1+m﹣3＝0，解得：m＝2．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．3．（3分）如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣65°＝80°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝80°，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理．4．（3分）一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【分析】先计算根的判别式，再根据根的判别式进行判断即可．【解答】解：∵Δ＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，∴一元二次方程没有实数根．故选：C．【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解本题的关键．5．（3分）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm2【分析】直接根据菱形的面积公式计算即可．【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2），故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积＝两对角线长乘积的一半是解题的关键．6．（3分）为庆祝中国共产党成立100周年，某学校开展学习“四史”（《党史》《新中国史》《改革开放史》《社会主义发展史》）交流活动，小亮从这四本书中随机选择1本进行学习心得体会分享，则他恰好选到《新中国史》这本书的概率为（）A．B．C．D．1【分析】直接根据概率公式求解即可．【解答】解：由题意得，他恰好选到《新中国史》这本书的概率为．故选：A．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．（3分）如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，根据△OA′B′∽△OAB，求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案．【解答】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，∴△OA′B′∽△OAB，∴＝＝，∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4，故选：A．【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．8．（3分）下列命题中，是真命题的是（）A．一条线段上只有一个黄金分割点B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似C．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例D．若2x＝3y，则＝【分析】根据黄金分割的定义对A选项进行判断；根据相似多边形的定义对B选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理对C选项进行判断；根据比例的性质对D选项进行判断．【解答】解：A．一条线段上有两个黄金分割点，所以A选项不符合题意；B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似，所以B选项符合题意；C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，所以C选项不符合题意；D．若2x＝3y，则＝，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．9．（3分）文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．小张：该工艺品的进价是每个22元；小李：当销售价为每个38元时，每天可售出160个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出120个．经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？设这种工艺品的销售价每个应降低x元，由题意可列方程为（）A．（38﹣x）（160+×120）＝3640B．（38﹣x﹣22）（160+120x）＝3640C．（38﹣x﹣22）（160+3x×120）＝3640D．（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640【分析】由这种工艺品的销售价每个降低x元，可得出每个工艺品的销售利润为（38﹣x﹣22）元，销售量为（160+×120）个，利用销售总利润＝每个的销售利润×销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵这种工艺品的销售价每个降低x元，∴每个工艺品的销售利润为（38﹣x﹣22）元，销售量为（160+×120）个．依题意得：（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（3分）如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（）A．B．C．D．【分析】取BD的中点M，连接EM，交BF于点N，则EM＝，EM∥DC，由△BEN∽△BCF，得EN＝，由EM∥AB，得△EMG∽△ABG，△ENH∽△ABH，则EG＝，EH＝，从而解决问题．【解答】解：∵矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，∴BE＝，AB∥CD，CF＝DF＝，取BD的中点M，连接EM，交BF于点N，如图，则EM是△BCD的中位线，∴EM＝，EM∥DC，∴EM＝，EM∥AB，∴△BEN∽△BCF，∴，∴EN＝，∴EN＝，∵EM∥AB，∴△EMG∽△ABG，△ENH∽△ABH，∴，，∴EG＝，EH＝，∴GH＝EG﹣EH＝，∴，故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示出GH和HE的长是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）已知：，则＝．【分析】根据比例式的合比性质可直接求出的值．【解答】解：∵，∴＝．【点评】注意观察要求的式子和已知式子的关系，能够根据比例合比性质求解．12．（3分）深圳某商场为吸引顾客，设置了一种游戏，其规则如下：在一个不透明的纸箱中装有红球和白球共10个，这些球除颜色外都相同．凡参与游戏的顾客从纸箱中随机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个吉祥物，摸到白球没有吉祥物．据统计，参与这种游戏的顾客共有5000人，商场共发放了吉祥物1500个．则该纸箱中红球的数量约有3个．【分析】设袋中红球的个数为x，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．【解答】解：设袋中红球的个数为x，根据题意得：，解得：x＝3，答：估计袋中红球的个数为3个；故答案为：3．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．13．（3分）如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝40°．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，根据矩形的性质得到∠DCA＝∠EAC＝20°，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵MN是AC的垂直平分线，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠D＝90°，∴∠DCA＝∠EAC＝90°﹣70°＝20°，∴∠DCE＝∠DCA+∠ECA＝20°+20°＝40°，故答案为：40．【点评】本题考查的是矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．（3分）如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点B的横坐标是1，过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是12．【分析】由一次函数解析式求得B的坐标，代入y＝求得k，然后两个解析式联立成方程组，解方程组求得A 的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：∵一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点B的横坐标是1，∴把x＝1代入y＝2x+4得，y＝6，∴B（1，6），∴6＝，解得k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝，解得或，∴A（﹣3，﹣2），∵AC⊥y轴于点C，∴AC＝3，∴S△ABC＝＝12．故答案为：12．【点评】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积等，数形结合是解本题的关键．15．（3分）如图，已知△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，AB＝AC＝1，AD＝DE＝，点D在直线BC上，EA的延长线交直线BC于点F，则FB的长是．【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰直角三角形的性质可得DH＝，CD＝，再证明△ABF∽△DAC，进而对应边成比例即可求出FB的长．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∵AH⊥BC，∴BH＝CH＝，∴AH＝，∵AD＝DE＝，∴DH＝＝＝，∴CD＝DH﹣CH＝，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝∠ACD＝135°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAF＝135°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠DAC＝45°，∵∠BAF+∠F＝45°，∴∠F＝∠DAC，∴△ABF∽△DAC，∴＝，∴＝，∴BF＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解决本题的关键是得到△ABF∽△DAC．三、解答题（本题共7小题，共55分）16．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝0．【分析】利用因式分解法解出方程．【解答】解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0，x﹣3＝0x1＝1，x2＝3．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．17．（7分）小明为探究反比例函数y＝的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到．（1）他列出y与x的几组对应值如表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣0.50.51b34…y…﹣1﹣a﹣4﹣88421…表格中，a＝﹣2，b＝2；（2）结合表，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时的函数y的图象；（3）①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，则m＞n（填“＞”，“＝”或“＜”）；②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，且x1＜x2＜0，则y1＞y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】（1）把（﹣4，﹣1）代入y＝解方程得到反比例函数的解析式为y＝，把x＝﹣2，把y＝2时，分别代入反比例函数的解析式即可得到答案；（2）根据题意画出图象即可；（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）把（﹣4，﹣1）代入y＝得，﹣1＝，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，当x＝﹣2时，y＝＝﹣2，即a＝﹣2；当y＝2时，2＝，则x＝2，即b＝2；故答案为：﹣2，2；（2）如图所示，（3）∵反比例函数的解析式为y＝，∴k＝4＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，∵6＜10，∴m＞n；故答案为：＞；②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，∵x1＜x2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，反比例函数的图象，正确的作出图象是解题的关键．18．（8分）深圳某地铁站入口有A，B，C三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁．（1）张红选择A安全检查口通过的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率．【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和选择相同安全检查口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵有A．B、C三个闸口，∴张红选择A安全检查口通过的概率是；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中她俩选择相同安全检查口通过的有3种，则她俩选择相同安全检查口通过的概率是＝．【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．19．（8分）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB 于点F，DC＝DE．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．【分析】（1）根据矩形性质先证明四边形CDEF是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；（2）连接GF，根据菱形的性质证明△CDG≌△CFG，然后根据勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CF∥ED，∴四边形CDEF是平行四边形，∵DC＝DE．∴四边形CDEF是菱形；（2）解：如图，连接GF，∵四边形CDEF是菱形，∴CF＝CD＝5，∵BC＝3，∴BF＝＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1，在△CDG和△CFG中，，∴△CDG≌△CFG（SAS），∴FG＝GD，∴FG＝GD＝AD﹣AG＝3﹣AG，在Rt△FGA中，根据勾股定理，得FG2＝AF2+AG2，∴（3﹣AG）2＝12+AG2，解得AG＝．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．20．（8分）如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．（1）求原正方形空地的边长；（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．【分析】（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，根据剩余部分面积为650m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m的矩形，根据栽种鲜花区域的面积为812m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，依题意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650，整理得：x2﹣9x﹣630＝0，解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合题意，舍去）．答：原正方形空地的边长为30m．（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m的矩形，依题意得：（30﹣y）（30﹣1﹣y）＝812，整理得：y2﹣59y+58＝0，解得：y1＝1，y2＝58（不合题意，舍去）．答：小道的宽度为1m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（9分）【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：①根据光源确定榕树在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等；③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．根据上述内容，解答下列问题：（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为米．【分析】（1）根据题意画出图形；（2）证明△ECD∽△EPB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可；（3）根据△BCD∽△BEF求出BD，再根据△ACD∽△AMF求出MF，进而求出EM．【解答】解：（1）图①中GH即为所求；（2）∵CD∥PB，∴△ECD∽△EPB，∴＝，即＝，解得：PB＝9，∵FG∥PB，∴△HFG∽△HPB，∴＝，即＝，解得：FG＝，答：榕树FG的高度为米；（3）∵CD∥EF，∴△BCD∽△BEF，∴＝，即＝，解得：BD＝75，∵CD∥EF，∴△ACD∽△AMF，∴＝，即＝，解得：MF＝，∴EM＝EF﹣MF＝70﹣＝（米），故答案为：．【点评】本题考查的相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（10分）（1）【探究发现】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E．①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝22.5°．（2）【类比迁移】如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；（3）【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长．【分析】（1）①延长BE交DF于点G，则由对称可知∠EGD＝∠EGD'＝90°，结合∠DEG＝∠BEC得到∠EBC ＝∠EDF，由正方形的性质得到∠BCE＝∠DCF、BC＝DC，从而证明△BCE≌△DCF；②当点D'与点F重合时，由对称可知∠DBG＝∠D'BG＝22.5°，然后由①得到∠EDF＝∠EBC＝22.5°；（2）延长BE交DF于点G，由对称可知点G是DD'的中点、∠EGD＝∠EGD'＝90°，结合CD'⊥DF得到CD'∥BG，从而有EG是△DCD'的中位线，得到点E是CD的中点，从而求得CE＝DE＝1，再由勾股定理求得BE 的长；由（1）①得∠EBC＝∠FDC，∠ECB＝∠EGD＝90°得到△ECB∽△EGD，进而借助相似三角形的性质求得EG的长，然后由中位线的性质求得CD'的长；（3）以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E，然后分点E在CD上和点E在BC 上讨论，延长AF交DE于点G，然后借助（1）（2）的思路求解．【解答】（1）①证明：如图①，延长由对称可知，∠EGD＝∠EGD'＝90°，∵∠DEG＝∠BEC，∴∠EBC＝∠EDF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCE＝∠DCF＝90°，BC＝DC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（ASA）．②解：如图1，当点D'与点F重合时，由对称可知∠DBE＝∠D'BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠DBE＝∠D'BE＝22.5°，由①得到∠CDF＝∠EBD'，∴∠CDF＝22.5°，故答案为：22.5°．（2）解：如图2，延长BE交DF于点G，由对称可知，点G是DD'的中点，∠EGD＝∠EGD'＝90°，∵CD'⊥DF，∴CD'∥BG，∴EG是△DCD'的中位线，∴点E是CD的中点，∴CE＝DE＝CD＝×2＝1，∴BE＝＝，由（1）①得，∠EBC＝∠FDC，∠ECB＝∠EGD＝90°，∴△ECB∽△EGD，∴，∴，∴EG＝，∴BG＝BE+EG＝+＝，∵EG是△DCD'的中位线，∴CD'＝2EG＝2×＝．（3）以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E，①如图3，当点E在CD上时，延长AF交DE于点G，由（1）①可得，∠GDF＝∠OAF，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，∠ODC＝∠ODA，∴∠OAF＝∠ODA，∵AC＝2，∴OA＝1，∵AD＝，∴OD＝，∴tan∠OAF＝tan∠ODA＝＝，∴，∴OF＝；②如图4，当点E在BC上时，延长AF交DE于点G，则∠AGD＝90°，∠DAG＝∠EAG＝∠DAE，∵AD＝AB＝AE，∴∠AEB＝∠ABE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABO＝∠ABE，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠ABO＝∠DAG，在△AGD和△BOA中，，∴△AGD≌△BOA（AAS），∴DG＝AO＝1，AG＝BO＝，∴DG＝AO，∵∠F AO＝∠FDG，∠FOA＝∠FGD，∴△FOA≌△FGD（ASA），∴OF＝FG，设OF＝FG＝x，则DF＝﹣x，在Rt△DFG中，DF2＝GF2+DG2，∴（﹣x）2＝x2+12，解得：x＝，∴OF＝，综上所述，OF的长为或．【点评】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是通过菱形的性质和三角形的内角和定理得到∠EBC＝∠EDF，从而得到相似三角形或全等三角形，难度较大，需要学生学会利用前面所学的知识解答后面的题目，具有很强的综合性，是中考常考题型．。
北师大版九年级上册数学期末试卷及答案
北师大版九年级上册数学期末试卷及答案一、选择题1.下列说法正确的是（） A. 直角三角形的斜边比直角边长 B. 等腰直角三角形的斜边是直角边的倍数 C. 直角三角形两直角边互为倒数 D. 不等腰直角三角形的斜边比直角边长2.已知m∠BAC = 90°，下列结论错误的是（）A. ∠BAC是锐角B. ∠BCA 是钝角C. ∠CAB是直角D. ∠ABC是锐角3.平面内有两个互不相交的直角三角形，它们两个直角边的长分别相等，那么它们的斜边长 A. 一定相等 B. 一定不等 C. 可能相等 D. 斜边决不相等…二、填空题1.直角三角形一边长为3cm，另一边长为4cm，则斜边长为______cm。
2.等腰直角三角形的直角边长为5m，则斜边长为______m。
3.已知∠ABC和∠ADC互为补角，且AB = 6cm，AD = 8cm，则∠ADA的度数为______°。
4.平面内的直线可以继续延长，直线外部可以继续延生，我们把直线还有延长线和延生线统称为______。
…三、解答题1.一辆汽车经过一座高塔时，汽车离塔底的距离是400m，从汽车到高塔的顶端的仰角是30°，求高塔的高度。
2.在某个平面上，已知一条直线l和一点A，求与直线l距离为4cm的A点的集合。
3.已知一个等腰直角三角形，直角边长为5cm，求这个等腰直角三角形的面积。
4.某个角的大小等于其补角的2倍，求该角的度数。
…四、答案1.选择题答案：A、C、B、…2.填空题答案：5cm、7m、48°、…3.解答题答案：高塔的高度是200m、直线距离为4cm的A点的集合是直线l两侧各4cm的区域、等腰直角三角形的面积是10cm²、… …以上是北师大版九年级上册数学期末试卷及答案，希望对你的学习有所帮助！。
北师大版数学九年级上册期末考试试卷含答案
北师大版数学九年级上册期末考试试题一、选择题(本大题共14个小题，每题2分，共28分)1．□ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，那么这个条件可以是()A．AB=CD B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD2．下列四组线段中，不能成比例的是()A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝3，c＝2，d＝6C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝5，c＝4，d＝103．下列相似图形不是位似图形的是()A．B．C．D．4．用配方法解一元二次方程22310x x--=，配方正确的是()A．231324x⎛⎫-=⎪⎝⎭B．23142x⎛⎫-=⎪⎝⎭C．2317416x⎛⎫-=⎪⎝⎭D．2131124x⎛⎫-=⎪⎝⎭5．如图，在平行四边形纸片ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，若随机向平行四边形纸片ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为()A．12B．13C．14D．166．如图，要使ABC ACD ∆∆ ，需补充的条件不能是()A ．ADC ACB∠=∠B ．ABC ACD ∠=∠C ．AD AC AC AB =D ．AD BC AC DC⋅=⋅7．若反比例函数21k y x +=的图象位于第一、三象限，则k 的取值可以是()A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．08．如图，直线12//l l ，:2:3AF FB =，:2:1BC CD =，则:AE EC 是()A ．1:2B ．1:4C ．2:1D ．3:29．在一个不透明的布袋中，有黄色、白色的玻璃球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚每次换出一个球后放回，通过多次摸球实验后发现摸到黄色球的频率稳定在40%，则布袋中白色球的个数很可能是()A ．8个B ．15个C ．12个D ．16个10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a (a <2)，BC ＝2．以点D 为圆心，CD 的长为半径画弧，交AD 于点E ，交BD 于点F ．下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根()A ．线段AE 的长B ．线段BF 的长C ．线段BD 的长D ．线段DF 的长11．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DE BC ⊥，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，2ACD ACB ∠=∠．若3DG =，1EC =，则DE 的长为()A12B10C8D612．如图1，有一张长32cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是2130cm，则纸盒的高为()A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm13．已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=bx在同一坐标系中的图象的形状大致是()A．B．C．D．14．如图，四边形ABCD为菱形，BF∥AC，DF交AC的延长线于点E，交BF于点F，且CE：AC＝1：2．则下列结论：①△ABE≌△ADE；②∠CBE＝∠CDF；③DE＝FE；④S△BCE：S四边形ABFD＝1：10．其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(本题共3个小题；每个小题4分，共12分)15．若干个桶装方便面摆放在桌子上，小明从三个不同方向看到的图形(分别是：主视图，左视图，和俯视图)如图所示，则这一堆方便面共有__________个16．方程()()130x x --=的解是__________．17．已知在Rt ABC ∆中，90,3,4C BC cm AC cm ︒∠===，点,M N 分别在边AC AB 、上，将ABC ∆沿直线MN 对折后，点A 正好落在对边BC 上，且折痕MN 截ABC ∆所成的小三角形(即对折后的重叠部分)与ABC ∆相似，则折折痕MN =__________cm三、解答题(本题共8道题，18-20每题6分，21-245每题8分，25题10分，满分60分)18．我们定义一种关于“★”的新运算：a ★b ab a b =+-，试根据条件回答问题．(1)计算：2★()=3-_____；(2)若x ★()11x +=，求x 的值．19．己知：如图，点A 在反比例函数()0k y x x =>的图像上，且点A 的横坐标为2，作AH 垂直于x 轴，垂足为点H ，3AOHS = ．(1)求AH 的长；(2)求k 的值；(3)若()11,M x y 、()22,N x y 在该函数图像上，当120x x <<时，比较1y 与2y 的大小关系．20．2019年，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．评价小组在选取的某中学全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图．根据上述信息，解答下列问题：(1)本次抽取的学生人数是______；扇形统计图中的圆心角 等于______；补全统计直方图．(2)被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每4人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．21．一批发市场某服装批发价为240元/件．为拉动消费，该批发市场规定：当批发数量超过10件时，给予降价优惠，但批发价不得低于150元/件．经市场调查发现，优惠时批发价y(元/件)与x(件)之间成一次函数关系，当批发数量为15件时，批发价为210元/件；当批发数量为22件时，批发价为168元/件．(1)求批发价y(元/件)与x(件)之间的一次函数表达式；(2)在该市场降价优惠期间，某顾客一次性支付了3600元，求该顾客批发了多少件服装？22．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．(1)当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；(2)当DG＝6时，求△FCG的面积；(3)求△FCG的面积的最小值．23．如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置.(1)在小亮由B沿OB所在的方向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为______；(2)请你在图中画出小亮站在AB处的影子；(3)当小亮离开灯杆的距离 4.2OB m =时，身高(AB )为1.6m 的小亮的影长为1.6m ，问当小亮离开灯杆的距离6OD m =时，小亮的影长是多少m ？24．饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y (℃)与开机时间x (分)满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y (℃)与开机时间x (分)成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答问题：(1)当0≤x ＜8时，求水温y (℃)与开机时间x (分)的函数关系式．(2)求图中t 的值；(3)若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？25．如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x秒．(1)当x 为何值时，PQ //BC ；(2)当13BCQABC S S ∆∆=时，求S △BPQ ：S △ABC 的值；(3)△APQ 能否与△CQB 相似？若能，求出时间x 的值；若不能，说明理由．答案一、选择题1．C.2．C ．3．D ．4．C.5．C.6．D.7．D ．8．C ．9．B ．10．B.11．C ．12．C ．13．C ．14．D ．二、填空题15．516．11x =，23x =17．32或158．三、解答题18.解：(1)根据题中的新定义得：2★()()36231-=-+--=-；故答案为: 1-；(2)根据题中的新定义得：x ★()()()111x x x x x +=++-+=21x x +-∴21x x +-=1∴220x x +-=∴(2)(1)0x x +-=∴122,1x x =-=故答案是:-2或1．19.解：(1)∵点A 的横坐标为2，∴OH=2∵3AOH S = ∴12OH·AH=3解得：AH=3(2)∵OH=2，AH=3∴点A 的坐标为(2，3)将点A 的坐标代入ky x =中，得32k=解得：k=6(3)∵k=6＞0∴反比例函数在第一象限内，y 随x 的增大而减小∵()11,M x y 、()22,N x y 在该函数图像上，且120x x <<∴1y ＞2y ．20.(1)34-小时的人数有6人，占总人数20％，∴总人数有：620÷％30=(人)，23-小时的人数有：30376212----=(人)，占总人数为：1210030⨯％40=％，36040α=︒⨯％144=︒．补全直方图如下：；(2)列表法：小红，小花12341()2,1()3,1()4,12()1,2()3,2()4,23()1,3()2,3()4,34()1,4()3,4()3,461122P ==．21.解：(1)根据题意，则设一次函数的解析式为：y kx b =+，∴1521022168k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：6300k b =-⎧⎨=⎩，∴6300y x =-+；(2)根据题意，则可列方程：(6300)3600x x -+=，解得：1220,30x x ==当20x =时，6300180x -+=＞150当30x =时，6300120x -+=＜150，不合题意，舍去答：该顾客批发了20件服装．22.解：(1)∵四边形EFGH 为正方形，∴HG=HE ，∠EAH=∠D=90°，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE ，∴△AHE ≌△DGH(AAS)，∴DG=AH=2；(2)过F 作FM ⊥DC ，交DC 延长线于M ，连接GE ，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG(AAS)，∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此S△FCG =12×FM×GC=12×2×(7-6)=1；(3)设DG=x，则由(2)得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴37，∴S△FCG的最小值为37，此时37，∴当37时，△FCG的面积最小为(7-37)．23.(1)因为光是沿直线传播的,所以当小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中,他在地面上的影子长度的变化情况为变短;(2)如图所示,BE 即为所求(3)先设OP=x,则当OB=4.2米时,BE=1.6米，∴ 1.6 1.6, 4.2 1.6AB BE OP OE x ==+即∴x=5.8米当OD=6米时,设小亮的影长是y 米,∴DF CDDF OD OP=+∴ 1.66 5.8yy =+y=167(米)即小亮的影长是167米。
北师大版九年级(上)期末数学试卷及答案
北师大版九年级（上）期末数学试卷及答案第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.下列关于x的函数是二次函数的是( )B. y=4x3+5A. y=9xC. y=3x−2D. y=2x2−x+13.如图，将一块含45°角的三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB′C′的位置．若∠CAB′=20°，则旋转角的度数为( )A. 20°B. 25°C. 65°D. 70°4.一元二次方程3x2+2x−1=0的根的情况是( )A. 无法确定B. 无实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不等的实数根5.如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA=2，∠P=60°，则AB=( )A. √3B. 2C. 2√3D. 36.下列事件为随机事件的是( )A. 一个图形旋转后所得的图形与原图形全等B. 直径是圆中最长的弦第2页，共19页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C. 方程ax 2+x =0是关于x 的一元二次方程D. 任意画一个三角形，其内角和为360°7. 一次函数y =x +a 与二次函数y =ax 2−a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A. B.C. D.8. 为响应国家传统文化进校园的号召，某校准备购进一批毕加索笔来奖励经典诵读优秀生．某文具超市为让利给学校，经过两次降价，每支毕加索笔单价由121元降为100元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得( )A. 121(1−x 2)=100B. 121(1+x)2=100C. 121(1−2x)=100D. 121(1−x)2=1009. 数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A ，B ，连接AB ，再作出AB 的垂直平分线，交AB 于点C ，交AB⏜于点D ，测出AB ，CD 的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB =40cm ，CD =10cm ，则轮子的半径为( )A. 50cmB. 35cmC. 25cmD. 20cm10. 从−1，0，1，2中任取一个数作为a 的值，既要使关于x 的方程x 2+2x −2a =0有实数根，又要满足2a −1<−a +2，则a 符合条件的概率为( )A. 14 B. 12 C. 34 D. 111. 已知⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，P 为⊙O 上除C 、D 外任意一点，则∠CPD 的度数为( )A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°12. 如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(−1,0)和(m,0)，下列结论：①abc <0；②4a +c <2b ；③b =a −am ；④bc =1−1m .其中正确的是( )A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ①②③④第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.若点A(1,a)与点B(−1,−2)关于原点对称，则a的值为______．14.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为______ m2(结果取整数)．15.已知抛物线y=(x−1)2−4如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2.当直线y=m与新图象有四个交点时，m的取值范围是______．16.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3，A5A6⊥OA5交x轴于点A6；…；按此规律，则S2022的值为______．第4页，共19页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．2．如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（）A．25ab=B．25ab=C．52ab=D．25a b=3．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则下列选项错误的是（）A．m+n＝﹣2 B．mn＝﹣5 C．m2+2m﹣5＝0 D．m2+2n﹣5＝04．已知反比例函数6yx=-，下列说法中正确的是（）A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点()2,3在该函数图象上C．y随x的增大而增大D．该图象关于原点成中心对称5．如图，某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，则滑梯的长AB为A．100米B．110米C．120米D．130米6．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）A．20B．30C．40D．507．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）A B ．136 C ．1 D ．568．如图，在平面直角坐标系中，OAB 与OCD 位似，点O 是它们的位似中心，已知()4,2A -，()2,1C -，则OAB 与OCD 的面积之比为（ ）A ．1:1B ．2:1C ．3:1D ．4:19．如图，在ABC 中，E 、F 分别是AB 和AC 上的点，且EF BC ∥，且10AB =，6AE =，5AF =，那么AC 的长是（ ）A ．253B ．103C ．325D ．31010．如图，在菱形ABCD 中，8AC =，3tan 4BAO ∠=，则菱形ABCD 的面积是（ ）A ．12B ．24C ．48D ．20二、填空题11．已知△ABC△△A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应中线，若AD ＝8，A D ''＝6，则△ABC 与△A B C '''的周长比是_____．12．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_____． 13．抛物线212y x ＝向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线表达式为______．14．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为AB 中点，68AC BD ==，，则线段OE 的长为________________．15．如图，小树AB 在路灯O 的照射下形成投影BC ．若树高AB ＝2m ，树影BC ＝3m ，树与路灯的水平距离BP ＝4m ．则路灯的高度OP 为_____m ．16．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，CE 和BD 交于点O ，若1EOB S =△，则四边形AEOD 的面积为___________．17．如图，点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(1，2)，将OAB 绕点A 第一次顺时针旋转90°得到O 1AB 1，将O 1AB 1绕点B 1第二次顺时针旋转90°得到O 2A 1B 1，将O 2A 1B 1绕点B 1第三次顺时针旋转90°得到O 3A 2B 1，…，如此进行下去，则点O 2021的坐标为__．三、解答题18．用适当的方法解方程：(1)2410+；x x-=(2)2x x--=．2350）-1+（20200+|2．19．计算：2cos45°+（﹣1220．如图，小明想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离AB为1.5m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角为30°，看建筑物顶部D的仰角为45°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．则建筑物CD的高度_____m．21．已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）.（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2︰1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．22．如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE//BC，过点D作DE//AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为．23．如图，在ACB中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足△DEF＝△B，且点D，F分别在边AB，AC上．（1）求证：BDE△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，且BD＝3，CF＝2，则DEEF的值为．24．某超市准备进一批每个进价为40元的小家电，经市场调查预测，售价定为50元时可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．（1）设每个定价增加x元，此时的销售量是多少？（用含x的代数式表示）（2）超市若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少元？25．在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝E是边AD上的一个动点，连接BE，以BE 为一边在其左上方作矩形BEFG，过点F作直线AD的垂线，垂足为点H，连接DF．(1)当BE＝EF时．△求证：FH＝AE；△当DEF 的面积是358时，求线段DE 的长； (2)如图2，当BE，且射线FE 经过CD 的中点时，请直接写出线段FH 长． 26．如图，一次函数1y x =--的图像与反比例函数k y x =的图像交于点A 、B ，与x 轴交于点C ，1AOC S =△．（1）求点A 的坐标与反比例函数的表达式．（2）设直线AB 与y 轴相交于点D ，经过计算可知点B 的坐标为()2,3-．若点Q 是y 轴上一点，是否存在点Q ，使得AQDAOB S S =△△？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）求1k x x --≥的x 的取值范围．参考答案1．D2．C3．D4．D5．D6．A7．D8．D9．A10．B11．4：312．3a <且2a ≠【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】△关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x+1＝0有两个不相等的实数根， △22024(2)10a a -≠⎧⎨=--⨯>⎩， 解得：a ＜3且a≠2．故答案为：a ＜3且a≠213．21212y x =++（）【分析】根据函数图象向左平移加，向上平移加，可得答案．【详解】解：把抛物线212y x ＝向左平移1个单位，再向上平移2个单位， 则所得抛物线的解析式是21212y x =++（） ， 故答案为：21212y x =++（）． 14．52 【分析】由菱形的性质可得3OA OC ==，4OB OD ==，AO BO ⊥，由勾股定理求出AB ，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：四边形ABCD 是菱形，6AC =，8BD =，3OA OC ∴==，4OB OD ==，AO BO ⊥，在Rt AOB 中，由勾股定理得：5AB =，E 为AB 中点，1522OE AB ∴== 故答案为：52． 15．143【分析】由于OP 和AB 与地面垂直，则AB△OP ，根据相似三角形的判定可证△ABC△△OPC ，然后利用相似三角形的性质即可求出OP 的长．【详解】解：△AB△OP ，△△ABC△△OPC ， △AB CB OP CP=， 即2334OP =+， △OP ＝143m ． 故答案为：143． 16．5 【分析】由在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，可知CD△AB ，1122BE AB CD ==，则△DOC△△BOE ，则2OD OC CD OB OE BE ===，进而可得2COD EOD S CD S BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，则2241COD S ==△，解得4COD S =，由32BD OB OD OD =+=，可知334622BCD COD S S ==⨯=△△，由四边形ABCD 为平行四边形，可知6ABD BCD S S ==，进而可知615ABD BOE AEOD S S S =-=-=△△四边形．【详解】解：△在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，△CD△AB ，1122BE AB CD ==， △△DOC△△BOE ， △2OD OC CD OB OE BE===，△2COD EOD S CD S BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△， △2241COD S ==△， △4COD S =，32BD OB OD OD =+=， △334622BCD COD S S ==⨯=△△， △四边形ABCD 为平行四边形，△6ABD BCD S S ==，△615ABD BOE AEOD S S S =-=-=△△四边形，故答案为：5．17．(2021，1)【分析】根据题意得出O 点坐标变化规律，进而得出点O 2021的坐标位置，进而得出答案．【详解】解：△点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（1，2），△AOB 是直角三角形， △OA ＝1，AB ＝2，将△OAB 绕点A 第一次顺时针旋转90°得到△O 1AB 1，此时O 1为（1，1），将△O 1AB 1绕点B 1第二次顺时针旋转90°得到△O 2A 1B 1，得到O 2为（1+2+1，2）， 再将△O 2A 1B 1绕点B 1第三次顺时针旋转90°得到△O 3A 2B 1，得到O 3（1+2+2，﹣1），…，依此规律，△每4次循环一周，O 1（1，1），O 2（4，2），O 3（5，﹣1），O 4（4，0），△2021÷4＝505…1，△点O 2021（505×4+1，1），即（2021，1）．故答案为（2021，1）．18．(1)12x，22x =；(2)11x =-，252x =； 【分析】(1)用配方法求一元二次方程的解，首先把-1转化为4-5的形式，则前三项可凑成完全平方式，再通过用平方根的方法求解即可.(2)直接用十字相乘法解一元二次方程.（1）解：2410x x -=+24450x x ++-=()2250x +-=，()225x +=，2x +=12x =，22x =；（2）解：22350x x --=()()1250x x +-=10x +=或250x -=，11x =-，252x =． 19．1 【分析】根据题意直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简即可得出答案．【详解】解：2cos45°+（﹣12）-1+（20200+|2＝﹣2+1+22+1+2＝1．20 【分析】作AE△CD 于E ，则四边形ABCE 为矩形，CE ＝AB ＝1.5m ．解Rt△ACE 可得AE 的长，再解Rt△ADE 可得DE 的长，最后根据CD ＝CE+DE 计算即可．【详解】解：如图，作AE△CD 于E ，则四边形ABCE 为矩形，△CE ＝AB ＝1.5m ，AE ＝BC ，在Rt△ACE 中，tan△CAE ＝CE AE，△AE ＝tan CE CAE ∠＝ 1.5tan 30︒m ），在Rt△ADE 中，△△DAE ＝45°， △△ADE 为等腰直角三角形，△DE ＝AE ， 又△CE ＝AB ＝1.5m ，△CD ＝CE+DE ＝（m ）．答：建筑物CD m ．21．解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求，C 1（2，－2）．（2）如图，△A 2BC 2即为所求，C 2（1，0），△A 2BC 2的面积：10【详解】分析：（1）根据网格结构，找出点A 、B 、C 向下平移4个单位的对应点1A 、1B 、1C 的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点1C 的坐标；（2）延长BA 到2A 使A 2A =AB ，延长BC 到2C ，使C 2C =BC ，然后连接A 2C 2即可，再根据平面直角坐标系写出2C 点的坐标，利用△2A B 2C 所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．本题解析：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求，C 1(2，－2)(2)如图,△2A B 2C 为所求,2C (1,0)，△2A B 2C的面积：6×4−12×2×6−12×2×4−12×2×4=24−6−4−4=24−14=10，22．（1）见解析；（2）【分析】（1）先证四边形ABDE为平行四边形，再证得AE＝CD，得四边形ADCE是平行四边形，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得AD＝CD，即可得出结论；（2）先由菱形的性质得AD＝AE＝CE＝CD，AC△DE，OA＝OC，再证OD是△ABC的中位线，得AB＝2OD＝2，则AO＝AB＝2，然后由勾股定理求出AD的长即可解决问题．【详解】解：（1）证明：△AE△BC，DE△AB，△四边形ABDE为平行四边形，△AE＝BD，△AD是边BC上的中线，△BD＝CD，△AE＝CD，△四边形ADCE是平行四边形，又△△BAC＝90°，AD是边BC上的中线，△AD＝12BC＝CD，△平行四边形ADCE是菱形；（2）解：△四边形ADCE是菱形，△AD＝AE＝CE＝CD，AC△DE，OA＝OC，△BD＝CD，△OD是△ABC的中位线，△AB＝2OD＝2，△AO＝AB＝2，△AD△菱形ADCE的周长＝4AD＝故答案为：23．（1）见解析；（2【分析】（1）由相似三角形的判定可证BDE△CEF ；（2）由相似三角形的性质可得DBBECE CF =，可求BE ＝CE ，即可求解．【详解】（1）证明：△AB ＝AC ，△△B ＝△C ，△△BDE ＝180°﹣△B ﹣△DEB ，△CEF ＝180°﹣△DEF ﹣△DEB ，又△△DEF ＝△B ，△△BDE ＝△CEF ， △BDE△CEF ；（2）解：△点E 是BC 的中点，△BE ＝CE ， △BDE△CEF ， △DBBECE CF =，△BE 2＝DB•CF ＝6，△BE ＝CE △BDE△CEF ，△DE DBEF CE =24．（1）40010x -； （2）每个定价70元.【分析】（1）根据销售量=400-10x 列关系式；（2）总利润=每个的利润×销售量，销售量为400-10x ，列方程求解，根据题意取舍；【详解】（1）根据题意得出：40010x -；（2）()()10400106000x x +-=整理得：2302000x x -+=，解得120x =，210x =（舍去），△每个定价70元.25．(1)△证明见详解；△52或72；11;【分析】（1）△根据正方形的性质和全等三角形的性质与判定解答即可；△根据全等三角形的性质和三角形的面积公式解答即可；（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．（1）△证明：△EH△AE ，△△FEH+△HFE=90°，△四边形BEFG 为矩形，△△FEH+△AEB=90°，△△AEB=△HFE ，在△FHE 与△EAB 中，90BAE EHF HFE AEB BE EF∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△FHE△△EAB （AAS ），△FH=AE ；△解：△△FHE△△EAB ，△AE=FH ，△AD=6，设DE=x ，AE=6－x ， △35182DEF S DE FH ==⋅△， 可得：()135628x x -=， 解得：152x =，272x =，即线段DE 的长度为：52或72；（2）解：FH△AE ，△△FEH+△HFE=90°，△四边形BEFG 为矩形，△△FEH ＋△AEB=90°，△△AEB=△HFE ，△△FHE△△EAB ，△FHEFAE BE ==，△AB =△HEEFAB BE ===△HE=2，延长EF 交DC 于点Q ，如图所示，△Q 是CD 的中点，△1122DQ CD AB ===设FH 为x ，则AE =，则6DE =，△△DEQ=△FEH ，=90°，△△EDQ△△EHF ， △FH HEDQ DE =，=解得：11x =，21x ，△线段FH 11．26．（1）()3,2A -，6y x =-；（2）存在，20,3Q ⎛⎫⎪⎝⎭或80,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）3x ≤-或02x <≤【分析】（1）直线AB 与x 轴的交点()1,0C -，由1AOC S =△，可求得点A 的纵坐标，然后代入一次函数求得点A 的坐标，把点A 的坐标代入反比例函数即可求得反比例函数解析式． （2）结合题意可以求得AOB 的面积，然后设设点()0,Q y ，然后用三角形的面积公式列等式，求解即可得出答案；（3）根据A 、B 点的坐标和图象得出答案．【详解】解：（1）直线AB ：1y x =--与x 轴的交点C ，令y ＝0，则1=0x --，解得：x ＝﹣1，△点()1,0C -．设(),A x y ，△1AOC S =△，△1112y ⨯⨯=△2y =，△(),2A x 将点A 代入1y x =--得，3x =-，△()3,2A -，△6k =-，△反比例函数解析式为：6y x =-；（2）存在，理由如下： △1152113222AOB S =⨯⨯+⨯⨯=△，设点()0,Q y ，直线AB 与y 轴的交点为()0,1-， 则153122ADQ S y =⨯⨯+=△， △23y =或83y =-， △20,3Q ⎛⎫⎪⎝⎭或80,3⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）△一次函数与反比例函数交于点()3,2A -、B ()2,3-，△由图像可知：要使1kx x --≥△3x ≤-或02x <≤。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．方程2x x =的解是（）A ．13x =，23x =-B ．11x =，20x =C ．11x =，21x =-D ．13x =，21x =-2．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A ．AB CD=B ．AC BD=C ．AB CD∥D ．AC BD⊥3．若反比例函数的图象经过()2,2-，()1,a ，则=a （）A ．1B ．－1C ．4D ．－44．一个不透明的箱子里装有红色小球和白色小球共4个，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量的重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．请估计箱子里白色小球的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，（BC AC >），下列结论错误的是（）A ．12BC AB -=B ．2BC AB AC =⋅C ．32BC AC =D ．0.618ACBC≈6．某超市一月份的营业额为5万元，第一季度的营业额共60万元，如果平均每月增长率为x ，则所列方程为（）A ．()25160x +=B ．()251260x +=C ．()51260x +=D ．()()2511160x x ⎡⎤++++=⎣⎦7．如图，在△ABC 中，点D 为AB 边上一点，点E 为BC 边上一点，DE AC ∥，若12BD AD =，则△EDO 和△ACO 的面积比为（）A ．13B ．14C ．19D ．128．如图，在矩形ABCD 中，BC AB <，折叠矩形ABCD 使点B 与点D 重合，点C 与点E 重合，折痕与AB 、CD 相交于点M 、N ，若2AM =，8CD =，则MN =（）A ．B ．C ．D9．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 、AF 交于点G ，连接BG ．若DAF n ∠=︒，则ABG ∠的度数为（）A ．2n ︒B ．90n ︒-︒C ．45n ︒+︒D ．1353n ︒-︒10．在同一直角坐标系中，一次函数y kx k =-与反比例函数ky x=（k≠0）的图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题11．关于x 的一元二次方程2620kx x +-=有两个实数根，则k 的取值范围是______．12．在菱形ABCD 中，对角线6BD =，8AC =，则菱形ABCD 的周长为______．13．将方程22490x x --=配方成()2x m n +=的形式为______．14．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 的坐标为()6,4，以原点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的12，得到A B C '''V ，则点A 的对应点A '的坐标为______．15．在反比例函数21a y x +=的图像上有()14,A y -，()23,B y -，()32,C y 三个点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为______．16．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 边AB 平行于y 轴，反比例函数(0)k y x x=>的图像经过OA 中点C 和点B ，且△OAB 的面积为9，则k=________17．如图，在矩形ABCD 中，AB =BC =ABM ，使AM AB =，点E 、点F 分别为BC 、BM 的中点，若15ABM S =V ，则EF =______．18．如图，以▱ABCO 的顶点O 为原点，边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，顶点A 、C 的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A 的反比例函数y=kx的图象交BC 于D ，连接AD ，则四边形AOCD 的面积是_____．三、解答题19．解方程：(1)解方程：267x x -=；(2)()()22231x x -=-．20．一个不透明的箱子里装有4个小球，小球上面分别写有A 、B 、C 、D ，每个小球除标记外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球．(1)求摸到小球A 的概率是______；(2)现从该箱子里摸出1个小球，记下标记后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，请用画树状图或列表格的方法，求出两次摸出的小球都不是A 的概率．21．如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，DE AB ⊥于点E 交AC 于点P ，BF CD ⊥于点F ．(1)判断四边形DEBF 的形状，并说明理由；(2)如果3BE =，6BF =，求出DP 的长．22．如图，身高1.5米的李强站在A 处，路灯底部O 到A 的距离为20米，此时李强的影长5AD =米，李强沿AO 所在直线行走12米到达B 处．(1)请在图中画出表示路灯高的线段和李强在B 处时影长的线段；(2)请求出路灯的高度和李强在B 处的影长．23．某商场销售一种服装，每件服装的进价为40元，当每件售价为60元时，每星期可卖出300件，为了尽快减少库存，该商场决定降价销售，经市场调查发现，当每件降价1元时，每星期可多卖出20件．设每件服装的售价为x 元，每星期销售量为y 件．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当每件服装售价为多少元时，每星期可获得6000元销售利润？24．如图，反比例函数11k y x=（0k ≠，0x <）的图象与直线22y k x b =+()20k ≠交于()2,6A -和()6,B n -，该函数关于x 轴对称后的图象经过点()4,C m -．(1)求1y 和2y 的解析式及m 值；(2)根据图象直接写出12k k x b x≥+时x 的取值范围；(3)点M 是x 轴上一动点，求当AM MC -取得最大值时M 的坐标．25．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AE BC ⊥交CB 延长线于E ，CF AE ∥交AD 延长线于点F ．(1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)若4AE =，5AD =，求OB 的长．26．如图，已知点()4,2A -、(),4B n -两点是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数图象my x=的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出不等式0kkx b x+->的解集；(3)求△AOB 的面积．27．在△ABC 中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，点D 是直线AB 上一动点，以CD 为边，在它右侧作等边△CDE ．(1)如图1，当E 在边AC 上时，直接判断线段DE ，EA 的数量关系______；(2)如图2，在点D 运动的同时，过点A 作AF CE ∥，过点C 作CF AE ∥，两线交于点F ，判断四边形AECF 形状，并说明理由；(3)若263BC =，当四边形AECF 为正方形时，直接写出AD 的值．参考答案1．B 2．B3．D 4．A 5．C 6．D 7．C 8．B 9．A 10．A 11．92k ≥-且0k ≠【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得Δ=22-4=6-4(2)0b ac k ⨯-≥且k≠0，求出k 的取值范围即可．【详解】解：∵一元二次方程2620kx x +-=有两个实数根，∴22Δ=-4=6-4(2)00b ac k k ≠⎧⨯-≥⎨⎩，∴92k ≥-且0k ≠，故答案为：92k ≥-且0k ≠．12．20【分析】菱形的对角线性质：菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角．根据菱形对角线的性质和勾股定理可得边长为5，再根据菱形的性质：四边相等，可得周长为20．【详解】 菱形的对角线互相垂直平分，∴5=∴菱形ABCD 的周长＝45=20⨯故答案为20．13．()21112x -=【分析】先将-9移到等号右边变成2249x x -=，然后等号左右两边同时除以2得到2922x x -=，最后等号左右两边同时加上1，再把左边变成完全平方的形式即可．【详解】解：22490x x --=2249x x -=2922x x -=292112x x -+=+()21112x -=故答案为：()21112x -=【点睛】本题考查了一元二次方程的配方，掌握如何配方是解题关键．14．()3,2或()3,2--【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -，即可求得答案．【详解】解：ABC ∆ 的顶点(6,4)A ，以原点O 为位似中心，把ABC ∆缩小为原来的12，得到△A B C '''，∴点A 的对应点A '的坐标为1(62⨯，142⨯或1[6()2⨯-，14()]2⨯-，即(3，2)或(-3，-2)．故答案为：(3，2)或(-3，-2)．【点睛】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确掌握位似图形的性质．15．312y y y >>【分析】先由21a +得到函数在第一象限和第三象限的函数值随x 的增大而减小，然后即可得到1y ，2y ，3y 的大小关系．【详解】解：21a + 210a +> ，∴反比例函数在第一象限和第三象限的函数值随x 的增大而减小，4302-<-<< ，312y y y ∴>>（或213y y y <<）．故答案为：312y y y >>或213y y y <<．16．6【分析】延长AB 交x 轴于D ，根据反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过点B ，设B k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则OD ＝m ，根据△OAB 的面积为9，列等式可表示AB 的长，表示点A 的坐标，根据线段中点坐标公式可得C 的坐标，从而得出结论．【详解】解：延长AB 交x 轴于D ，如图所示：∵AB y ∥轴，∴AD ⊥x 轴，∵反比例函数ky x=（x ＞0）的图像经过OA 中点C 和点B ，∴设B k m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，则OD ＝m ，∵△OAB 的面积为9，∴192AB OD ⋅=，即12AB•m ＝9，∴AB ＝18m ，∴A （m ，18k m+），∵C 是OA 的中点，∴C 11822k m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴11822k k m m+=⋅，∴k ＝6，故答案为：6．17．1或5【分析】过点M 作GH AB ∥，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ，由15ABMS =V ，可求得AG 、BH 长，进而由BC =CH 长，然后由AM AB ==，求得GM 和HM 长，再用勾股定理求得CM 长，最后由点E 、点F 分别为BC 、BM 的中点利用中位线性质求得EF 长．【详解】过点M 作GH AB ∥，交直线AD 于点G ，交直线BC 于点H ，则四边形ABHG 是矩形．①如图1所示，当点M 在矩形ABCD 内部时，∵11521522ABMS AB AG AG =⋅=⨯⨯=V ∴32AG BH ==∴()()2222523242GM AM AG =-=-=∴42322CH =-=，52422MH =-=∴()()2222222CM MH CH =+=+=∵点E 、点F 分别为BC 、BM 的中点∴EF 是BCM 的中位线，∴112122EF CM ==⨯=如图2所示，当点M 在直线AD 右侧，直线AB 下方时，由①得32AG BH ==，42GM =2MH =12EF CM =∴2322CH BC BH =+==∴()()222227210CM MH CH =++=∴152EF CM ==如图3所示，当点M 在直线AD 左侧，直线AB 上方时，由①得32AG BH ==，42GM =，2CH =，12EF CM =∵425292MH MG GH =+=+=∴()()2222922241CM MH CH =+=+=∴1412EF CM ==如图4所示，当点M 在直线AD 左侧，在直线AB 下方时，由②得2CH =由③得2MH =∴()()22227292265CM MH CH ++=∴1652EF CM ==故本题答案为1或54165【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识点，利用分类讨论的思想正确的作出各种情况所对应的图形是解答本题的关键．18．9【详解】试题分析：∵四边形ABCD 是平行四边形，A 、C 的坐标分别是（2，4）、（3，0），∴点B 的坐标为：（5，4），把点A （2，4）代入反比例函数ky x=得：k=8，∴反比例函数的解析式为：8y x=；设直线BC 的解析式为：y kx b =+，把点B （5，4），C （3，0）代入得：54{30k b k b +=+=，解得：k=2，b=﹣6，∴直线BC 的解析式为：26y x =-，解方程组26{8y x y x=-=得：42x y =⎧⎨=⎩，或1{8x y =-=-（不合题意，舍去），∴点D 的坐标为：（4，2），即D 为BC 的中点，∴△ABD 的面积=14平行四边形ABCD 的面积，∴四边形AOCD 的面积=平行四边形ABCO 的面积﹣△ABD 的面积=3×4﹣14×3×4=9；故答案为9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k 的几何意义；3．综合题；4．压轴题．19．(1)11x =-，27x =(2)134x =，212x =-【分析】（1）用公式法求解即可；（2）按照因式分解法的步骤：等式的右边化为0，左边因式分解，写成两个一元一次方程，分别求解即可．(1)解：2670--x x =，∵1a =6b =-7c =-，∴243628640b ac -=+=>，∴46822b x a -±==，∴11x =-，27x =；(2)解：()()222310x x ---=，()()2312310x x x x -+---+=，∴()430x -=或()210x --=，∴134x =，212x =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．20．(1)14(2)916【分析】（1）共有4个小球，其中A 只有1个，因此随机摸出1球，是A 的概率为14；（2）用列表法列举出所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．(1)解：一共有4个小球，其中写A 的只有1个，所以随机摸出1球，摸到小球A 的概率是14，故答案为：14；(2)解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：ABCDA ()A A ，()AB ，()AC ，()AD ，B ()B A ，()B B ，()BC ，()BD ，C ()C A ，()C B ，()C C ，()C D ，D()D A ，()D B ，()D C ，()D D ，由表可知共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两次摸出的球不是A 的结果有9种∴两次摸出的小球没有A 的概率为916【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果的情况是解决问题的关键．21．(1)矩形，理由见解析(2)154【分析】（1）根据菱形的性质和矩形的判定方法即可解答；（2）根据菱形的性质得到PB PD =，根据矩形的性质得到6DE FB ==，进而利用勾股定理即可解答．(1)四边形DEBF 是矩形理由：∵DE AB ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，∴90DEB BFD ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ∥，∴180DEB EDF ∠+∠=︒，∴90EDF DEB BFD ∠=∠=∠=︒，∴四边形DEBF 是矩形；(2)如图，连接PB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 垂直平分BD ，∴PB PD =，由（1）知，四边形DEBF 是矩形，∴6DE FB ==，设PD BP x ==，则()6PE x =-，在Rt △PEB 中，由勾股定理得：222PE BE BP +=，即，()22263x x -+=，解得154x =，∴154PD =．22．(1)见解析(2)路灯高度为7.5米，李强影长2米【分析】（1）利用中心投影的性质画出图形即可；（2）设HO x =米，由证得AED OHD ∽△△得AD AEDO HO=求出HO 的值，再证明FBC HOC ∽△△得到BC BFCO HO=，从而求解．(1)解：如图HO ，BC 即为所求(2)解：由题意知：1.5BF AE ==米，20OA =米，12AB =米，∴20128BO OA AB =-=-=米设HO x =米∵90HOA EAD ∠=∠=︒又∵D D ∠=∠∴AED OHD ∽△△∴AD AEDO HO =即1.5525x =解得，7.5x =∵90FBC HOD ∠=∠=︒又∵FCB FCO ∠=∠∴FBC HOC ∽△△∴BC BFCO HO =即1.587.5BC BC =+解得2BC =答：路灯高度为7.5米，BC 长2米23．(1)201500y x =-+(2)55元【分析】（1）根据当每件售价为60元时，每星期可卖出300件，当每件降价1元时，每星期可多卖出20件，列出关系式即可；（2）根据利润=（售价-进价）×数量列出方程求解即可．(1)解：由题意得：()3002060y x =+-201500x =-+(2)解：由题意得，()()201500406000x x -+-=整理，得211533000x x -+=，解得155x =，260x =（不合题意舍）．答：当每件售价55元时，每星期可获得6000元销售利润．24．(1)112y x-=，28y x =+，3m =-(2)20x -≤<或6x ≤-(3)()6,0-【分析】(1)根据点A 坐标可求出1y ，即可得点B 坐标，由A 、B 两点的坐标可得2y 的函数表达式；(2)根据题意，可知要求使得反比例函数1y 在直线2y 的上方，所对应的x 的范围(3)点C 关于x 轴的对称点为()4,3F -，当点A 、F 、M 共线时，可得AM MC -最大，故点M 为直线AF 与x 轴的交点坐标．(1)∵图象过点()2,6A -，∴162k =，得112k =-，∴112y x-=；把点()6,B n -代入112y x-=中得126n -=-，∴2n =，点B 为()6,2-，∵12y k x b =+过点A ，B ，∴把()2,6A -和()6,2B -代入得2662k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得18k b =⎧⎨=⎩，∴28y x =+易知()4,C m -关于x 轴对称点()4,F m --在12y x-=图象上，∴124m --=-∴3m =-；(2)由图象得20x -≤<或6x ≤-；(3)由（1）得，()2,6A -，()4,3C --，点C 关于x 轴的对称点为()4,3F -，射线AF 交x 轴于点M ，设AF 的解析式为y kx b =+，把()2,6A -，()4,3F -分别代入y kx b =+中，2643k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得329k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴AF 的解析式为392y x =+，令0y =，则6x =-，∴当AM MC -最大时M 的坐标为(6,0)-．25．(1)证明见详解；5【分析】（1）根据菱形的性质；矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形便可求证；（2）根据菱形的性质，在Rt △AEB ，Rt △AEC ，Rt △AOB 中分别利用勾股定理即可求出OB 的长；(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴AF ∥EC ，∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AE ⊥BC∴∠AEC=90°，∴平行四边形AECF 是矩形；(2)解：四边形ABCD 是菱形，则AB=BC=AD=5，线段AC ，BD 互相垂直平分，Rt △AEB 中，由勾股定理得3==，Rt △AEC 中，CE=CB ＋BE=5＋3=8，==，Rt △AOB 中，AO=12AC=，故OB 26．(1)2yx =--；8y x=-(2)4x <-或02x <<(3)6-【分析】（1）把()4,2A -代入反比例函数my x=得出m 的值，再把AB 、代入一次函数的解析式y kx b =+，运用待定系数法分别求其解析式；（2）观察函数图象得到当4x <-或02x <<时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，即0kkx b x+->．（3）先求出直线2y x =--与x 轴交点C 的坐标，然后利用S △AOB=S △AOC+S △BOC 进行计算即可；（1）解：∵()4,2A -在my x=上，∴m=-8．∴反比例函数的解析式为8y x=-．∵点(),4B n -在8y x=-上，∴n=2．∴()2,4B -．∵y=kx+b 经过A （-4，2），B （2，-4），∴4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩．解得：12k b =-⎧⎨=-⎩．∴一次函数的解析式为2y x =--．（2）解：根据题意，结合图像可知：当4x <-或02x <<时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，即0kkx b x+->．（3）解：∵2yx =--，∴当y=0时，x=-2．∴点C （-2，0）．∴OC=2．∴S △AOB=S △ACO+S △BCO=12×2×4+12×2×2=6；27．(1)相等(2)菱形，理由见解析【分析】（1）根据已知条件证明30ADE A ∠=︒=∠即可解答（2）根据已知条件可知四边形AECF 是平行四边形，再证明BCD OCE ≌△△，()OCE OAE SAS ≌△△即可解答（3）分点D 在AB 延长线上或在AB 上，通过解CDA 即可(1)∵90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒∴30A ∠=︒∵CDE △为等边三角形∴60DEC ∠=︒∵DEC ∠是ADE 外角∴DEC A ADE∠=∠+∠∴30ADE A∠=︒=∠∴DE EA=故答案为相等．(2)取AB 中点O ，连接OC 、OE∵AF CE ∥,CF AE∥∴四边形AECF 是平行四边形∵90ACB ∠=︒∴OC OB OA==∵60ABC ∠=︒∴△BCO 为等边三角形∵△CDE 是等边三角形∴60DCB OCE DCO∠=∠=︒-∠∴OC BC =CD CE=∴BCD OCE≌△△∴60EOC B ∠=∠=︒∴60EOA ∠=︒又∵OE OE =，OA OC=∴()OCE OAE SAS ≌△△∴CE EA=∴平行四边形AECF 是菱形(3)当点D 在AB 延长线上时，作CH AD ⊥于H ，当四边形AECF 为正方形时，45ACE BCE ∠=∠=︒，90AEC ∠=︒∵60DCE ∠=︒∴15DCB ∠=︒∵60ABC ∠=︒∴45CDH ∠=︒∵63BC =∴322AC ==∴122CH AC ==∴36AH =∵CDE △为等边三角形∴2CH DH ==∴62AD =当点D 在AB 上时作CH AB ⊥于H ，同理可得CDH △是等腰直角三角形，则AD AH DH=-综上AD=。
北师大版九年级(上)期末数学试卷(含答案)
北师大版九年级（上）期末数学试卷及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A ．菱形B ．平行四边形C ．等边三角形D ．等腰梯形2．（3分）若一元二次方程220x x --=的两根为1x ，2x ，则121(1)(1)x x x ++-的值是( ) A ．4B ．2C ．1D ．2-3．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关1S ，2S ，3S 中的两个，能让灯泡1L 发光的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．254．（3分）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m 的位置上，则球拍击球的高度h 为( )A ．0.6mB ．1.2mC ．1.3mD ．1.4m5．（3分）如图，把抛物线2y x =沿直线y x =平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是( )A ．2(1)1y x =+-B ．2(1)1y x =++C ．2(1)1y x =-+D ．2(1)1y x =--6．（3分）如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBE 的面积始终等于433；④BDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）已知α，β均为锐角，且满足21|sin |(tan 1)02αβ-+-=，则αβ+= ．8．（3分）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为(1,3)，则另一个交点坐标是 ． 9．（3分）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有 名学生．10．（3分）如图，菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，DF AB ⊥于点E ，且DF DC =，连接FC ，则ACF ∠的度数为 度．11．（3分）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n ，则n 的所有可能的值之和为 ．12．（3分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，43AD =，点E 是BC 的中点，点F 在AB 上，2FB =，P 是矩形上一动点．若点P 从点F 出发，沿F A D C →→→的路线运动，当30FPE ∠=︒时，FP 的长为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）解方程： （1）2(21)9x +=； （2）2(4)3(4)x x +=+．14．（6分）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥，CF AD ⊥，E ，F 分别为垂足． （1）求证：BE DF =；（2）求证：四边形AECF 是矩形．15．（6分）如图，反比例函数(0)k y k x=≠的图象与正比例函数2y x =的图象相交于点(1,)A a ，B 两点，点C 在第四象限，//CA y 轴，90ABC ∠=︒． （1）求k 的值及B 点坐标； （2）求ABC ∆的面积．16．（6分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 的中点，请只用无刻度的直尺作图 （1）如图1，在BC 上找点F ，使点F 是BC 的中点；（2）如图2，在AC 上取两点P ，Q ，使P ，Q 是AC 的三等分点．17．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M 处垂直海面发射，当火箭到达点A 处时，海岸边N 处的雷达站测得点N 到点A 的距离为8千米，仰角为30︒．火箭继续直线上升到达点B 处，此时海岸边N 处的雷达测得B 处的仰角增加15︒，求此时火箭所在点B 处与发射站点M 处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）已知如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 在AB 上，且2BD BE BC =； （1）求证：BDE C ∠=∠； （2）求证：2AD AE AB =．19．（8分）如图，//AB CD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，连接EF ，AEF ∠、CFE ∠的平分线交于点G ，BEF ∠、DFE ∠的平分线交于点H ．（1）求证：四边形EGFH 是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G 作//MN EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，过H 作//PQ EF ，分别交AB ，CD 于点P ，Q ，得到四边形MNQP ，此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，他的猜想是否正确，请予以说明．20．（8分）小聪同学周六到某欢乐谷玩迷宫游戏，从迷宫口A到达迷宫口D有多个路口，如图所示（迷宫的一部分），规定从迷宫口A到达D处不能重复走同一路线，且小聪走每一条路线的可能性相同．（1）请用画树状图的方法，求小聪同学从迷宫口A到达D处所走的所有可能路线；（2）求小聪同学从迷宫口A到达D处经过路口B的概率．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件)与销售单价x（元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元)最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？22．（9分）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号{max a，}b表示a，b中的较大值，如{2max，3}2-=，{1max-，0}0=．请解答下列问题：（1）2{1,1}5max--=；（2）如果{max x，2}x x-=，求x的取值范围；（3）如果{max x ，2}2|1|5x x -=--，求x 的值． 六、（本大题共12分）23．（12分）如图，抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点(2,0)A ，点(3,3)B ，BC x ⊥轴于点C ，连接OB ，等腰直角三角形DEF 的斜边EF 在x 轴上，点E 的坐标为(4,0)-，点F 与原点重合 （1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）DEF ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为t 秒，当点D 落在BC 边上时停止运动，设DEF ∆与OBC ∆的重叠部分的面积为S ，求出S 关于t 的函数关系式；（3）点P 是抛物线对称轴上一点，当ABP ∆是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P 坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A ．菱形B ．平行四边形C ．等边三角形D ．等腰梯形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A ．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；B ．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C ．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D ．等腰梯形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A ．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 2．（3分）若一元二次方程220x x --=的两根为1x ，2x ，则121(1)(1)x x x ++-的值是( ) A ．4B ．2C ．1D ．2-【分析】根据根与系数的关系得到121x x +=，122x x =-，然后利用整体代入的方法计算121(1)(1)x x x ++-的值． 【解答】解：根据题意得121x x +=，122x x =-， 所以1211212(1)(1)111(2)4x x x x x x x ++-=++-=+--=． 故选：A ．【点评】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a+=-，12cx x a=． 3．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关1S ，2S ，3S 中的两个，能让灯泡1L 发光的概率是( )A ．12 B ．13C ．14D ．25【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡1L 发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：共有6种等可能的结果，能让灯泡1L 发光的有2种情况，∴能让灯泡1L 发光的概率为2163=， 故选：B ．【点评】本题考查了列表法、树状图法求概率，画出树状图得出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键． 4．（3分）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m 的位置上，则球拍击球的高度h 为( )A ．0.6mB ．1.2mC ．1.3mD ．1.4m【分析】利用平行得出三角形相似，运用相似比即可解答． 【解答】解：//AB DE ，∴AB CBDE CD =， ∴40.87h=， 1.4h m ∴=，经检验： 1.4h =是原方程的根． 故选：D ．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，根据已知得出AB CBDE CE=是解决问题的关键． 5．（3分）如图，把抛物线2y x =沿直线y x =平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是( )A ．2(1)1y x =+-B ．2(1)1y x =++C ．2(1)1y x =-+D ．2(1)1y x =--【分析】首先根据A 点所在位置设出A 点坐标为(,)m m 再根据2AO =，利用勾股定理求出m 的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式． 【解答】解：A 在直线y x =上，∴设(,)A m m ，2OA =222(2)m m ∴+=，解得：1(1m m =±=-舍去）， 1m ∴=，(1,1)A ∴，∴平移后的抛物线解析式为：2(1)1y x =-+，故选：C ．【点评】此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A 点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．6．（3分）如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBE 的433④BDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】连接OB 、OC ，如图，利用等边三角形的性质得30ABO OBC OCB ∠=∠=∠=︒，再证明BOD COE ∠=∠，于是可判断BOD COE ∆≅∆，所以BD CE =，OD OE =，则可对①进行判断；利用BOD COE S S ∆∆=得到四边形ODBE 的面积14333ABC S ∆==则可对③进行判断；作OH DE ⊥，如图，则DH EH =，计算出23ODE S ∆=，利用ODE S ∆随OE 的变化而变化和四边形ODBE 的面积为定值可对②进行判断；由于BDE ∆的周长443BC DE DE OE =+=+=，根据垂线段最短，当OE BC ⊥时，OE 最小，BDE ∆的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．【解答】解：连接OB 、OC ，如图， ABC ∆为等边三角形， 60ABC ACB ∴∠=∠=︒，点O 是ABC ∆的中心，OB OC ∴=，OB 、OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，30ABO OBC OCB ∴∠=∠=∠=︒120BOC ∴∠=︒，即120BOE COE ∠+∠=︒，而120DOE ∠=︒，即120BOE BOD ∠+∠=︒， BOD COE ∴∠=∠，在BOD ∆和COE ∆中 BOD COEBO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， BOD COE ∴∆≅∆，BD CE ∴=，OD OE =，所以①正确； BOD COE S S ∆∆∴=，∴四边形ODBE 的面积21134433343OBC ABC S S ∆∆===⨯⨯=，所以③正确； 作OH DE ⊥，如图，则DH EH =，120DOE ∠=︒，30ODE OEH ∴∠=∠=︒，12OH OE ∴=，332HE OH OE ==， 3DE OE ∴=，21133224ODE S OE OE OE ∆∴=⋅⋅=， 即ODE S ∆随OE 的变化而变化，而四边形ODBE 的面积为定值，ODE BDE S S ∆∆∴≠；所以②错误；BD CE =，BDE ∴∆的周长443BD BE DE CE BE DE BC DE DE OE =++=++=+=+=+，当OE BC ⊥时，OE 最小，BDE ∆的周长最小，此时233OE =， BDE ∴∆周长的最小值426=+=，所以④正确．故选：C ．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）已知α，β均为锐角，且满足21|sin |(tan 1)02αβ-+-=，则αβ+= 75︒ ． 【分析】直接利用绝对值的非负性和偶次方的非负性得出1sin 02α-=，tan 10β-=，再结合特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：21|sin |(tan 1)02αβ-+-=， 1sin 02α∴-=，tan 10β-=， 1sin 2α∴=，tan 1β=， 30α∴=︒，45β=︒，则304575αβ+=︒+︒=︒．故答案为：75︒．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．8．（3分）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为(1,3)，则另一个交点坐标是(1,3)-- ．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点(1,3)关于原点对称，∴该点的坐标为(1,3)--．故答案为：(1,3)--．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．9．（3分）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有 40 名学生．【分析】设九（1）班有x 名学生，则每名学生需送出(1)x -张新年贺卡，利用九（1）班共用去贺卡的数量=人数⨯每人送出新年贺卡的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设九（1）班有x 名学生，则每名学生需送出(1)x -张新年贺卡，依题意得：(1)1560x x -=，整理得：215600x x --=，解得：140x =，239x =-（不合题意，舍去），∴九（1）班有40名学生．故答案为：40．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（3分）如图，菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，DF AB ⊥于点E ，且DF DC =，连接FC ，则ACF ∠的度数为 15度．【分析】利用菱形的性质得出DCB∠的度数，进而得出答案．∠的度数，再利用等腰三角形的性质得出DCF【解答】解：菱形ABCD中，60∠=︒，DF DC=，DAB∠=∠，AB CD，DFC DCF∴∠=︒，//60BCD⊥于点E，DF AB90∴∠=︒，FDCDFC DCF∴∠=∠=︒，45菱形ABCD中，DCA ACB∠=∠，∴∠=∠=︒，30DCA ACB︒-︒=︒．ACF∴∠的度数为：453015故答案为：15︒．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出45∠=∠=︒是解题关键．DFC DCF11．（3分）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的所有可能的值之和为38．【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【解答】解：主视图最右边可能有4或5或6个小正方体；由主视图最左边看到只有一列，俯视图也只有一列，则左边有一个小正方体；主视图中间有两列，俯视图亦有两列，则中间可以有3或4个小正方形．n∴的值可能为：1438++=，16411++=，++=，15410++=，1539++=，16310++=，1449则n的所有可能的值之和89101138=+++=．故本题答案为：38．【点评】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．12．（3分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，43AD =，点E 是BC 的中点，点F 在AB 上，2FB =，P 是矩形上一动点．若点P 从点F 出发，沿F A D C →→→的路线运动，当30FPE ∠=︒时，FP 的长为 4或8或43 ．【分析】如图，连接DF ，AE ，DE ，取DF 的中点O ，连接OA 、OE ．以O 为圆心画O 交CD 于3P ．只要证明12330EPF FP F FP E ∠=∠=∠=︒，即可推出14FP =，28FP =，343FP=解决问题． 【解答】解：如图，连接DF ，AE ，DE ，取DF 的中点O ，连接OA 、OE ．以O 为圆心OE 的长度为半径，画O 交CD 于3P ．四边形ABCD 是矩形，90BAD B ∴∠=∠=︒，2BF =，23BE =4AF =，43AD =3tan tan FEB ADF ∴∠=∠=， 30ADF FEB ∴∠=∠=︒， 易知4EF OF OD ===，OEF ∴∆是等边三角形，12330EPF FP F FP E ∴∠=∠=∠=︒， 14FP ∴=，28FP=，343FP =， 故答案为4或8或3【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）解方程：（1）2(21)9x +=；（2）2(4)3(4)x x +=+．【分析】（1）两边直接开平方，继而得到两个关于x 的一元一次方程，解之即可；（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）2(21)9x +=，213x ∴+=或213x +=-，解得11x =，22x =-；（2）2(4)3(4)x x +=+，2(4)3(4)0x x ∴+-+=，则(4)(1)0x x ++=，40x ∴+=或10x +=，解得14x =-，21x =-．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．14．（6分）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥，CF AD ⊥，E ，F 分别为垂足．（1）求证：BE DF =；（2）求证：四边形AECF 是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出B D ∠=∠，AB CD =，//AD BC ，由已知得出90AEB AEC CFD AFC ∠=∠=∠=∠=︒，由AAS 证明ABE CDF ∆≅∆即可；（2）证出90EAF AEC AFC ∠=∠=∠=︒，即可得出结论．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，B D ∴∠=∠，AB CD =，//AD BC ，AE BC ⊥，CF AD ⊥，90AEB AEC CFD AFC ∴∠=∠=∠=∠=︒，在ABE ∆和CDF ∆中，B D AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CDF AAS ∴∆≅∆，BE DF ∴=；（2）证明：//AD BC ，90EAF AEB ∴∠=∠=︒，90EAF AEC AFC ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AECF 是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．15．（6分）如图，反比例函数(0)k y k x=≠的图象与正比例函数2y x =的图象相交于点(1,)A a ，B 两点，点C 在第四象限，//CA y 轴，90ABC ∠=︒．（1）求k 的值及B 点坐标；（2）求ABC ∆的面积．【分析】（1）先把(1,)A a 代入2y x =中求出a 得到(1,2)A ；再把A 点坐标代入k y x=中可确定k 的值，然后利用反比例函数和正比例函数图象的性质确定B 点坐标；（2）设(1,)C t ，根据两点间的距离公式和勾股定理得到22222(11)(2)(11)(22)(2)t t +++++++=-，求出t 得到(1,3)C -，从而得到AC 的长，然后关键三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）把(1,)A a 代入2y x =得2a =，则(1,2)A ；把(1,2)A 代入k y x =得122k =⨯=， 点A 与点B 关于原点对称，(1,2)B ∴--；（2）//CA y 轴，C ∴点的横坐标为1，设(1,)C t ，90ABC ∠=︒．222BC AC AB ∴+=，即22222(11)(2)(11)(22)(2)t t +++++++=-，解得3t =-，(1,3)C ∴-，5AC ∴=，11()5(11)522ABC A B S AC x x ∆∴=-=⨯⨯+=． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．16．（6分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在BC 上找点F ，使点F 是BC 的中点；（2）如图2，在AC 上取两点P ，Q ，使P ，Q 是AC 的三等分点．【分析】（1）根据矩形的对角线相等且互相平分作出图形即可；（2）根据矩形的性质和三角形中位线定理作出图形即可．【解答】解：（1）如图1，连接AC 、BD 交于点O ，延长EO 交BC 于F ，则点F 即为所求；（2）如图2，BD 交AC 于O ，延长EO 交BC 于F ，连接EB 交AC 于P ，连接DF 交AC 于Q ，则P 、Q 即为所求．【点评】本题考查的是作图的应用，掌握矩形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．17．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M 处垂直海面发射，当火箭到达点A 处时，海岸边N 处的雷达站测得点N 到点A 的距离为8千米，仰角为30︒．火箭继续直线上升到达点B 处，此时海岸边N 处的雷达测得B 处的仰角增加15︒，求此时火箭所在点B 处与发射站点M 处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出BM 的长．【解答】解：如图所示：连接MN ，由题意可得：90AMN ∠=︒，30ANM ∠=︒，45BNM ∠=︒，8AN km =， 在直角AMN ∆中，3cos30843()MN AN km =︒==． 在直角BMN ∆中，tan 4543 6.9BM MN km km =︒=≈．答：此时火箭所在点B 处与发射站点M 处的距离约为6.9km ．【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）已知如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 在AB 上，且2BD BE BC =；（1）求证：BDE C ∠=∠；（2）求证：2AD AE AB =．【分析】（1）根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，由2BD BE BC =，得到BD BC BE BD=，推出EBD DBC ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由BDE C ∠=∠，推出DBC ADE ∠=∠，等量代换得到ABD ADE ∠=∠，证得ADE ABD ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）BD 平分ABC ∠，ABD CBD ∴∠=∠， 2BD BE BC =， ∴BD BC BE BD=， EBD DBC ∴∆∆∽，BDE C ∴∠=∠；（2）BDE C ∠=∠，DBC C BDE ADE ∠+∠=∠+∠，DBC ADE ∴∠=∠，ABD CBD ∠=∠，ABD ADE ∴∠=∠，ADE ABD ∴∆∆∽， ∴AD AE AB AD=， 即2AD AE AB =．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的性质即可得到结论．19．（8分）如图，//AB CD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，连接EF ，AEF ∠、CFE ∠的平分线交于点G ，BEF ∠、DFE ∠的平分线交于点H ．（1）求证：四边形EGFH 是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G 作//MN EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，过H 作//PQ EF ，分别交AB ，CD 于点P ，Q ，得到四边形MNQP ，此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，他的猜想是否正确，请予以说明．【分析】（1）根据角平分线的性质进行导角，可求得四边形EGFH 的四个内角均为90︒，进而可说明其为矩形．（2）根据题目条件可得四边形MNQP 为平行四边形，要证菱形只需邻边相等，连接GH ，由于MN EF GH ==，要证MN MP =，只需证GH MP =，只需证四边形MFHP 为平行四边形，可证G 、H 点分别为MN 、PQ 中点，即可得出结果．【解答】（1）证明：EH 平分BEF ∠，FH 平分DFE ∠，12FEH BEF ∴∠=∠，12EFH DFE ∠=∠， //AB CD ，180BEF DFE ∴∠+∠=︒，11()1809022FEH EFH BEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， 180FEH EFH EHF ∠+∠+∠=︒，180()1809090EHF FEH EFH ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，同理可得：90EGF ∠=︒，EG 平分AEF ∠，EH 平分BEF ∠，12GEF AEF ∴∠=∠，12FEH BEF ∠=∠， 点A 、E 、B 在同一条直线上，180AEB ∴∠=︒，即180AEF BEF ∠+∠=︒，11()1809022FEG FEH AEF BEF ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， 即90GEH ∠=︒，∴四边形EGFH 是矩形（2）解：他的猜想正确，理由是：////MN EF PQ ，//MP NQ ，∴四边形MNQP 为平行四边形．如图，延长EH 交CD 于点O ，PEO FEO ∠=∠，PEO FOE ∠=∠，FOE FEO ∴∠=∠，EF FD ∴=，FH EO ⊥，HE HO ∴=，EHP OHQ ∠=∠，EPH OQH ∠=∠，EHP OHQ ∴∆≅∆，HP HQ ∴=，同理可得GM GN =，MN PQ =，MG HP ∴=，∴四边形MGHP 为平行四边形，GH MP ∴=，//MN EF ，//ME NF ，∴四边形MEFN 为平行四边形，MN EF ∴=，四边形EGFH 是矩形，GH EF ∴=，MN MP∴=，∴平行四边形MNQP为菱形．【点评】本题考查矩形、菱形的性质与判定，属于综合题，熟练掌握菱形和矩形的性质及判定方法是解题关键．20．（8分）小聪同学周六到某欢乐谷玩迷宫游戏，从迷宫口A到达迷宫口D有多个路口，如图所示（迷宫的一部分），规定从迷宫口A到达D处不能重复走同一路线，且小聪走每一条路线的可能性相同．（1）请用画树状图的方法，求小聪同学从迷宫口A到达D处所走的所有可能路线；（2）求小聪同学从迷宫口A到达D处经过路口B的概率．【分析】（1）根据题意得出小聪同学从迷宫口A到达D处所走的所有可能路线共有4种；（2）根据概率公式进行求解即可．【解答】解：（1）根据题意画图如下：小聪同学从迷宫口A到达D处所走的所有可能路线共有4种；（2）一共有4种情况，而过B的有3种，故小聪同学从迷宫口A到达D处经过路口B的概率为34．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件)与销售单价x （元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w （元)最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【分析】（1）将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，即可求解；（3）由题意得(30)(2160)800x x --+，解不等式即可得到结论．【解答】解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+，将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得：100307045k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：2160k b =-⎧⎨=⎩， 故函数的表达式为：2160y x =-+；（2）由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，20-<，故当55x <时，w 随x 的增大而增大，而3050x ，∴当50x =时，w 有最大值，此时，1200w =，故销售单价定为50元时，该商店每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：(30)(2160)800x x --+，解得：4070x ，又216020y x =-+，则y 的最小值为27016020-⨯+=，每天的销售量最少应为20件．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量⨯每件的利润w =得出函数关系式是解题关键．22．（9分）对于两个不相等的有理数a ，b ，我们规定符号{max a ，}b 表示a ，b 中的较大值，如{2max ，3}2-=，{1max -，0}0=．请解答下列问题：（1）2{1,1}5max --= 1- ； （2）如果{max x ，2}x x -=，求x 的取值范围；（3）如果{max x ，2}2|1|5x x -=--，求x 的值．【分析】（1）根据定义即可得；（2）由已知等式知2x x >-，解之可得；（3）分2x x >-和2x x <-两种情况分别求解可得．【解答】解：（1）2115->-， ∴2{1,1}15max --=-． 故答案为：1-；（2）{max x ，2}x x -=，2x x ∴>-．1x ∴>．x ∴的取值范围是1x >．（3）由题意，得：2x x ≠-．①若2x x >-，即1x >时，{max x ，2}x x -=，|1|1x x -=-．{max x ，2}2|1|5x x -=--，2(1)5x x ∴=--．解得7x =符合题意；)②若2x x <-，即1x <时，{max x ，2}2x x -=-，|1|(1)1x x x -=--=-．{max x ，2}2|1|5x x -=--，22(1)5x x ∴-=--．解得5x =-符合题意．综上所述，7x =或5x =-．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是理解新定义，并根据新定义列出关于x 的不等式及分类讨论思想的运用．六、（本大题共12分）23．（12分）如图，抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点(2,0)A ，点(3,3)B ，BC x ⊥轴于点C ，连接OB ，等腰直角三角形DEF 的斜边EF 在x 轴上，点E 的坐标为(4,0)-，点F 与原点重合（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）DEF ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为t 秒，当点D 落在BC 边上时停止运动，设DEF ∆与OBC ∆的重叠部分的面积为S ，求出S 关于t 的函数关系式；（3）点P 是抛物线对称轴上一点，当ABP ∆是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P 坐标．【分析】（1）根据待定系数法解出解析式和对称轴即可；（2）从三种情况分析①当03t 时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分为等腰直角三角形；②当34t <时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分是四边形；③当45t <时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分是四边形得出S 关于t 的函数关系式即可；（3）直接写出当ABP ∆是直角三角形时符合条件的点P 坐标．【解答】解：（1）根据题意得042393a b a b=+⎧⎨=+⎩， 解得1a =，2b =-，∴抛物线解析式是22y x x =-，对称轴是直线1x =；（2）有3种情况：①当03t 时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分为等腰直角三角形，如图1:214S t =； ②当34t <时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分是四边形，如图2:219342S t t =-+-； ③当45t <时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分是四边形，如图3:211322S t t =-+-； （3）当ABP ∆是直角三角形时，可得符合条件的点P 坐标为(1,1)或(1,2)或1(1,)3或11(1,)3． 【点评】此题考查了难度较大的函数与几何的综合题，关键是根据03t ，34t <，45t <三种情况进行分析．。
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观风海中学九年级期末测试测试题一
(满分：150分，考试用时120分钟)
一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分)
1.已知一元二次方程x 2－5x ＋3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝( ) A ．5 B ．－5 C ．3 D ．－3
2．下列几何体中，俯视图与主视图完全相同的几何体是( ) A ．圆锥 B ．球 C ．圆柱 D ．长方体
3．已知2是关于x 的方程x 2－3x ＋a ＝0的一个解，则a 的值是( ) A ． 5 B ．4 C ．3 D ．2
4．(黔西南中考)如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AO ＝4，BO ＝3，则菱形的边长AB 等于( ) A ．10 B.7 C ．6 D ．5
5．如图，若要使平行四边形ABCD 成为菱形，则可添加的条件是( ) A ．AB ＝CD B ．AD ＝BC C ．AB ＝BC D ．AC ＝BD
6．关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k>－1 B ．k ≥－1 C ．k ≠0 D ．k>－1且k≠0 7．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
8．下列对正方形的描述错误的是( )
A ．正方形的四个角都是直角
B ．正方形的对角线互相垂直
C ．邻边相等的矩形是正方形
D ．对角线相等的平行四边形是正方形
9．小颖将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次，你认为三次都是正面朝上的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.18
10．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x 人，则可列方程为( )
A ．x(x －1)＝90
B ．x(x －1)＝2×90
C ．x(x －1)＝90÷2
D ．x(x ＋1)＝90 11．如图，△ABO 缩小后变为△A′B′O ，其中A 、B 的对应点分别为A′、B′，点A 、B 、A′、B′均在图中格点上，若线段AB 上有一点P(m ，n)，则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为( )
A ．(m 2，n)
B ．(m ，n)
C ．(m ，n 2)
D ．(m 2，n 2)
12．如图，AB ∥CD ∥EF ，AD ＝4，BC ＝DF ＝3，则BE 的长为( ) A.94 B.21
4
C ．4
D ．6
13．在配紫色游戏中，转盘被平均分成“红”、“黄”、“蓝”、“白”四部分，转动转盘两次，配成紫色的概率为( )
A.13
B.14
C.15
D.18
14．函数y ＝2
|x|
的图象是( )
15．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF 过O 点，且EF ⊥AC 分别交DC 于F ，交AB 于E ，点G 是AE 中点，且∠AOG ＝30°，则下列结论正确的个数为( ) ①DC ＝3OG ；②OG ＝12BC ；③△OGE 是等边三角形；④S △AOE ＝1
6S 矩形ABCD .
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 16．如图所示是两棵小树在同一
时刻的影子，可以
断定
这
是
________
投影．
16题图 17题图 15题图
17、如图所示，在某一电路中，保持电压不变，电阻R(欧)与电流I(安)之间的函数关系式是________，则这一电路的电压为________伏．
18．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为972元，原价为1 200元，则可列出关于x的一元二次方程为________________．
19．菱形的两条对角线长分别是方程x2－14x＋48＝0的两实根，则菱
形的面积为________．
20．如图，直线y＝mx与双曲线y＝k
x交于A、B两点，过点A作AM⊥x
轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值是________．三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分) 21．(8分)解下列方程：
(1)(2x－1)2＝9；(2)2x2－10x＝3. 22．(8分)画出右边实物的三视图．
23．(10分)如图，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝k
x的图象只有一个
交点，求反比例函数的表达式．
24．(12分)荷花小区要在一块一边靠墙(墙长是15 m)的空地上修建一
个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围成，如图所示．若设花园的BC的边长为x m，花园的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围；
(2)当自变量x在取值范围内取值时，花园面积能达到200 m2吗？若能，求出x的值，若不能，说明理由．
25．(12分)某学习小组由3名男生和1名女生组成，在一次合作学习后，开始进行成果展示． (1)如果随机抽取1名同学单独展示，那么女生展示的概率为________； (2)如果随机抽取2名同学共同展示，求同为男生展示的概率．
26．(14分)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 为AC 的中点，ED 、CB 的延长线交于点F ，求证：DF CF ＝BC AC
.
27．(16分)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60 cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm/秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t 秒(0<t≤15)．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF. (1)求证：AE ＝DF ；
(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；
(3)当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．
参考答案
1．C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.D 7.C 8.D 9.D 10.A 11.D 12.B 13.D 14.B 15.C 16.中心 17.R ＝10
I
10 18.1 200(1－x)2＝972 19.24 20.2 21.(1)x 1＝－1，x 2＝2.(2)x 1＝
5－312，x 2＝5＋31
2
. 22.如图：
23．∵直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝k x 的图象只有一个交点，∴k
x ＝－x ＋2，即x 2－2x ＋
k ＝0只有一个解．∴Δ＝0，即4－4k ＝0.解得k ＝1.∴反比例函数的表达式为y ＝1
x . 24.(1)
根据题意，得y ＝x·40－x 2，即y ＝－12x 2＋20x(0<x≤15)．(2)当y ＝200时，即－1
2x 2＋20x ＝200.
解得x 1＝x 2＝20>15.∴花园面积不能达到200 m 2. 25.(1)1
4
(2)用列表法表示如下：
男1 男2 男3 女 男1 (男1，男2)
(男1，男3) (男1，女) 男2 (男2，男1) (男2，男3)
(男2，女) 男3 (男3，男1) (男3，男2) (男3，女)
女
(女，男1)
(女，男2)
(女，男3)
一共有12种情形，都是等可能的，其中，所有结果中，满足“同为男生展示”的结果有6种，所以P(同为男生)＝1
2. 26.证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋
∠BCD ，∠ACB ＝∠BDC ＝90°.∴∠A ＝∠BCD.∴△ABC ∽△CBD.∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD
CD
.
又∵E 为AC 中点，∴AE ＝CE ＝ED.∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF ，∴∠FCD ＝∠BDF.又∠F 为公共角，∴△FDB ∽△FCD.∴DF CF ＝BD CD .∴DF CF ＝BC
AC . 27.(1)证明：在△DFC 中，∠
DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t ，∴DF ＝2t.又∵AE ＝2t ，∴AE ＝DF.(2)能．理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF.又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形．当四边形AEFD 为菱形时，AE ＝AD ＝AC －DC ，即60－4t ＝2t.解得t ＝10.∴当t ＝10秒时，四边形AEFD 为菱形．(3)①当∠DEF ＝90°时，由(2)知EF ∥AD ，∴∠ADE ＝∠DEF ＝90°.∵∠A ＝60°，∴∠AED ＝30°.∴AD ＝1
2AE ＝t.又AD ＝60－4t ，即60－4t ＝t ，解得t ＝12；②当
∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形，在Rt △AED 中，∠A ＝60°，则∠ADE ＝30°，∴AD ＝2AE ，即60－4t ＝4t ，解得t ＝15
2；③若∠EFD ＝90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，
此种情况不存在．故当t ＝2
15
或12秒时，△DEF 为直角三角形．。